考研高数总复习Laplace变换(讲义)
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《拉氏变换详解》课件
积分性质
积分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$， 则 $int_{0}^{infty} f(t) dt$ 的拉普拉 斯变换为 $- frac{1}{s} F(s)$。
应用
积分性质在求解初值问题和极值问题 时非常有用，可以方便地得到原函数 的表达式。
微分性质
微分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$，则 $f^{(n)}(t)$ 的拉普拉斯变换为 $s^{n} F(s) - s^{n-1} f(0-) - s^{n-2} f'(0-) - ldots - f^{(n-1)}(0-)$。
卷积定理
总结词
卷积定理是拉普拉斯变换的一个重要特性， 它描述了函数与其导数之间的卷积关系。
详细描述
卷积定理表明，对于任意实数t，如果函数 f(t)与其导数f'(t)的拉普拉斯变换都存在，则 它们之间的卷积结果等于零。这个定理在信 号处理、控制系统等领域有着广泛的应用， 可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质
，再通过反变换得到 (y(t))。
控制系统的稳定性分析
总结词
通过拉普拉斯变换，可以分析控制系统的稳定性，为系 统设计和优化提供依据。
详细描述
对于线性时不变控制系统，通过拉普拉斯变换，可以将 其转化为传递函数的形式。根据传递函数的极点和零点 分布，可以判断系统的稳定性。如果所有极点都在复平 面的左半部分，则系统是稳定的。如果极点在右半部分 或等于零，则系统是不稳定的。此外，系统的动态性能 也可以通过传递函数的极点和零点分布进行分析和优化 。
03
动态行为。
2023
PART 02
拉普拉斯变换的应用
REPORTING
在微分方程中的应用
考研高数总复习Laplace变换性质(讲解)
A 1 A L [ f ( t )] s s s 1 e s 2 1 e
1 s 2 1 e
A s 1 coth 2s 2
(Re( s ) 0)
一般地, 若L [f (t)]=F (s), 则对于任何
可得:
L [e
at
k sin kt ] ( s a )2 k 2
五、延迟性质
若L [f (t)]= F( s), 又t<0时f (t)=0, 则对于任 一非负数t0, 有
st L [ f ( t )] e F s -1 st e F s f (t ) L
t t L d t d t 0 0 n次 1 f (t ) d t n F ( s) s
t 0
三、积分性质
由Laplace变换存在定理, 可得象函数积分 性质: 若L [f (t)]=F (s), 则
f (t ) L t
L [e f ( t )]
0
e at f ( t ) e st d t
0
f (t )e
( s a )t
dt
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
四、位移性质
上式右边只是在F ( s)中将s换为s-a, 得
L [e at f (t)]=F (s-a) (Re (s-a)>c)
性质表明了一个象原函数乘以指数函数 eat的Laplace变换等于其象函数做位移a.
2 由于 f (0) 1, f (0) 1, f (t ) k cos kt , 则
2 L k cos kt L 2 f ( t ) s L
考研高数总复习Laplace变换(讲义)
一、问题的提出 二、Laplace变换的概念
三、Laplace变换的存在定理
四、周期函数的Laplace变换 五、小结
拉普拉（place，1749-1827）， 法国著名的天文学家和数学家，天体力 学的集大成者.
法国的3L: 拉普拉斯和拉格朗日、勒让德.
一、 问题的提出 • 对于一个函数j(t), 有可能因为不满足Fourier变换
- st
k 2 Re s 0 2 s k
同理得余弦函数的Laplace变换
s L [cos kt ] 2 Re s 0 2 s k
求周期性三角波
0t b t, f (t ) 2b - t , b t 2b
且 f(t+2b)=f (t)的Laplace变换.
0
0
f
- st
- st ,有 t e dt
L [ f ( t )]
f (t )e d t
[e- b t (t ) - b e- b t u( t )]e- st d t
0
0
δ(t )e
-( s b )t
d t - b e- ( s b ) t d t
0
1 s-k
1 所以 L [e ] (Re( s ) k ). s-k
kt
练习: 试求指数函数 f ( t ) e (k为实数)
- kt
的Laplace变换.
三、Laplace变换的存在定理 Laplace变换的存在定理: 若函数 f (t) 满足: 1)在t 0的任一有限区间上分段连续; 2)当t时, f ( t ) 的增长速度不超过某一 指数函数, 即存在常数 M 0 及 c 0 , 使得
三、Laplace变换的存在定理
四、周期函数的Laplace变换 五、小结
拉普拉（place，1749-1827）， 法国著名的天文学家和数学家，天体力 学的集大成者.
法国的3L: 拉普拉斯和拉格朗日、勒让德.
一、 问题的提出 • 对于一个函数j(t), 有可能因为不满足Fourier变换
- st
k 2 Re s 0 2 s k
同理得余弦函数的Laplace变换
s L [cos kt ] 2 Re s 0 2 s k
求周期性三角波
0t b t, f (t ) 2b - t , b t 2b
且 f(t+2b)=f (t)的Laplace变换.
0
0
f
- st
- st ,有 t e dt
L [ f ( t )]
f (t )e d t
[e- b t (t ) - b e- b t u( t )]e- st d t
0
0
δ(t )e
-( s b )t
d t - b e- ( s b ) t d t
0
1 s-k
1 所以 L [e ] (Re( s ) k ). s-k
kt
练习: 试求指数函数 f ( t ) e (k为实数)
- kt
的Laplace变换.
三、Laplace变换的存在定理 Laplace变换的存在定理: 若函数 f (t) 满足: 1)在t 0的任一有限区间上分段连续; 2)当t时, f ( t ) 的增长速度不超过某一 指数函数, 即存在常数 M 0 及 c 0 , 使得
积分变换_(Laplace)课件与习题
5
§1 Laplace变换的概念
设指数衰减函数
(t
)
0, e
t
,
t0
( 0).
t0
考虑 f t t ,,有 f t u t =f t t 0.
若存在 0,使 lim et f t =0,则 + et f t dt .
t
-
那麽 f t u t et的傅氏积分总是存在的。
F [ f (t)u(t)et ] f (t)u(t)ete jtdt
L[ f (t)] F s f (t)estdt 0
f (t)称为F (s)的Laplace逆变换，记为f (t) L1[F (s)]. F (s)称为象函数，f (t)称为象原函数.
8
例1
求单位阶跃函数
u(t)
0 1
t 0 的拉氏变换. t 0
根据拉氏变换的定义, 有
L[u(t)] estd t 0
；
smL
t m
1 s
m!
L
t m
1 s m1
m!
(Re(s) 0).
26
练习： 求 f (t) cost 的Laplace变换.
解 因为
参见上节例3, 与这里方法不同
f (0) 1, f (0) 0, f (t) 2cost,
根据 微分性质 和线性性质
[2 cost] s2 [cost] sf (0) f (0),
对正整数n, 有
L[f
2
(n)
[(ct )o]sstn]F(
s2
s)
[scnos1
t] s,
f (0)
f (n1)(0).
所以
特[c别os地，t] 当sf2
§1 Laplace变换的概念
设指数衰减函数
(t
)
0, e
t
,
t0
( 0).
t0
考虑 f t t ,,有 f t u t =f t t 0.
若存在 0,使 lim et f t =0,则 + et f t dt .
t
-
那麽 f t u t et的傅氏积分总是存在的。
F [ f (t)u(t)et ] f (t)u(t)ete jtdt
L[ f (t)] F s f (t)estdt 0
f (t)称为F (s)的Laplace逆变换，记为f (t) L1[F (s)]. F (s)称为象函数，f (t)称为象原函数.
8
例1
求单位阶跃函数
u(t)
0 1
t 0 的拉氏变换. t 0
根据拉氏变换的定义, 有
L[u(t)] estd t 0
；
smL
t m
1 s
m!
L
t m
1 s m1
m!
(Re(s) 0).
26
练习： 求 f (t) cost 的Laplace变换.
解 因为
参见上节例3, 与这里方法不同
f (0) 1, f (0) 0, f (t) 2cost,
根据 微分性质 和线性性质
[2 cost] s2 [cost] sf (0) f (0),
对正整数n, 有
L[f
2
(n)
[(ct )o]sstn]F(
s2
s)
[scnos1
t] s,
f (0)
f (n1)(0).
所以
特[c别os地，t] 当sf2
拉普拉斯变换基础知识讲解
0
0
0
在t＝0 至t＝0＋ f(t)=(t)时此项 0
2 象函数F(s) 用大写字母表示,如I(s)，U(s)。 原函数f(t) 用小写字母表示，如 i(t), u(t)。
3 象函数F(s) 存在的条件：
0 f (t )est dt est为收敛因子
如果存在有限常数M和c使函数f(t)满足：
s2
s
2
初值定理： f(t)在t = 0处无冲激则
f (0 ) lim f (t) lim SF (S)
t0
s
终值定理：
lim f (t)存在时 t
f () lim f (t) lim SF (S)
t
s0
f () lim f (t) lim SF (S)
t
s0
证：利用导数性质
lim
s0
t (t) t n (t)
1
1
1
n!
S
S2 S n1
微分
sint (t)
S2 2
e-tt n (t )
n!
(S )n1
cost (t)
S
S2 2
e-t (t )
1
S
e-t sint (t)
(S )2 2
L[ f (t t0 ) (t t0 )] est0 F (S )
e sT
/
2
)
[
f
(t )]
1 1 esT
1 ( s
1 s
e ) sT /2
1 S
( 1
1 e ST
/2)
F (S ) L[et f (t)]
例1：L[tet (t)]
(S
1
拉普拉斯变换(The Laplace Transform)课件
L
设
1 ： X ( s) ( s 1)( s 2)
( s) 2
1 1 , ( s 1) ( s 2)
对X(s) 进行部分分式展开：
X ( s)
1 A B 1 1 ( s 1)( s 2) (s 1) (s 2) ( s 1) ( s 2)
S平面
j 0
j
s0 0 j0
0
• S平面上虚轴上的所有点代表整个周期 jt 复指数信号集 {e }
9.1 拉氏变换
一个信号x(t)的拉氏变换定义如下：
X (s) x(t )e dt ( where s j )
st
记作：
x(t ) X (s)
假设信号x(t)的拉氏变换X(s)没有多阶极 点，且分母多项式的阶次高于分子多项 式的阶次（有理真分式），那么X(s) 就可以展开成如下形式：
Ai X ( s) i 1 s ai
L {Ai /(s ai )}
1
M
Ai eait u(t )
Re{s} ai
Ai eait u(t ) Re{s} ai
性质3：如果x(t)是有限持续期，并 且是绝对可积的，那么ROC就是 整个s平面。
Im
s平面
Re
性质4：如果x(t)是右边信号，而且如果 Re{s} 0 这条线位于ROC内，那么 Re{s} 0 的全部s值都一定在ROC内。
0
Im s平面 Re
• 性质5：如果x(t)是左边信号，而且如果 • Re{s} 0 这条线位于ROC内，那么 • Re{s} 0 的全部s值都一定在ROC内。
1 2
设
1 ： X ( s) ( s 1)( s 2)
( s) 2
1 1 , ( s 1) ( s 2)
对X(s) 进行部分分式展开：
X ( s)
1 A B 1 1 ( s 1)( s 2) (s 1) (s 2) ( s 1) ( s 2)
S平面
j 0
j
s0 0 j0
0
• S平面上虚轴上的所有点代表整个周期 jt 复指数信号集 {e }
9.1 拉氏变换
一个信号x(t)的拉氏变换定义如下：
X (s) x(t )e dt ( where s j )
st
记作：
x(t ) X (s)
假设信号x(t)的拉氏变换X(s)没有多阶极 点，且分母多项式的阶次高于分子多项 式的阶次（有理真分式），那么X(s) 就可以展开成如下形式：
Ai X ( s) i 1 s ai
L {Ai /(s ai )}
1
M
Ai eait u(t )
Re{s} ai
Ai eait u(t ) Re{s} ai
性质3：如果x(t)是有限持续期，并 且是绝对可积的，那么ROC就是 整个s平面。
Im
s平面
Re
性质4：如果x(t)是右边信号，而且如果 Re{s} 0 这条线位于ROC内，那么 Re{s} 0 的全部s值都一定在ROC内。
0
Im s平面 Re
• 性质5：如果x(t)是左边信号，而且如果 • Re{s} 0 这条线位于ROC内，那么 • Re{s} 0 的全部s值都一定在ROC内。
1 2
ch8 拉普拉斯变换讲课
拉
斯
使得函数在 t < 0 的部分补零(或者充零)；
变
换
(2) 将函数再乘上一个衰减指数函数 e t ( 0)，
使得函数在 t > 0 的部分尽快地衰减下来。
这样，就有希望使得函数 f (t) u(t) e t 满足 Fourier
变换的条件，从而对它进行 Fourier 变换。
变
(6)
[
sin a
t
]
s2
a
a2
.
换 解 (6)
[ sin a t] 1 ( e jat es t dt e jat es t dt )
2j 0
0
1 ( [e jat ] [e jat ]) 2j
1( 2j s
1 ja
1) s ja
s2
.
15
第 四、几个常用函数的 Laplace 变换
八 章
(1)
[1] = [u(t) ] 1;
s
(4) [ ea t ] 1 ; sa
拉 (2) [ (t ) ] 1; 普
(5)
[ cosa t
]
s2
s
a2
;
拉 斯
(3)
[
tm]
m! sm1
Γ (m 1) sm1 ;
m! sm
[1]
m! sm1
.
14
第 四、几个常用函数的 Laplace 变换
八 章
(1)
[1] = [u(t) ] 1;
s
(4) [ ea t ] 1 ; sa
拉 (2t
Laplace讲解全
cm (s p)m
cm1 (s p)m1
c1
s p
cm
F
(s)
(s
p)m
s
p
cm1
1 1!
d ds
F(s)(s
p) m
s p
ck 1 (m k)
d (mk) ! d smk
F(s)(s p)m
s p
c1
1 (m 1)!
d (m1) ds m1
F(s)(s p)m
s p
f (t)
利用微分性质求 L[cos 2 t] ， 设f (t) cos2 t
则f ' (t) 2 cost( sin t) sin 2t
对上式两边取L变换：sF (s) f (0) 2 s2 22
f (t) cot2 t, f (0) 1. F(s) 1 [ 2 1] s s2 22 s2 2
0
f () Lim s
1
s0 (s 4)(s 3)
Lim
s
s0 s 2 7s 12
0
例：求
L1
(s
4 p)5
解：
L1
4 s5
？
L tn
m(m 1) m!
s n1
s n1
两边取
L1
即
L1
s
n!
n1
t
n
L1
1 s n1
tn n!
L1
1 s5
3. Laplace变换性质
一．线性性质
若 , 是常数，L[ f1(t) ]= f1 (s) ， L[ f2 (t) ]=F2 (s)
，则 L[f1 (t) f2 (t)]=F1 (s) F2 (s)
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s2
k
k2
Re s
>
0
同理得余弦函数的Laplace变换
L
[cos kt]
s2t;
0
求周期性三角波
t,
f
(t
)
2b
-
t
,
且 f(t+2b)=f (t)的Laplace变换.
0 t b b t 2b
根据 F s f , 有t e-stdt 0
L [ f (t)] f (t)e-std t 0
f
(t)e-std t
e-2kbs
k0
当 Re(s) > 0 时
e-2kbs
k0
1 1 - e-2bs
从而
1
L [ f (t)] 1 - e-2bs
2b f (t )e-std t
0
1 1 - e-2bs
(1 - e-bs )2
1 s2
1 1 - e-bs 1
bs
s2 1 e-bs s2 tanh 2
0
s-k
0 s-k
所以 L [ekt ] 1 (Re(s) > k). s-k
练习:
试求指数函数 f (t ) e-kt 的Laplace变换.
(k为实数)
三、Laplace变换的存在定理
Laplace变换的存在定理: 若函数 f (t) 满足:
1)在t 0的任一有限区间上分段连续;
2)当t时, 的f增(t)长速度不超过某一指数函
一、问题的提出 二、Laplace变换的概念 三、Laplace变换的存在定理 四、周期函数的Laplace变换 五、小结
拉普拉（place，1749-1827）， 法国著名的天文学家和数学家，天体力 学的集大成者.
法国的3L: 拉普拉斯和拉格朗日、勒让德.
一、 问题的提出
• 对于一个函数j(t), 有可能因为不满足Fourier变换
函数 f (t) 的Laplace变换式
二、Laplace变换的概念
•记 F(s) L [ f (t)], F(s) 称为 f (t)
作: 的Laplace变换.
若 F(是s) f的(tL) aplace变换,则称 f (t)
为 F(的s) Laplace逆变换.
记作: f (t ) L -1 [F (s)] .
• 的半平面内,
Re(s) > c
为解F析(s)函数.
求正弦函数 f (t) sin kt (k为实数)
的Laplace变换.
根据
F s
f
t e-stdt , 有
0
L [sin kt] sin kt e-std t 0
e- st s2 k2
-s sin kt
-
k cos kt
0
2b f (t)e-std t 4b f (t)e-std t
0
2b
2(k1)b f (t )e-std t 2kb
2(k1)b f (t ) e- std t
2 kb
k0
令t 2kb, 则
2(k 1)b f (t ) e- std t 2b f ( 2kb) e- s( 2kb)d
二、Laplace变换的概念
•对函数j(t)u(t)e取-btFobu>ri0er变换, 可得
Gb ()
j (t )u(t ) e-b te- jtd t
-
f (t ) e-(b j )td t f (t ) e- std t
0
0
其中 s b j, f (t) j(t)u(t).
求单位脉冲函数 δ(t )的Laplace变换.
根据 F s f t e-stdt , 利用性质: 0
-
f
t δ t dt
f
0， 有
L [ (t )] δ(t )e-std t 0
δ(t ) e- std t 0-
δ(t ) e- std t e-st 1
-
t0
四、周期函数的Laplace变换
数, 即存在常数 及 M, 使>得0 c 0
f (t ) Mect , 0 t
成立.
三、Laplace变换的存在定理
则 f t的 Laplace变换
F s
f
t e- st dt
0
•在半平面Re(s上) >一c 定存在, 右端的积分在
R•e(s) 上c1绝> c对收敛而且一致收敛, 并且在
求单位阶跃函数
u(t
)
0，t 1，t
>
0 0
的Laplace变换.
根据Laplace变换的定义, 有
L [u(t )] e- std t 0
这个积分在 Re s时>收0 敛, 而且有
e- std t - 1 e- st 1
0
s0s
所以 L [u(t)] 1 (Re(s) > 0).
设函数 f (t的) 周期为 T,即 f (t T) f (t)t > 0,
当 f (t) 在一个周期上是分段连续的,则
L
[
f
(t)]
1 1 - e-sT
s
求指数函数 f (t) ekt 的Laplace变换(k为实数).
根据
F s
f
t e-stdt , 有
0
L [ f (t )] ekte-std t e-(s-k )td t
0
0
这个积分在Re s时> k收敛, 而且有
e-(s-k )td t 1 e -(s-k )t 1
若再设
F(s)
Gb
s
-b
j
,
则得
F (s) f (t )e-std t 0
二、Laplace变换的概念 定义:
•设函数f (t当) 时t 有0定义, 而且积分
f (t)e-std t (s为一个复参量) 0
在s的某一域内收敛, 则由此积分所确定的函数 可写为
F (s) f (t)e-std t 0
2kb
0
e-2kbs 2b f ( )e-s d 0
而
2b f (t)e-std t b t e-std t 2b (2b - t)e-std t
0
0
b
因此
1 s2
(1 - e-bs )2
L [ f (t )] e-2kbs
2b f (t ) e- std t
0
k0
2b 0
的条件, 因而不存在Fourier变换.
因此, 首先将j(t)乘上单位阶跃函数 u(t), 这样t小于零
的部分的函数值就都等于零. 而大家知道在各种函数
中, 指数函数 e-bt (b>0) 的上升速度是最快的了,
因而 e-bt下降的速度也是最快的.
几乎所有的实用函数j(t)乘上u(t)再乘上e-bt后得到 的j(t)u(t)e-bt的Fourier变换都存在.