菱形的性质
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菱形的性质
）
4. 已知菱形两邻角之比是5：1，若菱形的高是2cm， 则菱形的周长是______. 5. 如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O， H为AD边的中点，若菱形ABCD的周长为20，则OH 的长为（ ） A．2 B．2.5 C． 3 D．3.5 6 .如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E， F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若EF= 3， BD=4，则菱形ABCD的周长为（ ）
在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上任意一点， F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF． （1）如图1，当E是线段AC的中点时，求证：BE=EF． （2）如图2，当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时， 请你判断（1）中的结论：____ （填“成立”或“不成立”） （3）如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点，其它条 件不变时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明； 若不成立，请说明理 由．
菱形面积：S菱形=底×高=对角线乘积的一半
基础训练
1．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
2. 已知菱形两条对角线长分别为6cm、8cm， 则菱形的周长是_______，面积是_______. 3. 如图，点P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB 于点E，PE=4，则点P到BC的距离等于（ ） A．4 B． 6 C． 8 D．10
D
O
C
A
E
B
如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，有一度数为60°的 ∠MAN绕点A旋转． （1）如图①，若∠MAN的两边AM，AN分别交BC，CD于点 E，F，则线段CE，DF的大小关系如何？请证明你的结论； （2）如图②，若∠MAN的两边AM，AN分别交BC，CD的延 长线于点E，F，则线段CE，DF还有（1）中的结论吗？请说 明你的理由．
菱形的性质-
设菱形的两条对角线长分别为L1、L2，那么菱形的面积为
1 S菱形= L1L2=底×高 2
例一 已知菱形ABCD的边长为2cm， ∠DAB=60O,对角线AC、 BD交于点O， 求菱形对角线的长及菱形的面积。
解：∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD, 1 1 且∠DAO= 2 ∠DAB= 2 × 60O =30O(菱形的对角线互相垂直， 并且每一条
在Rt△ABC中, ∠ACB= 90O ，E为AB的中点，四边形BCDE
是平行四边形。求证:AC与DE相互垂直平分。
证明： Rt△ACB
｝ AE=BE
AE=CE=BE DC
四边形BCDE是平行四边形
｝ AE=BC
BE
AE
DC
ADCE AE=CE
｝
ADCE是菱形
AC与DE相互垂直平分
创新探究
如图在△ABC中，点O是AC边上的一个点，过O作直线MN//BC， MN交 ∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于F （1）求证：EO=FO （2）若点O是AC边上的一个动点结论还成立吗？ （3）当点O 运动到何处时，四边形AECF是矩形，并证明你的结论
｝
AC⊥BD AC平分∠BAD.
同理可证AC平分∠BCD：BD平分∠ABC 和∠ADC。
菱形性质定理二 菱形的对角线互相垂直，并且 每一条对角线平分一组对角。
菱形ABCD被对角线AC、BD分成的四个直 角三角形有什么关系 △AOB≌△AOD≌△COB≌△COD
1 1 1 1 S菱形=4 S △AOB = 4 × × AC× BD= AC×BD 2 2 2 2
菱形的性质
祥和中学
有一组 邻边相等
平行四边形
菱形
由此得到：由一组邻边相等的平行四边形叫菱形。
1 S菱形= L1L2=底×高 2
例一 已知菱形ABCD的边长为2cm， ∠DAB=60O,对角线AC、 BD交于点O， 求菱形对角线的长及菱形的面积。
解：∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD, 1 1 且∠DAO= 2 ∠DAB= 2 × 60O =30O(菱形的对角线互相垂直， 并且每一条
在Rt△ABC中, ∠ACB= 90O ，E为AB的中点，四边形BCDE
是平行四边形。求证:AC与DE相互垂直平分。
证明： Rt△ACB
｝ AE=BE
AE=CE=BE DC
四边形BCDE是平行四边形
｝ AE=BC
BE
AE
DC
ADCE AE=CE
｝
ADCE是菱形
AC与DE相互垂直平分
创新探究
如图在△ABC中，点O是AC边上的一个点，过O作直线MN//BC， MN交 ∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于F （1）求证：EO=FO （2）若点O是AC边上的一个动点结论还成立吗？ （3）当点O 运动到何处时，四边形AECF是矩形，并证明你的结论
｝
AC⊥BD AC平分∠BAD.
同理可证AC平分∠BCD：BD平分∠ABC 和∠ADC。
菱形性质定理二 菱形的对角线互相垂直，并且 每一条对角线平分一组对角。
菱形ABCD被对角线AC、BD分成的四个直 角三角形有什么关系 △AOB≌△AOD≌△COB≌△COD
1 1 1 1 S菱形=4 S △AOB = 4 × × AC× BD= AC×BD 2 2 2 2
菱形的性质
祥和中学
有一组 邻边相等
平行四边形
菱形
由此得到：由一组邻边相等的平行四边形叫菱形。
菱形的性质
2 3
.课后练习 如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4， O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂 足为E.(1)∠ABD的度数；(2)求线段BE的长
AE=AF. 理由：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD，∠B=∠D，BC=CD. 又∵E，F分别为BC，CD的中点， ∴BE= BC/2，DF= CD/2， ∴BE=DF. ∴△ABE≌△ADF(SAS). ∴AE=AF.
菱形的面积
8.菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，若AO=3 cm，BO=4 cm，则菱形ABCD的面积是 __________cm2 9.如图，菱形ABCD的边长为2 cm，E是AB的中点， 且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为 __________cm2.
3.如图,在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点 O，下列说法错误的是( ) A.AB∥DC B.AC=BD C.AC⊥BD D.OA=OC 4.(2014•上海)如图，已知AC、BD是菱形ABCD 的对角线，那么下列结论一定正确的是( ) A.△ABD与△ABC的周长相等 B.△ABD与△ABC的面积相等 C.菱形的周长等于两条对角线之和的两倍 D.菱形的面积等于两条对角线之积的两倍
5.(2014•重庆)如图，菱形ABCD 中,∠A=60°，BD=7，则菱形ABCD的周 长为__________.
6.菱形的两邻角之比为1∶2，如果它较短的对 角线长为2 cm，则它的周长为 __________
7.如图，在菱形ABCD中，E，F分别是 BC，CD的中点，连接AE，AF.AE和AF 有什么样的数量关系？说明理由.
课前复习
1个定义 2个面积公式 3特性
菱形的定义
有一组边相等的平行四边形叫 做菱形
菱形形的性质和判定
平行四边形——菱形的性质及判定
1．菱形的定义：邻边相等的平行四边形叫做菱形．
2．菱形的性质
菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质：
①边的性质：邻边相等．
②对角线性质：对角线互相平分且垂直，每条对角线平分一组对角．
③对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．
3．菱形的判定
判定①：邻边相等的平行四边形是菱形．
判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
判定③：四边相等的四边形是菱形．
4、菱形具有而平行四边形不具有的性质：邻边相等，对角线互相垂直，对角线平分对角。
菱形的性质
我们已经知道矩形和菱形是特殊的平行四边 形，因此矩形菱形都是中心对称图形，想一 想 矩形、菱形是不是轴对称图形？如果是轴 对称图形，对称轴各几条？
矩形是轴对称图形，对称轴有两条。
殊的平行四边形，具有平行四边形 的所有性质. 菱形是轴对称图形, 对称轴有两条,是菱形两条 对角线所在的直线.
B E C F
D
8、已知菱形对角线长分别为12cm和16cm， 求菱形的高。
A D O C
B
1个定义 2个公式
：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形
：S菱形=底×高
S菱形= 对角线乘积的一半
3个特性 ：特在“边、对角线、对称性”
你敢挑战吗？回去想一想
如图，边长为a的菱形ABCD中，∠DAB=60度，E是异于A D两点的动点，F是CD上的动点，满足AE+CF=a。 证明：不论E、F怎样移动，三角形BEF总是正三角形。
菱形
B
O E
C
S菱形=BC· AE
思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利 用对角线能计算菱形的面积公式吗? S菱形 ABCD=S△ABD+S△BCD= 1 AC×BD
2
菱形面积：S菱形=底×高=对角线乘积的一半
BO=8m, 6、 如图，菱形花坛ABCD的边长为10m，∠ABC=60° 沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路 的长和花坛的面积。
∴ S菱形ABCD=4×2 3
3
AB BO 4 2 2
2 2 2 2
=8 3
∴ AC=4
3
6.若一个菱形的边长为3，则这个菱形两条 对角线长的平方和为
5、在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，E、F 分别为BC，CD的中点，那么∠EAF的度数是 （B）
菱形的性质
什么牌子的汽车？
菱形就在我们身边
B
C D
A
一组邻边相等的平行四 边形叫做菱形.
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准 确地剪出一个菱形的纸片？
有同学是这样做的：将一张长方形的纸对 折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打 开即可.你知道其中的道理吗？
（小组合作完成）
D O B C
(1)观察得到的菱形,它是中心对 称图形吗?它是轴对称图形吗? 如果是有几条对称轴?对称轴之 间有什么位置关系? (2)从图中你能得到哪些结论 ?并说明理由.
D O C
例1变形
菱形ABCD的周长为16，相邻两角的度数 比为1：2．
⑴求菱形ABCD的对角线的长； ⑵求菱形ABCD的面积．
B C A O D
课堂反思
1.你的收获是什么？你的困惑是什么？ 2.你会用类比的学习方法学习特殊四边形知识 吗？
你想知道什么样的四边形就是菱形吗？
D
边
菱形的两组对边平行且相等
A B
O
C
菱形的四条边相等
菱形的两组对角分别相等 菱形的邻角互补
数学语言
∵四边形ABCD是菱形 ∴OA=OC;OB=OD180° AD ∥BC ∴ ∴ ∠DAC=∠BAC ∴∠DAB+∠ABC= AB=BC=CD=DA ∴ ∴ ∠DAB=∠DCB =
角
∠ADC=∠ABC ∠DCA=∠BCA AB ∥ CD ∠ADB=∠CDB 菱形的 两条对角线互相平分 ∠ABD=∠CBD AC⊥BD 对角线
∵四边形ABCD是菱形 证明： ∴AB=BC=CD=DA ∴AB=AD,OD=OB
又∵ AO = AO ∴ △AOD ≌ △AOB 又∵ AC = AC ∴ ∠DOA=∠BOA ∴ △ADC ≌ △ABC 又∵ ∠DOA+∠BOA= 180° ∴ ∠DOA=∠BOA= 90° ∴ ∠DAC=∠BAC ∠DCA=∠BCA ∴ AC⊥BD
菱形就在我们身边
B
C D
A
一组邻边相等的平行四 边形叫做菱形.
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准 确地剪出一个菱形的纸片？
有同学是这样做的：将一张长方形的纸对 折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打 开即可.你知道其中的道理吗？
（小组合作完成）
D O B C
(1)观察得到的菱形,它是中心对 称图形吗?它是轴对称图形吗? 如果是有几条对称轴?对称轴之 间有什么位置关系? (2)从图中你能得到哪些结论 ?并说明理由.
D O C
例1变形
菱形ABCD的周长为16，相邻两角的度数 比为1：2．
⑴求菱形ABCD的对角线的长； ⑵求菱形ABCD的面积．
B C A O D
课堂反思
1.你的收获是什么？你的困惑是什么？ 2.你会用类比的学习方法学习特殊四边形知识 吗？
你想知道什么样的四边形就是菱形吗？
D
边
菱形的两组对边平行且相等
A B
O
C
菱形的四条边相等
菱形的两组对角分别相等 菱形的邻角互补
数学语言
∵四边形ABCD是菱形 ∴OA=OC;OB=OD180° AD ∥BC ∴ ∴ ∠DAC=∠BAC ∴∠DAB+∠ABC= AB=BC=CD=DA ∴ ∴ ∠DAB=∠DCB =
角
∠ADC=∠ABC ∠DCA=∠BCA AB ∥ CD ∠ADB=∠CDB 菱形的 两条对角线互相平分 ∠ABD=∠CBD AC⊥BD 对角线
∵四边形ABCD是菱形 证明： ∴AB=BC=CD=DA ∴AB=AD,OD=OB
又∵ AO = AO ∴ △AOD ≌ △AOB 又∵ AC = AC ∴ ∠DOA=∠BOA ∴ △ADC ≌ △ABC 又∵ ∠DOA+∠BOA= 180° ∴ ∠DOA=∠BOA= 90° ∴ ∠DAC=∠BAC ∠DCA=∠BCA ∴ AC⊥BD
菱形的性质
有关菱形问题可转化为直角三角 形或等腰三角形的问题来解决
例1 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m， ∠ABC＝60度， 沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路 的长和花坛的面积（分别精确到0.01m和0.01m2 ）
解:∵花坛ABCD是菱形 1 ∴AC⊥BD, ∠ABO= ∠ABC=300 1 2 1 在Rt△OAB中 ,AO= AB= ×20=10(m), 2 2
10
（1）菱形是轴对称图形吗？如果是， 那么它有几条对称轴？对称轴之间有 什么位置关系？
A
菱形是轴对称图形
B
1 3
4 2
D
提示:从对称性、边、 角、对角线、 面积等方面来探讨
11
(2)从图中你能得到哪些结论?并说 明理由.
C
菱形的性质：
菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形 的所有性质. 对称轴有两条,对角线所
菱形
在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变 边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程中， 哪些关系没变？哪些关系变了？
平行四边形
邻边相等 菱形
如果改变了边的长度，使两邻边相等，那么这个平 行四边形成为怎样的四边形？
有一组邻边相等的平行四边形叫菱形
．
3
2000多年前……
一把埋藏在地下的古剑，出土时 依然寒气逼人，毫无锈蚀，锋利无 比，稍一用力，便可将多层白纸划 破，剑身上整齐排列着黑色菱形暗 花纹——越王勾践剑
D
O E
C
S菱形=BC. AE
么
思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利 为 什 用对角线能 计算菱形的面积公式吗?
1 S菱形 ABCD=S△ABD+S△BCD= AC×BD 2 面积：S菱形=底×高=对角线乘积的一半
例1 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m， ∠ABC＝60度， 沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路 的长和花坛的面积（分别精确到0.01m和0.01m2 ）
解:∵花坛ABCD是菱形 1 ∴AC⊥BD, ∠ABO= ∠ABC=300 1 2 1 在Rt△OAB中 ,AO= AB= ×20=10(m), 2 2
10
（1）菱形是轴对称图形吗？如果是， 那么它有几条对称轴？对称轴之间有 什么位置关系？
A
菱形是轴对称图形
B
1 3
4 2
D
提示:从对称性、边、 角、对角线、 面积等方面来探讨
11
(2)从图中你能得到哪些结论?并说 明理由.
C
菱形的性质：
菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形 的所有性质. 对称轴有两条,对角线所
菱形
在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变 边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程中， 哪些关系没变？哪些关系变了？
平行四边形
邻边相等 菱形
如果改变了边的长度，使两邻边相等，那么这个平 行四边形成为怎样的四边形？
有一组邻边相等的平行四边形叫菱形
．
3
2000多年前……
一把埋藏在地下的古剑，出土时 依然寒气逼人，毫无锈蚀，锋利无 比，稍一用力，便可将多层白纸划 破，剑身上整齐排列着黑色菱形暗 花纹——越王勾践剑
D
O E
C
S菱形=BC. AE
么
思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利 为 什 用对角线能 计算菱形的面积公式吗?
1 S菱形 ABCD=S△ABD+S△BCD= AC×BD 2 面积：S菱形=底×高=对角线乘积的一半
菱形的性质
菱形
1.掌握菱形的概念,理解菱形与平行四边形的关系. 2.掌握菱形的性质及菱形面积的计算方法. 3.会运用菱形的性质进行有关的论证和计算.
菱形的定义
平行四边形
邻边相等
菱形
有一组邻边相等的平行四边形叫菱形．
∵ABCD是平行四边形，AB=BC ∴四边形ABCD是菱形
将一张长方形的纸对折、再对折，然后 沿图中的虚线剪下，打开即为菱形.你能说出 其中的道理吗？
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°
∠1=∠2=∠3=∠4 ∠5=∠6=∠7=∠8
等腰三角形：△ABC △ DBC △ACD △ABD
直角三角形：Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD Rt△DOA
全等三角形：△ABD≌△BCD
△ABC≌△ACD
Rt△AOB≌Rt△BOC≌Rt△COD≌Rt△DOA
观察得到的菱形,它是轴对称图形吗?如果是， 有几条对称轴?对称轴之间有什么位置关系?
A
B
D
菱形是轴对称图形， 两条对称轴是两条 对角线所在的直线, 并且相互垂直.
C
菱形的性质：
A
菱形的四条边都相等
∵四边形ABCD是菱形
∴ AB=BC=CD=DA
B
D
菱形两条对角线互相垂直，并 且每一条对角线平分一组对角
A
F
D
E O
B
C
C
∵四边形ABCD是菱形
∴∠DAC=∠BAC,∠DCA=∠BCA
∠ADB=∠CDB,∠ABD=∠CBD AC⊥BD
菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组 对角.
已知：菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，
求证：AC⊥BD ； AC平分∠BAD和∠BCD ； BD平分∠ABC和∠ADC
1.掌握菱形的概念,理解菱形与平行四边形的关系. 2.掌握菱形的性质及菱形面积的计算方法. 3.会运用菱形的性质进行有关的论证和计算.
菱形的定义
平行四边形
邻边相等
菱形
有一组邻边相等的平行四边形叫菱形．
∵ABCD是平行四边形，AB=BC ∴四边形ABCD是菱形
将一张长方形的纸对折、再对折，然后 沿图中的虚线剪下，打开即为菱形.你能说出 其中的道理吗？
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°
∠1=∠2=∠3=∠4 ∠5=∠6=∠7=∠8
等腰三角形：△ABC △ DBC △ACD △ABD
直角三角形：Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD Rt△DOA
全等三角形：△ABD≌△BCD
△ABC≌△ACD
Rt△AOB≌Rt△BOC≌Rt△COD≌Rt△DOA
观察得到的菱形,它是轴对称图形吗?如果是， 有几条对称轴?对称轴之间有什么位置关系?
A
B
D
菱形是轴对称图形， 两条对称轴是两条 对角线所在的直线, 并且相互垂直.
C
菱形的性质：
A
菱形的四条边都相等
∵四边形ABCD是菱形
∴ AB=BC=CD=DA
B
D
菱形两条对角线互相垂直，并 且每一条对角线平分一组对角
A
F
D
E O
B
C
C
∵四边形ABCD是菱形
∴∠DAC=∠BAC,∠DCA=∠BCA
∠ADB=∠CDB,∠ABD=∠CBD AC⊥BD
菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组 对角.
已知：菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，
求证：AC⊥BD ； AC平分∠BAD和∠BCD ； BD平分∠ABC和∠ADC
菱形的定义、性质
AE
1 1 BD 10 5cm . 2 2 AD2 DE 2 132 52 12cm.
A
∴AC=2AE=2×12=24(cm). E B (2)菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△CBD的面积 =2×△ABD的面积
1 2 BD AE 2 1 2 10 12 120 cm 2 . 2
A B D
菱形是中心对称图形
菱形是轴对称图形
C
D
边
菱形的两组对边平行且相等 A
O B 数学语言
C
菱形的四条边相等
菱形的两组对角分别相等 ∵四边形ABCD是菱形
角
菱形的邻角互补
∠DCA=∠BCA ∠ADC=∠ABC AB ∥ CD ∠ADB=∠CDB 菱形的 两条对角线互相平分 ∠ABD=∠CBD AC⊥BD 对角线
由此可进一步推导得出：对角线互相垂 直的四边形的面积都等于两条对角线乘积的 一半。
D B O A E
例1：如图，菱形ABCD的边长为4cm， ∠BAD＝2 ∠ABC。对角线AC、BD相交于点 O，求这个菱形的对角线长和面积。
A
D O C
B
例2：菱形ABCD中，对角线AC、BD相 交于点O，E、F分别是AB、AD的中点，求证： OE＝OF。
证明：不论E、F怎样移动，三角形BEF总是正 三角形。 F
D
C
E A
B
例1、已知：AD是△ABC的角平分线，DE∥AC 交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：四边形 AEDF是菱形。 A F 1 2 变式训练：把本例中的 E “DE//AC交AB于E， DF 3 ∥AB交AC于F”改成“EF垂 C 直平分AD”，其他条件不变， B D 你能否证明四边形AEDF是 菱形？
1 1 BD 10 5cm . 2 2 AD2 DE 2 132 52 12cm.
A
∴AC=2AE=2×12=24(cm). E B (2)菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△CBD的面积 =2×△ABD的面积
1 2 BD AE 2 1 2 10 12 120 cm 2 . 2
A B D
菱形是中心对称图形
菱形是轴对称图形
C
D
边
菱形的两组对边平行且相等 A
O B 数学语言
C
菱形的四条边相等
菱形的两组对角分别相等 ∵四边形ABCD是菱形
角
菱形的邻角互补
∠DCA=∠BCA ∠ADC=∠ABC AB ∥ CD ∠ADB=∠CDB 菱形的 两条对角线互相平分 ∠ABD=∠CBD AC⊥BD 对角线
由此可进一步推导得出：对角线互相垂 直的四边形的面积都等于两条对角线乘积的 一半。
D B O A E
例1：如图，菱形ABCD的边长为4cm， ∠BAD＝2 ∠ABC。对角线AC、BD相交于点 O，求这个菱形的对角线长和面积。
A
D O C
B
例2：菱形ABCD中，对角线AC、BD相 交于点O，E、F分别是AB、AD的中点，求证： OE＝OF。
证明：不论E、F怎样移动，三角形BEF总是正 三角形。 F
D
C
E A
B
例1、已知：AD是△ABC的角平分线，DE∥AC 交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：四边形 AEDF是菱形。 A F 1 2 变式训练：把本例中的 E “DE//AC交AB于E， DF 3 ∥AB交AC于F”改成“EF垂 C 直平分AD”，其他条件不变， B D 你能否证明四边形AEDF是 菱形？
菱形的性质
1 = ×10×18=90 × 2
发现？ 发现？
C
你敢挑战吗？回去想一想 你敢挑战吗？
如图，边长为 的菱形 的菱形ABCD中，∠DAB=60度，E是异于 是异于A 如图，边长为a的菱形 中 度 是异于 D两点的动点，F是CD上的动点，满足 两点的动点， 是 上的动点 满足AE+CF=a。 上的动点， 两点的动点 。 证明：不论 、 怎样移动 三角形BEF总是正三角形。 怎样移动， 总是正三角形。 证明：不论E、F怎样移动，三角形 总是正三角形
D E A
F
C
B
菱形性质的应用
A
已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm 的菱形,其中对角线BD长10cm. 求:(1).对角线AC的长度; (2).菱形的面积 E B 解:(1)∵四边形ABCD是菱形,
E ∴∠AED=900, D = ∴∠ =90 1 1 B = ×10 =5(cm). D 2 2 ∴AE = AD2 −D 2 = 132 −52 =12(cm). E
菱形ABCD=4×2 3 ∴ S菱形 ×
(AB − BO ) = (4 − 2 ) = 2
2 2 2 2
3
=8 3
∴ AC=4
3
已知：如图， 平分 平分∠ 已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC ， ∥ 交AB于E，DF∥AB交AC于F． 于 ， ∥ 交 于 ． 求证： ⊥ ； 求证：EF⊥AD；
：S菱形=底×高 底
S菱形= 对角线乘积的一半
特在“ 对角线、 对称性” 3个特性 ： 特在 “ 边 、 对角线 、 对称性 ”
边
菱形的对边平行 菱形的四条边相等 菱形的对角相等 菱形的邻角互补
菱形的 两条对角线互相平分
A
发现？ 发现？
C
你敢挑战吗？回去想一想 你敢挑战吗？
如图，边长为 的菱形 的菱形ABCD中，∠DAB=60度，E是异于 是异于A 如图，边长为a的菱形 中 度 是异于 D两点的动点，F是CD上的动点，满足 两点的动点， 是 上的动点 满足AE+CF=a。 上的动点， 两点的动点 。 证明：不论 、 怎样移动 三角形BEF总是正三角形。 怎样移动， 总是正三角形。 证明：不论E、F怎样移动，三角形 总是正三角形
D E A
F
C
B
菱形性质的应用
A
已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm 的菱形,其中对角线BD长10cm. 求:(1).对角线AC的长度; (2).菱形的面积 E B 解:(1)∵四边形ABCD是菱形,
E ∴∠AED=900, D = ∴∠ =90 1 1 B = ×10 =5(cm). D 2 2 ∴AE = AD2 −D 2 = 132 −52 =12(cm). E
菱形ABCD=4×2 3 ∴ S菱形 ×
(AB − BO ) = (4 − 2 ) = 2
2 2 2 2
3
=8 3
∴ AC=4
3
已知：如图， 平分 平分∠ 已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC ， ∥ 交AB于E，DF∥AB交AC于F． 于 ， ∥ 交 于 ． 求证： ⊥ ； 求证：EF⊥AD；
：S菱形=底×高 底
S菱形= 对角线乘积的一半
特在“ 对角线、 对称性” 3个特性 ： 特在 “ 边 、 对角线 、 对称性 ”
边
菱形的对边平行 菱形的四条边相等 菱形的对角相等 菱形的邻角互补
菱形的 两条对角线互相平分
A
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19.3.2 菱形（第一课时）
1.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，BD=4，则菱形ABCD的周长是_________．
2、如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD 的面积为____________cm2．
3．已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm，则这个菱形的面积是________cm．4、如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点O到边AB的距离___________
5、如图，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD=6cm，∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积等于__________cm2．
6、如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2AD，点 E、F分别是CD 的中点，过点A作AG∥BD，交CB的延长线于点G。
（1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明。
7、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE．
（1）说明四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由。