菱形的定义及其性质
菱形的定义、性质
等腰三角形： △ABC △ DBC △ACD △ABD 直角三角形： Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD
Rt△DOA 全等三角形：Rt△AOB
≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA
△ABD≌△BCD
△ABC≌△ACD
例1 如图,菱形花坛ABCD的边长为20m,∠ABC=60°,沿 着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD,求两条小路的 长和花坛的面积(分别精确到0.01m和0.01m2).
§19.2 .2
菱形的定义、性质
菱形
情 景 创 设
前面我们学习了平行四边形 和矩形，知道了如果平行四边形 有一个角是直角时,成为什么图形?
(矩形,由角变化得到)
如果从边的角度,将平行四边形特殊化, 又会得到什么特殊的四边形呢?
在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅 改变边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程 中，哪些关系没变？哪些关系变了？
菱形就在我们身边
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准 确地剪出一个菱形的纸片？
有同学是这样做的：将一张长方形的纸对 折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打 开即可.你知道其中的道理吗？
(1)观察得到的菱形,它是中心对称图形吗? 它是轴对称图形吗?如果是，有几条对称轴? 对称轴之间有什么位置关系?
菱形是中心对称图形
2、已知菱形的两个邻角的比是1：5，高 是 8cm，则菱形的周长为 。 4、已知菱形的周长为40cm，两对角线的 比为3：4，则两对角线的长分别 是 。
补充例题：已知如图，菱形ABCD中， E是AB的中点，且DE⊥AB，AB=1。 求（1）∠ABC的度数； （2）对角线AC、BD的长； （3）菱形ABCD的面积。
S菱形 ABCD
菱形的性质及判定
菱形得性质及判定中考要求知识点睛1、菱形得定义:有一组邻边相等得平行四边形叫做菱形.2.菱形得性质菱形就是特殊得平行四边形,它具有平行四边形得所有性质,•还具有自己独特得性质:①边得性质:对边平行且四边相等.②角得性质:邻角互补,对角相等、③对角线性质:对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角.④对称性:菱形就是中心对称图形,也就是轴对称图形.菱形得面积等于底乘以高,等于对角线乘积得一半。
点评:其实只要四边形得对角线互相垂直,其面积就等于对角线乘积得一半、3。
菱形得判定判定①:一组邻边相等得平行四边形就是菱形、判定②:对角线互相垂直得平行四边形就是菱形。
判定③:四边相等得四边形就是菱形。
重、难点重点就是菱形得性质与判定定理。
菱形就是在平行四边形得前提下定义得,首先她就是平行四边形,但它就是特殊得平行四边形,特殊之处就就是“有一组邻边相等”,因而就增加了一些特殊得性质与不同于平行四边形得判定方法。
菱形得这些性质与判定定理即就是平行四边形性质与判定得延续,又就是以后要学习得正方形得基础、难点就是菱形性质得灵活应用。
由于菱形就是特殊得平行四边形,所以它不但具有平行四边形得性质,同时还具有自己独特得性质。
如果得到一个平行四边形就是菱形,就可以得到许多关于边、角、对角线得条件,在实际解题中,应该应用哪些条件,怎样应用这些条件,常常让许多学生手足无措,教师在教学过程中应给予足够重视。
例题精讲板块一、菱形得性质【例1】☆⑴菱形得两条对角线将菱形分成全等三角形得对数为⑵在平面上,一个菱形绕它得中心旋转,使它与原来得菱形重合,那么旋转得角度至少就是【例2】⑴如图2,一活动菱形衣架中,菱形得边长均为若墙上钉子间得距离,则度.⑵如图,在菱形中,,、分别就是、得中点,若,则菱形 得边长就是______.【例3】 如图,就是菱形得边得中点,于,交得延长线于,交于,证明:与互相平分.【例4】 ☆ 如图1所示,菱形中,对角线、相交于点,为边中点,菱形得周长为,则得长等于 。
(1)菱形的定义是什么
（3）判定一个四边形是不是菱形可根据什么？ 判定一个四边形是不是菱形可根据什么？
定义法
（4）菱形还有其他判定方法吗？ ）菱形还有其他判定方法吗？
1.(1)已知菱形ABCD的边长为4, ∠DAB=60° 1.(1)已知菱形ABCD的边长为4, ∠DAB=60°,则对角线 已知菱形ABCD的边长为 AC=______,BD=____,面积S菱形ABCD 8 3 4 3 AC=______,BD=____,面积S菱形ABCD=________. 4 面积 (2)已知菱形ABCD的两条对角线长分别为2cm, (2)已知菱形ABCD的两条对角线长分别为2cm, 2 已知菱形ABCD的两条对角线长分别为 cm,则菱形ABCD的边长为_____cm. cm,则菱形ABCD的边长为_____cm. 则菱形ABCD的边长为 3 2.已知点E为菱形ABCD的一条对角线AC上的任意一点, 2.已知点E为菱形ABCD的一条对角线AC上的任意一点, 已知点 ABCD的一条对角线AC上的任意一点 连结BE并延长交AD于点F,连结DE. 连结BE并延长交AD于点F,连结DE. BE并延长交AD于点F,连结 求证:∠AFB=∠CDE. 求证:∠AFB=∠CDE.
C
练一练: 练一练
ABCD的两条对角线AC、BD相交于点 的两条对角线AC 相交于点O 1、如图， 如图， ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O， AB= ，AO=2，OB=1. D 5AO=2， （1）AC，BD互相垂直吗？为什么？ AC，BD互相垂直吗？为什么？ 互相垂直吗 （2）四边形ABCD是菱形吗？为什么？ 四边形ABCD是菱形吗？为什么？ ABCD是菱形吗 解：（1）∵ AB= ：（1 ∴ AO=2， 5 ，AO=2，OB=1. 2 2 2 AB = OA + OB
菱形的性质与判定
菱形的性质与判定菱形是一种具有特殊性质的四边形，它的对角线长度相等，且相交于垂直的交点。
在几何学中，我们可以通过一些准确的判定方法来确定一个四边形是否为菱形。
本文将介绍菱形的性质，并详细探讨判定菱形的几种方法。
一、菱形的性质1. 对角线相等：菱形的两条对角线长度相等，即AC=BD。
这是菱形的最基本特征。
2. 对角线相交垂直：菱形的两条对角线相交于一个垂直的交点。
换句话说，∠ACD和∠BCD是两条相交直线上的垂直角。
3. 对边平行：菱形的两对边互相平行，即AB║CD且AD║BC。
4. 具有四个等边角：菱形的四个内角均相等，每个角度为90度。
二、判定菱形的方法1. 利用对角线相等判定：如果一个四边形的两条对角线相等，那么它就是一个菱形。
例如：已知一个四边形ABCD，我们可以测量AC和BD的长度，如果AC=BD，那么我们可以确定该四边形是一个菱形。
2. 利用对边平行判定：如果一个四边形的两对边互相平行，那么它就是一个菱形。
例如：已知一个四边形ABCD，我们可以测量AB、BC、CD、DA的长度，并检查相邻边是否平行。
如果AB║CD且AD║BC，那么可以确认该四边形是一个菱形。
3. 利用角度特征判定：如果一个四边形的四个内角均为90度，那么它就是一个菱形。
例如：已知一个四边形ABCD，我们可以测量∠ABC、∠BCD、∠CDA和∠DAB的度数，如果每个角度都等于90度，那么可以断定该四边形是一个菱形。
以上三种方法可以独立或结合使用，来判定一个四边形是否为菱形。
在实际问题中，根据提供的信息，我们可以选择最适合的方法进行判定。
值得注意的是，只满足菱形的一些性质，比如对角线相等，不一定就能判定一个四边形是菱形。
必须满足菱形的所有性质才能确定。
三、菱形的应用菱形在几何学中有很多应用，以下列举几个常见的应用：1. 菱形判断：在解决几何问题时，判定一个四边形是否为菱形可以帮助我们简化推理过程，节省解题时间。
2. 菱形面积计算：菱形的面积计算公式为S=a×b/2，其中a和b分别表示菱形的对角线长度。
初二数学下菱形(提高)知识讲解+巩固练习
菱形（提高）【学习目标】1. 理解菱形的概念.2. 掌握菱形的性质定理及判定定理．【要点梳理】要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.要点三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.【典型例题】类型一、菱形的性质1、如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE ＝18°．求∠CEF的度数．【思路点拨】由已知∠B＝60°，∠BAE＝18°，则∠AEC＝78°．欲求∠CEF的度数，只要求出∠AEF的度数即可，由∠EAF＝60°，结合已知条件易证△AEF为等边三角形，从而∠AEF＝60°．【答案与解析】解：连接AC．∵四边形ABCD是菱形，∴ AB＝BC，∠ACB＝∠ACF．又∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．∴∠ACF＝∠B＝60°．又∵∠EAF＝∠BAC＝60°∴∠BAE＝∠CAF．∴△ABE≌△ACF．∴ AE＝AF．∴△AEF为等边三角形．∴∠AEF＝60°．又∵∠AEF＋∠CEF＝∠B＋∠BAE，∠BAE＝18°，∴∠CEF＝18°．【总结升华】当菱形有一个内角为60°时，连接菱形较短的对角线得到两个等边三角形，有助于求相关角的度数．在求角的度数时，一定要注意已知角与所求角之间的联系．2、已知：如图所示，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F．(1)求证：AM＝DM；(2)若DF＝2，求菱形ABCD的周长．【答案与解析】证明：(1)连接DB，则由菱形性质得BD⊥AC．又因为EF⊥AC，所以EF∥BD，即ME∥BD．又因为点E是AB的中点，所以点M是AD的中点．所以AM＝DM．(2)由(1)得DB∥EF．又BE∥DF，所以四边形EFDB是平行四边形．所以BE＝DF＝2．又因为12BE AB，即AB＝2BE＝2×2＝4．所以菱形ABCD的周长为4×4＝16．【总结升华】菱形四边相等，对角线互相垂直平分. 举一反三：【变式】（春•潍坊期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是AB 的中点，如果EO=2，求四边形ABCD的周长．【答案】解：∵四边形ABCD为菱形，∴BO=DO，即O为BD的中点，又∵E是AB的中点，∴EO是△ABD的中位线，∴AD=2EO=2×2=4，∴菱形ABCD的周长=4AD=4×4=16．类型二、菱形的判定3、（春•郑州校级月考）如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以lcm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿线射BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）当t为多少时，四边形ACFE是菱形．【思路点拨】（1）由题意得到AD=CD，再由AG与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS即可得证；（2）若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，由E的速度求出E运动的时间即可．【答案与解析】（1）证明：∵AG∥BC，∴∠EAD=∠DCF，∠AED=∠DFC，∵D为AC的中点，∴AD=CD，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（AAS）；（2）解：①若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，则此时的时间t=6÷1=6（s）．故答案为：6s．【总结升华】此题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质等知识，弄清题意是解本题的关键.举一反三：【变式】已知，在△ABC中，AB＝AC＝a，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC 的平行线交AC于P，交AB于Q.⑴求四边形AQMP的周长；⑵M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由.【答案】解：（1）∵MQ∥AP，MP∥AQ，∴四边形AQMP是平行四边形∴QM＝AP又∵AB＝AC，MP∥AQ，∴∠2＝∠C，△PMC是等腰三角形，PM＝PC∴QM＋PM＝AP＋PC＝AC＝a∴四边形AQMP的周长为2a（2）M位于BC的中点时，四边形AQMP为菱形.∵M位于BC的中点时,易证△QBM与△PCM全等,∴QM＝PM,∴四边形AQMP为菱形类型三、菱形的综合应用4、如图所示，菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，∠EAF的两边分别交BC、CD于E、F．(1)当点E、F分别在边BC、CD上时，求CE＋CF的值．(2)当点E、F分别在CB、DC的延长线时，CE、CF又存在怎样的关系，并证明你的结论．【思路点拨】(1)由菱形的性质可知AB＝BC，而∠ABC＝60°，即联想到△ABC为等边三角形，∠BAC＝60°，又∠EAF＝60°，所以∠BAE＝∠CAF，可证△BAE≌△CAF，得到BE＝CF，所以CE+CF＝BC．(2)思路基本与(1)相同但结果有些变化．【答案与解析】解：(1)连接AC．在菱形ABCD中，BC＝AB＝4，AB∥CD．∵∠ABC＝60°，∴ AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°．∴∠ACF＝60°，即∠ACF＝∠B．∵∠EAF＝60°，∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF．∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴ BE＝CF．∴ CE＋CF＝CE＋BE＝BC＝4．(2)CE－CF＝4．连接AC如图所示．∵∠BAC＝∠EAF＝60°，∴∠EAB＝∠FAC．∵∠ABC＝∠ACD＝60°，∴∠ABE＝∠ACF＝120°．∵ AB＝AC，∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴ BE＝CF．∴ CE－CF＝CE－BE＝BC＝4．【总结升华】(1)菱形的性质的主要应用是证明角相等、线段相等、两直线平行、两线段互相垂直、互相平分等．(2)注意菱形中的60°角的特殊性，它让菱形这个特殊的平行四边形变得更加特殊，常与等边三角形发生联系．【巩固练习】一.选择题1.下列命题中，正确的是( )A.两邻边相等的四边形是菱形B.一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形C.对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形D.对角线垂直的四边形是菱形2. 菱形的周长为高的8倍，则它的一组邻角是（）A.30°和150°B.45°和135°C.60°和120°D.80°和100°3．已知菱形的周长为40cm，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（）A．6cm，8cm B. 3cm，4cm C. 12cm，16cm D. 24cm，32cm4.（•青神县一模）如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD 于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是（）A.108°B.72°C.90°D.100°5. 如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH （不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为142cm ，四边形ABCD 面积是112cm ，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（ ）A.48cmB.36cmC.24cmD.18cm6. 如图，菱形ABCD 和菱形ECGF 的边长分别为2和3，∠A ＝120°，则图中阴影部分的面积是（ ）A.3B.2C.3D.2二.填空题7. （•江西三模）将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ．若AB=3，则BC 的长为 ．8．如图，已知菱形ABCD ，其顶点A 、B 在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC ＝_____.9．如图，菱形ABCD 的边长是2cm ，E 是AB 中点， 且DE ⊥AB ，则菱形ABCD 的面积为FA B CDHE G①②③④⑤cm.______210．已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是1∶2，则菱形的两条对角线的长和面积分别是．11. 如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝．12.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，点P在x轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（－5，0）和（5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标__________________.三.解答题13. （•建湖县一模）如图，△ABC中，∠ACB=60°，分别以△ABC的两边向形外作等边△BCE、等边△ACF，过A作AM∥FC交BC于点M，连接EM．求证：（1）四边形AMCF是菱形；（2）△ACB≌△MCE．14.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形.15．如图，菱形ABCD 的边长为2，BD ＝2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点（不与端点重合），且满足AE ＋CF ＝2．(1)求证：△BDE ≌△BCF ；(2)判断△BEF 的形状，并说明理由；(3)设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围． 【答案与解析】 一.选择题 1.【答案】B ； 2.【答案】A ；【解析】由题意可知边长是高的2倍，所以一个内角为30°，另一个内角为150°. 3.【答案】C ；【解析】设两条对角线的长为6,8k k .所以有()()2223410k k +=，∴2k =，所以两条对角线的长为12 ，16.4.【答案】B ；【解析】连接PA ，如图所示： ∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ADP=∠CDP=∠ADC=36°，BD 所在直线是菱形的对称轴， ∴PA=PC ，∵AD 的垂直平分线交对角线BD 于点P ， ∴PA=PD ， ∴PD=PC ，∴∠PCD=∠CDP=36°，∴∠CPB=∠PCD+∠CDP=72°； 故选：B ．5.【答案】A ；【解析】菱形的面积等于11＋142＝18，设菱形边长为a ,则218,62a a ==，①②③④四个平行四边形周长的总和为菱形周长的2倍.6.【答案】A ；【解析】菱形的高分别是3和332，阴影部分面积＝两个菱形面积－△ABD 面积－△DEF 面积－△BGF 面积＝93152333333244+---=. 二.填空题7.【答案】． ；【解析】∵AECF 为菱形，∴∠FCO=∠ECO ，由折叠的性质可知，∠ECO=∠BCE ，又∠FCO+∠ECO+∠BCE=90°， ∴∠FCO=∠ECO=∠BCE=30°，在Rt △EBC 中，EC=2EB ，又EC=AE ， AB=AE+EB=3，∴EB=1，EC=2，∴BC=.8.【答案】5；【解析】菱形四条边相等. 9.【答案】23【解析】由题意∠A ＝60°，DE 310.【答案】5；53253； 【解析】菱形一个内角为60°，边长为5，所以两条对角线长为5和53，面积为125553322⨯⨯=11.【答案】512；【解析】431255AO BO OH AB ⨯⨯===. 12.【答案】()258,0,,08⎛⎫⎪⎝⎭； 【解析】由在菱形ABCD 中，AC ＝12，BD ＝16，E 为AD 中点，根据菱形的性质与直角三角形的性质，易求得OE 的长，然后分别从①当OP ＝OE 时，②当OE ＝PE 时，③当OP ＝EP 时去分析求解即可求得答案．三.解答题 13.【解析】 证明：（1）∵△ACF 是等边三角形， ∴∠FAC=∠ACF=60°，AC=CF=AF ， ∵∠ACB=60°， ∴∠ACB=∠FAC ， ∴AF ∥BC ， ∵AM ∥FC ，∴四边形AMCF 是平行四边形， ∵AM ∥FC ，∠ACB=∠ACF=60°， ∴∠AMC=60°， 又∵∠ACB=60°，∴△AMC 是等边三角形， ∴AM=MC ，∴四边形AMCF 是菱形；（2）∵△BCE 是等边三角形， ∴BC=EC ，在△ABC 和△MEC 中 ∵，∴△ABC ≌△MEC （SAS ）．14.【解析】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC ，OB ＝OD ∵∠EDO ＝∠FBO, ∠OED ＝∠OFB ∴△OED ≌△OFB∴DE ＝BF 又∵ED ∥BF∴四边形BEDF 是平行四边形 ∵EF ⊥BD∴平行四边形BEDF 是菱形. 15．【解析】 解：（1）∵AE ＋CF ＝2＝CD ＝DF ＋CF ∴AE ＝DF ，DE ＝CF ， ∵AB ＝BD∴∠A ＝∠ADB ＝60° 在△BDE 与△BCF 中BD BC ADB C DE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△BCF（2）由（1）得BE ＝BF ，∠EBD ＝∠CBF∴∠EBF ＝∠EBD ＋∠DBF ＝∠DBF ＋∠CBF ＝∠CBD ＝60°∴△BEF 是等边三角形(3)∵3≤△BEF 的边长＜222S≤<S<11 / 11。
菱形的定义和性质
菱形的定义和性质
一、菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
二、菱形的性质：
1、对角线互相垂直且平分；
2、四条边都相等；
3、对角相等，邻角互补；
4、每条对角线平分一组对角；
5、菱形既是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线，也是中心对称图形；
6、在60度的菱形中，短对角线等于边长，长对角线是短对角线的根号3倍；
7、菱形具备平行四边形的一切性质。
三、菱形的判定：
1、一组邻边相等的平行四边形是菱形；
2、四边相等的四边形是菱形；
3、关于两条对角线都成轴对称的四边形是菱形；
4、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。
菱形的定义、性质
S菱形ABCD=S△ABD+S△BCD= 1 AC×BD
2
面积： 菱形 菱形=底 面积：S菱形 底×高=对角线乘积的一半 对角线乘积的一半
D O
A
C
B
如图，在菱形ABCD中 对角线AC、BD相交于点O 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O ABCD AC 相交于点 （1）图中有哪些线段是相等的？哪些角是相 图中有哪些线段是相等的？ 等的？ 等的？ （2）有哪些特殊的三角形？ 有哪些特殊的三角形？
∴∴ ∠∥∠ DCB DAC=∠ ∴ ∠DAB+∠ABC= 180° ∴ AB=BC=CD=DA ° ∴ AD = BC∠BAC ∠DAB=∠ ∠ ∴ OA=OC;OB=OD
=
菱形的两条对角线互相垂直平分， 菱形的两条对角线互相垂直平分， 并且每一条对角线平分一组对角。 并且每一条对角线平分一组对角。
菱形就在我们身边
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准 如何利用折纸、剪切的方法， 确地剪出一个菱形的纸片？ 确地剪出一个菱形的纸片？
有同学是这样做的： 有同学是这样做的：将一张长方形的纸对 再对折，然后沿图中的虚线剪下， 折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打 开即可.你知道其中的道理吗？ 开即可 你知道其中的道理吗？ 你知道其中的道理吗
【菱形的面积公式】 菱形的面积公式】
A 菱形是特殊的平行四边形 菱形是特殊的平行四边形, 特殊的平行四边形 那么能否利用平行四边形 面积公式计算菱形的面积吗? 面积公式计算菱形的面积吗 D
菱形
B
O E
C
S菱形=BC●AE
为 什 么 ?
思考:计算菱形的面积除了上式方法外 利 思考 计算菱形的面积除了上式方法外,利 计算菱形的面积除了上式方法外 计算菱形的面积公式吗? 用对角线能 计算菱形的面积公式吗
菱形及特殊菱形知识点(经典完整版)
菱形及特殊菱形知识点(经典完整版)菱形是一个常见的几何形状，在数学和几何学中经常被研究和应用。
本文将介绍菱形的基本特征以及一些特殊菱形的知识点。
菱形的定义菱形是一个四边形，拥有以下特征：- 四条边相等：菱形的四条边长度相等，因此它是一种等边四边形。
- 对角线相互垂直：菱形的两条对角线相互垂直，也即两条对角线的夹角为90度。
- 对角线相等：菱形的两条对角线长度相等。
菱形的性质除了上述的基本特征外，菱形还具有一些重要的性质：- 对角线平分角：菱形的两条对角线能够平分菱形的内角，即每条对角线都将内角划分为两个相等的角。
- 对角线长方程：如果菱形的对角线长度为d₁和d₂，则菱形的面积可以使用下面的公式计算：面积 = (d₁ * d₂) / 2。
- 边长长方程：如果菱形的边长为s，则菱形的面积也可以使用下面的公式计算：面积 = (s²) / 2。
特殊菱形除了普通的菱形外，还有一些特殊类型的菱形：正菱形正菱形是指所有角都为直角的菱形，也即是一个正方形。
它的特点包括：- 四条边相等且相互垂直。
- 四个内角都为90度。
黄金菱形黄金菱形是指边长比例为黄金比例（约为1.618）的菱形。
它的特点包括：- 边长比例：菱形的长边与短边的比例接近黄金比例。
- 黄金比例：长边与整个菱形的边长之比约为1.618。
- 出现频率：黄金菱形在自然界和艺术中经常出现，并被认为是美的象征。
结论菱形是一个常见且重要的几何形状，具有多种性质和特殊类型。
通过了解菱形的定义、基本特征和特殊菱形的知识点，我们可以更好地应用和理解菱形在数学和几何学中的应用价值。
参考文献：。
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19.2.2 菱形的定义及其性质
课题菱形的定义及其性质课型新
授课课时第1课时授课时长45分钟
授课题目(章，节) 第十九章第二节19.2.2圆的一般方程
教材及参考书目义务教育课程标准实验教材书数学八年级下册（人民教育出版社）
●教学目的与要求
1、知识目标：掌握菱形的定义和菱形的特殊性质，并熟练运用其进行有关的证明
和计算。
2、能力目标：通过学生实践、观察、猜想、探究得出菱形的定义和性质，培养学
生合情推理能力和演绎推理能力。
3、情感目标：经历“几何画板”探索数学规律，激发学生的好奇心和求知欲，同
时培养学生勇于探索的精神。
●教学重难点
➢菱形是特殊的平行四边形，因而她有着自己的定义和不同于平行四边形的性质，菱形的定义和性质即是平行四边形定义与性质的延续，又是以后学习正方形的基础。
因此本节课的重难点定为：
1、教学重点：菱形的概念与性质
2、教学难点：菱形性质和直角三角形的知识的综合应用.
➢而解决这一难点的关键在于关键在于把握平行四边形的概念，引伸到菱形定义，再研究菱形的性质。
●教学方法
➢由于八年级学生思维的不成熟，在解决实际问题中考虑不够深入。
并根据本节内容，采用师生合作探究和学生动手实践、观察、猜想、探究相结合的教学方法。
●教学辅助
多媒体教学演示折纸剪纸探究
●教学过程及时间分配
1、情景创设，引入新课（9分钟）
2、探索活动，讲授新课（14分钟）
3、例题讲解，指导应用（8分钟）
4、课堂练习，动手实践（8分钟）
5、归纳小结，反馈回授（3分钟）
6、知识延伸，分层作业（3分钟）
教学环节教学基本内容设计意图
一、情景创设，引入新课创设情境（1分钟）
在前面同学们学习了平行四边形与矩形的相关
知识，这节课我们将共同学习一种新的图形。
引入新课（8分钟）
用“几何画板”画出等腰△ABC，并作出关
于底边中点O对称的图形。
如图，在△ABC中，
AB=AC，O为BC边上的中点，△DBC为△ABC关于
点O的对称图形。
观察猜想：四边形ABCD为什么图形？并且具有
什么特点？
师生探究：通过“几何画板”演示、老师提问和
学生小组讨论的方式的方式，最后得出四边形ABCD
是中心对称图形，是平行四边形，并且有一组邻边相
等。
归纳总结：
四边形ABCD是中心对称图形，是平行四边形，
并且有一组邻边相等对称轴是两条对角线，又是中心
对称图形，对称中心是对角线交点。
启发导入：
为四边形ABCD是简单的平行四边形吗？带着这
个问题，我们今天来共同来探讨这种特殊的平行四边
形的性质。
⑴简单的情境创设，激
发兴趣，指明了课型的
性质。
⑴通过几何画板演示，
自然地从平行四边形
过渡到菱形，为引入菱
形的概念做铺垫。
⑵引导学生观察猜想，
探究四边形ABCD的
性质和特点，学生观察
思考过程中学会了动
眼、动口、动脑三维一
体，多种刺激，调动了
学生学习的积极性，培
养学生勇于探索，团结
协作的精神。
⑶归纳总结，得出菱形
这种特殊的平行四边
形具有对称性，为用对
称图形的性质得出菱
形性质做铺垫。
二、探索活动，讲授新课
讲授新课：（2分钟）
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
思考讨论：菱形是平行四边形，它具有平行四边形
的一切性质；菱形又是特殊的平行四边形，它还具有
哪些特殊性质？
探究活动：（8分钟）
请同学们拿出矩形纸片，对折两次，然后沿
一个角剪开打开，看一看得到了什么图形？
教师活动：教师使用投影仪，和同学们一起进行
实践操作，观察剪下来的图形是怎样的图形。
实际上，
学生很容易发现，剪下的一个图形是菱形。
探究思考：学生动手操作后发现，菱形是轴对称
图形，对称轴就是它对角线所在的直线。
从中利用轴
对称图形的性质可和：⑴AB=BC=CD=DA、BD⊥AC
⑵∠BAC=∠DAC、∠BCA=∠DCA、∠ABD=∠CBD
∠ADB=∠CDB。
结论用文字如何表述？（2分钟）（幻灯片展示）
性质：⑴菱形的四边相等。
⑵菱形的对角线互相垂直平分，并且平分一
组对角。
⑴启发引入，让学生理
解，既然菱形是特殊的
平行四边形，那么它就
应该具有平行四边形
的一切性质。
⑵通过动手实验，引导
学生通过合情推理去
探究，发现结论。
⑴在合情推理的基础
上，引导学生说理（分
别从菱形的定义与中
心对称性两个方面），
最后得出菱形的性质。
⑵要求学生用数学语
言和文字语言表述性
质内容，发展有条理的
表达能力。
问题一：菱形的性质的题设和结论分别是什么？
题设：四边形ABCD是菱形。
结论：对角线互相垂直平分，并且平分一组对角。
问题二：菱形的性质是我们通过对称图形的性质得到的，那还有没有其他的数学方法呢？
利用等腰三角形和全等三角形证明（2分钟）⑴强调菱形定义和性质的本质，让学生理解记忆菱形的几何特征。
⑵引导学生从不同的角度思考，培养学生思维的多样性。
三、例题讲解、指导应用例题讲解：（8分钟）
例1、四边形ABCD是菱形，点O是两条对角线的
交点，AB=5cm，AO=4cm，求两条对角线AC和BD
的长度。
解：应用菱形的性质⑵和勾股定理（见幻灯片）
例2、如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，
∠ABC=60，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC
和BD，求两条小路的长（结果保留小数点后2位）
和花坛的面积（结果保留小数点后1位）
解：∵花坛ABCD为菱形
∴AC⊥BD,∠ABO=
1
2
∠ABC=
1
2
×60°=30°
在Rt△OAB中，AO=
1
2
AB=
1
2
×20=10(m)
BO=22
AB AO
-=2
2
2010
-=300(m)
⑴通过例题讲解，指导
应用，加深对所学知识
的理解应用，使学生掌
握基础知识。
⑵熟悉、应用菱形的有
关性质；由于菱形的对
角线互相垂直平分，菱
形的二条对角线就将
菱形分成了四个全等
的直角三角形，结合图
形思考求出菱形的面
积，培养学生数型结合
的思想。
⑴教学中应注意引导
学生探索解题途径，培
养学生有条理地思考
∴花坛的两条小路长
AC=2AO=20m BD=2BO ≈34.64m
花坛的面积
S=4×ABC S =1
2
A C ﹒BD ≈346.42m
导析应用：⑴菱形的辅助线的做法通常是做对角线。
⑵利用菱形的性质。
和表达并规范书写。
⑵突破辅助线难关，让学生熟悉解题的一般方法。
四、课堂练习，动手实践
课堂练习：（8分钟）（幻灯片展示）
1．菱形的两条对角线长分别为16cm ，12cm ，那么这个菱形的高是_______．
2. 已知菱形两邻角的比是1：2，周长是40cm ，则较短对角线长是________
3．如图，在菱形ABCD 中，E 、F 为BC 、BD 重点，求证：AE=AF 。
(用两种做法)
思路： 证法1：利用菱形性质
再运用△ABE ≌△ADF 证法2：连线AC ，证△AEC
≌△AFC （SAS ）
⑴同步练习，检测学生
的掌握情况，及时回授，强化知识点的应
用。
五
、归纳小结，反馈回授
归纳小结：（3分钟）（幻灯片展示）
1、菱形的定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2、菱形的性质： ⑴菱形的四边相等。
⑵菱形的对角线互相垂直平分，并且平分一组对角。
⑶菱形的面积等于两对角线乘积的一半。
⑴有利于学生理清本节课的知识点，深化对菱形定义和性质的理解。
⑵启发引导学生进行归纳整理，培养学生宏观掌握知识的能力。
知识延伸：（2分钟）（幻灯片展示）
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角，利用其其性质可以很快求出菱形的面积
六
、知识延伸，分层作业菱形的对角线将菱形切成4•个全等的直角三角形，
即菱形的面积S=4×Rt△BOA=
1
2
BD·AC，•即菱形面
积也可以等于对角线乘积的一半．
思考：应用以上性质求巩固练习的第2题
分层作业：（1分钟）
必做题：课本98页2、
选做题：课本120页5、2、
⑴知识延伸，有利于学
生更高思维能力的发
展。
⑵必做题与选做题相
结合，面向全体学生，
激发学生兴趣。
1．菱形的定义:
有一组邻边相等的平行四
边形叫做菱形
2．菱形的性质：
⑴菱形的四边相等。
⑵菱形的对角线互相垂直
平分，并且平分一组对角。
19.2.2菱形的性质及其定义
（例题讲解）
例1.
例2．
（巩固练习）
1.
2.
3.
（分层作业）。