《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学北师大版必修二【第二章 解析几何初步 章末检测(二)

章末检测
一、填空题
1． 若直线过点(1,2)，(4,2＋3)，则此直线的倾斜角是________．
2． 如果直线ax ＋2y ＋2＝0与直线3x －y －2＝0平行，则系数a 为________．
3． 如果A (1,3)关于直线l 的对称点为B (－5,1)，则直线l 的方程是______________．
4． 空间直角坐标系中，点A (－3,4,0)和B (x ，－1,6)的距离为86，则x 的值为________．
5． 若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是________．
6． 点(3,9)关于直线x ＋3y －10＝0的对称点为__________．
7． 设A 、B 是直线3x ＋4y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＋4y ＝0的两个交点，则线段AB 的垂直平分
线的方程是________．
8． 圆x 2＋y 2－4x ＝0过点P (1，3)的切线方程为________．
9． 对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是________．
10．过点A ⎝⎛⎭
⎫0，73与B (7,0)的直线l 1与过点(2,1)，(3，k ＋1)的直线l 2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k 等于________．
11．甲船在某港口的东50 km ，北30 km 处，乙船在同一港口的东14 km ，南18 km 处，那
么甲、乙两船的距离是________ km.
12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少
存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．
13．若直线mx ＋2ny －4＝0(m 、n ∈R ，n ≠m )始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0的周长，则
mn 的取值范围是________．
14．过点P (－2,4)作圆O ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线m ：ax －3y ＝0与直线l 平行，
则直线l 与m 的距离为______．
二、解答题
15．三角形ABC 的边AC ，AB 的高所在直线方程分别为2x －3y ＋1＝0，x ＋y ＝0，顶点A (1,2)，
求BC 边所在的直线方程．
16．自点A (－3,3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在的直线与圆x 2＋
y 2－4x －4y ＋7＝0相切，求光线l 所在直线的方程．
17．已知圆x 2＋y 2－6mx －2(m －1)y ＋10m 2－2m －24＝0(m ∈R )．
(1)求证：不论m 为何值，圆心在同一直线l 上；
(2)与l 平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；
(3)求证：任何一条平行于l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等．
18．已知关于x，y的方程C：x2＋y2－2x－4y＋m＝0.
(1)当m为何值时，方程C表示圆；
(2)若圆C与直线l：x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且MN＝4
5
，求m的值．
19．如图，已知圆O：x2＋y2＝1和定点A(2,1)，由圆O外一点P(a，b) 向圆O引切线PQ，切点为Q，且有PQ＝P A.
(1)求a、b间关系；
(2)求PQ的最小值；
(3)以P为圆心作圆，使它与圆O有公共点，试在其中求出半径最小
的圆的方程．
答案
1．30°
2．－6
3．3x ＋y ＋4＝0
4．2或－8
5．[－3,1]
6．(－1，－3)
7．4x －3y －6＝0
8．x －3y ＋2＝0
9．相交(但直线不过圆心)
10．3
11．60
12.43
13．(－∞，1)
14．4
15．解 AC 边上的高线2x －3y ＋1＝0，
所以k AC ＝－32.
所以AC 的方程为y －2＝－32(x －1)，即3x ＋2y －7＝0，
同理可求直线AB 的方程为x －y ＋1＝0.
下面求直线BC 的方程，
由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y －7＝0，x ＋y ＝0，得顶点C (7，－7)，
由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝0，2x －3y ＋1＝0，得顶点B (－2，－1)．
所以k BC ＝－23，
直线BC ：y ＋1＝－23(x ＋2)，即2x ＋3y ＋7＝0.
16．解 如图所示，已知圆C ：x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0关于x 轴对称的
圆为C 1：(x －2)2＋(y ＋2)2＝1，其圆心C 1的坐标为(2，－2)，半径
为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C 1相切．设
l 的方程为y －3＝k (x ＋3)，
即kx －y ＋3＋3k ＝0.
则|5k ＋5|
1＋k 2＝1，即12k 2＋25k ＋12＝0.
∴k 1＝－43，k 2＝－34
. 则l 的方程为4x ＋3y ＋3＝0或3x ＋4y －3＝0.
17．(1)证明 配方得：(x －3m )2＋[y －(m －1)]2＝25，
设圆心为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3m y ＝m －1，消去m 得 x －3y －3＝0，则圆心恒在直线l ：x －3y －3＝0上．
(2)解 设与l 平行的直线是l 1：x －3y ＋b ＝0，
则圆心到直线l 1的距离为
d ＝|3m －3(m －1)＋b |10＝|3＋b |10. ∵圆的半径为r ＝5，
∴当d <r ，即－510－3<b <510－3时，直线与圆相交；
当d ＝r ，即b ＝±510－3时，直线与圆相切；
当d >r ，即b <－510－3或b >510－3时，直线与圆相离．
(3)证明 对于任一条平行于l 且与圆相交的直线l 1：x －3y ＋b ＝0，由于圆心到直线l 1的距离d ＝|3＋b |10
， 弦长＝2r 2－d 2且r 和d 均为常量．
∴任何一条平行于l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等．
18．解 (1)方程C 可化为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，
显然当5－m >0，即m <5时，方程C 表示圆．
(2)圆的方程化为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，
圆心C (1,2)，半径r ＝5－m ，
则圆心C (1,2)到直线l ：x ＋2y －4＝0的距离 d ＝|1＋2×2－4|12＋22
＝15. ∵MN ＝45，∴12MN ＝25
. 根据圆的性质有r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫12MN 2，
∴5－m ＝⎝⎛⎭⎫152＋⎝⎛⎭
⎫252，得m ＝4.
19．解 (1)连结OQ 、OP ，则△OQP 为直角三角形，
又PQ ＝P A ，
所以OP 2＝OQ 2＋PQ 2＝1＋P A 2，
所以a 2＋b 2＝1＋(a －2)2＋(b －1)2，故2a ＋b －3＝0.
(2)方法一 由(1)知，P 在直线l ：2x ＋y －3＝0上，
所以(PQ )min ＝(P A )min ，(P A )min 为A 到直线l 的距离，
所以(PQ )min ＝|2×2＋1－3|22＋12
＝255. 方法二 由PQ 2＝OP 2－1＝a 2＋b 2－1＝a 2＋9－12a ＋4a 2－1＝5a 2－12a ＋8＝5(a －1.2)2＋0.8，得(PQ )min ＝255
. (3)以P 为圆心的圆与圆O 有公共点，半径最小时为与圆O 相切的情形，而这些半径的最小值为圆O 到直线l 的距离减去圆O 的半径，圆心P 为过原点且与l 垂直的直线l ′与l 的交点P 0，所以r ＝322＋12
－1＝355－1， 又l ′：x －2y ＝0，联立l ：2x ＋y －3＝0得P 0(65，35
)． 所以所求圆的方程为(x －65)2＋(y －35)2＝(355
－1)2.。