函数平移
函数图像平移
函数图像平移函数图像平移是数学中一种重要的概念，可以帮助我们理解和描述函数图像之间存在的联系。
在概念上，这种概念指的是将函数曲线的横坐标或纵坐标方向上进行向量平移，而函数图像的曲线形状不变。
在数学中，函数图像的平移是可以进行精确定义和计算的，可以使用函数图像平移定义、计算和推导函数曲线之间的联系。
函数图像平移的定义是：将函数图像沿横轴或纵轴向左右移动一个相应的偏移量，使得曲线的形状保持不变，但曲线的位置发生变化，函数图像的位置或曲线形状将产生相应的改变。
具体地，函数图像的平移可以用x和y的偏移量表示：若平移了dx，则函数关系变为y=f(x-dx)，若只平移了dy，则函数关系变为y=f(x)+dy，若既平移dx又平移dy，函数关系变为y=f(x-dx)+dy。
在函数图像中，偏移量dx和dy可以是正值或负值，正值表示向右平移或向上平移，负值表示向左平移或向下平移。
所以，任何平移的正负值都可以表示函数图像的平移。
例如，在函数图像中，偏移量dx=5，表示图像向右平移5个单位，偏移量dy=4，表示图像向上移动4个单位。
平移是在函数图像中广泛使用的一种概念。
函数图像的平移可以在确定函数曲线与特定函数关系之间存在的联系时发挥作用，例如在计算函数中，可以运用函数图像的平移概念来推导函数的表达式。
函数图像的平移还可以用于分析函数的不同性质，例如函数的局部极大值和极小值等。
在数学中，局部极大值和极小值是指函数曲线在特定点上的曲线斜率为0的点。
为了检测函数的局部极大值和极小值，通常需要用到函数图像的平移概念，因为平移曲线能够改变函数曲线的斜率，从而有助于我们确定函数图像中存在的极值点。
此外，函数图像的平移还可以用于求解函数的对称性。
通常来说，函数的对称性是指对一个特定的原点或轴，函数图像关于该点或轴对称。
通过改变函数图像的位置，可以确定函数图像的对称性，同时可以推导出该函数的表达式。
总的来说，函数图像的平移是一种重要的数学概念，它能够帮助我们理解和描述函数图像之间存在的联系，并有助于推导和求解函数的表达式以及分析函数的不同属性，因此受到了广泛的应用。
函数的对称与平移变换
函数的对称与平移变换在数学中，函数的对称和平移变换是一种常见的数学概念。
通过对函数进行对称和平移操作，我们可以改变其形状、位置和性质，从而更好地理解和分析函数的特点。
本文将介绍函数的对称和平移变换的基本概念、性质及其在数学中的应用。
一、对称变换对称变换是指将函数绕某个轴线进行镜像翻转，使得函数在轴线两侧呈现完全对称的形状。
常见的对称轴包括x轴、y轴和原点。
1. 沿x轴对称：当函数关于x轴对称时，称之为沿x轴对称函数。
这意味着当函数中的任意一点(x, y)在曲线上时，点(x, -y)也在曲线上。
沿x轴对称的函数形状上下对称。
2. 沿y轴对称：当函数关于y轴对称时，称之为沿y轴对称函数。
这意味着当函数中的任意一点(x, y)在曲线上时，点(-x, y)也在曲线上。
沿y轴对称的函数形状左右对称。
3. 原点对称：当函数关于原点对称时，称之为原点对称函数。
这意味着当函数中的任意一点(x, y)在曲线上时，点(-x, -y)也在曲线上。
原点对称的函数形状在四个象限上对称。
对称变换不仅能够反映函数的对称性，还能够帮助我们简化函数的分析。
通过观察函数的对称轴和对称点，我们可以得到关于函数的重要信息，如函数的奇偶性、极值点和图像的对称性。
二、平移变换平移变换是指将函数沿着坐标轴的方向上平移一定的距离，从而改变函数的位置和形状。
平移变换可以是水平方向的平移（横向平移）或垂直方向的平移（纵向平移）。
1. 横向平移：当我们将函数沿着x轴的方向上移动a个单位，函数的数学表达式变为f(x-a)。
这个平移过程会改变函数图像在水平方向上的位置。
如果a为正数，函数图像会向右移动；如果a为负数，函数图像会向左移动。
2. 纵向平移：当我们将函数沿着y轴的方向上移动b个单位，函数的数学表达式变为f(x)+b。
这个平移过程会改变函数图像在垂直方向上的位置。
如果b为正数，函数图像会向上移动；如果b为负数，函数图像会向下移动。
平移变换不改变函数的形状，只是改变了函数图像在平面坐标系上的位置。
函数图像平移公式
函数图像平移公式设在直角坐标系xoy 中有一函数为)(x f y =则其图像平移公式有：1. 把图像向右平移（X 轴正方向）m （m>0）个单位，再向上平移（Y 轴的正方向）n （n>0）个单位后所得的图像的解析式为)(m x f n y -=-2. 把图像向右平移m （m>0）个单位，再向下平移n （n>0）个单位后所得的图像的解析式为)(m x f n y -=+3. 把图像向左平移m （m>0n y -4. 把图像向左平移m （m>0n y +这些规律可总结为：左右平移“X 说明：)(x f 中的x,是用n y +还是用n y -来替换3+x 、4+y 去替换3)3(4)3(242-+-+-=x x371622--x x3个单位所得到抛物线的解析式为322+-=x x y解：所求抛物线可以看成是将抛物线322+-=x x y 向右平移2个单位，再向下平移3个单位所得。
所以所求抛物线的解析式为3)2(2)2(32+---=+x x y即862+-=x x y例三、求将直线15-=x y 向左平移3个单位，再向上平移5个单位所得到直线的解析式解：所求直线的解析为1)3(55-+=-x y 即145+=x y例四、已知两条抛物线C 1 ：522+-=x x y ，C 2：742+-=x x y 问抛物线C 1经过怎样的平移后与C 2：抛物线重合。
解：设用n y m x ++.,分别替换C 1 中的y x ,得到抛物线C 2。
于是C 2的解析式又可表示为5)(2)(2++-+=+m x m x n y 即52)1(222+--+-+=n m m x m x y 比较系数得4)1(2-=-m 、7522=+--n m m 解方程组可得1,1=-=n m由此可知用1,1+-y x 分别替换C 1 中的y x ,得到抛物线C 2，所以抛物线C 1先向右平移1个单位，再向下平移1例五、已知把直线23+-=x y 平移后经过点A 解：用m x +替换直线23+-=x y 中的x 又平4(32+--=所以平移后所得到的直线解析式是-=y 4个单位。
函数图像的平移与伸缩
横向伸缩：改变x轴上的距离， 函数值不变
横向和纵向同时伸缩：改变x 和y轴上的距离，函数值不变
伸缩对函数值的影响：伸缩 不会改变函数的值，但会影
响图像的形状和大小
平移与伸缩的规律总结
平移与伸缩的规律
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平移规律：函数图像在x轴方向上平移时，函数解析式中的x值不变， y值会相应地加减平移的单位；在y轴方向上平移时，x值不变，y值 加减平移的单位。
平移后的函数 图像与原图像 在y轴方向上错 开一定距离， 距离等于平移
的单位。
函数图像向下 平移不改变函 数的值域，即 平移后的函数 值仍为原函数
值的范围。
在实际应用中， 向下平移函数 图像可以用于 描述某些物理 现象或数学问 题的变化规律。
函数图像的伸缩
横向伸缩
定义：将函数图像 在水平方向上拉伸 或压缩，保持纵坐 标不变。
平移与伸缩的实例分析
一次函数的平移与伸缩
函数图像平移：y=x+1向右平移2 个单位，得到y=x-1；向左平移2 个单位，得到y=x+3。
函数值的变化：平移不改变函数值， 伸缩改变函数值。
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函数图像伸缩：y=2x缩短为原来的 一半，得到y=x；伸长为原来的2倍， 得到y=4x。
函数图像的平移与伸缩
汇报人：XX
函数图像的平移 函数图像的伸缩 平移与伸缩的规律总结 平移与伸缩的实例分析
函数图像的平移
向左平移
定义：将函数图像沿x轴方向向左移动一定距离 变化规律：左加右减，即y=f(x+h)表示图像向左平移h个单位 数学表达式：y=f(x-h)或y=f(x)+h，表示图像向右平移h个单位 实例分析：以一次函数y=2x为例，向左平移2个单位后得到新函数y=2(x+2)=2x+4
函数平移规律
函数平移规律函数平移是数学的一个基本内容，也是高考中常见的题型。
它将具有相同增量（差）的两个函数（或几个函数）用一个公共的变量（ 0，1）来表示，并求出这些函数在某点的函数值。
其中，具有相同增量的函数称为同名函数。
它们之间的关系有三种：一种是同名函数之间的“同名比较”，即用相减的方法比较它们的大小；第二种是不同名函数之间的“同名比较”，即用相加的方法比较它们的大小；第三种是同名函数与异名函数之间的“同名比较”，即用相除的方法比较它们的大小。
通过类似的练习，我发现函数平移后的增量与原来函数增量的大小、增量与基准面的距离和增量与原来增量的方向有关，函数平移前后，如果增量是单调递增，则平移后的增量是单调递减的。
下面，我就“复合函数”这节课的知识，进行简要的总结。
首先讲了复合函数的概念、定义域及表示法。
其次重点讲了二次函数、指数函数、对数函数的图像与性质，以及它们的最值问题。
第三章中主要讲了函数的零点和最值问题。
然后我又做了一些综合性很强的练习题。
总之，从函数平移这部分知识的教学中，我觉得以下几点体会比较深刻：第一，函数平移中要理解运算顺序；第二，函数平移中要掌握变量取值范围；第三，函数平移中应该熟记增量与基准面的距离；第四，在函数平移中必须要认真审题，确定自变量的取值范围，明确研究对象；第五，注意函数平移与图形转化的区别。
学完“复合函数”这部分，我们可以推想这样的情况：已知f(x)=g(x)+k(x)，其中f、 g、 k都是实数。
在自变量由低向高逐渐增大时，求k的值。
如何才能利用复合函数求出k呢？我想可以设g （ x）为最高点，由定义求出函数增量最大处的值。
这样求出的值叫做函数f（ x）的最大值。
在上述问题中，我感受到，“复合函数”这部分内容不仅与我们平时的数学学习息息相关，而且更是对高考题的一种预测，我们应该重视这部分内容的学习，提高对“复合函数”这部分内容的解题能力。
以后我们还应多做此类练习题，并应多体会题目中蕴含的知识点。
函数图像平移公式
函数图像平移公式设在直角坐标系xoy 中有一函数为)(x f y =则其图像平移公式有：1. 把图像向右平移（X 轴正方向）m （m>0）个单位，再向上平移（Y 轴的正方向）n （n>0）个单位后所得的图像的解析式为)(m x f n y -=-2. 把图像向右平移m （m>0）个单位，再向下平移n （n>0）个单位后所得的图像的解析式为)(m x f n y -=+3. 把图像向左平移m （m>0）个单位，再向上平移n （n>0）个单位后所得的图像的解析式为)(m x f n y +=-4. 把图像向左平移m （m>0）个单位，再向下平移n （n>0）个单位后所得的图像的解析式为)(m x f n y +=+这些规律可总结为：左右平移“X 左加右减”上下平移“下加上减”说明：利用这个规律写平移后函数图像的解析式只需要考查是用m x +还是用m x -替换)(x f y =中的x,是用n y +还是用n y -来替换)(x f y =中的y,使用起来很方便。
例一、 抛物线3422---=x x y 向左平移3个单位，再向下平移4个单位，求所得抛物线的解析式。
解：根据左右平移“X 左加右减”上下平移“下加上减”的规律分别用3+x 、4+y 去替换抛物线3422---=x x y 中的x 、y 就可以得到平移后的抛物线的解析式，所以平移后的抛物线的解析式为3)3(4)3(242-+-+-=+x x y 即371622---=x x y 例二、 将一抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位所得到抛物线的解析式为322+-=x x y 求此抛物线的解析式。
解：所求抛物线可以看成是将抛物线322+-=x x y 向右平移2个单位，再向下平移3个单位所得。
所以所求抛物线的解析式为3)2(2)2(32+---=+x x y 即862+-=x x y 例三、 求将直线15-=x y 向左平移3个单位，再向上平移5个单位所得到直线的解析式解：所求直线的解析为1)3(55-+=-x y 即145+=x y例四、 已知两条抛物线C 1 ：522+-=x x y ，C 2：742+-=x x y 问抛物线C 1经过怎样的平移后与C 2：抛物线重合。
函数左右平移
函数左右平移函数左右平移是数学中的基本操作之一，它可以帮助我们更加灵活地控制函数的图像，从而更好地理解函数的性质。
下面，我将分步骤地介绍函数左右平移的操作方法。
步骤一：了解平移的概念在数学中，平移是指改变函数图像的位置，使其在坐标平面上沿水平或竖直方向移动。
左右平移就是在函数图像上沿着水平方向移动。
通过左右平移操作，可以将函数图像向左或向右平移若干单位长度，从而改变函数的位置和形状。
步骤二：掌握平移的公式函数左右平移的公式是：y=f(x-a)，其中a表示平移量，正数表示向右平移，负数表示向左平移。
例如，如果要将函数f(x)=x^2+1向右平移2个单位长度，那么平移后的函数为f(x-2)=(x-2)^2+1。
步骤三：理解平移的效果通过左右平移的操作，可以对函数的图像产生以下效果：1.改变函数的位置：左右平移可以改变函数的位置，使函数的图像向左或向右平移一定距离。
2.改变函数的斜率：左右平移时，函数的斜率不变，但是导数会发生变化，导致函数的图像变形。
3.改变函数的性质：左右平移不改变函数的基本特征，例如函数的奇偶性、单调性和周期性等，但是会改变函数的具体表现形式和曲线形状。
步骤四：练习平移的应用通过练习平移的应用，可以更好地掌握左右平移的操作方法和效果。
下面是一个具体的例子：假设有函数f(x)=2x-3，将其向右平移3个单位长度，写出平移后的函数。
解：通过函数左右平移的公式y=f(x-a)，可以得到平移后的函数为f(x-3)=2(x-3)-3=2x-9。
结论函数左右平移是数学中非常基础和重要的操作，可以帮助我们更好地理解函数的性质和图像。
通过掌握平移的概念、公式和效果，可以更好地运用数学知识来解决实际问题。
函数平移法则的解释和应用
函数平移法则的解释和应用函数平移法则是数学中的一个重要概念，它在数学建模、函数图像的研究以及实际问题的解决中具有广泛的应用。
本文将深入探讨函数平移法则的解释和应用，并分享一些个人的观点和理解。
一、函数平移法则的解释函数平移法则是一种对函数图像进行位置移动和变换的方法。
通过平移，我们可以改变函数图像在坐标系中的位置，从而得到新的函数图像。
具体来说，对于一般函数y=f(x)，如果我们要对其进行水平平移，可以将自变量x替换为x-h，其中h表示水平平移的距离。
同样地，如果我们要对函数进行垂直平移，可以将因变量y替换为y-k，其中k表示垂直平移的距离。
函数水平平移和垂直平移的数学表达式如下：对于函数y=f(x)，经过水平平移得到新的函数y=f(x-h)。
对于函数y=f(x)，经过垂直平移得到新的函数y=f(x)-k。
通过函数平移法则，我们可以在不改变函数的形状和性质的前提下，调整函数图像在坐标系中的位置，从而更好地理解和研究函数的特性。
二、函数平移法则的应用函数平移法则在数学建模中具有重要的应用价值。
下面我将分别针对数学建模、函数图像的研究和实际问题的解决，介绍函数平移法则的具体应用。
1. 数学建模在数学建模中，函数平移法则常常用于调整模型中的函数图像，以便更好地拟合实际数据或解决实际问题。
在经济学中，我们经常使用曲线函数来研究需求曲线和供给曲线，通过平移函数图像，可以提供有关价格、数量、收益等方面的重要信息。
2. 函数图像的研究函数平移法则在研究函数图像时起到了关键作用。
通过平移函数图像，我们可以观察到函数在平移过程中的变化规律，进一步探索函数的性质和特点。
在研究三角函数时，我们可以通过平移正弦函数和余弦函数的图像来观察周期、振幅和相位的变化。
这对于理解三角函数的周期性和波动性具有重要意义。
3. 实际问题的解决函数平移法则在解决实际问题中也有广泛的应用。
通过平移函数图像，我们可以根据实际情况对函数进行调整和优化，从而更好地解决实际问题。
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函数平移口诀：左加，右减，上加，下减；注意函数的平移，一定要在符号x、b的“内部”进行。
关于函数平移的知识点
二次函数图象的平移口诀:“上加下减，左加右减”
（1）将y=ax2的图象向上(c>0)或向下(c<0)平移｜c｜个单位，即可得到y=ax2＋c的图象．其顶点是(0，c).形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax2相同．
（2）将y=ax2的图象向左(h<0)或向右(h>0)平移|h|个单位，即可得到y=a(x-h)2的图象．其顶点是(h,0)，对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax2相同．
顶点式y=a(x－h)2+k的平移
h管左右，k管上下；在符号内进行调整。
原式中h是负号；h管左右，k管上下
左加
（h+m）
y=a(x－h+m)2+k
右减
(h-n)
y=a(x－h-m)2+k
上加
(k+m)
y=a(x－h)2+(k+m)
下减
(k-m)
y=a(x－h)2+(k-m)
一次函数的平移口诀
反比例函数的平移
二次函数的平移口诀
一次函数原式y=kx+b的平移
图像平移。平移口诀：左加右减，上加下减。
不需要对一般式变形，只是在y=kx＋b的基础上，在括号内对“x”和“b”直接进行调整。
对b符号的增减，平移b-m。
对括号内x符号的增减，决定直线图像在x轴上的左右平移。向左平移k(x+n)，向右平移k(x-n)。
x管左右,b管上下；符号内进行
向左
(x+m)
y= K(x+m)+b
向右
(x-m)
y= K(x-m)+b
向上
（b+m）
y=kx+(b+m)
向下
（b-m）
y=kx+(b-m)
初中阶段，不学习反比例函数
的平移。
以下供参考：
对于双曲线y＝k/x，若在分母x上加、减任意一个实数y= k/x±m，就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。加一个数时向左平移，减一个数时向右平移。