[原创]2012年《高考风向标》高考理数一轮复习 第十一章 第1讲 直线的方程 [配套课件]

1 1 ＝ × 4＋(－4k)＋ － 2 k
1 ≥ (4＋4)＝4. 2
1 1 当且仅当－4k＝－ ，即 k＝－ 时取最小值，此时直线 l 的 2 k 1 方程为 y－1＝－ (x－2)，即 x＋2y－4＝0. 2 (2)|PA|· |PB|＝ ＝
12 ＋1· 4＋4k2 k
2 3 的取值范围是 －3，4
所以直线 l 的斜率 k
考点 2
求直线方程
例 2：求适合下列条件的直线方程： (1)经过点 P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等； (2)经过点 A(－1，－3)，倾斜角等于直线 y＝3x 的倾斜角的 2 倍．
解析：(1)方法一：设直线 l 在 x、y 轴上的截距均为 a， 若 a＝0，即 l 过点(0,0)和(3,2)， 2 ∴l 的方程为 y＝ x，即 2x－3y＝0. 3
＋NP＝DM＋MN＋NC≥CD＝2 10.故选 A. 本例是运用数形结合解题的典范，关键是灵活利 用平面几何知识与对称的性质实现转化．一般地，在已知直线 上求一点到两个定点的距离之和的最小值，需利用对称将两条 折线由同侧化为异侧，在已知直线上求一点到两个定点的距离 之差的最大值，需利用对称，将两条折线由异侧化为同侧，从 而实现转化．
【互动探究】
2．直线被两直线 l1：4x＋y＋6＝0，l2：3x－5y－6＝0 截得
的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程． 解：设所求直线与 l1、l2 的交点分别是 A、B，设 A(x0，y0)，
则 B 点坐标为(－x0，－y0)．
因为 A、B 分别在 l1、l2 上，
4x0＋y0＋6＝0 所以 －3x 0＋5y0－6＝0
2．直线方程考查的重点是直线方程的特征值(主要是直线
的斜率、截距)，可与三角知识联系；圆的方程，从轨迹角度讲，
可以成为解答题，尤其是参数问题，要求学生通过参数方程确 定圆的方程． 预测 2012 年对本章的考查是：1 道选择或填空，解答题多 与其他知识联合考查．本章对于数形结合思想的考查会是一个 出题方向．热点问题是直线的倾斜角和斜率、直线的几种方程 形式和求圆的方程，甚至出现圆与椭圆、圆与抛物线结合在一 起的综合题．
2．直线方程的五种形式
(1)点斜式方程是
y－y0＝k(x－x0)
，不能表示的直线为
垂直于 x 轴的直线 ；
(2)斜截式方程为 y＝kx＋b ，不能表示的直线为垂直于 x 轴 的直线 ； y－y1 x－x1 ＝ (3)两点式方程为 y2－y1 x2－x1 ，不能表示的直线 垂直于
坐标轴的直线；
x y ＋ ＝1 ，不能表示的直线为 垂直于坐标轴 (4)截距式方程为 a b 的直线和过原点的直线． (5)一般式方程为 ax＋by＋c＝0 .
1．下列说法的正确的是( D ) A．经过定点 P0(x0，y0)的直线都可以用方程 y－y0＝k(x－x0)表示
B．经过定点 A(0，b)的直线都可以用方程 y＝kx＋b 表示
x y C．不经过原点的直线都可以用方程 ＋ ＝1 表示 a b
D．经过任意两个不同的点 P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线都 可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示 解析：斜率有可能不存在，截距也有可能为 0.
1－(－2) 3 ＝. 直线 PN 的斜率 kPN＝ 1－(－3) 4 显然斜率为 0(与 x 轴平行的直线)不合题意，而倾斜角为直 角(即与 x 轴垂直的直线)合题意， 所以直线 l 的斜率 k
3 的取值范围是 (－∞，－4]∪4，＋∞
在求出两端(边界)直线的斜率后，可以利用特殊 值法；同时这类问题还可以利用线性规划的方法来解决． 【互动探究】
例 6：如图 11－1－3，过点 P(2,1)的直线 l 交 x 轴、y 轴正
半轴于 A、B 两点，求使：
(1)△AOB 面积最小时 l 的方程； (2)|PA |· |PB|最小时 l 的方程．
x y 解析：方法一：设直线的方程为 ＋ ＝1(a＞2，b＞1)． a b 2 1 由已知可得 ＋ ＝1. a b
|PA|· |PB|取最小值 4. 此时直线 l 的方程为 x＋y－3＝0. 方法二：设直线 l 的方程为 y－1＝k(x－2) (k＜0)． 则 l 与 x 轴、y
1 轴正半轴分别交于 A 2－ ，0，B(0,1－2k)． k
1 1 2－ (1－2k) (1)S△AOB＝ 2 k
① ②
①＋②得：x0＋6y0＝0，即点 A 在直线 x＋6y＝0 上，又直 线 x＋6y＝0 过原点，所以直线 l 的方程为 x＋6y＝0.
考点 3
点到直线的距离
例 3：经过点(2,1)的直线 l 到 A(1,1)、B(3,5)两点的距离相等， 求直线 l 的方程． 解析：当直线与 AB 平行时，k＝kAB＝2，
2．设直线 ax＋by＋c＝0 的倾斜角为α，且 sinα＋cosα＝0， 则 a、b 满足( D ) A．a＋b＝1 B．a－b＝1 C．a＋b＝0 D．a－b＝0
3．经过 A(－2,0)，B(－5,3)两点的直线的斜率是－1 . 4．过点 P(－1,2)且方向向量为 a＝(－1,2)的直线方程为 2x＋y＝0 . . 5．曲线 y＝x3－2x＋4 在点(1,3)处的切线的倾斜角为 45°
∴直线的方程 y－1＝2(x－2)，即 2x－y－3＝0.
当直线过 AB 的中点时，AB 的中点为(2,3)，
∴直线的方程为 x＝2.
故所求直线的方程为 2x－y－3＝0 或 x＝2.
考点 4
对称问题
例 4：如图 11－1－2，已知 A(4,0)、B(0,4)，从点 P(2,0)射 出的光线经直线 AB 反向后再射到直线 OB 上，最后经直线 OB
2 ∴直线 l 的方程为：y－2＝－(x－3)或 y－2＝ (x－3)， 3 即 x＋y－5＝0 或 2x－3y＝0. (2)由已知设直线 y＝3x 的倾斜角为 α， 则所求直线的倾斜角为 2α. 2tanα 3 ∵tanα＝3，∴tan2α＝ ＝－ . 4 1－tan2α 又直线经过点 A(－1，－3)， 3 因此所求直线方程为 y＋3＝－ (x＋1)， 4 即 3x＋4y＋15＝0.
4 2 2＋4k ＋8≥4， k
4 当且仅当 2＝4k 2，即 k＝－1 时取得最小值，此时直线 l 的 k 方程为 y－1＝－(x－2)，即 x＋y－3＝0.
y－5 3 x＋3·＝－1 4 设 A′(x， 则 y)， x－3 y＋5 3· －4· ＋4＝0 2 2
x＝3 ， 解得 y＝－3
.
∴A′(3，－3)，∴直线 A′B 的方程为 18x＋y－51＝0.
3x－4y＋4＝0 解 18x＋y－51＝0
x＝ 8 3 ，∴P8 ，3. ，得 3 y＝3
考点 1
直线的倾斜角和斜率
例 1 ：已知直线 l 经过点 P(1,1)，且与线段 MN 相交，又 M(2 ，－3) ，N( －3 ，－2) ，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是 __________． 解题思路：本题主要考查斜率概念及直线方程． 解析：如图 11－1－1.
图 11－1－1 直线 PM 的斜率 kPM＝ 1－(－3) ＝－4； 1－2
第 1 讲 直线的方程
1．直线的倾斜角与斜率
把 x 轴绕着它与直线的交点按照逆时针方向旋转到和直线 重合时，所转的最小正角，叫做直线的倾斜角．倾斜角的取值 范围是 0°，180°) ．直线的倾斜角α与斜率 k 的关系：当α≠90° 时，k 与α的关系是 k＝tanα ；α＝90°时，直线斜率不存在．经过 y2－y1 k＝ x2－x1 . 两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式是
1．已知直线 l 经过点 P(1,1)，且与线段 MN 相交，又 M(－ 2 3 2,3)，N(－3，－2)，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是 －3，4 .
1－3 2 解析：直线 PM 的斜率 kPM＝ ＝－ ，直线 PN 的斜 3 1－(－2)
率 kPN＝
1－(－2) 3 ＝ ，显然斜率为 0(与 x 轴平行的直线)合题意， 1－(－3) 4
错源：没有考虑过原点的特殊情形 例 5：求过点 P(3,4)，且在 y 轴上的截距是在 x 轴上的截距
的 2 倍的直线方程．
误解分析：设直线方程都要考虑是否丢解的问题，本题用
截距式设直线方程容易漏掉过原点的直线，应警惕． 4 解析：当直线过原点时，方程为 y＝ x；当直线不经过原点 3
x y 时，设方程为 ＋ ＝1，把 P(3,4)代入得 a＝5，∴2x＋y＝10. a 2a 4 综上，所求方程为 y＝ x 或 2x＋y＝10. 3
x y 若 a≠0，则设 l 的方程为 ＋ ＝1， a a 3 2 ∵l 过点(3,2)，∴ ＋ ＝1， a a ∴a＝5，∴l 的方程为 x＋y－5＝0， 综上可知，直线 l 的方程为 2x－3y＝0 或 x＋y－5＝0. 方法二：由题意知，所求直线的斜率 k 存在且 k≠0， 设直线方程为 y－2＝k(x－3)， 2 令 y＝0，得 x＝3－ ，令 x＝0，得 y＝2－3k， k 2 2 由已知 3－ ＝2－3k，解得 k＝－1 或 k＝ ， 3 k
第十一章 直线与圆的方程
理解直线的倾斜角和斜率的概念． 掌握直线的方程、点到直线的距离公式，能判断两直线的 位置关系． 掌握圆的方程，能判断直线与圆的位置关系． 1．直线和圆都是最常见的简单几何图形，在实际生活和生 产实践中有广泛的应用．高一数学研究了平面向量、三角函数． 直线和圆的方程是以上述知识为基础的．它是平面解析几何学 的基础知识，是进一步学习圆锥曲线以及其他曲线方程的基础， 也是学习导数、微分、积分等的基础.
【互动探究】 4．求过点 A(5,2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线 l 的方程．