资阳市高中2012级第二次诊断性考试数学理工类试题及答案

资阳市高中2012级第二次诊断性考试数 学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。

考试结束后，将本试题卷和答题卡一并收回。

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案的标号涂黑。

第Ⅰ卷共10小题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数21(1)i m m -++是纯虚数，则实数m 的值为(A)－1 (B)1 (C)1±(D)2±2．集合{|(1)(2)0}M x x x =--<，{|}N x x a =<，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是(A)[2,)+∞ (B)(2,)+∞ (C)[1,)+∞(D)(1,)+∞3．“2a =”是“直线2()10a a x y -+-=和210x y ++=互相平行”的(A) 充要条件(B)必要不充分条件 (C)充分不必要条件(D)既不充分又不必要条件4．设抛物线24y x =上的一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离为(A)3 (B)4 (C)5(D)65．有5名同学站成一排照相，则甲与乙且甲与丙都相邻的不同排法种数是(A)8 (B)12 (C)36(D)486．在不等式组02,02x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩所表示的平面区域内任取一点P ，若点P 的坐标(x ,y )满足y kx ≥的概率为34，则实数k ＝ (A) 4 (B)2 (C)23(D)127．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为(A)(B)(C) 0(D)8．已知 a 、b 为平面向量，若a ＋b 与a 的夹角为3π，a ＋b 与b 的夹角为4π，则||||=a b(B)(C)9．已知F 1、F 2是双曲线22221x y a b-=(a >0，b >0)的左、右焦点，点F 1关于渐近线的对称点恰好落在以F 2为圆心，|OF 2|为半径的圆上，则该双曲线的离心率为(A)(B)(C) 2(D) 310．定义在R 上的函数()f x 满足1(2)()2f x f x +=，当[0,2)x ∈时，231||212,01,2()2,1 2.x x x f x x --⎧-≤<⎪=⎨⎪-≤<⎩函数32()3g x x x m =++．若[4,2)s ∀∈--，[4,2)t ∃∈--，不等式()()0f s g t -≥成立，则实数m 的取值范围是(A) (,12]-∞-(B)(,4]-∞-(C)(,8]-∞(D)31 (,]2 -∞第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。

作图时可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。

答在试题卷、草稿纸上无效。

第Ⅱ卷共11小题。

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11．二项式5(2)x -展开式中3x 的系数是________．12．某年级有1000名学生，现从中抽取100人作为样本，采用系统抽样的方法，将全体学生按照1～1000编号，并按照编号顺序平均分成100组(1～10号，11～20号，…，991～1000号)．若从第1组抽出的编号为6，则从第10组抽出的编号为_________． 13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．14．若直线20x y -+=与圆C :22(3)(3)8x y -+-=相交于A 、B 两点，则AC CB ⋅＝______． 15．已知函数()f x ，若对给定的△ABC ，它的三边的长a , b , c 均在函数()f x 的定义域内，且(),(),()f a f b f c 也为某三角形的三边的长，则称()f x 是 “保三角形函数”，给出下列命题： ①函数2()1f x x =+是“保三角形函数”；②函数()0)f x x >是“保三角形函数”；③若函数()f x kx =是“保三角形函数”，则实数k 的取值范围是(0,)+∞；④若函数()f x 是定义在R 上的周期函数，值域为(0,)+∞，则()f x 是“保三角形函数”；⑤若函数22e e 1()e e 1x x x x t f x +⋅+=++是“保三角形函数”，则实数t 的取值范是1[,4]2-．其中所有真命题的序号是_____________．三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分12分）已知函数2()sin (2cos sin )cos f x x x x x =⋅-+． (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期；(Ⅱ)设42ππα<<，且()f α=sin 2α的值．17.（本小题满分12分）在科普知识竞赛前的培训活动中，将甲、乙两名学生的6次培训成绩（百分制）制成如图所示的茎叶图：(Ⅰ)若从甲、乙两名学生中选择1人参加该知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由；(Ⅱ)若从学生甲的6次培训成绩中随机选择2个，记选到的分数超过87分的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 18．（本小题满分12分）四棱锥S －ABCD 中，侧面SAD 是正三角形，底面ABCD 是正方形，且平面SAD ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、SC 的中点．(Ⅰ)求证：MN ∥平面SAD ； (Ⅱ)求二面角S －CM －D 的余弦值．19.（本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，满足13a =，11b =， 2210b S +=，5232a b a -=．(Ⅰ)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(Ⅱ)令设数列{}n c 的前n 项和n T ，求2n T ．20.（本小题满分13分）已知椭圆Ω：22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为，且经过点．(Ⅰ)求椭圆Ω的方程；(Ⅱ)A 是椭圆Ω与y 轴正半轴的交点, 椭圆Ω上是否存在两点M 、N ，使得△AMN 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分14分）已知函数()e x f x ax a =--（其中a ∈R ，e 是自然对数的底数，e ＝2.71828…）． (Ⅰ)当e a =时，求函数()f x 的极值；n 为奇数， n 为偶数， 2,,n n nS c b ⎧⎪=⎨⎪⎩(Ⅱ)若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；(Ⅲ)求证：对任意正整数n ，都有222221212121en n ⨯⨯⨯>+++． 资阳市高中2012级第二次诊断性考试 （数学学科）参考答案及评分意见（理工类）一、选择题：BACCB ，DADCC ． 二、填空题：11. －40；12. 96；13. 83；14. 4；15. ②③⑤. 三、解答题：16.（本小题满分12分）解析：(Ⅰ) 22()sin 2sin cos f x x x x =-+sin 2cos 2x x =+)4x π=+， ······································································· 4分 故函数()f x 的最小正周期是π． ·········································································· 6分(Ⅱ)由()f α=)4πα+=，得5sin(2)413πα+=-， ·············· 7分因为42ππα<<，所以352444πππα<+<，可得12cos(2)413πα+=-， ····················· 9分则sin 2αsin[(2)]44ππα=+-))44ππαα=+-+ ····························· 11分512()()1313=--= ······································································ 12分 17.（本小题满分12分）解析：(Ⅰ)学生甲的平均成绩687679868895826x +++++==甲，学生乙的平均成绩717582848694826x +++++==乙，又22222221[(6882)(7682)(7982)(8682)(8882)(9582)]776s =-+-+-+-+-+-=甲，22222221167[(7182)(7582)(8282)(8482)(8682)(9482)]63s =-+-+-+-+-+-=乙， 则x x =甲乙，22s s >甲乙， 说明甲、乙的平均水平一样，但乙的方差小，则乙发挥更稳定，故应选择学生乙参加知识竞赛. ····················································································································· 6分注：(1)由茎叶图的分布可知应选择乙同学.（可给2分）(2)由茎叶图可以看到甲的平均成绩在80分左右，其分布对称，乙的平均成绩在80分左右，但总体成绩稳定性较好，故应选择乙同学.（可给4分）(Ⅱ)ξ的所有可能取值为0，1，2，则24262(0)5C P C ξ===，1142268(1)15C C P C ξ===，22261(2)15C P C ξ===，ξ的分布列为所以数学期望()012515153E ξ=⨯+⨯+⨯=． ···················································· 12分18．（本小题满分12分）解析：(Ⅰ)如图，取SD 的中点R ，连结AR 、RN ，则RN ∥CD ，且RN ＝12CD ，AM ∥CD ，所以RN ∥AM ，且RN ＝AM ， 所以四边形AMNR 是平行四边形，所以MN ∥AR ，由于AR ⊂平面SAD ，MN 在平面SAD 外， 所以MN ∥平面SAD ． ········································· 4分(Ⅱ)解法1：取AD 的中点O ，连结OS ，过O 作AD 的垂线交BC 于G ，分别以OA ，OG ，OS 为x ，y ，z 轴，建立坐标系，(1,2,0)C -，(1,1,0)M ，S ，(2,1,0)CM =-，(1,1,SM =，设面SCM 的法向量为1(,,)x y z =n ， ····················6分则110,0,CM SM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 有20,0,x y x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 令1x =，1(1=n ，取面ABCD 的法向量2(0,0,1)=n ， ············································································8分则121212cos ,||||⋅===⋅n n n n n n所以二面角S －CM －D ····························································· 12分 解法2：如图，取AD 的中点O ，连结OS 、OB ，OB ∩CM ＝H ，连结SH ，由SO ⊥AD ，且面SAD ⊥面ABCD ，所以SO ⊥平面ABCD ，SO ⊥CM ，易得△ABO ≌△BCM ，所以∠ABO ＝∠BCM ， 则∠BMH ＋∠ABO ＝∠BMH ＋∠BCM ＝90°， 所以OB ⊥CM ，则有SH ⊥CM ，所以∠SHO 是二面角S －CM －D 的平面角， 设2AB =，则OBBH =，OH =，OSSH =， 则cos ∠SHO＝OH SH =，所以二面角S －CM －D···················· 12分 19.（本小题满分12分）解析：(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ，则 由2252310,2,b S a b a +=⎧⎨-=⎩得610,34232,q d d q d ++=⎧⎨+-=+⎩解得2,2,d q =⎧⎨=⎩所以32(1)21n a n n =+-=+，12n n b -=． ······························································ 4分(Ⅱ)由13a =，21n a n =+得(2)n S n n =+，··························································· 5分 则即 ········································· 6分 21321242()()nn nT c c c cc c -=+++++++ 32111111[(1)()()](222)3352121n n n -=-+-++-++++-+ ································· 9分12(14)12114n n -=-++-22(41)213n n n =+-+． ··························································································· 12分 20.（本小题满分13分）解析：(Ⅰ)由题22223,131,4a b ab ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩解得24a =，21b =． 所以椭圆Ω的方程为2214x y +=． ······································································· 4分(Ⅱ)由题意可知，直角边AM ，AN 不可能垂直或平行于x 轴，故可设AM 所在直线的方程为1y kx =+，不妨设0k >，则直线AM 所在的方程为11y x k=-+．························ 5分联立方程221,44,y kx x y =+⎧⎨+=⎩消去y 整理得22(14)80k x kx ++=，解得2814M k x k =-+， ···· 6分 将2814M kx k =-+代入1y kx =+可得228114M k y k -=++，故点M22288(,1)1414k k k k --+++.所以AM == ·············································· 8分 n 为奇数， n 为偶数， 12,(2)2,n n n n c -⎧⎪+=⎨⎪⎩111,22,n n c n n -⎧-⎪=+⎨⎪⎩n 为奇数，n 为偶数，同理可得AN =AM AN =，得22(4)14k k k +=+， ························· 10分 所以324410k k k -+-=，则2(1)(31)0k k k --+=，解得1k =或k =． ········ 12分当AM 斜率1k =时，AN 斜率1-；当AM斜率k =时，AN；当AM斜率k =时，AN．综上所述，符合条件的三角形有3个. ··································································· 13分 21.（本小题满分14分）解析：(Ⅰ) 当e a =时，()e e e x f x x =--，()e e x f x '=-， 当1x <时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>．所以函数()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以函数()f x 在1x =处取得极小值(1)e f =-，函数()f x 无极大值． ··················· 4分 (Ⅱ)由()e x f x ax a =--，()e x f x a '=-，若0a <，则()0f x '>，函数()f x 单调递增，当x 趋近于负无穷大时，()f x 趋近于负无穷大；当x 趋近于正无穷大时，()f x 趋近于正无穷大，故函数()f x 存在唯一零点0x ，当0x x <时，()0f x <；当0x x >时，()0f x >．故0a <不满足条件． ······································ 6分若0a =，()e 0x f x =≥恒成立，满足条件． ························································· 7分 若0a >，由()0f x '=，得ln x a =，当ln x a <时，()0f x '<；当ln x a >时，()0f x '>，所以函数()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增，所以函数()f x 在ln x a =处取得极小值(ln )f a ln e ln ln a a a a a a =-⋅-=-⋅，由(ln )0f a ≥得ln 0a a -⋅≥，解得01a <≤．综上，满足()0f x ≥恒成立时实数a 的取值范围是[0,1]． ····································· 9分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知，当1a =时，()0f x ≥恒成立，所以()e 10x f x x =--≥恒成立，即e 1x x ≥+，所以ln(1)x x +≤，令12n x =(*n ∈N )，得11ln(1)22n n +<，················ 10分则有2111ln(1)ln(1)ln(1)222n ++++++211[1()]1111221()11222212n n n -<+++==-<-， ···························································································································· 12分所以2111(1)(1)(1)e 222n ++⋅⋅+<，所以211111e(1)(1)(1)222n >++⋅⋅+， 即222221212121e n n ⨯⨯⨯>+++．··········································································· 14分。