2019年高考理科数学考前30天--计算题专训(十二)

2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（十二）
17．（本小题满分12分）设数列{}n a ()123n ⋯＝，，，的前n 项和n S 满足12n n S a a =-，且1a ，21a +，3a 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{1}n a +的前n 项和．
【答案】（1）由已知12n n S a a =-，有()11222n n n n n a S S a a n -=-=--≥， 即()122n n a a n -=≥，从而212a a =，32124a a a ==， 又因为1a ，21a +，3a 成等差数列，即13221()a a a +=+， 所以111421)2(a a a +=+，解得12a =，
所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，故2n n a =． （2）设{}1n a +的前n 项和为n T ，则1122(12)
()2212
n n n n T a a a n n n +-=++
++=+=-+-．
18．（本小题满分12分）已知()2cos sin 2
f x x x x =+
． （1）求()f x 的单调增区间；
（2）在ABC △中，A 为锐角且()2
f A =，BC 边上的中线3AD =，AB =求sin BAD ∠．
【答案】（1）由题可知()()1sin 21cos 2sin 22223f x x x x π⎛⎫
=-++=- ⎪⎝
⎭，
令222232
k x k πππ
π--π+≤≤，k ∈Z ，
即函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππ⎡
⎤π-π+⎢⎥⎣
⎦，k ∈Z ．
（2）由()f A =
sin 232A π⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，解得3A π=或2A π=（舍）， 以AB 、AC 为邻边作平行四边形ABEC ，因为3AD =，
所以6AE =，在ABE △中，AB =120ABE ∠=︒，
=
1sin 4AEB ∠=且cos 4AEB ∠=，
因此1511351
sin sin 324BAD AEB π-⎛⎫
∠=-∠=
-=
⎪⎝⎭． 19．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22
221
x y a b
+=()0a b ＞＞的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上一点（在x 轴上方），连结1PF 并延长交椭圆于另一点Q ，设11
PF FQ λ=． （1）若点P 的坐标为3(1,)2
，且2PQF △的周长为8，求椭圆C 的方程；
（2）若2PF 垂直于x 轴，且椭圆C 的离心率1
,
2
e ∈⎡⎢⎣，求实数λ的取值范围．
【答案】（1）因为1F ，2F 为椭圆C 的两焦点，且P ，Q 为椭圆上的点， 所以12122PF PF QF QF a +=+=，
从而2PQF △的周长为4a ． 由题意，得48a =，解得2a =．
因为点P 的坐标为31,2⎛⎫
⎪⎝⎭
，
所以
221914a b
+=，解得2
3b =． 所以椭圆C 的方程为22
=143
x y +．
（2）因为2PF x ⊥轴，且P 在x 轴上方，故设0P c y （，），00y ＞．设11Q x y （，）．
因为P 在椭圆上，所以220221y c a b
+=，解得20b y a =，即2
(,)b P c a ．
因为10F c -（，），所以1PF 2
(2,)b c a
=--，1
FQ ()11x c y =+，． 由11
PF FQ λ=，得12c x c λ-=+（），2
1b y a
λ-=， 解得12x c λλ
+=-，2
1b y a λ=-，
所以2
2(,)b c Q a
λλλ+--． 因为点Q 在椭圆上，所以2
22
2221b e a λλλ+⎛⎫+= ⎪⎝⎭，
即()()
2
22221e e λλ++－＝，()22243-1e λλλ++＝．
因为10λ+≠，所以()2
31e λλ+＝－，从而222
314
=
311e e e λ+=---．
因为1,22e ⎡∈⎢⎣⎦
，所以2
1142e ≤≤，即753λ≤≤．
所以λ的取值范围是7,53⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
．
20．（本小题满分12分）设函数()22( )0f x a x a =＞，()ln g x b x =．
（1）若函数() y f x =图象上的点到直线30x y --=
距离的最小值为，求a 的值；
（2）对于函数() f x 与()g x 定义域上的任意实数x ，若存在常数k ，m ，使得() f x kx m +≥和()g x kx m +≤都成立，则称直线y kx m =+为函数() f x 与()g x 的
“分界线”．设a e b ＝，试探究() f x 与()g x 是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）因为()22f x a x =，所以()22f x a x '=， 令()221f x a x '==，得212x a =
，此时2
14y a =，
则点2211,24a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
到直线30x y --=
的距离为
即=
，解得14a =（负值舍去）．
（2）设()()()()21eln 02
F x f x g x x x x =-=->， 则(
)(
2e e x x x F x x x x x
+-'=-==．
所以当0x <<时，()0F x '＜
；当x >()0F x '>．
因此x =()F x 取得最小值0，
则()f x 与()g x 的图象在x =e 2⎫⎪⎭．
设()f x 与()g x 存在“分界线”，
方程为(e 2y k x -
=，即e
2
y kx =+-
由()e
2f x kx +-≥在x ∈R 上恒成立，
则22e +20x kx --在x ∈R 上恒成立．
所以()
(2
2
2
442e 484e =40k k k ∆=-=--≤成立，因此k = 下面证明()()e
02
g x x ->恒成立．
设()e
eln 2G x x =-，则()e G x x '=．
所以当0x <<时，()0G x '>；当x >()0G x '<．
因此x =()G x 取得最大值0， 则()()e
02
g x x ->成立．
故所求“分界线”方程为e 2
y =-．
21．（本小题满分12分）已知函数()21
ln 2f x x ax x =-+，a ∈R ．
（1）令()()()1g x f x ax =--，讨论()g x 的单调区间；
（2）若2a =-，正实数1x ，2x 满足()()12120f x f x x x ++=，证明12x x +
【答案】（1）()()()21
1ln 12
g x f x ax x ax x ax =--=-+--， 所以()()211
ax a x g x x
-+-+'=
，
当0a ≤时，因为0x >，所以()0g x >，即()g x 在()0,+∞单调递增，
当0a >时，()()
11a x x a g x x
⎛
⎫--+ ⎪⎝⎭'=，令()0g x '=，得1
x a =，
所以当10,x a
⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，()0g x '>，()g x 单调递增，
所以当1,x a
⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减，
综上，当0a ≤时，函数单调递增区间为()0,+∞，无递减区间；
当0a >时，函数单调递增区间为10,a ⎛⎫
⎪⎝
⎭
，单调递减区间为1,a
⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
；
（2）当2a =-时，()2ln f x x x x =++，0x >，
由()()12120f x f x x x ++=可得2212112212ln 0x x x x x x x x +++++= 即()()2
12121212ln x x x x x x x x +++=-， 令12t x x =，()ln t t t ϕ=-，则()11
1t t t
t
ϕ-'=-=
， 则()t ϕ在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增， 所以()()11t ϕϕ=≥，所以()()2
12121x x x x +++≥，
又120x x +>
，故12x x +．。