中考数学复习指导：例说一元二次方程的判别式在中考数学中的应用

例说一元二次方程的判别式在中考数学中的应用我们知道，一元二次方程的判别式是一元二次方程根的“检测器”，即可判定一元二次方程实根的各种情形，除此之外，它在其它许多方面有着广泛的应用：如建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围，证明与方程相关的代数问题，构造一元二次方程必定有解的代数模型，探究几何存在性问题等等，一些看起来与一元二次方程无关的问题，有时也能用一元二次方程的判别式来解决．
一、判定两图象交点的个数
例1 已知函数y＝2
x
和y＝k x＋1(k≠0)，当k取何值时，这两个函数图象总有：
(1)两个公共点？
(2)一个公共点？
(3)没有公共点？
解联立
2
,
1. y
x
y kx
⎧
=
⎪
⎨
⎪=+⎩
消去y，整理得k x2＋x－2＝0，考虑△＝1＋8k.
(1)当k>－1
8
且k≠0时，两函数图象有两个公共点；
(2)当k＝－1
8
时，两函数图象有一个公共点；
(3)当k<－1
8
时，两函数图象没有公共点．
二、求方程中的参数值
例2 设方程2x ax
+＝4只有3个不相等的实数根，求a的值．
解方程等价于两个方程：
x2＋ax－4＝0，①
x2＋ax＋4＝0．②
因为两方程无相同的根，但原方程只有3个不相等的实数根，故必有且只有方程①或
②有重根．
∵△1＝a2＋16≥0，
△2＝a2－16≥0．
由于△1>△2，故只可能是△2＝0，
即a＝±4．
三、求完全平方数
例3 求自然数n，使4n2＋5n为完全平方数
解设4n2＋5n＝k2（k≥0且为正整数）．
∵方程的解为正整数，
∴方程4n2＋5n－k2＝0的判别式△＝25＋16k2应为完全平方数．又设25 ＋16k2＝m2（m为非负整数），
∴（m＋4k）（m－4k)＝25.
∴
425
41 m k
m k
+=
⎧
⎨
-=
⎩
解得k＝3，从而n＝1．
四、求方程的整数根
例4 设m为整数，且关于x的方程m x2＋2（m－5）x＋m－4＝0有整数根，求m的值．
解显然m≠0，原方程是关于x的一元二次方程，且
△＝[2(m－5)]2－4m（m－4)
＝4(25－6m)．
设25－6m＝k2（k为自然数），
∴k 可能的取值有1，2，3，4，6，7，8，11．
分别代入m ＝2
256
k 知，只有当k 的值为1，7，11时，m 为整数，此时m 的值为4，－4，－16．
五、证明代数不等式
例5 已知a 、b 、c 、x 、y 、z 均为非零实数，且满足条件a ＋x ＝b ＋y ＝c ＋z ＝k ． 求证：ax ＋by ＋c x <k 2.
证明 由a ＋x ＝k ，得a －k ＋x ＝0．
显然a ²12－k ．1＋x ＝0，则1是关于t 的一元二次方程a t 2－kt ＋x ＝0的一个根， ∴△＝(－k)2－4ax ≥0，
即ax ≤2
4
k ． 同理by ≤24k ，c z ≤2
4
k ． ∴ax ＋by ＋cz ≤234
k <k 2． 六、证明几何不等式
例6 如图1，过正方形ABCD 的顶点C 任作一条直线，与AB 、AD 的延长线分别交
于E 、F ．求证：AE ＋AF ≥4AB.
证明 设AB ＝a ，AE ＝x ，AF ＝y ．
七、求代数式的最值
++求的最小值．
例7 若ab c＝2，a＋b＋c ＝0，试a b c
解易知a、b、c中必有两个负数，不妨设b为正数，
∵a＋b＋c＝0．
∴a²12＋b²1＋c＝0．
即1是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，
∴b2－4a c≥0．
即b2≥4a c，b3≥4ab c.
又∵ab c＝2，b3≥8，
∴b≥2，b min＝2．
当b＝2时，a c＝1，a＋c＝－2，
此时a＝－1，c＝－1．
++的最小值为4．
∴a b c
八、求几何最值
例8 如图2，平行四边形PQRS的一边SR在△ABC的边BC上，另两个顶点P、Q
分别在AB、AC上．探究平行四边形PQRS面积的最大值．
解如图2，过点4作AD⊥BC，垂足为D，交PQ于点E．
根据根与系数的关系，可把PQ BC 、ED AD
看成关于x 的一元二次方程x 2－x ＋212S S ＝0的两个根，则有判别式△≥0，得S 2≤12
S ，即平行四边形的面积不大于原三角形面积的一半，也就是内接平行四边形的最大面积等于原三角形面积的一半．
九、探究几何存在性问题
例9 如图3，在正方形ABCD 中，∠FAE ＝45°，两边与BC 、CD 分别交于点E 、F ，连接EF.
设EF ＝b ，AB ＝a ，探究Rt △ECF 存在的条件．
解 如图3，设BE ＝x ，由旋转构造全等三角形可知：
DF ＝b －x ．
于是CF ＝a －b ＋x ，CE ＝a －x ，
在Rt △ECF 中，由勾股定理可得b 2＝(a －x )2＋（a －b ＋x ）2．
整理得到关于x 的一元二次方程x 2－bx ＋a 2－ab ＝0．
若BE 存在，则该方程必有实数解，于是△≥0，解得
b a ≥－2； 同时，该方程的两个根满足x 1＋x 2＝b >0，
且x 1、x 2＝a 2－ab >0，
于是b a
<1．
综上所述，Rt △ECF 存在的条件是：2≤
b a <1．
特别地，当b a
＝－2时，Rt △ECF 是等腰三角形． 十、求分式有理函数值的范围
例10 求函数y ＝222231
x x x x -+-+的值的范围． 解 原函数式变为(y －2)x 2－(y －2)x ＋y －3＝0.
(1)当y ＝2时，则0²x 2＋0²x ＋2－3＝0，矛盾，不成立；
(2)当y ≠2时，因为x 为实数，
∴△＝(y －2)2－4(y －2)(y －3)≥0，
即－（3y －10）（y －2）≥0，
解得2≤y ≤103
． 综合(1)(2)，所求函数的值的范围是：2<y ≤
103．。