三角形综合训练(习题及答案).

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全等三角形基本模型综合训练(一)(解析版)

全等三角形基本模型综合训练（一）1．如图，A 点坐标(0，4)，B 为x 轴上一动点，将线段AB 绕点B 顺时针旋转90°，得到BC ，连接OC ，则B 在运动过程中，线段OC 的最小值是（）A ．4B ．2C ．2D ．3【答案】C 【详解】解：过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，⊥⊥CDB =90°又线段AB 绕点B 顺时针旋转90°，⊥⊥ABC =90°，AB =BC⊥⊥ABO +⊥CBD =90°，⊥BCD +⊥CBD =90°，⊥⊥ABO =⊥BCD由图可知，⊥AOB =90°，⊥⊥AOB =⊥CDB⊥△AOB ⊥⊥BDC （AAS ），⊥OB =CD ，OA =BD =4，令点B （x ，0）①当x >0时，如图1，在Rt △COD 中OC 22CD OD +224x x ++（）2228x ++（）⊥当x =-2时，OC 有最小值，又x >0⊥x =-2不符合题意，舍去②当x <0时，如图2，在Rt⊥COD 中OC 22CD OD +()224x x -++（）2228x ++（）⊥当x =-2时，OC 有最小值，且最小值为2，故选：C ．2．如图，在ABC ∆中，40A ∠=︒，60C ∠=°，D 为AC 边上一点，DE BC ⊥于点E ．若AD BD =，2BE =，则AB 的长为（）A 3B ．2C ．3D ．4【答案】D【详解】解：如图，作DF ⊥AB 于点F ，⊥ AD ＝BD⊥△ADB 是等腰三角形，⊥ABD ＝⊥A ＝40°⊥AB ＝2AF ＝2BF⊥40A ∠=︒，60C ∠=°，⊥⊥ABC ＝180°－⊥A －⊥C ＝80°，⊥ ⊥DBE ＝⊥ABC －⊥ABD ＝40°⊥⊥DBE ＝⊥ABD⊥DE BC ⊥⊥ ⊥DE ＝DF⊥BD ＝BD⊥Rt △BDF ⊥Rt △BDE （HL ）⊥BF ＝BE ＝2⊥AB ＝2BF ＝4，故选：D3．如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，10AB =，15ABD S ∆=，则CD 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A 【详解】解：过点D 作DF ⊥AB 于点F ，⊥10AB =，15ABD S ∆=，⊥1152AB DF ⋅=，⊥110152DF ⨯=,得DF =3， ⊥90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，DF ⊥AB ，⊥CD =DF =3，故选：A ．4．正方形ABCD 的边长为4，点E 是射线AD 上的一个动点，连结CE ，以CE 为边往右侧作正方形CEFG ，连结DF 、DG ．（1）当点E在AD延长线上，且DE=AD时，DG=________．（2）当点E在线段AD上，且△DGF为等腰三角形时，DG=________．【答案】454或542【详解】解：（1）过点F作FH⊥AD交AD延长线于点H，⊥四边形ABCD是正方形，且DE=AD，⊥DE=AD=CD，⊥ADC=⊥CDE=90°，⊥△EDC是等腰直角三角形，⊥⊥DCE=⊥DEC=45°，⊥四边形CEFG是正方形，⊥CG=CE=EF，⊥GCE=⊥CEF=90°，⊥⊥DCG=⊥DEF=135°，⊥△DCG⊥△DEF，⊥DG=DF，⊥⊥DEC=45°，⊥CEF=90°，⊥⊥HEF=45°，⊥△EHF是等腰直角三角形，⊥CE=EF，⊥DE=CD=EH=FH=4，在Rt△DFH中，FH=4，DH=8，⊥DG=DF22+=4845（2）当点E与点A重合时，DG=DF，⊥DG=DE=DC=4；当DG=GF时，过点G作GI⊥CD于点I，⊥四边形CEFG是正方形，⊥CG=GF=CE，⊥GCE=90°，⊥DG=GC，CD=2，⊥CI=DI=12⊥DCE+⊥ICG=90°，⊥IGC+⊥ICG=90°，⊥⊥DCE=⊥IGC，⊥△DCE⊥△IGC，⊥IG=DC=4，⊥DG=GC22+=2425点E与点D重合时，DF=GF，此时，FG=FD=DC=4，⊥DG224442；综上，△DGF为等腰三角形时，DG=4或542故答案为：4或5425．如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F在BC上，且BF=2CF，DE，AF相交于点G，则DG的长为___________．958【详解】如图，延长DG、CB，二线交于点H，⊥四边形ABCD是正方形，E是AB的中点，⊥⊥DAE=⊥HBE=90°，AE=BE，⊥⊥AED =⊥BEH⊥△DAE ⊥△HBE ，⊥BH =AD =3，⊥BF =2CF ，BC =3，⊥BF =2，CF =1，⊥FH =FB +BH =3+2=5，CH =FH +CF =1+5=6，⊥四边形ABCD 是正方形，⊥⊥DCH =90°，AD ∥BC ，⊥△DAG ⊥△HFG ，DH 22223635CD CH ++=⊥35DG AD GH FH ==，⊥38DG DH =， ⊥333588DG DH ==⨯958958 6．如图，△ABC 中，AB =AC ，点 D 在 AC 上，连接 BD ，△ABD 的中线 AE 的延长线交 BC 于点 F ，⊥F AC =60°，若 AD =5，AB =7，则 EF 的长为__________．【答案】23【详解】解：延长AE 至点G ，使得AE ＝EG ，⊥E 是BD 的中点，⊥BE ＝DE ，在△ADE 和△GBE 中，DE BE AED GEB AE GE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩⊥⊥ADE ⊥⊥GBE （SAS ）， ⊥AD ＝GB ＝5，⊥G＝⊥F AC ＝60°，过点B 作BH ⊥GE 于点H ，在Rt ⊥BGH 中，⊥GBH ＝180°﹣90°﹣60°＝30°，⊥GH ＝12BG ＝52，BH 22555()322-=，在Rt ⊥ABH 中，AH 225117(3)22-，⊥AG ＝AH +GH ＝8，⊥AE ＝GE ＝4，过点D 作DM AB 2AC =EF ，交BC 于点M ．⊥12BE EF BD DM == ，设EF ＝x ，则DM ＝2x ，⊥DM AB 2AC =EF ，⊥225DM CD AF CA ==+，⊥AF ＝7x ，⊥AE ＝7x ﹣x ＝6x ＝4，⊥x ＝23，⊥EF ＝23，故答案为：23． 7．如图，将矩形ABCD 绕着点B 逆时针旋转得到矩形GBEF ，使点C 恰好落到线段AD 上的E 点处，连接CE ，连接CG 交BE 于点H ．(1)求证：CE 平分⊥BED ；(2)取BC 的中点M ，连接MH ，求证：MH ∥BG ；(3)若BC ＝2AB ＝4，求CG 的长．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)7【解析】(1)⊥四边形ABCD 是矩形，⊥BC =BE ，DE ∥BC ，⊥⊥BEC =⊥BCE ，⊥BCE =⊥DEC ，⊥⊥BEC =⊥DEC ，⊥CE 平分⊥BED ．(2)过点C 作CN ⊥BE ，垂足为N ，⊥四边形ABCD 是矩形，⊥CD ⊥DE ，⊥CE 平分⊥BED ，⊥CD =CN ，⊥矩形ABCD 绕着点B 逆时针旋转得到矩形GBEF ，⊥CD =BG ，⊥GBH =⊥CNH =90°，⊥CN =BG ，⊥BHG =⊥NHC ，⊥△BHG ⊥△CHN ，⊥HG =HC ，⊥H 是GC 的中点，⊥BC 的中点是M ，⊥MH 是△BGC 中位线，⊥MH ∥BG ．(3)过点C 作CN ⊥BE ，垂足为N ，⊥四边形ABCD 是矩形，BC ＝2AB ＝4，矩形ABCD 绕着点B 逆时针旋转得到矩形GBEF ，⊥GB ⊥BH ，GB =BM =2，⊥MH 是△BGC 中位线，⊥MH =1，⊥⊥HBM =⊥QGB ，⊥GB =BM =2，⊥BHM =⊥GQB ，⊥△QBG ⊥△HMB ，⊥QB =MH =1，GQ =BH 3QC =5，⊥CG 22(3)52827+=．8．如图，在正方形ABCD 中，点E 是CD 中点，连接AE ．过点C 作CF AE ⊥，交AE 的延长线于点F ，连接DF ．过点D 作DG DF ⊥交AF 于点G ．若2DF =，则正方形ABCD 的边长为________．10【详解】解：⊥四边形ABCD 是正方形，⊥AD =CD ，⊥ADC =90°，⊥⊥DAE +⊥AED =90°，⊥CF ⊥AE ，⊥⊥ECF +⊥CEF =90°，⊥⊥DAE =⊥ECF ，同理，⊥⊥ADG +⊥GDE =90°，⊥GDE +⊥CDF =90°，在⊥AGD 与⊥CFD 中，DAE ECF AD CD ADG CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，⊥⊥AGD ⊥⊥CFD （ASA ），⊥DG =DF ，AG =CF ，⊥DG ⊥DF ，⊥⊥DGF 是等腰直角三角形，⊥2222GF DG DF +=过点D 作DK ⊥AE 于点K ，则122DK GK GF === ，在⊥DKE 与⊥CFE 中，DEK CEF DKE CFE DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥DKE ⊥⊥CFE （AAS ），⊥DK =CF ，⊥2AG CF DK GK ====⊥22AK =⊥2210AD AK DK +10．9．已知：如图，AC ⊥BD ，AE 、BE 分别平分⊥CAB 和⊥ABD ，点E 在CD上．用等式表示线段AB 、AC 、BD 三者之间的数量关系，并证明．【答案】AC +BD =AB ，理由见见解析【详解】解：AC +BD =AB ，证明如下：在BA 上截取BF =BD ，连接EF ，如图所示：⊥AE 、BE 分别平分⊥CAB 和⊥ABD ，⊥⊥EAF =⊥EAC ，⊥EBF =⊥EBD ，在⊥BEF 和⊥BED 中，BF BD EBF EBD BE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥BEF BED ≌（SAS ），⊥⊥BFE =⊥D ，⊥AC ⊥BD ，⊥⊥C +⊥D =180°，⊥⊥AFE +⊥BFE =180°，⊥⊥AFE +⊥D =180°，⊥⊥AFE =⊥C ，在⊥AEF 和⊥AEC 中，EAF EAC AFE C AE AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥AEF AEC ≌（AAS ），⊥AF =AC ，⊥AF +BF =AB ，⊥AC +BD =AB ．10．如图1，ΔΔRt ABF Rt CBE ≌，90ABC ∠=︒，点E ，F 分别在边AB，BC 上，点M 为AF 中点．(1)请直接写出线段CE 与BM 的关系；(2)连接EF ，将EBF ∆绕点B 逆时针旋转至如图2位置，请写出CE 与BM 的关系，并说明理由；(3)在EBF ∆绕点B 旋转的过程中，当B ，C ，E 三点共线时，若3BC =，2EF =CM 的长．【答案】(1)2CE BM = ，CE BM ⊥；(2)2CE BM = ，CE BM ⊥，理由见解析；(3)13CM =10【解析】(1)2CE BM =，CE BM ⊥，理由如下，设BM 与CE 相交于点N ，如图，⊥Rt ABF Rt CBE ≅△△，⊥ABC =90°，⊥AF =CE ，⊥A =⊥C ，⊥⊥A +⊥AFB =90°，⊥M 为AF 的中点，⊥BM =AM =FM =12AF ，⊥BM =12CE ，即2BM =CE ，⊥AFB =⊥CBM ，⊥⊥C +⊥CBM =90°，⊥⊥CNB =90°，⊥BM ⊥CE ，故BM 与CE 的关系为：2CE BM =，CE BM ⊥，(2)2CE BM =，CE BM ⊥，理由如下：证明：延长AB 至点N ，使NB AB =，连接NF⊥M 为AF 的中点，B 为AN 中点⊥BM 为ANF 的中位线⊥2NF BM =⊥90ABC ∠=︒，90EBF ∠=︒，⊥ABE ABF CBF ABF ∠+∠=∠+∠，⊥ABE CBF ∠=∠，⊥90ABC ∠=︒，AB BC BN ==，⊥CBA ABE CBN CBF ∠+∠=∠+∠，⊥CBE NBF ∠=∠，又⊥BE BF =，⊥()CBE NBF SAS ≅△△，⊥NF CE =，⊥2CE BM =，⊥BM 为ANF 的中位线，⊥BM FN ∥，⊥MBA N ∠=∠，⊥CBE NBF ≅△△，⊥ECB N ∠=∠，⊥MBA ECB ∠=∠，⊥90MBA CBM ∠+∠=︒，⊥90ECB CBM ∠+∠=︒，⊥CE BM ⊥，综上2CE BM =且CE BM ⊥；(3)当点E 在CB 的延长线上时，如图，⊥⊥ABC =⊥ABE =90°，AB =BC =3，BE =BF ，⊥在等腰Rt ⊥BEF 中，有EF 22，又⊥EF 2⊥BE =BF =1，⊥AF =AB -EF =3-1=2，⊥M 为AF 的中点，⊥FM =12AF =1，⊥22223213CM BC BM ++=当点E 在CB 上时，如图，同理可求得BF =BE =1，⊥AF =AB +BF =3+1=4，⊥M 为AF 的中点，⊥FM =12AF =2，⊥BM =FM -BF =2-1=1， ⊥22223110CM BC BM ++ 即CM 1310．11．在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，对角线AC 平分⊥BAD ．(1)推理证明：如图1，若120DAB ∠=︒，且90D ∠=︒，求证：AD AB AC +=；(2)问题探究：如图2，若120DAB ∠=︒，试探究AD 、AB 、AC 之间的数量关系；(3)迁移应用：如图3，若90DAB ∠=︒，AD =2，AB =4，求线段AC 的长度．【答案】(1)见解析；(2)AD AB AC +=；(3)32AC =【解析】(1)证明：⊥AC 平分BAD ∠，⊥12DAC BAC DAB ∠=∠=∠，又⊥120DAB ∠=，⊥60DAC BAC ∠=∠=，又⊥180B D ∠+∠=，90D ∠=，⊥90B D ∠=∠=，⊥30ACD ACB ∠=∠=︒，⊥12AD AC =，12AB AC =， ⊥AD AB AC +=．(2)解：AD AB AC +=；过点C 作CE AD ⊥于点E ，过点C 作CF AE ⊥的延长线于点F ，⊥AC 平分BAD ∠，⊥CE CF =，90DEC CFB ∠=∠=，⊥180D ABC ∠+∠=，而180ABC FBC ∠+∠=，⊥D FBC ∠=∠，在BFC △与DEC 中D FBC DEC BFC CE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥()AAS BFC DEC ≌，⊥DF BF =，⊥AD AB AE DE AF BF AE AF +=++-=+，由（1）知AE AF AC +=，⊥AD AB AC +=．(3)过点C 作CM AB ⊥于点M ，过点C 作CN AD ⊥的延长线于点N ，由（2）知：CDN CBM ∆∆≌，⊥DN BM =，⊥AD AB AN DN AM BM AN AM +=-++=+，而90DAB ∠=︒，AC 平分BAD ∠，⊥45NAC MAC ACN ∠=∠=∠=︒，⊥2AN AM NC AC ===，⊥2AD AB AN AM +=+=，又2AD =，4AB =，⊥32AC =12．如图，点F 在四边形ABCD 的边AB 上．(1)如图1，当四边形ABCD 是正方形时，过点B 作BE CF ⊥，垂足为O ，交AD 于点.E 求证：BE CF =；(2)当四边形ABCD 是矩形，6AD =，8AB =时，①如图2，点P 是BC 上的一点，过点P 作PE CF ⊥，垂足为O ，点O 恰好落在对角线BD 上，求OC OE 的值； ②如图3，点P 是BC 上的一点，过点P 作PE CF ⊥，垂足为O ，点O 恰好落在对角线BD 上，延长EP 、AB 交于点G，当2BG =时，请直接写出DE 的值．【答案】(1)证明见解析；(2)①34；②83．【解析】(1)证明：四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴=，90A FBC ∠=∠=︒，BE CF ⊥于点O ，90BOC ∴∠=︒，90ABE OBC BCF ∴∠=︒-∠=∠，ABE ∴⊥()BCF ASA ， BE CF ∴=．(2)解：①如图2，过O 作OM AD ⊥于点M ，ON CD ⊥于点N ，则90OMD OND ∠=∠=︒，四边形ABCD 是矩形，6BC AD ∴==，8AB CD ==，90MDN A BCD ∠=∠=∠=︒，∴四边形OMDN 是矩形，90MON ∴∠=︒，PE CF ⊥于点O ，90COE ∴∠=︒，90CON EOM EON ∴∠=∠=︒-∠，90ONC OME ∠=∠=︒，ONC ∴⊥OME ，OC ON OE OM ∴=， OND BCD ∠=∠，//ON BC ∴， DON ∴⊥DBC △，ON OD BC BD ∴=，同理OM OD AB BD =， ON OM BC AB ∴=，ON BC OM AB ∴=，6384OC BC OE AB ∴===； ②如图3，连接CE 、CG ，90ABC ∠=︒，18090PBG ABC ∴∠=︒-∠=︒，90PBG POC ∴∠=∠=︒，BPG OPC ∠=∠，BPG ∴⊥OPC ，PB PG PO PC ∴=，PB PO PG PC ∴=，OPB CPG ∠=∠，OPB ∴⊥CPG △，CBD OGC ∴∠=∠， 34OC OE =，6384CB CD ==；OC CB OE CD ∴=， 90COE BOD ∠=∠=︒，COE ∴⊥BOD ，CDB OEC ∴∠=∠，90OGC OEC CBD CDB ∴∠+∠=∠+∠=︒，90ECG ∴∠=︒，90BCG DCE BCE ∴∠=∠=︒-∠，90CBG CDE ∠=∠=︒，CBG ∴△⊥CDE △，34BG CB DE CD ∴==，4482333DE BG ∴==⨯=． 13．将一块足够大的直角三角板的直角顶点P 放在边长为1的正方形ABCD 的对角线AC 上滑动,一条直角边始终经过点B ,另一条直角边与射线DC 交于点E ．(1)当点E 在边DC 上时（如图1），求证：①⊥PBC ⊥⊥PDC ；②PB =PE ．(2)当点E 在边DC 的延长线上时（如图2）,（1）中的结论②还成立吗？如果不成立，请说明理由；如果成立，请给予证明．【答案】(1)①见解析；②见解析(2)（1）中的结论②仍然成立，证明见解析【解析】(1)①⊥四边形ABCD 是正方形，⊥BC =CD ,⊥BCP =⊥DCP=45°,又⊥CP =CP ，⊥⊥PBC ⊥⊥PDC ，②过点P 分别作PF ⊥BC 于点F ，PG ⊥CD 于点G ，易证四边形PFCG 为正方形，⊥⊥BFP =⊥EGP=90°，PF =PG ，⊥⊥EPG+⊥EPF=90°=⊥BPF+⊥EPF ，⊥⊥BFP =⊥EGP ⊥⊥PGE ⊥⊥PFB (ASA)，⊥PB =PE .(2)PB =PE 成立，证明：设PE 交BC 于点O ，⊥⊥BPE =⊥BCE=90°，⊥BOP =⊥COE ，⊥⊥PBC =⊥PEC ，由（1）得：⊥PBC =⊥PDC ，⊥⊥PDC =⊥PEC ，PB =PD ，⊥PE =PD=PB ，故（1）中的结论②仍然成．14．在ABC 中，22BAC ABC ACB ∠=∠=∠，D 是BC 所在直线上的一个动点（点D 不与点B 、点C 重合），以AD 为边在AD 右侧作正方形ADEF ，连接CF ．(1)观察发现：如图1，当点D 在线段BC 上时，①BC 、CF 的位置关系为___________；②BC 、CD 、CF 之间的数量关系为___________．(2)探究证明：如图2，当点D 在线段CB 的延长线上时，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由．(3)问题解决：如图3，当点D 在线段BC 的延长线上时，延长BA 交CF 于点G ，连接GE .若62AB =4BC CD =时，直接写出GE 的长．【答案】(1)①BC CF ⊥，②BC CF CD =+；(2)（1）中结论①成立，②不成立，理由见解析； (3)310【解析】(1)①在正方形ADEF 中，AD =AF ，⊥DAF =90°，⊥⊥BAC =90°，⊥⊥BAC =⊥DAF =90°⊥⊥BAD =⊥CAF ，在△DAB 与△F AC 中，AD AF BAD CAF AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥DAB ⊥⊥F AC （SAS ），⊥⊥ABD =⊥ACF ，⊥⊥ACB +⊥ACF =⊥ACB +⊥ABD =180°-⊥BAC =90°，⊥BC ⊥CF ；故答案为：BC ⊥CF ；②由①知，△DAB ⊥⊥F AC ，⊥BD =CF ，⊥BC =BD +CD ，⊥BC =CF +CD ；故答案为：BC =CF +CD ；(2)（1）中结论①成立．②不成立．理由如下：⊥四边形ADEF 是正方形：⊥AD AF =，90DAF ∠=︒．⊥22BAC ABC ACB ∠=∠=∠，180BAC ABC ACB ∠+∠+∠=︒，⊥90BAC ∠=︒，45ABC ACB ∠=∠=︒，⊥AB AC =，BAC DAF ∠=∠，⊥BAD CAF ∠=∠，⊥()SAS DAB FAC △△≌，⊥135ABD ACF ∠=∠=︒，=CF BD ． ⊥45ACB ∠=︒，⊥1354590DCF ACF ACB ∠=∠-∠=︒-︒=︒，⊥CF BD ⊥． ⊥BC CD BD =-，⊥BC CD CF =-．⊥（1）中结论①成立．②不成立．(3)如图，作AH BC ⊥于点H ，EM BD ⊥于点M ，EN CF 于点N ．易证90BAC ∠=︒，45ABC ACB ∠=∠=︒，⊥AB AC =，⊥BH CH =，⊥6212sin 452AB BC ==︒，⊥6AH BH CH ===． ⊥4BC CD =，3CD =，⊥9DH =．由（2）得BC CF ⊥，15CF BD ==．⊥BC CF ⊥，EM BD ⊥，EN CF ，⊥四边形CMEN 是矩形，⊥NE CM =，EM CN =． ⊥90AHD ADE EMD ∠=∠=∠=︒，⊥90ADH EDM ∠+∠=︒，90EDM DEM ∠+∠=︒，⊥ADH DEM =∠∠． ⊥AD DE =，⊥()ADH DEM AAS △△≌，⊥9EM DH ==，6DM AH ==， ⊥9CN EM ==，9669EN CM DH DM CH ==+-=+-=．⊥45ABC ∠=︒，⊥45BGC ∠=︒，⊥12CG BC ==，⊥1293GN CG CN =-=-=． ⊥2239310EG +=15．【探究建模】已知正方形ABCD ，E ，F 为平面内两点．(1)如图1，当点E 在边AB 上时，DE ⊥DF ，且B ，C ，F 三点共线．求证：AE ＝CF ；(2)【类比应用】如图2，当点E 在正方形ABCD 外部时，DE ⊥DF ，AE ⊥EF ，且E ，C ，F 三点共线．①（1）中的结论AE＝CF还成立吗？请说明理由；②猜想并证明线段AE，CE，DE之间的数量关系．【答案】(1)见解析；(2)①成立，理由见解析；②EA+EC2，证明见解析【解析】(1)证明：⊥四边形ABCD是正方形，⊥DA＝DC，⊥A＝⊥ADC＝⊥DCB＝90°，⊥DE⊥DF，⊥⊥EDF＝⊥ADC＝90°，⊥⊥ADE＝⊥CDF，在⊥DAE和⊥DCF中，ADE CDF AD CDA DCF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，⊥⊥DAE⊥⊥DCF（ASA），⊥AE＝CF．(2)解：①（1）中的结论AE＝CF还成立．证明：⊥四边形ABCD是正方形，⊥DA＝DC，⊥DAB＝⊥ADC＝⊥DCB＝⊥DCF＝90°，⊥DE⊥DF，⊥⊥EDF＝⊥ADC＝90°，⊥⊥ADE＝⊥CDF，⊥AE⊥EF，⊥⊥AEF＝90°，⊥⊥DAE+⊥DCE＝180°，⊥⊥DCF+⊥DCE＝180°，⊥⊥DAE＝⊥DCF，在⊥DAE和⊥DCF中，ADE CDFAD CDDAE DCF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，⊥⊥DAE⊥⊥DCF（ASA），⊥AE＝CF．②解：结论：EA+EC2．理由：由①知，⊥DAE⊥⊥DCF（ASA），⊥AE＝CF，DE=DF，∥ADE=∥CDF,⊥∥EDF=90°，⊥⊥DEF为等腰直角三角形，⊥EF2⊥FC+EC2．⊥AE+EC2．。

三角形全等专题训练

三角形全等综合练习一1、如图（1）：AD ⊥BC ，垂足为D ，BD=CD 。

求证：△ABD ≌△ACD 。

2、如图（2）：AC ∥EF ，AC=EF ，AE=BD 。

求证：△ABC ≌△EDF 。

3、如图（3）：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。

求证：△AED ≌△BFC 。

4、如图（4）：AB=AC ，AD=AE ，AB ⊥AC ，AD ⊥AE 。

求证：（1）∠B=∠C ，（2）BD=CE5、如图（5）：AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AB=CD ，BC=DE 。

求证：AC ⊥CE 。

6、如图（6）：CG=CF ，BC=DC ，AB=ED ，点A 、B 、C 、D 、E 在同一直线上。

求证：（1）AF=EG ，（2）BF ∥DG 。

（图1）DC B A F E （图2）D C B A FE （图3）D C B A E（图4）D C B A GF E （图6）D C B A E （图5）D B A7、如图（7）：AC ⊥BC ，BM 平分∠ABC 且交AC 于点M 、N 是AB 的中点且BN=BC 。

求证：（1）MN 平分∠AMB ，（2）∠A=∠CBM 。

8、如图（8）：A 、B 、C 、D 四点在同一直线上，AC=DB ，BE ∥CF ，AE ∥DF 。

求证：△ABE ≌△DCF 。

9、如图（9）AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF 。

求证：AM 是△ABC 的中线。

10、如图（10）∠BAC=∠DAE ，∠ABD=∠ACE ，BD=CE 。

求证：AB=AC 。

11、如图（11）∠1=∠2，∠3=∠4，P 是BC 上任一点。

求证：PA=PD 。

34、如图：AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，过AD 的中点E 作EF ⊥AD 交BC 的延长线于F ，连结AF 。

求证：∠B=∠CAF 。

图12N M （图7）C B A FE （图8）D C B A MF E （图9）C B A E （图10）D C B A P 4321（图11）D B A FE D C B A三角形全等综合练习二13、如图（13）△ABC ≌△EDC 。

人教版八年级数学上册第11章三角形综合训练(含答案)(2022年最新)

6.在△ABC中，若∠B＝3∠A，∠C＝2∠B，则∠B的度数为()
A．18°B．36°C．54°D．90°
7.如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为()
A. 50°B. 51°C. 51.5°D. 52.5°
8.若多边形每一个内角都等于120°，则从此多边形的一个顶点出发的对角线共有()
三、解答题
15.小华与小明在讨论一个凸多边形的问题，他们的对话如下：
小华说：“这个凸多边形的内角和是2020°.”
小明说：“不可能吧！你错把一个外角当作内角了！”
请根据俩人的对话，回答下列问题：
(1)凸多边形的内角和为2020°，小明为什么说不可能？
(2)小华求的是几边形的内角和？
16.如图，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝310°，CF平分∠DCB，CF的反向延长线与∠EDC处的外角的平分线相交于点P，求∠P的度数．
A.n2+4n+2B.6n+1C.n2+3n+3D.2n+4
二、填空题:
13.一个三角形的两边长分别是2和4，第三边长为偶数，则这个三角形的周长是__．
14.如图所示，在△ABC中，AB = 5，BC = 7，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为________
15.若等腰三角形的腰长为6,则它的底边长a的取值范围是________;若等腰三角形的底边长为4,则它的腰长b的取值范围是_______.
（3）如果折成图3的形状，猜想∠BDA′，∠CEA′和∠A的关系，并说明理由．
2017-2018学年八年级数学上册
全等三角形判定填空题练习

三角形综合测试题及答案

第7章三角形综合测试（时间90分钟，满分100分）姓名：班级：成绩：一、填空题．（每小题2分，共28分）1．三角形的三个外角中，钝角的个数最多有______个，锐角最多_____个．2．造房子时屋顶常用三角结构，从数学角度来看，是应用了_______，而活动挂架则用了四边形的________．3．用长度为8cm，9cm，10cm的三条线段_______构成三角形．（•填“能”或“不能”）4．要使五边形木架不变形，则至少要钉上_______根木条．5．已知在△ABC中，∠A=40°，∠B-∠C=40°，则∠B=_____，∠C=______．6．如图1所示，AB∥CD，∠A=45°，∠C=29°，则∠E=______．(1) (2) (3)7．如图2所示，∠α=_______．8．正十边形的内角和等于______，每个内角等于_______．9．一个多边形的内角和是外角和的一半，则它的边数是_______．10．把边长相同的正三角形和正方形组合镶嵌，若用2个正方形，则还需要____个正三角形才可以镶嵌．11．等腰三角形的周长为20cm，一边长为6cm，则底边长为______．12．如果一个多边形的内角和为1260°，那么这个多边形的一个顶点有_____•条对角线．13．如图3所示，共有_____个三角形，其中以AB为边的三角形有_____，以∠C•为一个内角的三角形有______．14．如图4所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=________．(4) (5) (6)二、选择题:（每小题3分，共24分）15．下列说法错误的是（）．A．锐角三角形的三条高线，三条中线，三条角平分线分别交于一点B．钝角三角形有两条高线在三角形外部C．直角三角形只有一条高线D．任意三角形都有三条高线，三条中线，三条角平分线16．在下列正多边形材料中，不能单独用来铺满地面的是（）．A．正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形17．如图5所示，在△ABC中，D在AC上，连结BD，且∠ABC=∠C=∠1，∠A=∠3，则∠A 的度数为（）．A．30° B．36° C．45° D．72°18．D是△ABC内一点，那么，在下列结论中错误的是（）．A．BD+CD>BC B．∠BDC>∠A C．BD>CD D．AB+AC>BD+CD19．正多边形的一个内角等于144°，则该多边形是正（）边形．A．8 B．9 C．10 D．1120．如图6所示，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的两条角平分线，∠A=100°，则∠BOC的度数为（）．A．80° B．90° C．120° D．140°21．如果多边形的内角和是外角和的k倍，那么这个多边形的边数是（）．A．k B．2k+1 C．2k+2 D．2k-222．如图所示，在长为5cm，宽为3cm的长方形内部有一平行四边形，则平行四边形的面积为（）．A．7cm2B．8cm2C．9cm2D．10cm2三、解答题:（共48分）23．如图所示，在△ABC中：（1）画出BC边上的高AD和中线AE．（3分）（2）若∠B=30°，∠ACB=130°，求∠BAD和∠CAD的度数．（5分）24．（5分）如图所示，BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，BE和DE相交于AC上一点E，•如果∠BED=90°，试说明AB∥CD．25．（5分）如图所示，直线AD和BC相交于O，AB∥CD，∠AOC=95°，∠B=50°，•求∠A和∠D．26．（1）若多边形的内角和为2340°，求此多边形的边数．（4分）（2）一个多边形的每个外角都相等，如果它的内角与外角的度数之比为13：12，求这个多边形的边数．（4分）27．（5分）一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B与∠C•应分别是32°和21°，检验工人量得∠BDC=148°，就判断这个零件不合格，试用三角形有关知识说明理由．28．（5分）园艺师从土地上收集了许多大理石的边角料，•准备给公共绿地的甬道铺地面，其中最多的一种边角材料形状如图所示，你能否用这种边角料铺满地面？•如果能，请设计出至少两种方案．四、思维拓展题:（共6分）29．请完成下面的说明:（1）如图①所示，△ABC的外角平分线交于G，试说明∠BGC=90°-12∠A ．说明：根据三角形内角和等于180°，可知∠ABC+∠ACB=180°-∠_____．根据平角是180°，可知∠ABE+∠ACF=180°×2=360°，所以∠EBC+∠FCB=360°-（∠ABC+∠ACB）=360°-（180°-∠_____）=180•°+•∠______．根据角平分线的意义，可知∠2+∠3=12（∠EBC+∠FCB）=12（180°+∠_____）=90°+12∠_______．所以∠BGC=180°-（∠2+∠3）=90°-∠____．（2）如图②所示，若△ABC的内角平分线交于点I，试说明∠BIC=90°+12∠A．（3）用（1），（2）的结论，你能说出∠BGC和∠BIC的关系吗？①②五、合作探究题:（共6分）30．如图所示，分别在三角形，四边形，五边形的广场各角修建半径为R•的扇形草坪（图中阴影部分）．（1）图①中草坪的面积为_____;（2）图②中草坪的面积为_____;（3）图③中草坪的面积为_____;（4）如果多边形的边数为n，其余条件不变，那么，你认为草坪的面积为_____．答案:一、1．3 12．三角形的稳定性不稳定性3．能 4．两 5．90° 50° 6．16°7．75° 8．1440° 144° 9．3 10．311．8cm或6cm 12．613．3 △ABD，△ABC △ACD，△ACB14．180°二、15．C 16．C 17．B 18．C 19．C 20．D 21．C 22．A三、23．（1）如答图所示．（2）∠BAD=60°，∠CAD=40°．24．证明：在△BDE中，∵∠BED=90°，∠BED+∠EBD+∠EDB=180°，∴∠EBD+∠EDB=180°-∠BED=180°-90°=90°．又∵BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，∴∠ABD=2∠EBD，∠CDB=2∠EDB，∴∠ABD+∠CDB=2（∠EBD+∠EDB）=2×90°=180°，∴AB∥CD．25．解：∵∠AOC是△AOB的一个外角．∴∠AOC=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）．∵∠AOC=95°，∠B=50°，∴∠A=∠AOC-∠B=95°-50°=45°．∵AB∥CD，∴∠D=∠A（两直线平行，内错角相等）∴∠D=45°．26．解：（1）设边数为n，则（n-2）·180°=2340，n=15．答：边数为15．（2）每个外角度数为180°×215=24°．∴多边形边数为36024︒︒=15．答：边数为15．27．解：延长BD交AC于点E，∠CDB=90°+32°+21°=143°，所以不合格．28．能：如答图所示．四、29．（1）A A A A A A（2）说明：根据三角形内角和等于180°，可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，根据角平分线的意义，有∠6+∠8=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°-∠A）=90°-12∠A，所以∠BIC=180°-（∠6+∠8）=180°-（90°-12∠A）=90°+12∠A，即∠BIC=90°+12∠A．（3）互补．五、30．（1）12πR2（2）πR2（3）32πR2（4）22n-πR2。

三角形练习题（含答案和解释）

三角形练习题(含答案和解释)一、选择题1．在△ABC中，下列a与bsin A的关系正确的是( )A．a>bsin AB．a≥bsin AC．a<bsin AD．a≤bsin A【解析】由正弦定理得asin A＝bsin B，所以a＝bsin Asin B，又因为sin B∈(0，1]，所以a≥bsin A。

【答案】 B2．△ABC中，a＝5，b＝3，sin B＝22，则符合条件的三角形有( )A．1个B．2个C．3个D．0个【解析】∵asin B＝102，asin B<b＝3<a＝5，符合条件的三角形有2个。

【答案】 B3．在△ABC中，若A＝75°，B＝45°，c＝6，则△ABC的.面积为( )A．9＋33B.9（6－2）2C.9＋332D.9（6＋2）2【解析】 A＝75°，B＝45°，C＝60°，b＝csin Bsin C＝6×2232＝26，S△ABC＝12bcsin A＝12×26×6×6＋24＝9＋33。

【答案】 A4．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且acs B＋acs C＝b＋c，则△ABC的形状是( )A．等边三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形【解析】 acs B＋acs C＝b＋c，故由正弦定理得，sin Acs B＋sin Acs C＝sin B＋sin C＝sin(A＋C)＋sin(A＋B)，化简得：cs A(sin B＋sin C)＝0，又sin B＋sin C＞0，cs A＝0，即A＝π2，△ABC为直角三角形。

【答案】 D5．(2012天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cs C＝( )A.725B．－725C．±725D.2425【解析】由bsin B＝csin C，且8b＝5c，C＝2B，所以5csin 2B ＝8csin B，所以cs B＝45.所以cs C＝cs 2B＝2cs2B－1＝725.x b 1。

三角形综合训练(构造等腰)(人教版)(含答案)

三角形综合训练（构造等腰）（人教版）一、单选题(共7道，每道12分)1.如图，线段AB，BC的垂直平分线CD，DE相交于点D，∠ADC=50°，则∠ABC=( )A.10°B.30°C.25°D.40°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：垂直平分线的性质2.如图，在长方形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点处，交AD于点E，若BC=6，CD=3，则线段DE的长为( )A.3B.C.5D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题3.如图，在△ABC中，BG，CG分别平分∠ABC，∠ACF，DE过点G，且DE∥BC，若BD=8cm，CE=5cm，则DE=( )A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：角平分线加平行会出现等腰三角形4.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A=∠ABE，若AC=5，BC=3，则BD的长为( )A.2.5B.1.5C.2D.1答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：三线合一5.如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠ABE=54°，则∠BED的度数为( )A.108°B.120°C.126°D.144°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：由“三线合一”想到构造等腰三角形6.如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，AD⊥BE于D．有下列结论：①AC-BE=AE；②∠BAD-∠C=∠DAE；③∠DAE=∠C．其中正确的是( )A.①②B.②③C.①③D.①②③答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：由“三线合一”想到构造等腰三角形7.如图，BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，已知AG⊥BD，AF⊥CE，若BF=1，FG=3，GC=2，则△ABC的周长为( )A.10B.12C.14D.15答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：两线重合想等腰二、填空题(共1道，每道16分)8.如图，△ABC中，AP垂直∠ABC的平分线BP于点P．若△PBC的面积为6，且△APB的面积是△APC的面积的2倍，则△APB的面积=____．答案：4解题思路：试题难度：知识点：角平分线加垂直出现等腰三角形。

三角形综合训练(两圆一线) (人教版)(含答案)

三角形综合训练（两圆一线）（人教版）一、单选题(共8道，每道12分)1.已知：如图，线段AB的端点A在直线上，AB与的夹角为60°，请在直线上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的存在性2.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（2，2），在x轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有( )A.4个B.3个C.2个D.1个答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：两圆一线构造等腰三角形3.如图，已知直线PQ⊥MN于点O，点A，B分别在MN，PQ上，OA=1，OB=2，在直线MN 或直线PQ上找一点C，使△ABC是等腰三角形，则这样的点C有( )个．A.3B.4C.7D.8答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：两圆一线构造等腰三角形4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有( )A.4个B.5个C.6个D.7个答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：两圆一线构造等腰三角形5.如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，BP=4，∠PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有( )个．A.3B.4C.5D.6答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：两圆一线构造等腰三角形6.如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰．这样的C点有( )个．A.8B.9C.10D.11答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：两圆一线构造等腰三角形7.如图，在长方形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4.如果BC边上存在点P，使△APD为等腰三角形，则BP的长为( )A.或B.或2C.或2D.，或2答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：两圆一线构造等腰三角形8.如图，已知平面直角坐标系中有点A(3，0)和点B(0，-4)，在x轴上存在一点C，使得△ABC 为等腰三角形，则点C的坐标为( )A.(-4，0)，(-1，0)，(9，0)或B.(0，-4)，(0，-1)，(0，9)或C.(8，0)，(-2，0)，(-3，0)或D.(0，8)，(0，-2)，(0，-3)或答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：两圆一线构造等腰三角形。

等边三角形典型试题综合训练(含解析)印刷版

等边三角形典型试题综合训练一．选择题（共8小题）1．下列关于等边三角形的说法正确的有（）①等边三角形的三个角相等，并且每一个角都是60°；②三边相等的三角形是等边三角形；③三角相等的三角形是等边三角形；④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④2．如图：等边三角形ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（）A．45°B．55°C．60°D．75°3．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，连接DE．下面给出的四个结论，其中正确的个数是（）①BD⊥AC；②BD平分∠ABC；③BD=DE；④∠BDE=120°．A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，△ABC、△DEF和△GMN都是等边三角形，且点E、M在线段AC上，点G在线段EF上，那么∠1+∠2+∠3等于（）A．90°B．120°C．150°D．180°5．如图所示，△ABC中，AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（）A．45°B．55°C．75°D．60°6．如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE，OF分别于两边垂直，等边三角形的高为2，则OE+OF的值为（）A．1 B．3 C．2 D．47．如图，一个足够大的五边形，它的一个内角是120°，将120°角的顶点绕一个小正三角形的中心O旋转，则重叠部分的面积为正三角形面积的（）A．B．C．D．不断变化8．如图所示，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接FG，则下列结论：①AE=BD；②AG=BF；③FG∥BE；④CF=CG．其中正确结论的个数（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共7小题）9．等边三角形的性质（1）等边三角形的三个内角都，并且每一个角都等于．（2）等边三角形是轴对称图形，共有条对称轴．（3）等边三角形每边上的、和该边所对内角的平分线互相重合．10．如图，已知点D，E是BC上的三等分点，△ADE是等边三角形，那么∠BAC的度数为．11．如图，△ABD，△ACE都是正三角形，BE和CD交于O点，则∠BOC=度．12．△ABC是等边三角形，点D是BC边上的任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BN⊥AC于点N，则DE，DF，BN三者的数量关系为．13．如图，已知等边△ABC，AB=6，点D在AB上，点F在AC的延长线上，BD=CF，DF交BC于点P，作DE⊥BC与点E，则EP的长是．14．如图，等边△ABC的边长为1，在边AB上有一点P，Q为BC延长线上的一点，且CQ=PA，过点P作PE⊥AC于点E，连接PQ交AC于点D，则DE的长为．15．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①BE=FD；②∠BFE=∠CFD；③△EBF≌△DFC．其中正确的结论是（请写出正确结论的序号）．三．解答题（共8小题）16．已知，如图，等边△ABC中，点D为BC延长线上一点，点E为CA延长线上一点，且AE=DC，求证：AD=BE．17．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，CE=CD，（1）求证：DB=DE．（2）在图中过D作DF⊥BE交BE于F，若CF=4，求△ABC的周长．18．在等边△ABC中，点E在AB上，点D在CB延长线上，且ED=EC．（1）当点E为AB中点时，如图①，AE DB（填“＞”“＜”或“=”）（2）当点E为AB上任意一点时，如图②，AE DB（填“＞”“＜”或“=”），并说明理由．（提示：过E 作EF∥BC，交AC于点F）19．如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点．20．如图，以△ABC的两边AB、AC向外作等边三角形ABE和等边三角形ACD，连接BD、CE，相交于O．（1）试写出图中和BD相等的一条线段并说明你的理由；（2）求出BD和CE的夹角大小，若改变△ABC的形状，这个夹角的度数会发生变化吗？请说明理由．21．如图，△ABC和△ADC都是边长相等的等边三角形，点E、F同时分别从点B、A出发，各自沿BA、AD方向运动到点A、D停止，运动的速度相同，连接EC、FC．（1）在点E、F运动过程中∠ECF的大小是否随之变化？请说明理由；（2）在点E、F运动过程中，以点A、E、C、F为顶点的四边形的面积变化了吗？请说明理由；（3）连接EF，在图中找出和∠ACE相等的所有角，并说明理由．22．已知△ABC为等边三角形，D为AC的中点，∠EDF=120°，DE交线段AB于E，DF交直线BC于F．（1）如图（1），求证：DE=DF；（2）如图（2），若BE=3AE，求证：CF=BC．（3）如图（3），若BE=AE，则CF=BC；在图（1）中，若BE=4AE，则CF=BC．23．阅读材料：如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：，∴r1+r2=h（定值）．（1）类比与推理如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3=h （定值）．（2）理解与应用△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？（填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r=．若不存在，请说明理由．等边三角形典型试题综合训练参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．下列关于等边三角形的说法正确的有（）①等边三角形的三个角相等，并且每一个角都是60°；②三边相等的三角形是等边三角形；③三角相等的三角形是等边三角形；④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④【分析】根据等边三角形的判定和性质对各个选项逐一分析即可．【解答】解：根据等边三角形的每个角都是60°；故①正确．根据等边三角形的概念：三边相等的三角形是等边三角形．故②正确；根据等边对等角；故③正确；根据等边三角形的判定；故④正确．故选D．2．如图：等边三角形ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（）A．45°B．55°C．60°D．75°【分析】根据题目已知条件可证△ABD≌△BCE，再利用全等三角形的性质及三角形外角和定理求解．【解答】解：∵等边△ABC，∴∠ABD=∠C，AB=BC，在△ABD与△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD=∠CBE，∵∠ABE+∠EBC=60°，∴∠ABE+∠BAD=60°，∴∠APE=∠ABE+∠BAD=60°，∴∠APE=60°．故选C3．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，连接DE．下面给出的四个结论，其中正确的个数是（）①BD⊥AC；②BD平分∠ABC；③BD=DE；④∠BDE=120°．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】因为△ABC是等边三角形，又BD是AC上的中线，所以有，AD=CD，∠ADB=∠CDB=90°（①正确），且∠ABD=∠CBD=30°（②正确），∠ACB=∠CDE+∠DEC=60°，又CD=CE，可得∠CDE=∠DEC=30°，所以就有，∠CBD=∠DEC，即DB=DE（③正确），∠BDE=∠CDB+∠CDE=120°（④正确）；由此得出答案解决问题．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，BD是AC上的中线，∴∠ADB=∠CDB=90°，BD平分∠ABC；∴BD⊥AC；∵∠ACB=∠CDE+∠DEC=60°，CD=CE，∴∠CDE=∠DEC=30°，∴∠CBD=∠DEC，∴DB=DE．∠BDE=∠CDB+∠CDE=120°，所以这四项都是正确的．故选：D．4．如图，△ABC、△DEF和△GMN都是等边三角形，且点E、M在线段AC上，点G在线段EF上，那么∠1+∠2+∠3等于（）A．90°B．120°C．150°D．180°【分析】由等边三角形的性质和平角的定义以及三角形内角和定理即可得出结果．【解答】解：∵△ABC、△DEF和△GMN都是等边三角形，∴∠GMN=∠MGN=∠DEF=60°，∵∠1+∠GMN+∠GME=180°，∠2+∠MGN+∠EGM=180°，∠3+∠DEF+∠MEG=180°，∴∠1+∠GMN+∠GME+∠2+∠MGN+∠EGM+∠3+∠DEF+∠MEG=3×180°，∵∠GME+∠EGM+∠MEG=180°，∴∠1+∠2+∠3=3×180°﹣180°﹣3×60°=180°；故选：D．5．如图所示，△ABC中，AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（）A．45°B．55°C．75°D．60°【分析】易证△ABD≌△BCE，可得∠BAD=∠CBE，根据∠APE=∠ABE+∠BAD，∠ABE+∠CBE=60°即可求得∠APE=∠ABC，即可解题．【解答】解：在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD=∠CBE，∵∠APE=∠ABE+∠BAD，∠ABE+∠CBE=60°，∴∠APE=∠ABC=60°．故选D．6．如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE，OF分别于两边垂直，等边三角形的高为2，则OE+OF的值为（）A．1 B．3 C．2 D．4【分析】利用等边三角形的特殊角求出OE与OF的和，可得出其与三角形的高相等，进而可得出结论．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°又∵OE⊥AB，OF⊥AC，∠B=∠C=60°，∴OE=OB•sin60°=OB，同理OF=OC．∴OE+OF=（OB+OC）=BC．在等边△ABC中，高h=AB=BC．∴OE+OF=h．又∵等边三角形的高为2，∴OE+OF=2，故选C．7．如图，一个足够大的五边形，它的一个内角是120°，将120°角的顶点绕一个小正三角形的中心O旋转，则重叠部分的面积为正三角形面积的（）A．B．C．D．不断变化【分析】本题考查了等边三角形的性质．这类选择题可以取特殊情况进行分析解答，即使五边形继续转动到B点位于OD上、C点位于OG上时，得出答案．【解答】解：设OD交AB于P，OG交BC于Q．过O点作AB、BC的垂线，垂足分别为M、N，则三角形OMP全等于三角形ONQ．所以无论如何旋转，阴影部分面积始终等于四边形OMBN的面积．则使五边形继续转动，使B点位于OD上、C点位于OG上，则∠BOC=120°根据等边三角形的性质，即：阴影部分面积是等边三角形的．故选C．8．如图所示，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接FG，则下列结论：①AE=BD；②AG=BF；③FG∥BE；④CF=CG．其中正确结论的个数（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】首先根据等边三角形的性质，得到BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠BCD=60°，然后由SAS判定△BCD ≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等即可证得①正确；又由全等三角形的对应角相等，得到∠CBD=∠CAE，根据ASA，证得△BCF≌△ACG，即可得到②正确，同理证得CF=CG，得到△CFG是等边三角形，易得③④正确．【解答】解：∵△ABC和△DCE均是等边三角形，∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠ECD，∠ACD=60°，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴AE=BD，（①正确）∠CBD=∠CAE，∵∠BCA=∠ACG=60°，AC=BC，∴△BCF≌△ACG（ASA），∴AG=BF，（②正确）同理：△DFC≌△EGC（ASA），∴CF=CG，∴△CFG是等边三角形，∴CF=CG∴∠CFG=∠FCB=60°，∴FG∥BE，（③④正确）所以结论①②③④正确，故选：D．二．填空题（共7小题）9．等边三角形的性质（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．（2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴．（3）等边三角形每边上的中线、高线和该边所对内角的平分线互相重合．【分析】（1）根据等边三角形性质中内角度数进而填空得出；（2）利用轴对称图形的性质得出即可；（3）根据等腰三角形性质三线合一的性质可得出．【解答】解：（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°；（2）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；（3）等边三角形每边上的中线、高线和该边所对内角的平分线互相重合．故答案为：（1）相等，60°；（2）三；（3）中线，高线．10．如图，已知点D，E是BC上的三等分点，△ADE是等边三角形，那么∠BAC的度数为120°．【分析】利用等边三角形的性质以及等腰三角形的性质得出∠B=∠BAD=∠C=∠EAC=30°，进而利用三角形内角和定理求出即可．【解答】解：∵E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，∴BD=DE=EC=AD=AE，∠ADE=∠AED=60°，∴∠B=∠BAD=∠C=∠EAC=30°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=120°．故答案为：120°．11．如图，△ABD，△ACE都是正三角形，BE和CD交于O点，则∠BOC=120度．【分析】根据等边三角形的性质及全等三角形的判定SAS判定△DAC≌△BAE，得出对应角相等，再根据角与角之间的关系得出∠BOC=120°．【解答】解：∵△ABD，△ACE都是正三角形∴AD=AB，∠DAB=∠EAC=60°，AC=AE，∴∠DAC=∠EAB∴△DAC≌△BAE（SAS）∴DC=BE，∠ADC=∠ABE，∠AEB=∠ACD，∴∠BOC=∠CDB+∠DBE=∠CDB+∠DBA+∠ABE=∠ADC+∠CDB+∠DBA=120°．故填120．12．△ABC是等边三角形，点D是BC边上的任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BN⊥AC于点N，则DE，DF，BN三者的数量关系为BN=DE+DF．【分析】连接AD，利用三角形的面积相等结合等边三角形的性质可得到BN=DE+DF．【解答】解：BN=DE+DF，证明如下：连接AD，∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，∴AC•BN=AB•DE+AC•DF，∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∴AC•BN=AC•DE+AC•DF，∴BN=DE+DF．故答案为：BN=DE+DF．13．如图，已知等边△ABC，AB=6，点D在AB上，点F在AC的延长线上，BD=CF，DF交BC于点P，作DE⊥BC与点E，则EP的长是3．【分析】过点D作DH∥AC交BC于H，判断出△BDH是等边三角形，从而求出HD=CF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠PCF=∠PHD，然后利用“角角边”证明△PCF和△PHD全等，根据全等三角形对应边相等可得PC=PH，再根据等边三角形的性质可得BE=EH，然后求出EP=BC，从而得解．【解答】解：如图，过点D作DH∥AC交BC于H，∵△ABC是等边三角形，∴△BDH也是等边三角形，∴BD=HD，∵BD=CF，∴HD=CF，∵DH∥AC，∴∠PCF=∠PHD，在△PCF和△PHD中，，∴△PCF≌△PHD（AAS），∴PC=PH，∵△BDH是等边三角形，DE⊥BC，∴BE=EH，∴EP=EH+HP=BC，∵等边△ABC，AB=6，∴EP=×6=3．故答案为：3．14．如图，等边△ABC的边长为1，在边AB上有一点P，Q为BC延长线上的一点，且CQ=PA，过点P作PE⊥AC于点E，连接PQ交AC于点D，则DE的长为．【分析】过P作BC的平行线至AC于F，通过求证△PFD和△QCD全等，推出FD=CD，再通过证明△APF 是等边三角形和PE⊥AC，推出AE=EF，即可推出AE+DC=EF+FD，可得ED=AC，即可推出ED的长度．【解答】解：过P做BC的平行线至AC于F，∴∠Q=∠FPD，∵等边△ABC，∴∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，∴△APF是等边三角形，∴AP=PF，AP=CQ，∵AP=CQ，∴PF=CQ，∵在△PFD和△QCD中，，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD=CD，∵PE⊥AC于E，△APF是等边三角形，∴AE=EF，∴AE+DC=EF+FD，∴ED=AC，∵AC=1，∴DE=．故答案为．15．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①BE=FD；②∠BFE=∠CFD；③△EBF≌△DFC．其中正确的结论是①③（请写出正确结论的序号）．【分析】由三角形ABE与三角形BCF都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，∠ABE=∠CBF=60°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形EBF与三角形DFC全等解答即可．【解答】解：∵△ABE、△BCF为等边三角形，∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°，∴∠ABE﹣∠ABF=∠FBC﹣∠ABF，即∠CBA=∠FBE，在△ABC和△EBF中，，∴△ABC≌△EBF（SAS），∴EF=AC，又∵△ADC为等边三角形，∴CD=AD=AC，∴EF=AD=DC，同理可得△ABC≌△DFC，∴DF=AB=AE=DF；∴∠FEA=∠ADF，∴∠FEA+∠AEB=∠ADF+∠ADC，即∠FEB=∠CDF，在△FEB和△CDF中，．∴△FEB≌△CDF（SAS），∴BE=FD；∠BFE=∠FCD；故答案为：①③三．解答题（共8小题）16．已知，如图，等边△ABC中，点D为BC延长线上一点，点E为CA延长线上一点，且AE=DC，求证：AD=BE．【分析】先根据等边△ABC中，AB=CA，∠BAC=∠ACB=60°，得出∠EAB=∠DCA=120°，再根据SAS即可判定△EAB≌△DCA，进而得出结论．【解答】证明：在等边△ABC中，AB=CA，∠BAC=∠ACB=60°，∴∠EAB=∠DCA=120°．在△EAB和△DCA中，，∴△EAB≌△DCA（SAS），∴AD=BE．17．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，CE=CD，（1）求证：DB=DE．（2）在图中过D作DF⊥BE交BE于F，若CF=4，求△ABC的周长．【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°，再根据角之间的关系求得∠DBC=∠CED，根据等角对等边即可得到DB=DE．（2）由DF的长可求出CD，进而可求出AC的长，则△ABC的周长即可求出．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，∴∠ABC=∠ACB=60°．∠DBC=30°（等腰三角形三线合一）．又∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，∴∠CDE=∠CED=∠BCD=30°．∴∠DBC=∠DEC．∴DB=DE（等角对等边）；（2）解：∵∠CDE=∠CED=∠BCD=30°，∴∠CDF=30°，∵CF=4，∴DC=8，∵AD=CD，∴AC=16，∴△ABC的周长=3AC=48．18．在等边△ABC中，点E在AB上，点D在CB延长线上，且ED=EC．（1）当点E为AB中点时，如图①，AE=DB（填“＞”“＜”或“=”）（2）当点E为AB上任意一点时，如图②，AE=DB（填“＞”“＜”或“=”），并说明理由．（提示：过E 作EF∥BC，交AC于点F）【分析】（1）先证AE=BE，再证∠D=∠DEB，得出DB=BE，即可得出DB=AE；（2）过点E作EF∥BC，交AC于F，先证明△AEF是等边三角形，得出AE=EF，再证明△DBE≌△EFC，得出DB=EF，即可证出AE=DB．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，E为AB的中点，∴∠ABC=60°，AE=BE，∠ECB=30°，∵ED=EC，∴∠D=∠ECB=30°，∵∠ABC=∠D+∠DEB，∴∠DEB=30°，∴∠D=∠DEB，∴DB=BE，∴DB=AE；故答案为：=；（2）DB=AE成立；理由如下：过点E作EF∥BC，交AC于F，如图2所示：则∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∠CEF=∠ECD，∵∠A=∠ABC=∠ACB=60°，∴∠A=∠AEF=∠AFE=60°，∠DBE=120°，∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF，∠EFC=120°，∴BE=CF，∠DBE=∠EFC，∵ED=EC，∴∠D=∠ECD，∴∠D=∠CEF，在△DBE和△EFC中，，∴△DBE≌△EFC（AAS），∴DB=EF，∴AE=DB；故答案为：=．19．如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点．【分析】要证M是BE的中点，根据题意可知，证明△BDE△为等腰三角形，利用等腰三角形的高和中线向重合即可得证．【解答】证明：连接BD，∵在等边△ABC，且D是AC的中点，∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°，∠ACB=60°，∵CE=CD，∴∠CDE=∠E，∵∠ACB=∠CDE+∠E，∴∠E=30°，∴∠DBC=∠E=30°，∴BD=ED，△BDE为等腰三角形，又∵DM⊥BC，∴M是BE的中点．20．如图，以△ABC的两边AB、AC向外作等边三角形ABE和等边三角形ACD，连接BD、CE，相交于O．（1）试写出图中和BD相等的一条线段并说明你的理由；（2）求出BD和CE的夹角大小，若改变△ABC的形状，这个夹角的度数会发生变化吗？请说明理由．【分析】（1）EC=BD，理由为：由△ABE和△ACD都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到∠EAB=∠DAC=60°，AE=AB，AD=AC，利用等式的性质得到∠EAC=∠BAD，利用SAS可得出△AEC≌△ABD，利用全等三角形的对应边相等即可得证；（2）BD和CE的夹角大小为60°，若改变△ABC的形状，这个夹角的度数不变，理由为：由三角形ADC 为等边三角形，得到∠ADC=∠ACD=60°，再由（1）得到△AEC≌△ABD，利用全等三角形的对应角相等得到∠ACE=∠ADB，由∠EOD为三角形OCD的外角，利用三角形的外角性质及等量代换可得出∠EOD=∠ADC+∠ACD，可求出∠EOD的度数，利用邻补角定义求出∠DOC的度数，即为BD与CE的夹角．【解答】解：（1）EC=BD，理由为：∵△ABE和△ACD都为等边三角形，∴∠EAB=∠DAC=60°，AE=AB，AD=AC，∴∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，在△AEC和△ABD中，，∴△AEC≌△ABD（SAS），∴EC=BD；（2）BD和CE的夹角大小为60°，若改变△ABC的形状，这个夹角的度数不变，理由为：∵△ADC为等边三角形，∴∠ADC=∠ACD=60°，∵△AEC≌△ABD，∴∠ACE=∠ADB，∵∠EOD为△COD的外角，∴∠EOD=∠ODC+∠OCD=∠ODC+∠ACD+∠ACE=∠ODC+∠ADB+∠ACD=∠ADC+∠ACD=120°，即∠DOC=60°，则BD和CE的夹角大小为60°．21．如图，△ABC和△ADC都是边长相等的等边三角形，点E、F同时分别从点B、A出发，各自沿BA、AD方向运动到点A、D停止，运动的速度相同，连接EC、FC．（1）在点E、F运动过程中∠ECF的大小是否随之变化？请说明理由；（2）在点E、F运动过程中，以点A、E、C、F为顶点的四边形的面积变化了吗？请说明理由；（3）连接EF，在图中找出和∠ACE相等的所有角，并说明理由．【分析】（1）根据SAS证明△BCE≌△ACF，得到∠ECB=∠FCA，从而证明结论；（2）结合（1）中证明的全等三角形，即可发现以点A、E、C、F为顶点的四边形的面积即为△ABC的面积；（3）根据等边三角形的判定可以证明△ECF是等边三角形，再进一步根据平角定义，得到∠AFE+∠DFC=120°，则∠AFE=∠FCD，从而求解．【解答】解：（1）∠ECF不变为60°．（1分）理由如下：∵△ABC和△ADC都是边长相等的等边三角形，∴BC=AC=CD，∠B=∠DAC=60°，又∵E、F两点运动时间、速度相等，∴BE=AF，∴△BCE≌△ACF（SAS），∴∠ECB=∠FCA．（4分）所以∠ECF=∠FCA+∠ACE=∠ECB+∠ACE=∠BCA=60°；（6分）（2）不变化．理由如下：∵四边形AECF的面积=△AFC的面积+△AEC的面积，△BCE≌△ACF，∴△AEC的面积+△BEC的面积=△ABC的面积；（8分）（3）证明：由（1）知CE=CF，∠ECF=60°，∴△CEF为等边三角形，∵∠FCD+∠DFC=120°，∠AFE+∠DFC=120°，∴∠ECF﹣∠ACF=∠ACD﹣∠ACF，即∠AFE=∠FCD，所以∠ACE=∠FCD=∠AFE．（10分）22．已知△ABC为等边三角形，D为AC的中点，∠EDF=120°，DE交线段AB于E，DF交直线BC于F．（1）如图（1），求证：DE=DF；（2）如图（2），若BE=3AE，求证：CF=BC．（3）如图（3），若BE=AE，则CF=BC；在图（1）中，若BE=4AE，则CF=BC．【分析】（1）根据对角和是180°可推断出BEFD四点共圆，然后在由同（等）圆中，相等的圆周角所对弧相等来证明DE=DF；（2）先证明△BDE和△BDF是直角三角形，然后利用（1）的结果证明Rt△BED≌Rt△BFD（HL）；最后根据全等三角形的性质来证明、计算CF=BC；（3）过点D作DH∥BC，交AB于点H．根据平行线的性质及全等三角形的判定定理（SAS）证明△DHE ≌△DCF（SAS）；然后再由全等三角形的性质及等边三角形的性质找出CF与BC的数量关系．【解答】证明：（1）连接BD．∵∠EDF=120°，∠B=60°，∴BEFD四点共圆；又∵D为AC中点，∴在等边三角形ABC中，BD为∠ABC的角平分线，∴DE和DF在BEFD四点所构成的圆内，其圆周角相等，∴DE=DF；（2）连接BD．由（1）知，四边形BEFD是圆内接四边形，又∵在等边三角形ABC中，BD为∠ABC的角平分线，∴BD也是∠EDF的角平分线，∴∠DEB=180°﹣=90°，∴△BED是直角三角形；同理，得△BFD是直角三角形；在Rt△BED和Rt△BFD中，BD=DB（公共边），DE=DF（由上题知），∴Rt△BED≌Rt△BFD（HL），∴BE=BF（对应边相等）；又∵AB=BC，BE=3AE∴CF=BC；（3）过点D作DH∥BC，交AB于点H．∴∠CDH+∠BCA=180°，∴∠CDH=120°；又∵D为AC中点，∴DH=BC=DC；∵∠HDE+∠EDC=120°，∠FDC+∠EDC=120°，∴∠HDE=∠FDC；又由ED=FD，∴△DHE≌△DCF（SAS）；∴HE=FC；①∵BE=AE，AB=BC，∴BE=BC，∵AH=BC，∴HE=BC﹣AH﹣BE=BC，∴BC；②∵BE=4AE，∴AE=BC，如图（1），连接BD．在Rt△BED和Rt△BFD中，，则Rt△BED≌Rt△BFD，∴BE=BF，∴FC=BC﹣BF=AB﹣BE=AE=BC；故答案分别是：，．23．阅读材料：如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：，∴r1+r2=h（定值）．（1）类比与推理如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3=h （定值）．（2）理解与应用△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？存在（填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r=2．若不存在，请说明理由．【分析】（1）连接AP，BP，CP．根据三角形ABC的面积的两种计算方法进行证明；（2）根据角平分线上的点到角两边的距离相等进行求作．【解答】证明：（1）连接AP，BP，CP．则S△ABP+S△BCP+S△ACP=S△ABC，即，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∴r1+r2+r3=h（定值）；（2）存在．r=2．。

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【参考答案】
巩固练习 1. C 2. A 3. 7 4. C 5. 2 cm2 6. 4 7. 4 8. 4 9. ①②③ 思考小结
等边三角形结构分析：（1）三边都相等，三个角都是 60° （2）三线合一，3 （3） 3 a2
4 等腰三角形结构分析：（1）两腰相等，两底角都是 45° （2）三线合一，1 （3） a2
三角形综合训练（习题）
例题示范
例 1：如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=120°，EF 垂直平分 AB，垂足为点 E，EF 交 BC 于点 F．若 BC=12cm，则 EF=________．
思路分析：
1. 标注条件，合理转化（如 AB=AC 转为∠B=∠C） 2. 分析结构，整合信息
①垂直平分，连 AF，转移边和角 ②在 Rt△ACF 中，∠C=30°，得 AF BF 1 CF 4
2
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（3）面积：边长为 a 的等边三角形的面积为____________．
3
（4）构造：几何变换（旋转、折叠）旋转变换：对应点到旋转中心的距离相等，即会出现等腰三角形，当旋转 60°时，会出现等边三角形；折叠变换：对称轴上的点到对应点的距离相等，即会出现等腰三角形，将含有 30°角的直角三角形沿长直角边翻折，会出现等边三角形．等腰直角三角形结构分析：（1）边和角：__________________，__________________．（2）特殊的线：（顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高）____________________．等腰直角三角形有_______条对称轴，把它分为两个含有 45°角的直角三角形．
（3）面积：直角边为 a 的等腰直角三角形的面积为________．（4）构造：几何变换（旋转、折叠）旋转变换：对应点到旋转中心的距离相等，即会出现等腰三角形，当旋转 90°时，会出现等腰直角三角形；折叠变换：对称轴上的点到对应点的距离相等，即会出现等腰三角形，将含有 45°角的直角三角形沿直角边翻折，会出现等腰直角三角形．
2
8. 如图，D 为∠BAC 的平分线上一点，过点 D 作 DE∥AB，交 AC 于点 E，作 DF⊥AB 于点 F，若∠DAE=15°，AE=8，则 DF 的长为___________．
9. 如图，在△ABC 中，AC=BC，∠ACB=90°，AE 平分∠BAC，交 BC 于点 E，BD⊥AE，交 AE 的延长线于点 D，连接 CD．下列结论：①AC+CE=AB；②CD 1 AE；③∠ADC=45°．其中 2 正确结论的序号是_______________．
第在△ABC 中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB 的垂
直平分线交 BC 于点 M，交 AB 于点 E，AC 的垂直平分线交
BC 于点 N，交 AC 于点 F，则 MN 的长为（）
A．4cm
B．3cm
C．2cm
D．1cm
5. 如图，△ABC 的面积为 4cm2，BP 平分∠ABC，且 AP⊥BP 于点 P，则△PBC 的面积为_____________．
第 5 题图
第 6 题图
6. 如图，线段 AB 的端点是 4×5 的正方形网格的格点，若在网格的格点中另取一点 C，使△ABC 成为等腰三角形，则符合条件的点 C 有_______个．
7. 如图，已知∠AOB=60°，点 P 在边 OA 上，OP=10，点 M，N 在边 OB 上，PM=PN，若 MN=2，则 OM 的长为_______．
2 ③在 Rt△BEF 中，∠B=30°，得 EF=2
巩固练习
1. 如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AC=6，BC=10，过点 A
作 DE∥BC，交∠ABC 的平分线于点 E，交∠ACB 的平分线
于点 D，则 DE 的长为（）
A．18
B．16
C．14
D．8
第 1 题图
第 2 题图
2. 如图，△ ABC 和 △ADE 都是等腰直角三角形， ∠ BAC =
∠DAE=90°，AE∥CD，且 AE=CD．连接 CE，交 AD 于点 F，
连接 BD，交 CE 于点 G，连接 BE．则下列结论：①BD=CE；
②△ACD 是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；④CD=EF．
其中一定正确的是（）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
1
3. 如图，等边三角形 ABC 的三条角平分线相交于点 O，过点 O 作 EF∥BC，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，则图中的等腰三角形有_________个．
思考小结
请按照等腰三角形结构分析的方法，完成等边三角形和等腰直角三角形的结构分析：等边三角形结构分析：（1）边和角：__________________，__________________．（2）特殊的线：（顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高）____________________．等边三角形有_______条对称轴，把它分为两个含有 30°角的直角三角形．