2017-2018学年广东省广州市89中高二(9、12班)上学期期末考试数学文试题

2017-2018学年第一学期高二年级期末考试（数学文科）问 卷一、填空题（每小题5分，共60分）1．已知集合}{220A x x x =-≤，}{11B x x =-<<，则A B = （ ）A ．}{01x x ≤<B ．}{10x x -<≤C ．}{11x x -<<D ．}{12x x -<≤ 2．设命题p ：2,2n n N n ∃∈>，则p ⌝为（ ）A ．2,2n n N n ∀∈>B ．2,2n n N n ∃∈≤C ．2,2nn N n ∀∈≤ D ．2,=2nn N n ∃∈ 3．设a ，b 是实数，则“0a b +>”是“0ab >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知向量 p ()23=-，， q (),6x =，且//p q ，则 p q +的值为（ ）AB ．13C ．5 D5．已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）A ．7B ．7-C ．5D ．-56．如右图所示，一个简单空间几何体的三视图其主视图与侧视图都是边长 为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则此几何体的表面积是（ ）A．4+ B ．12 C． D ．8 7．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：由散点图可知，其回归方程是ˆ0.7yx a =-+，则a 等于（ ）A ．5.2B ．5.35C ．5.15D ．5.25 8．函数()2f x x=的零点所在的区间为（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．3,22⎛⎫⎪⎝⎭俯视图第6题9．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的离心率为错误！未找到引用源。

，则C 的渐近线方程为（ ） A ．12y x =±B ．13y x =±C ．14y x =± D ．y x =± 10．已知22log log a b >，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．11a b >B ．()2log 0a b ->C ．1132a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．21a b-<11．已知21,F F 分别是双曲线1:2222=-by a x C （0,>b a ）的左、右焦点，点P 在C 上，若211F F PF ⊥，且211F F PF =，则C 的离心率是（ ） A ．12- B ．12+ C ．215+ D ．15- 12．设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 且倾斜角为°30的直线交于C 于A B 、两点， 则AB =（ ）AB ．6C ．12 D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知角q 的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边为射线l ：2 (0)y x x =-?，则cos q 的值为 ．14．偶函数()f x 的图像关于直线2x =对称，(3)3f =，则(1)f -= ．15．设实数,x y 满足20240230x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则y x 的最大值是 ．16．已知函数1(0xy a a -=>且1)a ≠的图象恒过点A ，若点A 在直线1m x n y +=上，则12m n+的最小值为 ．三、解答题（第17题10分，其他每题12分，共70分） 17．已知函数()2sin cos cos2f x x x x =+(x ∈R)（1）当x 取什么值时，函数()f x 取得最大值，并求其最大值； （2）若θ为锐角，且83f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求tan θ的值．18．对某校高二年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取N 名学生作为样本，得到这N 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：（1）求出表中,N p 及图中a 的值；（2）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于9次的学生中任选2人，求至少有一人参加社区服务次数在区间[]12,15内的概率．19．如图，已知在侧棱垂直于底面的三棱柱111ABC A B C -中，33,5,cos 5AC AB CAB ==∠=，14,AA =点D 是AB 的中点．（1）求证：1AC BC ⊥；（2）求证：11//AC CDB 平面； （3）求三棱锥 11A B CD -的体积．AB20．已知数列{}n a 满足715a =，且点*1(,)()n n a a n N +∈在函数2y x =+的图象上. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设3n an b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .21．已知圆C 与y 轴相切于点0,1A （），且被x 轴所截得的弦长为圆心C 在第一象限.（1）求圆C 的方程；（2）若点P 是直线:3450l x y ++=上的动点，过点P 作圆C 的切线，切点为B ，求PBC △面积的最小值.22．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝63，过点A (0，－b )和B (a ，0)的直线与原点的距离为32．（1）求椭圆的方程；（2）已知定点E (－1,0)，若直线y ＝kx ＋2（k ≠0）与椭圆交于C 、D 两点，问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点，请说明理由．2017-2018学年第一学期高二年级期末考试（数学文科）参考答案一、选择题：ACDDBB DDACBC二、填空题： 13 514 3 、 315 2、 16三、解答题：17、解: (1) ()2sin cos cos2f x x x x =+sin 2cos 2x x =+22x x ⎫=+⎪⎪⎭s i n 24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. ………………3分∴当2242x k πππ+=+,即(8x k k ππ=+∈Z )时,函数()f x ………………5分(2) ∵8f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 22πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∴1cos 23θ=. …6分 ∴212cos 13θ-=. ……………7分∵θ为锐角，即02πθ<<, ∴cos θ=. ……………8分∴sin 3θ==. ∴sin tan cos 2θθθ==. ……10分18、解：（1）由分组[12,15)内的频数是2，频率是0.05，得20.05N=，所以40N =． ……2分 因为频数之和为40，所以104240n +++=，解得24n =．所以240.640n p N ===． ……4分因为a 是对应分组[6,9)的频率与组距的商，所以0.60.233p a ===． ……6分 （2）记“至少有一人参加社区服务次数在区间[12,15)内”为事件A ．这个样本中参加社区服务次数不少于9次的学生共有426+=人． ……7分 记在区间[9,12)内的4人为1234,,,a a a a ，在区间[12,15)内的2人为12,b b ． 从这6人中任选2人的所有可能结果有：1213141112{,},{,},{,},{,},{,},a a a a a a a b a b23242122343132414212{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}a a a a a b a b a a a b a b a b a b b b ，共15种． ……9分 事件A 包含的结果有：11122122313241{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},a b a b a b a b a b a b a b4212{,},{,}a b b b ，共9种． ……11分所以所求概率为93()0.6155P A ===． ……12分19、证明（1）在ABC 中，由余弦定理得4BC =，ABC ∴ 为直角三角形，AC BC ∴⊥ ……2分又1CC ⊥ 面ABC 1CC AC ∴⊥，1CC BC C ⋂=∴1AC BCC ⊥面1AC BC ∴⊥ ……4分（2）连结1B C 交1BC 于点E ，则E 为1BC 的中点，连结DE ，则在1ABC 中，1//DE AC ，又1DE CDB ⊂面，1AC CDB 面⊄ 则11//AC CDB 平面 ……8分（3）在11,ABC C CF AB F ABB A ABC ⊥⊥ 中过作垂足为由面面知11CF ABB A ⊥面1111A B CD C A DB V V --∴=, 而1111111541022DA B S A B AA ==⨯⨯= ……10分 又341255AC BC CF AB ⨯=== 1111210835A B CD V -∴=⨯⨯= ……12分20、解：（1）依题意得，得12n n a a +=+，即12n n a a +-=.………………1分 所以数列{}n a 是公差为2的等差数列.………………2分由715a =，得16215a +⨯=，解得13a =.………………3分 1(1)n a a n d =+-………………4分3(1)221n n =+-⨯=+.………………5分（2）因为2133n an n b +==，所以127b =.………………6分因为23121393n n n n b b +++==，所以{}n b 是公比为9的等比数列.………………8分所以1(1)1n n b q T q-=- ………………10分27(19)27(91)198n n ⨯-==--.………………12分21、解：（1）∵圆C 与y 轴相切于点0,1A （），圆心C 在第一象限∴可设圆心坐标为,1C R （），半径为R ………………1分∵圆C 被x轴所截得的弦长为∴22212R ⎛=+ ⎝⎭，得2R =， ………………3分 ∴圆C 的方程为()()22214x y -+-= ………………5分 （2）∵点P 是直线:3450l x y ++=上的动点 圆心C 到直线:3450l x y ++=3= …………7分即||PC 的最小值为3 …………8分 过点P 作圆C 的切线，切点为B ，连接BC ，有BC PC ⊥………9分 ∴PBC △的面积等于1||||2PB BC 而在RT PBC △中有222||||||PB PC BC =-，又||2BC R ==∴min ||PB ===………11分∴PBC △面积的最小值为min 1||||2PB BC =………12分22、解：（1）直线AB 的方程为：bx －ay －ab ＝0．依题意⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝63，ab a 2＋b 2＝32，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1.∴椭圆方程为x 23＋y 2＝1． ………4分（2）假若存在这样的k 值，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2＋3y 2－3＝0，得 (1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0． ………5分 ∴Δ＝(12k )2－36(1＋3k 2)>0．① 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－12k1＋3k 2，x 1x 2＝91＋3k 2.② ………7分而y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4．要使以CD 为直径的圆过点E (－1,0)，当且仅当CE ⊥DE 时，则y 1x 1＋1·y 2x 2＋1＝－1．即y 1y 2＋(x 1＋1)(x 2＋1)＝0． ………9分 ∴(k 2＋1)x 1x 2＋(2k ＋1)(x 1＋x 2)＋5＝0．③将②式代入③整理解得k ＝76．经验证k ＝76使①成立． ………11分综上可知，存在k ＝76，使得以CD 为直径的圆过点E ． ………12分。