2020届河北省衡中同卷新高考冲刺模拟考试(十)理科数学

2020届河北省衡中同卷新高考冲刺模拟考试（十)理科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知全集U =R ，{}|21xA x =<，则U A =ð（ ） A. {}1x x > B. {}1x x ≥C. {}0x x >D. {}0x x ≥【答案】D 【解析】 【分析】化简集合A ，再求补集即可【详解】{21}{0}xA x x x =<=<，{0}U C A x x =≥， 故选:D.【点睛】本题考查补集运算，考查指数不等式解法，是基础题2.设i 为虚数单位，复数212z ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭，则z 在复平面内对应的点在第（ ）象限 A. 一 B. 二C. 三D. 四【答案】B【解析】 【分析】先根据复数乘法求复数代数形式，再确定象限.【详解】22111122422z ⎛⎫⎫=+=+⋅+=-+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以z 在复平面内对应的点为12⎛- ⎝⎭，在第二象限.故选：B【点睛】本题考查复数乘法运算以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题. 3.已知20201log πa =，20201πb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1π2020c =，则（ ） A. c a b << B. a c b << C. b a c << D. a b c <<【答案】D 【解析】 【分析】利用指数与对数的性质与0，1比较即可 【详解】202020201log log 10πa =<=，()2020101πb ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，，1π20201c =>，所以a b c <<.故选：D.【点睛】本题考查指数与对数的单调性，插入中间值与0,1 比较是常用方法，是基础题4.在直角坐标系xOy 中，已知角θ 的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在直线3y x =上，则3sin(2)2πθ-= （ ） A.45 B. 45-C. 35-D.12【答案】A 【解析】 【分析】由终边确定角的正切值，利用诱导公式及二倍角公式求解【详解】因为角θ终边落在直线3y x =上，所以tan 3θ=，21cos 10θ=，所以()234sin 2cos22cos 1.25πθθθ⎛⎫-=-=--=⎪⎝⎭故选：A.【点睛】本题考查三角函数的定义，考查二倍角公式及诱导公式，意在考查计算能力及公式运用，是中档题5.在平行四边形ABCD 中，AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，4AM MC =u u u u r u u u u r ，P 为AD 的中点，则MP u u u r= （ ）A. 43510a b +vv B. 4354a b +r rC. 43510a b --r rD. 1344a b --r r【答案】C 【解析】 【分析】利用向量加减运算法则求解【详解】MP u u u v = ()144325510AP AM AD AB AD AB AD -=-+=--=u u ur u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 43510a b --r r 故选：C【点睛】本题考查平面向量基本定理，考查用基底表示向量，熟练运用加减运算是关键，是基础题6.设a R ∈，则“a =是“直线1:250l x ay +-=与直线2:420l ax y ++=平行”的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要【答案】A 【解析】 【分析】根据直线平行的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】依题意，知－4a ＝－12a ，且－52a ≠-12，解得a ＝.故“a =是“直线1:250l x ay +-=与直线2:420l ax y ++=平行”的充分不必要条件故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线平行的等价关系是解决本题的关键． 7.数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．即：21n n n a a a ++=+.记该数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ） A. 201920202S a =+ B. 201920212S a =+ C. 201920201S a =- D. 201920211S a =-【答案】D 【解析】 【分析】根据递推关系利用裂项相消法探求和项与通项关系，即得结果. 【详解】因为1233243546521()()()()()n n n n S a a a a a a a a a a a a a a ++=++++=-+-+-+-+-L L 2221n n a a a ++=-=-，所以201920211S a =-，选D.【点睛】本题考查裂项相消法，考查基本分析判断能力，属中档题.8.《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为（ ）A.114B.17C.528D.514【答案】D 【解析】 【分析】直接根据概率公式计算即可．【详解】从八卦中任取两卦，基本事件有2828C =种，其中这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线，基本事件共有10中， ∴这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为p 514m n == 故选D【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查函数与方程思想，是基础题．9.函数()21sin 1xf x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的图象的大致形状是（ ） A. B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】根据已知中函数的解析式，可得函数f （x ）为偶函数，可排除C,D ，由()0,0x f x →>得到答案．【详解】()211sin sin 11x x x e f x x x e e ⎛⎫-⎛⎫=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭故()()f x f x -=则()f x 是偶函数，排除C 、D ，又当()0,0x f x →> 故选：A .【点睛】本题主要考查函数的图象特征，函数的奇偶性的判断，结合排除特值与极限判断是常见方法，属于基础题．10.如图，平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，//α平面11CB D α⋂，平面ABCD m α=⋂，平面11ABB A n =，则m 、n 所成角的正弦值为（ ）A. 12-B.12C.33D.32【答案】D 【解析】 【分析】画出图形，判断出m 、n 所成角，求解即可．【详解】如图：//α面11CB D ，α⋂面ABCD m =，α⋂面11ABA B n =，可知1//n CD ，11//m B D ， 因为△11CB D 是正三角形，m n 、所成角为60°．则m 、n 所成角的正弦值为32． 故选：D ．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，熟练运用线面平行的性质定理是关键11.已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=uu r uu u r（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ）A. 2B. 3【答案】B 【解析】【详解】试题分析：据题意得1(,0)4F ，设1122(,),(,)A x y B x y ，则221122,x y x y ==，221212122,2y y y y y y +==-或121y y =，因为,A B 位于x 轴两侧所以.所以122y y =-两面积之和为12211111224S x y x y y =-+⨯⨯221221121111112248y y y y y y y y =-+⨯⨯=-+⨯111218y y y =++⨯11298y y =+112938y y =+≥. 12.已知函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>满足()()00112f x f x =+=-， 且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值.给出下述四个结论： ①0112f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭； ②若00x =，则()sin 26f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；③()f x 的最小正周期为3；④()f x 在()0,2019上的零点个数最少为1346个． 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①②④ B. ①③④C. ①③D. ②④【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的性质，结合对称性以及周期性分别进行判断即可． 【详解】()00,1x x +区间中点为012x +，根据正弦曲线的对称性知0112f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,①正确.若00x =，则()()00112f x f x =+=-，即12sin ϕ=-，不妨取6πϕ=-，此时()sin 26f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，满足条件，但113f ⎛⎫= ⎪⎝⎭为()0,1上的最大值，不满足条件，故②错误. 不妨令0526x k πωϕπ+=-，()0126x k πωϕπ++=-，两式相减得23πω=, 即函数的周期23T πω==，故③正确.区间()0,2019的长度恰好为673个周期，当()00f =时，即k ϕπ=时，()f x 在开区间()0,2019上零点个数至少为673211345⨯-=，故④错误. 故正确的是①③， 故选：C ．【点睛】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假关系，结合三角函数的图象和性质，利用特值法以及三角函数的性质是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第15题第一空2分，第二空3分.13.执行如图所示的程序框图，则输出的n 值是_________.【答案】6 【解析】 【分析】执行循环，根据判断条件判断是否继续循环，直至跳出循环输出结果.【详解】①22,220;n =<②44,220;n =<③66,220.n =>结束循环，输出结果：6故答案为：6．【点睛】本题考查循环结构流程图，考查基本分析求解能力，属基础题.14.若7280128(1)(12)x x a a x a x a x +-=++++L ，则1278a a a a ++++L 的值为________【答案】3- 【解析】令1x =，得012782a a a a a +++++=-L ，令0x =，得01a =，则1278213a a a a L ++++=--=-.点睛：本题考查二项式定理的应用；在利用二项式定理求二项展开式的系数和时，往往采用赋值法或整体赋值法，要灵活注意展开式中未知数的系数的特点合理赋值，往往是1，0,或1-.15.设数列{}n a 的前n 项和为n S .若24S =，121n n a S +=+，*n N ∈，则1a =______；5S =______． 【答案】 (1). 1 (2). 121 【解析】 【分析】根据前n 项和与通项关系，求出通项公式，然后再求和.【详解】由2121214a a a a =+⎧⎨+=⎩，解得11a =，23a =，当2n ≥时，由已知可得：121n n a S +=+，①121n n a S -=+，②①－②得12n n n a a a +=-，∴13n n a a +=，又213a a =， ∴{}n a 是以11a =为首项，以3q =为公比的等比数列．∴5511312113S -⨯==-.故答案:3,121【点睛】本题考查已知前n 项和求通项以及等比数列的前n 项和公式，考查运算能力，属于基础题.16.已知双曲线1:C 22221(00)x y a b a b－，=>>的左、右焦点分别为12,F F ，其中2F 也是抛物线()22:20C y px p =>的焦点，1C 与2C 在一象限的公共点为P ，若直线1PF 斜率为34，则双曲线离心率()2e e >为______．【答案】4+ 【解析】 【分析】由题可得2p c =，1123tan 4PF k PF F =∠=，124cos 5PF F ⇒∠=，过P 作抛物线准线的垂线，垂足为M ，设0(P x ，0)y ，可得2002p PM PF x x c ==+=+， 1015()4cos 45PM PM PF x c MPF ===+∠．结合122PF PF a -=，化简可得08x a c =-，在△12PF F 中，由余弦定理可得2880e e -+=，即可求解【详解】解：因为2F 是双曲线的右焦点且是抛物线的焦点，所以2pc =， 解得2p c =，所以抛物线的方程为：24y cx =；由1123tan 4PF k PF F =∠=，124cos 5PF F ⇒∠=， 如图过P 作抛物线准线的垂线，垂足为M ，设0(P x ，0)y ，则2002p PM PF x x c ==+=+，⇒1015()4cos 45PM PM PF x c MPF ===+∠． 由122PF PF a -=，可得0005()()284x c x c a x a c +-+=⨯⇒=-在△12PF F 中，208PF x c a =+=，21210PF PF a a =+=，122F F c =，由余弦定理可得2222222112112122?cos 880880PF PF F F PF F F PF F c ac a e e =+-∠+=⇒-+-⇒=，4e ∴=±，又2e >，4e ∴=+，故答案为：422+．【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质和解三角形的运算，属于中档题．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在平面四边形ABCD 中，3ABC π∠=，2ADC π∠=，2BC =.（1）若ABC ∆33AC ； （2）若23AD =3ACB ACD π∠=∠+，求tan ACD ∠.【答案】(1) 7AC =3tan ACD ∠=【解析】 【分析】(1)利用已知条件与面积公式即可得到结果； (2) 设ACD α∠=，则3ACB πα∠=+，结合正弦定理即可得到tan ACD ∠.【详解】（1）在ABC ∆中，因为2BC =，3ABC π∠=，133··sin 22ABC S AB BC ABC ∆=∠=， 333AB =，解得：3AB =.在ABC ∆中，由余弦定理得：2222?cos 7AC AB BC AB BC ABC =+-∠= 所以7AC =（2）设ACD α∠=，则33ACB ACD ππα∠=∠+=+如图，在Rt ACD ∆中，因为23AD =，所以23sin AD AC α==在ABC ∆中，3BAC ACB ABC ππα∠=-∠-∠=-，由正弦定理，得sin sin BC AC BAC ABC =∠∠，即2233sin sin 3παα=⎛⎫- ⎪⎝⎭所以2sin sin 3παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以312sin sin 22ααα⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭3cos 2sin αα=所以3tan α=，即3tan ACD ∠=【点睛】解三角形的基本策略一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.18.如图，等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD AB BC ===，2CD =，E 为CD 中点，以AE 为折痕把ADE ∆折起，使点D 到达点P 的位置（P ∉平面ABCE ）.（Ⅰ）证明：AE PB ⊥；（Ⅱ）若直线PB 与平面ABCE 所成的角为4π，求二面角A PE C --的余弦值. 【答案】（I ）见解析；（II ）5-. 【解析】 【分析】（I ）先证明AE POB ⊥平面，再证明AE PB ⊥；（II ）在平面POB 内作PQ⊥OB,垂足为Q ，证明OP⊥平面ABCE ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角A PE C --的余弦值.【详解】（I ）证明：在等腰梯形ABCD 中，连接BD ，交AE 于点O ， ∵AB||CE,AB=CE，∴四边形ABCE 为平行四边形，∴AE=BC=AD=DE， ∴△ADE 为等边三角形，∴在等腰梯形ABCD 中，3C ADE π∠=∠=，23DAB ABC π∠=∠=, ∴在等腰ADB ∆中，6ADB ABD π∠=∠=∴2362DBC πππ∠=-=,即BD⊥BC， ∴BD⊥AE，翻折后可得：OP⊥AE,OB⊥AE，又,,OP POB OB POB OP OB O ⊂⊂=Q I 平面平面，AE POB ∴⊥平面，,PB POB AE PB ⊂∴⊥Q 平面；（II ）解：在平面POB 内作PQ⊥OB,垂足为Q ，因为AE⊥平面POB ，∴AE⊥PQ，因为OB ⊂平面ABCE, AE ⊂平面ABCE ,AE ∩OB=O ∴PQ⊥平面ABCE ，∴直线PB 与平面ABCE 夹角为4PBQ π∠=，又因为OP=OB ，∴OP⊥OB，∴O、Q 两点重合，即OP⊥平面ABCE ，以O 为原点，OE为x轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为3131313(0,0,),(,0,0),(0,,0),(,0,),(,,0)2222222P E C PE EC ∴=-=u u u r u u u r ,设平面PCE 的一个法向量为1(,,)n x y z =u r，则1113002,,01302x z PE n EC n x y ⎧-=⎪⎧⋅=⎪⎪∴⎨⎨⋅=⎪⎩⎪+=⎪⎩u u u v u v u u u v u v 设3x =，则y=-1,z=1，∴1(3,-1,1)n =u r，由题意得平面PAE 的一个法向量2(0,1,0)n =u u r， 设二面角A-EP-C 为α，1212||5|cos |=5||||5n n n n α⋅==u r u u ru r u u r .易知二面角A-EP-C 为钝角，所以5cos =-α.【点睛】本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，考查二面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象转化分析推理能力.19.为发挥体育核心素养的独特育人价值，越来越多的中学将某些体育项目纳入到学生的必修课程.惠州市某中学计划在高一年级开设游泳课程，为了解学生对游泳的兴趣，某数学研究学习小组随机从该校高一年级学生中抽取了100人进行调查.（1）已知在被抽取的学生中高一()1班学生有6名，其中3名对游泳感兴趣，现在从这6名学生中随机抽取3人，求至少有2人对游泳感兴趣的概率；（2）该研究性学习小组在调查中发现，对游泳感兴趣的学生中有部分曾在市级或市级以上游泳比赛中获奖，具体获奖人数如下表所示.若从高一()8班和高一()9班获奖学生中随机各抽取2人进行跟踪调查，记选中的4人中市级以上游泳比赛获奖的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列及数学期望.【答案】(1)12；(2)分布列见解析，65【解析】 【分析】（1）利用组合数结合古典概型求出从这6名学生中随机抽取3人，至少有2人对游泳有兴趣的概率． （2）由题意可知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E （ξ）． 【详解】（1）记事件i A {=从6名学生抽取3人中恰好有i 人有兴趣，i 0=，1，2，3}； 则2A 与3A 互斥故所求概率为()()()()2323P 2P A A P A P A =+=+至少人感兴趣 213033333366C C C C C C ⋅⋅=+ 101202==； （2）由题意知，随机变量ξ的所有可能取值有0，1，2，3；()22342255C C 9P ξ0C C 50⋅===⋅()11221234342255C C C C C 12P ξ1C C 25⋅⋅+⋅===⋅ ()22111243242255C C C C C 3P ξ2C C 10⋅+⋅⋅===⋅ ()21242255C C 1P ξ3C C 25⋅===⋅则ξ的分布列为：…数学期望为()9241526E ξ0123505050505=⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题考查概率、离散型随机变量概率分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程能力，是中档题．20.在平面直角坐标系xOy 中，已知过点()4,0D 的直线l 与椭圆22:14x C y +=交于不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其中120y y ≠.（1）若10x =，求OAB V 的面积；（2）在x 轴上是否存在定点T ，使得直线TA 、TB 与y 轴围成的三角形始终为等腰三角形.【答案】(1)4 5(2) x 轴上存在定点()1,0T ，使得直线TA 、TB 与y 轴围成的三角形始终为等腰三角形 【解析】 【分析】（1）当10x =时得直线l ：440x y +-=，与椭圆联立得B 83,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，再求面积（2）设直线l ：4x my =+ ，与椭圆联立，由直线TA 、TB 与y 轴围成的三角形始终为等腰三角形，得0TA TB k k += ，利用斜率代入韦达定理化简得定点坐标【详解】（1）当10x =时，代入椭圆方程可得A 点坐标为()0,1或()0,1- 若A 点坐标为()0,1，此时直线l ：440x y +-=联立2244044x y x y +-=⎧⎨+=⎩，消x 整理可得25830y y -+= 解得11y =或235y =，故B 83,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ 所以OAB V 的面积为1841255⨯⨯= ()0,1A -若点坐标为，由对称性知OAB V 的面积也是45，综上可知，当10x =时，OAB V 的面积为45.（2）显然直线l 的斜率不为0，设直线l ：4x my =+联立22444x my x y =+⎧⎨+=⎩，消去x 整理得()2248120m y my +++= 由()226441240m m =-⨯+>V，得212m > 则12284m y y m +=-+，122124y y m =+ , 因为直线TA 、TB 与y 轴围成的三角形始终为等腰三角形， 所以0TA TB k k += 设(),0T t ，则()()()()()()()()122112121212111224TA TBy x t y x t my y t y y y y k k x t x t x t x t x t x t -+-+-++=+==------,即()()()()1212222848124240444m t m t m my y t y y m m m --+-+=+==+++, 解得1t =.故x 轴上存在定点()1,0T ，使得直线TA 、TB 与y 轴围成的三角形始终为等腰三角形．【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查直线过定点问题，解决此类问题，通常先猜后证，重点考查计算能力，是中档题21.已知实数0a ≠，设函数()e ax f x ax =-． （1）求函数()f x 的单调区间； （2）当12a >时，若对任意的[)1,x ∈-+∞，均有()()212a f x x ≥+，求a 的取值范围．注：e 2.71828=L 为自然对数的底数．【答案】（1）()f x 在(,0)-∞内单调递减，在(0,)+∞内单调递增；（2）122a <≤ 【解析】 【分析】(1)求导后取出极值点,再分0a >,0a <两种情况进行讨论即可.(2)当0x =时得出a 的一个取值范围,再讨论1x =-时的情况,再对(1,)x ∈-+∞时构造函数两边取对数进行分析论证122a <≤时()()212af x x ≥+恒成立.【详解】(1)由()(1)=0axaxf x a e a a e =-'=⋅-,解得0x =．①若0a >,则当(0,)x ∈+∞时,()0f x '>,故()f x 在(0,)+∞内单调递增； 当(,0)x ∈-∞时,()0f x '<,故()f x 在(,0)-∞内单调递减．②若0a <,则当(0,)x ∈+∞时,()0f x '>,故()f x 在(0,)+∞内单调递增； 当(,0)x ∈-∞时,()0f x '<,故()f x 在(,0)-∞内单调递减． 综上所述,()f x 在(,0)-∞内单调递减,在(0,)+∞内单调递增．(2)2()(1)2a f x x ≥+,即2(1)2ax ae x ≥+． 令0x =,得12a≥,则122a <≤．当1x =-时,不等式2(1)2ax a e x ≥+显然成立,当(1,)x ∈-+∞时,两边取对数,即2ln(1)ln 2aax x ≥++恒成立． 令函数()2ln(1)ln2aF x x ax =+-+,即()0F x ≤在(1,)-+∞内恒成立． 由22(1)()=011a x F x a x x -+'=-=++,得211x a =->-． 故当2(1,1)x a ∈--时,()0F x '>,()F x 单调递增；当2(1+)x a∈-∞，时,()0F x '<,()F x 单调递减. 因此22()(1)2ln 2ln 2ln 22a aF x F a a a a ≤-=-++=--．令函数()2ln 2ag a a =--,其中122a <≤,则11()10a g a a a='-=-=,得1a =, 故当1(,1)2a ∈时,()0g a '<,()g a 单调递减；当(1,2]a ∈时,()0g a '>,()g a 单调递增．又13()ln 4022g =-<,(2)0=g ,故当122a <≤时,()0g a ≤恒成立,因此()0F x ≤恒成立,即当122a <≤时,对任意的[1,)x ∈-+∞,均有2()(1)2a f x x ≥+成立．【点睛】本题主要考查了利用求导解决含参的函数的单调性问题以及在区间上恒成立求参数的范围的问题,需要构造函数讨论函数的单调性进行求解,属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.答题时请写清题号并将相应信息点涂黑.22.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M 的极坐标方程为2cos ρθ=，若极坐标系内异于O 的三点()1,A ρϕ，2,6B πρϕ⎛⎫+⎪⎝⎭，()3123,,06,C πρϕρρρ⎛⎫-> ⎪⎝⎭都在曲线M 上.（1123ρρ=+；（2）若过B ，C两点直线的参数方程为212x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），求四边形OBAC 的面积. 【答案】（1）详见解析；（2）4. 【解析】 【分析】（1）将()12,,,,6B πρϕρϕ⎛⎫+⎪⎝⎭ 3123,(,,0)6C πρϕρρρ⎛⎫-> ⎪⎝⎭代入极坐标方程ρ2cos θ=，求出123ρρρ、、，利用两角和与差的余弦公式化简可得结论；（2）求得()1,2,02B C ⎛ ⎝⎭，则231,2,6πρρϕ===；又得1ρ=四边形面积为121311sin sin 2626OBAC S ππρρρρ=+，化简可得结果. 【详解】（1）由122cos ,2cos ,6πρϕρϕ⎛⎫==+⎪⎝⎭32cos 6πρϕ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则232cos 2cos 66ππρρϕϕ⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1ϕ==； （2）由曲线M 的普通方程为：2220x y x +-=，联立直线BC的参数方程得：20t =解得120,t t ==()1,2,02B C ⎛ ⎝⎭ 则231,2,6πρρϕ===；又得1ρ.即四边形面积121311sin sin 2626OBAC S ππρρρρ=+=. 【点睛】本题主要考查极坐标方程以及参数方程的应用，考查了极径与极角的几何意义的应用，意在考查综合应用所学知识，解答问题的能力，属于中档题. 23.已知函数()24f x x x =++-. （1）求不等式()3f x x ≤的解集；（2）若()(1)f x k x ≥-对任意x ∈R 恒成立，求k 的取值范围.【答案】(1) [2,)+∞ (2) (,2]-∞【解析】【分析】(1) 把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求； (2)对x 分类讨论，当1x ≠时，241x x k x ++-≤-，借助绝对值不等式即可得到右侧的最小值，从而得到k 的取值范围.【详解】（1）当4x >时，原不等式等价于243x x x ++-≤，解得2x ≥-，所以4x >；当2x <-时，原不等式等价于243x x x ---+≤，解得25x ≥，所以此时不等式无解； 当24x -≤≤时，原不等式等价于243x x x +-+≤，解得2x ≥，所以24x ≤≤；综上所述，不等式解集为[)2,+∞.（2）由()1f x k x ≥-，得241x x k x ++-≥-当1x =时，60≥恒成立，所以k R ∈；当1x ≠时，24131333111111x x x x k x x x x ++--++--≤==++----- 因为3333111121111x x x x ⎛⎫⎛⎫++-≥++-= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当且仅当3311|011x x ⎛⎫⎛⎫+-> ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭即4x ≥或2x ≤-时，等号成立 所以，2k ≤综上，k 的取值范围是(],2-∞.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，绝对值三角不等式，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．。