债券凸性详解
债券凸性的名词解释
债券凸性的名词解释债券凸性是指债券价格对利率变动的敏感性。
在理解债券凸性之前，我们需要了解什么是债券以及其基本特性。
债券是一种固定收益证券，可以被投资者购买作为资本的一种形式。
当机构或政府需要资金时，他们会发行债券来筹集资金。
债券相当于借出者与借入者之间的一种债务关系，发行者承诺按照约定的利率偿付借款人的本金和利息。
债券的价格与利率之间存在一种反向关系。
当市场利率上升时，已发行的债券的价格会下降，反之亦然。
这是因为人们可以获得更高的利率，所以他们更愿意购买新发行的债券，而不是购买已经发行的低息债券。
然而，债券市场并不完全是线性的，也就是说债券价格并不总是按照相同比例的变化。
这就涉及到债券凸性的概念。
债券凸性是一种衡量债券价格对利率变化的非线性响应。
有两种类型的债券凸性：正凸性和负凸性。
正凸性也被称为凸现值，指的是债券价格对利率变化呈现的正曲线形态。
这意味着当利率上升时，债券价格的下降速度会逐渐减缓。
相反，当利率下降时，债券价格的上升速度会逐渐加快。
这是因为在高利率环境下，债券的回报率相对更高，债券价格下降得更慢。
而在低利率环境下，债券价格上升的速度更快，因为每一次降息都会对债券的回报率产生更大的影响。
负凸性则相反，也被称为凹现值。
当利率上升时，债券价格的下降速度会加快。
债券价格的增长速度在利率下降时会逐渐放缓。
这种情况通常出现在某些特定类型的债券上，如可转换债券或浮动利率债券。
债券凸性的概念对投资者非常重要。
比如，如果一个投资者持有一种正凸性的债券，那么他在利率下降时可以获得更高的收益。
相反，如果一个投资者持有一种负凸性的债券，则会面临利率上升时价格下跌的风险。
为了解决债券凸性带来的风险，投资者可以采取一些措施。
一种方法是分散投资组合中的债券类型，以降低整体风险。
另一种方法是购买一些与债券市场走势相反的投资品，如利率期货合约或利率掉期。
总之，债券凸性是一个用于衡量债券价格对利率变动敏感性的概念。
债券的凸性与免疫
凸度与免疫
目录 | CONTENTS
01债券的ຫໍສະໝຸດ 度02债券的免疫01
债券的凸度
债券的凸度
凸度
凸度 (Convexity) 是指债券价格变动率与收益率变动
关系曲线的曲度。
C
1 P
2P y 2
债券的凸度
久期的缺陷
现实生活中，债券价格变动率和收益率变动之间的关系并不 是线性关系，而是非线性关系 。如果只用久期来估计收益率 变动与价格变动率之间的关系，那么收益率上升或下跌一个 固定的幅度时，价格下跌或上升的幅度是一样的。显然这与 事实不符
债券的凸度
• 考虑了凸度的收益率变动和价格变动关系：
dP D*dy 1 C dy2
P
2
• 当收益率变动幅度不太大时，收益率变动幅度与价格变动 率之间的关系就可以近似表示为 ：
P D*y 1 Cy2
P
2
02
债券的免疫
债券的免疫
★ 免疫技术：由雷丁顿 (Readington, 1952) 首先提出，投资者或金融机构用来保护他们的全部金融资 产免受利率波动影响的策略。 ★ 两种作用相互抵消的利率风险：价格风险和再投资风险，例如利率上升资产和负债的利息会增加，同 时资产和负债的价格会下降。 ★ 久期免疫：如果资产组合的久期选择得当，这一资产组合的久期恰好与投资者的持有期相等时，价格 风险与再投资风险将完全抵消，到期时投资组合的累积价值将不受利率波动的影响。 ★ 免疫资产的构造：先计算实现承诺的现金流出的久期，然后投资于一组具有相同久期的债券资产组合。
债券的免疫
★ 久期免疫的缺陷 久期是对债券价格变化的一阶近似，因此，一般来说，久期会低估利率变动 带来的预期收益或损失。
到期收益率债券价格久期凸性计算公式
到期收益率债券价格久期凸性计算公式到期收益率（Yield to Maturity），又称为持有到期收益率或到期收益率，是指债券在到期日时，以当前市场价格购买并持有到期所能获得的平均年收益率。
它是衡量债券投资回报率的重要指标，对于投资者评估债券的收益和风险具有重要意义。
债券价格是指投资者购买债券所需支付的现金金额。
债券价格与债券的到期收益率密切相关，当到期收益率上升时，债券价格下降；当到期收益率下降时，债券价格上升。
久期（Duration）是衡量债券价格对利率变动的敏感性的一个指标。
久期越长，债券价格对利率的变动越敏感；久期越短，债券价格对利率的变动越不敏感。
凸性（Convexity）是衡量债券价格对利率变动的曲率的一个指标。
凸性越高，债券价格对利率的变动越具有非线性的变化。
下面，我们将依次介绍到期收益率、债券价格、久期和凸性的计算公式和计算方法。
一、到期收益率的计算公式：二、债券价格的计算公式：债券价格的计算可以使用现金流量贴现法，即将债券的每期现金流量按到期收益率贴现计算得到，然后将每期现金流量的现值相加得到债券的价格。
三、久期的计算公式：久期的计算有多种方法，常用的方法有修正久期法和Macaulay久期法。
修正久期法是通过对债券价格对市场利率变动的敏感性进行评估来计算债券的久期。
修正久期越长，债券价格对利率的变动越敏感。
Macaulay久期法是将每期现金流量的现值与债券价格的加权平均期限相比较得到债券的久期。
Macaulay久期越长，债券价格对利率的变动越不敏感。
四、凸性的计算公式：凸性的计算可以使用修正凸性法。
修正凸性是指在一些到期收益率下，债券价格对利率变动的非线性程度。
修正凸性越高，债券价格对利率的变动越具有非线性的变化。
总结：到期收益率、债券价格、久期和凸性是衡量债券投资回报率和风险的重要指标，在债券投资决策中起着重要的作用。
了解这些指标的计算公式和计算方法可以帮助投资者更好地评估债券投资的收益和风险。
债券凸性
凸性因为久期不能够完全描述债券价格对利率变动的敏感性,所以在1984年有个外国人引入了凸性这个概念.它描述了价格/收益率曲线的弯曲程度,也是债券价格对收益率的二阶导数.它主要是用来估计没有被久期反映的那部分价格变化.1)凸性值的计算债券的凸性值可以用下面的公式近似估计:举个例子:我们假设以息票利率9%,20年期,以6%收益率出售.我们假设收益率有20个基点的变化.不难得出:我们可以算出凸性值等于81.96.2)使用凸性值需要注意的地方(1)对凸性值没有一个简单的解释.(2)与久期不同的是,市场参与者更多的把上面计算得到的结果称为”债券凸性”,而不是债券”凸性值”.(3)各个交易商和程序供应商对无选择权债券的凸性值往往不同.3)价格变化百分比的凸性调整值如果我们给定一个凸性值,那么我们可以得到它的凸性调整值.还是以刚才那个例子为例,我们可以算出它的凸性调整值为3.28%.将基于久期的近似价格变化百分比加上凸性调整值,就可以修正久期的估计偏差.注:久期的近似价格变化百分比:因此,把久期和凸性调整值结合起来,我们就可以更好的估算债券价格变化对收益率大幅变化的敏感性.注意:当凸性值为正时,对于利率的大幅变动,会有债券收益大于损失.即这种债券呈现出正凸性.如果凸性值为负时,债券的损失将大于收益.这种债券呈现的是负凸性.4)修正凸性和有效凸性假定现金流不随收益率变化而变化,这种情况下,得到的凸性称为修正凸性.假设当收益率变动.现金流也发生变化,这种凸性称为有效凸性.和久期一样,无选择权债券的修正凸性和有效凸性没什么差别.但对于含选择权的债券来说,差别就有点大了.实际上所有无选择权债券的凸性都是正值,而对于含选择权的债券来说,修正凸性为正时,有效凸性可能为负.5)修正凸性和有效凸性的例子(1)对于无选择权的债券来说,在收益率的微小变动内,修正值和有效值几乎是一样的.(2)对于可赎回债券来说,随着利率上升,可赎回债券的有效久期会变得更大.(3)对于可回售债券来说,它的有效久期会随着利率的上升而减小.因为这会大大影响可回售债券的现金流.。
债券凸性公式范文
债券凸性公式范文P=P0-(P1-P0)*(r1-r0)/(r2-r0)其中，P是债券的价格，P0和P1是两个不同利率水平下的债券价格，r0和r1是对应的两个利率水平。
这个公式是一个线性近似，通过两个价格和利率水平之间的差异来估计价格的变动。
在实际应用中，债券的凸性公式一般被改写为：P = P0 - (dP/dr) * Δr - (1/2) * (d²P/dr²) * (Δr)²其中，dP/dr是债券价格对利率变动的一阶导数，描述了价格对利率变动的敏感度；d²P/dr²是债券价格对利率变动的二阶导数，描述了价格对利率变动的凹凸性；Δr是利率变动。
债券凸性公式的应用非常广泛。
它可以用于评估债券价格的敏感性，帮助投资者判断债券的价格变动幅度。
当利率上升时，债券价格下降；当利率下降时，债券价格上升。
通过债券凸性公式，投资者可以更好地了解债券价格的变动情况，从而做出更明智的投资决策。
然而，需要注意的是，债券凸性公式是一个近似公式，实际应用时会存在一定的误差。
这是因为债券凸性公式假设债券价格与利率之间存在线性关系，而实际情况中债券价格与利率之间的关系往往是非线性的。
因此，在使用债券凸性公式进行价格估计时，需要考虑到这个误差，尽量减小误差对投资决策的影响。
综上所述，债券凸性公式是一种重要的金融工具，用于估计债券价格随着利率变动的变化。
它可以帮助投资者评估债券的价格变动风险，并进行风险控制。
然而，在使用债券凸性公式时，需要注意其是一个近似公式，存在一定的误差，需要谨慎使用。
债券的久期、凸性
债券的久期、凸性久期和凸性是衡量债券利率风险的重要指标。
很多人把久期简单地视为债券的到期期限，其实是对久期的一种片面的理解，而对凸性的概念更是模糊。
在债券市场投资行为不断规范，利率风险逐渐显现的今天，如何用久期和凸性量化债券的利率风险成为业内日益关心的问题。
久期久期（也称持续期）是1938年由F.R.Macaulay提出的,用来衡量债券的到期时间。
它是以未来收益的现值为权数计算的到期时间。
其公式为其中,P=债券现值,Ct=每年支付的利息，y=到期收益率，n=到期期数,M=到期支付的面值。
可见久期是一个时间概念，是到期收益率的减函数，到期收益率越高，久期越小，债券的利率风险越小。
久期较准确地表达了债券的到期时间，但无法说明当利率发生变动时，债券价格的变动程度，因此引入了修正久期的概念。
修正久期修正久期是用来衡量债券价格对利率变化的敏感程度的指标。
由于债券的现值对P 求导并加以变形，得到：我们将的绝对值称作修正久期，它表示市场利率的变化引起的债券价格变动的幅度。
这样,不同现值的券种就可以用修正久期这个指标进行比较。
由公式1和公式2我们可以得到：在某一特定到期收益率下,P为常数,我们记作P0,即得到：由于P0是理论现值，为常数，因此，债券价格曲线 P与P /P 0有相同的形状。
由公式7, 在某一特定到期收益率下,P /P 0的斜率为修正久期，而债券价格曲线 P的斜率为P0 X（修正久期）。
稳定性。
修正久期越大，斜率的得绝对值越大,P对y的变动越敏感,y上升时引起的债券价格下降幅度越大，y下降时引起的债券价格上升幅度也越大。
可见，同等要素条件下，修正久期小的债券较修正久期大的债券抗利率上升风险能力强，但抗利率下降风险能力较弱。
但修正久期度量的是一种近似线性关系，这种近似线性关系使由修正久期计算得出的债券价格变动幅度存在误差。
如下图，对于债券B '，当收益率分别从y上升到y1或下降到y2, 由修正久期计算出来的债券价格变动分别存在P1 'P1"和P2 'P2"的误差。
债券的久期、凸性
债券的久期、凸性久期和凸性是衡量债券利率风险的重要指标。
很多人把久期简单地视为债券的到期期限,其实是对久期的一种片面的理解,而对凸性的概念更是模糊。
在债券市场投资行为不断规范,利率风险逐渐显现的今天,如何用久期和凸性量化债券的利率风险成为业内日益关心的问题。
久期久期(也称持续期)是1938年由F.R.Macaulay提出的,用来衡量债券的到期时间。
它是以未来收益的现值为权数计算的到期时间。
其公式为其中,P=债券现值,Ct=每年支付的利息,y=到期收益率,n=到期期数,M=到期支付的面值。
可见久期是一个时间概念,是到期收益率的减函数,到期收益率越高,久期越小,债券的利率风险越小。
久期较准确地表达了债券的到期时间,但无法说明当利率发生变动时,债券价格的变动程度,因此引入了修正久期的概念。
修正久期修正久期是用来衡量债券价格对利率变化的敏感程度的指标。
由于债券的现值对P 求导并加以变形,得到:我们将的绝对值称作修正久期,它表示市场利率的变化引起的债券价格变动的幅度。
这样,不同现值的券种就可以用修正久期这个指标进行比较。
由公式1和公式2我们可以得到:在某一特定到期收益率下,P为常数,我们记作P0,即得到:由于P0是理论现值,为常数,因此,债券价格曲线P与P /P 0有相同的形状。
由公式7,在某一特定到期收益率下,P /P 0的斜率为修正久期,而债券价格曲线P的斜率为P0×(修正久期)。
修正久期度量了收益率与债券价格的近似线性关系,即到期收益率变化时债券价格的稳定性。
修正久期越大,斜率的得绝对值越大,P对y的变动越敏感,y上升时引起的债券价格下降幅度越大,y下降时引起的债券价格上升幅度也越大。
可见,同等要素条件下,修正久期小的债券较修正久期大的债券抗利率上升风险能力强,但抗利率下降风险能力较弱。
但修正久期度量的是一种近似线性关系,这种近似线性关系使由修正久期计算得出的债券价格变动幅度存在误差。
如下图,对于债券B′,当收益率分别从y上升到y1或下降到y2,由修正久期计算出来的债券价格变动分别存在P1′P1"和P2′P2"的误差。
债券估值利率期限结构久期和凸性
债券估值利率期限结构久期和凸性债券估值是指根据市场上的利率水平和债券的特性来计算债券的价格。
债券的价格受到利率期限结构、久期和凸性等因素的影响。
利率期限结构是指不同期限的债券在市场上的利率水平。
通常情况下，长期债券的利率收益率要高于短期债券的利率收益率。
这是因为长期债券面临的风险更高，投资者需要获得更高的回报来补偿这种风险。
当利率期限结构呈正斜率时，说明市场预期未来的利率将上升；当利率期限结构呈负斜率时，说明市场预期未来的利率将下降。
利率期限结构的变动将直接影响到债券的估值。
久期是用来衡量债券价格对利率变动的敏感程度的指标。
久期越长，债券价格对利率变动的敏感程度就越高。
久期可以分为修正久期和加权久期。
修正久期是指债券价格对利率变动的弹性，加权久期是修正久期与债券价格的比率。
债券价格的变动可以通过久期来估计，当利率上升时，债券价格下降；当利率下降时，债券价格上升。
凸性是衡量债券价格对利率变动的曲线特性的指标。
凸性可以分为正凸性和负凸性。
正凸性意味着当利率变动时，债券价格变动幅度大于久期所预测的价格变动幅度；负凸性则相反，债券价格变动幅度小于久期所预测的价格变动幅度。
凸性的存在使得债券价格对利率变动具有非线性的特点。
债券估值的计算可以通过利用上述因素来进行。
首先需要确定债券的现金流量，包括债券的票息和到期本金。
然后根据当前市场利率水平计算债券的现金流量的现值。
利用久期和凸性的概念，可以对债券价格对利率变动的敏感程度和非线性特征进行估计。
通过对债券价格进行敏感性分析，可以评估债券投资的风险和回报。
在实际应用中，债券估值是金融机构、投资者和资产管理公司等机构的重要工具。
通过债券估值，投资者可以获得债券的合理市场价格，从而进行合理的投资决策。
同时，债券估值也有助于机构进行风险管理和资产配置，以实现收益最大化或风险最小化的目标。
总之，债券估值是根据利率期限结构、久期和凸性等因素来计算债券价格的过程。
利用这些指标，投资者可以衡量债券价格对利率变动的敏感程度和非线性特征，从而做出理性的投资决策。
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債券的彎曲度(Bond Convexity)
債券的曲率，是比較進階的概念，它的計算稍微複雜一點，但它仍是一個可以掌握的概念。
我們就先看簡單的例子，讀者應能迅速且直覺般的掌握債券曲率的基本意涵。
假設有兩張債券。
債券A，票面利率12%，3年到期，面額1000。
債券B，票面利率1%，30年到期，面額1000。
可以明顯看到這兩張債券主要的差別在於，一個票面利率很高，到期時間很短，另一個則是票面利率很低，到期時間很長。
我們可以算出這兩張債券在不同的到期殖利率(YTM)下，它們的價格(Price)。
然後，我們將債券價格與到期殖利率作圖。
Y軸是價格，X軸是到期殖利率。
結果如下圖:
藍線是債券A、紅線是債券B。
我們可以看到，在這個價格與殖利率的關係圖中，債券A幾乎呈現一條直線。
債券B則有點彎曲。
你在圖中看到的彎曲度變化情形，就是債券的曲率。
債券的曲率，就是衡量一張債券其價格-殖利率關係彎曲度變化的數值。
曲率有什麼用呢?簡單的說，債券是愈彎愈好。
曲率大，是個好處。
為什麼?
還是用直接的方式來瞭解。
一樣看到上面那張價格與殖利率的關係圖。
我們看到代表債券B的紅線。
選個靠近中間的點，譬如殖利率6%的點。
現在，沿著紅線慢慢向左移動，假設債券處在降息的情況。
你會發現，隨著殖利率下降，債券價格的上升幅度會比像債券A那種幾乎是直線的關係要來得多。
一樣從殖利率6%的點，沿紅線慢慢向右移動，假設債券遇到升息的狀況。
你會發現，債券價格的下降，會比直線關係來得和緩。
也就是說，曲率較大的債券，升息時損失較少，降息時獲利較大。
我們可以再看個簡圖來掌握曲率較大的債券，升息時損失較少，降息時獲利較大。
這個概念。
在這張價格-殖利率關係圖中，我們可以很明顯看到債券乙比起債券甲彎曲多了。
我們從殖利率5%開始向右看，可以看到當利率上升時，債券甲價格開始逐步下滑，債券乙的價格還能維持，損失不大。
從殖利率5%開始向左看，可以發現當利率下降時，債券乙的價格上漲比債券甲要快多了。
債券的彎曲度—續1(Bond Convexity)
這篇文章，我們來看一個例子。
債券A，面額100，到期時間15年，每年配息一次，票面利率8%。
債券B，面額100，到期時間10年，每年配息一次，票面利率0%。
兩張債券都處在到期殖利率(YTM)4.98%的狀況下。
如下表:
(此例取材自Douglas Hearth等人所著Contemporary Investments一書)
由這些資料，我們可以算出這兩張債券的存續時間(Macaulay duration)都是10年，但曲率方面，債券A較高是123.42，債券B則是99.8。
我們分別持有債券A和B一年，這一年後，到期殖利率也產生了改變。
我們可以算出這一年來的報酬(Holding period return)。
這個表格中分別模擬了殖利率上升1.5%到下跌1.5%的狀況。
我們可以看到，當殖利率漲到6.48%，比原先的4.98%高了1.5%的時候，無論債券A還是債券B都產生了損失，但債券A損失較少。
當殖利率下跌到3.48%時，兩張債券都賺錢，而且債券A賺比較多。
這個例子有幾個重點。
首先，我們再次看到了曲率較大的債券，升息時損失較少，降息時獲利較大。
再來，我們發現升降息幅度愈大，債券A與債券B的報酬率差異就會愈大。
最後則是，這兩張債券的存續時間相同，都是十年。
而存續時間是用來衡量債券價格對利率變動的敏感度。
存續時間長的債券，面對相同的利率變化，價格會有較大的波動。
但我們看到，這兩張存續時間相同的債券，它們對利率變動產生的
價格變化是不一樣的。
為什麼會這樣?
因為存續時間是一個估計。
我們一樣可以看個簡圖，掌握這個概念。
紅線表某債券的價格與到期殖利率關係。
我們先看在到期殖利率5%的那個點。
我們在到期殖利率5%那點，對這個曲線做一條切線。
這條切線的斜率，就是存續時間。
使用存續時間估算債券價格對利率的變化，就是用這條切線在估算。
我們可以看到，當到期殖利率升到6%時，曲線指出的實際價格減損，會比那條切線少。
當殖利率降到4%時，實際的債券價格增值會比切線多。
兩者的差距，以藍線表示。
所以，使用存續期間進行估算，當降息時，會低估債券的增值幅度。
升息時，則會高估債券的降值程度。
從這個圖還可以看出幾個概念。
首先就是殖利率變動的幅度愈少，使用存續時間的估算與真實情況差距愈小。
換句話說就是，使用存續期間估算，在大幅度的殖利率變動下，會嚴重失真。
還有，對曲率大的債券使用存續期間估算，會產生較大的偏差。
知道了這些之後，就能瞭解例子中為什麼A債券和B債券的存續期間相同，卻對利率變化有不同程度的反應，也知道為什麼當利率變動愈大時，兩者報酬的差距愈大。
債券的彎曲度—續2(Bond Convexity)
這篇介紹債券曲率的實際運算方法。
英文定義:
Convexity is the second derivative of price with respect to
yield(d^2P/di^2)divided by price.
中文定義:
債券曲率是價格對殖利率的兩次微分再除以價格。
(慘了，會不會有讀者開始覺得為什麼明明是中文卻看不懂。
)
債券價格是日後所有現金流(Cash Flow，簡寫CF)折現後的加總。
在某時間(t)的現金流，簡寫為CFt。
殖利率簡寫為i。
債券價格Price
債券價格對殖利率的兩次微分:
Price對i兩次微分
所以債券曲率就是最後那行算式得到的數字，再除以債券價格。
我們以債券的彎曲度—續1(Bond Convexity)文中的債券A為例，看表中的曲率123.42是如何算出來的。
首先，分成A、B、C、D、E五個欄位，分別寫入各別年度(Year，t)、該年領到的錢(CFt)、該金額在到期殖利率下，折現後的現值、與t^2+t、還有現值與(t^2+t)相乘後的結果。
如下表。
這在EXCEL都是很簡單的運算。
最後算一項1/(1+i)^2=1/(1+0.0498)^2=0.90738
最後即可算出該債券的曲率等於17872乘以0.90738除以131.39，等於123.42。
決定債券曲率的因素和決定債券存續期間(Duration)的要素一樣，且作用方向相同。
這三個要素分別是票面利率(Coupon rate)、到期時間(Maturity)與到期殖利率(Yield to Maturity)。
票面利率愈低，債券曲率愈大。
兩者呈反向關係。
到期時間愈長，債券曲率愈大。
兩者呈正向關係。
到期殖利率愈高、債券曲率愈小。
兩者呈反向關係。