2017年秋九年级数学上册24圆易错课堂四圆中的多解问题课件

6．在半径为 1 的⊙O 中，弦 AB＝ 3，AC＝ 2，求∠BAC 的度数．
解：过点 O 作 OD⊥AB 于 D，连接 OA，①当 AB，AC 在圆心 O 的同 1 3 1 侧时， 如图 1.∴AD＝2AB＝ 2 ， OA＝1， 由勾股定理可得 OD＝2， ∴∠OAB ＝30° ，同理可求∠OAC＝45° ，∴∠BAC＝∠OAC－∠OAB＝45° －30° ＝ 15° ；②当 AB，AC 在圆心 O 的异侧时，如图 2，同理可求得∠OAB＝30° ， ∠OAC ＝ 45° ， ∴∠BAC ＝∠OAC ＋∠OAB ＝ 45° ＋ 30° ＝ 75° . 综上所述 ， ∠BAC 的度数为 15° 或 75°
B
4．已知在半径为10 cm的⊙O中，弦AB∥CD，且AB＝16 cm，CD＝12 cm， 求AB与CD之间的距离．
解：过O作OE⊥AB于点E，交CD于点F，①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图
1，∵AB＝16 cm，CD＝12 cm，∴AE＝8 cm，CF＝6 cm，∵OA＝OC＝10 cm， ∴EO＝6 cm，OF＝8 cm，∴EF＝OF－OE＝2 cm；②当弦AB和CD在圆心异
四、忽略动点引起的分类讨论，造成漏解 9．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1 cm的⊙P
的圆心在直线AB上，且与点O的距离为6 cm，如果⊙P以1 cm/s的速度沿由
A向B的方向移动，设运动时间为t. (1)t为何值时，⊙P与直线CD相切？
(2)t为何值时，⊙P与直线CD相交？
2 2
2 所以在 t＝3 s 或 t＝8 s 时，存在直线 PQ 与⊙O 相切
三、忽略一弦对二弧，造成漏解 7．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的 度数是__________________ ． 80°或100°
8．如图，在⊙O 中，弦 AB 的长等于⊙O 的半径，求弦所对的圆心角 和圆周角的度数．
解：连接 OA，OB，∵AB＝OA＝OB，∴∠AOB＝60° .分两种 1 情况：①在优弧上任取一点 C，连接 CA，CB，则∠C＝2∠AOB ＝30° ；②在劣弧上任取一点 D，连接 AD，BD，∵四边形 ADBC 是⊙O 的内接四边形，∴∠C＋∠ADB＝180° ，∴∠ADB＝180° － ∠C＝150° .综上所述，弦 AB 所对的圆心角是 60° ，圆周角是 30° 或 150°
侧时，如图2，同理可求OF＝6 cm，OE＝8 cm，∴EF＝OF＋OE＝14 cm.综上
所述，AB与CD之间的距离为14 cm或2 cm
5．已知△ ABC 内接于⊙O，AB＝AC，半径 OB＝5 cm，圆心 O 到 BC 的距离为 3 cm，求 AB 的长．
解：①如图 1，当三角形的外心在三角形的内部时，连接 AO 并延长 交 BC 于点 D，∵AB＝AC，O 为外心，∴AD⊥BC，在 Rt△ BOD 中，根 据勾股定理， 得 BD＝4， 在 Rt△ ABD 中， 根据勾股定理， 得 AB＝ 42＋82 ＝4 5(cm)；②如图 2，当三角形的外心在三角形的外部时，连接 AO 交 BC 于点 D，在 Rt△ BOD 中，根据勾股定理，得 BD＝4，在 Rt△ ABD 中， 根据勾股定理， 得 AB＝ 16＋4＝2 5(cm)． 综上所述， AB 的长为 4 5 cm 或 2 5 cm
(3)存在.
若 PQ 与圆相切，设切点为 G，作 PH⊥BC 于 H，所以 PH
＝AB＝8，AP＝BH＝t，QH＝QB－BH＝(26－3t)－t＝26－4t，由切线长定 理可得 PQ＝BQ＋AP＝26－2 t， 根据勾股定理得 PQ2＝PH2＋QH2， 所以(26 2 2 26 －2t) ＝64＋(26－4t) ， 解得 t1＝3， t2＝8， 因为 t1＝3和 t2＝8 都在 0≤t≤ 3 内，
第二十四章
圆
易错课堂(四) 圆中的多解问题
一、忽略点与圆的位置关系，造成漏解
1．点P到⊙O上的最近距离为4 cm，最远距离为9 cm，求⊙O的半径．
解：①如图1，当点P在圆内时，则2R＝4＋9＝13，所以⊙O的半径为6.5 cm； ②如图2，当点P在圆外时，则2R＝9－4＝5，所以⊙O的半径为2.5 cm.综上所
解：(1)过点 D 作 DE⊥BC 于 E，∴BE＝AD＝24，又∵BC＝26，∴EC ＝2，在 Rt△ DCE 中，DE＝ CD2－EC2＝8，∴⊙O 的直径为 8 cm (2)当 P，Q 运动 t s 时，由点 P，Q 的运动速度为 1 cm/s 和 3 cm/s，知 AP＝t cm，CQ＝3t cm，∴PD＝(24－t)cm，BQ＝(26－3t)cm，∴四边形 PQCD 1 1 26 的面积为 y＝2AB· (CQ＋PD)＝2×8×(3t＋24－t)，即 y＝8t＋96(0≤t≤ 3 )．当四 边形 PQCD 为平行四边形时，则 PD＝CQ，∴24－t＝3t ，解得 t＝6，即 t ＝6 s 时，四边形 PQCD 为平行四边形
(3)t为何值时，⊙P与直线CD相离？
解：(1)设当点P运动到P1点时，点P1在点O左边，与CD相切，切点为E， 连接P1E，则P1E⊥CD，∵∠AOC＝30°，r＝1 cm，∴OP1＝2 cm，∵OP＝ 6 cm，∴P1P＝4 cm，∴t＝4÷1＝4(s)，∴t为4 s时，⊙P与直线CD相切；② 设当点P运动到P2点时，点P2在点O右边，与CD相切，则OP2＝OP1＝2 cm， ∴PP2＝PO＋OP2＝6＋2＝8(cm)，∴t＝8÷1＝8(s)，∴t＝8 s时，⊙P与直线 CD相切．综上所述，t为4 s或8 s时，⊙P与直线CD相切 (2)由(1)知，当4 s＜t＜8 s时，⊙P与直线CD相交 (3)由(1)知，当0 s≤t＜4 s或t＞8 s时，⊙P与直线CD相离
述，⊙O的半径为6.5 cm或2.5 cm
二、忽略圆的对称性，造成漏解
2．在半径为5 cm的⊙O中，如果弦CD＝8 cm，直径AB⊥CD，垂足为E，则
AE的长为________cm. 3．已知⊙O的半径为5，点P在⊙O内，且PO＝3，则过点P且弦长为整数的弦
2或8
有()ຫໍສະໝຸດ A．3条 B．4条 C．5条 D．6条
10．如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝90° ，CD＝2 17 cm，AD＝24 cm， BC＝26 cm，AB 为⊙O 的直径．动点 P 从点 A 开始沿 AD 边向点 D 以 1 cm/s 的速度 运动，动点 Q 从点 C 开始沿 CB 边向点 B 以 3 cm/s 的速度运动，P，Q 分别从 A，C 两 点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为 t s，求： (1)求⊙O 的直径； (2)求四边形 PQCD 的面积 y 关于 P，Q 运动时间 t 的函数解析式，并求 t 为何值时， 四边形 PQCD 为平行四边形？ (3)是否存在某一时刻 t，使直线 PQ 与⊙O 相切？若存在，求出 t 的值；若不存在， 请说明理由．