天津市南开区南大奥宇培训学校高三数学上学期第二次月考试题 文-word文档资料

天津市南开区南大奥宇培训学校2019届高三数学上学期第二次月考试题文一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=1+2i，i为虚数单位，则z1z2=（）A. 1-2iB. 5iC. -5D. 52.设等差数列{a n}的公差d≠0，a1=2d，若a k是a1与a2k+7的等比中项，则k=（）A. 2B. 3C. 5D. 83.下列命题错误的是（）A. “若x≠a且x≠b，则x2-（a+b）x+ab≠0”的否命题是“若x=a或x=b，则x2-（a+b）x+ab=0”B. 若p∧q为假命题，则p，q均为假命题C. 命题“ x0∈（0，+∞）ln x0=x0-1”的否定是“∀x∈（0，+∞），ln x≠x-1D. “x＞2”是“＜”的充分不必要条件4.如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是（）A. 9πB.C.D.5.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4=8，S8=20，则a9+a10+a11+a12=（）A. 18B. 17C. 16D. 156.要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（）A. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度B. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度C. 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度D. 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 7. 已知sin （α+）=4cos α，则2sin 2α-sin αcos α+cos 2α的值等于（ ）A.B.C.D. 8. 在数列{a n }中，a 1=4，a 2=10，若{log 3（a n -1）}为等差数列，且T n =++…+等于（ ） A. （3n -1）B. （1-）C. （1-）D. （3n +1-1）二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 设A ={x |x 2-8x +15=0}，B ={x |ax -1=0}，若B ⊆A ，则实数a 组成的集合C = ______ ．10. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=1，a 1，S 2，5成等差数列，则数列{a n }的公比q = ______ ．11. 在等比数列{a n }中，已知，则{a n }的前10项和S 10= ______ ．12. 在平行四边形ABCD 中，AD =1，AB =2，∠BAD =60°，E 是CD 的中点，则AC ⋅BE = ______ ． 13. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边边长分别为a ，b ，c 且满足c sin A =a cos C ，则sin A -cos（）的取值范围为______ ．14. 己知△ABC 内一点P 满足AC 81AB 21AP +=，过点P 的直线分别交边AB 、AC 于M 、N 两点，若 AB AM λ=，AC AN μ=，则λ+μ的最小值为 ______ ．三、解答题（本大题共6小题，15-18每题13分，19、20每题14分，共80.0分）15. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a sin A =4b sin B ，ac =（a 2-b 2-c 2）． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求sin （2B -A ）的值．16. 电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．（I）用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？17.如图，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面BCC1B1，E为棱CC1的中点，A1B与AB1交于点O．若AC=CC1=2BC=2，∠ACC1=∠CBB1=60°．（Ⅰ）证明：直线OE//平面ABC；（Ⅱ）证明：平面ABE⊥平面AB1E；（Ⅲ）求直线A1B与平面ABE所成角的正弦值．18.已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N+），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4-2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b2n-1}的前n项和（n∈N+）．19.如图，在三棱锥P-ABC中，点D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB=BC．（1）求证：平面BED⊥平面PAC；（2）求二面角F-DE-B的大小；（3）若PA=6，DF=5，求PC与平面PAB所成角的正切值．20.已知数列{a n}中，a1=a，a2=2，S n是数列{a n}的前n项和，且2S n=n（3a1+a n），n∈N*．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）若T n是数列{b n}的前n项和，且对一切n∈N*都成立，求实数m取值范围．2019-2019学年南大奥宇学校第二次质量调查--文数【答案】1. C2. C3. B4. C5. C6. B7.D8. B9.10. 211.12. -13. （1，2]14.15. （Ⅰ）解：由，得a sin B=b sin A，又a sin A=4b sin B，得4b sin B=a sin A，两式作比得：，∴a=2b．由，得，由余弦定理，得；（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入a sin A=4b sin B，得．由（Ⅰ）知，A为钝角，则B为锐角，∴．于是，，故．16. （Ⅰ）解：由已知，x，y满足的数学关系式为，即．该二元一次不等式组所表示的平面区域如图：（Ⅱ）解：设总收视人次为z万，则目标函数为z=60x+25y．考虑z=60x+25y，将它变形为，这是斜率为，随z变化的一族平行直线．为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值最大．又∵x，y满足约束条件，∴由图可知，当直线z=60x+25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．解方程组，得点M的坐标为（6，3）．∴电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．17. 解：（Ⅰ）取BB1的中点F，连结OF，EF∵E，O分别为CC1，BA1的中点，∴OF∥AB，EF∥BC，∵OF⊄平面ABC，EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，∴OF∥平面ABC，EF∥平面ABC，又OF⊂平面OEF，EF⊂平面OEF，OF∩EF=F，∴平面OEF∥平面ABC，∵OE⊂平面OEF，∴直线OE∥平面ABC．（Ⅱ）∵AC=2CE=2，∠ACC1=60°，∴AE⊥CC1，∵平面ACC1A1⊥平面BCC1B1，平面ACC1A1∩平面BCC1B1=CC1，AE⊂平面ACC1A1，∴AE⊥平面BCC1B1，∴AE⊥BE．∵BC=CE=EC1=C1B1=1，∠CBB1=60°，∴∠CEB=30°，∠C1EB1=60°，∴∠BEB1=90°，即BE⊥EB1．又AE⊂平面AB1E，B1E⊂平面AB1E，AE∩B1E=E，∴BE⊥平面AB1E，∵BE⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面AB1E．（Ⅲ）作OM⊥AE，M为垂足，连结BM．由（Ⅱ）知OM⊥平面ABE，∴∠OBM即为直线A1B与平面ABE所成角．∵OM⊥AE，EB1⊥AE，∴OM∥EB1，又O为AB1的中点，∴OM=EB1=，EM=AE=，∴BM=，从而BO=2，∴sin∠OBM=，即直线A1B与平面ABE所成角的正弦值为．18. 解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由已知b2+b3=12，得b1（q+q2）=12，而b1=2，所以q+q2-6=0．又因为q＞0，解得q=2．所以，b n=2n．由b3=a4-2a1，可得3d-a1=8①．由S11=11b4，可得a1+5d=16②，联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得a n=3n-2．所以，数列{a n}的通项公式为a n=3n-2，数列{b n}的通项公式为b n=2n．（II）设数列{a2n b2n-1}的前n项和为T n，由a2n=6n-2，b2n-1=4n，有a2n b2n-1=（3n-1）4n，故T n=2×4+5×42+8×43+…+（3n-1）4n，4T n=2×42+5×43+8×44+…+（3n-1）4n+1，上述两式相减，得-3T n=2×4+3×42+3×43+…+3×4n-（3n-1）4n+1 ==-（3n-2）4n+1-8得T n=．所以，数列{a2n b2n-1}的前n项和为．19. 证明：（1）∵PA⊥平面ABC，BE⊂平面ABC，∴PA⊥BE．∵AB=BC，E为AC的中点，∴BE⊥AC，又PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，PA∩AC=A，∴BE⊥平面PAC，又BE⊂平面BED，∴平面BED⊥平面PAC．（2）∵D，E是PC，AC的中点，∴DE∥PA，又PA⊥平面ABC，∴DE⊥平面ABC，∵EF⊂平面ABC，BE⊂平面ABC，∴DE⊥EF，DE⊥BE．∴∠FEB为二面角F-DE-B的平面角．∵E，F分别是AC，AB的中点，AB=AC，∴EF=BC=AB=BF，EF∥BC．又AB⊥BC，∴BF⊥EF，∴△BEF为等腰直角三角形，∴∠FEB=45°．∴二面角F-DE-B为45°．（3）∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB．∴∠CPB为直线PC与平面PAB所成的角．∵PA=6，∴PE==3，又DF=5，∴EF==4．∴AB=BC=8．∴PB==10．∴tan∠CPB==．20. 解：（Ⅰ）∵2S n=n（3a1+a n），S1=a1=a，∴2a=4a，所以a=0．…..（3分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴．∴．∴（n-1）a n+1=na n．∴当n≥2时，．∴，…，，∴．∴a n=2（n-1），n≥2．∵a1=a=0满足上式，∴a n=2（n-1），n∈N*．…..（6分）（Ⅲ）当n≥2时，．…..（7分）又b1=2，∴T n=b1+b2+…+b n=…..（9分）==所以．…..（10分）因为对一切n∈N*都成立，即对一切n∈N*都成立．∴．…..（12分）∵，当且仅当，即n=1时等号成立．∴．∴∴．…..（14分）【解析】1. 解：∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=1+2i，∴z2=-1+2i．∴z1•z2=（1+2i）（-1+2i）=-5．故选：C．利用复数的运算法则及几何意义即可求出答案．本题考查了复数的运算法则及几何意义，属于基础题．2. 解：∵等差数列{a n}的公差d≠0，a1=2d，a k是a1与a2k+7的等比中项，∴=a1•[a1+（2k+6）d]，且a1=2d，解得k=5或k=-3（舍）．故选：C．利用等差数列通项公式列出方程组，由此能求出k．本题考查等差数列的项数k的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．3. 解：A．“若x≠a且x≠b，则x2-（a+b）x+ab≠0”的否命题是“若x=a或x=b，则x2-（a+b）x+ab=0”，正确，B．若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故B错误，C．命题“∃x0∈（0，+∞）ln x0=x0-1”的否定是“∀x∈（0，+∞），ln x≠x-1，正确，D．由＜得x＞2或x＜0，即“x＞2”是“＜”的充分不必要条件，正确，故选：BA．根据否命题的定义进行判断．B．根据复合命题的真假关系进行判断．C．根据含有量词的命题的否定进行判断．D．根据充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，但难度不大．4. 解：由三视图知几何体的上部为一球体，且球的直径为2；下部是圆柱挖去一个同底等高的圆锥，且圆柱的底面圆的直径为2，高为3，∴几何体的体积V=V球+V圆柱-V圆锥=π+π×12×3-×π×3=π．故选C．由三视图知几何体的上部为球，且球的直径为2；下部是圆柱挖去一个同底等高的圆锥，且圆柱的底面圆的直径为2，高为3，再根据体积V=V球+V圆柱-V圆锥计算．本题考查了由三视图求组合体的体积，解题的关键是由三视图判断几何体的形状及判断相关几何量的数据．5. 解：∵设等差数列{a n}的前n项和为S n，∴S4，S8-S4，S12-S8成等差数列，即8，12，S12-S8成等差数列，故S12-S8=16，即a9+a10+a11+a12=16，故选C．易知S4，S8-S4，S12-S8成等差数列，从而可得S12-S8=16．本题考查了等差数列的性质的应用，属于基础题．6. 解：要得到函数=cos（x-）的图象，只需将函数的图象上所有的点的横坐标变为原来的 2倍，再再向右平行移动个单位长度，即可，故选：B．利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．7. 解：∵sin（α+）=4cosα，可得：×（sinα+cosα）=4cosα，整理可得：tanα=3，∴2sin2α-sinαcosα+cos2α====．故选：D．由已知利用两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式可求tanα的值，进而利用同角三角函数基本关系式化简所求即可代入计算求值得解．本题主要考查了两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．8. 解：∵{log3（a n-1）}为等差数列，∴2log3（a n-1）=log3（a n-1-1）+log3（a n+1-1）（n≥2），即（n≥2），（n≥2），则数列{a n-1}为等比数列．首项为a1-1=4-1=3，公比为．则．∴．则T n=++…+===．故选：B．由{log3（a n-1）}为等差数列得到数列{a n-1}为等比数列，求出等比数列的通项公式后进一步得到，然后利用等比数列的前n项和得答案．本题考查了等比关系的确定，考查了等比数列的前n项和，是中档题．9. 解：∵A={x|x2-8x+15=0}，∴A={3，5}又∵B={x|ax-1=0}，∴①B=Φ时，a=0，显然B⊆A②B≠φ时，B={}，由于B⊆A∴∴故答案为：{}本题的关键是由A={x|x2-8x+15=0}求出A的元素，再由B={x|ax-1=0}，若B⊆A，求出a值，注意空集的情况本题主要考查集合的相等等基本运算，属于基础题．要正确判断两个集合间的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征．10. 解：∵a1=1，a1，S2，5成等差数列，∴2S2=a1+5，∴2（1+q）=1+5，解得q=2．故答案为：2．由a1，S2，5成等差数列，可得2S2=a1+5，即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11. 解：∵在等比数列{a n}中，，∴=4（），解得q=2，{a n}的前10项和S10===．故答案为：．由等比数列通项公式得公比q=2，由此能求出{a n}的前10项和S10．本题考查等比数列前10项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．12. 解：由题意可得=2×1×cos60°=1，∴=（）•（+）=（）•（-）=-++=-×4+×1+1=-，故答案为-．由条件利用两个向量的数量积的定义求得=1，再根据=（）•（-），运算求得结果．本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于中档题．13. 解：∵在△ABC中，角A，B，C的对边边长分别为a，b，c且满足c sin A=a cos C，∴由正弦定理可得sin C sin A=sin A cos C，∵sin A≠0，∴sin C=cos C，∴C=，∴B=-A，0＜A＜，∴sin A-cos（B+）=sin A-cos（-A+）=sin A+cos A=2sin（A+），∵＜A+＜，可得：＜sin（A+）≤1，∴sin A-cos（）=2sin（A+）∈（1，2]．故答案为：（1，2]．由题意和正弦定理可得B=-A，0＜A＜，进而由三角函数公式可得sin A-cos（B+）=2sin （A+），利用正弦函数的性质即可得解．本题考查三角函数的最值，涉及正弦定理和三角函数公式的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属中档题．14. 解：如图，由及题意得，λ＞0，μ＞0，且，带入得：；又M，P，N三点共线；∴，且λ，μ＞0；∴===，当且仅当，即λ=2μ=时取“=”；∴λ+μ的最小值为．故答案为：．可画出图形，根据题意可知λ，μ＞0，从而可由可得，从而便可得出，这样由M，P，N三点共线便可得出，从而=，而由基本不等式即可求出的最小值，进而便可求出λ+μ的最小值．考查向量的数乘运算，向量数乘的几何意义，A，B，C三点共线的充要条件：，且x+y=1，以及基本不等式在求最值中的应用，在应用基本不等式时，注意判断等号能否取到．15. （Ⅰ）由正弦定理得a sin B=b sin A，结合a sin A=4b sin B，得a=2b．再由，得，代入余弦定理的推论可求cos A的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，代入a sin A=4b sin B，得sin B，进一步求得cos B．利用倍角公式求sin2B，cos2B，展开两角差的正弦可得sin（2B-A）的值．本题考查三角形的解法，考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．16. （Ⅰ）直接由题意结合图表列关于x，y所满足得不等式组，化简后即可画出二元一次不等式所表示的平面区域；（Ⅱ）写出总收视人次z=60x+25y．化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查解得线性规划的应用，考查数学建模思想方法及数形结合的解题思想方法，是中档题．17. （I）取BB1的中点F，连结OF，EF．利用中位线定理得出OF∥AB，EF∥BC，从而平面OEF∥平面ABC，于是直线OE∥平面ABC；（II）由等边三角形性质得出AE⊥CC1，由面面垂直的性质可得AE⊥平面BCC1B1，于是AE⊥BE，根据平面几何知识可得BE⊥B1E，于是BE⊥平面AB1E，从而平面ABE⊥平面AB1E；（III）作OM⊥AE，M为垂足，则可证OM⊥平面ABE．从而∠OBM即为直线A1B与平面ABE所成角，利用勾股定理计算OM，BM，OB，从而得出sin∠OBM．本题考查了线面平行的判定，面面垂直的判定，空间角的作法与计算，属于中档题．18. （Ⅰ）设出公差与公比，利用已知条件求出公差与公比，然后求解{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，考查计算能力．19. （1）通过证明BE⊥平面PAC得出平面BED⊥平面PAC；（2）由DE∥PA得出DE⊥平面ABC，故DE⊥EF，DE⊥BE，于是∠FEB为所求二面角的平面角，根据△BEF为等腰直角三角形得出二面角的度数；（3）证明BC⊥平面PAB得出∠CPB为所求角，利用勾股定理得出BC，PB即可得出tan∠CPB．本题考查了线面垂直，面面垂直的判定，空间角的计算，做出空间角是解题关键，属于中档题．20. （Ⅰ）由2S n=n（3a1+a n），S1=a1=a，能求出a=0．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故．所以．由此能求出a n．（Ⅲ）当n≥2时，．由b1=2，知T n==，由此能够求出对一切n∈N*都成立时，实数m的取值范围．本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．。