指数函数幂函数对数函数增长的比较(课堂PPT)
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3.6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 ppt课件(北师大版必修一)
数学 必修1
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
解析： 三个公司在10天内捐款情况如下表所示：
公司
捐款数量
（万元） 时间 第 1天 第 2天 第 3天 第 4天 第 5天 第 6天
数学 必修1
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
常见的增长模型
1．线性函数模型 线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增
长速度不变．
2．指数函数模型 指数函数(底数a>1) 能利用______________________________ 表达的函数模型 叫指数函数模型．指数函数模型的特点是随自变量的增大，函 数值的增长速度越来越快，常形象地称为指数爆炸．
间．
数学 必修1
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
函数模型的意义及应用 (1)函数是描述客观规律的数学模型，不同的变化现象需要 用不同的函数模型来描述．数学应用题的建模过程就是信息获 取、存储、处理、综合、输出的过程．
(2)通过研究不同增长的几类函数模型，寻找出最能反映实
际问题的函数模型，解题过程可分四步：①建立模型；②画 图；③检验筛选；④判断．
在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象
( 图略 ) ，在区间 (2,4) 内，从上到下图象依次对应的函数为 y2 ＝ x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2>y1>y3. 答案： B
3．若a>1，n>0，那么当x足够大时，ax，xn，logax的大小
关系是________． 答案： ax>xn>logax
B．y＝103x
D．y＝x3
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较(45张PPT)——高中数学必修第一册
一次函数y＝kx(k＞0)，指数函数y＝ax(a＞1)和对数函数y＝logbx(b＞1)的增长有何差异？
一般地，无论k(k＞0)、a(a＞1)、b(b＞1)如何取值，三种函数在区间(0，＋∞)上都单调递增，但一次函数总是保持固定的增长速度；指数函数的增长速度都会越来越快，并且指数函数的函数值最终总会大于一次函数的函数值；对数函数的增长速度都会越来越慢，并且对数函数的函数值最终总会小于一次函数的函数值．
401
626
901
y2
2
32
1024
32768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
【解析】(1)由于指数型函数的增长式为爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y=的增长速度最快，故选A.
(2)从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数函数变化.
x
y=2x
y=2x
0
1
0
2
4
4
4
16
8
6
64
12
8
256
16
10
1024
20
12
4096
24
…
…
…
可以看到，当自变量x越来越大时，y＝2x的图象就像与x轴垂直一样，2x的值快速增长；而函数y＝2x的增长速度依然保持不变，与函数y＝2x的增长速度相比几乎微不足道．
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较ppt课件
1000
1500
对于模型y=log7x+1,它在区间[10,1000] 上递增,而且当x=1000时, y=log71000+1≈4.55<5,所以它符合
17
练习
1、0.32，log20.3，20.3这三个数之间大小关 系是( D ) A. 0.32＜20.3＜log20.3; B. 0.32＜log20.3＜20.3; C. log20.3＜20.3＜0.32; D. log20.3＜0.32＜20.3;
4
3
2
1
0
0
200
400
600
800
1000
1200
对于模型由y=1.002x函数图像并利用计算 器满,足可1以.0知02道x0=在5,由区于间它(80在5,区80间6)[内10有,1一00个0]上点递x0 增,因此当x>x0时,y>5,因此该模型也不符合 要求;
16
5
4 3
y=㏒7x
2
1
0
0
500
18
练习
2、作图像，试比较函数y=4x,y=x4, y=log4x 的增长情况. y=x4 y y=4x
y=log4x
x
19
小结 比较了指数函数、幂函数、对数函数的增长
在区间(0,＋∞)上,当a＞1,n＞0时,当x足够大 时,随着x的增大,y=ax的增长速度越来越快, 会超过并远远大于y=xn的增长速度,而 y=logax的增长速度则越来越慢.
20
长就越快。
y 3x
y 2x
2
对数函数
2.当a＞1时，对数函数y=logax是增函数， 并且对于x＞1，当a越小时，其函数值的 增长就越快。 y
3.6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较ppt课件高中数学必修1北师大版(1)
自变量x的增大，函数值增大的速度越来越快，常称之为“指数
爆炸”.
(2)对数函数模型：能用对数型函数f(x)=mlogax+n(m,n,a为常 数，m≠0)表达的函数模型，若a>1,其增长的特点是开始阶段 增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化的越来越慢，
常称之为“蜗牛式增长”.
(3)幂函数模型：能用幂型函数f(x)=axα+b(a,b,α为常数，
3.三个变量y1、y2、y3随变量x变化的数据如下表: x y1 1 5 3 135 5 625 7 1 715 9 3 645 11 6 655
y2
y3
5
5
29
6.1
245
6.61
2 189
6.95
19 685
7.2
177 149
7.4
其中，x呈对数型函数变化的变量是______;呈指数型函数变化
1. 指数函数增长快慢 在同一坐标系中画出函数y=2x,y=3x的图像，并完成归纳. (1)图像：
y y=3x 9 8 7 6 5 4 3 2 1 O y=2x
-7 -6 -5 -4 -3-2 -1 -1
1 2 3 4 5 6 7 x
增 函数； (2)结论：①由上图我们可得,当a＞1时，指数函数y=ax是___ 快 ②对于x＞0，当a越大时，其函数值的增长就越___.
借助图像法分析函数的增长差异
【技法点拨】
图像法分析函数增长的差异
(1)先借助计算机或计算器，精确作出函数的图像. (2)再借助图形分析，当自变量变化相同量时因变量的变化情形 .
【典例训练】
1.下列函数中在某个区间(x0,+∞)(x0>0)内随x增大而增大速度 最快的是( ) (B)y=x 2
高中数学(北师大版)必修1 名师课件：第三章 §6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 (共28张PPT)
比较大小
[典例] 比较下列各组数的大小．
2 3 3 1 (1)3 4 ，4 2 ；
(2)0.32，log20.3,20.3.
[解] (1)∵函数
2 y1＝3x 为减函数，
2 1 2 3 3 1 又 > ，∴3 2 >3 4 . 4 2
(4)幂函数 y＝xn(n＞0)的增长速度介于指数函数和对数函数之间． (√ )
2．下图反映的是下列哪类函数的增长趋势
(
)
A．一次函数 C．对数函数
B．幂函数 D．指数函数
解析：选 C 从图像可以看出这个函数的增长速度越来越 慢，反映的是对数函数的增长趋势．
3．当 x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是 ( A．y＝100x C．y＝x100
底数大于 1 的指数函数模型和幂指数大于 1 的幂函数 模型都是增函数，增长的快慢则交替出现，从这个实例我 们可以体会到幂函数增长，指数爆炸等不同函数类型增大 的含义．
[活学活用] 四个函数在第一象限中的图像如图所示，a，b， c，d 所表示的函数可能是 ( )
A．a：y＝2x，b：y＝x2，c：y＝ x，d：y＝2－x B．a：y＝x2，b：y＝2x，c：y＝2 x，d：y＝ x
[新知初探]
当 a＞1 时， 指数函数 y＝ax 是 增函数 ， 并且当 a 越 大 时， 其函数值的增长就越快． 当 a＞1 时，对数函数 y＝logax 是 增函数 ，并且当 a 越
小 时，其函数值的增长就越快． ___
当 x＞0，n＞1 时，幂函数 y＝xn 显然也是 增函数 ，并且 当 x>1 时，n 越 大 其函数值的增长就越快．
y3
y4
2
指数函数幂函数对数函数增长的比较完美版PPT
30 1.07E+09
40 1.10E+12
50 1.13E+15
60 1.15E+18
0 100 400 900 1600 2500 3600
1.13E+15
y=2x
1.10E+12 50
y=x2
100
当自变量x越来越大时，可以
看到，y 2x 的图象就像与
X轴垂直一样，2 x 的值快速 增长， x 2 比起 2 x来，几乎
指数函数幂函数对数函数增长 的比较
“陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内， 赏给我一颗麦粒，在第二个小格内给两粒， 第三格内给四粒…这样下去，每一小格内 都比前一小格加一倍。陛下，把这样摆满 棋盘上所有6４格的麦粒，都赏给您的仆 人吧！ 〞
“爱卿，你 所求的并不 多啊！〞
思考：国王真的能够 满足围棋创造者的愿 望吗？
练习 1. P101 P113 B 1
2.对于P97例2选择模型 ylogx1
有更进一步的了解吗？
7
3.使不等式 logxx1 成立的x的取值范围是 2
探 究
一般幂、指、对函数模型的衰减性
提示用几何画板画: ylo1gx ,y(1)x， yx12 的图象
2
2
在区间(0, ,+∞)上,尽管函数y=logax(0<a<1)， y=ax(0<a<1)与y=xn(n<0)都是减函数,但它们的 衰减速度不同,而且不在同一个“档次〞上。随 着x的增大， y=logax(0<a<1)的衰减速度越来越 快,会超过并远远大于y=ax(0<a<1)的衰减速度, 而y=xn(n<0)的衰减速度那么会越来越慢. 因此 总存在一个x0,当x> x0时,就会有 logax<ax<xn 。
40 1.10E+12
50 1.13E+15
60 1.15E+18
0 100 400 900 1600 2500 3600
1.13E+15
y=2x
1.10E+12 50
y=x2
100
当自变量x越来越大时，可以
看到，y 2x 的图象就像与
X轴垂直一样，2 x 的值快速 增长， x 2 比起 2 x来，几乎
指数函数幂函数对数函数增长 的比较
“陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内， 赏给我一颗麦粒，在第二个小格内给两粒， 第三格内给四粒…这样下去，每一小格内 都比前一小格加一倍。陛下，把这样摆满 棋盘上所有6４格的麦粒，都赏给您的仆 人吧！ 〞
“爱卿，你 所求的并不 多啊！〞
思考：国王真的能够 满足围棋创造者的愿 望吗？
练习 1. P101 P113 B 1
2.对于P97例2选择模型 ylogx1
有更进一步的了解吗？
7
3.使不等式 logxx1 成立的x的取值范围是 2
探 究
一般幂、指、对函数模型的衰减性
提示用几何画板画: ylo1gx ,y(1)x， yx12 的图象
2
2
在区间(0, ,+∞)上,尽管函数y=logax(0<a<1)， y=ax(0<a<1)与y=xn(n<0)都是减函数,但它们的 衰减速度不同,而且不在同一个“档次〞上。随 着x的增大， y=logax(0<a<1)的衰减速度越来越 快,会超过并远远大于y=ax(0<a<1)的衰减速度, 而y=xn(n<0)的衰减速度那么会越来越慢. 因此 总存在一个x0,当x> x0时,就会有 logax<ax<xn 。
指数函数,幂函数,对数函数的增长的比较及函数模型 课件
2018年年份代码为 = 2，依此类推）有两个函数模型 = > 0, > 1 与
= + > 0 可供选择．
(1)试判断哪个函数模型更合适（不需计算，简述理由即可），并求出该模型
的函数解析式；
(2)问大约在哪一年，三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍．（参考数据：
2、建立函数模型解决实际问题的步骤
（1）确切理解题意：明确问题的实际背景，进行科学的抽象、概括，将实际问
题转化为数学问题。
（2）建立相应的数学模型（选择合适的数学模型）
（3）求解函数模型，得出数学结论
（4）将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义，并进行验证，
看是否符合实际。
典 例 剖 析
1
= 80 + 4 21 , = 2 + 120，设甲大棚的资金投入为（单位：万元），
4
每年两个大棚的总收入为 （单位：万元），求 的最大值。
题型六 分段函数模型
例6、通过研究学生的学习行为,专家发现,学生的注意力着老师讲课时间的变化
而变化,讲课开始时,学生的兴趣激增;中间有一段时间,学生的兴趣保持较理想的
指数函数、幂函数、对数函
数增长的比较与函数模型
目
标
1
输 入 标 题 名 称
2
输 入 标 题 名 称
3
输 入 标 题 名 称
4
输 入 标 题 名 称
情 景 导 入
每年的3月21日时植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式的植树
活动，某市现有树木面积为10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，现
有两种方案如下：
状态,随后学生的注意力开始分散,设 表示学生注意力随时间(分钟)的变化
= + > 0 可供选择．
(1)试判断哪个函数模型更合适（不需计算，简述理由即可），并求出该模型
的函数解析式；
(2)问大约在哪一年，三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍．（参考数据：
2、建立函数模型解决实际问题的步骤
（1）确切理解题意：明确问题的实际背景，进行科学的抽象、概括，将实际问
题转化为数学问题。
（2）建立相应的数学模型（选择合适的数学模型）
（3）求解函数模型，得出数学结论
（4）将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义，并进行验证，
看是否符合实际。
典 例 剖 析
1
= 80 + 4 21 , = 2 + 120，设甲大棚的资金投入为（单位：万元），
4
每年两个大棚的总收入为 （单位：万元），求 的最大值。
题型六 分段函数模型
例6、通过研究学生的学习行为,专家发现,学生的注意力着老师讲课时间的变化
而变化,讲课开始时,学生的兴趣激增;中间有一段时间,学生的兴趣保持较理想的
指数函数、幂函数、对数函
数增长的比较与函数模型
目
标
1
输 入 标 题 名 称
2
输 入 标 题 名 称
3
输 入 标 题 名 称
4
输 入 标 题 名 称
情 景 导 入
每年的3月21日时植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式的植树
活动，某市现有树木面积为10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，现
有两种方案如下：
状态,随后学生的注意力开始分散,设 表示学生注意力随时间(分钟)的变化
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较-课件 高一数学(北师大版2019必修第一册)
这说明，按模型 y＝log7x＋1 进行奖励，奖金不超过利润的 25%.
综上所述，模型 y＝log7x＋1 符合公司要求．
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
一、幂函数y = x c x > 0, c > 1 与对数
函数y = log b x b > 1 的增长情况比较
二，指数函数y = ax a > 1 与幂函数
（2）若1 ∈ , + 1 ，2 ∈ , + 1 ，且, ∈
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,
12 ，指出, 的值，并说明理由．
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
思考探究：函数增长快慢比较
解：(1)根据指数函数与幂函数的增长速度知：
C1 对应函数 g(x)＝x3，C2 对应函数 f(x)＝2x；
1
2
1
解：(2)
,
4
ℎ = 2 当
1
4
即
1
2
1
4
>
1
4
1
2
,
1
2
1
4
,
1
1 2
,
可分别视为函数
2
4
1
= 时的函数值，在同一坐标系内
4
分别作出这三个函数的图象，
由图象易知
1
4
1
2
1
4
>
>
1 2
.
4
1
4
>ℎ
1
4
，
1 2
.
4
1
2
= ， =
1
2
，
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
综上所述，模型 y＝log7x＋1 符合公司要求．
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
一、幂函数y = x c x > 0, c > 1 与对数
函数y = log b x b > 1 的增长情况比较
二，指数函数y = ax a > 1 与幂函数
（2）若1 ∈ , + 1 ，2 ∈ , + 1 ，且, ∈
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,
12 ，指出, 的值，并说明理由．
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
思考探究：函数增长快慢比较
解：(1)根据指数函数与幂函数的增长速度知：
C1 对应函数 g(x)＝x3，C2 对应函数 f(x)＝2x；
1
2
1
解：(2)
,
4
ℎ = 2 当
1
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即
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>
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2
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可分别视为函数
2
4
1
= 时的函数值，在同一坐标系内
4
分别作出这三个函数的图象，
由图象易知
1
4
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2
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.
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4
>ℎ
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.
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= ， =
1
2
，
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
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1
O
a
bx
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a>1时，y=logax是增函数，
底数a越小，其函数值增长就 越快.
4
三 幂函数y=xn (n>1)图像及n对图像影响
y
y=x2
y=x3
O
x
n>1时，y=xn是增函数，
且x>1时，n越大其函数值增 长就越快.
5
比较函数y=2x, y=x2, y=log2x图像增长快慢
y=2x
y=x2
16
由于指数函数增长非常快，人们 常称这种现象为“指数爆炸”
8
本节内容
一 指数函数、幂函数、对数函数图像回顾 二 指数函数、幂函数、对数函数增长比较
9
y=log2x
4 24
6
函数y=2x, y=x2, y=log2x图像 增长快慢比较
对数函数 y=log2x增长最慢，幂函数 y=x2和指数函数y=2x快慢则交替进行
在(0,2)，幂函数比指数函数增长快 在(4,+∞)，指数函数比幂函数增长快
7
规律总结
(1)对数函数增长最慢 (2)当自变量x大于某一个特定值时， 指数函数比幂函数增长快
1
本节内容
一 指数函数、幂函数、对数函数图像回顾 二 指数函数、幂函数、对数函数增长比较
2
一 指数函数y=ax (a>1)图像及a对图像影响
ay b
y=ax y=bx
O1
x
a>1时，y=ax是增函数，
底数a越大，其函数值增长
就越快.
3
二 对数函数y=logax (a>1)图像及a对图像 影响
y y=logax y=logbx
O
a
bx
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a>1时，y=logax是增函数，
底数a越小，其函数值增长就 越快.
4
三 幂函数y=xn (n>1)图像及n对图像影响
y
y=x2
y=x3
O
x
n>1时，y=xn是增函数，
且x>1时，n越大其函数值增 长就越快.
5
比较函数y=2x, y=x2, y=log2x图像增长快慢
y=2x
y=x2
16
由于指数函数增长非常快，人们 常称这种现象为“指数爆炸”
8
本节内容
一 指数函数、幂函数、对数函数图像回顾 二 指数函数、幂函数、对数函数增长比较
9
y=log2x
4 24
6
函数y=2x, y=x2, y=log2x图像 增长快慢比较
对数函数 y=log2x增长最慢，幂函数 y=x2和指数函数y=2x快慢则交替进行
在(0,2)，幂函数比指数函数增长快 在(4,+∞)，指数函数比幂函数增长快
7
规律总结
(1)对数函数增长最慢 (2)当自变量x大于某一个特定值时， 指数函数比幂函数增长快
1
本节内容
一 指数函数、幂函数、对数函数图像回顾 二 指数函数、幂函数、对数函数增长比较
2
一 指数函数y=ax (a>1)图像及a对图像影响
ay b
y=ax y=bx
O1
x
a>1时，y=ax是增函数，
底数a越大，其函数值增长
就越快.
3
二 对数函数y=logax (a>1)图像及a对图像 影响
y y=logax y=logbx