指数函数ppt
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第三章 第五节 指数函数 课件(共53张PPT)
解析： 函数 y＝|3x－1|的图象是由函数 y＝3x 的图象向下平移一个单位 后，再把位于 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴 上方得到的，函数图象如图所示．
由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以 k 的取值范围为(－∞，0].
答案： (－∞，0]
指数函数的性质及应用
角度一 比较指数幂的大小
解析： (1)由函数 y＝kx＋a 的图象可得 k<0，0<a<1.因为函数的图象与 x 轴交点的横坐标大于 1，所以 k>－1，所以－1<k<0.函数 y＝ax＋k 的图象可以 看成把 y＝ax 的图象向右平移－k 个单位长度得到的，且函数 y＝ax＋k 是减函 数，故此函数与 y 轴交点的纵坐标大于 1，结合所给的选项，选 B.
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
n (1)
an
＝(n
a
)n＝a(n∈N＋).(
)
m
(2)分数指数幂 an
可以理解为mn
个 a 相乘．(
)
(3)函数 y＝3·2x 与 y＝2x＋1 都不是指数函数．( )
(4)若 am<an(a>0，且 a≠1)，则 m<n.( )
答案： (1)× (2)× (3)√ (4)×
角度二 解简单的指数方程或不等式
(1)若
，则函数 y＝2x 的值域是( )
1 A．8，2
1 B．8，2
C．－∞，18
D．[2，＋∞)
4x，x≥0， (2)已知实数 a≠1，函数 f(x)＝2a－x，x<0， 若 f(1－a)＝f(a－1)，则 a 的
值为________．
解析： (1)因为
由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以 k 的取值范围为(－∞，0].
答案： (－∞，0]
指数函数的性质及应用
角度一 比较指数幂的大小
解析： (1)由函数 y＝kx＋a 的图象可得 k<0，0<a<1.因为函数的图象与 x 轴交点的横坐标大于 1，所以 k>－1，所以－1<k<0.函数 y＝ax＋k 的图象可以 看成把 y＝ax 的图象向右平移－k 个单位长度得到的，且函数 y＝ax＋k 是减函 数，故此函数与 y 轴交点的纵坐标大于 1，结合所给的选项，选 B.
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
n (1)
an
＝(n
a
)n＝a(n∈N＋).(
)
m
(2)分数指数幂 an
可以理解为mn
个 a 相乘．(
)
(3)函数 y＝3·2x 与 y＝2x＋1 都不是指数函数．( )
(4)若 am<an(a>0，且 a≠1)，则 m<n.( )
答案： (1)× (2)× (3)√ (4)×
角度二 解简单的指数方程或不等式
(1)若
，则函数 y＝2x 的值域是( )
1 A．8，2
1 B．8，2
C．－∞，18
D．[2，＋∞)
4x，x≥0， (2)已知实数 a≠1，函数 f(x)＝2a－x，x<0， 若 f(1－a)＝f(a－1)，则 a 的
值为________．
解析： (1)因为
《指数函数的概念》课件
2023
REPORTING
《指数函数的概念》 ppt课件
2023
目录
• 引言 • 指数函数的概念 • 指数函数的图像 • 指数函数的运算 • 指数函数与其他数学概念的联系 • 总结与回顾
2023
PART 01
引言
REPORTING
课程背景
数学的重要性
数学是现代科学的基础，而指数 函数在数学和实际生活中有着广 泛的应用。
。
人口增长模型
在生物学和人口统计学中，人口增 长通常使用指数函数来描述。通过 指数函数，可以预测未来人口数量 。
放射性物质衰变
在物理学中，放射性物质衰变通常 使用指数函数来描述。通过指数函 数，可以预测未来放射性物质的数 量。
2023
PART 03
指数函数的图像
REPORTING
指数函数的图像特点
2023
PART 04
指数函数的运算
REPORTING
指数函数的四则运算
01
02
03
04
指数加法
$a^m^n = a^{m+n}$
指数减法
$a^m / a^n = a^{m-n}$
指数乘法
$a^m * a^n = a^{m+n}$
指数除法
$frac{a^m}{a^n} = a^{mn}$
指数函数的复合运算
指数函数与一次函数的复合
$y = a^x * k$，其中k为常数
指数函数与二次函数的复合
$y = a^x * x^2$，其中a、x为变量
指数函数与对数函数的关系
对数函数的定义
如果 $y = a^x$，则 $x = log_a y$
对数函数的性质
REPORTING
《指数函数的概念》 ppt课件
2023
目录
• 引言 • 指数函数的概念 • 指数函数的图像 • 指数函数的运算 • 指数函数与其他数学概念的联系 • 总结与回顾
2023
PART 01
引言
REPORTING
课程背景
数学的重要性
数学是现代科学的基础，而指数 函数在数学和实际生活中有着广 泛的应用。
。
人口增长模型
在生物学和人口统计学中，人口增 长通常使用指数函数来描述。通过 指数函数，可以预测未来人口数量 。
放射性物质衰变
在物理学中，放射性物质衰变通常 使用指数函数来描述。通过指数函 数，可以预测未来放射性物质的数 量。
2023
PART 03
指数函数的图像
REPORTING
指数函数的图像特点
2023
PART 04
指数函数的运算
REPORTING
指数函数的四则运算
01
02
03
04
指数加法
$a^m^n = a^{m+n}$
指数减法
$a^m / a^n = a^{m-n}$
指数乘法
$a^m * a^n = a^{m+n}$
指数除法
$frac{a^m}{a^n} = a^{mn}$
指数函数的复合运算
指数函数与一次函数的复合
$y = a^x * k$，其中k为常数
指数函数与二次函数的复合
$y = a^x * x^2$，其中a、x为变量
指数函数与对数函数的关系
对数函数的定义
如果 $y = a^x$，则 $x = log_a y$
对数函数的性质
高一数学指数函数ppt课件
与对数式的转换、对数运算的性质等。
拓展延伸：挑战更高难度题目
复杂指数函数的性质研究
引入更复杂的指数函数形式，如复合指数函 数、分段指数函数等，探讨它们的性质和应 用。
指数函数在实际问题中的应 用
结合实际问题，如复利计算、人口增长等，展示指 数函数的应用价值，并引导学生运用所学知识解决 实际问题。
指数函数与其他数学知识 的综合应用
指数函数图像特征
当a>1时，图像在x轴上方，且随着x 的增大，y值迅速增大；当0<a<1时， 图像在x轴上方，但随着
当a>1时，指数函数在R上是增函数；当0<a<1时，指数函数在R 上是减函数。
指数函数的值域
指数函数的值域为(0, +∞)。
在解题时，要注意判断题目所给 条件是否满足对称性，以便更好
地应用这一性质。
05 复杂问题解决方 法与策略
分段讨论法在处理复杂问题时应用
分段讨论法概念
将复杂问题按照一定条件分成若 干段，每一段内问题相对简单，
易于解决。
分段讨论法应用
在处理指数函数问题时，当自变量 在不同区间内取值时，函数性质可 能发生变化，此时可以采用分段讨 论法。
数形结合思想概念
将数学中的“数”与“形”结合起来，通过图形 直观展示数量关系，帮助理解问题本质。
数形结合思想应用
在处理指数函数问题时，可以通过绘制函数图像 来观察函数性质，如单调性、周期性等。
数形结合思想优势
通过数形结合可以更加直观地理解问题，提高解 题准确性。
06 总结回顾与拓展 延伸
关键知识点总结回顾
幂的乘方规则
$(a^m)^n = a^{m times n}$，幂的乘方，底 数不变，指数相乘。
指数函数图像和性质_完整ppt课件
-1.5
-1
-0.5
-0.2
-0.4
0.5
1
1.5
2
2.5
3.2
3
2.8
2.6
2.4
2.2
2 1.8
f x = 0.9 x
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-0.5 -0.2
-0.4
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
13
练习： 1、已知下列不等式，试比较m、n的大小：
(2)m (2)n
ppt精选版
1
y y=x3
y=x
y=x2
1
y=x1/2
0
1
X
a>0
y y=x-2
y=x-1
1
y=x-1/2
0
1
X
a<0
（1）图象都过（0，0）点和 （1，1）点；
（2）在第一象限内，函数值 随x 的增大而增大，即
在（0，+∞)上是增函
数。
（1）图象都过（1，1）点；
（2）在第一象限内，函数值随 x 的增大而减小，即在
解 ：根据指数函数的性质， 由图像得，
1.70.3 1 且 0.93.1 1 从而有
1.70.3 > 0.93.1
或者
1.70.3 > 1.7 0 > 0.90 > 0.93.1
ppt精选版
f x = 1.7
3.2
3
2.8
2.6
2.4
2.2
2
1.8
x
1.6
指数函数的概念PPT课件.ppt
4.截距:在 x 轴上没有,在y 轴上为1.
二.图象与性质
1.图象的画法:性质指导下的列表描点法. 2.草图:
观察指数函数 f (x) ax (a 1)
性质
(1) 无论a为何值,指数函数 f (x) a x 都有定义域为R
值域为 0, ,都过点(0,1).
(2) a 1 时, f (x) a x 在定义域内为增函数； 0 a 1 时, f (x) a x 在定义域内为减函数．
(3)关于是否是指数函数的判断
请看下面函数是否是指数函数：
(1) y x
(2) y 0.3x2
(3) y ( 3)3x
(5) y 1 x 1 44
(4) y 2 ( 3 )2x 4
归纳性质
函数 y 2 x
1.定义域: R
2.值 域: 0,
3.奇偶性:既不是奇函数也不是偶函数
例2.比较下列各组数的大小.
(1) ( 1 )0.8与( 1 )1.8
4
2
(2)
(
8
)
3 7
与(
7
5
)12
7
8
(3) 1.080.3与0.983.1
小结比较大小的方法：
1.构造函数的方法: 数的特征是同底不同指 (包括可转化为同底的)
2. 搭桥比较法: 用特殊的数1或 0.
课堂小结
1.指数函数的概念 2.指数函数的图象和性质 3.简单应用
一、指数函数的概念
1.定义:形如 f (x) a x (a 0, a 1)的函数称为指数函数.
2.几点说明:
(1)关于对 a 的规定:
若 a 0 对于 x 0, a x 都无意义
二.图象与性质
1.图象的画法:性质指导下的列表描点法. 2.草图:
观察指数函数 f (x) ax (a 1)
性质
(1) 无论a为何值,指数函数 f (x) a x 都有定义域为R
值域为 0, ,都过点(0,1).
(2) a 1 时, f (x) a x 在定义域内为增函数； 0 a 1 时, f (x) a x 在定义域内为减函数．
(3)关于是否是指数函数的判断
请看下面函数是否是指数函数：
(1) y x
(2) y 0.3x2
(3) y ( 3)3x
(5) y 1 x 1 44
(4) y 2 ( 3 )2x 4
归纳性质
函数 y 2 x
1.定义域: R
2.值 域: 0,
3.奇偶性:既不是奇函数也不是偶函数
例2.比较下列各组数的大小.
(1) ( 1 )0.8与( 1 )1.8
4
2
(2)
(
8
)
3 7
与(
7
5
)12
7
8
(3) 1.080.3与0.983.1
小结比较大小的方法：
1.构造函数的方法: 数的特征是同底不同指 (包括可转化为同底的)
2. 搭桥比较法: 用特殊的数1或 0.
课堂小结
1.指数函数的概念 2.指数函数的图象和性质 3.简单应用
一、指数函数的概念
1.定义:形如 f (x) a x (a 0, a 1)的函数称为指数函数.
2.几点说明:
(1)关于对 a 的规定:
若 a 0 对于 x 0, a x 都无意义
高中数学《指数函数》ppt课件
01
02
03
乘法法则
$a^m times a^n = a^{m+n}$，同底数幂相 乘，底数不变，指数相加 。
除法法则
$a^m div a^n = a^{mn}$，同底数幂相除，底 数不变，指数相减。
幂的乘方法则
$(a^m)^n = a^{m times n}$，幂的乘方，底 数不变，指数相乘。
不同底数指数运算法则
常见指数函数类型及其特点
自然指数函数
幂指数函数
对数指数函数
复合指数函数
底数为e（约等于2.71828） 的指数函数，记为y=e^x。 其图像上升速度最快，常用 于描述自然增长或衰减现象
。
形如y=x^n（n为实数）的函 数，当n>0时图像上升，当 n<0时图像下降。特别地，当 n=1时，幂指数函数退化为线
高中数学《指数函数》ppt 课件
目录
• 指数函数基本概念与性质 • 指数函数运算规则与技巧 • 指数函数在生活中的应用举例 • 指数函数与对数函数关系探讨 • 指数方程和不等式求解技巧 • 总结回顾与拓展延伸
01 指数函数基本概 念与性质
指数函数定义及图像特点
指数函数定义
形如y=a^x（a>0且a≠1）的函 数称为指数函数。
在生物学领域，指数函 数和对数函数被用于描 述生物种群的增长和衰 减过程；
在物理学领域，指数函 数和对数函数被用于描 述放射性衰变等物理现 象。
05 指数方程和不等 式求解技巧
一元一次、二次指数方程求解方法
01
一元一次指数方程：形如 $a^x = b$ （$a > 0, a neq 1$）的方程。求解方法
利用对数性质将指数方程转化为代数 方程进行求解。
《指数函数》PPT课件
商的乘方
商的乘方等于乘方的商。 如：$(a/b)^n = a^n div b^n$。
指数函数的极限与连续
极限性质
当底数大于1时，指数函数随着指 数的增大而趋于无穷大；当底数 在0到1之间时，指数函数随着指 数的增大而趋于0。
连续性
指数函数在其定义域内是连续的， 即对于任意两个相邻的点，函数值 之间的差可以无限小。
。
工程学
在工程学中，指数函数可用于 描述材料疲劳、信号处理等问
题。
计算机科学
在计算机科学中，指数函数可 用于算法分析、图像处理等领
域。
THANKS
感谢观看
02 指数函数的运算 性质
指数函数的四则运算
加法运算
同底数指数相加，指数 不变，底数相乘。如：
$a^m + a^m = 2a^m$。
减法运算
同底数指数相减，指数 不变，底数相除。如： $a^m - a^m = 0$。
乘法运算
同底数指数相乘，指数 相加，底数不变。如：
$a^m times a^n = a^{m+n}$。
级数展开的定义
将指数函数表示为无穷级数的形式，便于分析和 计算。
泰勒级数展开
通过泰勒公式将指数函数展开为幂级数，适用于 函数在某点的局部逼近。
麦克劳林级数展开
特殊形式的泰勒级数，用于在原点处展开指数函 数。
指数函数的傅里叶变换
傅里叶变换的概念
01
将时间域的函数转换为频域的函数，便于分析信号的频率特性
指数函数在生物学中的应用
细菌增长模型
指数函数可以描述细菌在适宜环 境下的增长情况，用于预测细菌
数量。
药物代谢动力学
指数函数可以模拟药物在体内的 代谢过程，用于计算药物浓度随
指数函数的概念图象及性质PPT课件
栏目 导引
第4章 指数函数、对数函数和幂函数
(4)y＝(a2＋2)－x＝a2＋1 2x，底数a2＋1 2∈0，12，前面系数为 1， 指数为自变量 x，故它是指数函数． (5)y＝2×3x＋a(a≠0)，3x 前面系数为 2≠1，故它不是指数函 数． 故(1)(3)(4)为指数函数．
栏目 导引
第4章 指数函数、对数函数和幂函数
指数式的比较大小问题 比较下列各组数的大小． (1)1.8－π，1.8－3；(2)1.7－0.3，1.9－0.3； (3)0.80.6，0.60.8.
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第4章 指数函数、对数函数和幂函数
【解】 (1)构造函数 f(x)＝1.8x. 因为 a＝1.8＞1，所以 f(x)＝1.8x 在 R 上是增函数． 因为－π＜－3，所以 1.8－π＜1.8－3. (2)因为 y＝11..79x在 R 上是减函数， 所以11..79－－00..33＝11..79－0.3＞11..790＝1. 又因为 1.7－0.3 与 1.9－0.3 都大于 0， 所以 1.7－0.3＞1.9－0.3.
栏目 导引
第4章 指数函数、对数函数和幂函数
(3)取中间值 0.80.8. 因为 y＝0.8x 在 R 上单调递减，而 0.6＜0.8， 所以 0.80.6＞0.80.8. 又因为00..6800..88＝00..860.8＞00..680＝1，且 0.60.8＞0， 0．80.8>0，所以 0.80.8＞0.60.8.所以 0.80.6＞0.60.8.
x＝0 时，__y_＝__1___； 质 y值
x<0 时__0_<_y_<_1__
x>0 时，_0_<__y_<_1__； x＝0 时，_y_＝__1____；
第4章 指数函数、对数函数和幂函数
(4)y＝(a2＋2)－x＝a2＋1 2x，底数a2＋1 2∈0，12，前面系数为 1， 指数为自变量 x，故它是指数函数． (5)y＝2×3x＋a(a≠0)，3x 前面系数为 2≠1，故它不是指数函 数． 故(1)(3)(4)为指数函数．
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第4章 指数函数、对数函数和幂函数
指数式的比较大小问题 比较下列各组数的大小． (1)1.8－π，1.8－3；(2)1.7－0.3，1.9－0.3； (3)0.80.6，0.60.8.
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第4章 指数函数、对数函数和幂函数
【解】 (1)构造函数 f(x)＝1.8x. 因为 a＝1.8＞1，所以 f(x)＝1.8x 在 R 上是增函数． 因为－π＜－3，所以 1.8－π＜1.8－3. (2)因为 y＝11..79x在 R 上是减函数， 所以11..79－－00..33＝11..79－0.3＞11..790＝1. 又因为 1.7－0.3 与 1.9－0.3 都大于 0， 所以 1.7－0.3＞1.9－0.3.
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第4章 指数函数、对数函数和幂函数
(3)取中间值 0.80.8. 因为 y＝0.8x 在 R 上单调递减，而 0.6＜0.8， 所以 0.80.6＞0.80.8. 又因为00..6800..88＝00..860.8＞00..680＝1，且 0.60.8＞0， 0．80.8>0，所以 0.80.8＞0.60.8.所以 0.80.6＞0.60.8.
x＝0 时，__y_＝__1___； 质 y值
x<0 时__0_<_y_<_1__
x>0 时，_0_<__y_<_1__； x＝0 时，_y_＝__1____；
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1 2 3 4
y
1 0.5 0
剩余量 1×84%=84%
84%×84%=84%2 84%2×84%=84%3 y=84%x
x
…
x
2 3
例题2
函数y (2a 1) x 为指数函数 , 求a满足的范围
解 : 根据指数函数的定义 ,得 0 2a 1且2a 1 1 1 即a 且a 1 2
问题一：
§2.1 指数函数
细胞分裂： 分裂次数 细胞个数 0 1=20 1 2=21 2 4=22 3 8=23 …… x y=2x
某种细胞分裂时。由1个 分裂成2个，2个分裂成
4个……，1个这样的细
胞分裂x次后，会得到细
胞个数y与x的函数关系
式是什么 ？
问题二：
某种放射性物质不断变 物理现象： 放射性元素残留量
一般性质：
（1）图像沿 x 轴 向左右方向无限延伸， ( a < 0, 且 a ≠0 ) 函数的 定义域为 R 。 （2）图像都在 x 轴上方，函数的值域是R+, （3）图像都经过 点(0 ,1 ), 即 f (0 ) = 1 （4）当 a >1 时, 在 (-∞,+ ∞)上是增函数; 当 0<a<1 时,在 (-∞,+ ∞)上是减函数; （5）当 a >1 时，若 x > 0 , 则 y >1
y=10x y=2x
1 0
y=x x
(a 越大,图像上方越较靠近 y 轴 )
若 x < 0 , 则 0<y<1
当 0<a<1时, 若 x > 0 , 则 0<y<1 若 x < 0 , 则 y >1 (a 越小,图像上方越较靠近 y 轴 )
指数函数的图象和性质
a >1
y = ax y = ax
0<a<1
1 x y( ) 2
1
2
1.5
2.83
0.5 0.35
… … 0.25 … 2 4
y
y2
1
-3 -2 -1
x
o
1
2
3
x
画 y=3x与y=(1/3)x 的图象 列表： x … -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 … y=3x … 0.19 0.33 0.58 1 1.73 3 5.20 … y=(1/3)x … 5.20 3 1.73 1 0.58 0.33 0.19 …
（1）y=4 x （2） y=x4 （3） y=-4x （4）y=(-4)x x （5）y=4x2 （6）y=πx (7)y=4x+1 (8) x
函数y=ax（a>0且a1）叫做指数函数， 其中x是自变量，函数的定义域是R。
画 y=2x 与 y=(1/2)x的图象 列表： x … -2 -1.5 -1 0 y=2x … 0.25 0.35 0.5 1 y=(1/2)x … 4 2.83 2 1
根据指数函数的性质得： ∵(1.7)0.3 >(1.7)0 =1 ∴(0.9)3.1 <(0.9)0 =1 ∴(1.7)0.3 >1>(0.9)3.1
此题两数底数不同,无法直接 比较大小,因此我们想到找一 个中间变量,通过与中间变量 比较,最后得出两数的情况.
1.若(0.7) (0.7) , 则m和n的关系
y
(0，1) y =1
图 象 性 质
y =1 (0，1)
O
x
O
x
1. 定义域：R 2. 值域：（0，+∞） 3. 过点（0，1），即x=0时，y=1 4. 在R上是增函数 当 x > 0，y>1 x<0 ，0<y<1 4. 在R上是减函数 当x > 0，0<y<1 x<0 ， y>1
图中的曲线是指数函数 y a 的图象, 1 4 3 已知a的值取 3, , , 四个值, 则相 10 3 5 A 应的曲线c1 , c2 , c3 , c4的a的值依次为
x
4 A. 3 3 3 1 B. 5 10 1 3 C. 10 5 4 D. 3 3
1 10
3 5
c3
c4
1
O Y
3 1 5 10
4 3 3 4 3 3
c2 c1
X
例题1 某种物质不断变化为其他物质，每经1年剩留的这 种物质是原来的84%，画出这种物质的剩留随时间 变化的图象，并从图象上求出经过多少年剩留是原 来的一半 （结果保留一位有效数字）。 物理现象： 放射性元素残留量 经过n年 1
y=(1/3)x
y
y=3x
1
-3 -2 -1
o
1
2
3
x
观察右边) 1x 3 y( ) 2
y=3X
Y
y = 2x
y a x (a 0且a 1)
Y=1
(1) (2)
a>1 时? 0 <a<1 时?
O
X
4.2 指数函数
y = ax
1 y ( )x 10 y 1 y ( )x 2
解： (1)对于指数函数 y (1.7) x 1.7 1 函数在R上为增函数 又 2.5 3 (1.7) (1.7)
2.5 3
(2) (0.8)-0.1 和(0.8)-0.2 的大小
对于指数函数y=(0.8)x ∵0<0.8<1 ∵指数函数在R上为减函数 ∴ -0.1>-0.2 ∴( 0.8)-0.1 < (0.8)-0.2 (3) (1.7)0.3 和 0.93.1 的大小
★ ★ ★此题考察的是对指数函数定义的 理解,注意指数函数中对底数范围的要求
例3 比较下列数值的大小
(1)(1.7 ) 2.5 , (1.7 ) 3 ( 2)(0.8) 0.1 , (0.8) 0.2 (3)(1.7 )
0 .3
.0<a<1
y
(a>1)
, ( 0 .9 )
3.1
1
0 x
分析:同底数指数幂比较大小,可通过考 察底数所对应的指数函数的单调性来解 决,并且在考察时,注意底数的范围.
化为其他物质，每经过 经过n年
1年剩留的这种物质是 1 2 3
……
剩留量 1×84%=0.84 0.84×0.84=0.842 0.842×0.84=0.843 y=0.84x
原来的84%，则经过x
年后，这种物质的剩留 量y与x的函数关系式是 什么？
x
指数函数定义：
说明： ① 如果a=0，当x>0时，ax恒等于0，02=0，当 x≤0时，0-2无意义。 如果a<0，当x取1/2、1/4 …时 ax在实数范围 内无意义，如 y=（-2）x 如果a=1，y=1x=1是常量，没有研究的必要。 ②X的取值范围：定义域为R ③指数函数必须满足y=1×ax（a>0且a1） 指出下列函数哪些是指数函数：
y
1 0.5 0
剩余量 1×84%=84%
84%×84%=84%2 84%2×84%=84%3 y=84%x
x
…
x
2 3
例题2
函数y (2a 1) x 为指数函数 , 求a满足的范围
解 : 根据指数函数的定义 ,得 0 2a 1且2a 1 1 1 即a 且a 1 2
问题一：
§2.1 指数函数
细胞分裂： 分裂次数 细胞个数 0 1=20 1 2=21 2 4=22 3 8=23 …… x y=2x
某种细胞分裂时。由1个 分裂成2个，2个分裂成
4个……，1个这样的细
胞分裂x次后，会得到细
胞个数y与x的函数关系
式是什么 ？
问题二：
某种放射性物质不断变 物理现象： 放射性元素残留量
一般性质：
（1）图像沿 x 轴 向左右方向无限延伸， ( a < 0, 且 a ≠0 ) 函数的 定义域为 R 。 （2）图像都在 x 轴上方，函数的值域是R+, （3）图像都经过 点(0 ,1 ), 即 f (0 ) = 1 （4）当 a >1 时, 在 (-∞,+ ∞)上是增函数; 当 0<a<1 时,在 (-∞,+ ∞)上是减函数; （5）当 a >1 时，若 x > 0 , 则 y >1
y=10x y=2x
1 0
y=x x
(a 越大,图像上方越较靠近 y 轴 )
若 x < 0 , 则 0<y<1
当 0<a<1时, 若 x > 0 , 则 0<y<1 若 x < 0 , 则 y >1 (a 越小,图像上方越较靠近 y 轴 )
指数函数的图象和性质
a >1
y = ax y = ax
0<a<1
1 x y( ) 2
1
2
1.5
2.83
0.5 0.35
… … 0.25 … 2 4
y
y2
1
-3 -2 -1
x
o
1
2
3
x
画 y=3x与y=(1/3)x 的图象 列表： x … -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 … y=3x … 0.19 0.33 0.58 1 1.73 3 5.20 … y=(1/3)x … 5.20 3 1.73 1 0.58 0.33 0.19 …
（1）y=4 x （2） y=x4 （3） y=-4x （4）y=(-4)x x （5）y=4x2 （6）y=πx (7)y=4x+1 (8) x
函数y=ax（a>0且a1）叫做指数函数， 其中x是自变量，函数的定义域是R。
画 y=2x 与 y=(1/2)x的图象 列表： x … -2 -1.5 -1 0 y=2x … 0.25 0.35 0.5 1 y=(1/2)x … 4 2.83 2 1
根据指数函数的性质得： ∵(1.7)0.3 >(1.7)0 =1 ∴(0.9)3.1 <(0.9)0 =1 ∴(1.7)0.3 >1>(0.9)3.1
此题两数底数不同,无法直接 比较大小,因此我们想到找一 个中间变量,通过与中间变量 比较,最后得出两数的情况.
1.若(0.7) (0.7) , 则m和n的关系
y
(0，1) y =1
图 象 性 质
y =1 (0，1)
O
x
O
x
1. 定义域：R 2. 值域：（0，+∞） 3. 过点（0，1），即x=0时，y=1 4. 在R上是增函数 当 x > 0，y>1 x<0 ，0<y<1 4. 在R上是减函数 当x > 0，0<y<1 x<0 ， y>1
图中的曲线是指数函数 y a 的图象, 1 4 3 已知a的值取 3, , , 四个值, 则相 10 3 5 A 应的曲线c1 , c2 , c3 , c4的a的值依次为
x
4 A. 3 3 3 1 B. 5 10 1 3 C. 10 5 4 D. 3 3
1 10
3 5
c3
c4
1
O Y
3 1 5 10
4 3 3 4 3 3
c2 c1
X
例题1 某种物质不断变化为其他物质，每经1年剩留的这 种物质是原来的84%，画出这种物质的剩留随时间 变化的图象，并从图象上求出经过多少年剩留是原 来的一半 （结果保留一位有效数字）。 物理现象： 放射性元素残留量 经过n年 1
y=(1/3)x
y
y=3x
1
-3 -2 -1
o
1
2
3
x
观察右边) 1x 3 y( ) 2
y=3X
Y
y = 2x
y a x (a 0且a 1)
Y=1
(1) (2)
a>1 时? 0 <a<1 时?
O
X
4.2 指数函数
y = ax
1 y ( )x 10 y 1 y ( )x 2
解： (1)对于指数函数 y (1.7) x 1.7 1 函数在R上为增函数 又 2.5 3 (1.7) (1.7)
2.5 3
(2) (0.8)-0.1 和(0.8)-0.2 的大小
对于指数函数y=(0.8)x ∵0<0.8<1 ∵指数函数在R上为减函数 ∴ -0.1>-0.2 ∴( 0.8)-0.1 < (0.8)-0.2 (3) (1.7)0.3 和 0.93.1 的大小
★ ★ ★此题考察的是对指数函数定义的 理解,注意指数函数中对底数范围的要求
例3 比较下列数值的大小
(1)(1.7 ) 2.5 , (1.7 ) 3 ( 2)(0.8) 0.1 , (0.8) 0.2 (3)(1.7 )
0 .3
.0<a<1
y
(a>1)
, ( 0 .9 )
3.1
1
0 x
分析:同底数指数幂比较大小,可通过考 察底数所对应的指数函数的单调性来解 决,并且在考察时,注意底数的范围.
化为其他物质，每经过 经过n年
1年剩留的这种物质是 1 2 3
……
剩留量 1×84%=0.84 0.84×0.84=0.842 0.842×0.84=0.843 y=0.84x
原来的84%，则经过x
年后，这种物质的剩留 量y与x的函数关系式是 什么？
x
指数函数定义：
说明： ① 如果a=0，当x>0时，ax恒等于0，02=0，当 x≤0时，0-2无意义。 如果a<0，当x取1/2、1/4 …时 ax在实数范围 内无意义，如 y=（-2）x 如果a=1，y=1x=1是常量，没有研究的必要。 ②X的取值范围：定义域为R ③指数函数必须满足y=1×ax（a>0且a1） 指出下列函数哪些是指数函数：