指数与指数函数ppt课件演示文稿
合集下载
第三章 第五节 指数函数 课件(共53张PPT)
解析： 函数 y＝|3x－1|的图象是由函数 y＝3x 的图象向下平移一个单位 后，再把位于 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴 上方得到的，函数图象如图所示．
由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以 k 的取值范围为(－∞，0].
答案： (－∞，0]
指数函数的性质及应用
角度一 比较指数幂的大小
解析： (1)由函数 y＝kx＋a 的图象可得 k<0，0<a<1.因为函数的图象与 x 轴交点的横坐标大于 1，所以 k>－1，所以－1<k<0.函数 y＝ax＋k 的图象可以 看成把 y＝ax 的图象向右平移－k 个单位长度得到的，且函数 y＝ax＋k 是减函 数，故此函数与 y 轴交点的纵坐标大于 1，结合所给的选项，选 B.
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
n (1)
an
＝(n
a
)n＝a(n∈N＋).(
)
m
(2)分数指数幂 an
可以理解为mn
个 a 相乘．(
)
(3)函数 y＝3·2x 与 y＝2x＋1 都不是指数函数．( )
(4)若 am<an(a>0，且 a≠1)，则 m<n.( )
答案： (1)× (2)× (3)√ (4)×
角度二 解简单的指数方程或不等式
(1)若
，则函数 y＝2x 的值域是( )
1 A．8，2
1 B．8，2
C．－∞，18
D．[2，＋∞)
4x，x≥0， (2)已知实数 a≠1，函数 f(x)＝2a－x，x<0， 若 f(1－a)＝f(a－1)，则 a 的
值为________．
解析： (1)因为
由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以 k 的取值范围为(－∞，0].
答案： (－∞，0]
指数函数的性质及应用
角度一 比较指数幂的大小
解析： (1)由函数 y＝kx＋a 的图象可得 k<0，0<a<1.因为函数的图象与 x 轴交点的横坐标大于 1，所以 k>－1，所以－1<k<0.函数 y＝ax＋k 的图象可以 看成把 y＝ax 的图象向右平移－k 个单位长度得到的，且函数 y＝ax＋k 是减函 数，故此函数与 y 轴交点的纵坐标大于 1，结合所给的选项，选 B.
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
n (1)
an
＝(n
a
)n＝a(n∈N＋).(
)
m
(2)分数指数幂 an
可以理解为mn
个 a 相乘．(
)
(3)函数 y＝3·2x 与 y＝2x＋1 都不是指数函数．( )
(4)若 am<an(a>0，且 a≠1)，则 m<n.( )
答案： (1)× (2)× (3)√ (4)×
角度二 解简单的指数方程或不等式
(1)若
，则函数 y＝2x 的值域是( )
1 A．8，2
1 B．8，2
C．－∞，18
D．[2，＋∞)
4x，x≥0， (2)已知实数 a≠1，函数 f(x)＝2a－x，x<0， 若 f(1－a)＝f(a－1)，则 a 的
值为________．
解析： (1)因为
第5讲 指数与指数函数
上一页
返回导航
下一页
第二章 函数概念与基本初等函数
19
1
4．函数 y＝2x－1的值域为________．
解析：因为x－1 1≠0，
1
1
所以 2x－1>0 且 2x－1≠1.
答案：(0，1)∪(1，＋∞)
上一页
返回导航
下一页
第二章 函数概念与基本初等函数
20
指数幂的化简与求值(自主练透)
1．化简14－12·
在第一象限内，指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大．
3．指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象和性质跟 a 的取值有关，要特
别注意应分 a>1 与 0<a<1 来研究．
上一页
返回导航
下一页
第二章 函数概念与基本初等函数
10
二、教材衍化 1．化简4 16x8y4(x<0，y<0)＝________．
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)n an＝(n a)n＝a.
2
1
(2)(－1)4＝(－1)2＝ －1.
(3)函数 y＝a－x 是 R 上的增函数．
上一页
返回导航
下一页
13
( ×) ( ×) ( ×)
第二章 函数概念与基本初等函数
(4)函数 y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)． (5)函数 y＝2x－1 是指数函数． (6)若 am<an(a>0，且 a≠1)，则 m<n.
画指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，－1，1a. 2.指数函数的图象与底数大小的比较
第二章第5讲 指数与指数函数
指数幂的运算
[典例引领] 化简下列各式： (1)2350＋2－2·214－12－(0.01)0.5； (2)56a13·b－2·－3a－12b－1÷4a23·b－312(a，b>0)．
栏目 导引
第二章 函数概念与基本初等函数
【解】 (1)原式＝1＋14×4912－110012 ＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1165. (2)原式＝－52a－16b－3÷4a23·b－312＝－54a－61b－3÷a13b－32 ＝－54a－21·b－23＝－54· a1b3＝－54abab2 .
栏目 导引
第二章 函数概念与基本初等函数
[典例引领]
角度一 比较指数式的大小
设 a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则 a，b，c 的大小关系
是( )
A．a<b<c
B．a<c<b
C．b<a<c
D．b<c<a
栏目 导引
第二章 函数概念与基本初等函数
【解析】 因为函数 y＝0.6x 是减函数，0<0.6<1.5， 所以 1>0.60.6>0.61.5，即 b<a<1. 因为函数 y＝1.5x 在(0，＋∞)上是增函数，0.6>0， 所以 1.50.6>1.50＝1， 即 c>1.综上，b<a<c. 【答案】 C
因为 y＝12u在 R 上为减函数，所以函数 f(x)＝12－x2＋2x＋1的减区 间即为函数 u＝－x2＋2x＋1 的增区间． 又 u＝－x2＋2x＋1 的增区间为(－∞，1]，
所以 f(x)的减区间为(－∞，1]．
栏目 导引
第二章 函数概念与基本初等函数
[典例引领] 化简下列各式： (1)2350＋2－2·214－12－(0.01)0.5； (2)56a13·b－2·－3a－12b－1÷4a23·b－312(a，b>0)．
栏目 导引
第二章 函数概念与基本初等函数
【解】 (1)原式＝1＋14×4912－110012 ＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1165. (2)原式＝－52a－16b－3÷4a23·b－312＝－54a－61b－3÷a13b－32 ＝－54a－21·b－23＝－54· a1b3＝－54abab2 .
栏目 导引
第二章 函数概念与基本初等函数
[典例引领]
角度一 比较指数式的大小
设 a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则 a，b，c 的大小关系
是( )
A．a<b<c
B．a<c<b
C．b<a<c
D．b<c<a
栏目 导引
第二章 函数概念与基本初等函数
【解析】 因为函数 y＝0.6x 是减函数，0<0.6<1.5， 所以 1>0.60.6>0.61.5，即 b<a<1. 因为函数 y＝1.5x 在(0，＋∞)上是增函数，0.6>0， 所以 1.50.6>1.50＝1， 即 c>1.综上，b<a<c. 【答案】 C
因为 y＝12u在 R 上为减函数，所以函数 f(x)＝12－x2＋2x＋1的减区 间即为函数 u＝－x2＋2x＋1 的增区间． 又 u＝－x2＋2x＋1 的增区间为(－∞，1]，
所以 f(x)的减区间为(－∞，1]．
栏目 导引
第二章 函数概念与基本初等函数
《指数与指数运算》课件
。
积的乘方时，将每个因 数分别乘方，然后再相
乘。
复合指数法则的实例
$(a^m)^n = a^{mn}$
$(a^m)^n$表示$a$的$m$次方的$n$次 方，根据复合指数法则 a^m times a^n$
根据同底数幂相乘的规则，$a^{m+n}$可 以化简为$a^m times a^n$。
详细描述
指数函数在许多实际问题中都有应用，如人口增长、复利计算、放射性物质的衰变等。通过建立数学 模型，我们可以利用指数函数的性质和图像解决这些问题，从而更好地理解和预测事物的变化趋势。
CHAPTER
04
复合指数法则与运算
复合指数法则的概念
指数法则
指数法则是一种数学运算规则， 用于表示一个数的指数幂。
指数的性质
当底数相同时，指数相加 表示乘法，指数相减表示 除法。
指数的运算顺序
先乘方后乘除，先括号后 加减。
指数的起源与历史
起源
指数概念最早可以追溯到古希腊 数学家欧几里得的《几何原本》 ，其中对指数进行了初步的探讨 。
发展历程
随着数学的发展，指数概念逐渐 完善，经历了文艺复兴、牛顿和 莱布尼茨等人的贡献，最终形成 了现代数学中的指数概念。
指数运算的技巧
简化指数式
利用幂的性质，如$a^{m} times a^{n} = a^{m+n}$，$a^{m} div a^{n} = a^{m-n}$等，简化复杂的指数式。
同底数幂的乘法与除法
当底数相同时，可以直接根据指数进行乘法或除法运算。
科学记数法
将大数表示为$a times 10^{n}$的形式，便于计算和比较大小。
非零实数的0次幂为1
同底数幂的除法法则
指数与指数函数_PPT课件
(1)实数 a 的值；
(2)用定义法判断 f(x)在其定义域上的单调性．
解：(1)依题意，函数 f(x)的定义域为 R，
∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴a·22－－x＋x＋a1－2＝－a·22x＋x＋a1－2，
∴2(a－1)(2x＋1)＝0，∴a＝1.
高三总复习
人教A 版 ·数学 （理）
从而y＝ax－a－x为增函数， 所以f(x)为增函数． 当0<a<1时，a2－1<0， y＝ax为减函数，y＝a－x为增函数，从而y＝ax－a－x为减函数． 所以f(x)为增函数． 故当a>0且a≠1时，f(x)在定义域内单调递增．
高三总复习
人教A 版 ·数学 （理）
(3)由(2)知 f(x)在 R 上是增函数， ∴在区间[－1,1]上为增函数． 所以 f(－1)≤f(x)≤f(1)， ∴f(x)min＝f(－1)＝a2－a 1(a－1－a) ＝a2－a 1·1－a a2＝－1， ∴要使 f(x)≥b 在[－1,1]上恒成立，则只需 b≤－1， 故 b 的取值范围是(－∞，－1]．
高三总复习
人教A 版 ·数学 （理）
2．将指数函数 f(x)的图象向右平移一个单位，得到如右图所
示的 g(x)的图象，则 f(x)＝( )
A．2x
B．3x
C．(12)x
D．(13)x
解析：设f(x)＝ax，则g(x)＝ax－1，由g(x)图象过(2,2)点可知，a2－1 ＝2，∴a＝2.∴f(x)＝2x.
高三总复习
人教A 版 ·数学 （理）
[例 2] 已知函数 y＝(13)|x＋1| (1)作出图象； (2)由图象指出其单调区间； (3)由图象指出当 x 取什么值时函数有最值．
指数函数的概念图象及性质PPT课件
栏目 导引
第4章 指数函数、对数函数和幂函数
(4)y＝(a2＋2)－x＝a2＋1 2x，底数a2＋1 2∈0，12，前面系数为 1， 指数为自变量 x，故它是指数函数． (5)y＝2×3x＋a(a≠0)，3x 前面系数为 2≠1，故它不是指数函 数． 故(1)(3)(4)为指数函数．
栏目 导引
第4章 指数函数、对数函数和幂函数
指数式的比较大小问题 比较下列各组数的大小． (1)1.8－π，1.8－3；(2)1.7－0.3，1.9－0.3； (3)0.80.6，0.60.8.
栏目 导引
第4章 指数函数、对数函数和幂函数
【解】 (1)构造函数 f(x)＝1.8x. 因为 a＝1.8＞1，所以 f(x)＝1.8x 在 R 上是增函数． 因为－π＜－3，所以 1.8－π＜1.8－3. (2)因为 y＝11..79x在 R 上是减函数， 所以11..79－－00..33＝11..79－0.3＞11..790＝1. 又因为 1.7－0.3 与 1.9－0.3 都大于 0， 所以 1.7－0.3＞1.9－0.3.
栏目 导引
第4章 指数函数、对数函数和幂函数
(3)取中间值 0.80.8. 因为 y＝0.8x 在 R 上单调递减，而 0.6＜0.8， 所以 0.80.6＞0.80.8. 又因为00..6800..88＝00..860.8＞00..680＝1，且 0.60.8＞0， 0．80.8>0，所以 0.80.8＞0.60.8.所以 0.80.6＞0.60.8.
x＝0 时，__y_＝__1___； 质 y值
x<0 时__0_<_y_<_1__
x>0 时，_0_<__y_<_1__； x＝0 时，_y_＝__1____；
第4章 指数函数、对数函数和幂函数
(4)y＝(a2＋2)－x＝a2＋1 2x，底数a2＋1 2∈0，12，前面系数为 1， 指数为自变量 x，故它是指数函数． (5)y＝2×3x＋a(a≠0)，3x 前面系数为 2≠1，故它不是指数函 数． 故(1)(3)(4)为指数函数．
栏目 导引
第4章 指数函数、对数函数和幂函数
指数式的比较大小问题 比较下列各组数的大小． (1)1.8－π，1.8－3；(2)1.7－0.3，1.9－0.3； (3)0.80.6，0.60.8.
栏目 导引
第4章 指数函数、对数函数和幂函数
【解】 (1)构造函数 f(x)＝1.8x. 因为 a＝1.8＞1，所以 f(x)＝1.8x 在 R 上是增函数． 因为－π＜－3，所以 1.8－π＜1.8－3. (2)因为 y＝11..79x在 R 上是减函数， 所以11..79－－00..33＝11..79－0.3＞11..790＝1. 又因为 1.7－0.3 与 1.9－0.3 都大于 0， 所以 1.7－0.3＞1.9－0.3.
栏目 导引
第4章 指数函数、对数函数和幂函数
(3)取中间值 0.80.8. 因为 y＝0.8x 在 R 上单调递减，而 0.6＜0.8， 所以 0.80.6＞0.80.8. 又因为00..6800..88＝00..860.8＞00..680＝1，且 0.60.8＞0， 0．80.8>0，所以 0.80.8＞0.60.8.所以 0.80.6＞0.60.8.
x＝0 时，__y_＝__1___； 质 y值
x<0 时__0_<_y_<_1__
x>0 时，_0_<__y_<_1__； x＝0 时，_y_＝__1____；
指数与指数函数-优秀课件
若
0＜a＜1，则a2－a 1＜0，
a x1
a x2 a x1x2 a x1 x2
1
＜0，
f(x1)＞f(x2)． 所以，若 a＞0，总有 f(x1)＞f(x2)， ∴f(x)在 R 上是增函数．
(3)由(2)知 f(x)在[－1,1]上为增函数，
所以 f(x)在[－1,1]上的最小值为
f(－1)＝a2－a 1(a－1－a)＝－1.
x≥1， x＜1，
故选 B.
答案 B
3．f(x)＝4＋ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标为
A．(1,5)
B．(1,4)
C．(0,4)
D．(4,0)
解析 x－1＝0即x＝1时，f(x)＝5，恒过(1,5)点．
答案 A
4．函数 y＝ 32x－1－217的定义域为________． 解析 由 32x－1－217≥0 知，32x－1≥3－3， 2x－1≥－3，∴x≥－1.
象的位置与底数大小的关系．
(2)底数与指数函数的图象相对位置关系由指数函 数 y＝ax 与直线 x＝1 相交于点(1，a)可知：在 y 轴右侧， 图象从下到上相应的底数由小变到大．
如图所示的指数函数的底数的大小关系为0＜a4＜a3＜1 ＜a2＜a1.
【变式训练】 2．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0，且a≠1)的图象 有两个公共点，则a的取值范围是________． 解析 数形结合．由图可知 0＜2a＜1， ∴0＜a＜12.
2．根式的性质 (1)当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数 的 n 次方根是一个负数，这时，a 的 n 次方根用符号 n a 表 示． (2)当 n 为偶 数时，正数的 n 次方根有两个，它们互为
指数与指数函数ppt课件
2．已知函数 f (x)＝ax－2＋2(a>0 且 a≠1)的图象恒过定点 A，则点 A 的坐标为( B )
A．(0,1)
B．(2,3)
C．(3,2)
D．(2,2)
【解析】 ∵a0＝1，∴当 x＝2 时，y＝3，∴图象过点(2,3)．故选 B．
3．化简4 16x4y8(x<0，y<0)＝__－__2_x_y_2 _. 【解析】 4 16x4y8＝|2xy2|，又 x<0，y<0，∴原式＝－2xy2.
第二章 函数
第五节 指数与指数函数
课前双基巩固
——整合知识 夯实基础
『知识聚焦』 1．根式的概念及性质 (1)如果xn＝a，那么____x___叫做a的n次方根． (2)式子n a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)根式的性质 ①(n a)n＝a(a使n a有意义．负数没有偶次方根)． ②当n为奇数时，n an＝___a____； 当n为偶数时，n an＝____|_a_| __＝a－，aa，≥a0<，0.
(2)令 g(x)＝ax2－4x＋3，则 f (x)＝13g(x)，由于 f (x)有最大值 3，所以 g(x)应有最小值 a>0，
－1，因此必有3a－ a 4＝－1， 解得 a＝1，即当 f (x)有最大值 3 时，a 的值等于 1. (3)由指数函数的性质知，要使 f (x)的值域为(0，＋∞)， 应使 y＝ax2－4x＋3 的值域为 R， 因此只能 a＝0(因为若 a≠0，则 y＝ax2－4x＋3 为二次函数，其值域不可能为 R)．
C．(1＋a)a>(1＋b)b
D．(1－a)a>(1－b)b
【解析】
(1)把
b
化简为
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
m n
n m
3. 指数函数的定义 一般地，函数y=ax(a＞0，且a¹ 1)叫做指数函数， 其中x是自变量．
4. 指数函数的图象与性质
y=ax
a>1
0<a<1
图象
定义域 R
(0，+∞) (0,1) y>1 ； 当x>0时，____ y<1 当x<0时，0< ____ 在(-∞，+∞)上是 增函数 ______
R
(0，+∞) (0,1) 0<y<1 ； 当x>0时，______ y>1 当x<0时，______ 在(-∞，+∞)上是 减函数 ______
值域 过定点 性 质
基础达标
1. (教材改编题)化简 A. 3x2y D 解析：
4
4
81x 8 y 4
B. 3xy
(x＜0，y＜0)得 ( ) C. 9x2y D. -3x2y
【例1】 化简或计算．
1 3 0 10 2 3 (1)(2 5 ) (0.064) (2 27 ) 3 (0.01)0.5
(2) a a 3 ÷ 3 a 8 3 a15 (3)已知a，b是方程x2-6x+4=0的两根，且a>b>0，
3
7 2
求 a b
1 2
1 2
的值．
解 (1) 2 -1 4 -2 原式=1+ + - 3
第六节 指数与指数函数
基础梳理
1. 根式 n次方根 ， (1)定义：如果xn＝a，那么x叫做a的________ 其中n＞1，n∈ N .当n是奇数时，正数的n次方 正数 ，负数的n次方根是一个________ 负数 ， 根是一个________ n 记作________ ．当n是偶数时，正数的n次方根 a 相反数 ， 有________ 两个 ，这两个数互为________ 记作________ n a ，负数没有________ 偶次 方根， 零的n次方根是零．
4. (教材改编题)函数
1 y 的定义域为 2
1 x
________，值域为________． {x|x≠0} {y|y＞0且y≠1} 解析： 定义域为{x|x≠0}，∵
1 0∴ x
1 x 1 2
1
∴值域为{y|y＞0且y ≠ 1}．
经典例题
题型一 指数运算性质的应用
其图象分成两部分：一部分是
的图象，由下列变换可得到：
1 y 2
x2
,( x 2)
x2 1 左移２个单位 1 y y 2 2
x
另一部分y=2x+2(x<－2)的图象， 由下列变换可得到：
y=2x
左移２个单位
y=2x+2
函数
1 y 2
81x8 y 4 (81x8 y ) (34 (-x)8 (-y) ) 3x2 y
1 4 4
1 4 4
2. 若函数y=(a2-3a+3)×ax是指数函数，则有 ( ) A. a=1或a=2 B. a=1 C. a=2 D. a>0且a≠1 C 解析：
a 2 3a 3 1 由y=(a2-3a+3)×ax为指数函数， a 0且a 1
可得
a 1或a 2 a 0且a 1
即a=2.
3. 已知集合M={-1,1}，N= 则M∩N=________. {-1}
1 2
1 x 1 x Z 2 4， 2
解析：
<2x+1<4 即为2－1<2x+1<22，因为y=2x在R上 是增函数，所以－1<x+1<2.又 因为x∈Z， 所以x=－1，0， 所以N={－1,0}，因此M∩N={－1}．
5
1 10
=1+
5 2
7 6
9 16
+
1 = 243 10 80
3 2 1 3 8 3 1 2 15 3 1 2
(2)原式=a ×a- ´ ¸(a- ´ ×a ´ 4 5 7 1 3 2 -6 ¸ 2 (aa =a ) =a + - =a2 3 4 3 5 2 1 2
)
(3)由条件知a+b=6，ab=4，又a>b>0，所以 a +b = 1 1 10 a b 2= a b 2 ab = . 6 2 4 =
2 2
1 2
1 2
题型二 指数函数的图象的应用 【例2】 已知函数
1 y 2
| x 2|
(1)作出函数的图象； (2)指出该函数的单调递增区间； (3)求函数的值域．
解：(1)由函数解析式可得
1 y 2
| x 2|
1 x 2 , x 2 2 x2 2 , x 2
(2)两个重要公式 a ，n是奇数 n n ① a a ,a 0 |a| -a , a 0
n n （ a ） ②
n是偶数
a (注意：a必须使 n a有意义)
2. 有理数指数幂 (1)幂的有关概念 n n m a ①正分数指数幂： a m ______ *，且n＞1)； (a＞0，m，n∈N 1 n 1 a m ＝________＝________. ②负分数指数幂： a a (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． 0 ③0的正分数指数幂等于______ ， 没有意义 ． 0的负分数指数幂___________ (2)实数指数幂的性质 ①aras＝________( a＞0，r，s∈Q)； ar+s ②(ar)s＝________( a＞0，r，s∈Q)； ars ③(ab)r＝________( a＞0，b＞0，r∈Q)． arbr
| x 2|
的图象如图
1 2
(2)由图象观察知函数在(-∞，-2]上是增函数．
(3)由图象观察知，x=－2时，函数
1 y 2
| x 2|
有最大值，最大值为1，没有最小值，
故其值域为(0,1]．
变式2-1 若函数y=ax+b-1(a＞0，且a≠1)的图象经过 第二、三、四象限，则一定有( ) A. 0＜a＜1，且b＞0 B. a＞1，且b＞0 C. 0＜a＜1，且b＜0 D. a＞1，且b＜0 C 解析：
如图，图象与y轴的交点在y轴的负半轴上 (纵截距小于零)，即a0+b-1＜0，且0＜a＜1，
n m
3. 指数函数的定义 一般地，函数y=ax(a＞0，且a¹ 1)叫做指数函数， 其中x是自变量．
4. 指数函数的图象与性质
y=ax
a>1
0<a<1
图象
定义域 R
(0，+∞) (0,1) y>1 ； 当x>0时，____ y<1 当x<0时，0< ____ 在(-∞，+∞)上是 增函数 ______
R
(0，+∞) (0,1) 0<y<1 ； 当x>0时，______ y>1 当x<0时，______ 在(-∞，+∞)上是 减函数 ______
值域 过定点 性 质
基础达标
1. (教材改编题)化简 A. 3x2y D 解析：
4
4
81x 8 y 4
B. 3xy
(x＜0，y＜0)得 ( ) C. 9x2y D. -3x2y
【例1】 化简或计算．
1 3 0 10 2 3 (1)(2 5 ) (0.064) (2 27 ) 3 (0.01)0.5
(2) a a 3 ÷ 3 a 8 3 a15 (3)已知a，b是方程x2-6x+4=0的两根，且a>b>0，
3
7 2
求 a b
1 2
1 2
的值．
解 (1) 2 -1 4 -2 原式=1+ + - 3
第六节 指数与指数函数
基础梳理
1. 根式 n次方根 ， (1)定义：如果xn＝a，那么x叫做a的________ 其中n＞1，n∈ N .当n是奇数时，正数的n次方 正数 ，负数的n次方根是一个________ 负数 ， 根是一个________ n 记作________ ．当n是偶数时，正数的n次方根 a 相反数 ， 有________ 两个 ，这两个数互为________ 记作________ n a ，负数没有________ 偶次 方根， 零的n次方根是零．
4. (教材改编题)函数
1 y 的定义域为 2
1 x
________，值域为________． {x|x≠0} {y|y＞0且y≠1} 解析： 定义域为{x|x≠0}，∵
1 0∴ x
1 x 1 2
1
∴值域为{y|y＞0且y ≠ 1}．
经典例题
题型一 指数运算性质的应用
其图象分成两部分：一部分是
的图象，由下列变换可得到：
1 y 2
x2
,( x 2)
x2 1 左移２个单位 1 y y 2 2
x
另一部分y=2x+2(x<－2)的图象， 由下列变换可得到：
y=2x
左移２个单位
y=2x+2
函数
1 y 2
81x8 y 4 (81x8 y ) (34 (-x)8 (-y) ) 3x2 y
1 4 4
1 4 4
2. 若函数y=(a2-3a+3)×ax是指数函数，则有 ( ) A. a=1或a=2 B. a=1 C. a=2 D. a>0且a≠1 C 解析：
a 2 3a 3 1 由y=(a2-3a+3)×ax为指数函数， a 0且a 1
可得
a 1或a 2 a 0且a 1
即a=2.
3. 已知集合M={-1,1}，N= 则M∩N=________. {-1}
1 2
1 x 1 x Z 2 4， 2
解析：
<2x+1<4 即为2－1<2x+1<22，因为y=2x在R上 是增函数，所以－1<x+1<2.又 因为x∈Z， 所以x=－1，0， 所以N={－1,0}，因此M∩N={－1}．
5
1 10
=1+
5 2
7 6
9 16
+
1 = 243 10 80
3 2 1 3 8 3 1 2 15 3 1 2
(2)原式=a ×a- ´ ¸(a- ´ ×a ´ 4 5 7 1 3 2 -6 ¸ 2 (aa =a ) =a + - =a2 3 4 3 5 2 1 2
)
(3)由条件知a+b=6，ab=4，又a>b>0，所以 a +b = 1 1 10 a b 2= a b 2 ab = . 6 2 4 =
2 2
1 2
1 2
题型二 指数函数的图象的应用 【例2】 已知函数
1 y 2
| x 2|
(1)作出函数的图象； (2)指出该函数的单调递增区间； (3)求函数的值域．
解：(1)由函数解析式可得
1 y 2
| x 2|
1 x 2 , x 2 2 x2 2 , x 2
(2)两个重要公式 a ，n是奇数 n n ① a a ,a 0 |a| -a , a 0
n n （ a ） ②
n是偶数
a (注意：a必须使 n a有意义)
2. 有理数指数幂 (1)幂的有关概念 n n m a ①正分数指数幂： a m ______ *，且n＞1)； (a＞0，m，n∈N 1 n 1 a m ＝________＝________. ②负分数指数幂： a a (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． 0 ③0的正分数指数幂等于______ ， 没有意义 ． 0的负分数指数幂___________ (2)实数指数幂的性质 ①aras＝________( a＞0，r，s∈Q)； ar+s ②(ar)s＝________( a＞0，r，s∈Q)； ars ③(ab)r＝________( a＞0，b＞0，r∈Q)． arbr
| x 2|
的图象如图
1 2
(2)由图象观察知函数在(-∞，-2]上是增函数．
(3)由图象观察知，x=－2时，函数
1 y 2
| x 2|
有最大值，最大值为1，没有最小值，
故其值域为(0,1]．
变式2-1 若函数y=ax+b-1(a＞0，且a≠1)的图象经过 第二、三、四象限，则一定有( ) A. 0＜a＜1，且b＞0 B. a＞1，且b＞0 C. 0＜a＜1，且b＜0 D. a＞1，且b＜0 C 解析：
如图，图象与y轴的交点在y轴的负半轴上 (纵截距小于零)，即a0+b-1＜0，且0＜a＜1，