(北师大版)九年级下：1.2《30°,45°,60°角的三角函数值》练习及答案
北师大版九年级数学下册 30°、45°、60°角的三角函数值 同步测试(word版 含答案)
1.2 30°、45°、60°角的三角函数值----北师大版九年级下册同步测试一、单选题1．在Rt△ABC中，△C＝90°，若△A＝30°，则sinA的值是（）A．12B．√22C．√32D．12．tan60°的值为（）A．√33B．√32C．1D．√33．若数轴上tan30°的值用一个点表示，这个点的位置可能落在段（）A．①B．②C．③D．④4．点(−sin60°,cos30°)关于y轴对称的点的坐标是（）A．(−12,√32)B．(12,√32)C．(√32,√32)D．(−√32,√32)5．已知锐角α满足tan（α+10°）=1，则锐用α的度数为（）A．20°B．35°C．45°D．50°6．如图，一块含有30°的直角三角板的直角顶点和坐标原点O重合，30°角的顶点A在反比例函数y=k x的图象上，顶点B在反比例函数y=4x的图象上，则k的值为（）A．12B．-12C．3D．-3二、填空题7．已知α是说角，如果sinα=12，那么α＝．8．锐角A满足2sin(A-15°)= √2，则△A=9．如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A顺时针旋转30°到AB1C1D1的位置，则阴影部分的面积是；10．如图，直线l为y= √3x，过点A1（1，0）作A1B1△x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2△x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；……，按此作法进行下去，则点A n的坐标为（）.三、计算题11．计算：2cos30°×tan30°+√2sin45°﹣tan60°．四、解答题12．先化简，再求值：(1−1x+2)÷x2−1x+2，其中x=2sin45°+tan45°．13．小岛A在港口P的南偏西45°方向，距离港口81海里处．甲船从A出发，沿AP方向以6海里/时的速度驶向港口，乙船从港口P出发，沿南偏东60°方向，以15海里/时的速度驶离港口．现两船同时出发．（1）出发后小时两船与港口P的距离相等；（2）出发几小时后乙船在甲船的正东方向?（结果精确到0.1小时，参考数据：√2=1.41,√3=1.73)五、综合题14．阅读材料：关于三角函数有如下的公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，tan（α+β）=tanα+tanβ1−tanαtanβ.利用这些公式可以将两角和的三角函数值转化成两个三角函数值的和（差），如tan75°＝tan（30°+45°）=tan45°+tan30°1−tan45°+tan30°=1+√331−1×√33=3+√33−√3=2 +√3.问题解决：根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下列问题（1）求sin75°；（2）如图，边长为2的正△ABC沿直线滚动设当△ABC滚动240°时，C点的位置在C′，当△ABC滚动480°时，A点的位置在A′.①求tan△ CAC′的值；②试确定∠CAC′+∠CAA′的度数.答案1．A2．D3．A4．C5．B6．B7．30º8．60°9．2−2√3310．2n ﹣1，011．解：2cos30°×tan30°+√2sin45°﹣tan60°=2×√32×√33+√2×√22-√3 =1+1-√3=2-√3．12．解：原式 =(x+2x+2−1x+2)⋅x+2x 2−1=x +2−1x +2⋅x +2(x −1)(x +1)=x +1x +2⋅x +2(x −1)(x +1)=1x −1当 x =2sin45°+tan45°=√2+1 时，原式 =1√2+1−1 =√2 =√2213．（1）277 （2）解：设出发后y 小时乙船在甲船的正东方向，此时甲、乙两船的位置分别在点C，D处，连接CD，过点P作PE△CD，垂足为E，则点E在点P的正南方向，在Rt△CEP中，△CPE=45°，△PE=PC ·cos45°，在Rt△PED中，△EPD=60°，△PE=PD ·cos60°，△PC ·cos45°=PD ·cos60°．△（81-6y）cos45°=15y ·cos60°，解得：y≈4.9．答：出发后约4.9小时乙船在甲船的正东方向．14．（1）∵sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ∴sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=√22×√32+√22×12=√6+√24∴sin75°=√6+√24（2）过点B作BD⊥l于D，过C′作C′E⊥l于E，过A′作A′F⊥l于F′，如图∵△ABC是等边三角形∴AD=CD=1∴BD=√22−12=√3∴A′F=C′E=BD=√3AE=52AC=5AF=92AC=9∴tan∠CAC′=C ′EAE=√35，tan∠CAA′=A′FAF=√39②∵tan（α+β）=tanα+tanβ1−tanαtanβ∴tan(∠CAC′+∠CAA′)=tan∠CAC′+tan∠CAA′1−tan∠CAC′tan∠CAA′=√35+√39 1−√35×√39 =√33∴∠CAC′+∠CAA′=30°。
北师大版初三数学9年级下册 第1章 1.2 30°,45°,60°角的三角函数值 课堂检测(含答案)
一、选择题（共8小题；共40分）1. 2cos30∘的值等于( )A. 1B. 2C. 3D. 22. cos60∘的值等于( )A. 3B. 1C. 22D. 123. 下列计算正确的是( )A. sin30∘+sin45∘=sin75∘B. cos30∘+cos45∘=cos75∘C. sin60∘−cos30∘=cos30∘D. sin60∘cos30∘−tan45∘=04. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，a=1，b=3，则∠A等于( )A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘5. 已知△ABC是等边三角形，则cos2A的值为( )A. 12B. 32C. 14D. 346. 在△ABC中，∠C=90∘，若∠A=30∘，则sin A+cos B的值等于( )A. 1B. 1−32C. 1+32D. 147. 若sin(α−10∘)=32，则α为( )A. 30∘B. 40∘C. 60∘D. 70∘8. 在△ABC中，若∣sin A−12∣+tan B2=0，则∠C的度数为( )A. 30∘B. 60∘C. 90∘D. 120∘二、填空题（共7小题；共35分）9. 如图，正方形ABCD中，对角线BD=62 cm，E是CD上一点，且CE=23 cm，则∠BED=．10. 如图，测量河宽AB（假设河的两岸平行），在C点测得∠ACB=30∘，在D点测得∠ADB=60∘，又CD=60 m，则河宽AB为m．（结果保留根号）11. 如图，在正方形网格中，小正方形的边长均为 1，点 A ，B ，C 都是格点，则 cos ∠BAC =．12. 课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成 30∘ 角时，测得旗杆 AB 在地面上的影长 BC 为 24 米，那么旗杆 AB 的高度约是 米．（结果保留根号）13. 在 Rt △ABC 中，∠C =90∘，AB =2BC ，现给出下列结论：① sin A =32；② cos B =12；③ tanA =33；④ tan B =3．其中正确的结论是 ．（只需填上正确结论的序号）14. 如图，在把易拉罐中水倒入一个圆水杯的过程中，若水杯中的水在点 P 与易拉罐刚好接触，则此时水杯中的水深为 cm ．（用根式表示）15. 一般地，当 α，β 为任意角时，sin (α+β) 与 sin (α−β) 的值可以用下面的公式求得：sin (α+β)=sin α⋅cos β+cos α⋅sin β； sin (α−β)=sin α⋅cos β−cos α⋅sin β．例如：sin90∘=sin(60∘+30∘)=sin60∘⋅cos30∘+cos60∘⋅sin30∘=32×32+12×12=1.类似地，可以求得 sin15∘ 的值是 ．三、解答题（共5小题；共75分）16. 计算：（1）tan30∘⋅cos60∘+tan45∘⋅cos30∘；（2）12cos30∘+22cos45∘+sin60∘cos60∘；（3）cos 245∘+cos30∘2sin60∘+1−3⋅tan30∘．17. 在直角三角形ABC中，∠C=90∘．现有两个命题：（1）若tan B=1，则sin2A+cos2B=1；（2）若tan B≥1，则22≤sin A≤32．判断上述两个命题是否正确，若正确，说明理由；若不正确，请举出反例．18. 如图，一条公路路基的横断面是梯形（AD∥BC），路基顶宽AD=8米，高3米，斜坡AB的坡度为1:1，斜坡DC的坡角∠C=60∘．（1）求斜坡AB的坡角∠B的度数；（2）求BC的长．19. 根据提供的数据回答下列问题：（1）在图①中，sin A=，cos A=，sin2A+cos2A=；在图②中，sin A1=，cos A1=，sin2A1+cos2A1=；通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律?用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明；=；（2）在图①中，tan A=，sin Acos A=．在图②中，tan A1=，sin A1cos A1通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律?用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明．20. 如图，有一段斜坡BC长为30米，坡角∠CBD=30∘，为方便车辆通行，现准备把坡角降为∠CAD=15∘．（1）求坡高CD；（2）求tan75∘的值．（结果保留根号）答案第一部分1. C 2. D 3. D 4. A 5. C 6. A 7. D 8. D 第二部分9. 120∘10. 30311. 2212. 8313. ②③④14. (10−23)15.6−24第三部分16. （1）原式=33×12+1×32=36+32=233. （2） 原式=12×32+22×22+32×12=1+32．（3）原式=+322×32+1−3×33=12+3−34−1=1−34.17. （1）命题正确．证明： ∵tan B =1， ∴∠B =45∘， ∴∠A =45∘，∴sin 2A+cos 2B=+=1．或 sin 2A +cos 2B =sin 245∘+cos 245∘=1．（2）命题不正确．取 ∠B =60∘，则 tan B =3>1 且 ∠A =30∘，sin A =12<22， ∴ 命题不正确．18. （1） 作 AE ⊥BC 于 E ，DF ⊥BC 于 F ．因为斜坡 AB 的坡度为 i =1:1，所以 BE =AE =3，所以 ∠B =45∘．（2） FC =DFtan C =3，所以 BC =BE +EF +FC =11+3．19. （1） 45；35；1；1213；513；1；规律：对于任意锐角 α，有 sin 2α+cos 2α=1．证明：如图所示．在 Rt △ABC 中，∠C =90∘， sin α=ac ，cos α=bc ，c 2=a 2+b 2，所以 sin 2α+cos 2α=a 2+b 2c 2=c 2c 2=1．【解析】sin A =45，cos A =35，sin 2A +cos 2A =1．sin A 1=1213，cos A 1=513，sin 2A 1+cos 2A 1=1．（2） 43；43；125；125；规律：对于任意锐角 α，有 tan α=sin αcos α．证明：如图，因为 tan α=a b ，sin αcos α=a c b c=ab ，所以 tan α=sin αcos α．【解析】tan A =43，sin A cos A =4535=43．tan A 1=125，sin A 1cos A 1=1213513=125．20. （1） ∵∠CDB =90∘，∠CBD =30∘，BC =30 米， ∴CD =15 米，即坡高 CD 为 15 米．（2） ∵∠CDB =90∘，∠CBD =30∘，∠CAD =15∘，∴∠BCD=60∘，∠BCA=15∘．∴∠ACD=75∘，AB=BC．∵BC=30米，∴AB=30米，BD=BC⋅sin60∘=30×32=153米，又CD=15米．∴tan∠ACD=ADCD =30+15315=2+3，即tan75∘=2+3．。
北师大版九年级数学下册 同步练习题30°,45°,60°角的三角函数值
30°，45°，60°角的三角函数值》分层练习◆ 基础题1．2sin 60°的值等于（ ）A ．1BCD 2．tan 45°的值为（ ）A ．12B ．1C ．2 D3．计算：cos 245°+sin 245°=（ ）A ．12B ．1C ．14 D4．已知∠A 是锐角，且sinA A 等于（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°5．规定sin （α﹣β）=sin α•cos β﹣cos α•sin β，则sin 15°= ． 6．若锐角α满足tan （α+15°）=1，则cos α= ．7．在△ABC 中，∠B =45°，cosA =12，则∠C 的度数是 ．8cos 30°的值是 ．9．计算：sin 30°+cos 30°•tan 60°．10．计算：cos30sin 45sin 60tan 30︒-︒︒-︒． ◆ 能力题1．在△ABC 中，若tanA =1，sinB =2，你认为最确切的判断是（ ） A ．△ABC 是等腰三角形 B ．△ABC 是等腰直角三角形C ．△ABC 是直角三角形D ．△ABC 是一般锐角三角形2．在△ABC 中，若|sinA ﹣2|+（2﹣cosB ）2=0，∠A ，∠B 都是锐角，则∠C 的度数是（ ）A ．75°B ．90°C ．105°D ．120°3．tan （α+20°）=1，你猜想锐角α的度数应是（ ） A ．40° B ．30° C ．20° D ．10°4．在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =2，BC sin 2A = ．5．在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =2BC ，现给出下列结论：①sinA ；②cosB =12；③tanA tanB ，其中正确的结论是 ．（只需填上正确结论的序号） 6．△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA =cosB =12，则△ABC 是 三角形． 7．若规定：sin （α+β）=sin α•sin β+cos α•sin β，试确定sin 75°+sin 90°的值．8．已知tan 2α﹣（tan α=0，求锐角α的度数．◆ 提升题1．如图所示，在数轴上点A 所表示的数x 的范围是（ ）A ．32sin 30°＜x ＜sin 60° B ．cos 30°＜x ＜32cos 45° C ．32tan 30°＜x ＜tan 45° D ．32cot 45°＜x ＜cot 30° 2．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若∠B =60°，则c a a b c b+++的值为（ ）A ．12BC ．1D 3．α为锐角，且tan α是x 2+2x ﹣3=0的一个根，则sin α等于 ．4．在△ABC 中，已知两锐角A 、B ，且cos 2A B +=2，则△ABC 是 三角形．5．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B ，C ，E 在同一直线上，若BC =2，求AF 的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．6．已知Rt △ABC 中，∠C =90°，a +b ，c =4，求锐角A 的度数．答案和解析◆ 基础题1．【答案】C解：2sin 60°=2． 2．【答案】B解：tan 45°=1，即tan 45°的值为1．3．【答案】B解：∵cos 45°=sin 45°=2，∴cos 245°+sin 245°=221112222⎛⎛+=+= ⎝⎭⎝⎭． 4．【答案】C解：∵∠A 是锐角，sinA ，∴∠A =60°．5．解：令α=45°，β=30°，则sin 15°=2×2﹣2×12=4．6．【答案】2解：∵tan （α+15°）=tan 45°=1，∴α+15°=45°，∴α=30°，∴cos α=cos 30°． 7．【答案】75°解：∵在△ABC 中，cosA =12，∴∠A =60°，∴∠C =180°﹣∠A ﹣∠B =180°﹣60°﹣45°=75°．8．cos 30°×2=2．9．解：原式=12+212+32=2．10．解：原式=32-÷==⎝⎭⎝⎭◆ 能力题1．【答案】B解：∵tanA =1，sinB ，∴∠A =45°，∠B =45°． 又∵三角形内角和为180°，∴∠C =90°．∴△ABC 是等腰直角三角形．2．【答案】C解：∵|sinA ﹣2|=0，（2﹣cosB ）2=0，∴sinA ﹣2=0，2﹣cosB =0，∴sinA =2，2=cosB ，∴∠A =45°，∠B =30°，∴∠C =180°﹣∠A ﹣∠B =105°． 3．【答案】D（α+20°）=1，∴tan （α+20°），∵α为锐角，∴α+20°=30°，α=10°． 4．【答案】12解：∵sinA =BC AB A =60°，∴sin 2A =sin 30°=12． 5．【答案】②③④解：如图所示：∵在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =2BC ，∴sinA =BC AB =12，故①错误； ∴∠A =30°，∴∠B =60°，∴cosB =cos 60°=12，故②正确；∵∠A =30°，∴tanA =tan 30°∵∠B =60°，∴tanB =tan 60°6．【答案】直角解：由△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA =cosB =12，得∠A +∠B =90°． 7．解：原式=sin （30°+45°）+sin （30°+60°）=sin 30°•cos 45°+cos 30°•sin 45°+sin 30°•cos 60°+cos 30°•sin 60°=12×2+2×2+12×12+2×2=44+8．解：原式可化为（tan α﹣1）（tan α）=0，则tan α=1或tan α 则α=45°或60°．◆ 提升题1．【答案】D解：由数轴上A 点的位置可知，32＜A ＜2．A 、由32sin 30°＜x ＜sin 60°可知，32×12＜x ＜2，即34＜x ＜2，故本选项错误；B 、由cos 30°＜x ＜32cos 45°可知，2＜x ＜32×2，即2＜x ＜4，故本选项错误；C 、由32tan 30°＜x ＜tan 45°可知，32x ＜1x ＜1，故本选项错误；D 、由32cot 45°＜x ＜cot 30°可知，32×1＜x 32＜x 2．【答案】C解：过A 点作AD ⊥BC 于D ，在Rt △BDA 中，由于∠B =60°，∴DB =2c ，AD c ， 在Rt △ADC 中，DC 2=AC 2﹣AD 2，∴（a ﹣2c ）2=b 2﹣34c 2， 即a 2+c 2=b 2+ac ，∴()()222221c a c cb a ab a c ab bc a b c b a b c b b ac ab bc+++++++===+++++++．3．【答案】2解：解方程x 2+2x ﹣3=0得x 1=1，x 2=﹣3．∵α为锐角，tan α＞0，∴tan α=1，∴α=45°，∴sin α．4．【答案】直角解：由两锐角A 、B ，且cos 2A B +=2，得2A B +=45°，两边都乘以2，得A +B =90°，∠C =180°﹣（∠A +∠B ）=90°．5．解：在Rt △ABC 中，BC =2，∠A =30°，AC =tan BC A ，则EF =ACE =45°，∴FC =EF •sinE ，∴AF =AC ﹣FC ．6．解：将a +b ab ，又因为a +b次方程得x 2﹣（x ，解得x 1=2，x则（1）sinA =24=12时，锐角A 的度数是30°，（2）sinA =4=2时，锐角A 的度数是60°，所以∠A=30°或∠A=60°．。
北师大版九年级数学下册 1.2 30°,45°,60°角的三角函数值 同步练习卷
北师大版九年级数学下册1.2 30°，45°，60°角的三角函数值同步练习卷一、选择题（共10小题，3*10=30）1．计算2·tan 60°的值等于( ) A.53 B.63 C. 5 D. 62．计算：tan45°＋sin30°＝( )A ．2 B.2＋32 C.32 D.1＋323．下列式子运算正确的是( )A ．sin 30°＋cos 60°＝1B ．sin 2 30°＋sin 2 60°＝(sin 30°＋sin 60°)2C ．cos 60°＝cos(2×30°)＝2cos 30°D ．tan 60°＋tan 45°＝234．在△ABC 中，若tanA ＝1，sinB ＝22，你认为最确切的判断是( )A ．△ABC 是等腰三角形B ．△ABC 是等腰直角三角形C ．△ABC 是直角三角形D ．△ABC 是一般锐角三角形 5．若tan(α＋10°)＝3，则锐角α的度数是( )A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°6. 在△ABC 中，若|sinA －32|＋(1－tanB)2＝0，则∠C 的度数是( )A ．45°B ．60°C ．75°D ．105°7．点(－sin 30°，cos 30°)关于y 轴对称的点的坐标是( )A ．(12，32) B ．(12，－32)C ．(－12，－32) D ．(－12，32)8．在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，1tanB ＝33，cosA ＝22，则△ABC 三个角的大小关系是()A ．∠C>∠A>∠B B ．∠B>∠C>∠AC ．∠A>∠B>∠CD ．∠C>∠B>∠A9．小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点E 处，还原后，再沿过点E 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，这样就可以求出67.5°角的正切值是( )A.3＋1B.2＋1C ．2.5 D.510．如图，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，AB ＝2，AD ＝1，AA 1＝2，点P 是棱A 1B 1上任意一点， 点Q 是侧面对角线AB 1上一点，则PD 1＋PQ 的最小值是( )A ．3 B.322C. 5 D ．1＋2二．填空题（共8小题，3*8=24）11． cos 60°的值等于________．12. 在等腰△ABC 中，∠C ＝90°，则tanA ＝_________.13．计算：sin 30°＋cos 30°·tan 60°＝_________．14．在△ABC 中，tan B ＝1，sin C ＝12，则∠A ＝________. 15．如图，将三角板的直角顶点放置在直线AB 上的点O 处，使斜边CD ∥AB ，则∠α的余弦值为________．16．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2，BC ＝3，则sin A 2＝________． 17．已知α为锐角，且满足3tan(α＋10°)＝1，则α为_______度． 18．如图，某商店营业大厅自动扶梯AB 的倾斜角为30°，AB 的长为12米，则大厅两层之间的高度为________米．三．解答题（共7小题，46分）19．(6分) 计算．(1) 2cos60°＋2sin30°＋4tan45°；(2) sin260°＋cos260°＋tan60°tan30°；20．(6分) 求值：(1)tan 30°·tan 60°＋cos230°－sin245°·tan 45°；(2)2cos 30°＋tan 45°－tan 60°＋( 5 －1)0.21．(6分) 已知tanA的值是方程x2－(1＋3)x＋3＝0的一个根，求锐角A的度数．22．(6分) 已知α为锐角，4sin2α－3＝0，求α的值．23．(6分) 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝75°，点D在AC上，DC＝6，∠DBC＝60°，求AD的长．24．(8分) 如图，海上有小岛A和小岛B，轮船以45 km/h的速度由C向B航行，在C处测得A的方位角为北偏东60°，测得B的方位角为南偏东45°，轮船航行2小时后到达小岛B处，在B处测得小岛A在小岛B 的正北方向．求小岛A和小岛B之间的距离．(结果保留整数，参考数据2≈1.41，6≈2.45)25．(8分) 如图，某市对位于笔直公路AC上两个小区A，B的供水路线进行优化改造．供水站M在笔直公路AD上，测得供水站M在小区A的南偏东60°方向，在小区B的西南方向，小区A，B之间的距离为300(3＋1)米．求供水站M分别到小区A，B的距离．(结果可保留根号)参考答案1-5DCABD 6-10CADBB11.12 12. 1 13. 2 14. 105° 15. 12 16. 1217. 20 18. 6 19. 解：(1)原式＝2×12＋2×12＋4×1＝6 (1)原式＝(32)2＋(12)2＋3×33＝34＋14＋1＝2 20 解：(1)原式＝33×3＋(32)2－(22)2×1＝1＋34－12＝54 (2)原式＝2×32＋1－3＋1＝3＋1－3＋1＝2 21. 解：方程x 2－(1＋3)x ＋3＝0的两根为x 1＝1，x 2＝3，当tanA ＝1时，∠A ＝45°；当tanA ＝3时，∠A ＝60°22. 解：∵4sin 2α－3＝0，∴sin 2α＝34，解得sin α＝±32. ∵∠α为锐角，∴sin α＞0，∴sin α＝32.∴α＝60° 23. 解：在Rt △DBC 中，sin ∠DBC ＝sin 60°＝DC BD ，即32＝6BD.解得BD ＝4 3. ∵∠ABD ＝∠ABC －∠DBC ＝75°－60°＝15°，∠A ＝90°－∠ABC ＝90°－75°＝15°，∴∠ABD ＝∠A ，∴AD ＝BD ＝4324. 解：过点C 作CE ⊥AB 于点E ，图略．由题意知∠B ＝45°，∠A ＝60°，∴∠BCE ＝∠B ＝45°，∠ACE ＝30°.又∵BC ＝45×2＝90(km)，∴CE ＝BE ＝BC·sin 45°＝45 2 km ，∴AE ＝CE·tan 30°＝15 6 km ，∴AB ＝156＋452≈100 (km)，则小岛A 和小岛B 之间的距离约为100 km25. 解：过点M 作MN ⊥AB 于点N ，图略．设MN ＝x 米．在Rt △BMN 中，∵∠MBN ＝45°，tan ∠MBN ＝MN BN ，∴BN ＝x tan 45°＝x 米．在Rt △AMN 中，∵∠MAN ＝30°，tan ∠MAN ＝MN AN ，∴AN ＝x tan 30°＝3x.又∵AB ＝300(3＋1)，即3x ＋x ＝300(3＋1)，∴x ＝300，即MN ＝300米．在Rt △AMN 中，AM ＝MN sin ∠MAN ＝300sin 30°＝600(米)．在Rt △BMN 中，BM ＝MN sin ∠MBN ＝300sin 45°＝3002(米)。
北师大版数学九年级下册1.2《30°,45°,60°角的三角函数值》同步练习
北师大版数学九年级下册1.2《30°，45°，60°角的三角函数值》同步练习°，45°，60°角的三角函数值》同步练习一．选择题：1.在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，且 sin A ＝21，cos B ＝22，则△ABC 三个角的大小关系是（ ）A ．∠C ＞∠A ＞∠B B ．∠B ＞∠C ＞∠AC ．∠A ＞∠B ＞∠CD ．∠C ＞∠B ＞∠A 2.若0°＜＜90°，且|sin －41|＋223cos ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-θ，则tan 的值等于（ ） A ．3 B ．33 C ．21 D ．23 3．如图1—37所示，在△ABC 中，∠A =30°，tan B，AC＝，则AB 的长是 ( ) A ．3．2＋ C. 5 D ．924．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为a ，则其底边上的高是( )Aa B ．a C.12a D ．12a二、选择题5．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC，AB ＝2，则tan 2B = ． 6．若a 为锐角，且sin a,则cos a = ． 7．在Rt △ACB 中，若∠C ＝90°，sin Ab ＋c ＝6，则b = ．8．(1)在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝21，则 cos B ＝________； (2)已知为锐角，且cos(90°－)＝21，则 ＝________； (3)若1)10(tan 3=︒+α，则锐角 ＝________．三、计算与解答9．计算（1）sin 60°·cos 30°－12.(2) 2 cos 230°－2 sin 60°·cos 45°；(3) 2 sin30°－3 tan 45°＋4 cos 60°；10．如图1—38所示，在Rt △ACB 中，∠BCA ＝90°，CD 是斜边上的高，∠ACD ＝30°，AD ＝1，求AC ，CD ，BC ，BD ，AB 的长．11．如图1—39所示，在相距100米的A ，B 两处观测工厂C ，测得∠BAC ＝60°，∠ABC ＝45°，则A ，B 两处到工厂C 的距离分别是多少?12．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且c＝,若关于x的方程(＋b)x2＋2ax＋(－b)=0有两个相等的实数根，方程2x2－(10sin A)x＋5sin A＝0的两个实数根的平方和为6，求△ABC的面积．参考答案1． D ； 2 。
北师大版九年级下册数学 1.2 30°,45°,60°角的三角函数值 同步练习(含解析)
1.2 30°，45°，60°角的三角函数值同步练习一．选择题（共10小题）1．sin45°+cos45°的值为（）A．1B．2C．D．2 2．在Rt△ABC中，∠A＝90°，若∠B＝30°，则sin C＝（）A．B．C．D．3．式子sin210°+sin220°+cos210°+cos220°的值为（）A．1B．2C．3D．4 4．锐角三角函数tan30°的值是（）A．1B．C．D．5．计算2cos30°的结果等于（）A．B．C．D．6．计算2sin30°﹣2cos60°+tan45°的结果是（）A．2B．C．D．1 7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos B＝，则tan A的值是（）A．B．C．D．8．计算1﹣2sin245°的结果是（）A．﹣1B．0C．D．1 9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，则sin A+cos B的值为（）A．B．C．D．10．在锐角△ABC中，，则∠A＝（）A．30°B．45°C．60°D．75°二．填空题（共6小题）11．计算：cos60°tan30°+cot60°＝．12．计算：2tan60°+tan45°﹣4cos30°＝．13．计算：tan15°•tan45°•tan75°＝．14．已知tan（α+15°）＝，则tanα的值为．15．cos30°的值等于．16．观察下列等式：①sin30°＝，cos60°＝；②sin45°＝，cos45°＝；③sin60°＝，cos30°＝．（1）根据上述规律，计算sin2α+sin2（90°﹣α）＝．（2）计算：sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°＝．三．解答题（共3小题）17．计算：（1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°（2）+tan260°18．计算：2sin30°+cos60°﹣tan60°tan30°+cos245°﹣sin234°﹣cos234°19．嘉琪在某次作业中得到如下结果：sin27°+sin283°≈0.122+0.992＝0.9945，sin222°+sin268°≈0.372+0.932＝1.0018，sin229°+sin261°≈0.482+0.872＝0.9873，sin237°+sin253°≈0.602+0.802＝1.0000，sin245°+sin245°＝（）2+（）2＝1．据此，嘉琪猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，设∠A＝α，有sin2α+sin2（90°﹣α）＝1．（1）当α＝30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）＝1是否成立．（2）请你对嘉琪的猜想进行证明．参考答案1．解：原式＝+＝．故选：C．2．解：∵∠A＝90°，∠B＝30°，∴∠C＝90°﹣30°＝60°，∴sin C＝sin60°＝，故选：D．3．解：原式＝sin210°+cos210°+sin220°+cos220°＝1+1＝2．故选：B．4．解：tan30°＝．故选：B．5．解：2cos30°＝2×＝．故选：D．6．解：2sin30°﹣2cos60°+tan45°＝2×﹣2×+1＝1﹣1+1＝1．故选：D．7．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∴cos B＝＝，设BC＝4x，AB＝5x，则AC＝3x，∴tan A＝＝＝．故选：D．8．解：原式＝1﹣2×（）2＝1﹣2×＝1﹣1＝0．故选：B．9．解：∵∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝30°，则sin A+cos B＝+＝．故选：B．10．解：∵，∴tan C＝，sin B＝，∴∠C＝60°，∠B＝45°，∴∠A＝75°．故选：D．11．解：原式＝×+＝+＝．故答案为：．12．解：原式＝2+1﹣4×＝2+1﹣2＝1．故答案为：1．13．解：原式＝tan15°•tan75°•tan45°＝1×1＝1．故答案为：1．14．解：∵tan60°＝，∴α+15°＝60°，解得：α＝45°，∴tanα＝1，故答案为：1．15．解：cos30°＝，故答案为：．16．解：（1）由所提供的等式可得sinα＝cos（90°﹣α）．cosα＝sin（90°﹣α），sin2α+cos2α＝1，∴sin2α+sin2（90°﹣α）＝sin2α+cos2α＝1，故答案为：1；（2）sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°＝sin21°+sin22°+sin23°+…+cos23°+cos22°+cos21°＝（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+（sin23°+cos23°）+…+sin245°＝1+1+1+…+＝44.5，故答案为：44.5．17．解：（1）原式＝＝＝；（2）原式＝＝+3＝．18．解：原式＝＝1﹣1＝0．19．解：（1）当α＝30°时，sin2α+sin2（90°﹣α）＝sin230°+sin260°＝（）2+（）2＝+＝1；（2）嘉琪的猜想成立，证明如下：如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A＝α，则∠B＝90°﹣α，∴sin2α+sin2（90°﹣α）＝（）2+（）2＝＝＝1．。
北师大九年级数学下册1.2《30°,45°,60°角的三角函数值》同步训练含参考答案
北师大九年级数学下册 1.2 30°，45°，60°角的三角函数值 同步训练学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ， ）1. 下列式子中，不成立的是（ ）A. B.sin 35∘=cos 55∘sin 30∘+sin 45∘=sin 75∘C. D.tan 30∘=sin 30∘cos 30∘sin 260∘+cos 260∘=12. 下列等式：①；②；③；④sin 30∘+sin 30∘=sin 60∘sin 25∘=cos 65∘cos 45∘=sin 45∘．其中正确的个数是（ ）cos 62∘=sin 18∘A.个1 B.个2 C.个3 D.个4 3. 下列计算正确的是（ ）A. B.tan 70∘⋅tan 20∘=1cos 70∘+cos 20∘=1C. D.sin 70∘=2sin 35∘cos 70∘=cos 20∘+cos 50∘4. 在中，，，则（ ）△ABC ∠C =90∘sinA =35A.cosA =35 B.sinB =35C.cosB =35D.tanA =15. 式子的值是2cos 30∘‒tan 45∘‒(1‒tan 60∘)2()A.23‒2 B.0 C.23D.26. 当时，的值是（ ）30∘<A <90∘sinA A.大于32B.小于32C.小于1 D.大于且小于117. 已知，为锐角，则的值为（ ）sinα=35αtanαA.45 B.43 C.34 D.128. 若中一个锐角的正弦值恰好等于另一锐角的余弦值，则为（ ）△ABC △ABC A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定9. 已知在中，，，则的值为（ ） Rt △ABC ∠C =90∘sinB =32cosA A.12 B.22 C.32 D.3310. 在中，，下列式子中不一定成立的是（ ）Rt △ABC ∠C =90∘A.tanA =sinAcosA B.sin 2A +sin 2B =1C.sin 2A +cos 2A =1D.sinA =sinB二、 填空题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ， ）11. 已知中，，，则________．Rt △ABC ∠C =90∘3a =3b ∠B = 12. 在中，，则________．△ABC ∠A:∠B:∠C =1:2:3sinA:sinB:sinC = 13. 已知：，则________．tanx =2sinx +2cosx2sinx ‒cosx = 14. 在中，，且，则的值为________．Rt △ABC ∠C =90∘tanA =3cosB 15. 在中，如果、满足，，则________． △ABC ∠A ∠B |tanA ‒1|+(sinB ‒12)2=0∠C =∘16. 已知锐角满足和为根的一元二次方程________． αsinα+cosα=52sinαcosα 17. 若________，________，________．sinα=64cosα=tanα=cos (90∘‒α)= 18. 观察下列等式① ②③sin 30∘=12cos 60∘=1 2sin 45∘=22cos 45∘=22sin 60∘=32cos 30∘=32…根据上述规律，计算________．sin 2a +sin 2(90∘‒a)= 三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，共计46分 ， ）19. （6分） 在中，，若，求，，．Rt △ABC ∠C =90∘sinA =1213cosA sinB cosB 20. （6分） 计算：．sin 30∘⋅tan 45∘+2⋅cos 45∘+sin 60∘⋅tan 60∘21. （6分） 计算：．4sin 30∘+23cos 30∘+tan 45∘22. （7分） 化简：．sin 2α‒cos 2αsinα‒cosα+(1‒cotα)sinα 23. （7分） 计算：．tan 30∘cos 60∘+tan 45∘cos 30∘24. （7分） 计算：．(‒2)3+16‒2sin 30∘+(2016‒π)025.(7分) 计算，求值：（1）； （2）．cos 60∘+sin 245∘‒tan 34∘⋅tan 56∘2sin 45∘‒2cos 30∘+(1‒tan 60∘)2答案1. B2. B3. A4. C5. B6. D7. C8. B9. C10. D11. 60∘12. 1:3:213. 4314. 3101015. 10516.x 2‒5x +1=017. 1041556418. 119. 解：∵，，∠C =90∘sinA =1213∴，cosA =1‒(1213)2=513∵，∠A +∠B =90∘∴，．sinB =cosA =513cosB =sinA =121320. 解：原式=12×1+2×22+32×3．=1+1+3=321. 解：原式=4×1+23×3+1．=622. 解：原式=(sinα+cosα)(sinα‒cosα)sinα‒cosα+(1‒cosαsinα)⋅sinα．=sinα+cosα+sinα‒cosα=2sinα23. 解：tan 30∘cos 60∘+tan 45∘cos 30∘．=33×12+1×32=36+32=23324. 解：原式．=‒8+4‒1+1=‒425. 解：(1)cos 60∘+sin 245∘‒tan 34∘⋅tan 56∘（2）．=12+(22)2‒1=02sin 45∘‒2cos 30∘+(1‒tan 60∘)2=2×22‒2×32+(1‒3)2=1‒3+3‒1=。
(北师大版)九年级下：1.2《30°,45°,60°角的三角函数值》练习及答案
1.2 30°，45°，60°角的三角函数值一．选择题：1.在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，且 sin A ＝21，cos B ＝22，则△ABC 三个角的大小关系是（ ）A ．∠C ＞∠A ＞∠B B ．∠B ＞∠C ＞∠A C ．∠A ＞∠B ＞∠CD ．∠C ＞∠B ＞∠A 2.若0°＜＜90°，且|sin－41|＋223cos ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-θ，则tan 的值等于（ ）A ．3B ．33 C ．21 D ．233．如图1—37所示，在△ABC 中，∠A =30°，tan B，AC＝AB 的长是 ( )A ．3B ．2＋ C. 5 D ．924．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为a ，则其底边上的高是( ) Aa B ．a C.12a D ．12aa 二、选择题5．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC，AB ＝2，则tan 2B= ． 6．若a 为锐角，且sin a,则cos a = ． 7．在Rt △ACB 中，若∠C ＝90°，sin A,b ＋c ＝6，则b = ． 8．(1)在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝21，则 cos B ＝________；(2)已知为锐角，且cos(90°－)＝21，则 ＝________；(3)若1)10(tan 3=︒+α，则锐角 ＝________．三、计算与解答9．计算（1）sin 60°·cos 30°－12.(2) 2 cos 230°－2 sin 60°·cos 45°；(3) 2 sin30°－3 tan 45°＋4 cos 60°；10．如图1—38所示，在Rt △ACB 中，∠BCA ＝90°，CD 是斜边上的高，∠ACD ＝30°，AD ＝1，求AC ，CD ，BC ，BD ，AB 的长．11．如图1—39所示，在相距100米的A ，B 两处观测工厂C ，测得∠BAC ＝60°，∠ABC ＝45°，则A ，B 两处到工厂C 的距离分别是多少?12．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且c＝,若关于x的方程(＋b)x2＋2ax＋(－b)=0有两个相等的实数根，方程2x2－(10sin A)x＋5sin A＝0的两个实数根的平方和为6，求△ABC的面积．参考答案 1． D ； 2 。
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1.2 30°，45°，60°角的三角函数值
一．选择题：
1.在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，且 sin A ＝2
1，cos B ＝22，则△ABC 三个
角的大小关系是（ ）
A ．∠C ＞∠A ＞∠
B B ．∠B ＞∠
C ＞∠A C ．∠A ＞∠B ＞∠C
D ．∠C ＞∠B ＞∠A 2.若0°＜
＜90°，且|sin
－41|＋2
23cos ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-θ，则tan 的值等于（ ）
A ．3
B ．
33 C ．2
1 D ．23
3．如图1—37所示，在△ABC 中，∠A =30°，tan B
，AC
＝AB 的长是 ( )
A ．3
B ．2
＋ C. 5 D ．
9
2
4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为a ，则其底边上的高是( ) A
a B ．a C.12a D ．1
2
a
a 二、选择题
5．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC
，AB ＝2，则tan 2
B
= ． 6．若a 为锐角，且sin a
,则cos a = ． 7．在Rt △ACB 中，若∠C ＝90°，sin A
,b ＋c ＝6，则b = ． 8．(1)在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝2
1
，则 cos B ＝________； (2)已知为锐角，且cos(90°－
)＝
2
1
，则 ＝________；
(3)若1)10(tan 3=︒+α，则锐角 ＝________．
三、计算与解答
9．计算（1）sin 60°·cos 30°－12
.
(2) 2 cos 230°－2 sin 60°·cos 45°；
(3) 2 sin30°－3 tan 45°＋4 cos 60°；
10．如图1—38所示，在Rt △ACB 中，∠BCA ＝90°，CD 是斜边上的高，∠ACD ＝30°，AD ＝1，求AC ，CD ，BC ，BD ，AB 的长．
11．如图1—39所示，在相距100米的A ，B 两处观测工厂C ，测得∠BAC ＝60°，∠ABC ＝45°，则A ，B 两处到工厂C 的距离分别是多少?
12．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且c＝,若关于x
的方程(＋b)x2＋2ax＋(－b)=0有两个相等的实数根，方程2x2－(10sin A)x＋5sin A＝0的两个实数根的平方和为6，求△ABC的面积．
参考答案 1． D ； 2 。
B ．
3．C [提示：过点C 作CE ⊥AB ，垂足为E ．构造两个直角三角形，再根据三角函数即可求出AE ，EB ，则AB ＝AE ＋EB ．]
4．D[提示：考虑等边三角形和顶角为120°的等腰三角形．]
5[提示：∵∠C =90°，AC ，AB ＝2，∴cos A ，∴∠A ＝30°，∴
∠B =90°－30°＝60°，∴
2B ＝30°，∴tan 2
B
＝tan 30°．]
[提示：∵a 为锐角，∴sin 45°＝cos 45．]
7．2[提示：由sin A A ＝60°．又∵∠C ＝90°，∴cos A =1
2
b c =，∴c ＝2b ．又∵b ＋c ＝6，∴2b ＋b ＝6，∴b ＝2．] 8．(1)
2
1
； (2) 30°； (3) 20°．
9．解：原式11
24
-=．1．(1)
263-； (2) 0；
10．提示：AC ＝2，CD ，BC ＝BD ＝3，AB ＝4．
11．提示：过C 作CD ⊥AB 于D ，然后利用特殊角解直角三角形．求得A ，B 两处
到工厂C 的距离分别是－1)米，－)米．
12．解：∵方程＋b )x 2＋2ax ＋b )＝0有两个相等的实数根，且c ＝
，∴△＝(2a )2－4(c ＋b )(c －b)=0，∴a 2＋b 2=c 2,则△ABC 为直角三角形，且∠C ＝90°．设x 1，x 2是方程2x 2－(10sin A )x ＋5sin A ＝0的两个根，则根据根
与系数的关系有x 1＋x 2＝5sin A ，x 1·x 2＝
5
2
sin A ．∴x 12＋x 22=(x 1＋x 2)2－2x l ·x 2＝(5sin A )2－2×52sin A =6，解得sin A =35或sin A ＝－2
5
(舍去)，∴a ＝csin A
＝，b ，S △ABC ＝12ab=1
2
⨯=18．。