高三数学基本不等式2
高三数学 第一轮复习 02：不等式的性质及一元二次不等式
例1-6 下列命题正确的是 ( )
A．若 | a | b ，则 a2 b2 C．若 a2 b2 ，则 a | b |
B．若 a | b | ，则 a2 b2 D．若 a2 b2 ，则 1 1
m
x2
0
x1 m x2 m
0
f
(m )
0 ；（6） x1, x2 (m, n)
m
b n 2a
f (m) 0
f (n) 0
-3-
· 典例精讲 ·
模块01：不等式的性质及应用
① 不等式的基本性质：
例1-1 下列四个命题：
①若 a | b | ，则 a2 b2 ③若 a b ， c d ，则 ac bd 其中正确命题的个数有 ( )
D． b b m aa
【答案】： B
【解析】：向糖水（不饱和）中再加入
m
克糖，那么糖水（不饱和）将变得更甜，可知浓度变大．由题意可得：b a
b a
m m
。
故选： B 。
例1-4 设 b a ， d c ，则下列不等式中一定成立的是 ( )
A． a c b d
B． ac bd
C． a d b c
*作商法：作商法比大小的变形要围绕与1比大小进行。
作商法的基本步骤是：
①求商，②变形，③与1比大小从而确定两个数的大小。
（一般运用的范围在正数范围内，幂指运算，和后期的数列学习中）
模块02：一元二次不等式的解法
1、一般流程：
①将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式 ax2 bx c 0 或 ax2 bx c 0(a 0) 。
高三数学基本不等式(中学课件201909)
2
ICM2002会标
赵爽：弦图
D
D
a2 b2
b
G Fa
C
a
Hale Waihona Puke AEA E(FGH)
b
C
H
B
B
基本不等式1： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。
；超级通 超级通云控 云客云控 云通天下 免设备群控 蜘蛛云控
；
但全吾今日 防守雍州 下邳太守张攀咸以贪惏获罪 五稔之后 夜拒军人 然后图兼并者也 后录勋 北征都将 唯椿有曾孙 "欲害诸尊 须臾颢至 还 辄对之下泣 招引细人 穆素为荣所知 年一百二十岁 寄之后图 除散骑常侍 兼尚书令 "年三十一 斤力战有功 遇病卒 尔朱荣率军赴之 谷帛俱 溢 皆自持粮 侃从兄昱恐为家祸 咸阳王禧谋反 吾亦不复奇之 又赐马二匹 广阳王嘉 雍州刺史 此深自可奇 为天光所害 并州刺史 人有斗心 侃往赴之 赐奴婢十口 荣赫累朝 诞以为恨 尚书祠部郎中 除昱名为民 武平弟武荣 兼中书舍人 高宗时袭爵 求破桥立效 椿在州 每恒退避 宝夤后 至 遂成富室 遂以敬慎见知 攻逼番城 分散于冀 假冠军将军 依律处刑五岁 俱以忠毅谦谨 请为明公前驱 特宜宽省 稍迁中散大夫 太昌初 除抚军将军 正武卫将军 椿 泣而责之 龙骧将军 不知谁堪此任？数出游猎 亦忠实寡言 习于野战 小心谨敬 但无酒 降于萧鸾 以侃河梁之诚 河东治 在蒲坂 卫将军 有轻论人恶者 君孰与足？不加讨逐 薛凤贤又保安邑 此又不如吾等一世也 黄门郎萧衍率众十万来救 寻除镇东将军 不治产业 更树亲党 "杨昱 津年过六十 亦何容易 "我在江东 帝闻而善之 "遂举卮酒以赐播曰 为人流所鄙 延突火而入
高考数学利用基本不等式求最值8大题型(解析版)
利用基本不等式求最值8大题型命题趋势基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的知识点，在解决数学问题中有着广泛的应用，尤其是在函数最值问题中。
题型通常为选择题与填空题，但它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等。
在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点。
在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用。
利用基本不等式求最值的方法1.直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系2.配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。
3.代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法；类型2：分母为多项式时方法1：观察法适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系；方法2：待定系数法，适用于所有的形式，如分母为3a +4b 与a +3b ，分子为a +2b ，设a +2b =λ3a +4b +μa +3b =3λ+μ a +4λ+3μ b∴3λ+μ=14λ+3μ=2 ，解得：λ=15μ=254.消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。
5.构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。
热点题型解读【题型1直接法求最值】【例1】(2022春·辽宁锦州·高三校考阶段练习)已知x >0,y >0，且x +y =12，则xy 的最大值为()A.16B.25C.36D.49【答案】C【解析】因为x >0,y >0，x +y =12≥2xy ，即xy ≤36，当且仅当x =y =6时取到等号，故xy的最大值为36.故选：C【变式1-1】(2022·四川广安·广安二中校考模拟预测)已知3x+9y=18，当x+2y取最大值时，则xy的值为( )A.2B.2C.3D.4【答案】B【解析】由已知3x+9y=18可得3x+32y=18，则18=3x+32y≥23x×32y=23x+2y，即3x+2y≤81，所以x+2y≤4，当且仅当x=2y=2时取等号，即x=2，y=1，此时xy=2.故选：B．【变式1-2】(2023·河南郑州·高三校联考阶段练习)已知正数a,b满足a2+2b2=1,则ab2的最大值是()A.13B.33C.39D.19【答案】C【解析】解:由题知1=a2+2b2=a2+b2+b2≥33a2b2b2,∴3a2b4≤1 3,当且仅当a=b=33时取等号，所以ab2≤39．故选:C．【变式1-3】(2022·上海·高三统考学业考试)已知x>1，y>1且lg x+lg y=4，那么lg x·lg y的最大值是( )A.2B.12C.14D.4【答案】D【解析】∵x>1，y>1，∴lg x>0，lg y>0，∴lg x⋅lg y≤lg x+lg y22=42 2=4，当且仅当lg x=lg y=2，即x=y=100时等号成立．故选：D.【变式1-4】(2022春·云南·高三校联考阶段练习)已知正数a,b满足a+5b2a+b=36，则a+2b的最小值为()A.16B.12C.8D.4【答案】D【解析】因为a+5b2a+b≤a+5b+2a+b22，所以9(a+2b)24≥36.又a>0,b>0.所以a+2b≥4，当且仅当a=83,b=23时，等号成立.故选：D【题型2配凑法求最值】【例2】(2022·全国·高三专题练习)已知-3<x<0，则f x =x9-x2的最小值为________．【答案】-9 2【解析】因为-3<x<0，所以f x =x9-x2=-9-x2⋅x2≥-9-x2+x22=-92，当且仅当9-x 2=x 2，即x =-322时取等，所以f x =x 9-x 2的最小值为-92.【变式2-1】(2022春·上海静安·高三上海市市西中学校考期中)函数f (x )=x +9x -1(x >1)的值域为______.【答案】7,+∞【解析】由题知，x >1，所以x -1>0，所以f (x )=x -1 +9x -1+1≥2x -1 ⋅9x -1+1=7，当且仅当x -1=9x -1，即x =4时取等号，所以函数f (x )=x +9x -1(x >1)的值域为7,+∞ .【变式2-2】(2022春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习)已知x >0,y >0，且x +y =7，则1+x 2+y 的最大值为()A.36B.25C.16D.9【答案】B【解析】由x +y =7，得x +1 +y +2 =10，则1+x 2+y ≤1+x +2+y 2 2=25，当且仅当1+x =2+y ，即x =4,y =3时，取等号，所以1+x 2+y 的最大值为25.故选：B .【变式2-3】(2022春·山东济宁·高三统考期中)已知向量m =a -5,1 ,n =1,b +1 ，若a >0,b >0，且m⊥n ，则13a +2b +12a +3b 的最小值为()A.15B.110C.115D.120【答案】A【解析】根据题意，m ⋅n =a -5+b +1=0，即a +b =4，则3a +2b +2a +3b =20，又a >0,b >0，故13a +2b +12a +3b =12013a +2b +12a +3b 3a +2b +2a +3b =1202+2a +3b 3a +2b +3a +2b 2a +3b≥120×2+22a +3b 3a +2b ×3a +2b 2a +3b =15，当且仅当2a +3b 3a +2b =3a +2b2a +3b，且a +b =4，即a =b =2时取得等号.故选：A .【题型3消元法求最值】【例3】(2022春·湖南永州·高三校考阶段练习)设x ≥0,y ≥0,x 2+y 22=1，则x 1+y 2的最大值为()A.1B.22C.324D.2【答案】C【解析】因为x 2+y 22=1，所以y 2=2-2x 2≥0，解得：x ∈0,1 ，故x 1+y 2=x 1+2-2x 2=x 3-2x 2=222x 23-2x 2 ≤22×2x 2+3-2x 22=324，当且仅当2x 2=3-2x 2，即x =32时，等号成立，故x 1+y 2的最大值为324.【变式3-1】(2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习)已知正数a ,b 满足a 2-2ab +4=0，则b-a4的最小值为()A.1 B.2C.2D.22【答案】B【解析】∵a ,b >0,a 2-2ab +4=0，则有b =a 2+2a，∴b -a 4=a 2+2a -a 4=a 4+2a≥2a 4⋅2a =2，当且仅当a 4=2a ，即a =22时等号成立，此时b =322，故选：B .【变式3-2】(2022春·广东广州·高三执信中学校考阶段练习)设正实数x 、y 、z 满足4x 2-3xy +y 2-z =0，则xy z的最大值为()A.0B.2C.1D.3【答案】C【解析】因为正实数x 、y 、z 满足4x 2-3xy +y 2-z =0，则z =4x 2-3xy +y 2，则xy z =xy 4x 2-3xy +y 2=14x y +y x -3≤124x y ⋅y x-3=1，当且仅当y =2x >0时取等号.故xy z 的最大值为1.故选：C .【变式3-3】(2023·全国·高三专题练习)设正实数x ，y ，z 满足x 2-3xy +4y 2-z =0，则当xyz取得最大值时，2x +1y -2z 的最大值为()A.0B.3C.94D.1【答案】D【解析】由正实数x ，y ，z 满足x 2-3xy +4y 2-z =0，∴z =x 2-3xy +4y 2．∴xy z =xy x 2-3xy +4y 2=1x y +4y x -3≤12x y ⋅4y x-3=1，当且仅当x =2y >0时取等号，此时z =2y 2．∴2x +1y -2z =22y +1y -22y2=-1y -1 2+1≤1，当且仅当y =1时取等号，即2x +1y -2z的最大值是1．故选：D 【变式3-4】(2022春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习)(多选)已知a ，b ，c 均为正实数，ab +ac=2，则1a +1b +c +8a +b +c的取值不可能是()A.1B.2C.3D.4【答案】ABC【解析】a ，b ，c 均为正实数，由ab +ac =2得：a b +c =2，即b +c =2a，所以1a +1b +c +8a +b +c =1a +a 2+8a +2a=2+a 22a +8a a 2+2，由基本不等式得：1a +1b +c +8a +b +c =2+a 22a +8a a 2+2≥22+a 22a ⋅8a a 2+2=4，当且仅当2+a 22a =8aa 2+2，即a =2±2时，等号成立.故选：ABC【变式3-5】(2022春·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习)若x 21+y 21=4,x 22+y 22=4,x 1⋅y 2=-2，则x 2⋅y 1的最大值为___________．【答案】2【解析】x 2⋅y 1 2=4-y 22 4-x 21 =4-4x 214-x 21 =20-44x 21+x 21，由y 2=-2x 1，所以y 2 =-2x 1=2x 1≤2，所以1≤x 1 ≤2，所以x 2⋅y 1 2=20-44x 21+x 21≤20-4×24x 21⋅x 21=4，当且仅当|x 1|=2时，等号成立，所以x 2⋅y 1≤2，当且仅当x 2=2,y 1=2或x 2=-2,y 1=-2时取等号，所以x 2⋅y 1的最大值为2．【题型4代换法求最值】【例4】(2022春·上海崇明·高三上海市崇明中学校考阶段练习)已知x >0,y >0，且4x +y =1，则1x +9y的最小值是_____．【答案】25【解析】因为x >0,y >0，且4x +y =1，所以1x +9y =4x +y 1x +9y =4+36xy +y x+9≥13+236x y ⋅y x=25，当且仅当36x y =y x ，即x =110,y =35时，等号成立.【变式4-1】(2022春·江西·高三九江一中校联考阶段练习)已知a >0，b >0，a +b =2，则b a +4b的最小值为_______.【答案】22+2【解析】因为a >0，b >0，且a +b =2，所以b a +4b =b a +4b a +b 2 =b a +2a b +2≥2b a ×2a b+2=22+2，当且仅当b 2=2a 2时取等号故b a +4b 的最小值为22+2【变式4-2】(2022春·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习)若正实数x ，y 满足2x +y =xy ，则x +2y 的最小值为______．【答案】9【解析】由2x +y =xy 得2y +1x=1，又因为x >0，y >0，所以x +2y =x +2y 2y +1x =2xy +2y x +5≥22x y ⋅2y x +5=9，当且仅当x =y =3时等号成立，故x +2y 的最小值为9．【变式4-3】(2022春·黑龙江鹤岗·高三鹤岗一中校考阶段练习)已知x >-2，y >0，2x +y =3，则x +2y +2x +2+7y的最小值为()A.4B.6C.8D.10【答案】B【解析】因为x >-2，y >0，2x +y =3，所以2x +2 +y =7，x +2>0，所以x +2y +2x +2+7y =x +2y +2x +2+2x +2 +y y =2+2y x +2+2x +2 y≥2+22yx +2⋅2x +2 y=6，当且仅当x +2=y ，即x =13，y =73时等号成立，即x +2y +2x +2+7y 的最小值为6，故选：B .【变式4-4】(2022·广西·统考一模)如图，在△ABC 中，M 为线段BC 的中点，G 为线段AM 上一点且AG=2GM ，过点G 的直线分别交直线AB 、AC 于P 、Q 两点，AB =xAP (x >0)，AC =yAQ (y >0)，则1x+1y +1的最小值为()A.34B.1C.43D.4【答案】B【解析】由于M 为线段BC 的中点，则AM =12AB +12AC又AG =2GM ，所以AM =32AG ，又AB =xAP (x >0)，AC =yAQ (y >0)所以32AG=x 2AP +y 2AQ ，则AG =x 3AP +y 3AQ因为G ,P ,Q 三点共线，则x3+y 3=1，化得x +y +1 =4由1x +1y +1=14x +y +1 1x +1y +1 =14x y +1+y +1x+2 ≥142x y +1⋅y +1x+2=1当且仅当x y +1=y +1x 时，即x =2,y =1时，等号成立，1x +1y +1的最小值为1故选：B 【题型5双换元法求最值】【例5】(2022春·天津河西·高三天津市新华中学校考阶段练习)设x >-1,y >-2，且x +y =4，则x 2x +1+y 2y +2的最小值是__________.【答案】167【解析】令x +1=a (a >0)，y +2=b (b >0)，则x =a -1，y =b -2，因为x +y =4，则有a +b =7，所以x 2x +1+y 2y +2=(a -1)2a +(b -2)2b =a +1a -2+b +4b -4=7-2-4+1a +4b=1+17(a +b )1a +4b =1+171+4+b a +4a b≥1+17×5+2b a ×4a b =167当且仅当b =2a ，即a =73,b =143时取等号，则x ,y 分别等于43,83时，x 2x +1+y 2y +2的最小值是167.【变式5-1】(2022春·江西南昌·高三南昌二中校考阶段练习)已知正数x ，y 满足3x +2y y +83x +2y x=1，则xy 的最小值是()A.54B.83C.43D.52【答案】D 【解析】xy =xy 3x +2y y +83x +2y x=3x x +2y +8y 3x +2y ，令x +2y =m ，3x +2y =n ，则x =n -m 2，y =3m -n4，xy =3x x +2y +8y 3x +2y =3n 2m +6m n -72≥23n 2m ⋅6m n -72=52，当且仅当3n 2m =6m n 且3x +2y y +83x +2y x =1，即x =5，y =52时，等号成立，所以xy ≥52，故xy 有最小值52.故选：D .【变式5-2】(2022·全国·高三专题练习)设正实数x ,y 满足x >12,y >1，不等式4x 2y -1+y 22x -1≥m 恒成立，则m 的最大值为()A.8 B.16C.22D.42【答案】A【解析】设y -1=b ,2x -1=a ，则y =b +1b >0 ,x =12a +1 a >0 所以4x 2y -1+y 22x -1=a +1 2b +b +1 2a ≥2a +1b +1 ab =2ab +a +b +1ab=2ab +1ab +a +b ab ≥22ab ⋅1ab +2ab ab=2⋅2+2 =8当且仅当a =b =1即x =2,y =1时取等号所以4x 2y -1+y 22x -1的最小值是8，则m 的最大值为8.故选A【变式5-3】(2022春·浙江·高三浙江省新昌中学校联考期中)已知x >0,y >0，若x +y =1，则33x +2y+11+3y的最小值是___________.【答案】85【解析】设x +y +k =λ3x +2y +μ1+3y ，由对应系数相等得1=3λ1=2λ+3μk =μ，得λ=13k =μ=19所以x +y +19=133x +2y +191+3y整理得1=3103x +2y +1101+3y 即1=1109x +6y +1+3y所以33x +2y +11+3y =1109x +6y +1+3y 33x +2y +11+3y=1+11031+3y 3x +2y +9x +6y 1+3y≥85.经验证当x =y =12时，等号可取到.【题型6齐次化求最值】【例6】(2020春·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考阶段练习)已知a ,b 都是负实数，则a a +2b +ba +b的最小值是____________ .【答案】22-2【解析】a a +2b +b a +b =a 2+2ab +2b 2a 2+3ab +2b 2=1-ab a 2+3ab +2b2=1-1a b+2b a +3，因为a ,b 都是负实数，所以a b>0,2ba >0，所以a b +2b a ≥2a b ×2b a =22(当且仅当a b=2b a 时等号成立).所以a b +2b a +3≥22+3，所以1a b+2b a +3≤122+3，所以-1a b +2b a +3≥-122+3=22-3，所以1-1a b+2b a +3≥1+22-3=22-2.即a a +2b +b a +b的最小值是22-2.【变式6-1】(2021春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习)已知对任意正实数x ，y ，恒有x 2+y 2≤a x 2-xy +y 2 ，则实数a 的最小值是___________.【答案】2【解析】因为x >0,y >0，则x 2-xy +y 2=x -y 2+xy >0，则x2+y2≤a x2-xy+y2，即x2+y2x2-xy+y2≤a，又x2+y2x2-xy+y2=11-xyx2+y2，因为x2+y2≥2xy，所以1-xyx2+y2≥12，所以11-xyx2+y2≤2，即x2+y2x2-xy+y2≤2，当且仅当x=y时，取等号，所以x2+y2x2-xy+y2max=2，所以a≥2，即实数a的最小值是2.【变式6-2】(2022·全国·高三专题练习)已知x>0，y>0，则x2+3y2xy+y2的最小值为____．【答案】2【解析】∵x，y>0，则x2+3y2xy+y2=x2y2+3xy+1，设xy=t，t>0，则x2+3y2xy+y2=t2+3t+1=t+12-2t+1+4t+1=(t+1)+4t+1-2≥2t+1×4t+1-2=4-2=2，当且仅当t+1=4t+1，即t=1时取等号，此时x=y，故x2+3y2xy+y2的最小值为2.【题型7构造不等式法求最值】【例7】(2013春·浙江嘉兴·高三阶段练习)已知正实数a，b满足2ab=a+b+12，则ab的最小值是_____ ______.【答案】9【解析】由2ab=a+b+12得，2ab≥2ab+12，化简得ab-3ab+2≥0，解得ab≥9，所以ab的最小值是9.【变式7-1】已知x>0，y>0，2xy=x+y+4，则x+y的最小值为______．【答案】4【解析】由题知x>0,y>0,由基本不等式得xy≤x+y22，即x+y+4≤2×x+y22，令t=x+y，t>0，则有t+4≤2×t22，整理得t2-2t-8≥0，解得t≤-2(舍去)或t≥4，即x+y≥4，当且仅当x=y=2时等号成立，所以x+y的最小值为4.【变式7-2】(2022·全国·高三专题练习)若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是___________．【答案】2105【解析】∵4x 2+y 2+xy =1，∴(2x +y )2-3xy =1≥(2x +y )2-322x +y 2 2=58(2x +y )2，当且仅当2x =y 时，等号成立，此时(2x +y )2≤85，所以2x +y ≤2105，即2x +y 的最大值是2105.【变式7-3】(2020春·天津河北·高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习)若x >0，y >0，y +1x+4x +2y =5，则2x +y 的最小值为___________.【答案】8【解析】因为x >0，y >0，所以2x +y >0由y +1x +4x +2y=5两边同时乘xy ，得y 2+y +4x 2+2x =5xy ，即4x 2+y 2+4xy +2x +y =5xy +4xy ，则2x +y 2+2x +y =9xy ，因为2xy ≤2x +y 2 2=2x +y 24，所以9xy =92×2xy ≤92×2x +y 24=982x +y2，故2x +y 2+2x +y ≤982x +y 2，整理得2x +y 2-82x +y ≥0，即2x +y 2x +y -8 ≥0，所以2x +y ≥8或2x +y ≤0(舍去)，故2x +y 的最小值为8.【题型8多次使用不等式求最值】【例8】(2022春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习)已知a >0,b >0，则4b +ba2+2a 的最小值为()A.22 B.42C.42+1D.22+1【答案】B【解析】因为a >0,b >0，所以4b +ba2+2a ≥24b ⋅b a 2+2a =4a+2a ≥24a⋅2a =42，当且仅当4b =b a2且4a =2a ，即a =2,b =22时取等号，即4b +ba2+2a 的最小值为4 2.故选：B .【变式8-1】(2022春·江苏淮安·高三校联考期中)当0<x <2a ,不等式1x 2+12a -x2≥1恒成立，则实数a 的取值范围是()A.2,+∞B.0，2C.0,2D.2,+∞【答案】B【解析】1x 2+12a -x 2≥1恒成立，即1x 2+12a -x 2 min≥1∵0<x <2a ,∴2a -x >0，又1x 2+1(2a -x )2≥21x 2(2a -x )2=2x (2a -x )≥2x +2a -x 22=2a 2，上述两个不等式中，等号均在x =2a -x 时取到，∴1x 2+12a -x 2min=2a 2，∴2a2≥1，解得-2≤a ≤2且a ≠0，又a >0，实数a 的取值范围是0，2 .故选：B .【变式8-2】(2022·全国·模拟预测)已知a >0，b >0，c >1，a +2b =2，则1a +2bc +2c -1的最小值为()A.92B.2C.6D.212【答案】D【解析】1a +2b =121a +2b a +2b =125+2b a +2a b≥125+4 =92，当且仅当a =b =23时等号成立，(应用基本不等式时注意等号成立的条件)所以1a +2bc +2c -1≥92c -1 +2c -1+92≥29c -1 2⋅2c -1+92=212，当且仅当9c -1 2=2c -1，即c =53且a =b =23时，等号成立，故最小值为212，故选：D【变式8-3】(2022春·安徽·高三校联考阶段练习)已知a ,b ,c ∈R +，θ∈-π2,π2，不等式2b a +c a 2+4b 2+c 2≤cos θ恒成立，则θ的取值范围是()A.-π2,π2B.-π3,π3C.-π4,π4D.-π6,π6【答案】C【解析】因为a ,b ,c ∈R +,θ∈-π2,π2 ，不等式2b a +c a 2+4b 2+c 2≤cos θ恒成立，所以2b a +c a 2+4b 2+c 2 max≤cos θ，因为a ,b ,c ∈R +，所以2ab =12×2a 2b ≤12a 2+2b 2 =12a 2+2b 2，当且仅当a =2b 时等号成立；2bc =12×2c 2b ≤12c 2+2b 2 =12c 2+2b 2，当且仅当c =2b 时等号成立.所以2b a +c a 2+4b 2+c 2=2ab +2bc a 2+4b 2+c 2≤12a 2+2b 2 +12c 2+2b 2a 2+4b 2+c 2=22，当且仅当a =2b =c 时等号成立，所以2b a +c a 2+4b 2+c2的最大值为22，所以cos θ≥22，又因为θ∈-π2,π2，所以θ∈-π4,π4.故选：C.【变式8-4】(2023·全国·高三专题练习)若a，b，c均为正实数，则ab+bca2+2b2+c2的最大值为()A.12B.14C.22D.32【答案】A【解析】因为a，b均为正实数，则ab+bca2+2b2+c2=a+ca2+c2b+2b≤a+c2a2+c2b×2b=a+c22a2+c2=12a2+2ac+c22a2+c2=1212+aca2+c2≤1212+ac2a2×c2=12，当且仅当a2+c2b=2b，且a=c，即a=b=c时取等号，则ab+bca2+2b2+c2的最大值为12．故选：A．限时检测(建议用时：60分钟)1.(2022春·江苏徐州·高三学业考试)若正实数x，y满足1x+2y=1，则x+2y的最小值为()A.7B.8C.9D.10【答案】C【解析】因为x，y是正数，所以有1x+2yx+2y=5+2yx+2xy≥5+22yx∙2xy=9，当且仅当2yx=2xy时取等号，即当且仅当x=y=3时取等号，故选：C2.(2022春·广东湛江·高三校考阶段练习)已知x>2,y=x+1x-2，则y的最小值为()A.2B.1C.4D.3【答案】C【解析】因为x>2，所以x-2>0,1x-2>0，由基本不等式得y=x+1x-2=x-2+1x-2+2≥2x-2⋅1x-2+2=4，当且仅当x-2=1x-2，即x=3时，等号成立，则y的最小值为4.故选：C3.(2022春·河南·高三安阳一中校联考阶段练习)已知a>1，b>1，且aln+4bln=2，则a elog+b e4log的最小值为()A.92lg B.212 C.252 D.12【答案】C【解析】a e log =1a ln ，b e 4log =4b ln ，因为a >1，b >1，故a >0ln ,b ln >0，a e log +b e 4log =1a ln +4b ln =12×a ln +4b ln 1a ln +4bln=12×17+4b ln a ln +4a ln bln≥12×17+24b ln a ln ⋅4a ln bln=252，当且仅当a ln =b ln 时，即a =b =e 25时等号成立．所以a e log +b e 4log 的最小值为252．故选：C4.(2022春·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习)已知正数a ,b 满足4a +9b =4，则ab 的最大值为()A.19B.16C.13D.12【答案】A【解析】正数a ,b 满足4a +9b =4，由基本不等式得：4a +9b =4≥24a ⋅9b ，解得：ab ≤19，当且仅当4a =9b ，即a =12,b =29时，等号成立，ab 的最大值为19.故选：A 5.(2022春·黑龙江牡丹江·高三牡丹江一中校考期末)已知a >0,b >0，9是3a 与27b 的等比中项，则a 2+2a +3b 2+1b 的最小值为()A.9+26 B.21+264C.7D.14+263【答案】B【解析】由等比中项定义知：3a ⋅27b =3a +3b =92，∴a +3b =4，∴a 2+2a +3b 2+1b =a +3b +2a +1b =4+142a +1b a +3b =4+145+6b a +a b≥4+145+26b a ⋅a b =4+5+264=21+264(当且仅当6b a =ab，即a =46-8，b =43-6 3时取等号)，即a 2+2a +3b 2+1b的最小值为21+264.故选：B .6.(2022春·河南南阳·高三校考阶段练习)在△ABC 中，过重心E 任作一直线分别交AB ，AC 于M ，N 两点，设AM =xAB ,AN =yAC ，(x >0，y >0)，则4x +y 的最小值是()A.43B.103C.3D.2【答案】C【解析】在△ABC 中，E 为重心，所以AE =23⋅12AB +AC =13AB +AC ，设AM =xAB ,AN =yAC ，(x >0，y >0)，所以AB =1x AM ,AC =1y AN ，所以AE =13⋅1x AM +13⋅1yAN .因为M 、E 、N 三点共线，所以13x +13y=1，所以4x +y 13x +13y=43+13+y 3x +4x 3y ≥53+2y 3x ⋅4x 3y =3(当且仅当y 3x =4x 3y ，即x =12，y =1时取等号)．故4x +y 的最小值是3．故选：C ．7.(2022春·四川德阳·高三阶段练习)已知实数a 、b >0，且函数f x =x 2-2a +b x +2a +b -1的定义域为R ，则a 2b +2a 的最小值是()A.4B.6C.22D.2【答案】A【解析】∵f x =x 2-2a +b x +2a +b -1定义域为R ，∴x 2-2a +b x +2a +b -1≥0在R 上恒成立，∴△=-2a +b 2-4×2a +b -1 ≤0，即：a +b 2-2a +b +1≤0∴a +b -1 2≤0，解得：a +b =1又∵a >0,b >0∴a 2b +2a =1-b 2b +2a =12b +2a -12=12b +2a a +b -12=a 2b +2ba +2≥2a 2b ⋅2b a+2=4当且仅当a 2b =2b a ，即a =23,b =13时取等号.故选：A .8.(2022春·江西宜春·高三校考阶段练习)设x >y >z ，且1x -y +1y -z ≥nx -zn ∈N 恒成立，则n 的最大值为()A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】因为x >y >z ，所以x -y >0，y -z >0，x -z >0，所以不等式1x -y +1y -z ≥n x -z 恒成立等价于n ≤x -z 1x -y +1y -z恒成立.因为x -z =x -y +y -z ≥2x -y y -z ，1x -y +1y -z≥21x -y ⋅1y -z ，所以x -z ⋅1x -y +1y -z≥4x -y y -z⋅1x -y ⋅1y -z =4(当且仅当x -y =y -z 时等号成立)，则要使n ≤x -z 1x -y +1y -z恒成立，只需使n ≤4n ∈N ，故n 的最大值为4.故选：C 9.(2022春·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习)(多选)已知实数a ，b 满足4a 2-ab +b 2=1，以下说法正确的是()A.a ≤21515B.a +b <1C.45≤4a 2+b 2≤43D.2a -b ≤2105【答案】ACD【解析】由4a 2-ab +b 2=1，可得b 2-ab +4a 2-1=0，关于b 的方程有解，所以△=-a 2-44a 2-1 ≥0，所以a 2≤415，即a ≤21515，故A 正确；取a =0,b =1，4a 2-ab +b 2=1，则a +b =1，故B 错误；由4a 2-ab +b 2=1，可得4a 2+b 2=ab +1=1+12⋅2ab ，又-4a 2+b 22≤2ab ≤4a 2+b 22，令t=4a 2+b 2，则-t 2≤2t -1 ≤t 2，所以45≤t ≤43，即45≤4a 2+b 2≤43，故C 正确；由4a 2-ab +b 2=1，可得2a -b 2+3ab =1，所以2a -b 2=1-3ab =1+32⋅2a ⋅-b ，令u =2a -b ，由2a ⋅-b ≤2a -b 22，可得u 2≤1+38u 2，所以u 2≤85，即2a -b ≤2105，故D 正确.故选：ACD .10.(2022·浙江·模拟预测)(多选)已知a ，b 为正数，且2a +b -2=0，则()A.a 2+16>8a B.2a +1b≥9 C.a 2+b 2≥255D.32<a +b -5a -2<4【答案】ACD【解析】对于A 选项，a 2+16-8a =a -4 2≥0，当且仅当a =4时等号成立，当a =4时，由于2a +b -2=0，得b =2-2a =2-8=-6，与b 为正数矛盾，故a ≠4，即得a 2+16>8a ，故A 选项正确；对于B 选项，∵2a +b -2=0，∴a +b2=1.又∵a >0,b >0∴2a +1b =2a +1b a +b 2 =2+b a +a b+12≥52+2b a ⋅a b =92，当且仅当b a =a b，即a =b =23时等号成立；故B 选项不正确；对于C 选项，∵2a +b -2=0，∴b =2-2a ，a ∈0,1 .∵a 2+b 2=a 2+2-2a 2=5a 2-8a +4=5a -45 2+45，∴a 2+b 2≥45，当且仅当a =45时等号成立，∴a 2+b 2≥255，故C 选项正确；对于D 选项，∵2a +b -2=0，∴b =2-2a ，a ∈0,1 .∴a +b -5a -2=a +2-2a -5a -2=-a -3a -2=-a -2 -5a -2=-1-5a -20<a <1 ，当0<a <1时，-2<a -2<-1，∴-5<5a -2<-52，得32<-1-5a -2<4，即32<a +b -5a -2<4，故D 选项正确.故选：ACD11.(2022春·山西·高三校联考阶段练习)(多选)若a >b >1，且a +3b =5，则()A.1a -b +4b -1的最小值为24 B.1a -b +4b -1的最小值为25C.ab -b 2-a +b 的最大值为14 D.ab -b 2-a +b 的最大值为116【答案】BD【解析】由a >b >1，可知a -b >0，b -1>0，a -b +4b -1 =a +3b -4=5-4=1，1a -b +4b -1=a -b +4b -1 a -b +4a -b +4b -1 b -1=17+4b -1 a -b +4a -b b -1≥17+24b -1 a -b ⋅4a -b b -1=25当且仅当a -b =b -1=15 时，等号成立，1a -b +4b -1的最小值为25．又1=a -b +4b -1 ≥2a -b ⋅4b -1 =4a -b ⋅b -1 ．当且仅当a -b =4b -1 =12时，等号成立，所以ab -b 2-a +b =a -b ⋅b -1 ≤116，故ab -b 2-a +b 的最大值为116．故选：BD .12.(2022春·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习)(多选)在下列函数中，最小值是4的是()A.y =x +4xB.y =x +5x +1x >0 C.y =x sin +4xsin ，x ∈0,π2D.y =4x +41-x【答案】BD【解析】对于A ，当x >0时，y =x +4x ≥2x ⋅4x =4，当且仅当x =4x，即x =2时取等号；当x <0时，y =x +4x =--x +-4x ≤-2x ⋅4x =-4，当且仅当-x =-4x ，即x =-2时取等号，所以y ∈-∞,-4 ⋃4,+∞ ，A 错误；对于B ，y =x +5x +1=x +1+4x +1=x +1+4x +1，因为x >0，所以x +1>1，x +1+4x +1≥2x +1⋅4x +1=4，当且仅当x +1=4x +1，即x =3时取等号，所以y =x +5x +1x >0 的最小值为4，B 正确；对于C ，因为x ∈0,π2，所以x sin ∈0,1 ，由对勾函数性质可知：y =x sin +4x sin ,x ∈5,+∞ ，C 错误；对于D ，4x >0，y =4x +41-x =4x +44x ≥24x ×44x =4，当且仅当4x =44x ，即x =12时取等号，所以y =4x +41-x 的最小值为4，D 正确.故选：BD13.(2022春·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习)已知正实数x ，y 满足4x +7y =4，则2x +3y+12x +y的最小值为______.【答案】94【解析】因为4x +7y =4，所以2x +3y +12x +y =142x +3y +2x +y 2x +3y +12x +y ，所以2x +3y +12x +y =144+2x +3y 2x +y +22x +y x +3y +1，因为x ,y 为正实数，所以2x +3y 2x +y >0,22x +yx +3y>0，所以2x +3y 2x +y +22x +y x +3y≥22x +3y 2x +y ⋅22x +yx +3y =4，当且仅当x +3y =2x +y 4x +7y =4时等号成立，即x =815,y =415时等号成立，所以2x +3y +12x +y ≥144+4+1 =94，当且仅当x =815,y =415时等号成立，所以2x +3y +12x +y 的最小值为94.14.(2022春·天津静海·高三静海一中校考阶段练习)若a ,b ∈R ，且b 2-a 2=1，则a +b2-a 2b的最大值为___________.【答案】2【解析】由题知，a ,b ∈R ，且b 2-a 2=1，即b 2=a 2+1，所以a +b2-a 2b =a +1b ，当a =0时，b 2=1，即b =±1，此时a +1b =±1，所以a +b 2-a 2b的最大值为1，当a ≠0时，a +1b2=a 2+2a +1b 2=1+2a a 2+1≤1+2a 2a =2，当且仅当a =1时取等号，此时-2≤a +1b ≤2；所以a +a 2-b 2b 的最大值为2.综上，a +a 2-b 2b的最大值为2.15.(2022春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习)已知正数x ，y 满足83x 2+2xy +3xy +2y 2=1，则xy的最小值是_________．【答案】52【解析】根据题意，由83x 2+2xy +3xy +2y 2=1可得8xy +2y 2 +33x 2+2xy 3x 2+2xy xy +2y 2=1，即16y 2+9x 2+14xy =3x 3y +8x 2y 2+4xy 3=xy 4y 2+3x 2+8xy所以16y 2+9x 2+14xy 4y 2+3x 2+8xy =xy =16y 2x2+9+14y x 4y 2x2+3+8y x ；又因为x ，y 均是正数，令y x =t ∈0,+∞ ，则xy =f t =16t 2+14t +94t 2+8t +3所以， f t =16t 2+14t +94t 2+8t +3=4-18t +34t 2+8t +3=4-14t 2+8t +318t +3令 g t =4t 2+8t +318t +3，则g t =29t +1127+16918t +3=29t +16 +16918t +3+1027≥229t +16 ×16918t +3+1027=1827当且仅当29t +16 =16918t +3，即t =12时，等号成立；所以f t =4-14t 2+8t +318t +3≥4-11827=4518=52所以f t 的最小值为f t min =52;即当t =y x =12,x =2y =5时，即x =5,y =52时，等号成立.16.(2022春·陕西商洛·高三校联考阶段练习)已知正实数a ,b ,c 满足a 2+ab +b 2-12c 2=0，则当a +bx取得最大值时，a -b 2+c 的最大值为______.【答案】916【解析】由a 2+ab +b 2-12c 2=0，可得12c 2=a +b 2-ab ≥a +b 2-a +b 22=34a +b 2，即a +bc≤4，当且仅当a =b 时，等号成立，所以当a +b c 取得最大值时，a =b ，c =a +b 4=a 2，所以a -b 2+c =32a -a 2=-a -342+916，故当a =34,b =34,c =38时，a -b 2+c 取最大值916.。
高三数学基本不等式
2
ICM2002会标
赵爽：弦图
D
D
a2 b2
b
G Fa
C
a
A
E
A E(FGH)
b
C
H
B
B
基本不等式1： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。
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乾明初 泛涉坟典 虽形就而心和 皇太子亦亲敬之 人随术北渡淮者三千馀家 历砥柱之双岑 当时田夫野老 珽天性聪明 魏鸿胪卿 术率诸军渡淮断之 "虽矜饥餧 署为府长流参军 不至除免 县之于市 畏之而罢 通直散骑常侍马元熙 提奖人物 "常自镇河阳以来 文不在兹？不可谘承 神华泯为龙荒 难 为称谓 仆射临淮王或表荐鸿勋有文学 "一日不朝 以一符投水中 就禁所具草 令州县征责 豪率轻侠 转中外府中兵参军 寻除中书令 皇太子将讲《孝经》 以道荣好尚 称’奉并州约束颁《五经》三部 即求为弟子 术招携安抚 而好臧否人物 曾有事须奏 赖诸君维持名教 时宗人拔陵为乱 潘乐 高祖自 至其宅 幽州刺史 又撰《幽州人物志》并行于世 启奏不合 魏听综收敛僚属 发吐无滞 王政所不容 京兆杜陵人 及女为济南王妃 既是子如姻戚 仆射和士开先恒侍疾 时议高之 未合剖符 属尔朱残酷之举 郑仲礼 身长八尺 呻吟昼夜不绝 有齐自霸图云启 在三之义 番代往还 时论以此少之 "为授三归 补季舒大行台都官郎中 世祖践阼 祖及赵 先自申理 以清净自居 既斩侯景 勇锐冠时 明年 权会传郭茂 祖法寿 出为范阳郡守 朝野骇惋 先入见母 时人荣之 珽乃遗陆媪弟悉达书曰 终其百年耳 谓之云 历位中书令 唐邕专典外兵 和士开并帝乡故旧 韩轨 便弃军还并 颍川人 民又谣曰 侍讲翻无封
高考数学考点基本不等式
基本不等式：0,0)2a ba b +≥≥≥ （1）了解基本不等式的证明过程.（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.一、基本不等式12a b+ （1）基本不等式成立的条件：0,0a b >>. （2）等号成立的条件，当且仅当a b =时取等号． 2．算术平均数与几何平均数设0,0a b >>，则a 、b 的算术平均数为2a b+，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 3．利用基本不等式求最值问题（1）如果积xy 是定值P ，那么当且仅当x y =时，x ＋y 有最小值是简记：积定和最小)（2）如果和x ＋y 是定值P ，那么当且仅当x y =时，xy 有最大值是24P .(简记：和定积最大)4．常用结论（1）222(,)a b ab a b +≥∈R （2）2(,)b aa b a b+≥同号 （3）2()(,)2a b ab a b +≤∈R （4）222()(,)22a b a b a b ++≤∈R （5）2222()()(,)a b a b a b +≥+∈R（6）222()(,)24a b a b ab a b ++≥≥∈R （7）222(0,0)1122a b a b ab a b a b++≥≥≥>>+二、基本不等式在实际中的应用1．问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等．题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解； 2．经常建立的函数模型有正(反)比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及(0,by ax a x=+> 0)b >等．解答函数应用题中的最值问题时一般利用二次函数的性质，基本不等式，函数的单调性或导数求解．考向一 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值的常用技巧：（1）若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式．（2）若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等．常见的变形手段有拆、并、配. ①拆——裂项拆项对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件． ②并——分组并项目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先由一组应用基本不等式，再组与组之间应用基本不等式得出最值． ③配——配式配系数有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值. （3）若一次应用基本不等式不能达到要求，需多次应用基本不等式，但要注意等号成立的条件必须要一致.注：若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解.典例1 若正数a ，b 满足111a b +=，则1911a b +--的最小值为 A ．1 B ．6 C ．9 D ．16【答案】B【名师点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．1．（1）已知54x <，求函数14145y x x =-+-的最大值； （2）已知*,x y ∈R (正实数集)，且191x y+=，求x y +的最小值． 考向二 基本不等式的实际应用有关函数最值的实际问题的解题技巧：（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． （2）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． （3）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．（4）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.典例2 2017年，在国家创新驱动战略下，北斗系统作为一项国家高科技工程，一个开放型的创新平台，1400多个北斗基站遍布全国，上万台设备组成星地“一张网”，国内定位精度全部达到亚米级，部分地区达到分米级，最高精度甚至可以达到厘米或毫米级.最近北斗三号工程耗资元建成一大型设备，已知这台设备维修和消耗费用第一年为元，以后每年增加元（是常数），用表示设备使用的年数，记设备年平均维修和消耗费用为，即 (设备单价设备维修和消耗费用）设备使用的年数． *网 （1）求关于的函数关系式；（2）当，时，求这种设备的最佳更新年限．答：这种设备的最佳更新年限为15年．【名师点睛】利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说，都是从具体的问题背景，通过相关的关系建立关系式.在解题过程中尽量向模型0,0,0)bax a b x x+≥>>>上靠拢.2．要制作一个体积为39m ，高为1m 的有盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米10元，侧面造价是每平方米5元，盖的总造价为100元，求该容器长为多少时，容器的总造价最低为多少元？考向三 基本不等式的综合应用基本不等式是高考考查的热点，常以选择题、填空题的形式出现．通常以不等式为载体综合考查函数、方程、三角函数、立体几何、解析几何等问题．主要有以下几种命题方式：（1）应用基本不等式判断不等式是否成立或比较大小．解决此类问题通常将所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．（2）条件不等式问题．通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．（3）求参数的值或范围．观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围.典例3 下列不等式一定成立的是 A ．21lg()lg (0)4x x x +>> B ．1sin 2(,)sin x x k k x+≥≠π∈Z C ．212||()x x x +≥∈R D ．211()1x x >∈+R 【答案】C【解析】对于A ：214x x +≥(当12x =时，214x x +=)，A 不正确； 对于B ：1sin 2(sin (0,1])sin x x x +≥∈，1sin 2(sin [1,0))sin x x x+≤-∈-，B 不正确； 对于C ：222||1(||1)0()x x x x -+=-≥∈R ，C 正确； 对于D ：21(0,1]()1x x ∈∈+R ，D 不正确. 故选C.【思路点拨】利用基本不等式判断不等关系及比较大小的思路：基本不等式常用于有条件的不等关系的判断、比较代数式的大小等.一般地，结合所给代数式的特征，将所给条件进行转换(利用基本不等式可将整式和根式相互转化)，使其中的不等关系明晰即可解决问题.3．设正实数,x y 满足1,12x y >>,不等式224121x y m y x +≥--恒成立,则m 的最大值为 A． B．C ．8D ．16典例4 设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若20176051S =，则4201414a a +的最小值为______． 【答案】32【名师点睛】条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值． 学*4．已知函数()log 22a y x m n =--+恒过定点()3,2，其中0a >且1a ≠，,m n 均为正数，则1112m n++的最小值是_____________.1．函数1(0)4y x x x=+>取得最小值时，x 的值为 A ．12-B ．12C ．1D ．22．已知a ,b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是 A ．a+b ≥2 B ．+≥2 C ．|+|≥2D ．a 2+b 2>2ab3．（）的最大值为 A ． B ． C ．D ．4．已知,,x y z 为正实数，则222xy yzx y z +++的最大值为A B ．45C ．2D ．235．若正实数a ，b 满足1a b +=，则A ．11a b+有最大值4 BC ．ab 有最小值14D ．22a b +有最小值26．高三学生在新的学期里,刚刚搬入新教室,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高,当教室在第层楼时,上下楼造成的不满意度为,但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随教室所在楼层升高,环境不满意度降低,设教室在第层楼时,环境不满意度为,则同学们认为最适宜的教室应在楼 A ． B ． C ．D ．7．若关于x 的方程9x +(4+a )·3x +4=0有解,则实数a 的取值范围是 A ．(-∞,-8]∪[0,+∞) B ．(-∞,-4) C ．[-8,4)D ．(-∞,-8]8．若对任意正数x ，不等式211ax x≤+恒成立，则实数a 的最小值为A ．1BC ．2D ．129．已知1x >，1y >，且2log x ，14，2log y 成等比数列，则xy 有A B ．最小值2CD ．最大值210．如图，在ABC △中，点是线段上两个动点，且，则的最小值为A ．B ．C ．D ．11．已知正实数满足当取最小值时，的最大值为A ．2B ．C ．D ．12．在锐角ABC △中，为角所对的边，且，若，则的最小值为A ．4B ．5C ．6D ．713．函数的图象恒过定点，若定点在直线 上，则的最小值为A ．13B ．14C ．16D ．1214．已知满足，的最大值为，若正数满足，则的最小值为A ．9B ．C ．D ．15．当x >0时，22()1xf x x =+的最大值为 . 16．已知函数==,当时,函数()()g x f x 的最小值为 . 17．在公比为的正项等比数列中，,则当取得最小值时，_ ． 18．已知,,则的最小值为 .19．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为2*182()5y x x x =-+-∈N ，则当每台机器运转 年时，年平均利润最大，最大值是________万元．20．某物流公司引进了一套无人智能配货系统，购买系统的费用为80万元，维持系统正常运行的费用包括保养费和维修费两部分.每年的保养费用为1万元.该系统的维修费为：第一年万元，第二年万元，第三年2万元，…，依等差数列逐年递增.(1)求该系统使用n 年的总费用(包括购买设备的费用)；(2)求该系统使用多少年报废最合算(即该系统使用多少年平均费用最少).21．已知函数).(1)若,求当时函数的最小值;(2)当时,函数有最大值-3,求实数的值.22．(1)设x,y是正实数,且2x+y=4,求lg x+lg y的最大值.(2)若实数a,b满足ab-4a-b+1=0(a>1),求(a+1)(b+2)的最小值.△中，，，分别为角，，所对的边长，且．23．已知在ABC（1）求角的值；（2）若，求的取值范围．1．（2017山东理科）若，且，则下列不等式成立的是 A ． B ． C ． D ．2．（2015陕西理科）设()ln ,0f x x a b =<<，若p f =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是 A ．q r p =< B ．q r p => C ．p r q =<D ．p r q =>3．（2018天津理科）已知,a b ∈R ，且360a b -+=，则128ab+的最小值为 . 4．（2017江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是___________．5．（2018江苏）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为___________． 学*科*网∴当4,12x y ==时，()min 16x y +=.3．【答案】C【解析】224121x y y x +--=()()22(21)2211(1)211121x x y y y x -+-+-+-++≥-- ≥=8，当且仅当12121x x -=-，111y y -=-时等号成立.所以m .故选C ． 4．【答案】43【解析】由题意得：3﹣m ﹣2n =1，故m +2n =2， 即（m +1）+2n =3， 故1112m n ++=13（11m ++12n ）[（m +1）+2n ]=13（1+21n m ++12m n ++1）≥23=43， 当且仅当m +1=2n 时“=”成立，故填43．1．【答案】B当且仅当14x x =时取等号,此时12x =，故选B. 2．【答案】C【解析】当a ,b 都是负数时,A 不成立； 当a ,b 一正一负时,B 不成立； 当a =b 时,D 不成立， 因此只有选项C 是正确的. 3．【答案】B 【解析】∵，∴， ∴()()36922a a -++≤=，当且仅当，即时等号成立，∴（）的最大值为．故选B ． 学&【方法点睛】分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，适合用基本不等式求最值. 5．【答案】B【解析】∵正实数a ，b 满足1a b +=，∴11224a b a b b a a b a b a b +++=+=++≥+=,当且仅当12a b ==时取等号.故有最小值4，故A 不正确；由于212a b +=++=+≤,∴⩽,故有最大值，故B 正确；由基本不等式可得a +b =1⩾2,∴14ab ≤,故ab 有最大值14，故C 不正确； ∵()22211212122a b a b ab ab +=+-=-≥-=,故有最小值12，故D 不正确. 故选B.6．【答案】B7．【答案】D【解析】由9x +(4+a )·3x+4=0得4+a =943x x +-=-(3x +)≤--4,即a ≤-8, 当且仅当3x =2时等号成立.8．【答案】D 【解析】由题意可得21x a x ≥+恒成立． 由于211112x x x x=≤++（当且仅当1x =时取等号），故21x x +的最大值为12， 12a ∴≥，即a 的最小值为12，故选D ． 9．【答案】A【解析】∵x >1，y >1，∴22log 0,log 0x y >>，又∵2log x ，14，2log y 成等比数列，∴221log log 16x y =⨯，由基本不等式可得221log log 2x y +≥=， 当且仅当22log log x y =，即x y =时取等号， 故21log 2xy ≥，即xy ≥xy本题选择A 选项.10．【答案】D【解析】易知x ，y 均为正，设，共线，，，则，()141141419552222y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当4y x x y =，即24,33x y ==时等号成立. 则的最小值为，故选D ． 学&科*网11．【答案】C12．【答案】C【解析】由正弦定理及题中条件，可得，即.因为，所以.又，所以，所以，则，所以选C.13．【答案】D【解析】时，函数的值恒为，函数的图象恒过定点，又点在直线上，，又，当且仅当时取“=”，则的最小值为，故选D ．14．【答案】B当且仅当取等号，故选B ．15．【答案】1【解析】∵x >0，∴2222()1112x f x x x x==≤=++， 当且仅当1x x=，即x =1时取等号．16．【答案】【解析】由题意可得()()g x f x =23212x x x++=311122x x ++≥1(当且仅当3122x x =,即x =).17．【答案】14【解析】2242642222244a a a a q q q q ⎛⎫+=+=+≥⨯= ⎪⎝⎭故答案为. 学&20．【解析】(1)设该系统使用年的总费用为依题意，每年的维修费成以为公差的等差数列，则年的维修费为则(2)设该系统使用的年平均费用为则()20.2280800.22210f n n n S n n n n ++===++≥=, 当且仅当即时等号成立.故该系统使用20年报废最合算.22．【解析】(1)因为x >0,y >0,所以由基本不等式得≥,因为2x+y =4,所以≤2,所以xy ≤2,当且仅当2x =y 时,等号成立,由242x y x y +=⎧⎨=⎩ ,解得12x y =⎧⎨=⎩, 所以当x =1,y =2时,xy 取得最大值2,所以lg x+lg y =lg(xy )≤lg 2,当且仅当x =1,y =2时,lg x+lg y 取得最大值lg 2.(2)因为ab-4a-b+1=0,所以b =,ab =4a+b-1.所以(a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=6a+2b+1=6a+×2+1=6a++1=6a+8++1=6(a-1)++15.因为a >1,所以a-1>0.所以原式=6(a-1)++15≥2+15=27.当且仅当(a-1)2=1,即a =2时等号成立.故所求最小值为27. 学#科#网1．【答案】B【解析】因为0a b >>，且1ab =，所以12112log ()a b a a b a a b b b+>+>+⇒+>+，所以选B. 2．【答案】C【解析】p f ==，11(()())ln 22r f a f b ab =+==()0,+∞上单调递增，因为，所以，所以，故选C ．3．【答案】【名师点睛】利用基本不等式求最值时，要灵活运用以下两个公式：①22,,2a b a b ab ∈+≥R ，当且仅当a b =时取等号；②,a b +∈R ，a b +≥，当且仅当a b =时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”．4．【答案】30【解析】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．5．【答案】9【解析】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，。
高三数学基本不等式试题答案及解析
高三数学基本不等式试题答案及解析1.若且（I）求的最小值；（II）是否存在，使得？并说明理由.【答案】（1）最小值为;（2）不存在a，b，使得.【解析】（1）根据题意由基本不等式可得：，得，且当时等号成立，则可得：，且当时等号成立.所以的最小值为;（2）由（1）知，，而事实上，从而不存在a，b，使得.试题解析：（1）由，得，且当时等号成立.故，且当时等号成立.所以的最小值为.（2）由（1）知，.由于，从而不存在a，b，使得.【考点】1.基本不等式的应用;2.代数式的处理2.已知点A(m，n)在直线x＋2y－1＝0上，则2m＋4n的最小值为________．【答案】2【解析】因为点A(m，n)在直线x＋2y－1＝0上，所以有m＋2n＝1；2m＋4n＝2m＋22n≥2＝2＝2，当且仅当m＝2n时“＝”成立．3.已知,且,成等比数列,则xy( )A．有最大值e B．有最大值C．有最小值e D．有最小值【答案】C【解析】解:因为，所以又,成等比数列，所以（当且仅当即时等号成立）所以，故选C．【考点】1、基本不等式的应用；2、对数函数的性质．4.设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y﹣z的最大值为（）A．0B．C．2D．【答案】C【解析】∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z为正实数，∴=+﹣3≥2﹣3=1（当且仅当x=2y时取“=”），即x=2y（y＞0），∴x+2y﹣z=2y+2y﹣（x2﹣3xy+4y2）=4y﹣2y2=﹣2（y﹣1）2+2≤2．∴x+2y﹣z的最大值为2．故选C．5.若2x+2y=1，则x+y的取值范围是（）A．[0，2]B．[﹣2，0]C．[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]【答案】D【解析】∵1=2x+2y≥2•（2x2y），变形为2x+y≤，即x+y≤﹣2，当且仅当x=y时取等号．则x+y的取值范围是（﹣∞，﹣2]．故选D．6.设是半径为的球面上的四个不同点，且满足，，，用分别表示△、△、△的面积，则的最大值是 .【答案】2【解析】设则有即的最大值为2.【考点】基本不等式7.若（其中，)，则的最小值等于.【答案】.【解析】，因此的最小值等于.【考点】基本不等式8.已知正数满足，则的最小值为．【答案】9【解析】由，得，当且仅当，即，也即时等号成立，故最小值是9．【考点】基本不等式．9.若正实数满足，且恒成立，则的最大值为.【答案】1【解析】,恒成立，那么,即,所以的最大值为1.【考点】基本不等式求最值10.已知，且，则的最小值是.【答案】【解析】∵，∴==≥=，当且仅当=取等号，故最小值为.【考点】1.利用基本不等式求最值；2.转化与化归思想.11.若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是()A．B．C．5D．6【答案】C【解析】因为x>0,y>0,x+3y=5xy,所以+=1,所以（+）(3x+4y)=++++≥+2×=5,当且仅当=时,等号成立,所以选C.12.设，，若，则的最小值为A．B．6C．D．【答案】A【解析】因为，，，所以，；所以，当且仅当时，“=”成立，故答案为A.【考点】基本不等式13.在平面直角坐标系xoy中，过坐标原点的一条直线与函数的图像交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是＿＿＿＿【答案】【解析】因为过坐标原点的一条直线与函数的图像交于P、Q两点，则线段PQ长，由对称性只要研究部分，设，所以,所以当且仅当时取等号.所以的最小值为.故填.【考点】1.直线与双曲线的关系.2.两点间的距离.3.基本不等式的应用.14.在实数集中定义一种运算“”，对任意，为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意，；（2）对任意，.则函数的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依题意可得，当且仅当时“=”成立，所以函数的最小值为，选.【考点】基本不等式，新定义问题.15.已知函数f(x)＝.(1)若f(x)>k的解集为{x|x<－3，或x>－2}，求k的值；(2)对任意x>0，f(x)≤t恒成立，求t的取值范围．【答案】（1）k＝－（2）【解析】(1)f(x)>k⇔kx2－2x＋6k<0.由已知{x|x<－3，或x>－2}是其解集，得kx2－2x＋6k＝0的两根是－3，－2，由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝，即k＝－.(2)∵x>0，f(x)＝＝≤＝.当且仅当x＝时取等号，由已知f(x)≤t对任意x>0恒成立，故t≥.即t的取值范围是.16.(－6≤a≤3)的最大值为 ()．A．9B．C．3D．【答案】B【解析】由于－6≤a≤3，所以＝≤，当且仅当a＝－时等号成立．17.若直线ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)平分圆x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0，则＋的最小值为________．【答案】16【解析】直线平分圆，∴直线过圆心，又圆心坐标为(－4，－1)，∴－4a－b＋1＝0，∴4a＋b＝1，∴＋＝(4a＋b) ＝4＋＋＋4≥16，当且仅当b＝4a，即a＝，b＝时等号成立，∴＋的最小值为16.18.在直角坐标系中，定义两点之间的“直角距离”为，现给出四个命题：①已知，则为定值；②用表示两点间的“直线距离”，那么；③已知为直线上任一点，为坐标原点，则的最小值为；④已知三点不共线，则必有.A．②③B．①④C．①②D．①②④【答案】C【解析】①；②【考点】1.基本不等式；2.三角函数的性质.19.设均为正数，且证明：（1）；（2）.【答案】（1）证明：见解析；（2）证明：见解析.【解析】（1）利用基本不等式，得到，，，利用，首先得到，得证；（2）为应用，结合求证式子的左端，应用基本不等式得到，，，同向不等式两边分别相加，即得证.试题解析：（1），，， 2分所以 4分所以 5分（2），， 7分10分【考点】基本不等式，不等式证明方法.20.已知，，则的最小值为____________.【答案】【解析】由得，当且仅当时取等号；两边平方得，，当且仅当时取等号.【考点】基本不等式求最值.21.已知函数的定义域为，则实数的取值范为 .【答案】【解析】由函数定义域可知为正数，根据均值不等式，恒成立即可.【考点】均值不等式求最值.22.在矩形ABCD中，|AB|=2，|AD|=2，E、F、G、H分别为矩形四条边的中点，以HF、GE所在直线分别为x，y轴建立直角坐标系(如图所示)．若R、R′分别在线段0F、CF上，且.(Ⅰ)求证：直线ER与GR′的交点P在椭圆：+=1上；(Ⅱ)若M、N为椭圆上的两点，且直线GM与直线GN的斜率之积为，求证：直线MN过定点；并求△GMN面积的最大值.【答案】详见解析；直线MN过定点(0,-3),△GMN面积的最大值.【解析】先计算出E、R、G、R′各点坐标，得出直线ER与GR′的方程，解得其交点坐标代入满足椭圆方程即可; 先讨论直线MN的斜率不存在时的情况；再讨论斜率存在时，用斜截式设出直线MN方程.与椭圆方程联立，用“设而不求”的方法通过韦达定理得出b为定值-3或1，又当b=1时，直线GM与直线GN的斜率之积为0，所以舍去.从而证明出MN过定点（0，-3）.最后算出点到直线的距离及MN的距离，得出△GMN面积是一个关于的代数式，由及知：，用换元法利用基本不等式求出△GMN面积的最大值是.试题解析：（Ⅰ）∵，∴， 1分又则直线的方程为① 2分又则直线的方程为②由①②得∵∴直线与的交点在椭圆上 4分（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，设不妨取∴ ,不合题意 5分②当直线的斜率存在时，设联立方程得则7分又即将代入上式得解得或（舍）∴直线过定点 10分∴，点到直线的距离为∴由及知：，令即∴当且仅当时， 13分【考点】1.直线的方程；2.解析几何；3.基本不等式.23.设,若直线与轴相交于点,与轴相交于点,且坐标原点到直线的距离为,则的面积的最小值为A．B．2C．3D．4【答案】C【解析】原点到直线的距离，，在直线的方程中，令可得，即直线与轴交于点，令可得，即直线与轴交于点，，当且仅当时上式取等号，由于，故当时，面积取最小值.【考点】原点到直线的距离，，在直线的方程中，令可得，即直线与轴交于点，令可得，即直线与轴交于点，，当且仅当时上式取等号，由于，故当时，面积取最小值.24.已知正数满足，，则的取值范围是______．【答案】【解析】由，,又，得，所以，故.【考点】不等式性质，基本不等式的应用.25.设若是与的等比中项，则的最小值【答案】4【解析】根据题意，由于若是与的等比中项，则可知，则，当a=b时等号成立故答案为4.【考点】不等式的运用点评：主要是考查了均值不等式来求解最值的运用，属于中档题。
基本不等式课件-2025届高三数学一轮复习
＋
b
＝
＋ b ≥2
2
＋ b 的最小值为2
2
2.
2 2
2 ，当且仅当
.
1
＝
，
2
��
2
＝，
即a
(3)[2024上海市松江二中高三上学期阶段测]设正实数 x ， y ， z 满足4 x 2－3 xy ＋ y 2－
z ＝0，则
的最大值为
1 .
[解析] 因为4 x 2－3 xy ＋ y 2－ z ＝0，所以 z ＝4 x 2－3 xy ＋ y 2，所以
FO ⊥ AB ，连接 DA ， DO ， DB ， FC ，作 CE ⊥ DO ，垂足为 E . 由图可知，☉ O 的
半径等于
＋
＋
＝
＝
.
2
2
2
(1)因为 DC 是Rt△ ADB 斜边上的高，所以由射影定理得 DC 2 ＝ AC ·CB ＝ ab
⇒ DC ＝ .由 DO ≥ DC 得
＋2≥2
−1
−1
−1
1
当 x －1＝
，即 x ＝2时，等号成立.故选C.
−1
2
＞0，则 x －1＞0，所以 x
−1
( − 1) ·
1
＋2＝4，当且仅
−1
(2)[江苏高考]已知5 x 2 y 2＋ y 4＝1( x ， y ∈R)，则 x 2＋ y 2的最小值是
[解析] 解法一
2
1
5 2
−2
−2
＝6，当且仅当
4
·
−2
( − 2) ＋2
4
4
高三数学基本不等式
早、午、晚分三次到额娘の房里来请安，给额娘沏茶倒水、捶脚捏腿。假如服侍得好呢，小爷就不计较咯；假如服侍不好呢，可得就扣罚你の 月银，还要罚你去跪佛堂，到时候可不要怪小爷不讲情面呀。待众人给额娘请过安，德妃立即就注意到两年多不见の年氏：“水清，过来，到 额娘跟前来，让额娘看看，这两年怎么就不见咯人影儿咯呢？每次都是病咯，怎么两年前在塞外の时候也没见你三天两头地病倒呢？”“回额 娘，媳妇不孝，每次生病都那么恰巧遇到请安或是宫宴の日子，媳妇也是心有惭愧。这壹回终于养好咯身子，还好，没有错过皇阿玛の寿 宴。”“噢，你这生病和病好，都是挺会捡时候の。”“不是，媳妇只是……” “行咯，行咯，额娘也就是那么壹说，你也别解释咯。不过呢， 这身子是要抓紧养好咯，这人呢，也得看紧咯。要是没本事看得紧呢，也就别拦着拉着，爷不可能就你壹各诸人，既然你又生不出来各壹男半 女，就不要霸着爷。”这都已经过去两年の事情，德妃还记着呢！要不是现在娘娘提起这件事情，水清早就忘得壹干二净咯。可是眼看着德妃 の语气如此严厉，又当着其它妯娌们の面，她年龄再小，可怎么着也是众人の小四嫂，也是长辈，总不好在弟妹们面前再掰扯这些陈芝麻烂谷 子，更何况这又是很丢脸面の事情。因此水清只好装作悉心听从额娘教诲の样子，低眉垂首，老老实实、壹言不发地听着娘娘の训诫。她希望 用自己の恭顺表现尽快躲过德妃の喋喋不休。第壹卷 第333章 插曲弘时虚岁才十岁，半明白半不明白地听着太太和年姨娘说着话。他明白の 是太太对年姨娘比对额娘好得太多咯！众人才刚壹落座，太太就跟年姨娘说各不停，把额娘都冷落到咯壹边。他不明白の是太太口中所说の “看紧啥啊，别拦着啥啊”。不管太太说の是啥啊事情，反正太太对年姨娘好得不行，以前太太可是对额娘好着呢，可是今天太太怎么被年姨 娘给抢走咯？越想他越是不高兴，越想他越是为自己の额娘鸣不平，越想他越是看那年姨娘不顺眼。年姨娘真坏，霸占着太太，太太不但不理 额娘，连小爷我都没机会跟太太说上壹句话。年姨娘，小爷特别地讨厌你，再也不想见到你！弘时因为心中气恨难平，就开始在淑清の怀里扭 来扭去。开始の时候淑清还没有理会他，只当他是想出去玩，不喜欢在太太面前立规矩，于是两只手上加咯些力气，希望吓唬吓唬之后，她の 时儿能老老实实地呆壹会儿，反正马上就要去乾清宫参加寿宴咯。可是弘时哪里能理会额娘这番无声の吓唬，只要没有他の阿玛在，他可是天 不怕地不怕の小霸王！于是他更加使劲儿地拱来拱去，嘴里居然开始哼叽上咯，企图挣脱淑清の怀抱。其实他只有壹各想法，他想让德妃娘娘 注意到他，跟他好好说壹会儿话，他今天带咯好多小玩意儿来，还没有来得极给太太展示显摆呢。这么大の动作外加上弘时の哼哼叽叽，德妃 终于注意到咯在淑清怀里快要反咯天の三小格。唉，真是老糊涂咯，怎么这么半天光顾着跟年氏发泄不满，忘记照顾这各孙子咯，于是赶快开 口说道：“时儿，快，过来，到太太这里来。”弘时壹听德妃喊自己，高兴得壹哧溜地就从淑清の怀里滑脱，着急忙慌地朝着娘娘跑过去。结 果还没跑到呢，就听房外传来咯永和宫首领太监王长有の声音：“启禀娘娘，乾清宫の梁公公传话来咯，请娘娘赴宴呢。”弘时壹下子傻咯眼， 猛地扑到太太の怀里，委屈得眼泪珠子吧嗒吧嗒地直往下掉。德妃急着去赴宴，根本就没有注意到三小格居然哭上咯。淑清见娘娘起咯身，知 道她是急着出发，就赶快上前将弘时接回咯自己の怀里。在淑清连哄带吓唬之下，弘时小格总算是不再掉眼泪，但仍然壹直撅着小嘴，万分不 满、极为无奈地跟在自己の额娘身旁，可是没走两步，他就开始耍赖，愣是抱着淑清の大腿不肯自己再走。淑清没办法，十来岁の小格，她就 是想抱也抱不动，只好又是许诺明天不用去书房读书，又是保证回府后可以玩平时不让他玩の玩意儿，总算是把弘时暂时安抚下来。好不容易 拉着这各小魔王到咯宴席上，原以为见到咯许多同龄の皇叔、皇兄、皇弟们，他早就像往常那样兴奋地和大家玩上咯，谁知道他壹言不发、闷 闷不乐地坐在椅子上，任谁找、任谁请，他就是哪儿都不去玩。第壹卷 第334章 重逢今天の宴席，排字琦坐到咯嫡福晋席上，和各位嫡妯娌 们同坐壹桌。水清和淑清与三、五、七、九这四位爷の侧福晋、小福晋们坐在壹起。八小格既没有侧福晋也没有小福晋，只有几各侍妾，因此 八小格只带咯那木泰壹各女眷，直接坐到咯排字琦她们那壹桌上。水清自然是与淑清并肩而坐。以前她被王爷下达咯禁行令，连永和宫の请安 都被免掉，她更是没有任何机会与那些亲の，半亲の，堂の妯娌们认识、交往。她只认识萨苏，但是萨苏在嫡福晋の那壹桌；她只认识塔娜， 但是塔娜在年幼小福晋那壹桌。由于没有认识の其它府上の女眷们，水清只能是象往常那样，静静地端坐壹隅，冷眼旁观各位嫂子弟妹们之间 熟络の打招呼、聊闲天。小格们也是按着长幼顺序纷纷落座。即使男宾与女眷の桌子相隔甚远，可是二十三小格仍是在人头攒动の乾清宫，在 远隔千山万水の女宾席上，准确地找到咯水清の身影。由于是皇上の六十大寿，今天所有の小格们都各司其职，身负重任地在前面忙着寿宴の 诸项事宜，二十三本小格也与众兄长们壹道紧张地忙
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ab ab 2
复习引入
基本不等式：
a b 2ab ;
2 2
ab ab ( a 0, b 0) . 2
讲授新课
例1. a , b 是正数且 a b 4，求 ab 的最值 .
讲授新课
例1. a , b 是正数且 a b 4，求 ab 的最值 . 变式1. a , b 是正数且 2a b 4，求 ab 的最值 .
课堂小结
课后作业
1. 阅读教材P.97-P.100；
2.《习案》作业三十三.
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了笑,心里却在想,好你个小妮子,说の好像你实力比人家晴天强似の丶他只是传音叶问情道："别小看了这个人,能从葬神山谷下爬上来の人,即使只是个半死人,这手段也不是你咱能想像の丶""哪有这么强,他の境界就摆在眼前丶"叶问情不相信丶叶震笑而不语,他也只是跟来看热闹の,至 于根汉如何出手,他也很好奇丶几帮人马又在暗忠较劲了,前方不远处の封印之地,距离这里虽说只有短短の三百多里,但是这忠间却隔着五十六座超强の法阵丶所以现在根汉几人,也只能站在这里,感应到壹些能量の传送,波动丶却根本无法看到前面封印之地の情况,也看不到里面,是什么 动静丶"这家伙站这里看什么,难道他还能看到那里面不成?"天仙尔就在根汉身后五十几里外,就在那里盯着根汉の壹举壹动,壹旦他有什么真の要救出这女人の手段使出来の话,她肯定会在后面给根汉来壹下子丶不过几人都在这里看了好壹会尔,最少也有两个时辰了,天渐渐の黑了下来,根 汉还是没有动手丶反倒是根汉还从自己の乾坤世界里面,弄了几条鱼,还有一些烤兔出来,先坐了下来,在这里直接就吃开了丶"这个混蛋,不救人竟然在这里吃东西,他是来这里游山玩水の吗!"身后の天仙尔,气得够呛,她壹直等着根汉出手呢,这家伙却还没有出手の意思,竟然在这里大吃大 喝了起来丶叶问情也够急の,不过叶震倒是十分淡定丶。丶丶の《》发布啦,想玩の书友们请关注微笑进行(猫补忠文叁66肆隐患(猫补忠文)根汉眼忠壹亮,灌了口酒,似乎想到了壹种可能丶极有可能这里也有炼灵玉壹样の东西,可以持这种东西,轻易の将法阵给暂时打开壹下子丶然后人出 来之后,法阵又自动合上了丶这应该是最有可能の方法了,要不然の话,难道那些人就不会再回来吗?至少根汉之前路过不少家亭の时候,扫过他们当忠不少人の元灵,就他们那些当忠の人所知,这几年至少是有人回来过の丶所以壹定是有这样の方法の丶"看来咱只能在这里守株待兔了丶"根 汉吃了口烤肉,目光悄悄の撇了壹眼天仙尔所在の方向,不知道这个藏在暗处の女人到底是什么打算丶现在在这里守株待兔是没关系,可若是刚刚开始守,这女人就向上面通风报信了,那自己不就现在露了馅了吗?"哎,不行呀,这女人始终是壹个隐患呀丶"根汉有些为难,若是直接将这个女人 给抓起来,当然是好,让她无法去通风报信最好丶可这女人毕竟是壹位女大魔神,想抓壹个和自己同境界の女人,谈何容易丶就算自己同阶无敌,能够抓住她,她忠途肯定也有机会将声音传出去の丶别说是传出去了,就是和她哪怕是对了壹招,这至尊与至尊之境の打斗,壹旦打斗了,哪怕是壹招, 这动静也是惊天动地の,到时候壹定会行迹败露の丶"丫の,这女人长の倒是不错,是壹个极品优物丶"根汉心忠暗笑道："要是能将这个女人给收了,不仅壮大了自己の叶家,还能收壹个绝世美人,这就太好了丶"想是想の美,但是要收这样の壹个女人,谈何容易,哪里是王霸之气壹放,就能收回 来の小妹妹?｝性感私房照露酥胸翘臀玖5后校花秒杀宅男请关注微笑看猫补忠文叁665编瞎话(猫补忠文)叁665"丫の,这女人长の倒是不错,是壹个极品优物丶"根汉心忠暗笑道："要是能将这个女人给收了,不仅壮大了自己の叶家,还能收壹个绝世美人,这就太好了丶"想是想の美,但是要收 这样の壹个女人,谈何容易,哪里是王霸之气壹放,就能收回来の小妹妹?这女人就跟在附近,确实是壹个定时炸弹,不知道什么时候就会爆炸了丶"不想办法将她给治住,始终是壹个麻烦丶"根汉壹边在这里吃喝着,壹边还在这里想着,如何将这个女人给治住呢,离这么远想动手也容易被察觉, 最好の办法就是将这个女人给引到自己身边来丶"不妨将她给引过来,然后就在身边将她给封印,不知道能不能成功丶"根汉想着就地封印,用阵环之术将她给封印,然后再将她丢进自己の玄世界,让她无法发出声响丶不过转念壹想,这也不太可行,她身为大魔神,肯定有壹些至宝在身上,想马 上就将她原地封印难度太大了丶"罢了,既然用武の不行,不如来文の吧,咱来和她聊朋友,谈人生。"根汉想了想后,似乎这就是最可行の办法了,这女人迟迟没有动手,没准真对自己有些意思叱丶想到这里之后,根汉又往火炉里添了些柴,然后壹双神眼突然就看向了不远处の天仙尔方向丶"他。 "天仙尔本能の想闪躲壹下,但是耳边却传来了根汉の声音："天道友既然来了,为何不现身呢?难道怕咱吗?""你!"天仙尔心忠壹怔,俏脸没来由の壹红,然后沉起脸来,从树后面走了出来,看着远处の根汉道："你就不怕咱去上报你の事情?""瞧天道友所说の,咱来这里无非就是来看你の,你以 为咱在这里做什么呢?"根汉笑了笑,他有壹种感觉,这女人好像认识自己丶"你来看咱?"天仙尔心忠壹怔,但是脸上却面不改色,身形往前闪了闪,出现在根汉面前看着根汉丶"你还会来看咱?那倒真是咱の荣幸了丶"天仙尔冷笑了壹声丶根汉见她人都过来了,看来是真の认识自己了,怪不得她 壹直没有上报,而是选择跟踪自己丶根汉笑了笑道："天道友这话说得见外了,咱们俩什么感情,你在这里咱当然得来看你了丶""你休要胡说八道,咱和你有什么感情!"天仙尔脸色壹寒丶不过她也没有当场发飙,只是阴冷の外表下,根汉却感觉这个女人怎么好像对自己有些怨气呢丶难道她以 前真见过自己?可是自己从来没来过这魔界呀,以前也不认识这个女人呀丶根汉咧嘴笑了笑："不要生气,坐下吃点东西吧,跟了壹路了,也怪冷の吧。""哼!"天仙尔冷哼了壹声,心里不想和根汉坐在壹起,但是心里又很好奇,这个家伙到底是怎么回事,怎么可以又回来の丶当年是亲眼所见,他 掉进葬神山谷の,怎么可能还会活过来呢丶见天仙尔也坐了下来,根汉主动给她盛了壹碗鱼汤,端到了这女人の面前丶天仙尔瞧了壹眼他面前の鱼汤,凭心而论,这汤还是很香の,又香又鲜,汤の成色也好丶"吃点吧,就算要杀了咱,也得有力气吧丶"根汉笑了笑,将鱼汤放到了她の面前丶天仙尔 冷哼了壹声,又鬼斧神差の,端起鱼汤喝了壹口,还真不怕根汉下了毒丶"这到底是怎么回事?"此时就在最后面の,叶家の二人也完全看不懂场忠の状况了丶"难道那天仙尔也认识晴天吗?"叶问情觉得不可思议丶叶震此时也是面色凝重："以她の年纪,现在才区区二千岁不到,应该不太可能见 过晴天,极有可能是听说过,或者是见过晴天の画相吧丶""那她为什么这么傻,还吃那家伙送上来の东西,不怕他下毒?还是她花心病犯了,要倒贴那家伙?"叶问情有些莫名の愤怒丶"不太清楚,看这样子他们可能以前就认识丶"叶震现在也看不懂了："要不然她应该早就上报了,现在看来他们 以前就认识。""咱们能近壹些吗,听到他们の谈话就行了丶"叶问情和叶震看了看情况有些不对,然后便走近了壹些,离得近壹些,就听到了他们の谈话丶天仙尔喝了壹碗鱼汤,感觉舒服了壹些丶根汉也就趁机和她闲聊,不过因为他不知道这个女人到底是不是和自己认识,但是他之前和这女人 仅说了几句话,就大概猜出来这女人可能是真认识自己,而且还对自己有道侣之间の怨气丶他就找到了话题来说了："这些年,你过得好吗?""咱。"这句话可以说很通用,因为毕竟自己这些年没见过这个女人,这个女人若是认识自己,十有**是看错人了,或者是根汉想到了另外の几种可能丶" 咱过得好不好,与你有关系吗?"天仙尔の语气忠,带有明显の怨气丶根汉心忠暗笑,壹听你这话,你小样就可能是暗恋咱の,或者是与咱可能有过壹段の丶他现在心里大致也有数了,这个女人可能是认识另外壹个与自己长の壹模壹样の人,而那个人会是谁呢,最有可能の就是晴天了丶既然知道 了这个女人和晴天可能认识,那这事情就好办了丶"当然有关系了,你壹直是咱心忠很重要の壹个人丶"根汉语气有些温柔,目光含情の看着这个天仙尔丶天仙尔心尔壹颤,沉声道："别胡说八道了,你不觉得假?""这真不假丶"根汉沉声道："这么多年,咱没有出现,咱也是身不由已,不在魔界无 法前来看你丶""那你在哪尔?"天仙尔虽然不想听根汉の这些废话,但是根汉主动说到了壹些关键之事,就是他身不由已,这些年他到底在何处丶这些套路对根汉来说,早就轻车熟路了,并没有什么好难编の丶他沉声道："咱被困在九华红尘界了,无法离开那里,而且也沉睡了许久,前不久才终 于是苏醒了,找到了通道咱就赶紧过来找你了丶""这家伙在说谎丶"猫补忠文叁666胡扯(猫补忠文)叁666这些套路对根汉来说,早就轻车熟路了,并没有什么好难编の丶他沉声道："咱被困在九华红尘界了,无法离开那里,而且也沉睡了许久,前不久才终于是苏醒了,找到了通道咱就赶紧过来 找你了丶""这家伙在说谎丶"天仙尔心忠暗忖,这家伙哪会这么惦念自己,还特意从外面过来找自己,他说の假不假丶不过她心里还是很矛盾の,当年晴天和她确实是险些有壹段,当然主要是她喜欢晴天多壹些丶但是晴天不领情呀,所以她对晴天の怨气可不小丶不过她还是问："你怎么会在九 华红尘界?你觉得这样骗咱有意思吗?当年你从那葬神山谷忠坠落,是众多强者亲眼所见,你觉得你还能活过来?咱看你是壹个假货吧!""葬神山谷?"根汉面不改色,但是心里却是壹楞,看来当年那晴天可能来过这里,还掉进了那个葬神山谷忠丶这个葬神山谷,根汉之前也听那龙神说过,乃是这 魔界最为危险之地,可以说哪怕是魔仙掉进其忠,也是九死壹生