高三数学 教案 基本不等式中常用公式
高三数学 教案 基本不等式中常用公式及三大定理
基本不等式中常用公式
①√((a²+b²)/2)≥(a+b)/2≥√ab≥2/(1/a+1/b)
②√(ab)≤(a+b)/2
③a²+b²≥2a b
④ab≤(a+b)²/4
⑤||a|-|b| |≤|a+b|≤|a|+|b|
基本不等式三大定理
•基本不等式有两种：基本不等式和推广的基本不等式（均值不等式）基本不等式是主要应用于求某些函数的最大（小）值及证明的不等式。
其表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。
（1）基本不等式
两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。
向左转|向右转
向左转|向右转
（2）推广的基本不等式（均值不等式）
向左转|向右转
时不等式两边相等。
•不等式运用示例
某学校为了美化校园,要建造一个底面为正方形,体积为32的柱形露天喷水池,问怎样才能使得用来砌喷水池底部和四壁的镶面材料花费最少?
答：设底面正方形边长为x，则水池高为
32/x^2y=x^2+4x*32/x^2=x^2+128/x=x^2+64/x+64/x≥
3(1*64*64)^(1/3)=48所以当x^2=64/x,x=4时花费最少。
上面解法使用了均值不等式
向左转|向右转
时不等式两边相等。
基本不等式公式大全
基本不等式公式大全基本不等式是初中数学中的重要内容，也是数学学习中的基础知识。
它们在解决实际问题和证明数学定理中起着重要的作用。
下面我们来系统地总结一下基本不等式的公式大全。
1. 一元一次不等式。
一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次不等式。
其一般形式为ax+b>0（或<0），其中a≠0。
解一元一次不等式的关键是确定未知数的取值范围，然后根据不等式的性质进行求解。
2. 一元二次不等式。
一元二次不等式是指含有一个未知数的二次不等式。
其一般形式为ax^2+bx+c>0（或<0），其中a≠0。
解一元二次不等式的方法可以借助于一元二次方程的求解方法，通过判别式和一元二次函数的图像来确定不等式的解集。
3. 绝对值不等式。
绝对值不等式是含有绝对值符号的不等式。
其一般形式为|ax+b|>c（或< c），其中a≠0。
解绝对值不等式的关键是根据绝对值的性质来确定不等式的解集，需要分情况讨论绝对值的取值范围。
4. 分式不等式。
分式不等式是含有分式的不等式。
其一般形式为f(x)/g(x)>0（或<0），其中f(x)和g(x)是关于x的多项式函数。
解分式不等式的方法是确定分式的定义域，并根据分式的正负性来确定不等式的解集。
5. 复合不等式。
复合不等式是由多个不等式组合而成的不等式。
其一般形式为A∩B>0（或<0），其中A和B是简单不等式。
解复合不等式的关键是将复合不等式分解成简单不等式，并根据简单不等式的性质来确定复合不等式的解集。
6. 不等式的证明。
不等式的证明是数学证明中的重要内容，常用的方法有数学归纳法、反证法、换元法等。
在进行不等式的证明时，需要灵活运用不等式的性质和数学定理，严谨地推导出结论。
综上所述，基本不等式是数学学习中的重要内容，掌握好基本不等式的公式和解题方法对于提高数学水平和解决实际问题具有重要意义。
希望本文的内容能够帮助大家更好地理解和掌握基本不等式的知识，提高数学学习的效果。
数学不等式基本公式高中
数学不等式基本公式高中高中数学中的不等式基本公式，那可是相当重要的知识板块呀！不等式这玩意儿，就像是数学世界里的天平，得让两边保持平衡或者不平衡的合理状态。
咱先来说说常见的基本不等式公式，比如均值不等式。
对于正数 a 和 b ，有算术平均数大于等于几何平均数，也就是 (a + b) / 2 ≥ √(ab) 。
这个公式看起来简单，用处可大着呢！给大家举个例子吧。
记得有一次，学校组织数学竞赛，有一道题是这样的：小明要围一个矩形的花园，花园的周长是 20 米，问花园面积最大能是多少？这时候均值不等式就派上用场啦。
设矩形的长为 a ，宽为 b ，则 2(a + b) = 20 ，也就是 a + b = 10 。
根据均值不等式，(a + b) / 2 ≥ √(ab) ，所以10 / 2 ≥ √(ab) ，也就是5 ≥ √(ab) ，两边平方得到25 ≥ ab ，所以 ab 的最大值就是 25 ，这就是花园面积的最大值。
当时很多同学都没有想到用这个公式，绞尽脑汁也没算出答案，而我因为熟练掌握了这个不等式，轻松就解出来了，那感觉可太棒啦！还有一个重要的不等式，就是柯西不等式。
对于两组实数 a1, a2,..., an 和 b1, b2,..., bn ，有(a1² + a2² +... + an²)(b1² + b2² +... + bn²) ≥ (a1b1 +a2b2 +... + anbn)²。
这个不等式在解决一些复杂的最值问题和证明题时，威力巨大。
比如说，有这么一道题：已知 a 、b 、c 为正实数，且 a + b + c = 1 ，求证：(1 / a - 1)(1 / b - 1)(1 / c - 1) ≥ 8 。
这道题看起来就很让人头疼，但是用柯西不等式就能巧妙解决。
不等式的应用那是无处不在，不仅仅是在数学题目中，在生活里也能找到它们的影子。
高中不等式公式大全
高中不等式公式大全一、基本概念。
1. 不等式的定义，对于两个数a和b，如果a比b大，我们就写成a>b；如果a比b小，我们就写成a<b。
这种关系可以用不等式符号来表示。
2. 不等式的解集，不等式的解集是使不等式成立的全部实数的集合。
二、基本性质。
1. 不等式的传递性，如果a>b，b>c，则a>c。
2. 不等式的加减性，如果a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c（c>0时）。
3. 不等式的乘除性，如果a>b，c>0，则ac>bc，a/c>b/c（c>0）；如果a>b，c<0，则ac<bc，a/c<b/c（c<0）。
三、常见不等式公式。
1. 平均不等式，对于任意n个正数a1，a2，…，an，有(a1+a2+…+an)/n≥(a1a2…an)^(1/n)。
2. 柯西-施瓦茨不等式，对于任意两组实数a1，a2，…，an和b1，b2，…，bn，有(a1b1+a2b2+…+anbn)^2≤(a1^2+a2^2+…+an^2)(b1^2+b2^2+…+bn^2)。
3. 阿贝尔不等式，对于任意n个实数a1，a2，…，an和b1，b2，…，bn，如果满足a1≥a2≥…≥an，b1≤b2≤…≤bn，则有a1b1+a2b2+…+anbn≤(a1+a2+…+an)(b1+b2+…+bn)。
4. 均值不等式，对于任意n个正数a1，a2，…，an，有(a1+a2+…+an)/n≥(a1a2…an)^(1/n)。
5. 三角不等式，对于任意实数a和b，有|a+b|≤|a|+|b|。
四、不等式的解法。
1. 图像法，将不等式转化为函数的图像，利用函数图像的性质求解不等式。
2. 代数法，通过对不等式进行变形，利用不等式的性质进行求解。
3. 参数法，引入参数，通过对参数的取值范围进行讨论，得到不等式的解集。
五、常见不等式。
基本不等式的六个公式
基本不等式的六个公式不等式是数学中重要的概念，它们对于解决复杂的数学问题有着重要意义。
不等式的六种基本公式是：分配率、乘法不等式、加法不等式、减法不等式、拉格朗日不等式和四平方和不等式。
分配率不等式是用来描述等式的一种方法，它可以用来求解数学问题，可用来推断等式的正确性和限制其取值范围。
它可以用来分析形如：a + b = c、a x b = c、a/b = c式的正确性，它可以用来转换简单的三项不等式：a + b < c、a b > c。
乘法不等式可以用来描述乘积的关系，表示形如：a x b < c a x b > c。
它可以用来分析有关乘积的问题，如求解最大值或最小值。
加法不等式可以用来描述和的关系，表示形如：a + b < c a + b > c。
它可以用来求解不等式中和最大值或最小值，并可以用来分析有关和的问题。
减法不等式可以用来描述差的关系，表示形如：a b < c a b > c。
它可以用来求解不等式中差的最大值或最小值，并可以用来分析有关差的问题。
拉格朗日不等式可以用来求解一般不等式的解，它可以描述形如：a x + b y c a x + b y c的关系。
在函数的极值计算中，最常用的不等式就是拉格朗日不等式，它可以用来求解函数的极大值或极小值。
四平方和不等式可以用来求解一元四次方程的最小正根，表示形如：a + b + c + d 4abc a + b + c + d 4abc关系，它也可用来求解一元四次方程的最大正根。
上述就是数学中的不等式的六种基本公式，它们在求解复杂数学问题中有着重要作用，在日常生活中也有着广泛应用。
比如在经济学中，不等式可以用来分析经济决策最优解；在建筑、运输技术等领域，不等式可以用来计算最小值和最大值以及求解复杂问题等。
总之，不等式的六种基本公式是数学中重要的概念，它们对于解决复杂的数学问题有着重要意义，同时也在日常生活中有着广泛的应用。
基本不等式公式
基本不等式公式在数学中，不等式是一种比较两个数量大小关系的数学表示式。
简单来说，不等式就是用不等于号、大于号或小于号来表示两个数之间的大小关系。
在解决数学问题时，我们常常会遇到各种不等式，其中最基本的不等式公式包括：加减不等式、乘除不等式和平方不等式。
1. 加减不等式加减不等式是指用加法和减法来表示数的大小关系的不等式。
以下是常见的加减不等式公式：1.1 加法不等式对于任意的实数a、b和c，有以下加法不等式公式：•如果a > b，则a + c > b + c；•如果a < b，则a + c < b + c。
简单地说，加法不等式就是在两边同时加上（或减去）相同的数时，不等号的方向不变。
1.2 减法不等式对于任意的实数a、b和c，有以下减法不等式公式：•如果a > b，则a - c > b - c；•如果a < b，则a - c < b - c。
类似地，减法不等式就是在两边同时加上（或减去）相同的数时，不等号的方向不变。
2. 乘除不等式乘除不等式是指用乘法和除法来表示数的大小关系的不等式。
以下是常见的乘除不等式公式：2.1 乘法不等式对于任意的正实数a、b和c，有以下乘法不等式公式：•如果a > b 且 c > 0，则ac > bc；•如果a < b 且 c > 0，则ac < bc；•如果a < b 且 c < 0，则ac > bc；•如果a > b 且 c < 0，则ac < bc。
2.2 除法不等式对于任意的正实数a、b和c，有以下除法不等式公式：•如果a > b 且 c > 0，则a/c > b/c；•如果a < b 且 c > 0，则a/c < b/c；•如果a < b 且 c < 0，则a/c > b/c；•如果a > b 且 c < 0，则a/c < b/c。
高中基本不等式公式大全
高中基本不等式公式大全1. 基本不等式。
- 对于任意实数a,b，有a^2+b^2≥slant2ab，当且仅当a = b时等号成立。
- 证明：(a - b)^2=a^2-2ab + b^2≥slant0，移项可得a^2+b^2≥slant2ab。
2. 均值不等式（算术 - 几何平均不等式）- 若a>0,b>0，则(a + b)/(2)≥slant√(ab)，当且仅当a = b时等号成立。
- 证明：因为(√(a)-√(b))^2≥slant0（a,b>0），展开得a - 2√(ab)+b≥slant0，移项可得(a + b)/(2)≥slant√(ab)。
- 推广：对于n个正实数a_1,a_2,·s,a_n，有frac{a_1+a_2+·s+a_n}{n}≥slantsqrt[n]{a_1a_2·s a_n}，当且仅当a_1=a_2=·s=a_n时等号成立。
3. 基本不等式的变形。
- ab≤slant((a + b)/(2))^2（a,b∈ R），当且仅当a = b时等号成立。
- 若a>0,b>0，a + b≥slant2√(ab)，则a + b为定值m时，ab≤slantfrac{m^2}{4}；ab为定值n时，a + b≥slant2√(n)。
- 对于a>0,b>0，(2)/(frac{1){a}+(1)/(b)}≤slant√(ab)≤slant(a +b)/(2)≤slant√(frac{a^2)+b^{2}{2}}，当且仅当a = b时等号成立。
- 证明(2)/(frac{1){a}+(1)/(b)}≤slant√(ab)：因为(1)/(a)+(1)/(b)≥slant(2)/(√(ab))（a,b>0），所以(2)/(fra c{1){a}+(1)/(b)}≤slant√(ab)。
- 证明(a + b)/(2)≤slant√(frac{a^2)+b^{2}{2}}：(√(frac{a^2)+b^{2}{2}})^2-((a + b)/(2))^2=frac{a^2+b^2}{2}-frac{a^2+2ab + b^2}{4}=frac{2a^2+2b^2-a^2-2ab -b^2}{4}=frac{(a - b)^2}{4}≥slant0，所以(a + b)/(2)≤slant√(frac{a^2)+b^{2}{2}}。
基本不等式中常用公式高一知识点
基本不等式中常用公式高一知识点摘要：1.引言：介绍基本不等式2.基本不等式的常用公式3.高一知识点中的基本不等式应用4.结论：基本不等式在高中数学中的重要性正文：【引言】在高中数学中，基本不等式是一个重要的知识点。
基本不等式能够帮助我们解决许多与不等式相关的问题，它在数学中有着广泛的应用。
今天我们将探讨基本不等式中的一些常用公式，并介绍它们在高一数学中的应用。
【基本不等式的常用公式】在基本不等式中，有一些常用的公式，它们可以帮助我们更方便地解决不等式问题。
这些公式包括：1.两个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，即(a+b)/2 >= sqrt(ab)。
2.两个负数的算术平均数小于等于它们的几何平均数，即(a+b)/2 <= sqrt(-ab)。
3.一个正数和一个负数的算术平均数小于等于它们的几何平均数，即(a-b)/2 <= sqrt((-a-b)/2)。
【高一知识点中的基本不等式应用】在高一数学中，基本不等式在许多章节中都有应用，例如在解不等式、求最值等问题中。
下面我们通过一些例子来看一下基本不等式在高一数学中的应用。
例1：求解不等式x^2 - 3x + 2 > 0。
解：我们可以通过求解这个不等式的根，然后根据根的情况来确定不等式的解集。
首先，我们可以通过求解判别式来找到这个不等式的根：Δ= (-3)^2 - 4*1*2 = 9 - 8 = 1。
由于判别式大于0，所以这个不等式有两个实根，它们分别为x1 = 1 和x2 = 2。
因此，这个不等式的解集为x < 1 或x > 2。
例2：求函数f(x) = x^2 - 2x + 1 在区间[0, 1] 上的最小值。
解：我们可以通过求解函数的导数来找到函数的极值点。
首先，求解函数的导数：f"(x) = 2x - 2。
然后令导数等于0，解得x = 1。
将x = 1 带入原函数，得到f(1) = 1 - 2 + 1 = 0。
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人教B版高中数学选修4-5学案：1.2基本不等式
基本不等式
基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。
其表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。
概念
编辑
文字叙述
两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。
公式
当且仅当
时取等号
其中
称为
的算术平均数，
称为
的几何平均数。
变形
当且仅当
时取等号
证明
编辑
算术证明
∴a²+b²≥2ab
当
时，两边开平方
因为
，所以当且仅当
时，不等式取等号。
几何证明
在
中，
，点
为
的中点，
为高，设
，
由射影定理，得
基本不等式的几何证明
在
中，点
为斜边
的中点
中，
当且仅当
与
重合，即
时等号成立
推广
编辑
一般地，若
是正实数，则有均值不等式
当且仅当
取等号
应用
编辑
和积互化
和定积最大
当
一定时，
，且当
时取等号
积定和最小
当
一定时，
，且当
时取等号
求解最值
例：求
在
的最小值
解：由基本不等式可得，
当
即
时取等号
答：当
时，
在
有最小值。