【经典】高三数学基本不等式题型精讲精练
2023版高中数学新同步精讲精炼(必修第一册) 2
2.2 基本不等式(精练)【题组三 基本不等式求最值】1．(2021·浙江高一期末)已知正数a ，b 满足8ab =，则2+a b 的最小值为( ) A ．8B ．10C ．9D ．62．(2021·上海浦东新区·华师大二附中高一月考)若0x >，则___________.3．(2021·广东珠海市·高一期末)已知x 、y R +∈，且24x y +=，则xy 的最大值是_________.4．(2021·广东惠州市·高一期末)若正实数x ，y 满足21x y +=，则2xy 的最大值为______． 5．(2021·广东湛江市·高一期末)已知正数x 、y 满足341x y +=，则xy 的最大值为_________． 6．(2021·吉林长春市)已知,x y 为正实数，且4xy =，则4x y +的最小值是_____．7．(2021·全国高一课时练习)若0,0,10x y xy >>=，则25x y+的最小值为_____．8．(2021·浙江湖州市·湖州中学高一月考)已知,x y 为正实数，则162y x x x y++的最小值为__________． 9．(2021·上海高一期末)若a ､b 都是正数，且1a b +=，则(1)(1)a b ++的最大值是_________. 10．(2021·云南丽江市·高一期末)若1x >-，则31x x ++的最小值是___________. 11．(2021·江苏盐城市·盐城中学高一期末)若0,0,x y x y xy >>+=，则2x y +的最小值为___________.12．(2021·浙江高一期末)设m ，n 为正数，且2m n +=，则1312n m n ++++的最小值为_____． 13．(2021·上海交大附中高一开学考试)函数9424y x x=--，12x >的最小值为__________．14．(2021·吴县中学高一月考)已知110,0,121a b a b b >>+=++，则+a b 的最小值为________.15．(2021·安徽滁州市·高一期末)已知0,0,4a b a b >>+=，则411a b ++的最小值为__________. 16．(2021·合肥一六八中学高一期末)若0mn >，143m n+=，则m n +的最小值为 17．(2021·江苏南通市·高一期末)已知正数a ，b 满足21a b +=，则12a b+的最小值为 18．(2021·重庆市清华中学校高一期末)已知0x >，0y >，26x y +=，则21x y+的最小值为__________．19．(2021·全国高一课时练习)若1x >-，则22441x x x +++的最小值为20．(2021·浙江高一期末)已知正数,a b 满足2a b +=，则411a b a b +++的最大值是 21．(2020·泰州市第二中学高一月考)已知1a >，则23111-+-a a a 的最小值为___________.22．(2021·全国高一课时练习)函数()()2411x x f x x x -+=>-的最小值为______．【题组二 利用基本不等式求参数】1．(2021·浙江高一期末)已知x 、y 为两个正实数，且11m x y x y≤++恒成立，则实数m 的取值范围是________．2．(2021·四川雅安市·雅安中学高一期中)已知0x >，0y >，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是_______． 3．(2021·天津)若不等式11014m x x +-≥-对10,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的最大值为________. 4．(2021·上海市)已知正数x ，y 满足49x y xy +=且224x y m m +<-有解，则实数m 的取值范围是______. 5．(2020·天津一中高一期中)若两个正实数x ，y 满足4x y xy +=，且不等式234yx m m +-恒成立，则实数m 的取值范围是__.6．(2020·全国高一单元测试)若对任意0x >，231xa x x ≤++恒成立，则a 的取值范围是_____． 7．(2020·湖南高一月考)已知对任意(),0,x y ∈+∞，且23x y +=，11221t x y ≤+++恒成立，则t 的取值范围8．(2021·安徽宿州市)若对任意满足8a b +=的正数a ，b 都有14111x a b x++≥+-成立，则实数x 的取值范围是【题组三 利用基本不等式比较大小】1．(2021·全国高二单元测试)若a >0，b >0与 2a b +的大小关系是_____.2．(2021·全国高一课时练习)已知a ，b 是不相等的正数，x =，y =x ，y 的大小关系是__________.3(2020·上海高一专题练习)若01x <<，01y <<，且x y ≠，则在22,2,x y xy x y ++个是_______.4．(2020·福建省泰宁第一中学高一月考)若0a b <<，则下列不等式哪些是成立的？若成立，给予证明；若不成立，请举出反例. (1)11a b b a +<+； (2)2211a a a a+≥+； (3)22a b a b b a+>+.5．(2021·全国高一课时练习)已知,a b ∈R ，求证：(1)2()4a b ab +；(2)()2222()a b a b ++．【题组四 基本不等式的综合运用】1．(2021·滨海县八滩中学高一期末)(多选)设正实数m 、n 满足2m n +=，则下列说法正确的是( ) A ．2n m n+的最小值为3 B ．mn 的最大值为1C的最小值为2 D ．22m n +的最小值为22．(2021·重庆市杨家坪中学高一月考)(多选)下列说法正确的是( ) A ．若2x >，则函数11y x x =+-的最小值为3 B ．若310,05x y x y>>+=，，则34x y +的最小值为5 C ．若0x >，则21x x +的最大值为12D ．若0,0,3x y x y xy >>++=，则xy 的最小值为13．(2021·东莞市光明中学高一开学考试)(多选)下列结论正确的是( ) A ．当0x >2≥ B ．当2x >时，1x x+的最小值是2 C ．当54x <时，14245x x -+-的最小值是5D ．设0x >，0y >，且2x y +=，则14x y +的最小值是924．(2021·福建龙岩市·高一期末)(多选)已知0a >，0b >，且111a b+=，则( ) A ．114a b ≥+ B ．14411a b +≥-- C ．298b a b +<+ D ．114b a ab ⎛⎫- ⎪⎝⎭>5．(2021·江苏宿迁市·高二期末)(多选)已知0a b >>，且1a b +=，则以下结论正确的有( ) A ．14ab <B ．114a b+> C ．2212a b +≥D1<6．(2021·全国高三专题练习)(多选)设0,0a b >>，则下面不等式中恒成立的是( ) A ．221a b a b ++>+BC．211a b≤+D ．114a b a b+≤+ 7．(2021·江苏南通市·高一开学考试)(多选)若0a >，0b >，且4a b +=，则下列不等式成立的是( )A 2≤B ．228a b +≥C ．111a b+≥ D ．1104ab <≤ 8．(2021·江苏高一)(多选)下列不等式正确的是( )A ．若0x <，则12xx+≤-B ．若x ∈R 22≥C ．若x ∈R ，则2111x <+ D ．若0x >，则()1114⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭x x 9．(2021·福建省福州格致中学高一期末)(多选)已知0a >，0b >，且4a b +=，则下列结论正确的是( ) A ．4ab ≤B ．111a b+≥ C ．2216a b +≥ D ．228a b +≥10．(2020·江苏南京市·南京一中高一月考)(多选)已知0,0a b >>，则下列不等式一定成立的是( )A ．114a b+≥ B ．11()()4a b a b++≥C 22a b≥+ D ．2≥+aba b11．(2021·广州市)(多选)若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式中恒成立的是( )A ．1ab ≤B ≤C ．222a b +≥D ．112a b +≥ 12．(2021·江苏泰州市·泰州中学高一月考)(多选)下列不等式中恒成立的是( ) A ．222(1)a ba b +--B ．111a b ab + C 4(5)x >-D ．2ab ab a b+13．(2021·浙江高一期末)(多选)已知0a >，0b >.若41a b +=，则( ) A ．114a b+的最小值为9 B ．11a b+的最小值为9 C ．()()411a b ++的最大值为94D ．()()11a b ++的最大值为94【题组五 实际生活中的基本不等式】1．(2021·全国单元测试)若把总长为20m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2．2．(2021·浙江高一期末)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和y 最小，则x 的值是_________，y 的最小值是________．3．(2021·全国高一课时练习)工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元.则工厂和仓库之间的距离为___________千米时，运费与仓储费之和最小.4(2021·浙江高一期末)某单位要租地建仓库，已知每月土地费用与仓库到码头的距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到码头的距离成正比.经测算，若在距离码头10km 处建仓库，则每月的土地费用和运输费用分别为2万元和8万元.那么两项费用之和的最小值是___________万元.5．(2021·全国高一单元测试)某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比.如果在距离车站10km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站___________km 处6．(2021·江苏南通市·高一开学考试)某小区为了扩大绿化面积，规划沿着围墙(足够长)边画出一块面积为100平方米的矩形区域ABCD 修建花圃，规定ABCD 的每条边长不超过20米.如图所示，要求矩形区域EFGH 用来种花，且点A ，B ，E ，F 四点共线，阴影部分为1米宽的种草区域.设AB x =米，种花区域 EFGH 的面积为 S 平方米.(1)将S 表示为x 的函数； (2)求 S 的最大值.7．(2020·江苏省江浦高级中学高一月考)某化工厂生产某种产品，当年产量在150吨至250吨时，每年的生产成本y 万元与年产量x 吨之间的关系可近似地表示为2130400010y x x =-+.求年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低，并求每吨的最低成本.。
基本不等式经典例题精讲
基本不等式经典例题精讲新课标人教A版高中数学必修五典题精讲（3.4基本不等式）典题精讲例11) 已知 x < 1/3，求函数 y = x + 1/x 的最大值；2) 求函数 y = x(1-3x)/3 的最大值和值域。
思路分析：1) 由极值定理，可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外 x 的系数变成互为相反数；2) 中，未指出 x 的取值范围，因而不能直接使用基本不等式，需分 x。
1/3 与 x < 1/3 讨论。
解法一：1) 由基本不等式，得y = x + 1/x ≥ 2，当且仅当x = 1/√2 时，等号成立。
2) 由基本不等式，得 y = x(1-3x)/3 ≤ 1/3√3，当且仅当 3x = 1-3x，即 x = 1/6 时，等号成立。
综上，可知函数 y = x + 1/x 的最大值为 2，函数 y = x(1-3x)/3 的最大值为1/3√3，值域为 (-∞,1/3√3] ∪ [1/3.+∞)。
解法二：1) 由基本不等式，得y = x + 1/x ≥ 2，当且仅当x = 1/√2 时，等号成立。
2) 由基本不等式，得 y = x(1-3x)/3 ≤ 1/3√3，当且仅当 x = -1/√3 时，等号成立。
综上，可知函数 y = x + 1/x 的最大值为 2，函数 y = x(1-3x)/3 的最大值为1/3√3，值域为 (-∞,1/3√3] ∪ [1/3.+∞)。
1) 解法一：由基本不等式，得y = x + 1/x ≥ 2，当且仅当x = 1/√2 时，等号成立。
2) 解：当 x。
1/3 时，由基本不等式，得 y = x(1-3x)/3 ≥ 2/3√3，当且仅当 3x = 1-3x，即 x = 1/6 时，等号成立；当 x < 1/3 时，由基本不等式，得 y = x(1-3x)/3 ≤ 1/3√3，当且仅当 3x = 1-3x，即 x = -1/√3 时，等号成立。
高中数学基本不等式知识点归纳及练习题范文.doc
因 ，但 解得 不在区间 ，故等号不成立，考虑单调性。
因为 在区间 单调递增，所以在其子区间 为单调递增函数，故 。
所以，所求函数的值域为 。
分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且 定值，因此考虑利用均值定理求最小值，
解： 都是正数， ≥
当 时等号成立，由 及 得 即当 时， 的最小值是6．
∴ ≤3 ，ab≤18，∴y≥
点评：①本题考查不等式 的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式 出发求得 的范围，关键是寻找到 之间的关系，由此想到不等式 ，这样将已知条件转换为含 的不等式，进而解得 的范围.
变式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。
2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。
练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x的值.
（1） （2） (3)
2．已知 ，求函数 的最大值.；3． ，求函数 的最大值.
条件求最值
1.若实数满足 ，则 的最小值是.
变式：若 ，求 的最小值.并求x,y的值
技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。
变式: 求函数 的最大值。
解析：注意到 与 的和为定值。
又 ，所以
当且仅当 = ，即 时取等号。 故 。
评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件。
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式。
分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，又 ，可由此变形入手。
解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系， ≤ ，本题很简单
2.2 基本不等式(精练)(解析版)-人教版高中数学精讲精练(必修一)
3．（2022·广东·深圳市高级中学高一期末）设正实数 x, y 满足 2x y 1，则 xy 的最大值为（
）
A．
1 2
【答案】C
B． 1 4
C． 1 8
D． 1 16
【解析】由基本不等式可得 2x y 2 2xy ，即 2 2xy 1，解得 xy 1 ， 8
当且仅当 2x y ，即 x 1 ， y 1 时，取等号，故选：C.
4
2
4．（2022·浙江杭州·高一期末）若 a,b 为正实数，且 ab 1 ，则 a 2b 的最小值为（
）
A． 2 【答案】D
B． 3 2
C．3
D． 2 2
【解析】因为 a,b 为正实数， ab 1，所以 a 2b 2 2ab 2 2 ， 当且仅当 a 2b ，即 a 2 ， b 2 时取等号.所以 a 2b 的最小值为 2 2 .故选：D
）
A．2 【答案】A
B． 12 7
C． 5 2
D．3
【解析】由 4x4 9x2 y2 2y4 1，得 4x2 y2
x2 2y2
1
4x2
y2
2
x2
2y2
2
5x2
2
3y2
2 ，
即 4 5x2 3y2 2 ，所以 5x2 3y2 2 ，当且仅当 4x2 y2 x2 2y2 ，即 y2 3x2 3 时，等号成立，所以 7
5x2 3y2 的最小值是 2.故选：A.
6．（2022·甘肃·永昌县）（多选）已知 a＞0，b＞0，a＋b＝2，则对于 1 4 ，下列说法准确的是（
）
ab
A．取得最小值时
a＝
2 3
B．最小值是 5
C．取得最小值时
高中数学基本不等式及其应用知识归纳+经典例题+变式+习题巩固(带解析)
基本不等式及其应用一、知识梳理1.基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)其中a ＋b2称为正数a ，b a ，b 的几何平均数.2.两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小). (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大).1.b a ＋ab≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 2.ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22. 3.21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0). 4.应用基本不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就会出错. 5.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.二、基础演练1.若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A.9 B.18 C.36 D.81答案 A解析 因为x ＋y ＝18，所以xy ≤x ＋y 2＝9，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立.2.(2021·滨州三校联考)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( )A.1＋2B.1＋3C.3D.4答案 C解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2（x －2）×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，故选C.3.(2018·天津卷)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________.答案 14解析 由题设知a －3b ＝－6，又2a>0，8b>0，所以2a＋18b ≥22a·18b ＝2·2a －3b 2＝14，当且仅当2a ＝18b ，即a ＝－3，b ＝1时取等号.故2a ＋18b 的最小值为14.三、典型例题与变式训练考点一 利用基本不等式求最值 角度1 配凑法求最值【例1】 (1)(2021·乐山模拟)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________.(2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________.(3)已知函数f (x )＝－x 2x ＋1(x <－1)，则( )A.f (x )有最小值4B.f (x )有最小值－4C.f (x )有最大值4D.f (x )有最大值－4答案 (1)92(2)1 (3)A解析 (1)y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎡⎦⎤2x ＋（3－2x ）22＝92， 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立.∵34∈⎝⎛⎭⎫0，32，∴函数y ＝4x (3－2x )⎝⎛⎭⎫0＜x ＜32的最大值为92. (2)因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －5＋14x －5＋3＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2（5－4x ）·15－4x＋3＝－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号.故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.(3)f (x )＝－x 2x ＋1＝－x 2－1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x －1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1＋1x ＋1－2＝－(x ＋1)＋1－（x ＋1）＋2.因为x <－1，所以x ＋1<0，－(x ＋1)>0，所以f (x )≥21＋2＝4， 当且仅当－(x ＋1)＝1－（x ＋1），即x ＝－2时，等号成立.故f (x )有最小值4.角度2 常数代换法求最值【例2】(2021·武汉模拟)已知正数m ，n 满足m ＋2n ＝8，则2m ＋1n 的最小值为________，等号成立时m ，n 满足的等量关系是________. 答案 1 m ＝2n解析 因为m ＋2n ＝8，所以2m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫2m ＋1n ×m ＋2n 8＝18⎝⎛⎭⎫4＋4n m ＋m n ≥18⎝⎛⎭⎫4＋24n m ×m n ＝18(4＋4)＝1，当且仅当4n m ＝mn ，即m ＝4，n ＝2时等号成立.角度3 消元法求最值【例3】(2020·江苏卷)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________. 答案 45解析 由题意知y ≠0.由5x 2y 2＋y 4＝1，可得x 2＝1－y 45y 2，所以x 2＋y 2＝1－y 45y 2＋y 2＝1＋4y 45y 2＝15⎝⎛⎭⎫1y 2＋4y 2≥15×21y 2×4y 2＝45，当且仅当1y 2＝4y 2，即y ＝±22时取等号.所以x 2＋y 2的最小值为45. 感悟升华 利用基本不等式求最值的方法(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”.但应注意以下两点： ①具备条件——正数；②验证等号成立.(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件.(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解.【训练1】 已知实数x ，y >0，且x 2－xy ＝2，则x ＋6x ＋1x －y 的最小值为( )A.6B.62C.3D.32答案 A 解析 由x ，y >0，x 2－xy ＝2得x －y ＝2x ，则1x －y ＝x 2，所以x ＋6x ＋1x －y ＝x ＋6x ＋x2＝3⎝⎛⎭⎫x 2＋2x ≥3×2x 2×2x＝6， 当且仅当x 2＝2x ，即x ＝2，y ＝1时等号成立，所以x ＋6x ＋1x －y 的最小值为6.考点二 基本不等式的综合应用【例4】 (1) (多选题)(2021·烟台模拟)下列说法正确的是( ) A.若x ，y >0，x ＋y ＝2，则2x ＋2y 的最大值为4 B.若x <12，则函数y ＝2x ＋12x －1的最大值为－1C.若x ，y >0，x ＋y ＋xy ＝3，则xy 的最小值为1D.函数y ＝1sin 2x ＋4cos 2x的最小值为9(2)已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A.2B.4C.6D.8答案 (1)BD (2)B解析 (1)对于A ，取x ＝32，y ＝12，可得2x ＋2y ＝32>4，A 错误；对于B ，y ＝2x ＋12x －1＝－⎝⎛⎭⎫1－2x ＋11－2x ＋1≤－2＋1＝－1，当且仅当x ＝0时等号成立，B 正确；对于C ，易知x ＝2，y ＝13满足等式x ＋y ＋xy ＝3，此时xy ＝23<1，C 错误；对于D ，y ＝1sin 2x ＋4cos 2x ＝⎝⎛⎭⎫1sin 2x ＋4cos 2x (sin 2x ＋cos 2x )＝cos 2x sin 2x ＋4sin 2x cos 2x ＋5≥24＋5＝9.当且仅当cos 2x ＝23，sin 2x ＝13时等号成立，D 正确.故选BD.(2)已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只要求(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋ay 的最小值大于或等于9，∵1＋a ＋y x ＋axy ≥a ＋2a ＋1，当且仅当y ＝ax 时，等号成立，∴a ＋2a ＋1≥9，∴a ≥2或a ≤－4(舍去)，∴a ≥4， 即正实数a 的最小值为4，故选B.感悟升华 1.当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值.2.求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定相关成立的条件，从而得到参数的值或范围.【训练2】 (1)在△ABC 中，A ＝π6，△ABC 的面积为2，则2sin C sin C ＋2sin B ＋sin Bsin C 的最小值为( )A.32B.334C.32D.53(2) 已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，求x ＋3y 的最小值.答案 (1)C解析 (1)由△ABC 的面积为2，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc sin π6＝2，得bc ＝8，在△ABC 中，由正弦定理得2sin C sin C ＋2sin B ＋sin B sin C ＝2c c ＋2b ＋bc＝2·8b8b ＋2b ＋b 8b ＝168＋2b 2＋b 28＝84＋b 2＋b 2＋48－12≥284＋b2·b 2＋48－12＝2－12＝32， 当且仅当b ＝2，c ＝4时，等号成立，故选C.四、练习巩固 一、选择题1.若3x ＋2y ＝2，则8x ＋4y 的最小值为( ) A.4 B.42C.2D.22答案 A解析 因为3x ＋2y ＝2，所以8x ＋4y ≥28x ·4y ＝223x＋2y＝4，当且仅当3x ＋2y ＝2且3x ＝2y ，即x ＝13，y ＝12时等号成立.故选A.2.已知x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，则x ＋y 的最小值为( )A.3B.5C.7D.9答案 C解析 ∵x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，∴x ＋1＋y ＝2⎝⎛⎭⎫1x ＋1＋1y (x ＋1＋y )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋y x ＋1＋x ＋1y ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2y x ＋1·x ＋1y ＝8，当且仅当y x ＋1＝x ＋1y ，即x ＝3，y ＝4时取等号，∴x ＋y ≥7，故x ＋y 的最小值为7.3.若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是( )A.6B.233C.4D.23答案 B解析 x 2＋y 2＋xy ＝1⇒(x ＋y )2－xy ＝1， ∵xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，当且仅当x ＝y 时取等号， ∴(x ＋y )2－⎝⎛⎭⎫x ＋y 22≤1，即34(x ＋y )2≤1，∴－233≤x ＋y ≤233， ∴x ＋y 的最大值是233.故选B.4.(2021·沈阳一模)若log 2x ＋log 4y ＝1，则x 2＋y 的最小值为( ) A.2 B.23C.4D.22答案 C解析 因为log 2x ＋log 4y ＝log 4x 2＋log 4y ＝log 4(x 2y )＝1，所以x 2y ＝4(x >0，y >0)，则x 2＋y ≥2x 2y ＝4，当且仅当x 2＝y ＝2时等号成立，即x 2＋y 的最小值为4.故选C.5.(2020·重庆联考)对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0，则实数a 的最大值为( ) A.2 B.22C.4D.92答案 B解析 ∵对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0， ∴m 2＋2n 2≥amn ，即a ≤m 2＋2n 2mn ＝m n ＋2n m 恒成立，∵m n ＋2n m≥2m n ·2n m ＝22，当且仅当m n ＝2nm即m ＝2n 时取等号，∴a ≤22，故a 的最大值为22，故选B.6.(2020·山东名校联考)正实数a ，b 满足a ＋3b －6＝0，则1a ＋1＋43b ＋2的最小值为( )A.13B.1C.2D.59答案 B解析 由题意可得a ＋3b ＝6，所以1a ＋1＋43b ＋2＝19[(a ＋1)＋(3b ＋2)]⎝⎛⎭⎫1a ＋1＋43b ＋2＝19⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋3b ＋2a ＋1＋4（a ＋1）3b ＋2≥1，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2（a ＋1）＝3b ＋2，a ＋3b ＝6，即a ＝2，b ＝43时等号成立.故1a ＋1＋43b ＋2的最小值为1，选B.二、填空题7.若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1，2)，则2a ＋b 的最小值为________.答案 8解析 由题设可得1a ＋2b ＝1，∵a >0，b >0，∴2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ＝4＋b a ＋4ab≥4＋2b a ·4ab＝8⎝⎛⎭⎫当且仅当b a ＝4ab ，即b ＝2a ＝4时，等号成立.故2a ＋b 的最小值为8. 8.已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________. 答案 6解析 法一(换元消元法)由已知得x ＋3y ＝9－xy ，因为x >0，y >0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22， 当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0， 令x ＋3y ＝t ，则t >0且t 2＋12t －108≥0，得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6. 法二 (代入消元法)由x ＋3y ＋xy ＝9，得x ＝9－3y 1＋y，所以x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝9＋3y 21＋y ＝3（1＋y ）2－6（1＋y ）＋121＋y＝3(1＋y )＋121＋y－6≥23（1＋y ）·121＋y－6＝12－6＝6，当且仅当3(1＋y )＝121＋y ，即y ＝1，x ＝3时取等号，所以x ＋3y 的最小值为6.9.(2020·天津卷)已知a ＞0，b ＞0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为__________.答案 4解析 因为a ＞0，b ＞0，ab ＝1，所以原式＝ab 2a ＋ab 2b ＋8a ＋b ＝a ＋b 2＋8a ＋b≥2a ＋b 2·8a ＋b＝4，当且仅当a ＋b 2＝8a ＋b ，即a ＋b ＝4时，等号成立.故12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为4.10.函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________.答案 23＋2解析 ∵x >1，∴x －1>0，∴y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立.11.若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________.答案 4解析 ∵a ，b ∈R ，ab >0，∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎨⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号. 12.已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________. 答案 ⎣⎡⎭⎫－83，＋∞ 解析 对任意x ∈N *，f (x )≥3，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (x )＝x ＋8x ≥42，当且仅当x ＝22时等号成立，又g (2)＝6，g (3)＝173，∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173.∴－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3≤－83， ∴a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－83，＋∞.。
2024年高考数学高频考点(新高考通用)柯西不等式(精讲+精练)解析版
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展01柯西不等式（精讲+精练）
1.二维形式的柯西不等式
.),,,,,()())((22222等号成立时当且仅当bc ad R d c b a bd ac d c b a =∈+≥++2.二维形式的柯西不等式的变式
bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2(
.),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈.)
,0,,,(())()(3(2等号成立，时当且仅当bc ad d c b a bd ac d c b a =≥+≥++3.
二维形式的柯西不等式的向量形式
.),,,(等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当βαβk k =≤注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。
比如，对2
2
2
c b a ++，并不是不等式的形状，但变成
()()
2222221113
1
c b a ++∙++∙就可以用柯西不等式了。
4.扩展：()()233221122322212
2322
21)(n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a ++++≥++++++++ ，当且仅当n n b a b a b a :::2211=== 时，等号成立.
【题型训练1-刷真题】
二、题型精讲精练
一、知识点梳理。
2024年高考数学 高三大一轮复习专题04 基本不等式
专题04 基本不等式【知识精讲】一、基本不等式12a b+≤（1）基本不等式成立的条件：0,0a b >>. （2）等号成立的条件，当且仅当a b =时取等号． 2．算术平均数与几何平均数设0,0a b >>，则a 、b 的算术平均数为2a b+，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 3．利用基本不等式求最值问题（1）如果积xy 是定值P ，那么当且仅当x y =时，x ＋y 有最小值是简记：积定和最小)（2）如果和x ＋y 是定值P ，那么当且仅当x y =时，xy 有最大值是24P .(简记：和定积最大) 4．常用结论（1）222(,)a b ab a b +≥∈R （2）2(,)b aa b a b+≥同号 （3）2()(,)2a b ab a b +≤∈R （4）222()(,)22a b a b a b ++≤∈R（5）2222()()(,)a b a b a b +≥+∈R（6）222()(,)24a b a b ab a b ++≥≥∈R（7）222(0,0)1122a b a b ab a b a b++≥≥≥>>+ 二、常见求最值模型 模型一：)0,0(2>>≥+n m mn x nmx ，当且仅当mn x =时等号成立； 模型二：)0,0(2)(>>+≥+−+−=−+n m ma mn ma ax na x m a x n mx ，当且仅当mna x =−时等号成立；模型三：)0,0(2112>>+≤++=++c a bac xc b ax c bx ax x ，当且仅当acx =时等号成立； 模型四：)0,0,0(4)21)()(22mnx n m m n mx n mx m m mx n mx mx n x <<>>=−+⋅≤−=−（，当且仅当mnx 2=时等号成立. 【题型精讲】题型一 利用基本不等式求最值【例1-1】对勾函数 求下列函数的最值（1）已知54x <，则函数1445y x x =+−的最大值为___________.【答案】3 【解析】 【分析】由于5,4504x x <−< ，需要构造函数，才能运用基本不等式.【详解】因为54x <，所以450x −<，540x −>,()1144554545y x x x x =+=−++−−()()11545254535454x x x x ⎡⎤=−−++≤−−⋅=⎢⎥−−⎣⎦当且仅当15454x x−=−，即1x =时，等号成立.故当1x =时，y 取最大值，即max 3y =.故答案为：3.（2）已知54x >，则函数1445y x x =+−的最小值为___________.【答案】3 【解析】 【分析】由于5,4504x x >−> ，需要构造函数，才能运用基本不等式.【详解】因为54x >，所以450x −>，()1144554545y x x x x =+=−++−−()14555745x x ⎡⎤=−++≥=⎢⎥−⎣⎦当且仅当14545x x −=−，即32x =时，等号成立.故当32x =时，y 取最小值，即min7y=.故答案为：3.（3）已知2x ≥，则函数1445y x x =+−的最小值为___________. 【答案】325 【例1-2】最值定理（1）已知01x <<，则(43)x x −取得最大值时x 的值为________．【答案】 23【解析】 【分析】（1）积的形式转化为和的形式，利用基本不等式求最值，并要检验等号成立的条件； 【详解】解：（1）2113(43)4(43)3(43)3323x x x x x x +−⎡⎤−=⨯−≤⨯=⎢⎥⎣⎦， 当且仅当343x x =−，即23x =时，取等号． 故答案为：23.（2）若x ，y 为实数，且26x y +=，则39x y +的最小值为（ ）A ．18B ．27C ．54D ．90【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式可得答案． 【详解】由题意可得2393322754x y x y +=+≥=⨯=， 当且仅当233x y =时，即2x y =等号成立. 故选：C ．【例1-3】“1”的妙用 （1）若正实数,a b 满足32a b +=，则11a b+的最小值为___________.【答案】22 【解析】 【分析】用“1”的代换凑配出定值后用基本不等式求得最小值． 【详解】1111113(3)2()22222b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当3b a a b =时，即a b ==时，11a b +的最小值为2.故答案为：2.（2）已知0x >，0y >，且22x y +=，则433x y x y++的最小值为__________.【答案】3【解析】 【分析】将目标式中4代换成24x y +，展开由基本不等式可得. 【详解】 因为22x y +=所以432434333333x y x y x y y x x y x y x y ++++=+=++≥+= 当且仅当4322yx x y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即3x y ==时，取等号，所以433x y x y ++的最小值为3故答案为：3【例1-4】分离常数法 当2x >−时，函数2462++=+x x y x 的最小值为___________．【答案】【解析】 【分析】将函数解析式变形为()222y x x =+++，利用基本不等式可求得结果. 【详解】因为2x >−，则20x +>，则()()22224622222x x x y x x x x ++++===+++++≥=当且仅当2x 时，等号成立，所以，当2x >−时，函数2462++=+x xy x 的最小值为故答案为：【例1-5】换元法 已知正数x ，y 满足21133x y x y+=++，则x y +的最小值（ ）AB ．34+CD ．38+ 【答案】A 【解析】 【分析】利用换元法和基本不等式即可求解. 【详解】令3x y m +=，3x y n +=，则211m n+=， 即()()()334m n x y x y x y +=+++=+，∴21121344424444m n m n m n x y m n n m +⎛⎫⎛⎫+==++=+++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭33244=+=，当且仅当244m n n m=，即2m =1n =时，等号成立， 故选：A.【例1-6】消元法 已知正实数a ，b 满足220ab a +−=，则4a b +的最小值是（ ）A．2 B ．2 C ．2 D ．6【答案】B 【解析】 【分析】根据220ab a +−=变形得22a b =+，进而转化为a b b b +=++842， 用凑配方式得出()b b ++−+8222，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由220ab a +−=，得22a b =+，所以()a b b b b b b +=+=++−⋅=+++888422222222，当且仅当,a b b b ==+++28222，即a b ==22取等号. 故选：B.【例1-7】一元二次不等式法 已知x ，y R ∈，2291x xy y −+=，则3x y +的最大值为________．【解析】 【分析】由229123x y xy x y +=+⋅⋅，可推出15xy ，而222(3)6917x y x xy y xy +=++=+，代入所得结论即可． 【详解】解：2291x xy y −+=，22916x y xy xy ∴+=+，即15xy ，当且仅当3x y =，即15x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，222112(3)69171755x y x xy y xy ∴+=++=+≤+⨯=，∴3x y +≤3x y ∴+【例1-8】拆项法,,a b c 是不同时为0的实数，则2222ab bca b c +++的最大值为（ ）A ．12 B ．14CD【答案】A 【解析】 【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可. 【详解】因为a ，b 均为正实数，则2222222ab bc a c a c a b c b b ++=≤++++12==≤=， 当且仅当222a c b b +=，且a c =取等，即a b c ==取等号，即则2222ab bc a b c +++的最大值为12，故选：A ．【练习1-1】（1）已知1x >−，求函数27101x x y x ++=+的值域；（2）已知0x >，0y >，且280x y xy +−=，求：x y +的最小值． 【答案】（1）[)9,+∞；（2）18． 【解析】 【分析】（1）设1t x =+，得到0t >，且1x t =−，化简2710451x x y t x t ++==+++，结合基本不等式（对勾函数法），即可求解；（2）由280x y xy +−=，得到821x y +=，化简()822810x yx y x y x y y x ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，结合基本不等式（“1”的妙用），即可求解. 【详解】（1）设1t x =+，因为1x >−，可得0t >，且1x t =−，故22710(1)7(1)10451x x t t y t x t t ++−+−+===+++，因为44t t+≥，可得459t t ++≥，当且仅当2t =时，即1x =时，等号成立．所以函数2710(1)1x x y x x ++=>−+的值域为[)9,+∞．（2）由280x y xy +−=，可得28x y xy +=，即821x y +=，则()82x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭281010218x y y x =++≥+=． 当且仅当28x y y x=，即12x =且6y =时，等号成立， 所以x y +的最小值为18．【练习1-2】已知正实数a ，b 满足26a b +=，则212a b ++的最小值为（ ）A ．45B ．43C ．98D ．94【答案】C 【解析】 【分析】利用乘1法即得. 【详解】 ∵26a b +=，∴()214114122222822a b a b a b a b ⎛⎫+=+=+++ ⎪+++⎝⎭()(42121941582288b a b a +⎡⎤=+++≥⨯+=⎢⎥+⎣⎦， 当且仅当()42222b ab a+=+,即23b =，83a =时，取等号. 故选：C.【练习1-3】已知对任意正实数x ，y ，恒有()2222x y a x xy y +−+≤，则实数a 的最小值是___________. 【答案】2 【解析】 【分析】证明220x xy y −+>，由()2222x y a x xy y +−+≤，即2222x y a x xy y +−+≤，22222211x y xy x xy y x y +=−+−+结合基本不等式求出2222max x y x xy y ⎛⎫+ ⎪−+⎝⎭，即可得出答案. 【详解】解：因为0,0x y >>，则()2220x xy y x y xy −+=−+>， 则()2222x y a x xy y +−+≤，即2222x y a x xy y +−+≤， 又22222211x y xy x xy y x y +=−+−+， 因为222x y xy +≥，所以22112xy x y −≥+，所以22121xy x y ≤−+， 即22222x y x xy y+≤−+，当且仅当x y =时，取等号， 所以2222max2x y x xy y ⎛⎫+= ⎪−+⎝⎭， 所以2a ≥，即实数a 的最小值是2.故答案为：2.【练习1-4】已知正数a ，b 满足426a b ab ++=，则4a b +的最小值为（ ）A ．1BC ．4D ．5【答案】C 【解析】 【分析】由基本不等式得出关于4a b +的不等式，解之可得． 【详解】由已知2146(4)2()22a b a b ab +−+=≤⋅，当且仅当4a b =时等号成立， 所以2(4)8(4)480a b a b +++−≥，(44)(412)0a b a b +−++≥， 又0,0a b >>，所以44a b +≥，即4a b +的最小值是4，此时12,2a b ==． 故选：C ．【练习1-5】设0a >，0b >，若221a b +=2ab −的最大值为（ ）A ．3+B ．C ．1D ．2+【答案】D 【解析】 【分析】法一：设c b =−，进而将问题转化为已知221a c +=，求ac 的最大值问题，再根据基本不等式求解即可；法二：由题知221()14a b +=进而根据三角换元得5cos ,(0)62sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，再根据三角函数最值求解即可. 【详解】解：法一：（基本不等式）设c b =−2ab −=)a b ac −=，条件222211a b a c +=⇔+=，2212a c ac +=+≥，即2≤ac 故选：D.法二：（三角换元）由条件221()14a b +=，故可设cos sin 2a b θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即cos ,2sin a b θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 由于0a >，0b >，故cos 02sin 0θθθ⎧>⎪⎨>⎪⎩，解得506πθ<<所以，5cos ,(0)62sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，22sin 22ab θ−=≤当且仅当4πθ=时取等号.故选：D.题型二 求数、式的范围【例2-1】若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则 (1)ab 的取值范围是__ ； (2)a ＋b 的取值范围是__ __． 【答案】（1）_[9，＋∞) （2）[6，＋∞) [解析] (1)∵ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，令t ＝ab >0，∴t 2－2t －3≥0，∴(t －3)(t ＋1)≥0． ∴t ≥3即ab ≥3，∴ab ≥9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号． (2)∵ab ＝a ＋b ＋3，∴a ＋b ＋3≤(a ＋b 2)2．今t ＝a ＋b >0，∴t 2－4t －12≥0，∴(t －6)(t ＋2)≥0． ∴t ≥6即a ＋b ≥6，当且仅当a ＝b ＝3时取等号． 【例2-2】已知0m >，0xy >，当2x y +=时，不等式24mx y+≥恒成立，则m 的取值范围是 。
完整版高三数学不等式选讲知识点和练习
不等式选讲一、绝对值不等式1．绝对值三角不等式定理 1：假如 a,b 是实数，则 |a+b| ≤ |a|+|b|,当且仅当ab≥ 0 时，等号成立。
r r r r r 注：（1）绝对值三角不等式的向量形式及几何意义：当 a ， b 不共线时，| a +b |≤| a r|+| b | ，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边。
（ 2）不等式 |a|-|b|≤ |a±b|≤ |a|+|b|中“ =”成立的条件分别是：不等式|a|-|b|≤|a+b| ≤ |a|+|b|，在侧“ =”成立的条件是ab≥ 0，左边“ =”成立的条件是ab≤ 0 且|a| ≥|b|;不等式|a|-|b|≤ |a-b|≤ |a|+|b|，右边“ =”成立的条件是ab≤ 0，左边“ =”成立的条件是 ab≥ 0 且 |a| ≥ |b| 。
定理 2：假如 a,b,c是实数，那么|a-c|≤ |a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥ 0时，等号成立。
2．绝对值不等式的解法（ 1）含绝对值的不等式|x| ＜ a 与|x| ＞ a 的解集不等式a＞ 0a=0a＜ 0|x| ＜ a{x|-a＜x＜a}|x| ＞ a{x|x ＞ a 或 x＜ -a }{x|x ∈ R 且 x≠ 0}R注： |x| 以及 |x-a|± |x-b|表示的几何意义（|x| 表示数轴上的点x 到原点O的距离； | x-a |± |x-b|）表示数轴上的点x 到点 a,b 的距离之和（差）（2） |ax+b| ≤ c(c ＞ 0) 和|ax+b| ≥c(c ＞ 0) 型不等式的解法① |ax+b| ≤ c-c ≤ ax+b≤c;② | ax+b|≥ c ax+b ≥ c 或 ax+b≤-c.（ 3） |x-a|+|x-b|≥ c(c＞0)和|x-a|+|x-b|≤ c(c＞0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，表现了数形联合的思想；方法二：利用“零点分段法”求解，表现了分类议论的思想；方法三：经过构造函数，利用函数的图象求解，表现了函数与方程的思想。
新高考数学计算题型精练 解一元二次不等式(解析版)
新高考数学计算题型精练解一元二次不等式1．解不等式(1)23400x x -++>(2)311x <+【答案】(1){}58x x -<<(2){2x x >或}1x <-【详解】（1）由23400x x -++>，得23400x x --<，即()()850x x -+<，解得58x -<<，所以不等式的解集为{}58x x -<<；（2）由311x <+，得201x x ->+，即()()210x x -+>，解得2x >或1x <-，所以不等式得解集为{2x x >或}1x <-.2．解不等式：(1)231x x x -+≥+；(2)22222x x x ->+.【答案】(1){}1-(2)∅【详解】（1）由231x x x -+≥+得2210x x ++≤，即()210x +≤，10x ∴+=，1x ∴=-，即不等式231x x x -+≥+的解集为{}1-；（2）由22222x x x ->+得2220x x ++<，即()2110x ++<，不可能成立，即不等式22222x x x ->+的解集为∅.3．解一元二次不等式：(1)24410x x ++>；(2)2230--≤x x .【答案】(1)11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【详解】（1）由()22441210x x x ++=+>可知，不等式24410x x ++>的解集为11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）解2230x x --=得1231,2x x =-=，故由不等式2230--≤x x ，得312x -≤≤，故不等式2230--≤x x 的解集为31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.4．解下列不等式：(1)1323232x x x -+<-<+；(2)3x +4﹣x 2＜0．【答案】(1){x |x ＞7}；(2){x |x ＞4或x ＜﹣1}.【详解】（1）1323232x x x -+<-<+ ，1323,3232x x x x -∴+<--<+，7x ∴>且92x >-，∴x ＞7∴不等式的解集为{x |x ＞7}.（2）∵3x +4﹣x 2＜0，∴x 2﹣3x ﹣4＞0，∴（x ﹣4）（x +1）＞0，∴x ＞4或x ＜﹣1，∴不等式的解集为{x |x ＞4或x ＜﹣1}．5．求解下列不等式的解集：(1)2450x x -++<；(2)20252x x ≤-+；(3)4170x --≤；(4)()()()21502x x x +-<-；(5)4123xx -≥+.【答案】(1){1x x <-或}5x >(2)122x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭(3)322x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭(4){}12x x -<<(5)3123x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭【详解】（1）解：由2450x x -++<可得2450x x -->，解得1x <-或5x >，故原不等式的解集为{1x x <-或}5x >.（2）解：由20252x x ≤-+可得()()2120x x --≤，解得122x ≤≤，故原不等式的解集为122x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.（3）解：由4170x --≤可得417x -≤，即7417x -≤-≤，解得322x -≤≤，故原不等式的解集为322x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭.（4）解：由()()()21502x x x +-<-可得10250x x x +⎧<⎪-⎨⎪-≠⎩，解得12x -<<，故原不等式的解集为{}12x x -<<.（5）解：由4123x x -≥+可得()23443110232323x x x x x x x +-----==≤+++，解得3123x -<≤，故原不等式的解集为3123x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭.6．解下列不等式：(1)2560x x -+<；(2)2230x x -++<；(3)3113x x +>--；(4)103x x +≥-.【答案】(1)()2,3(2)()(),13,-∞-⋃+∞(3)()2,3-(4)(](),13,-∞-+∞ 【详解】（1）由2560x x -+<，得()()230x x --<，解得23x <<，故不等式的解集为()2,3.（2）由2230x x -++<，得2230x x -->，即()()130x x +->，解得1x <-或3x >，故不等式的解集为()(),13,-∞-⋃+∞.（3）由3113x x +>--，得2403x x +<-，即()()2430x x +-<，解得23x -<<，故不等式的解集为()2,3-.（4）由103x x +≥-，得()()13030x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩，解得1x ≤-或3x >，故不等式的解集为(](),13,-∞-+∞ .7．解下列不等式(1)()22log 21x -≤(2)()()140x x --≥；(3)23280x x --+≥；【答案】(1){|2x x -≤<2}x <≤.(2)1{|}4x x x ≤≥或(3)4{|-2}3x x ≤≤．【详解】（1）由()22log 21x -≤得2022x <-≤，即224x <≤，解得2x -≤<2x <≤.所以原不等式的解集为{|2x x -≤<2}x <≤.（2）由()()140x x --≥解得1x ≤，或4x ≥.所以原不等式的解集为{|1x x ≤或4}x ≥.（3）不等式23280x x --+≥变形为，23280x x +-≤，即()()3420x x -+≤，解得423x -≤≤.所以原不等式的解集为4{|2}3x x -≤≤8．解下列关于x 的不等式：(1)2240x x -++>(2)2311x x -≥+【答案】(1)(1(2)()[),14,∞∞--⋃+【详解】（1）2240x x -++>等价于2240x x --<，即()110x x --<解得11x <<，故该不等式的解集为：()11（2）()()23410041011x x x x x x ---≥⇒≥⇒-+≥++且10x +≠，解得4x ≥或1x <-.即该不等式的解集为：()[),14,∞∞--⋃+9．求下列不等式的解集：(1)4351x x +>-(2)2332x x -<-【答案】(1)(1,8)(2)(1,)+∞【详解】（1）()()4385018011x x x x x x +->⇔<⇔--<--，故解集为(1,8)；（2）|23|32322332x x x x x -<-⇔-+<-<-，故解集为(1,)+∞.10．解下列不等式：(1)22530x x +-<；(2)2362x x -+≤；(3)5132x x +≤-；(4)()()()12253x x x x --<-+【答案】(1)13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭(2),11,33⎛⎡⎫-∞-++∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭ (3)[)13,3-(4)()(),11,-∞+∞ 【详解】（1）22530x x +-< ，()()2130x x ∴-+<，132x ∴-<<，即不等式的解集为13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）2362x x -+≤ ，23620x x -∴+≥，解得1x ≤-1x ≥+即不等式的解集为,11⎛⎡⎫-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭；（3）5132x x +≤- ，()153230x x x ⎧+≤-⎪∴⎨⎪->⎩或()153230x x x ⎧+≥-⎪⎨⎪-<⎩解得133x -≤<，即不等式的解集为[)13,3-；（4）()()()12253x x x x --<-+ ，整理得2210x x -+>，解得1x ≠，即不等式的解集为()(),11,-∞+∞ .11．解下列不等式：(1)234x x <+；(2)220x x +-≥(3)()90x x ->.【答案】(1)()1,4-(2)[]1,2-(3)()0,9【详解】（1）不等式234x x <+，可化为2340x x --<，方程2340x x --=的解为11x =-或24x =，作函数234y x x =--的图象可得，观察图象可得不等式2340x x --<的解集为()1,4-，所以不等式234x x <+的解集为()1,4-；（2）不等式220x x +-≥，可化为220x x --≤，方程220x x --=的解为31x =-或42x =，作函数2y x x 2=--的图象可得，观察图象可得不等式220x x --≤的解集为[]1,2-，所以不等式220x x +-≥的解集为[]1,2-；（3）不等式()90x x ->，可化为290x x -<，方程290x x -=的解为50x =或69x =，作函数29y x x =-的图象可得，观察图象可得不等式290x x -<的解集为()0,9，所以不等式()90x x ->的解集为()0,9.12．求下列不等式的解集：(1)23100x x -->；(2)23540x x -+->【答案】(1){|5x x >或}2x <-(2)∅【详解】（1）原不等式化为()()250x x +->，解得5x >或<2x -，所以原不等式解集为{|5x x >或}2x <-；（2）原不等式化为23540x x -+<，又2(5)434230∆=--⨯⨯=-<，所以原不等式无解，解集为∅．13．解下列不等式：(1)22320x x +->；(2)2230x x -+>．【答案】(1)122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭(2)R【详解】（1）原不等式可化为22320x x --<，即()()2120x x +-<，故原不等式的解集为122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.（2）∵()2243180∆=--⨯⨯=-<,∴原不等式的解集为R .14．解不等式：(1)260x x +-≤(2)2620x x --<．【答案】(1){}32x x -≤≤(2)322x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或【详解】（1）原不等式等价于：()()320x x +-£解得：32x -≤≤所以原不等式解集为：{}32x x -≤≤（2）原不等式等价于：2260x x +->即()()2320x x -+>解得：<2x -或32x >所以原不等式的解集为：3|22x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或15．解下列不等式：(1)22320x x +->；(2)()()321x x x x -≤+-.【答案】(1)1|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭(2)1|2x x ⎧≤-⎨⎩或}1x ≥【详解】（1）原不等式可化为22320x x --<，所以(21)(2)0,x x +-<解得122x -<<，故原不等式的解集是1|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.（2）原不等式可化为2210,x x --≥所以(21)(1)0+-≥x x ，解得12x ≤-或1x ≥，故原不等式的解集为1|2x x ⎧≤-⎨⎩或}1x ≥.16．解下列不等式.(1)x 2－5x ＋6>0；(2)－3x 2＋5x －2>0.【答案】(1)()(),23,∞∞-⋃+(2)2,13⎛⎫⎪⎝⎭【详解】（1）因为()()256230x x x x =-->－＋，所以2x <或3x >，即()(),23,x ∈-∞+∞U ；（2）因为23520x x >－＋－，即23520x x +<-，所以()()1320x x --<，解得213x <<，即2,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.17．解下列不等式：(1)2230x x +->(2)24410x x -+-≥(3)24320x x -+-<【答案】(1)()3,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭(2)12⎧⎫⎨⎬⎩⎭(3)R【详解】（1）由2230x x +->可得()()2310x x +->，所以1x >或32x <-，即解集为()3,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭；（2）由24410x x -+-≥可得()2210x -≤，所以12x =，即解集为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭；（3）由24320x x -+-<可得2232343220416x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以解集为R .18．求下列不等式的解集：(1)23262x x x -++<-；(2)()()()221332x x x +->+【答案】(1){4x x <-或}1x >(2)∅【详解】（1）原不等式整理得，2340+->x x ，即()()140x x -+>，解得<4x -或1x >，∴原不等式的解集为{4x x <-或}1x >（2）原不等式整理得，2590x x ++<，2Δ5419110=-⨯⨯=-< ，∴原不等式的解集为∅.19．解下列不等式:(1)2102x x -≤+;(2)|12|3x ->．【答案】(1)12,2⎛⎤- ⎥⎝⎦；(2){1xx <-∣或2}x >【详解】（1）(2)(21)0211022022x x x x x x +-≤⎧-≤⇒⇒-<≤⎨+≠+⎩，所以不等式的解为12,2⎛⎤- ⎥⎝⎦.（2）|12|3x -> ，123x ∴->或213x ->，1x ∴<-或2x >,所以不等式的解为{1xx <-∣或2}x >.20．解下列关于x 的不等式：(1)2440x x -+-<(2)105xx ->-【答案】(1){}2xx ≠∣(2){15}x x <<∣【详解】（1）由2440x x -+-<可得：()224420x x x -+=->，所以2x ≠，故解集为{}2xx ≠∣.（2） 105x x ->-，105x x -∴<-，等价转化为()()150x x --<，解得15x <<，所以不等式解集为{15}xx <<∣.21．（1）4220x x --<；（2）()222log 5log 60x x -+≥．【答案】（1）(),1-∞；（2）(][)0,48,+∞ .【详解】（1）令()2,0xm m =>，则原不等式可化为：220m m --<，解得：12m -<<，所以02m <<.解不等式22x <，解得：1x <，所以原不等式的解集为(),1-∞（2）令2log n x =，则原不等式可化为：2560n n -+≥，解得：2n ≤或3n ≥，即2log 2x ≤或2log 3x ≥，解得：04x <≤或8x ≥，所以原不等式的解集为(][)0,48,+∞ .22．求下列不等式的解集：(1)23280x x --+≥；(2)3121xx ≤+.【答案】(1)423x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭(2)112x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭【详解】（1）因为23280x x --+≥，所以23280x x +-≤，则()()3420x x -+≤，解得423x -≤≤，所以23280x x --+≥的解集为423x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭.（2）因为3121xx ≤+，所以31021x x -≤+，则321021x x x --≤+，即1021x x -≤+，故()()1210210x x x ⎧-+≤⎨+≠⎩，解得112x -<≤，所以3121x x ≤+的解集为112x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭.23．解下列不等式的解集：(1)2440x x -+>；(2)23520x x +-->；(3)22730x x ++>；(4)221x x <-.【答案】(1)()(),22,-∞+∞ (2)2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)()1,3,2⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭(4)∅【详解】（1）2440x x -+>可化为()220x ->，解得2x ≠，所以不等式的解集为()(),22,-∞+∞ .（2）23520x x +-->可化为23520x x +<-，即()()3210x x --<，解得213x <<，所以不等式的解集为2,13⎛⎫⎪⎝⎭.（3）22730x x ++>可化为()()2130x x ++>，解得3x <-或12x >-，所以不等式的解集为()1,3,2⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭.（4）221x x <-可化为2210x x -+<，因为不等式对应的方程的判别式()214270∆=--⨯=-<，所以不等式的解集为∅．24．解下列不等式：(1)24410x x -+>；(2)2690x x -+≤；(3)2230x x -+->；(4)(2)(3)6x x +-<.【答案】(1)1{|}2x x ≠(2){|3}x x =(3)∅(4){|34}x x -<<【详解】（1） 24410x x -+>，∴()2210x ->，解得：12x ≠.所以解集为：1{|}2x x ≠（2） 2690x x -+≤，∴()230x -≤，解得：3x =.所以解集为：{|3}x x =（3） 2230x x -+->，∴()()2241380∆=-⨯-⨯-=-<，所以方程无解，解集为∅.所以解集为：∅（4） (2)(3)6x x +-<，∴()()340x x +-<，解得：34x -<<.所以解集为：{|34}x x -<<25．解下列不等式．(1)22310x x -+-<；(2)220x x ++<．【答案】(1){1x x >或12x ⎫<⎬⎭；(2)∅【详解】（1）由22310x x -+-<得：()()2110x x -->，解得：12x <或1x >，所以不等式的解集为：{1x x >或12x ⎫<⎬⎭；（2）由220x x ++<，令220x x ++=，可知141270∆=-⨯⨯=-<，又22y x x =++对应抛物线开口向上，所以220x x ++<的解集为：∅.26．求下列不等式的解集．(1)22530x x -+-≤；(2)+42+1x x ≥【答案】(1){1x x ≤或32x ⎫≥⎬⎭(2){}12x x -<≤【详解】（1）22530x x -+-≤，将原不等式变形为22530x x -+≥，即()()2310x x --≥，解得1x ≤或32x ≥，故原不等式的解集为{1x x ≤或32x ⎫≥⎬⎭；（2）+42+1x x ≥，化简得+420+1x x -≥，+20+1x x -≥，等价于()()+2+10x x -≥且+10x ≠，即1x ≠-，由()()+2+10x x -≥且1x ≠-，解得12x -<≤，故原不等式的解集为{}12x x -<≤.27．解下列不等式：(1)220x x +-<(2)()()230x x +-≤【答案】(1)()2,1-(2)(][),23,-∞-+∞ 【详解】（1）()()22210x x x x +-=+-<，解得2<<1x -，即()2,1x ∈-（2）()()230x x +-≤，即()()230x x +-≥，解得3x ≥或2x ≤-，即(][),23,x ∈-∞-+∞ 28．解下列不等式(1)2230x x -++<；(2)21134x x-≥-；(3)()()21x x x --<．【答案】(1)()3,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭；(2)23,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭；(3)((),22-∞⋃+∞.【详解】（1）由2230x x -++<，化为2230x x -->，即为()()2310x x -+>，解得1x <-或32x >，所以原不等式的解集为()3,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭；（2）由21134x x -≥-，可得64034x x -≥-，等价为()()64430x x --≤，且430x -≠，解得2334x ≤<，所以原不等式的解集为23,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭；（3）由()()21x x x --<，可得2420x x -+<，解得22x <-或22x >+，所以原不等式的解集为()(),2222,-∞-⋃++∞．29．求下列不等式的解集(1)12x x->；(2)25601x x x -++≥-．【答案】(1){}|10x x -<<(2){|1x x ≤-或}16x <≤【详解】（1）已知12x x ->，移项得120x x -->，通分化简得10x x-->，等价于()10x x -->，即()10x x +<，解得：10x -<<，故不等式12x x->的解集为{}|10x x -<<.（2）已知25601x x x -++≥-，等价于()()25610x x x -++-≥且10x -≠，即()()()6110x x x -+-≤且10x -≠，根据穿根法，如图可知不等式25601x x x -++≥-的解集为{|1x x ≤-或}16x <≤30．解下列不等式（组）(1)2134x -<-≤(2)125231x x ⎧-≤⎪⎨->⎪⎩(3)22551233x x x x +>-⎧⎪⎨-+≤⎪⎩【答案】(1)[1,1)-(2)(2,3][2,1)- (3)(,2)-∞【详解】（1）不等式2134x -<-≤可化为132134x x ->-⎧⎨-≤⎩，解得：1<1x ≤-，所以原不等式的解集为[1,1)-.（2）不等式125231x x ⎧-≤⎪⎨->⎪⎩可化为5215231x x -≤-≤⎧⎨->⎩或5215231x x -≤-≤⎧⎨-<-⎩，解得：23x <≤或21x -£<，所以原不等式的解集为(2,3][2,1)- （3）不等式225513x x x +>-⎧⎪⎨-+≤⎪⎩可化为2230x x <⎧⎪⎨-+≥⎪⎩，也即(220x x <⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得：2x <，所以原不等式的解集为(,2)-∞.31．解关于x 的不等式.(1)2260x x -->；(2)2230x x -++≥；(3)2320x x --<.【答案】(1)|2x x >｛或32｝x <-(2)3|12x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭(3)|x x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭【详解】（1）∵2260x x -->，则()()2320x x +->，∴2x >或32x <-，故不等式的解集为|2x x >｛或32｝x <-（2）∵2230x x -++≥，即2230--≤x x ，则()()2310x x -+≤，∴312x -≤≤，故不等式的解集为3|12x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭.（3）令2320x x --=，则32x =或32x =，∵2320x x --<x <<故不等式的解集为33|22x x ⎧+⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭.32．解下列不等式：(1)2210x x -++<；(2)221x x -≥-．【答案】(1){|1x x >或1}2x <-(2){|01}x x ≤<【详解】（1）因为不等式2210x x -++<可化为2210x x -->，也即(21)(1)0x x +->，解得：1x >或12x <-，所以原不等式的解集为{|1x x >或1}2x <-.（2）不等式221x x -≥-可化为22(1)01x x x ---≥-，也即01x x -≥-，所以10(1)0x x x -≠⎧⎨-≤⎩，解得：01x ≤<，所以原不等式的解集为{|01}x x ≤<.33．求下列不等式的解集：(1)22530x x -+<；(2)3102x x+<-.【答案】(1)312x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣(2)123x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭∣或【详解】（1）22530x x -+< ，()()2310x x ∴--<，解得312x <<.∴原不等式的解集为312x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣.（2）不等式3102x x+<-等价于()()3120x x +-<，()()3120x x ∴+->，解得13x <-或2x >.∴原不等式的解集为13x x ⎧<-⎨⎩∣或}2x >.34．求下列不等式的解集：(1)（x +1）(x -4)>0(2)-x 2+4x -4<0【答案】(1)()(),14,-∞-⋃+∞(2)()(),22,-∞+∞ 【详解】（1）由()()140x x +->，解得1x <-或>4x ，故不等式的解集为()(),14,-∞-⋃+∞.（2）由2440x x -+-<，得2440x x -+>，即()220x ->，解得2x ≠，故不等式的解集为()(),22,-∞+∞ .35．解下列关于x 的不等式：(1)2320x x -+>；(2)210x x ++>.【答案】(1)(,1)(2,)-∞⋃+∞(2)R【详解】（1）不等式x 2﹣3x+2>0可化为（x ﹣1）（x ﹣2）>0，解得1x <或2x >，所以不等式的解集为（-∞，1）∪（2，+∞）（2）因为不等式210x x ++>对应方程的判别式1430∆=-=-<，不等式210x x ++>的解集为R .36．利用函数解下列不等式：(1)22730x x ++>；(2)2450x x --≤；(3)213502x x -+->．(4)307x x -<+(5)413x x-≥-【答案】(1)132x x x ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭或(2){}15x x -≤≤(3)∅(4)3{|}7x x <<－(5)732x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭【详解】（1）解：方程22730x x ++=的解为1213,2x x =-=-，所以不等式的解集为132x x x ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭或；（2）解：方程2450x x --=的解为121,5x x =-=，所以不等式的解集为{}15x x -≤≤；（3）解：对于方程213502x x -+-=，由于2(6)41040∆=--⨯=-<，所以不等式的解集为∅；（4）解：307x x -<+等价于7)30()(x x <－＋，方程0()3)(7x x =－＋的解为127,3x x =-=，所以原不等式的解集是3{|}7x x <<－；（5）解：移项得4103x x --≥-通分整理得2703x x-≥-，等价于()()273030x x x ⎧--≥⎨-≠⎩，解得732x <≤，所以原不等式的解集是7|32x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭．37．解关于x 的不等式：(1)214450x x -+≤(2)2111x x +≤-【答案】(1){|59}x x ≤≤．(2){|21}x x -≤<．【详解】（1）由214450.x x -+≤所以()()590x x --≤则59x ≤≤，所以不等式214450x x -+≤的解集为：{|59}x x ≤≤．（2）由2111x x +≤-即20.1x x +≤-所以()()120x x -+≤且1x ≠，则21x -£<，所以不等式2111x x +≤-的解集为：{|21}x x -≤<．38．求下列不等式和不等式组的解集(1)2113x x -≤+(2)()2201x x x ⎧+>⎨<⎩【答案】(1){}34x x -<≤(2){}01x x <<【详解】（1）2113x x -≤+21103x x --≤+403x x -≤+，等价于()()4303x x x ⎧-+≤⎨≠-⎩，解得34x -<£，所以不等式的解集为{}34x x -<≤.（2）不等式()20x x +>解得<2x -或0x >；不等式21x <解得11x -<<，所以不等式组的解集为{}01x x <<.39．解不等式：(1)2230x x -->(2)112x x-<【答案】(1){|1x x <-或}3x >(2){|1x x <-或}0x >【详解】（1）()()223310x x x x --=-+>，解得1x <-或3x >，所以不等式2230x x -->的解集为{|1x x <-或}3x >.（2）111211,102222x x x x x x x x x------<-==<，即()210x x --<，解得1x <-或0x >，所以不等式112x x-<的解集为{|1x x <-或}0x >.40．解不等式2230x x -++<．【答案】(,1)(3,)-∞-⋃+∞【详解】由2230x x -++<得2230x x -->，即(1)(3)0x x +->，故原不等式的解集为(,1)(3,)-∞-⋃+∞，41．解下列不等式(1)224xx -<；(2)21131x x ->+【答案】(1){}12x x -<<(2)123x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭【详解】（1）由224x x -<，则2222x x -<，即22x x -<，220x x --<，()()120x x +-<，解得12x -<<.故解集为{}12x x -<<（2）由21131x x ->+，则211031x x -->+，2131031x x x --->+，2031x x -->+，2031x x +<+，()()2310x x ++<，解得123x -<<-.故解集为123x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭42．解下列不等式503x x ->+【答案】{}|35x x -<<【详解】解：原不等式等价于()()530x x -+>，即()()530x x -+<，解得35x -<<所以，原不等式的解集是{}|35x x -<<43．解下列不等式：(1)23520x x +->；(2)2121x x ->-.【答案】(1)1<23x x x ⎧⎫->⎨⎬⎩⎭或(2)1142x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【详解】（1）23520x x +->，()()3120x x -+>，解得<2x -或13x >.故不等式的解集为1<23x x x ⎧⎫->⎨⎬⎩⎭或；（2）2121x x ->-，21021x x -->-，221021x x x --+>-，41021x x -+>-，41021x x -<-，()()41210x x --<，解得1142x <<，故不等式的解集为1142x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭44．求下列不等式的解集(1)()()120x x --<(2)2540x x -+≤(3)123x -≥(4)2103x x +>-【答案】(1)()1,2(2)[]1,4(3)(][),12,-∞-⋃+∞(4)()1,3,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【详解】（1）由()()120x x --<可得12x <<，所以其解集为()1,2，（2）由2540x x -+≤可得14x ≤≤，所以其解集为[]1,4，（3）由123x -≥可得123x -≥或123x -≤-，解得2x ≥或1x ≤-，所以解集为(][),12,-∞-⋃+∞，（4）由2103x x +>-可得()()2130x x +->，所以3x >或12x <-，所以解集为()1,3,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.45．求下列不等式的解集：(1)2560x x -+>；(2)213502x x -+->．(3)2311x x +≥-【答案】(1){|3x x >或2}x <;(2)∅;(3){|1x x >或4}x ≤-.【详解】（1）因为2560x x -+>，即()()230-->x x ，解得3x >或2x <，所以不等式的解集为{|3x x >或2}x <；（2）因为213502x x -+->，即26100x x -+<，因为()2641040∆=--⨯=-<，所以方程26100x x +=-无实数根，又函数2610y x x =-+开口向上，所以26100x x -+>恒成立，所以不等式213502x x -+->的解集为∅；（3）由2311x x +≥-，即23101x x +-≥-，可得401x x +≥-，等价于(1)(4)0x x -+≥，且1x ≠，解得1x >或4x ≤-，所以不等式的解集为{|1x x >或4}x ≤-.46．解下列关于x 的不等式：(1)2310x x -<(2)1202x x -≥+【答案】(1){}|25x x -<<(2)122x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭【详解】（1）由2310x x -<得()()250x x +-<，解得25x -<<，所以解集为{}|25x x -<<.（2）原不等式可化为2102x x -≤+，等价于()()212020x x x ⎧-+≤⎨+≠⎩，解得122x -<≤，所以解集为122x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭.47．解下列不等式(1)14x<；(2)217x -<．【答案】(1){x |x ＜0或x ＞14}(2){x |－3＜x ＜4}【详解】（1）由14x <，得140x ->，即410x x ->，则x (4x －1)＞0，解得x ＜0或x ＞14，∴不等式的解集为{x |x ＜0或x ＞14}．（2）由|2x －1|＜7，得－7＜2x －1＜7，解得－3＜x ＜4，∴不等式的解集为{x |－3＜x ＜4}．48．解下列不等式：(1)()()214x x -+<；(2)201x x -≥+.【答案】(1){}|23x x -<<(2){|1x x <-或}2x ≥【详解】（1）由()()214x x -+<得260x x --<即()()023x x +-<,解得23x -<<,所以不等式的解集为{}|23x x -<<.（2）原不等式等价于(2)(1)010x x x -+≥⎧⎨+≠⎩解得1x <-或2x ≥.所以不等式的解集为{|1x x <-或}2x ≥.49．解下列不等式；(1)2230x x -+->；(2)()()2132x x -->；(3)132x x +≥-【答案】(1)∅；(2)4|13x x ⎧⎫⎨<⎩<⎬⎭(3)72,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【详解】（1）因为2230x x -+->，所以2230x x -+<，因为()2120x -+<无解，所以x ∈∅，所以原不等式的解集为∅；（2）因为()()2132x x -->，所以23740x x -+->，即23740x x -+<，因为()()3410x x --<，所以413x <<，所以原不等式的解集为4|13x x ⎧⎫⎨<⎩<⎬⎭；（3）因为132x x +≥-，所以2702x x -+≥-，即2702x x -≤-，所以()()272020x x x ⎧--≤⎨-≠⎩解得722x <≤，所以原不等式的解集为72,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.。
人教版高中数学精讲精练必修一2.1 等式与不等式的性质(精讲)(解析版)
2.1等式与不等式的性质（精讲）一．关于实数a ，b 大小比较的基本事实1.两个实数a ，b ，其大小关系有三种可能，即a >b ，a ＝b ，a <b .2.依据：a >b ⇔a －b >0；a ＝b ⇔a －b ＝0；a <b ⇔a －b <03.结论：要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小二.等式的性质性质1如果a ＝b ，那么b ＝a ；性质2如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c ；性质3如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ；性质4如果a ＝b ，那么ac ＝bc ；性质5如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝bc.三.不等式的性质性质1如果a >b ，那么b <a ；如果b <a ，那么a >b .即a >b ⇔b <a .性质2如果a >b ，b >c ，那么a >c ，即a >b ，b >c ⇒a >c .性质3如果a >b ，那么a ＋c >b ＋c .性质4如果a >b ，c >0，那么ac >bc ；如果a >b ，c <0，那么ac <bc .性质5如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.性质6如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.性质7如果a>b>0，那么a n>b n(n∈N，n≥2).一.将不等关系表示成不等式(组)1.读懂题意，找准不等式所联系的量.2.用适当的不等号连接.3.多个不等关系用不等式组表示.二.常见的文字语言与符号语言之间的转换文字语言大于，高于，超过小于，低于，少于大于等于，至少，不低于小于等于，至多，不超过符号语言><≥≤三．作差法比较两个实数(代数式)大小（“三步一结论”）1.作差：对要比较大小的两个实数(或式子)作差；2.变形：对差进行变形①将差式进行因式分解转化为几个因式相乘.②将差式通过配方转化为几个非负数之和，然后判断.3.判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；4.作出结论．四．利用不等式的性质求取值范围1.建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．2.同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．3.求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围．考点一用不等式（组）表示不等关系【例1】（2023·四川眉山）将一根长为5m 的绳子截成两段，已知其中一段的长度为x m ，若两段绳子长度之差不小于1m ，则x 所满足的不等关系为（）A ．25005x x ->⎧⎨<<⎩B ．251x -≥或521x -≥C ．52105x x -≥⎧⎨<<⎩D ．25105x x ⎧-≥⎨<<⎩【答案】D【解析】由题意,可知另一段绳子的长度为()5m x -.因为两段绳子长度之差不小于1m ，所以()5105x x x ⎧--≥⎪⎨<<⎪⎩，化简得：25105x x ⎧-≥⎨<<⎩.故选：D 【一隅三反】1．（2022秋·西藏林芝·高一校考期中）下列说法正确的是（）A ．某人月收入x 不高于2000元可表示为“x <2000”B ．某变量y 不超过a 可表示为“y ≤a ”C ．某变量x 至少为a 可表示为“x >a ”D ．小明的身高x cm ，小华的身高y cm ，则小明比小华矮表示为“x >y ”【答案】B【解析】对于A ，某人收入x 不高于2000元可表示为2000x ≤，A 错误；对于B ，变量y 不超过a 可表示为y a ≤，B 正确；对于C ，变量x 至少为a 可表示为x a ≥，C 错误；对于D ，小明身高cm x ，小华身高cm y ，小明比小华矮表示为x y <，D 错误.故选：B.2．（2023·黑龙江双鸭山）完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工x 人，瓦工y 人，则请工人满足的关系式是（）A ．54200x y +<B ．54200x y +≥C ．54200x y +=D ．54200x y +≤【答案】D【解析】依题意，请工人满足的关系式是50402000x y +≤，即54200x y +≤.故选：D3.（2022秋·甘肃庆阳·高一校考阶段练习）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含150米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x （单位：厘米）应满足的不等式为（）A ．41500.5x⨯<B ．41500.5x⨯≥C ．41500.5x⨯≤D ．41500.5x⨯>【答案】B【解析】由题意知导火索的长度x （单位：厘米），故导火索燃烧的时间为0.5x秒，人在此时间内跑的路程为40.5x ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭米，由题意可得41500.5x ⨯≥.故选：B.4．（2022秋·内蒙古呼和浩特·高一呼市二中校考阶段练习）我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大､小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大､小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为（）A ．6钱B ．7钱C ．8钱D ．9钱【答案】C【解析】依题意可设买大竹子x ，每根单价为m ，购买小竹子78x -，每根单价为1m -，所以()()576781mx x m =+--，即78654m x +=，即()610913x m =-，因为078x ≤≤，所以()10910913013610913789613m m m m⎧≤⎪-≥⎧⎪⇒⎨⎨-≤⎩⎪≤⎪⎩961091313m ⇒≤≤，根据选项8m =，30x =，所以买大竹子30根，每根8元.故选：C考点二实数（式）的比较大小【例2-1】（2023·江苏·高一假期作业）已知1a ≥，试比较M =和N =.【答案】M N<【解析】（方法1）因为1a ≥，所以0,0M N =>=>.所以M N ==0>>，所以1MN<，即M N <；（方法2）所以0,0M N =>=>，又11,M N =，所以110M N>>,所以M N <.【一隅三反】1．（2023·全国·高一假期作业）已知c ＞1，且x y ，则x ，y 之间的大小关系是（）A ．x ＞yB ．x ＝yC ．x ＜yD ．x ，y 的关系随c 而定【答案】C【解析】由题设，易知x ，y ＞0，又1x y ==<，∴x ＜y .故选：C.2．（2023·北京）设()227M a a =-+，()()23N a a =--，则有（）A ．M N >B ．M N ≥C ．M N <D ．M N≤【答案】A【解析】()()222213247561024M N a a a a a a a ⎛⎫-=-+--+=++=++> ⎪⎝⎭，∴M N >.故选：A.3．（2023·全国·高三对口高考）设实数a ，b ，c 满足①2643b c a a +=-+，②244c b a a -=-+，试确定a ，b ，c 的大小关系．【答案】c b a ≥>，当且仅当2a =时c b =．【解析】因()224420c b a a a -=-+=-≥，所以c b ≥，当且仅当2a =时，b c =，()()()()22222643442b b c c b a a a a a =+--=-+-+=+-，所以21b a =+，22131024b a a a a ⎛⎫-=-+=-+> ⎪⎝⎭，所以b a >，综上可知：c b a ≥>，当且仅当2a =时c b =．考点三利用不等式的性质判断命题的真假【例3】（2023秋·河南省直辖县级单位）下列命题中正确的是（）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若a b >，c d <，则a bc d>C ．若a b >，c d >，则a c b d ->-D ．若0ab >，a b >，则11a b<【答案】D【解析】A 选项，当0c =时，22ac bc =，故A 错误；B 选项，当1a =，0b =，2c =-，1d =-时，1,02a b c d =-=，a bc d<，故B 错误；C 选项，当1a =，0b =，1c =，0d =时，a c b d -=-，故C 错误；D 选项，若0ab >，a b >，则110b a a b ab--=<，即11a b <，故D 正确．故选：D.【一隅三反】1．（2023春·江苏扬州·高一统考开学考试）对于实数a ，b ，c ，下列命题正确的是（）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若a b >，则22a b >C ．若a b >，则||||a a b b >D ．若0a b c >>>，则b ca b a c<--．【答案】C【解析】A 选项，()2220ac bc a b c -=-≥，故A 错误；B 选项，()()22a b a b a b -=-+，因不清楚a b +的正负情况，故B 错误；C 选项，当0a b >>时，()()22||||0a a b b a b a b a b -=-=-+>；当0a b >>时，22||||0a a b b a b -=+>，当0a b >>时，()()22||||0a a b b a b b a a b -=-+=-+>，综上||||a a b b >，故C 正确；D 选项，()()()0a b c b ca b a c a b a c --=>----，故D 错误.故选：C 2．（2023春·上海宝山）下列命题中正确的是（）A ．若a b >，则22a b >B ．若a b >，则22a b >C ．若a b >，则22a b >D ．若22a b >，则a b>【答案】B【解析】取2,2a b ==-，则a b >，但是22a b =，A 错误，a b >，但是22a b =，C 错误，取3,2a b =-=，则22a b >，但是a b <，D 错误，由a b >，可得0a b >≥，所以()220a b >≥，故22a b >，B 正确，故选：B.3．（2023·全国·高一假期作业）下列命题为真命题的是（）A ．若0a b <<，则22ac bc <B ．若0a b <<，则22a ab b <<C ．若a b >，c d >，则ac bd >D ．若0a b c >>>，则c ca b<【答案】D【解析】对于A ：当0c =时，220ac bc ==，A 错误；对于B ：当0a b <<时，22a ab b >>，B 错误；对于C ：取2,1,2,3a b c d ===-=-满足a b >，c d >，而4,3ac bd =-=-，此时ac bd <，C 错误；对于D ：当0a b >>时，则0ab >，所以1a b ab ab 1⋅>⋅，即11a b <，又0c >，所以c ca b<，D 正确.故选：D.考点四利用不等式的性质证明不等式【例4】（2023·云南）（1）已知a b c <<，且0a b c ++=，证明：a a a c b c<--．（2<．(3)a ≥【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】证明：（1）由a b c <<，且0a b c ++=，所以0a <，且0,a c b c -<-<所以()()0a c b c -->，所以()()a c a c b c -<--()()b ca cbc ---，即1b c -<1a c -；所以a b c ->a a c -，即a a c -<ab c-．（2<，(3)a ≥+<，即证(3)(1)(2)a a a a +-+<-+-+；<即证(3)(1)(2)a a a a -<--；即证02<，显然成立；<【一隅三反】1．（2023·内蒙古呼和浩特）证明不等式．(1)0bc ad -≥，bd ＞0，求证：a b c db d++≤；(2)已知a ＞b ＞c ＞0，求证：b b c a b a c a c>>---．【答案】(1)见详解(2)见详解【解析】（1）证明：()()a b d b c d a b c d ad bcb d bd bd+-+++--==，因为，0bc ad -≥，所以，0ad bc -≤，又bd ＞0，所以，0ad bc bd -≤，即a b c db d++≤.（2）证明：因为a ＞b ＞c ＞0，所以有，b c -<-，0a b a c <-<-，0b c ->，则，()()()()()()()0b a c b a b b b c b b a b a c a c a b a c a b -----==>------，即有，b ba b a c>--成立；因为，0a c ->，所以，10a c >-，又b c >，所以，b c a c a c >--成立.所以，有b b ca b a c a c>>---.2．（2022·高一课时练习）设a ，b ，c ∈R ，0a b c ++=，<0abc ，证明：1110a b c++>．【答案】证明见解析【解析】证明：因为0a b c ++=，所以2222220a b c ab ac bc +++++=．又0abc ≠，所以2220a b c ++>，所以0ab bc ca ++<．因为111ab bc caa b c abc++++=，<0abc ，0ab bc ca ++<，所以1110a b c++>．考点五利用不等式的性质求范围【例5】（2023·海南）已知11,11a b a b -≤+≤-≤-≤，求23a b +的取值范围__________．【答案】[3,3]-【解析】设23()()a b a b a b λμ+=++-,则2,3,λμλμ+=⎧⎨-=⎩解得5,21.2λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故5123()()22a b a b a b +=+--，由11a b -≤+≤,故555()222a b -≤+≤，由1a b -≤-1≤,故111()222a b -≤--≤，所以23[3,3]a b +∈-.故答案为：[3,3]-.【一隅三反】1．（2022秋·贵州贵阳·高一校联考期中）已知13a <<，21b -<<，则2+a b 的取值范围是______.【答案】()3,5-【解析】∵21b -<<，∴422b -<<，∵13a <<，∴325a b -<+<.故答案为：()3,5-.2．（2022秋·湖北荆州·高一沙市中学校考阶段练习）已知14a b -≤+≤，23a b ≤-≤，则32a b -的取值范围为_________【答案】919[,]22【解析】令()()32m a b n a b a b ++-=-，则()()32m n a m n b a b ++-=-，所以32m n m n +=⎧⎨-=-⎩，可得1252m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故1532()()22a b a b a b -=++-，而11515()[,2],()[5,]2222a b a b +∈--∈，故91932[,]22a b -∈.故答案为：919[,]223．（2023·福建）若13a b -<+<，24a b <-<，23t a b =+，则t 的取值范围为______．【答案】91322t -<<【解析】设()()()()t x a b y a b x y a x y b =++-=++-，则23x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得5212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．因为()5515222a b -<+<，()1212a b -<--<-，所以()()951132222a b a b -<+--<，即91322t -<<．故答案为：91322t -<<.。
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基本不等式基本不等式知识1．（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ （2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当ba =时取“=”）2．（1）若*,R b a ∈，则ab ba ≥+2（2）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）（3）若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3．若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）4．若0>ab ，则2≥+abb a (当且仅当b a =时取“=”）5．若,,,+∈R c b a a b c c b a 3333≥++， 33abc c b a ≥++（当且仅当c b a ==时取等）应用一 直接求最值例1 求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x（3）（理科）已知+∈R y x ,，且满足232xy =，则x y +的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．6D ．4（4）已知+∈R c b a ,,且满足132=++c b a ，则cb a 31211++的最小值为 （5）若b a ,是不相等的正数，b a y ba x +=+=,2，则y x ,的大小关系是 （6）若,0,0>>b a 且,72=++b a ab 则b a +的最小值是 技巧一 凑项 例1已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值 1．函数y ＝log 2(x ＋1x －1＋5)(x >1)的最小值为( )A ．－3B ．3C ．4D ．－4 技巧二 凑系数 例2当40<<x 时，求(82)y x x =-的最大值技巧三 分离例3求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域 例4 求函数2y =的值域（单调性）相关练习1．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.（1）231,(0)x x y x x ++=> （2）12,33y x x x =+>- （3）)0(4222>+-=x x x x y2．203x <<，求函数y =3．已知二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，则a ＋1c ＋c ＋1a的最小值为( )A ．4B ．4 2C ．8D ．8 2 4．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，P 是AB 上的点，则点P 到AC 、BC 的距离乘积的最大值是_____5．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．26．某商场中秋前30天月饼销售总量f (t )与时间t (0<t ≤30)的关系大致满足f (t )＝t 2＋10t ＋16，则该商场前t 天平均售出(如前10天的平均售出为f10)的月饼最少为( )A ．18B ．27C ．20D ．167．已知函数f (x )＝x ＋px －1(p 为常数，且p >0)，若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p的值为________应用二 条件求最值 例1 已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值 例2 若实数满足2=+b a ，求ba 33+的最小值相关练习1．若44log log 2x y +=，求11x y+的最小值.并求x ,y 的值2．若+∈R y x ,且12=+y x ，求yx11+的最小值3．已知+∈R y x b a ,,,且1=+yb x a ，求y x+的最小值4．已知28,,0,1x y x y>+=，求xy 的最小值 5．已知01x <<，求函数411y x x=+-的最小值 6．已知正数x y 、满足3xy x y =++，试求xy 、x y +的范围 7．若直角三角形周长为1，求它的面积最大值 8．设a ＞b ＞c ，不等式1a －b ＋1b －c ＞λa －c恒成立，则λ的取值范围是 9．已知,0,0>>b a 且2121=++b a ，则b a +2的最小值为 10．设x 、y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y＝1，则xy 的最小值为( ) A ．4 B ．4 3 C ．9 D ．16 11．已知：a 、b 都是正数，且1a b +=，1a a α=+，1b bβ=+，求αβ+的最小值 12．设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ,则当zxy取得最小值时,2x y z +-的最大值为 （ ）A ．0B ．98C ．2D ．9413．设x ＞0，y ＞0，且(x －1)(y －1)≥2，则xy 的取值范围为_________14．（1）设0＜x ＜32，求函数y ＝4x ·(3－2x )的最大值；（2）当点(x ，y )在直线x ＋3y －4＝0上移动时，求表达式3x ＋27y ＋2的最小值； （3）已知x ，y 都是正实数，且x ＋y －3xy ＋5＝0，求xy 的最小值．应用三 利用基本不等式证明不等式1．已知c b a 、、为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a++>++2222．正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc 3．已知a 、b 、c R +∈，且1a b c ++=。
求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭4．已知c b a >>，求证：222222ca bc ab a c c b b a ++>++5．求证：nn 12131211222-<++++（2≥n ） 应用四 基本不等式与恒成立问题例 已知0,0x y >>且191x y+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。
1．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________2．设x >0，y >0，不等式1x ＋1y ＋mx ＋y≥0恒成立，则实数m 的最小值是________3．已知圆b a ay bx y x C ,(03:22=-+++为正实数）上任意一点关于直线02:=++y x l 的对称点都在圆上，则ba 31+的最小值为 4．设常数0a >,若291a x a x+≥+对一切正实数x 成立,则a 的取值范围为_______ 5．已知a 、b 、c 都是正实数，且满足log 9(9a ＋b )＝log 3ab ，求使4a ＋b ≥c 恒成立的c 的取值范围6．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为_______ 7．设函数f (x )＝x －1x .对任意x ∈[1，＋∞)，f (mx )＋mf (x )<0恒成立，则实数m 的取值范围是________8．已知0,0>>y x 且112=+yx .若m m y x 222+>+恒成立，求实数m 的取值范围 9．已知函数f (x )＝－1a ＋2x ，若f (x )＋2x ≥0，在(0，＋∞)上恒成立，则a 的取值范围是________10．已知函数f (x )＝log 2[k (x ＋4)＋2]＋1恒过定点P ，且点P 在直线y b －x a ＝2(a ，b ∈R ＋)上，则3a ＋2b 的最小值为________应用五 均值定理在比较大小中的应用： 例1 若)2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+=⋅=>>，则R Q P ,,的大小关系是 .应用六 实际应用例1 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元．（1）求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少(所购面粉第二天才能使用)；（2）若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，问该厂是否可以利用此优惠条件？请说明理由．1．某商场中秋前30天月饼销售总量f (t )与时间t (0<t ≤30)的关系大致满足f (t )＝t 2＋10t ＋16，则该商场前t 天平均售出(如前10天的平均售出为f (10)10)的月饼最少为( )A ．18B ．27C ．20D ．162．某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用(单位：万元)恰好为每次的购买吨数，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是______3．在某种商品生产过程中，每日次品数y 是每日产量x 的函数：⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-=)100(92)100(101x x x xxy ，该产品每售出一件正品获得利润A 元，每生产一件次品就损失3A元，为了获得最大利润，日产量应该是多少？ 4．（文）某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162x 平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计． （1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价． 5．（理科）为了提高产品的年产量，某企业拟在2010年进行技术改革．经调查测算，产品当年的产量x 万件与投入技术改革费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－k m ＋1(k 为常数)．如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件．已知2010年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．由于市场行情较好，厂家生产的产品均能销售出去．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍(生产成本包括固定投入和再投入两部分资金)．（1）将2010年该产品的利润y 万元(利润＝销售金额－生产成本－技术改革费用)表示为技术改革费用m 万元的函数；（2）该企业2010年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 应用六 综合应用1．若a 是2－b 与2＋b 的等比中项，则2ab |a |＋|b |的最大值为 ( )A ． 2B ．1C ．24 D ．222．若a ，b 是正常数，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y ，当且仅当a x ＝by时取等号．利用以上结论，函数f (x )＝2x ＋91－2x (x ∈(0，12))取得最小值时x 的值为 ( )A ．1B ．15C ．2D ．133．若x ，y ∈R ，且满足(x 2＋y 2＋2)(x 2＋y 2－1)－18≤0.（1）求x 2＋y 2的取值范围； （2）求证：xy ≤2.4．设第一象限内的点),(y x 满足约束条件⎩⎨⎧≥+-≤--02062y x y x ，若目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最大值为40，求ba 15+的最小值 5．已知a >1，若函数f (x )＝a x ＋x －4的正零点为m ，函数g (x )＝log a x ＋x －4的零点为n ，则1m ＋4n的取值范围是________ 6．正项等比数列{a n }中，存在两项a m ，a n (m ，n ∈N *)使得 a m a n ＝4a 1，且a 7＝a 6＋2a 5，则1m ＋5n的最小值是( ) A ．74 B ．1＋53 C ．256 D ．2537．已知M 是△ABC 内的一点，且AB ·AC ＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC ，△MCA 和△MAB 的面积分别为12，x ，y ，则1x ＋4y的最小值是( )A ．20B ．18C ．16D ．198．对于使－x 2＋2x ≤M 成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做－x 2＋2x 的“上确界”．若a ，b ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＝1，则－12a －2b 的“上确界”为________．。