【经典】高三数学基本不等式题型精讲精练

基本不等式基本不等式知识1．（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ （2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当ba =时取“=”）2．（1）若*,R b a ∈，则ab ba ≥+2（2）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）（3）若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3．若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）4．若0>ab ，则2≥+abb a (当且仅当b a =时取“=”）5．若,,,+∈R c b a a b c c b a 3333≥++， 33abc c b a ≥++（当且仅当c b a ==时取等）应用一 直接求最值例1 求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x（3）（理科）已知+∈R y x ,，且满足232xy =，则x y +的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．6D ．4（4）已知+∈R c b a ,,且满足132=++c b a ，则cb a 31211++的最小值为 （5）若b a ,是不相等的正数，b a y ba x +=+=,2，则y x ,的大小关系是 （6）若,0,0>>b a 且,72=++b a ab 则b a +的最小值是 技巧一 凑项 例1已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值 1．函数y ＝log 2(x ＋1x －1＋5)(x >1)的最小值为( )A ．－3B ．3C ．4D ．－4 技巧二 凑系数 例2当40<<x 时，求(82)y x x =-的最大值技巧三 分离例3求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域 例4 求函数2y =的值域（单调性）相关练习1．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.（1）231,(0)x x y x x ++=> （2）12,33y x x x =+>- （3）)0(4222>+-=x x x x y2．203x <<，求函数y =3．已知二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，则a ＋1c ＋c ＋1a的最小值为( )A ．4B ．4 2C ．8D ．8 2 4．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，P 是AB 上的点，则点P 到AC 、BC 的距离乘积的最大值是_____5．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．26．某商场中秋前30天月饼销售总量f (t )与时间t (0<t ≤30)的关系大致满足f (t )＝t 2＋10t ＋16，则该商场前t 天平均售出(如前10天的平均售出为f10)的月饼最少为( )A ．18B ．27C ．20D ．167．已知函数f (x )＝x ＋px －1(p 为常数，且p >0)，若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p的值为________应用二 条件求最值 例1 已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值 例2 若实数满足2=+b a ，求ba 33+的最小值相关练习1．若44log log 2x y +=，求11x y+的最小值.并求x ,y 的值2．若+∈R y x ,且12=+y x ，求yx11+的最小值3．已知+∈R y x b a ,,,且1=+yb x a ，求y x+的最小值4．已知28,,0,1x y x y>+=，求xy 的最小值 5．已知01x <<，求函数411y x x=+-的最小值 6．已知正数x y 、满足3xy x y =++，试求xy 、x y +的范围 7．若直角三角形周长为1，求它的面积最大值 8．设a ＞b ＞c ，不等式1a －b ＋1b －c ＞λa －c恒成立，则λ的取值范围是 9．已知,0,0>>b a 且2121=++b a ，则b a +2的最小值为 10．设x 、y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y＝1，则xy 的最小值为( ) A ．4 B ．4 3 C ．9 D ．16 11．已知：a 、b 都是正数，且1a b +=，1a a α=+，1b bβ=+，求αβ+的最小值 12．设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ,则当zxy取得最小值时,2x y z +-的最大值为 （ ）A ．0B ．98C ．2D ．9413．设x ＞0，y ＞0，且(x －1)(y －1)≥2，则xy 的取值范围为_________14．（1）设0＜x ＜32，求函数y ＝4x ·(3－2x )的最大值；（2）当点(x ，y )在直线x ＋3y －4＝0上移动时，求表达式3x ＋27y ＋2的最小值； （3）已知x ，y 都是正实数，且x ＋y －3xy ＋5＝0，求xy 的最小值．应用三 利用基本不等式证明不等式1．已知c b a 、、为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a++>++2222．正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc 3．已知a 、b 、c R +∈，且1a b c ++=。

求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭4．已知c b a >>，求证：222222ca bc ab a c c b b a ++>++5．求证：nn 12131211222-<++++（2≥n ） 应用四 基本不等式与恒成立问题例 已知0,0x y >>且191x y+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。

1．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________2．设x >0，y >0，不等式1x ＋1y ＋mx ＋y≥0恒成立，则实数m 的最小值是________3．已知圆b a ay bx y x C ,(03:22=-+++为正实数）上任意一点关于直线02:=++y x l 的对称点都在圆上，则ba 31+的最小值为 4．设常数0a >,若291a x a x+≥+对一切正实数x 成立,则a 的取值范围为_______ 5．已知a 、b 、c 都是正实数，且满足log 9(9a ＋b )＝log 3ab ，求使4a ＋b ≥c 恒成立的c 的取值范围6．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为_______ 7．设函数f (x )＝x －1x .对任意x ∈[1，＋∞)，f (mx )＋mf (x )<0恒成立，则实数m 的取值范围是________8．已知0,0>>y x 且112=+yx .若m m y x 222+>+恒成立，求实数m 的取值范围 9．已知函数f (x )＝－1a ＋2x ，若f (x )＋2x ≥0，在(0，＋∞)上恒成立，则a 的取值范围是________10．已知函数f (x )＝log 2[k (x ＋4)＋2]＋1恒过定点P ，且点P 在直线y b －x a ＝2(a ，b ∈R ＋)上，则3a ＋2b 的最小值为________应用五 均值定理在比较大小中的应用： 例1 若)2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+=⋅=>>，则R Q P ,,的大小关系是 .应用六 实际应用例1 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元．（1）求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少(所购面粉第二天才能使用)；（2）若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，问该厂是否可以利用此优惠条件？请说明理由．1．某商场中秋前30天月饼销售总量f (t )与时间t (0<t ≤30)的关系大致满足f (t )＝t 2＋10t ＋16，则该商场前t 天平均售出(如前10天的平均售出为f (10)10)的月饼最少为( )A ．18B ．27C ．20D ．162．某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用(单位：万元)恰好为每次的购买吨数，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是______3．在某种商品生产过程中，每日次品数y 是每日产量x 的函数：⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-=)100(92)100(101x x x xxy ，该产品每售出一件正品获得利润A 元，每生产一件次品就损失3A元，为了获得最大利润，日产量应该是多少？ 4．（文）某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162x 平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计． （1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价． 5．（理科）为了提高产品的年产量，某企业拟在2010年进行技术改革．经调查测算，产品当年的产量x 万件与投入技术改革费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－k m ＋1(k 为常数)．如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件．已知2010年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．由于市场行情较好，厂家生产的产品均能销售出去．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍(生产成本包括固定投入和再投入两部分资金)．（1）将2010年该产品的利润y 万元(利润＝销售金额－生产成本－技术改革费用)表示为技术改革费用m 万元的函数；（2）该企业2010年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 应用六 综合应用1．若a 是2－b 与2＋b 的等比中项，则2ab |a |＋|b |的最大值为 ( )A ． 2B ．1C ．24 D ．222．若a ，b 是正常数，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y ，当且仅当a x ＝by时取等号．利用以上结论，函数f (x )＝2x ＋91－2x (x ∈(0，12))取得最小值时x 的值为 ( )A ．1B ．15C ．2D ．133．若x ，y ∈R ，且满足(x 2＋y 2＋2)(x 2＋y 2－1)－18≤0.（1）求x 2＋y 2的取值范围； （2）求证：xy ≤2.4．设第一象限内的点),(y x 满足约束条件⎩⎨⎧≥+-≤--02062y x y x ，若目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最大值为40，求ba 15+的最小值 5．已知a >1，若函数f (x )＝a x ＋x －4的正零点为m ，函数g (x )＝log a x ＋x －4的零点为n ，则1m ＋4n的取值范围是________ 6．正项等比数列{a n }中，存在两项a m ，a n (m ，n ∈N *)使得 a m a n ＝4a 1，且a 7＝a 6＋2a 5，则1m ＋5n的最小值是( ) A ．74 B ．1＋53 C ．256 D ．2537．已知M 是△ABC 内的一点，且AB ·AC ＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC ，△MCA 和△MAB 的面积分别为12，x ，y ，则1x ＋4y的最小值是( )A ．20B ．18C ．16D ．198．对于使－x 2＋2x ≤M 成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做－x 2＋2x 的“上确界”．若a ，b ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＝1，则－12a －2b 的“上确界”为________．。