河南省开封市高考数学三模试卷(文科)

高考数学三模试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x=3n+2，n∈N}，B={2，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（ ）A. 5B. 4C. 3D. 22.设复数z=1+i，则=（ ）A. -iB. iC. -2iD. 2i3.空气质量指数是检测空气质量的重要参数，其数值越大说明空气污染状况越严重，空气质量越差.某地环保部门统计了该地区某月1日至24日连续24天的空气质量指数，根据得到的数据绘制出如图所示的折线图，则下列说法错误的是（）A. 该地区在该月2日空气质量最好B. 该地区在该月24日空气质量最差C. 该地区从该月7日到12日持续增大D.该地区的空气质量指数与这段日期成负相关4.“a＞b＞0”是“a+a2＞b+b2”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知函数（a∈R）为奇函数，则f（1）=（ ）A. B. C. D.6.设S n为等差数列{a n}的前n项和，若3S3=S2+S4，a5=-10，则a1=（ ）A. -3B. -2C. 2D. 37.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”．现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A. πB. 2πC. 6πD. 24π8.如图程序框图是为了求出满足1+++…+＜1000的最大正整数n的值，那么在和两个空白框中，可以分别填（ ）A. “S＜1000”和“输出i-1”B. “S＜1000”和“输出i-2”C. “S≥1000”和“输出i-1”D. “S≥1000”和“输出i-2”9.已知实数x，y满足2x+2y=1，则x+y的最大值是（ ）A. -2B.C.D. 210.如图，在正方形ABCD中分别以A，B为圆心、正方形的边长为半径画，，在正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A. B. C. D.11.已知，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=-为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且∀x∈（，），|f（x）|＜1，则ω的最大值为（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设向量=（x，x+1），=（1，2），且∥，则x=______．14.设x，y满足约束条件，则z=x+y的取值范围是______．15.在△ABC中，AB=5，AC=7，∠ABC=，则该三角形的面积是______．16.已知双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点.若，则的离心率为________.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.S n为等比数列{a n}的前n项和，已知S2=2，S3=-6．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列b n=na n，求{b n}的前n项和T n．18.如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，D在平面ABEF上的射影为EF的中点，△ADF是边长为的正三角形，直线AD与平面ABEF所成角为．（Ⅰ）求证：EF⊥AD；（Ⅱ）若EF=2CD=2AB，且AB∥EF，求该五面体的体积．19.为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产该零件的流水线上随机抽取100个零件为样本，测量其直径后，整理得到如表：直径/mm5859616263646566676869707173合计件数11356193318442121100经计算，样本的平均值=65，标准差s=2.2，以频率值作为概率的估计值．（Ⅰ）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行判定（P表示相应事件的概率）：①P（-s＜X≤+s）≥0.6826；②P（-2s＜X≤+2s）≥0.9544；③P（-3s＜X≤+3s）≥0.9974．判定规则为：若同时满足上述三个式子，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为丁．试判断设备M的性能等级．（Ⅱ）将直径尺寸在（-2s，+2s）之外的零件认定为是“次品”，将直径尺寸在（-3s，+3s）之外的零件认定为“突变品”．从样本的“次品”中随意抽取两件，求至少有一件“突变品”的概率．20.已知椭圆C：（a＞b＞0）的上顶点与左、右焦点的连线构成面积为的等边三角形．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过C的右焦点F作斜率为k的直线l1与C交于A，B两点，直线l：x=4与x 轴交于点E，M为线段EF的中点，过点B作直线BN⊥l于点N．证明：A，M，N 三点共线．21.已知函数f（x）=e x-a，g（x）=a（x-1），（常数a∈R且a≠0）．（Ⅰ）当g（x）与f（x）的图象相切时，求a的值；（Ⅱ）设h（x）=f（x）•g（x），若h（x）存在极值，求a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=a sinθ（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）求直线l的极坐标方程及曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知A（ρ1，θ）是直线l上的一点，B（ρ2，θ+）是曲线C上的一点，ρ1∈R ，ρ2∈R，若的最大值为2，求a的值．23.已知函数f（x）＝|x-1|．（1）求函数y＝f（x）-f（x＋1）的最大值；（2）若f（|a-2|＋3）＞f（（a-2）2＋1），求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查集合的交集的计算，关键是求出集合A，属于基础题．根据题意，分析可得A={x|x=3n+2，n∈N}={2，5，8，11，14，……}，由交集的定义分析可得答案．【解答】解：根据题意，A={x|x=3n+2，n∈N}={2，5，8，11，14，……}，则A∩B={2，8，14}，其中有3个元素，故选C．2.【答案】A【解析】【分析】把z=1+i代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．【解答】解：∵z=1+i，∴=．故选A．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查了进行简单的合情推理，属中档题．由折线图可以观察出结果．【解答】解：由折线图可知：该月2日指数AQI值最小，因此空气质量最好；该月24日指数AQI值最大，因此空气质量最差；该地区从该月7日到12日AQI值是持续增大；该地区的空气质量指数AQI与这段日期成正相关；故选：D．4.【答案】A【解析】解：a＞b＞0⇒a2＞b2，可得a+a2＞b+b2．反之不一定成立，例如取a=-3，b=-1时．∴“a＞b＞0”是“a+a2＞b+b2”的充分不必要条件．故选：A．由a＞b＞0，利用不等式的基本性质可得a+a2＞b+b2．反之不一定成立，例如取a=-3，b=-1时．本题考查了不等式的基本性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，关键是求出a的值，属于基础题．根据题意，由奇函数的性质可得f（0）=a-=0，解可得a=1，即可得函数的解析式，将x=1代入解析式计算可得答案．【解答】解：根据题意，函数（a∈R）为奇函数且其定义域为R，则f（0）=a-=0，解可得a=1，则f（x）=1-，故f（1）=1-=；故选B．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查等差数列的首项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，能求出首项a1．【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，3S3=S2+S4，a5=-10，∴，解得a1=2，d=-3．故选C．7.【答案】C【解析】解：如图所示，该几何体为四棱锥P-ABCD．底面ABCD为矩形，其中PD⊥底面ABCD．AB=1，AD=2，PD=1．则该阳马的外接球的直径为PB=．∴该阳马的外接球的表面积为：．故选：C．由题意，PB为球的直径，求出PB，可得球的半径，即可求出球的表面积．本题考查了四棱锥的三视图、长方体的性质、球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：由于程序框图是为了求出满足1+++…+＜1000 的最大正整数n的值，故退出循环的条件应为S≥1000，由于满足1+++…+≥1000后，（此时i值比程序要求的i值多一），又执行了一次i=i+1，故输出的应为i-2的值．故选：D．通过要求S≥1000时输出，由于满足1+++…+≥1000后，又执行了一次i=i+1，故输出的应为i-2的值．本题考查程序框图，属于基础题，意在让大部分考生得分9.【答案】A【解析】【分析】本题考查了基本不等式的性质、指数运算性质，属于基础题．实数x，y满足2x+2y=1，利用基本不等式可得1≥2，化简即可得出．【解答】解：∵实数x，y满足2x+2y=1，∴1≥2=2，化为x+y≤-2．当且仅当x=y=-1时取等号．则x+y的最大值是-2．故选A．10.【答案】A【解析】【分析】本题考查几何概型概率的求法，求解阴影部分的面积是关键，是中档题．设出正方形边长，首先求出上图阴影部分面积，再由半圆面积减去所求面积可得下图阴影部分面积，求出正方形面积，由测度比是面积比得答案．【解答】解：如图，设两圆弧交点为O，BC=2，则AC弧所在圆的方程为x2+y2=4，取x=1，可得O（1，），则BO所在直线的斜率为，∴∠OBC=，同理∠OCB=．则阴影部分的面积为2×××22-×2×=；∴下图中阴影部分的面积为：=，则在正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是．故选A．11.【答案】C【解析】解：∵a=2ln3=ln9，b=3ln2=ln8＜ln9=a，令y=(x>e)，y'=<0,所以y在（e，+）上单调递减，所以,所以,故c=，∴c＞a＞b，故选：C．利用对数的运算性质、对数函数的单调性即可得出．本题考查了对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.【答案】C【解析】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=-为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴．∴-+φ=mπ，φ=nπ+．（m，n∈Z）∴ω=2（n-m）+1，即ω为奇数．下面验证ω=5不符合题意，当ω=5时，可得φ=，函数f（x）=sin（5x+），且x∈（，）时，5x+，而，不符合x∈（，），|f（x）|＜1，则ω的最大值为3，故选：C．可得-+φ=mπ，φ=nπ+．（m，n∈Z），ω=2（n-m）+1，即ω为奇数；下面验证ω=5不符合题意，即可得答案．本题考查了三角函数的性质，考查了分析问题的能力，属于中档题．13.【答案】1【解析】【分析】考查向量坐标的概念，以及平行向量的坐标关系．根据即可得出2x-（x+1）=0，解出x即可．【解答】解：∵；∴2x-（x+1）=0；∴x=1．故答案为1．14.【答案】[2，+∞）【解析】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x+y为y=-x+z，由图可知，当直线y=-x+z过点A时直线在y轴上的截距最小，由，解得A（，），z有最小值为2．故答案为：[2，+∞）由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.【答案】【解析】【分析】本题主要考查余弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于基础试题．由已知结合余弦定理，cos=，可求a，然后代入三角形的面积公式S△ABC=即可去求解．【解答】解：∵c=AB=5，b=AC=7，∠ABC=，由余弦定理可得，cos=，∴，∴a2+5a-24=0，解可得，a=3，S△ABC===.故答案为.16.【答案】【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：右顶点为A（a，0），一条渐近线方程为bx-ay=0，圆的圆心为（a，0），半径为b，设A到渐近线的距离为d，可得2=b，解得d=b，由d==b，化简可得a2=3b2，可得e===．故答案为．17.【答案】解：（Ⅰ）等比数列{a n}的公比设为q，S2=2，S3=-6．可得a1+a2=a1+a1q=2，a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2=-6，解得a1=q=-2，则a n=（-2）n；（Ⅱ）b n=na n=n•（-2）n，前n项和T n=1•（-2）+2•4+3•（-8）+…+n•（-2）n，-2T n=1•4+2•（-8）+3•16+…+n•（-2）n+1，两式相减可得3T n=（-2）+4+（-8）+…+（-2）n-n•（-2）n+1=-n•（-2）n+1，化简可得T n=--．【解析】（Ⅰ）等比数列{a n}的公比设为q，运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，即可得到所求通项公式；（Ⅱ）求得b n=na n=n•（-2）n，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和．本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）证明：取EF中点O，连接OD，OA，∵D在平面ABEF上的射影为EF的中点，∴OD⊥平面ABEF，∴OD⊥OF，OD⊥OA，∵直线AD与平面ABEF所成角为，∴，∴OD=OA=，∴OF=，∴在△AOF中，OA2+OF2=AF2，∴OF⊥OA，∴OF⊥平面OAD，∴EF⊥AD；（Ⅱ）∵AB∥EF，AB⊄平面EFDC，∴AB∥平面EFDC，∵平面ABCD∩平面EFDC=CD，∴AB∥CD，∴CD∥EF，由（Ⅰ）知，EF⊥平面OAD，∴三棱柱OAD-EBC为直棱柱，∴V五面体=V F-OAD+V OAD-EBC==．【解析】（Ⅰ）取EF中点O，去证EF⊥平面OAD，关键是证OF⊥OA，通过AD与底面所成角入手计算借助勾股定理不难证得；（Ⅱ）把五面体由平面OAD分割成一个直三棱柱和一个三棱锥，求解就容易了．此题考查了线面垂直，线面平行，多面体求体积等，难度适中．19.【答案】解：（Ⅰ）=62.8，=67.2，-2s=60.6，=69.4，=58.4，，由图表知：P（＜X≤）=，P（）=，P（）=，∴该设备M的级别为丙级．（Ⅱ）样品中直径尺寸在（，）之外的零件共6件，其中直径尺寸在（，）之外的零件共2件，分别记为A，B，C，D，a，b，其，a，b是直径尺寸在（，）之外的零件，从样本的“次品”中随机抽取两件，所有情况共15种：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，a}，{A，b}，{B，C}，{B，D}，{B，a}，{B，b}，{C ，D}，{C，a}，{C，b}，{D，a}，{D，b}，{a，b}，至少有一件“突变品”的所有情况有9种：{A，a}，{A，b}，{B，a}，{B，b}，{C，a}，{C，b}，{D，a}，{D，b}，{a，b}，记从样本的“次品”中随意抽取两件，至少有一件“突变品”为事件Y，则P（Y）=．【解析】（Ⅰ）推导出P（＜X≤）=，P（）=，P（）=，由此得到该设备M的级别为丙级．（Ⅱ）样品中直径尺寸在（，）之外的零件共6件，其中直径尺寸在（，）之外的零件共2件，分别记为A，B，C，D，a，b，其，a，b是直径尺寸在（，）之外的零件，从样本的“次品”中随机抽取两件，利用列举法能求出至少有一件“突变品”的概率．本题考查设备级别的判断，考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）记椭圆C的焦距为2c，则，解得a=2，b=，c=1，∴椭圆C的方程为：+=1．（Ⅱ）F（1，0），设直线l1的方程为y=k（x-1），代入椭圆方程，得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，易知M（，0），N（4，y2），k AM=，k MN=，2y2（x1-）-3y1=2k（x2-1）（x1-）-3k（x1-1）=k[2x1x2-5（x1+x2）+8]=k（-+8）=0，∴k AM=k MN，∴A，M，N三点共线．【解析】（Ⅰ）根据椭圆的几何性质列方程组解得a，b，c即可得到；（Ⅱ）联立直线l1与椭圆方程，利用韦达定理以及斜率公式变形可得．本题考查了椭圆的性质，属中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）当g（x）与f（x）的图象相切时，设切点A（x0，e-a），f′（x）=e x；故过点A的切线方程为+a=e（x-x0），即y=x-x0e+e-a．∴，解得a=e，（Ⅱ）h（x）=f（x）•g（x）=a（x-1）（e x-a），h′（x）=a（xe x-a），令φ（x）=xe x-a，则φ′（x）=（x+1）e x，令φ′（x）＞0，x＞-1，令φ′（x）＜0，x＜-1，∴φ（x）在（-∞，-1）递减，在（-1，+∞）递增．若h（x）存在极值，则φ（x）min=φ（-1）=--a＜0，则a．所以，若h（x）存在极值，a的取值范围为（-）∪（0，+∞）．【解析】（Ⅰ）设切点A（x0，e-a），过点A的切线方程为y=x-x0e+e-a．得a=e，（Ⅱ）h（x）=f（x）•g（x）=a（x-1）（e x-a），h′（x）=a（xe x-a），令φ（x）=xe x-a ，只需φ（x）min=φ（-1）=--a＜0，可得a的取值范围．本题考查了导数的几何意义，函数的极值存在性问题，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）由（t为参数），消去参数t，可得直线l的普通方程为，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，得直线l的极坐标方程为，即，曲线C的极坐标方程为ρ=a sinθ（a∈R且a≠0），即ρ2=aρsinθ，由ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，得曲线C的直角坐标方程为x2+y2-ay=0；（Ⅱ）∵A（ρ1，θ）在直线上，B（ρ2，θ+）在曲线C上，∴，，∴====≤|a|，∴|a|=2，即a=±2．【解析】（Ⅰ）直接把直线参数方程消参数得直角坐标方程，结合x=ρcosθ，y=ρsinθ，得直线l的极坐标方程，把ρ=a sinθ两边同时乘以ρ，再由ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，得曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）由A（ρ1，θ）在直线上，B（ρ2，θ+）在曲线C上，得，，把化为关于θ的三角函数，求最值，即可得到a的值．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查三角函数最值的求法，是中档题．23.【答案】解：（1）函数y=f（x）-f（x+1）=|x-1|-|x|≤|（x-1）-x|=1，x-1＜x≤0，即x≤0时“=”成立，∴函数y=f（x）-f（x+1）的最大值为1；（2）函数f（x）=|x-1|在[1，+∞）上单调递增，∵|a-2|+3＞1，（a-2）2+1≥1，f（|a-2|+3）＞f（（a-2）2+1），∴|a-2|+3＞（a-2）2+1，即（|a-2|+1）（|a-2|-2）＜0，化为|a-2|＜2，解得0＜a＜4．∴实数a的取值范围是（0，4）．【解析】本题考查了函数的单调性，方程与绝对值不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．（1）函数y=f（x）-f（x+1）=|x-1|-|x|≤|（x-1）-x|，即可得出函数y=f（x）-f（x+1）的最大值．（2）函数f（x）=|x-1|在[1，+∞）上单调递增．由于|a-2|+3＞1，（a-2）2+1≥1，可得|a-2|+3＞（a-2）2+1，解出即可得出．。