高考数学文科模拟试卷含答案解析
2023年高考数学模拟考试卷及答案解析(文科)
2023年高考数学模拟考试卷及答案解析（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．集合{}|2sin 1,R A x x x ==∈，{}230B x x x =-≤，则A B = （）A ．[]0,3B ．π6⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．π5π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．π5π,66⎧⎫⎨⎩⎭【答案】D【分析】根据三角函数的性质求出集合A ,再解一元二次不等式求出集合B ，即可求解.【详解】由2sin 1x =得1sin 2x =解得π2π6x k =+或5π2π,Z 6k k +∈，所以π|2π6A x x k ⎧==+⎨⎩或5π2π,Z 6k k ⎫+∈⎬⎭，又由230x x -≤解得03x ≤≤，所以{}03B x x =≤≤，所以A B = π5π,66⎧⎫⎨⎬⎩⎭，故选:D.2．已知实数a ，b 满足()()i 2i 2i a b +-=+（其中i 为虚数单位），则复数i z b a =+的共轭复数为（）A ．43i 55+B ．43i55-C ．34i55+D ．34i55-【答案】B【分析】根据复数的运算法则得到35a =，45b =，再计算共轭复数得到答案.【详解】实数a ，b 满足()()i 2i 2i a b +-=+（其中i 为虚数单位），故()()()22i 2i 34i i 2i 2i 2i 55a b +++===+--+，35a =，45b =，复数43i i 55z b a =+=+的共轭复数43i 55z =-，故选：B3．若,a b += 且a b ⊥ ，则向量a b +与a 的夹角为（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】A【分析】结合平面向量的数量积运算及模长运算即可求解a b +与a的夹角.【详解】因为a b ⊥，所以0a b ⋅=又因为a b a +，所以222423a a b b a +⋅+= ，及223a b = ，所以2a b b+=所以a b + 与a 的夹角表示为,a b a + ，则()2cos ,2a b a a a b aa b a a b aa b a a b +⋅+⋅+====+⋅+⋅+所以a b +与a的夹角为π6.故选：A.4．某校组织了一次航空知识竞赛，甲、乙两个班级各派8名同学代表参赛．两个班级的数学课代表合作，将甲、乙两班所有参赛同学的得分绘制成如图所示的茎叶图，则下列结论错误的是（）A ．甲班参赛同学得分的极差比乙班参赛同学得分的极差小B ．甲班参赛同学得分的中位数比乙班参赛同学得分的中位数低C ．甲班参赛同学得分的平均数为84D ．乙班参赛同学得分的第75百分位数为89【答案】D【分析】A.利用极差的定义求解判断； B.利用中位数的定义求解判断； C.利用平均数的定义求解判断； D.利用百分位数的定义求解判断.【详解】对A ，甲班参赛同学得分的极差为937617-=，乙班参赛同学得分的极差为947123-=，故正确；对B ，甲班参赛同学得分的中位数是8284832+=，乙班参赛同学得分的中位数是828583.52+=，故正确；对C ，甲班参赛同学得分的平均数为7679808284889093848+++++++=，故正确；对D ，乙班参赛同学得分为71，80，81，82，85，89，90，94，3864⨯=，取第6个与第7个数的平均数为第75百分位数，即为899089.52+=，故错误.故选：D5．已知0x >，0y >，282x y ⋅=，则113xy+的最小值是（）A ．2B ．C ．4D ．【答案】C【分析】首先根据已知条件得到31x y +=，再利用基本不等式的性质求解即可.【详解】因为33282222x y x y x y +⋅=⋅==，所以31x y +=，因为0x >，0y >，所以()111133224333x y x y xy x y y x ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭.当且仅当33x y y x =，即12x =，16y =时等号成立.故选：C6．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，动点M 在C 上，圆M 的半径为1，过点F 的直线与圆M 相切于点N ，则FM FN ⋅ 的最小值为（）A ．-1B ．0C ．1D ．2【答案】B【分析】利用向量数量积的定义得22||||1FM FN FN FM ⋅==-，再根据抛物线的定义可得||2M pFM x =+，进而可求解.【详解】2222||||1()1(1)11102M M pFM FN FN FM x x ⋅==-=+-=+-≥-= ，当0M x =即点M 为坐标原点时，取最小值，故选:B.7．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图，若输入的2,2x n ==，一次输入的a 为2、2、5，则输出的s 等于（）A ．34B ．17C ．12D ．7【答案】B【分析】模拟程序运行，观察变量值，判断条件可得结论．【详解】程序运行时，变量值变化如下：2x =，2n =，0k =，0s =，2a =，2s =，1k =，不满足k n >；2a =，6s =，2k =，不满足k n >；5a =，17s =，3k =，满足k n >．输出17s =．故选：B ．8．已知函数()y f x =的图象的一部分如图所示，则该函数解析式可能是（）A ．()2sin f x x x =⋅B ．()2cos f x x x=⋅C ．())cos ln f x x x=⋅D ．())cos lnf x x x=⋅【答案】D【分析】根据奇偶性可排除B ；A 中函数与与x 轴交点间距离相等，与图象不符，可排除A ；根据()0,1x ∈时，)cos ln 0y x x =⋅-<可排除C ，由此可得正确选项.【详解】由图象可知：()f x 图象关于原点对称，则()f x 为奇函数，()()22cos cos x x x x -⋅-= ，2cos y x x ∴=⋅为偶函数，排除B ；令2sin 0x x ⋅=，解得：()πx k k =∈Z ，则2sin y x x =⋅与x 轴交点间距离相等，与图象不符，排除A ；当()0,1x ∈时，)lnln10x =<=，cos 0x >，)cos ln0x x ∴⋅<，即在0x =右侧)cos lny x x =⋅函数值先为负数，与图象不符，排除C.故选：D.9．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，H 为EF 的中点，沿AE ，EF ，FA 将正方形折起，使B ，C ，D 重合于点O ，在构成的三棱锥O AEF -中，下列结论错误的是（）A ．AO ⊥平面EOFB ．三棱锥O AEF -的体积为13C ．直线AH 与平面EOF 所成角的正切值为D ．⊥AE 平面OAH 【答案】D【分析】利用线面垂直的判定定理即可判断A ，利用体积法即可判断B ，作出三棱锥的直观图，作出要求的空间角即可判断C ，利用线面垂直的判定定理证明EF ⊥平面OAH 即可判断D【详解】翻折前，AB BE ⊥，AD DF ⊥，故翻折后，OA OE ⊥，OA OF ⊥，又OE OF O ⋂=，,OE OF ⊂平面EOF ，OA ∴⊥平面EOF ，故A 正确；由题意可知，三棱锥的侧棱AO ⊥底面OEF ，则111112323O AEFA OEF V V --==⨯⨯⨯⨯=，故B 正确；连接OH ，AH ，则OHA ∠为AH 与平面EOF 所成的角，1OE OF == ，H 是EF 的中点，OE OF ⊥，122OH EF ∴==．又2OA =，tan OA OHA OH ∴∠==C 正确；OA ⊥ 平面EOF ，EF ⊂平面EOF ，OA EF ∴⊥，又OH EF ⊥，,,OA OH O OA OH ⋂=⊂平面OAH ，EF ∴⊥平面OAH ．∵AE 与EF 不平行，AE ∴不可能与平面OAH 垂直，故D 错误．故选：D ．10．已知数列{}n a 的前n 项和组成的数列{}n S 满足11S =，25S =，21320n n n S S S ++-+=，则数列{}n a 的通项公式为（）A ．12n n a -=B ．11,122,2n n n a n -=⎧=⎨+≥⎩C ．1,12,2n nn a n =⎧=⎨≥⎩D ．2nn a =【答案】C【分析】首先计算得11a =，24a =，故可排除A ，D ；由21320n n n S S S ++-+=，得212n n a a ++=，从而得数列{}n a 从第2项起成等比数列，首项为4，公比为2的等比数列，根据等比数列的通项公式求解即可.【详解】解：因为11S =，25S =，所以111a S ==，2214a S S =-=，故可排除A ，D ；又因为21320n n n S S S ++-+=，所以2112()n n n n S S S S +++-=-，即212n n a a ++=，又因为21441a a ==，所以当2n ≥时，数列{}n a 是首项为4，公比为2的等比数列，所以2422n n n a -=⨯=，所以1,12,2n nn a n =⎧=⎨≥⎩.故选：C.11．设函数()()π2sin 10,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+->≤≤ ⎪⎝⎭与()1cos 2g x x θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有相同的对称轴,且()f x 在[]0,5π内恰有3个零点,则ϕ的取值范围为（）A ．π50,π312⎡⎤⎧⎫⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭ B ．πππ0,,432⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦C ．π50,π612⎡⎤⎧⎫⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭ D ．πππ0,,632⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦【答案】D【分析】根据()f x 与()g x 有相同对称轴,求出ω的值,对()f x 的相位进行换元,根据π02ϕ≤≤,确定定义域大致范围,画出新函数图象,分ϕ在第一个零点前后两种情况讨论,根据有3个零点,写出不等式求出范围即可.【详解】解:由题知,因为()f x 与()g x 有相同对称轴,所以12ω=,即()12sin 12f x x ϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,π02ϕ≤≤,令15π,22t x ϕϕϕ⎡⎤=+∈+⎢⎥⎣⎦,即2sin 1=-y t 在5π,2ϕϕ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上有3个零点,因为π02ϕ≤≤,所以5π5π3π22ϕ≤+≤画出2sin 1y ϕ=-图象如下所示:当π06ϕ≤≤时,2sin 1=-y t 在5π,2ϕϕ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上有3个零点,只需13π5π17π626ϕ≤+<,解得ππ33ϕ-≤<,故π06ϕ≤≤;当ππ62ϕ≤≤时,2sin 1=-y t 在5π,2ϕϕ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上有3个零点,只需17π5π3π62ϕ≤+≤,解得ππ32ϕ≤≤,综上:π06ϕ≤≤或ππ32ϕ≤≤.故选:D12．已知菱形ABCD 的边长为2，60BAD ∠= ，将BCD △沿对角线BD 翻折，使点C 到点P 处，且二面角A BD P --的平面角的余弦值为13-，则此时三棱锥P ABD -的外接球的体积与该三棱锥的体积比值为（）AB C ．4πD ．【答案】C【分析】根据菱形性质和二面角平面角定义可知1cos 3AOP ∠=-，利用余弦定理求得PA 后，结合勾股定理可知PD DA ⊥，PB BA ⊥，由此可确定三棱锥的外接球半径为12PA =BD ⊥平面AOP ，结合棱锥体积公式可求得P ABD V -，作比即可得到结果.【详解】连接BD AC ，交于O ，连接PO ，易得O 为BD 与AC的中点，四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥，即AO BD ⊥，PO BD ⊥，∴二面角A BD P --的平面角为AOP ∠，1cos 3AOP ∴∠=-；又2AB AD ==，60BAD ∠=，AO PO ∴==，2BD =；在AOP中，由余弦定理得：PA =；2PD AD == ，2PB AB ==，22222PD AD PB AB PA ∴+=+=，PD DA ∴⊥，PB BA ⊥，∴三棱锥P ABD -的外接球球心为PA 中点，半径为12PA ∴三棱锥P ABD -的外接球体积34π33V =⨯=；AO BD ⊥ ，PO BD ⊥，AO PO O = ，,AO PO ⊂平面AOP ，BD ∴⊥平面AOP ，1cos ,0180,3AOP AOP ∠=-︒<∠<︒sin 3AOP ∴∠=，1sin 2AOP S AO PO AOP ∴=⋅∠=13P ABD AOP V S BD -∴=⋅=∴三棱锥P ABD -的外接球的体积与该三棱锥的体积之比为34πP ABDV V -=.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查多面体的外接球问题的求解，解题关键是能够结合二面角的大小和勾股定理确定三棱锥的侧面PDA 和PBA 为直角三角形，并且有公共斜边PA ，结合直角三角形的性质确定三棱锥外接球球心即为PA 的中点.第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，且各项均为正整数，如果11,16n a a ==，那么n d +的最小值为______.【答案】9【分析】由题意可得()11515153n d -==⨯=⨯，再结合数列的各项均为正整数可求出,n d ，从而可求得结果.【详解】由等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-，得()1116n d +-=，()11515153n d -==⨯=⨯，因为数列的各项均为正整数，所以1151n d -=⎧⎨=⎩，或1115n d -=⎧⎨=⎩，或153n d -=⎧⎨=⎩，或135n d -=⎧⎨=⎩，所以161n d =⎧⎨=⎩，或215n d =⎧⎨=⎩，或63n d =⎧⎨=⎩，或45n d =⎧⎨=⎩，所以n d +最小值为9.故答案为：914．从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为___________．【答案】310##0.3【分析】由列举法得所有基本事件，根据古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】从5条线段中任取3条线段的基本事件有()()()()()()()()()(){}135137139157159179357359379579，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，,总数为10，能构成三角形的情况有：(3,5,7),(3,7,9),(5,7,9)，共3个基本事件，故概率为310．故答案为：31015．在平面直角坐标系xOy 中，圆22(1)(2)4x y -+-=上一点到直线()20mx ny n m -+-=的最大距离为______．【答案】3【分析】由于直线()20mx ny n m -+-=恒过点()2,2，则圆心()1,2与点()2,2连线与直线()20mx ny n m -+-=垂直，进而可得答案．【详解】圆22(1)(2)4x y -+-=的圆心为()1,2，半径为2，因为直线()20mx ny n m -+-=为()()220m x n y -+-=，所以直线()20mx ny n m -+-=恒过点()2,2，若圆22(1)(2)4x y -+-=上一点到直线()20mx ny n m -+-=的距离最大，则圆心()1,2与点()2,2连线与直线()20mx ny n m -+-=垂直，又圆心与()2,2距离1d ==，所以最大距离为123d r +=+=，故答案为：3．16．已知函数()f x ，()g x 的定义域为R ，若对x ∀∈R ，()()25f x g x +-=，()()47g x f x --=，()()22g x g x -=+成立，且()24g =，则()()()()()1232223f f f f f +++++= __________.【答案】25-【分析】代入0x =到()()25f x g x +-=中得出()01f =，再推导出()f x 的周期进行求解即可.【详解】因为()()25f x g x +-=①，且()()22g x g x -=+②，()()47g x f x --=即()()227g x f x +--=，结合②可得()()227g x f x ---=③，①③相减有()()22f x f x +-=-，故()()22f x f x ++=-④，即()()22f x f x +=-，故()f x 周期为4.在①中令0x =，有()()025f g +=，又()24g =，可得()01f =.由④，令0x =，1x =有()()()()02132f f f f +=+=-，结合()f x 周期为4，则()()()()()1232223f f f f f +++++ ()()()()()()()012322230f f f f f f f =++++++- ()()()()()()601230f f f f f =+++-()64125=⨯--=-故答案为：25-三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．(12分）如图，四边形ABCD 是正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF DE ∥，24AD DE AF ===．(1)求证：AC ⊥平面BDE ；(2)求三棱锥B DEF -的体积．【答案】(1)证明见解析(2)323【分析】（1）利用线线垂直证明线面垂直即可；（2）通过图形中的垂直关系得到三棱锥的底面积和高，利用三棱锥的体积公式求解即可.【详解】（1）因为四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，因为DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC DE ⊥，又因为BD DE D ⋂=，,BD DE ⊂平面BDE ，所以AC ⊥平面BDE ．（2）因为DE ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以DE AD ⊥，因为AF DE ∥，所以点F 到DE 的距离为4，14482DEF S =⨯⨯=△，因为AB AD ⊥，DE AB ⊥，AD D =，,AD DE ⊂平面ADEF ，所以AB ⊥平面ADEF ,所以点B 到平面DEF 的距离为4，所以1328433B DEF V -=⨯⨯=．18．(12分）如图，在ABC 中，π2ACB ∠=，π3CAB ∠=，2AC =，点M 在线段AB 上．(1)若cos 6CMA ∠=，求CM 的长；(2)点N 是线段CB上一点，MN =4BM BN +=+12BMN ABC S S =△△．【答案】(1)6(2)证明见解析【分析】（1）在CMA 中，利用正弦定理求解即可得到答案；（2）因为MN =4BM BN +=+2222cos MN BM BN BM BN ABC =+-⋅∠化得：BM BN ⋅=出BMN S 和ABC S 的值，即可得证：12BMN ABC S S =△△.【详解】（1）在CAM V中，cos CMA ∠=sin CMA ∴∠=由正弦定理：sin sin CM AC CAM CMA=∠∠，得πsin232 6.sin AC CM CMA ⋅⨯==∠（2）在BMN中，4MN BM BN +=+由余弦定理得:22222cos ()2(12MN BM BN BM BN ABC BM BN BM BN =+-⋅∠=+-⋅⋅+(224-21BM BN ⎛=⋅⋅ ⎝⎭即BM BN ∴⋅=1π11sin 2622BMN S BM BN =⋅=⨯= 又，122ABC S =⨯⨯= ∴12BMN ABC S S =△△19．(12分）为了庆祝神舟十四号成功返航，学校开展了“航天知识”讲座，为了解讲座效果，从高一甲乙两班的学生中各随机抽取5名学生的测试成绩，这10名学生的测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示．(1)若x 甲，x 乙分别为甲、乙两班抽取的成绩的平均分，2S 甲，2S 乙分别为甲、乙两班抽取的成绩的方差，则x 甲______x 乙，2S 甲______2S 乙．（填“>”或“<”）(2)若成绩在85分（含85分）以上为优秀，（ⅰ）从甲班所抽取的5名学生中任取2名学生，则恰有1人成绩优秀的概率；（ⅱ）从甲、乙两班所抽取的成绩优秀学生中各取1人，则甲班选取的学生成绩不低于乙班选取的学生成绩的概率．【答案】(1)<，>；(2)（ⅰ）35；（ⅱ）58.【分析】（1）利用给定的茎叶图，结合平均数、方差的意义计算判断作答.（2）（ⅰ）（ⅱ）利用列举法，结合古典概率求解作答.【详解】（1）由茎叶图知，7778838696845x ++++==甲，7986889092875x ++++==乙，所以x 甲<x 乙；2222221[(7784)(7884)(8384)(8684)(9684)]46.85S =-+-+-+-+-=甲，2222221[(7987)(8687)(8887)(9087)(9287)]205S =-+-+-+-+-=乙，所以2S 甲>2S 乙.（2）（ⅰ）抽取的两名学生成绩分别为,x y ，把他们记为(,)x y ，从甲班所抽取的5名学生中任取2名学生，他们的成绩组成的不同结果：()()()()()()()()()()77,78,77,83,77,86,77,96,78,83,78,86,78,96,83,86,83,96,86,96，共10个，恰有1人成绩优秀的事件A 有：(77,86),(77,96),(78,86),(78,96),(83,86),(83,96)，共6个，所以恰有1人成绩优秀的概率63()105P A ==.（ⅱ）依题意，甲班成绩优秀学生有2人，成绩分别为86,96，乙班成绩优秀学生有4人，成绩分别为86,88,90,92，从甲、乙两班所抽取的成绩优秀学生中各取1人，按甲班的在前、乙班的在后写在括号内，不同结果有：()()()()(96,86),(96,88),(96,90),(96,92)86,86,86,88,86,90,86,92,，共8个，甲班选取的学生成绩不低于乙班选取的学生成绩的事件B 有：(86,86),(96,86),(96,88),(96,90),(96,92)，共5个，所以甲班选取的学生成绩不低于乙班选取的学生成绩的概率5()8P B =.20．(12分）已知函数()ln 1f x mx x =--．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)函数()2ex x g x =，若()()f x g x >在()0,∞+上恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)11em >+【分析】(1)分类讨论，根据函数的导数分0m ≤和0m >求解；(2)分离参变量得到1eln x x xm x +>+，讨论函数()n e l 1x x x F x x +=+的单调性和最值求解.【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()11mx f x m xx-'=-=，①当0m ≤时，()0f x '<，所以()f x 在上()0,∞+为单调递减函数，②当0m >时，令()0f x '<解得10x m<<，令()0f x ¢>解得1x m >，所以()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为单调递减函数，在1,m⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭为单调递增函数．（2）由()()f x g x >得，21eln xx mx x -->∴1eln x x xm x +>+，令()n e l 1x x x F x x +=+，()2ln 1ex x xF x x --=+'当()0,1x ∈时()0F x '>，()1,x ∈+∞时，()0F x '<，所以()F x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，∴()()max e111F x F ==+故11em >+．21．(12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点(2,0)A ，P 为椭圆C 上的动点，且点P 不在x 轴上，O 是坐标原点，AOP 面积的最大值为1．(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)过点(1,0)H -的直线PH 与椭圆C 交于另一点Q ，直线,AP AQ 分别与y 轴相交于点E ，F ．当||2EF =时，求直线PH 的方程．【答案】(1)2214x y +=60y -=60y +=【分析】(1)由椭圆的右顶点(2,0)A 可得2a =，若要AOP 面积最大，则需PK 最长，此时点P 在y 轴上，AOP 面积可得1b =，从而求得椭圆C 的方程，再由222a b c =+可求得c ，从而可得离心率；(2)设直线PH 的方程为：(1),(0)y k x k =+≠，与椭圆联立方程组可解得一元二次方程，从而可得出韦达定理的表达式，再通过直线PA ，QA 的方程得出点E ，F 坐标，进而表达出||2EF =，从而可解得k ，求得直线PH 的方程.【详解】（1）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>， (2,0)A ，∴2a =，P 为椭圆C 上的动点，且点P 不在x 轴上，O 是坐标原点，过点P 作PK x ⊥轴，垂足为K ，故AOP 面积为11222AOP S OA PK PK =⨯⨯=⨯⨯V ，若要AOP 面积最大，则需PK 最长，此时点P 在y 轴上，即PK OP =时，使得AOP 面积最大，112122AOP S OA PK OP =⨯⨯=⨯⨯=V ,1OP ∴=,1,b c ∴==∴椭圆C 的方程为2214x y +=，离心率为c e a ==（2）P 为椭圆C 上的动点，过点(1,0)H -的直线PH 与椭圆C 交于另一点Q ，可记11(,)P x y ，22(,)Q x y ，当直线PH 的斜率不存在时，即PH x ⊥轴时，22PQ b <=，此时直线,AP AQ 分别与y 轴相交于点E ，F ．此时||2EF PQ <<，不符合题意.当直线PH 的斜率存在时，设直线PH 的方程为：(1),(0)y k x k =+≠，联立22(1)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得()222114x k x ++=,化简得()2222148440k x k x k +++-=，由韦达定理可得212221228144414k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，所以21214x x k -=+，由11(,)P x y ，22(,)Q x y ，(2,0)A ，则直线PA 的方程为：11(2)2y y x x =--，直线QA 的方程为：22(2)2y y x x=--，因为直线,AP AQ 分别与y 轴相交于点E ，F ，令0x =分别代入直线PA ,直线QA 可得：点1120,2y E x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，2220,2y F x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，121212122222222y y y y EF x x x x --∴=-=-----又11(,)P x y ，22(,)Q x y 在直线PH 方程(1),(0)y k x k =+≠上，所以有1122(1),(1)y k x y k x =+=+，分别代入EF 并化简可得()()21121212123222224k x x y yEF x x x x x x -=-=---++=2= ||2EF =，∴2=1=，解得216k =，k∴=±故直线PH 的方程为：(1)6y x =+或(1)6y x =-+，60y -=60y +=.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为2853cos 2ρθ=-，直线l 与曲线C 相交于A ，B两点，)M．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若2AM MB =，求直线l 的斜率．【答案】(1)2214x y +=(2)2±【分析】（1）根据极坐标与直角坐标直角的转化222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，运算求解；（2）联立直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程，根据参数的几何意义结合韦达定理运算求解.【详解】（1）∵()()222222288453cos 2cos 4sin 5cos sin 3cos sin ρθθθθθθθ===-++--，则2222cos 4sin 4ρθρθ+=，∴2244x y +=，即2214x y +=，故曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=.（2）将直线l的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的直角坐标方程为2214xy +=，得)()22cos sin 14t t αα+=，整理得()()222cos 4sin 10t t ααα++-=，设A ，B 两点所对应的参数为12,t t ，则1212221cos 4sin t t t t αα+==-+，∵2AM MB =，则122t t =-，联立1212222cos 4sin t t t t ααα=-⎧⎪⎨+=-⎪+⎩，解得122222cos 4sin cos 4sin t t αααααα⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，将12,t t 代入12221cos 4sin t t αα=-+得2222221cos 4sin cos 4sin cos 4sin αααααααα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭，解得2223tan 4k α==，故直线l的斜率为2±.23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设a 、b 、c 为正数，且b c c a a ba b c+++≤≤.证明：(1)a b c ≥≥；(2)()()()2324a b b c c a abc +++≥.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由不等式的基本性质可得出111abc≤≤，利用反比例函数在()0,∞+上的单调性可证得结论成立；（2）利用基本不等式可得出a b +≥，2b c +≥3c a +≥等式的基本性质可证得结论成立.【详解】（1）证明：因为a 、b 、c 为正数，由b c c a a ba b c +++≤≤可得a b c a b c a b ca b c++++++≤≤，所以，111a b c≤≤，因为函数1y x =在()0,∞+上为增函数，故a b c ≥≥.（2）证明：由基本不等式可得a b +≥，2b c b b c +=++≥()322c a c a a a +=++≥+≥=由不等式的基本性质可得()()()2171131573362244412232424a b b c c a a b b c a c a b c+++≥=11764122424ab a b c abc ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，当且仅当a b c ==时，等号成立，故()()()2324a b b c c a abc +++≥.。
高三文科数学模拟试题含答案
高三文科数学模拟试题含答案高三文科数学模拟试题本试卷共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1.复数3+ i的虚部是（）。
A。
2.B。
-1.C。
2i。
D。
-i2.已知集合A={-3,-2,0,1,2}，集合B={x|x+2<0}，则A∩(CRB) =（）。
A。
{-3,-2,0}。
B。
{0,1,2}。
C。
{-2,0,1,2}。
D。
{-3,-2,0,1,2}3.已知向量a=(2,1)，b=(1,x)，若2a-b与a+3b共线，则x=（）。
A。
2.B。
11/22.C。
-1.D。
-24.如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为（）。
A。
4π/3.B。
π。
C。
3π/2.D。
2π5.将函数f(x)=sin2x的图像向右平移π/6个单位，得到函数g(x)的图像，则它的一个对称中心是（）。
A。
(π/6,0)。
B。
(π/3,0)。
C。
(π/2,0)。
D。
(π,0)6.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）。
开始是否输出结束A。
-10.B。
-3.C。
4.D。
57.已知圆C:x^2+2x+y^2=1的一条斜率为1的切线l1，若与l1垂直的直线l2平分该圆，则直线l2的方程为（）。
A。
x-y+1=0.B。
x-y-1=0.C。
x+y-1=0.D。
x+y+1=08.在等差数列{an}中，an>0，且a1+a2+⋯+a10=30，则a5⋅a6的最大值是（）。
A。
4.B。
6.C。
9.D。
369.已知变量x,y满足约束条件2x-y≤2，x-y+1≥0，设z=x^2+y^2，则z的最小值是（）。
A。
1.B。
2.C。
11.D。
3210.定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)=2，当x<0时，f(x)=1-|x-3|，则函数F(x)=f(x)-a(0<a<1)的所有零点之和为（）。
全国卷高考文科数学模拟题及答案解析
全国卷高考文科数学模拟题及答案解析全国卷高考文科数学模拟题及答案解析本试卷共23小题，满分150分，考试用时120分钟。
参考公式：锥体的体积公式$V=\frac{1}{3}Sh$，其中$S$为锥体的底面积，$h$为高。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知$A=\{(x,y)|x+y=0,x,y\in R\}$，$B=\{(x,y)|x-y-2=0,x,y\in R\}$，则集合$A\cap B$等于（）。
A．$\{(x,y)|x=1\}$。
B．$\{(x,y)|y=-1\}$C．$\{1,-1\}$。
D．$\{(1,-1)\}$2.下列函数中，在其定义域内是减函数的是（）。
A．$f(x)=-x+x^2+1$。
B．$f(x)=\frac{1}{x}$C．$f(x)=\log x$。
D．$f(x)=\ln 3x$3.已知函数$f(x)=\begin{cases}x(x+1),&x<0\\x(x-1),&x\geq0\end{cases}$，则函数$f(x)$的零点个数为（）。
A．1.B．2.C．3.D．44.等差数列$\{a_n\}$中，若$a_2+a_8=15-a_5$，则$a_5$等于（）。
A．3.B．4.C．5.D．65.已知$a>0$，$f(x)=x^4-ax+4$，则$f(x)$为（）。
A．奇函数。
B．偶函数。
C．非奇非偶函数。
D．奇偶性与$a$有关6.已知向量$\boldsymbol{a}=(1,2)$，$\boldsymbol{b}=(x,4)$，若向量$\boldsymbol{a}$与向量$\boldsymbol{b}$平行，则$x$=（）。
A．2.B．$-2$。
C．8.D．$-8$7.设数列$\{a_n\}$是等差数列，且$a_2=-8$，$a_{15}=5$，$S_n$是数列$\{a_n\}$的前$n$项和，则（）。
2023届高考文科数学模拟试卷二十(含参考答案)
2023届高考文科数学模拟试卷二十（含参考答案）本试卷共1小题， 满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i 是虚数单位，则复数3232i i i z ++=所对应的点落在A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2. 已知全集，}21{<<-=x x A ，}0{≥=x xB ，则=)(B AC UA ．}20{<≤x xB ．}0{≥x xC ．}1{-≤x xD ．}1{->x x3．公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且16122=a a ，则=92log a A ．4 B.5 C.6 D.7 4．在ABC ∆中, 已知向量)72cos ,18(cos 0=AB , )27cos 2,63cos 2(00=AC , 则BAC ∠cos 的值为 A ．0 B ．21C ．22D ．235．一正方体被过棱的中点M 、N 和顶点A 、D 、C 1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为A ．B ．C ．D ．6．命题:p 若R b a ∈,，则1>+b a 是1>+b a 的充分而不必要条件；命题:q 函数21--=x y 的定义域是),3[]1,(+∞--∞ ，则A ．“p 或q ”为假 B. “p 且q ”为真 C. p 真q 假 D. p 假q 真R U =题图第157．若⎩⎨⎧≤+≥+1022y x y x ，则y x +2的取值范围是 A ．[22, 5 ] B ． [－22 ,22] C ． [－22, 5 ] D ． [－ 5 , 5 ]8 在圆422=+y x 上与直线01234=-+y x 距离最小的点的坐标是( )A.)56,58(B. )56,58(-C. )56,58(-D. )56,58(--9．函数x x y cos +=的大致图象是 （ ）A ．B ．C ．D ．10．已知命题“x ∃∈R ，12x a x -++≤”是假命题，则实数a 的取值范围是 A.)1,3(- B. ]1,3[- C. ),1()3,(+∞--∞ D. ),1[]3,(+∞--∞第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11. 双曲线229161x y -=的焦距是___________. 12．已知53)4sin(=-x π，则 x 2sin 的值为 . 13．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序， 则输出的结果是 .（二）选做题（请考生在以下两个小题中任选一题做答）14．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知圆C 的极坐标方程是θρcos 4=，则它的圆心到直线l ：⎩⎨⎧+=--=ty tx 2322（t 为参数）的距离等于 .15．如图，已知是⊙O 外一点，为⊙O 的切线，为切点， 割线经过圆心，若， ，则⊙O 的半径长为 ．P PD D PEF O 12PF =PD =x yOxyOxyOxyO开始 s =0,n =1n ≤2012 是 否s =s +sinn π3n = n + 1输出s结束PDFOE三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的图象的一部分如下图所示.(1)求函数)(x f 的解析式;(2)当]32,6[--∈x 时,求函数)2()(++=x f x f y 的最大值与最小值及相应的x 的值.17. （本小题满分12分）近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为5． （Ⅰ）请将上面的列联表补充完整；（Ⅱ）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；（Ⅲ）已知在不患心肺疾病的5位男性中，有3位又患胃病．现在从不患心肺疾病的5位男性中，任意选出3位进行其他方面的排查，求恰好有一位患胃病的概率．（参考公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 其中na b c d =+++）18．（本小题满分14分）已知52,a a 是方程027122=+-x x 的两根, 数列{}n a 是公差为正数的等差数列，数列{}n b 的前项和为n T ，且)(211*N n b T n n ∈-=。
江西高三模拟考试(文科)数学试卷附答案解析
江西高三模拟考试(文科)数学试卷附答案解析班级:___________姓名：___________考号：__________一、单选题1．设集合{}2560A x x x =--<和{}4,2,0,2,4B =--，则A B =（ ）A ．{}0,2B ．{}2,0-C ．2,0,2D ．{}0,2,42．复数1z 在复平面内对应的点为()1,3，22z i =-+（i 为虚数单位），则复数12z z 的虚部为（ ）. A ．75B ．75-C ．7i 5D ．7i 5-3．在ABC ∆中AB =AC=1，B=30°，和ABC S ∆=，则C = A ．60或120B ．30C ．60D ．454．已知x 与y 的数据如表所示，根据表中数据，利用最小二乘法求得y 关于x 的线性回归方程为0.7 1.05y x =+，则m 的值是（ ）A ．3.8B ．3.85C ．3.9D ．4.05．已知tan 2x =，则sin cos 1x x +=（ ） A ．25B ．75C ．2D ．36．已知直线:210l x y k +++=被圆22:4C x y +=所截得的弦长为4，则k 为（ ） A ．1-B ．2-C ．0D ．27．若0a >，0b >且24a b +=，则4ab的最小值为（ ） A ．2B ．12C ．4D ．148．已知命题:p 已知实数,a b ，则0ab >是0a >且0b >的必要不充分条件，命题:q 在曲线cos y x =上存在 （ ） A ．p 是假命题 B ．q 是真命题 C ．()p q ∧⌝是真命题D ．()p q ⌝∧是真命题9．执行如图所示的程序框图，若输出i 的值为7，则框图中①处可以填入（ ）A ．7S >？B ．15S >？C ．21S >？D ．28S >？10．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 椭圆C 在第一象限存在点M ，使得112=MF F F ，直线1F M 与y 轴交于点A ，且2F A 是21MF F ∠的角平分线，则椭圆C 的离心率为（ ）A B C ．12D 11．已知函数()()22e (e =--x xf x x x a ）有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，1e -）B ．（0，2e -）C ．（0，1）D ．（0，e ）12．在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中E 是正方形BB 1C 1C 的中心，M 为C 1D 1的中点，过A 1M 的平面α与直线DE 垂直，则平面α截正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1所得的截面面积为（ ）A ．B ．CD ．3二、填空题13．已知向量(),2AB m =，()1,3AC =和()4,2BD =--，若B ，C ，D 三点共线，则m =______．14．双曲线2219x y -=的渐近线方程为__________.15．已知f （x ）＝sin 6x πω⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ω＞0），f （6π）＝f （3π），且f （x ）在区间63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上有最小值，无最大值，则ω＝_____．16．已知过点(0,1)M 的直线与抛物线22(0)x py p =>交于不同的A ，B 两点，以A ，B 为切点的两条切线交于点N ，若0NA NB ⋅=，则p 的值为__________．三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()21n n S a n *=-∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设13log n n b a =，n C ={}n C 的前n 项和n T18．如图，三棱柱111ABC A B C 各棱长均为2，且13C CA π∠=.(1)求证1AC BC ⊥；(2)若1BC 与平面ABC 所成的角为6π，求三棱柱111ABC A B C 的体积. 19．某工厂生产的产品是经过三道工序加工而成的，这三道工序互不影响，已知生产该产品三道工序的次品率分别为(1)求该产品的次品率；(2)从该工厂生产的大量产品中随机抽取三件，记次品的件数为X ，求随机变量X 的分布列与期望()E X ． 20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，且过点()3,1A .(1)求椭圆C 的方程；(2)点M ，N 在椭圆C 上，且AM AN ⊥.证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标.21．已知函数()f x 对任意实数x 、y 恒有()()()f x y f x f y +=+，当x>0时f (x )<0，且(1)2f =-. (1)判断()f x 的奇偶性；(2)求()f x 在区间[-3,3]上的最大值；(3)若2()22f x m am <-+对所有的[][]1,1,1,1x a ∈-∈-恒成立，求实数m 的取值范围.22．数学上有很多美丽的曲线令人赏心悦目，例如，极坐标方程()1cos a ρθ=+（0a >）表示的曲线为心形线，它对称优美，形状接近心目中的爱心图形.以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，直线l的参数方程为1,2x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.(1)求直线l 的极坐标方程和心形线的直角坐标方程；(2)已知点P 的极坐标为()2,0，若P 为心形线上的点，直线l 与心形线交于A ，B 两点（异于O 点），求ABP 的面积.23．已知函数()2|1|||(R)f x x x a a =-+-∈． (1)若()f x 的最小值为1，求a 的值；(2)若()||6f x a x <+恒成立，求a 的取值范围．参考答案与解析1．D【分析】求出集合A 中元素范围，然后求A B ⋂即可.【详解】{}{}256016A x x x x x =--<=-<<，又{}4,2,0,2,4B =--{}0,2,4A B ∴=.故选：D. 2．B【解析】根据题意，先得到113z i =+，再由复数的除法运算求出12z z ，即可得出其虚部. 【详解】因为复数1z 在复平面内对应的点为()1,3，所以113z i =+ 又22z i =-+所以()()()()1213213263171722241555i i z i i i i i z i i i +--+++--+===-=-=--+-+--+因此其虚部为75-.故选：B.【点睛】本题主要考查求复数的虚部，考查复数的除法运算，涉及复数的几何意义，属于基础题型. 3．C【分析】由三角形面积公式可得A ，进而可得解.【详解】在ABC ∆中AB 1AC =与30B =12ABC S AB ACsinA ∆=⋅=，可得1sinA =，所以90A = 所以18060C A B =--=【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，属于基础题. 4．D【分析】计算样本中心，将样本中心 710,24m +⎛⎫⎪⎝⎭代入线性回归方程中即可求解. 【详解】因为()17234542x =⨯+++= ()1102.5 3.0 4.544m y m +=⨯+++=．所以样本中心为710,24m +⎛⎫⎪⎝⎭，将其代入回归方程0.7 1.05y x =+得1070.7 1.0542m +=⨯+，解得4m =． 故选：D ． 5．B【分析】利用同角三角函数的平方关系、商数关系，将目标式化为2tan 1tan 1xx ++，结合已知即可求值.【详解】222sin cos tan 27sin cos 1111sin cos tan 155x x x x x x x x +=+=+=+=++． 故选：B ． 6．A【分析】利用点线距离公式求弦心距，再由弦长与半径、弦心距的几何关系列方程求参数k . 【详解】设圆心()0,0到直线:210l x y k +++=的距离为d ，则由点到直线的距离公式得|1|d k ==+由题意得：42==1k =-．故选：A 7．A【分析】利用基本不等式可求出2ab ≤，即可得出所求. 【详解】0a > 0b >42a b ∴=+≥2a b =，即1,2a b ==时等号成立所以2ab ≤，则42ab≥，即4ab 的最小值为2.故选：A. 8．C【分析】首先判断命题,p q 的真假，再判断选项.【详解】00ab a >⇒> 且0b >，反过来0a >且00b ab >⇒>，所以0ab >是0a > 且0b >的必要不充分条件，所以命题p 是真命题cos y x =，[]sin 1,1y x '=-∈-根据导数的几何意义可知曲线cos y x =所以命题q是假命题根据复合命题的真假判断可知()p q ∧⌝是真命题. 故选：C 9．C故选：C. 10．B【分析】根据题意和椭圆定义可得到2MF ，AM 和a ，c 的关系式，再根据122MF F MF A ∽△△，可得到关于a ，c 的齐次式，进而可求得椭圆C 的离心率e ． 【详解】由题意得1122F M F F c == 又由椭圆定义得222MF a c =- 记12MF F θ∠=则212AF F MF A θ∠=∠= 121222F F M F MF MAF θ∠=∠=∠= 则2122AF AF a c ==- 所以42AM c a =- 故122MF F MF A ∽△△则2122MF AMF F MF = 则2a c c a c a c --=-，即222010c ac a e e e +-=⇔+-=⇒=（负值已舍）． 故选：B ． 11．A【分析】令()()()22ee 0=--=xxf x x x a ，得到22e 0-=x x或e 0x x a -=，令()22e =-xg x x ，易知有一个零点，转化为则e 0x x a -=有两个根求解.【详解】令()()()22ee 0=--=xxf x x x a所以22e 0-=x x 或e 0x x a -=令()22e =-xg x x ，则()()2e '=-x g x x令()2(e )=-x h x x ，则()2(1)e '=-xh x当(,0)x ∈-∞时()0h x '>，h (x )在（－∞，0）上单调递增； 当,()0x ∈+∞时()0h x '<，h (x )在（0，＋∞）上单调递减 所以()(0)20h x h ≤=-<，即()0g x '< 所以g (x )在R 上单调递减，又()2110g e-=->，g （0）＝20-< 所以存在0(1,0)x ∈-使得()00g x =所以方程e 0x x a -=有两个异于0x 的实数根，则xxa e = 令()x x k x e =，则()1xx e xk -=' 当(,1)x ∞∈-时()0k x '>，k (x )在（－∞，1）上单调递增；当(1,)x ∈+∞时()0k x '<，k (x )在（1，＋∞）上单调递减，且()0k x >．所以()1()1k x k e≤= 所以()xxk x e =与y a =的部分图象大致如图所示由图知10a e<< 故选：A ． 12．B【解析】确定平面1A MCN 即为平面α，四边形1A MCN 是菱形，计算面积得到答案.【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中记AB 的中点为N ，连接1,,MC CN NA 则平面1A MCN 即为平面α．证明如下： 由正方体的性质可知1A MNC ，则1A ，,,M C N 四点共面记1CC 的中点为F ，连接DF ，易证DF MC ⊥． 连接EF ，则EF MC ⊥EFDF F =，EF DF ⊂，平面DEF所以MC ⊥平面DEF又DE ⊂平面DEF ，则DE MC ⊥．同理可证，DE NC ⊥ NC MC C =则DE ⊥平面1A MCN 所以平面1A MCN 即平面α四边形1A MCN 即平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面． 因为正方体的棱长为2，易知四边形1A MCN 是菱形其对角线1AC = MN =所以其面积12S =⨯=故选：B【点睛】本题考查了正方体的截面面积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 13．1-【分析】根据给定条件，求出向量BC 坐标，再利用共线向量的坐标表示计算作答. 【详解】因为向量(),2AB m =，()1,3AC =则(1,1)BC AC AB m =-=-，而()4,2BD =-- 又B ，C ，D 三点共线，则有//BC BD ，因此2(1)4m --=-，解得1m =- 所以1m =-. 故答案为：-1 14．30x y ±-=【分析】根据焦点在横轴上双曲线的渐近线方程的形式直接求出双曲线2219x y -=的渐近线方程.【详解】通过双曲线方程可知双曲线的焦点在横轴上,3,1a b ==,所以双曲线2219x y -=的渐近线方程为：1303b y x y x x y a =±⇒=±⇒±-=. 故答案为30x y ±-=【点睛】本题考查了求双曲线的渐近线方程,通过双曲线方程判断双曲线的焦点的位置是解题的关键. 15．163【分析】由题意可得函数的图象关于直线4x π=对称，再根据()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，可得3462πππω+=，由此求得ω的值. 【详解】对于函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，由63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得函数图象关于6324x πππ+==对称 又()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭有最小值，无最大值可得()32462k k Z πππωπ+=+∈，即()1683k k Z ω=+∈，又342Tππ-≤，即12ω≤ 所以163ω=. 故答案为163. 【点睛】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，正弦函数的最值，属于中档题． 16．2【分析】设()()1122,,,A x y B x y ,设直线AB 的方程为1y kx =+，利用“设而不求法”得到122x x p =-.利用导数求出两条切线斜率为1x p 和2x p，得到121x x p p ⋅=-,即可求出p =2.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ,且设直线AB 的方程为1y kx =+,代入抛物线的方程得2220x pkx p --=,则122x x p =-.又22x py =,得22x y p=,则x y p '=，所以两条切线斜率分别为1x p 和2x p .由0NA NB ⋅=,知NA NB ⊥,则121x x p p ⋅=-,所以221pp -=-,即p =2. 故答案为：2 17．(1)13n n a =(2)1n T =【分析】（1）由n a 与n S 关系可推导证得数列{}n a 为等比数列，由等比数列通项公式可得n a ； （2）由（1）可推导得到,n n b C ，采用裂项相消法可求得n T . (1)当1n =时111221a S a =-=，解得：113a =；当2n ≥时1122211n n n n n a S S a a --=-=--+，即113n n a a -=∴数列{}n a 是以13为首项，13为公比的等比数列，1133nn n a ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭. (2)由（1）得：131log 3n n b n ⎛⎫== ⎪⎝⎭n C ∴==11n T ∴=⋅⋅⋅=18．(1)证明见解析【分析】（1）通过线面垂直的性质定理证明线线垂直；（2）由（1）知AC ⊥平面1BDC ，则进一步知平面1BDC ⊥平面ABC ，故过1C 作平面ABC 的垂线，垂足为E ，则1C E ⊥平面ABC ，求出1C E 的大小即可求解.【详解】（1）证明：取AC 的中点D ，连接BD ，1C D 和1C A ，则BD AC ⊥因为12CC CA ==，13C CA π∠=所以1ACC △为等边三角形又D 为AC 的中点，所以1C D AC ⊥ 因为1C D BD D =，1,C D BD ⊂平面1BDC ，所以AC ⊥平面1BDC ，.又1BC ⊂平面1BDC ，所以1AC BC ⊥.（2）由（1）知AC ⊥平面1BDC ，又AC ⊂平面ABC ，所以平面1BDC ⊥平面ABC平面1BDC 平面ABC BD =，故过1C 作平面ABC 的垂线，垂足为E ，则E 一定在直线BD 上，因为1BC 与平面ABC 所成的角为6π，所以16C BD π∠= 由题意知1C D BD =，所以123C DB π∠=所以13BC == 所以113sin 62C E BC π==.（或：由题意知1C D BD =13C DE π∠=，所以113sin 32C E CD π===）所以11322sin 232ABC V S C E π=⋅=⨯⨯⨯⨯=△19．(1)14(2)分布列见解析，()34E X =【分析】（1）利用相互独立事件的乘法概率计算公式能求出产品为正品的概率，即可由对立事件求次品概率（2）由题意得X 0=，1，2，3，分别求出其相对应的概率，能求出X 的分布列和数学期望．【详解】（1）产品正品的概率为：11131111011124P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以为次品的概率为31144-= （2）由题意得X 0=，1，2，3，且13,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭3327(0)464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 2133127(1)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 223319(2)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 311(3)464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ X ∴的分布列如下：∴()27279130123646464644E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 20．(1)221124x y += (2)证明详见解析，定点坐标3122⎛⎫ ⎪⎝⎭，-【分析】（1）根据已知条件列方程组，由此求得222,,a b c ，从而求得椭圆C 的方程.（2）根据直线MN 的斜率进行分类讨论，结合根与系数关系以及·0AM AN =求得定点坐标.【详解】（1）由题意可得：22222911c aab a bc ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2221248a b c ===，， 故椭圆方程为221124x y +=. （2）设点()()1122,,,M x y N x y若直线MN 斜率存在时设直线MN 的方程为：y kx m =+代入椭圆方程消去y 并整理得：()2221363120k x kmx m +++-= 可得122613km x x k +=-+ 212231213m x x k -=+ 因为AM AN ⊥，所以·0AM AN =，即()()()()121233110x x y y --+--=根据1122,kx m y kx m y =+=+有()()()()221212121239110x x x x k x x k m x x m -++++-++-=整理可得： ()()()()22121213190k x x km k x x m ++--++-+= 所以()()()222223126131901313m km k km k m k k -⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭ 整理化简得2299210k km m m ++--=则有()()321310k m k m +++-=得3210k m ++=或310k m +-=若3210k m ++=，则直线MN 的方程为：3122y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，恒过3122⎛⎫- ⎪⎝⎭， 若310k m +-=，则直线MN 的方程为：()31y k x =-+，过A 点，舍去.所以直线MN 过定点P 3122⎛⎫- ⎪⎝⎭， 当直线MN 的斜率不存在时可得()11,N x y -由·0AM AN =得：()()()()121233110x x y y --+--=得()1221210x y -+-=()2211310x y -+-=，结合22111124x y += 解得：132x = 或23x =（舍去），此时直线MN 方程为32x =,过点P 3122⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 综上，直线MN 过定点P 3122⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 21．（1）奇函数（2）6（3）{2,m m 或者2}m <-【分析】（1）令x ＝y ＝0⇒f （0）＝0，再令y ＝﹣x ，⇒f （﹣x ）＝﹣f （x ）；（2）设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，结合条件用单调性的定义证明函数f （x ）为R 上的增函数，从而得到()f x 在区间[-3,3]上的最大值；（3）根据函数f （x ）≤m 2﹣2am ﹣2对所有的x ∈[﹣1，1]，a ∈[﹣1，1]恒成立，说明f （x ）的最大值2小于右边，因此先将右边看作a 的函数，m 为参数系数，解不等式组，即可得出m 的取值范围．【详解】（1）取x=y=0，则f （0+0）=f （0）+f （0）；则f （0）=0；取y =﹣x ，则f (x ﹣x )=f (x )+f (﹣x )∴f (﹣x )=﹣f (x )对任意x ∈R 恒成立∴f (x )为奇函数；（2）任取x 1，x 2∈（﹣∞，+∞）且x 1＜x 2，则x 2﹣x 1＞0；∴f （x2）+f (﹣x1）=f （x2﹣x1）＜0； ∴f （x2）＜﹣f （﹣x1）又∵f （x ）为奇函数∴f （x 1）＞f （x 2）；∴f （x ）在（﹣∞，+∞）上是减函数；∴对任意x ∈[﹣3，3]，恒有f （x ）≤f （﹣3）而f （3）=f （2+1）=f （2）+f （1）=3f （1）=﹣2×3=﹣6； ∴f （﹣3）=﹣f （3）=6；∴f （x ）在[﹣3，3]上的最大值为6；（3）由（2）可知函数()f x 在[]1,1-的最大值为()12f -=所以要使()222f x m am <-+对所有的[][]1,1,1,1x a ∈-∈-恒成立只需要()()2max 2212m am f x f -+>=-=即220m am ->对所有[]1,1a ∈-恒成立令()[]22,1,1g a m am a =-∈-，则()()1010g g ⎧->⎪⎨>⎪⎩即222020m m m m ⎧+>⎨->⎩解得22m m ><-，或者 所以实数m 的取值范围是{}2,2m m m <-或者【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性、单调性与函数的值域、不等式恒成立等知识点，属于中档题，解题时应该注意题中的主元与次元的处理．22．(1)极坐标方程为π3θ=或4π3θ=；()()222222x y ax a x y +-=+【分析】（1）先消去参数t 得到直线l 的普通方程，进而得到极坐标方程，由()1cos a ρθ=+，得到2cos a a ρρρθ=+，即22x y ax +=求解.（2）将()2,0代入方程()1cos a ρθ=+得到1a =，进而得到1cos ρθ=+，分别与直线l 的极坐标方程联立，求得A ，B 坐标求解.【详解】（1）解：消去参数t 得到直线l 的普通方程为y = 所以极坐标方程为π3θ=或4π3θ=； （π3θ=（ρ∈R 也正确）由()1cos a ρθ=+，得2cos a a ρρρθ=+，即22x y ax +=化简得心形线的直角坐标方程为()()222222x y ax a x y +-=+. （2）将()2,0代入方程()1cos a ρθ=+，得1a =∴1cos ρθ=+.由π,31cos ,θρθ⎧=⎪⎨⎪=+⎩得3π,23A ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 由4π,31cos ,θρθ⎧=⎪⎨⎪=+⎩得14π,23B ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴13π112π2sin 2sin 223223ABP AOP BOP S S S =+=⨯⨯+⨯⨯=△△△23．(1)0或2(2)[)3,4【分析】（1）根据1()(1)1x a x x a x a -+-≥---=-结合取等条件即可得解；（2）把()||6f x a x <+恒成立，转化为()2160g x x x a a x =-+---<恒成立，分情况讨论去绝对值符号，从而可得出答案.【详解】（1）因为1()(1)1x a x x a x a -+-≥---=-，当且仅当()(1)0x a x --≤时取等号()2|1||||1||1||1|f x x x a x a a =-+-≥-+-≥-，当且仅当1x =时取等号 所以11a -=，解得0a =或2a =故a 的值为0或2；（2）令g()2|1|||6x x x a a x =-+---，由题意知()0g x <恒成立 当{1x x x ∈≥且}x a ≥时 ()()()g()21638x x x a ax a x a =-+---=---,要使得()0g x <恒成立则30,a -≤可得3,a ≥当3a ≥时()()()()()34,034,0118,138,a x a x a x a x g x a x a x a a x a x a ⎧-+-<⎪-++-≤<⎪=⎨-+-≤<⎪⎪---≥⎩因为()0g x <恒成立, 则max ()0g x <,由图像可知()max ()0g x g = 所以()g()g 040x a ≤=-<,所以4a < 综上可知实数a 的取值范围为[)3,4．。
广西高考数学(文科)模拟考试卷附带答案解析
广西高考数学(文科)模拟考试卷附带答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{|M x x A =∈且}x B ∈,{}3,4,5,6,7A =与{}2,4,6,8B =，则M 等于（ ） A ．{}4,5,6 B ．{}4,6 C ．{}2,8D ．{}3,5,72．复数z2，则复数z 2的对应点位于复平面内（ ） A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第二或三象限3．函数2cos 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调增区间为（ ）A ．()2ππ,2π,Z k k k -∈B ．()2π,2ππ,Z k k k +∈C ．7ππ(2π,2π),Z 66k k k --∈ D ．π5π(2π,2π),Z 66k k k -+∈4．以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是（ ）A ．2exy x=B ．()22e x xy x+=C ．e 2xy x=D ．2e xy x=5．经过原点且倾斜角为60︒的直线被圆C:220x y a +-+=截得的弦长是C 在x 轴下方部分与x 轴围成的图形的面积等于（ ）A ．83π-B ．163π-C ．83π-D ．163π-6．有一组样本数据由这组数据得到新的样本数据其中i iy cx =（1i =，2，…，n ），且0c ≠，则下列说法中错误的是（ ）A ．新样本数据的平均数是原样本数据平均数的c 倍B ．新样本数据的上四分位数是原样本数据上四分位数的c 倍C ．新样本数据的方差是原样本数据方差的c 倍D ．新样本数据的极差是原样本数据极差的c 倍7．一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，侧棱长为2，则其高为（ ）A ．12B ．1CD 8．设P 是△ABC 所在平面内的一点，且1122BC BA BP +=，则A ．0PA PB += B ．0PA PC += C ．0PC PB +=D ．0++=PA PB PC9．已知椭圆22:1126x y C +=的两焦点分别为1F ，2F 且P 为椭圆上一点，且1260F PF ∠=︒，则12F PF △的面积等于（ ）．A ．6B ．C ．D ．10．如图，在梯形ABCD 中，AB//CD ，AD=DC=BC=2，60ABC ∠=︒将ACD 沿边AC 翻折，使点D 翻折到P 点，且PB =-P ABC 外接球的表面积是（ ）A ．15πB ．25πC ．D ．20π11．已知椭圆C 的焦点为()12,0F -，()22,0F 过2F 的直线与C 交于A ，B 两点，若222AF F B =，1AB BF =则C 的方程为（ ）A ．221124x y += B ．2211612x y += C ．221128x y += D ．2212016x y += 12．若存在实数x ，y 满足ln 3y y x x e e --+≥+，则x y +=（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．e二、填空题13．已知向量(1,3)a =，(3,)b m =且b 在a 上的投影为3，则a 与b 夹角为__________．14．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为________．15．函数()21f x x x=-+的图象在点()()1,1f 处的切线的斜率为______． 16．已知11223x x -+=，则22x x --=___________． 三、解答题17．某健康社团为调查居民的运动情况，统计了某小区100名居民平均每天的运动时长（单位：小时），并根据统计数据分为六个小组（所调查的居民平均每天运动时长均在[]1,4内），得到频率分布直方图如图所示.(1)求出图中m 的值，并估计这100名居民平均每天运动时长的平均值及中位数（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）；(2)为了分析该小区居民平均每天的运动量与职业、年龄等的关系，该社团按小组用分层抽样的方法抽出20名居民进一步调查，试问在[)1.5,2时间段内应抽出多少人?18．在公比大于0的等比数列{}n a 中，已知354a a a =，且2a ，43a 与3a 成等差数列. （1）求{}n a 的通项公式； （2）已知12n n S a a a =，试问当n 为何值时n S 取得最大值，并求n S 的最大值.19．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =点E 是棱PB 的中点．(1)求证：CB AE ⊥；(2)若2AB =，BC =求三棱锥P ACE -的体积． 20．已知函数()32123f x x x =-+．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)求函数()f x 在区间[](),10a a a +>的最大值． 21．已知抛物线22x py =上一点()2,1P -，焦点为F ． (1)求PF 的值；(2)已知A ，B 为抛物线上异于P 点的不同两个动点，且PA PB ⊥，过点P 作直线AB 的垂线，垂足为C ，求C 点的轨迹方程．22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1x y t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），曲线2C 的参数方程为42cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线2C 的极坐标方程与1C 的普通方程； (2)若直线π6θ=与曲线1C 交于A 点、与曲线2C 交于B 点，求||AB 的值． 23．已知()112f x x x =-++的最小值为n ． (1)求n 的值；(2)若正实数,,a b c 满足a b c n ++=，求222a b c ++的最小值．参考答案与解析1．B【分析】利用交集的定义直接求解.【详解】因为 {}3,4,5,6,7A =，{}2,4,6,8B =与{|M x x A =∈且}x B ∈ 所以{}4,6M =. 故选：B 2．D【分析】结合复数的概念及模长求出复数z ，然后根据复数的乘方运算，即可判断所处象限.【详解】设z a bi =+，因为2b z =，所以1a =±，所以1z =或1z =-若1z =+，则()2212z =+=-+，复数z 2的对应点位于复平面内第二象限；若1z =-，则()2212z =-=--，复数z 2的对应点位于复平面内第三象限；故选：D. 3．C【分析】根据给定函数，利用余弦函数的单调性直接列式，求解作答. 【详解】由2ππ2π,Z 6k x k k π-≤+≤∈，解得2π2π,Z 66k x k k 7ππ-≤≤-∈ 所以所求函数的增区间为7ππ(2π,2π),Z 66k k k --∈. 故选：C 4．C【分析】结合图象，根据函数值的特点排除A 、B ，根据单调性排除D 即可得正确选项. 【详解】对于A ：当0x <时2e0xy x=<，且2exy x=为奇函数图象关于原点对称，不符合题意，故选项A 不正确；对于B ：当0x <时()22e 0x xy x+=<，不符合题意，故选项B 不正确；对于D ：当0x >时由 2e x y x =可得()243e 2e 2e xx x x x x y x x -⋅-'== 当02x <<时0'<y ；当2x >时0'>y ，所以2e xy x=在()0,2单调递减，在()2,∞+单调递增，不符合图象特点，故选项D 不正确； 故选：C. 5．A【分析】由已知利用垂径定理求得a ，得到圆的半径，画出图形，由扇形面积减去三角形面积求解．【详解】解：直线方程为y =，圆22:0C x y a +-+=的圆心坐标为(圆心(0y -=的距离d = 则4a =-．∴圆C 的圆心坐标为(，半径为4．如图sin OBC ∠60OBC ∠=︒ 60ACB ∠=︒∴．218463CAB S ππ=⨯⨯=扇形 144602ABC S sin =⨯⨯⨯︒=三角形∴圆C 在x 轴下方部分与x 轴围成的图形的面积等于83π-． 故选：A ．【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查扇形面积的求法，考查计算能力，属于中档题． 6．C【分析】根据平均数，百分位数，极差以及方差的定义以及计算即可根据选项逐一求解.【详解】对于A ，根据平均数的定义知，新样本数据的平均数是原样本数据平均数的c 倍，选项A 正确； 对于B ，根据百分位数的定义知，新样本数据的上四分位数是原样本数据上四分位数的c 倍，选项B 正确； 对于C ，根据方差的计算公式知，新样本数据的方差是原样本数据方差的2c 倍，所以选项C 错误； 对于D ，根据极差的定义知，新样本数据的极差是原样本数据极差的c 倍，选项D 正确． 故选：C 7．B【分析】将正三棱台补全为正三棱锥再做高，结合勾股定理求解即可【详解】如图，延长正三棱台的三条棱,,AA BB CC '''，交于点P ，因为6AB BC AC ===,3A B B C A C ''''''===，则24PA PB PC AA '====，作PO ⊥底面ABC 于O ，连接BO ，则BO ==故2PO =，故正三棱台ABC A B C '''-的高为12PO= 故选：B 8．B【分析】由向量的加减法运算化简即可得解.【详解】2BC BA BP +=,移项得20,0BC BA BP BC BP BA BP PC PA +-=-+-=+=． 【点睛】本题主要考查了向量的加减法运算，属于基础题. 9．B故选：B 10．D【分析】在梯形ABCD 中，利用已知条件求出三角形ADC 和三角形ABC 的边长，分别取,AB AC 的中点,O F '，连接,,O F PF BF '，可证出PF ⊥面ABC ，由O P O A ''<知，三棱锥-P ABC 外接球的球心O 在平面ABC 的下方，设三棱锥-P ABC 外接球的球心为O ，连接OO '，作OH PF ⊥，垂足为H ，由()22222R O A O O OH PF O O '''=+=++，解出外接球半径，进而得出表面积．设三棱锥-P ABC 外接球的球心为O ，连接OO '，作OH PF ⊥，垂足为H 由题中数据可得1PF = 1OH O F '== 2O A '= HF OO '=设三棱锥-P ABC 外接球的半径为R ，则()22222R O A O O OH PF O O '''=+=++ 即()222141R O O O O ''=+=++，解得1'=O O 25R = 故三棱锥-P ABC 外接球的表面积是24π20πR =. 故选：D11．C【解析】根据椭圆的定义以及余弦定理，结合221cos cos 0AF O BF F ∠+∠=列方程可解得a ，b ，即可得到椭圆的方程．【详解】22||2||AF BF = 2||3||AB BF ∴= 又1||||AB BF = 12||3||BF BF ∴= 又12||||2BF BF a += 2||2aBF ∴=2||AF a ∴= 13||2BF a =12||||2AF AF a += 1||AF a ∴= 12||||AF AF ∴= A ∴在y 轴上．在Rt2AF O 中22cos AF O a∠=在12BF F △中，由余弦定理可得22221316()()822cos 2242a a a BF F a a +--∠==⨯⨯． 221cos cos 0AF O BF F ∠+∠=，可得22802a a a -+=，解得212a =．2221248b a c =-=-=．椭圆C 的方程为221128x y +=．故选：C ．【点睛】方法点睛：用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程()222210x ya b a b +=>>或22221x y b a+=()0a b >>；③找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求. 12．C【分析】令()ln 3f x x x =-+，利用导数求得函数的单调性与最大值，再令()y y g y e e -=+，结合基本不等式，求得()2g y ≥，进而得到ln 32x x -+=，求得,x y 的值，即可求解. 【详解】令函数()ln 3f x x x =-+，可得11()1xf x x x-='-= 当(0,1)x ∈时0fx，()f x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时()0f x '<，()f x 单调递减 所以当1x =，可得max ()(1)ln1132f x f ==-+=令函数()y y g y e e -=+，则2y y e e -+≥，当且仅当0y =时取等号 又由ln 3y y x x e e --+≥+，所以ln 32y y x x e e --+=+= 所以1,0x y ==，所以1x y +=． 故选：C.【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成求解参数的取值时一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大. 13．6π 【分析】根据投影公式，求得m (3,3)b =，再由夹角公式得解． 【详解】解：因为(1,3)a = (3,)b m =33a b m ∴=+ (212a =+=由公式b 在a 上的投影为||a ba 得，3332||a b a +==m所以(3,3)b =，即(23b =+由向量夹角公式33cos ,||||43a b a b a b +<>==因为[],0,a b π<>∈ 则a 与b 夹角6π． 故答案为6π． 【点睛】本题考查平面向量的数量积及投影公式的运用，考查向量夹角的求法，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于基础题．14【详解】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，由其侧面展开图为一个半圆可得r l 2π=π，所以2l r =，所以圆锥的表面积为223a r rl r r πππ=+=∴=15．3-【分析】求出函数的导函数，代入计算()1f '即可；【详解】解：因为()21f x x x=-+，所以()212f x x x '=--，即()2112131f '=-⨯-=-，故函数在点()()1,1f 处的切线的斜率为3-； 故答案为：-316．±【分析】利用分数指数幂的运算，根据平方关系即可求得结果.【详解】由11223x x-+=可得21112229x x x x --⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭ 即17x x -+= 又因为()()22114x x x x --+=-+ 即()22174x x -=-+，可得()2145x x -=-即1x x --=±所以()()(22117x x x x x x ----=+-=⨯±=±．故答案为±17．(1)0.5m =，平均数为2.4小时中位数为2.4小时(2)4人【分析】（1）根据频率分布直方图的性质可得m ，再利用平均数与中位数的计算公式直接计算；（2）根据分层抽样等比例的性质直接计算.【详解】（1）由频率分布直方图可知()0.20.420.30.10.51m ++++⨯=，解得：0.5m =平均数：()1.250.2 1.750.4 2.250.5 2.750.5 3.250.3 3.750.10.5 2.4⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=小时；中位数：由0.20.40.50.30.5，0.20.40.50.50.550.5得中位数在[)2,2.5内 设中位数为a ，则()()0.20.40.520.50.5a +⨯+-⨯=，解得 2.4a =，即中位数为2.4小时（2）由已知可得在[)1.5,2时间段内的频率为0.40.50.2⨯=所以在[)1.5,2时间段内应抽出200.24⨯=人.18．（1）42n n a -=；（2）当3n =或4时n S 取得最大值，()max 64n S =.【分析】（1）设{}n a 的公比为q ，由354a a a =，得41a =，再根据2a ，43a 与3a 成等差数列，求得公比即可.（2）根据（1）得到(7)321(4)21222n nn n n S a a a -++++-===，再利用二次函数的性质求解.【详解】（1）设{}n a 的公比为q由354a a a =，即244a a =得41a =或40a =（舍）.因为2a ，43a 和3a 成等差数列所以2346a a a +=，即231116a q a q a q +=则2610q q --= 解得12q =或13q =-（舍） 又3411a a q ==故18a =. 所以141822n n n a --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭. （2）(7)321(4)21222n n n n n S a a a -++++-=== 又()2717222n n y n n -==-+，该二次函数对称轴为72又n N +∈，故当3n =或4时二次函数取得最大值6故当3n =或4时n S 取得最大值6264=，即()max 64n S =.【点睛】本题考查等差数列与等比数列的运算以及数列最值问题，还考查运算求解的能力，属于基础题.19．(1)证明见解析【分析】（1）由线面垂直性质可得CB PA ⊥，结合CB AB ⊥，由线面垂直的判定可得CB ⊥平面PAB ，由线面垂直的性质可证得结论；（2）根据体积桥P ACE C PAE V V --=，结合棱锥体积公式可求得结果.【详解】（1）PA ⊥平面ABCD ，CB ⊂平面ABCD CB PA ∴⊥；四边形ABCD 为矩形CB AB ∴⊥，又AB PA A =，,AB PA ⊂平面PAB CB ∴⊥平面PAB ，又AE ⊂平面PAB ，CB AE ∴⊥.（2）PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，PA AB ∴⊥又E 为PB 中点 11124PAE PAB SS PA AB ∴==⋅=由（1）知：CB ⊥平面PAB ，11133P ACE C PAE PAE V V S BC --∴==⋅=⨯20．(1)函数()f x 在()(),0,2,-∞+∞单调递增，在()0,2单调递减(2)答案不唯一，具体见解析【分析】（1）求导()()222f x x x x x '=-=-，由0f x ，()0f x '<求解；（2）根据（1）的结论，分01a <≤，12a <≤与2a >，讨论求解.(1)解：()()222f x x x x x '=-=-当0x <或2x >时0f x ；当02x <<时()0f x '<；∴函数()f x 在()(),0,2,-∞+∞单调递增，在()0,2单调递减；(2)由（1）知当01a <≤，函数()f x 在区间[],1a a +单调递减∴()()32max 123f x f a a a ==-+ 当12a <≤，函数()f x 在区间[],2a 单调递减，在[]2,1a +单调递增()()()3231141112333f a a a a a +=+-++=-+ ()()2213+-=--f a f a a a①当1a <≤()()1f a f a ≥+，∴()()32max 123f x f a a a ==-+2a <≤时()()1f a f a <+，∴()()3max 14133f x f a a a =+=-+ 当2a >时函数()f x 在区间[],1a a +单调递增∴()()3max 14133f x f a a a =+=-+综上所述，当0a <≤时()32max 123f x a a =-+当>a ()3max 1433f x a a =-+ 21．(1)2(2)()2238x y +-=【分析】（1）将点()2,1P -代入抛物线方程，求得抛物线方程，再根据抛物线的定义即可得出答案；（2）设直线AB 的方程为y kx t =+，()()1122,,,A x y x y 联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求得12x x +，12x x 再根据PA PB ⊥，求得,k t 的关系，从而可得直线AB 过定点H ，再根据PC HC ⊥，可得C 点的轨迹为PH 为直径的圆，即可得出答案.【详解】（1）解：∵42p =，∴2p =∴抛物线方程为24x y =，准线方程为1y =- 122p PF =+=； （2）解：由已知直线AB 存在斜率，设直线AB 的方程为：y kx t =+由24x y y kx t⎧=⎨=+⎩，有2440x kx t --=，记()()1122,,,A x y x y 则124x x k += 124x x t =- ∵22121212121211112244222244PA PBy y y y x x k k x x x x ------⋅=⋅=⋅=⋅++++ ()121224116x x x x -++==- ∴52t k =-则直线AB 的方程为：()25y k x =-+，过定点()2,5H∵PC HC ⊥，则C 点的轨迹为PH 为直径的圆，其方程为()2238x y +-=则轨迹方程为()2238x y +-=.22．(1)21:1(0)C x y x =+≥ 22:8cos 120C ρρθ-+=【分析】（1）消去参数t ，结合取值范围得1C 的方程，根据2C 为圆的标准参数方程可得普通方程，再根据极坐标与普通方程的关系式可得极坐标方程；（2）根据极坐标中极径的几何意义求解即可.【详解】（1）在1C 的参数方程中，消去参数t 得21(0)x y x =+≥；所以1C 的普通方程为21(0)x y x =+≥.又2C 是以()4,0为圆心，2为半径的圆，故其普通方程为22(4)4x y -+=，把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入上式得2C 的极坐标方程为28cos 120ρρθ-+=.（2）将π6θ=代入28cos 120ρρθ-+=可得2120ρ-+=，即(20ρ-=，解得ρ=||OB =.又1C 的极坐标方程为22cos sin 1ρθρθ=+ 把π6θ=代入1C 的极坐标方程得：23240ρρ--=解得ρ=ρ=故有||||||AB OB OA =-=23．(1)32 (2)34【分析】（1）先在数轴上标根，把数轴分成三区，再打开绝对值，写出分段函数()f x ，求其最小值.（2）先把a b c n ++=两边平方，再利用重要不等式进行放缩求出结果.【详解】（1）由已知121231()12211222x x f x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩，，， 当1x ≤-时3()2f x ≥；当11x -<<时3()2f x =；当1x ≥时3()2f x ≥. 所以3()2f x ≥，即min 3()2f x =，即32n =． （2）由（1）知：32a b c ++= 所以2222239()22224a b c a b c ab ac bc ⎛⎫++=+++++== ⎪⎝⎭因为222a b ab +≥，当a b =时取等号；同理222b c bc +≥，当b c =时取等号；222a c ac +≥当a c =时取等号. 所以222222222ab bc ac a b c ++++则()2222()3a b c a b c ++++ 所以22234a b c ++，当且仅当12a b c ===时取等号 所以222a b c ++的最小值为34．。
高三下学期数学(文科)模拟考试卷(带参考答案与解析)
高三下学期数学(文科)模拟考试卷(带参考答案与解析)注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．答选择题时，则选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，则将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．本试卷共22题，共150分，共4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量(2,1)a =和(3,2)b =，则()a a b ⋅-=（ ） A ．-5 B ．-3C ．3D ．52．不等式312x >+的解集为（ ） A ．{1,2}x x x <≠- B ．{1}x x >C ．{21}x x -<<D ．{21}x x x <->或3．直线x +ay -3=0与直线（a +1）x +2y -6=0平行，则a =（ ）A ．-2B ．1C ．-2或1D ．-1或24．古希腊科学家阿基米德发明了享誉世界的汲水器，称为阿基米德螺旋泵，两千多年后的今天，左图所示的螺旋泵，仍在现代工农业生产中使用，其依据是“阿基米德螺线”．在右图所示的平面直角坐标系xOy 中点A 匀速离开坐标系原点O ，同时又以固定的角速度绕坐标系原点O 逆时针转动，产生的轨迹就是“阿基米德螺线”，该阿基米德螺线与坐标轴交点依次为A 1（-1，0），A 2（0，-2），A 3（3，0），A 4（0，4），A 5（-5，0），…按此规律继续，若四边形123n n n n A A A A +++的面积为220，则n =（ ）A ．7B ．8C ．9D ．105．△ABC 中AC =，BC =和60A =︒，则cos B =（ ）A ．2±B ．12±C ．12D ．26．设函数()f x 满足(1)()0f x f x ++=，当0≤x <1时，则1()2xf x -=，则()0.5log 8f =（ ） A ．-2B ．12-C ．12D ．27．若cos 0,2(sin 2)1cos2αααα≠+=+，则tan2α=（ ） A ．43-B ．34-C ．34D ．438．设函数()y f x =由关系式||||1x x y y +=确定，函数(),0,()(),0.f x xg x f x x -≥⎧=⎨-<⎩，则（ ）A ．g （x ）为增函数B ．g （x ）为奇函数C ．g （x ）值域为[1,)-+∞D ．函数()()y f x g x =--没有正零点二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
高三数学模拟试卷文科答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1时取得极值，则a、b、c之间的关系为（）A. a+b+c=0B. a+b+c=1C. 2a+b=0D. 2a+b=1答案：C解析：因为函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1时取得极值，所以f'(1)=0，即2a+b=0。
2. 已知等差数列{an}的公差为d，首项为a1，第n项为an，则an = （）A. a1 + (n-1)dB. a1 - (n-1)dC. a1 + ndD. a1 - nd答案：A解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
3. 下列各式中，等式成立的是（）A. sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβB. cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβC. tan(α+β) = tanαtanβD. cot(α+β) = cotαcotβ答案：B解析：根据三角函数的和角公式，cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ。
4. 已知复数z = a + bi（a，b∈R），若|z| = 1，则复数z的实部a和虚部b之间的关系为（）A. a^2 + b^2 = 1B. a^2 - b^2 = 1C. a^2 + b^2 = 0D. a^2 - b^2 = 0答案：A解析：复数z的模|z| = √(a^2 + b^2)，由|z| = 1，得a^2 + b^2 = 1。
5. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f(x)的图像关于点（）A. (0,0)B. (1,0)C. (-1,0)D. (0,1)答案：B解析：由f(1) = 1^3 - 31 = -2，f(0) = 0^3 - 30 = 0，得f(x)的图像关于点(1,0)。
6. 下列各式中，正确的是（）A. loga(b^2) = 2logabB. loga(b^3) = 3logabC. loga(ab) = 1D. loga(a^2) = 2答案：B解析：根据对数的运算法则，loga(b^3) = 3logab。
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江西省赣州市、吉安市、抚州市七校联考高考数学模拟试卷（文科）（2）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合U={1，2，3，4}，集合A={x∈N|x2﹣5x+4＜0}，则∁U A等于（）A．{1，2}B．{1，4}C．{2，4}D．{1，3，4}2．已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1B．1C．2D．33．在等差数列{a n}中，已知a3+a8=6，则3a2+a16的值为（）A．24B．18C．16D．124．设0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是（）A．a3＞b3B．C．a b＞1D．lg（b﹣a）＜05．已知函数f（x）=x2+，则“0＜a＜2”是“函数f（x）在（1，+∞）上为增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．运行如图所示框图的相应程序，若输入a，b的值分别为log43和log34，则输出M的值是（）A．0B．1C．3D．﹣17．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．24B．48C．54D．728．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=2，b=2，C=30°，则角B等于（A．30°B．60°C．30°或60°D．60°或120°9．已知函数，若，则实数a的取值范围是（）A．B．（﹣1，0]C．D．10．如图F1，F2是双曲线与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限内的公共点，若|F1F2|=|F1A|，则C2的离心率是（）A．B．C．D．11．函数y=（其中e为自然对数的底）的图象大致是（）A．B．C．D．12．设x，y满足约束条件，若目标函数2z=2x+ny（n＞0），z的最大值为2，则的图象向右平移后的表达式为（）A．B．C．D．y=tan2x二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知直线x+2y﹣1=0与直线2x+my+4=0平行，则m=．14．设D为△ABC所在平面内一点，，若，则x+2y=．15．已知m∈R，命题p：对任意实数x，不等式x2﹣2x﹣1≥m2﹣3m恒成立，若￢p为真命题，则m的取值范围是．16．设曲线y=x n+1（x∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点横坐标为x n，则logx1+logx2+logx3+…+logx的值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．等差数列{a n}中，已知a n＞0，a2+a5+a8=33，且a1+2，a2+5，a3+13构成等比数列{b n}的前三项．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）记，求数列{c n}的前n项和T n．18．已知函数的最小正周期是π．（1）求函数f（x）在区间x∈（0，π）的单调递增区间；（2）求f（x）在上的最大值和最小值．19．如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆（x﹣1）2+y2=1所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1，∠BAF=60°．（1）求证：AF⊥平面CBF；（2）设FC的中点为M，求三棱锥M﹣DAF的体积V1与多面体CD﹣AFEB的体积V2之比的值．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），与y轴的正半轴交于点P（0，b），右焦点F（c，0），O为坐标原点，且tan∠PFO=．（1）求椭圆的离心率e；（2）已知点M（1，0），N（3，2），过点M任意作直线l与椭圆C交于C，D 两点，设直线CN，DN的斜率k1，k2，若k1+k2=2，试求椭圆C的方程．21．已知f（x）=|xe x|．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若g（x）=f2（x）+tf（x）（t∈R），满足g（x）=﹣1的x有四个，求t的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线，曲线C2的参数方程为：，（θ为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系．（1）求C1，C2的极坐标方程；（2）射线与C1的异于原点的交点为A，与C2的交点为B，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x+5﹣a|（1）若不等式f（x）﹣|x﹣a|≤2的解集为[﹣5，﹣1]，求实数a的值；（2）若∃x0∈R，使得f（x0）＜4m+m2，求实数m的取值范围．江西省赣州市、吉安市、抚州市七校联考高考数学模拟试卷（文科）（2）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合U={1，2，3，4}，集合A={x∈N|x2﹣5x+4＜0}，则∁U A等于（）A．{1，2}B．{1，4}C．{2，4}D．{1，3，4}【考点】补集及其运算．【分析】化简集合A，求出∁U A．【解答】解：集合U={1，2，3，4}，集合A={x∈N|x2﹣5x+4＜0}={x∈N|1＜x＜4}={2，3}，所以∁U A={1，4}．故选：B．2．已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1B．1C．2D．3【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】先化简复数，再利用复数相等，解出a、b，可得结果．【解答】解：由得a+2i=bi﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1另解：由得﹣ai+2=b+i（a，b∈R），则﹣a=1，b=2，a+b=1．故选B．3．在等差数列{a n}中，已知a3+a8=6，则3a2+a16的值为（）A．24B．18C．16D．12【考点】等差数列的通项公式；等差数列的性质．【分析】由已知结合等差数列的性质整体运算求解．【解答】解：∵a3+a8=6，∴3a2+a16=2a2+a2+a16=2a2+2a9=2（a3+a8）=12．故选：D．4．设0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是（）A．a3＞b3B．C．a b＞1D．lg（b﹣a）＜0【考点】不等关系与不等式．【分析】直接利用条件，通过不等式的基本性质判断A、B的正误；指数函数的性质判断C的正误；对数函数的性质判断D的正误；【解答】解：因为0＜a＜b＜1，由不等式的基本性质可知：a3＜b3，故A不正确；，所以B不正确；由指数函数的图形与性质可知a b＜1，所以C不正确；由题意可知b﹣a∈（0，1），所以lg（b﹣a）＜0，正确；故选D．5．已知函数f（x）=x2+，则“0＜a＜2”是“函数f（x）在（1，+∞）上为增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出函数的导数，问题转化为2x3≥a在区间（1，+∞）上恒成立，求出a的范围，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：f′（x）=2x﹣≥0，即2x3≥a在区间（1，+∞）上恒成立，则a≤2，而0＜a＜2⇒a≤2，故选：A．6．运行如图所示框图的相应程序，若输入a，b的值分别为log43和log34，则输出M的值是（）A．0B．1C．3D．﹣1【考点】程序框图．【分析】确定log34＞log43，可得M=log34•log43﹣2，计算可得结论．【解答】解：∵log34＞1，0＜log43＜1，∴log34＞log43，∴M=log34•log43﹣2=﹣1，故选：D．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．24B．48C．54D．72【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图还原为如图所示的直视图，即可得出．【解答】解：还原为如图所示的直视图，．故选：A．8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=2，b=2，C=30°，则角B等于（A．30°B．60°C．30°或60°D．60°或120°【考点】余弦定理．【分析】由已知及正弦定理可求得sinB==，由范围B∈（30°，180°）利用特殊角的三角函数值即可得解．【解答】解：∵c=2，b=2，C=30°，∴由正弦定理可得：sinB===，∵b＞c，可得：B∈（30°，180°），∴B=60°或120°．故选：D．9．已知函数，若，则实数a的取值范围是（）A．B．（﹣1，0]C．D．【考点】分段函数的应用．【分析】利用分段函数，结合已知条件，列出不等式组，转化求解即可．【解答】解：由题意，得或，解得或﹣1＜a≤0，即实数a的取值范围为，故选C．10．如图F1，F2是双曲线与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限内的公共点，若|F1F2|=|F1A|，则C2的离心率是（）A．B．C．D．【考点】圆锥曲线的综合；双曲线的简单性质．【分析】利用椭圆以及双曲线的定义，转化求解椭圆的离心率即可．【解答】解：由题意F1，F2是双曲线与椭圆C2的公共焦点可知，|F1F2|=|F1A|=6，∵|F1A|﹣|F2A|=2，∴|F2A|=4，∴|F1A|+|F2A|=10，∵2a=10，∴C2的离心率是．故选：C．11．函数y=（其中e为自然对数的底）的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的极值；函数的图象．【分析】利用函数的导数，求出函数的极大值，判断函数的图形即可．【解答】解：当x≥0时，函数y==，y′=，有且只有一个极大值点是x=2，故选：A．12．设x，y满足约束条件，若目标函数2z=2x+ny（n＞0），z的最大值为2，则的图象向右平移后的表达式为（）A．B．C．D．y=tan2x【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值求出n，然后利用三角函数的平移变换求解即可．【解答】解：作出可行域与目标函数基准线，由线性规划知识，可得当直线过点B（1，1）时，z取得最大值，即，解得n=2；则的图象向右平移个单位后得到的解析式为．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知直线x+2y﹣1=0与直线2x+my+4=0平行，则m=4．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由直线x+2y﹣1=0与直线2x+my+4=0平行，可得，即可求出m的值．【解答】解：由直线x+2y﹣1=0与直线2x+my+4=0平行，可得，∴m=4．故答案为4．14．设D为△ABC所在平面内一点，，若，则x+2y=﹣4．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】由已知得，从而，由此能求出x+2y的值．【解答】解：∵，∴，即，∴x=6，y=﹣5，∴x+2y=﹣4．故答案为：﹣4．15．已知m∈R，命题p：对任意实数x，不等式x2﹣2x﹣1≥m2﹣3m恒成立，若￢p为真命题，则m的取值范围是（﹣∞，1）∪（2，+∞）．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由对任意x∈R，不等式x2﹣2x﹣1≥m2﹣3m恒成立，运用二次函数的最值求法，可得m2﹣3m≤﹣2，解不等式可得m的范围，再由￢p为真命题时，则P为假命题，即可得到所求m的范围．【解答】解：∵对任意x∈R，不等式x2﹣2x﹣1≥m2﹣3m恒成立，∴，即m2﹣3m≤﹣2，即有（m﹣1）（m﹣2）≤0，解得1≤m≤2．因此，若￢p为真命题时，则P为假命题，可得m的取值范围是（﹣∞，1）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣∞，1）∪（2，+∞）．16．设曲线y=x n+1（x∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点横坐标为x n，则logx1+logx2+logx3+…+logx的值为﹣1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数y=x n+1（n∈N*）在（1，1）处的切线方程，取y=0求得x n，然后利用对数的运算性质得答案．【解答】解：由y=x n+1，得y′=（n+1）x n，∴y′|x=1=n+1，∴曲线y=x n+1（n∈N*）在（1，1）处的切线方程为y﹣1=（n+1）（x﹣1），取y=0，得x n=．∴x1x2x3•…•x==则logx1+logx2+…+logx=log（x1x2x3•…•x）=﹣1．故答案为：﹣1．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．等差数列{a n}中，已知a n＞0，a2+a5+a8=33，且a1+2，a2+5，a3+13构成等比数列{b n}的前三项．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）记，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合．【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则由已知得：a2+a5+a8=33，即a5=11．又（11﹣4d+2）（11﹣2d+13）=（11﹣3d+5）2，解得d=2或d=﹣28（舍），a1=a5﹣4d=3，∴a n=a1+（n﹣1）d=2n+1．又b1=a1+2=5，b2=a2+5=10，∴q=2，∴．（2）=+1，∴，，两式相减得，∴．18．已知函数的最小正周期是π．（1）求函数f（x）在区间x∈（0，π）的单调递增区间；（2）求f（x）在上的最大值和最小值．【考点】正弦函数的单调性；三角函数的最值．【分析】（1）化函数f（x）为正弦型函数，根据f（x）的最小正周期是π求出ω，写出f（x）解析式；根据正弦函数的单调性求出f（x）在x∈（0，π）上的单调递增区间；（2）根据x∈[，]时2x﹣的取值范围，再求出对应函数f（x）的最值即可．【解答】解：（1）函数f（x）=4cosωxsin（ωx﹣）=4cosωx（sinωx﹣cosωx）=2sinωxcosωx﹣2cos2ωx+1﹣1=sin2ωx﹣cos2ωx﹣1=2sin（2ωx﹣）﹣1，且f（x）的最小正周期是，所以ω=1；从而f（x）=2sin（2x﹣）﹣1；令，解得，所以函数f（x）在x∈（0，π）上的单调递增区间为和．（2）当x∈[，]时，2x∈[，]，所以2x﹣∈[，]，2sin（2x﹣）∈[，2]，所以当2x﹣=，即x=时f（x）取得最小值1，当2x﹣=，即x=时f（x）取得最大值﹣1；所以f（x）在上的最大值和最小值分别为．19．如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆（x﹣1）2+y2=1所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1，∠BAF=60°．（1）求证：AF⊥平面CBF；（2）设FC的中点为M，求三棱锥M﹣DAF的体积V1与多面体CD﹣AFEB的体积V2之比的值．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）证明CB⊥AB，CB⊥AF，推出AF⊥BF，然后证明AF⊥平面CBF；（2）设DF的中点为H，连接MH，证明∥平面DAF．求出三棱锥M﹣DAF的体积V1，多面体CD﹣AFEB的体积可分成三棱锥C﹣BEF与四棱锥F﹣ABCD 的体积之和，q求出多面体CD﹣AFEB的体积V2，即可求解V1：V2．【解答】（1）证明：∵矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，且CB⊥AB，∴CB⊥平面ABEF，又AF⊄平面ABEF，所以CB⊥AF，又AB为圆O的直径，得AF⊥BF，BF∩CB=B，∴AF⊥平面CBF．（2）解：设DF的中点为H，连接MH，则∴，又，∴，∴OAHM为平行四边形，OM∥AH，又∵OM⊄平面DAF，∴OM∥平面DAF．显然，四边形ABEF为等腰梯形，∠BAF=60°，因此△OAF为边长是1的正三角形．三棱锥M﹣DAF的体积；多面体CD﹣AFEB的体积可分成三棱锥C﹣BEF与四棱锥F﹣ABCD的体积之和，计算得两底间的距离．所以，，所以，∴V1：V2=1：5．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），与y轴的正半轴交于点P（0，b），右焦点F（c，0），O为坐标原点，且tan∠PFO=．（1）求椭圆的离心率e；（2）已知点M（1，0），N（3，2），过点M任意作直线l与椭圆C交于C，D 两点，设直线CN，DN的斜率k1，k2，若k1+k2=2，试求椭圆C的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）tan∠PFO=，可得=，c=b，a==b．即可得出．（2）直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：ty=x﹣1．设C（x1，y1），D （x2，y2）．直线方程与椭圆方程联立化为：（t2+3）y2+2ty+1﹣3b2=0，由k1+k2=2，即+=2，化为：ty1•y2=y1+y2，利用根与系数的关系代入即可得出．直线l的斜率为0时也成立．【解答】解：（1）∵tan∠PFO=，∴=，∴c=b，a==b．∴==．（2）直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：ty=x﹣1．设C（x1，y1），D （x2，y2）．联立，化为：（t2+3）y2+2ty+1﹣3b2=0，y1+y2=，y1•y2=，∵k1+k2=2，∴+=2，化为：（y1﹣2）（ty2﹣2）+（y2﹣2）（ty1﹣2）=2（ty1﹣2）（ty2﹣2），即：ty1•y2=y1+y2，∴t•=，对∀t∈R都成立．化为：b2=1，直线l的斜率为0时也成立，∴b2=1，∴椭圆C的方程为．21．已知f（x）=|xe x|．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若g（x）=f2（x）+tf（x）（t∈R），满足g（x）=﹣1的x有四个，求t的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）通过讨论x的范围，去掉绝对值号，求出函数的导数，求出函数的单调区间即可；（2）做出函数f（x）=|x•e x|的图象，根据图象可判断在（，+∞）上可有一个跟，在（0，）上可有三个根，根据二次函数的性质可得出y（）＜0，求解即可．【解答】解：（1）x≥0时，f（x）=xe x，f′（x）=（x+1）e x＞0，f（x）在[0，+∞）递增，x＜0时，f（x）=﹣xe x，f′（x）=﹣（x+1）e x，令f′（x）＞0，解得：x＜﹣1，令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜0，故f（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，0）递减；（2）g（x）=﹣1的x有四个，∴f2（x）+tf（x）﹣1=0有4个根，f（x）=|x•e x|的图象如图：在x＜0时，有最大值f（﹣1）=，故要使有四个解，则f2（x）+tf（x）﹣1=0一根在（0，）中间，一根在（，+∞），∴+t+1＜0，∴t﹣＜﹣﹣1，∴t＜﹣﹣e=﹣．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线，曲线C2的参数方程为：，（θ为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系．（1）求C1，C2的极坐标方程；（2）射线与C1的异于原点的交点为A，与C2的交点为B，求|AB|．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）将代入曲线C1方程可得曲线C1的极坐标方程．曲线C2的普通方程为，将代入，得到C2的极坐标方程．（2）射线的极坐标方程为，与曲线C1的交点的极径为ρ1，射线与曲线C2的交点的极径满足，解得ρ2．可得|AB|=|ρ1﹣ρ2|．【解答】解：（1）将代入曲线C1方程：（x﹣1）2+y2=1，可得曲线C1的极坐标方程为ρ=2cosθ，曲线C2的普通方程为，将代入，得到C2的极坐标方程为ρ2（1+sin2θ）=2．（2）射线的极坐标方程为，与曲线C1的交点的极径为，射线与曲线C2的交点的极径满足，解得所以．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x+5﹣a|（1）若不等式f（x）﹣|x﹣a|≤2的解集为[﹣5，﹣1]，求实数a的值；（2）若∃x0∈R，使得f（x0）＜4m+m2，求实数m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1））问题转化为|x+5﹣a|≤2，求出x的范围，得到关于a的不等式组，解出即可；（2）问题转化为4m+m2＞f（x）min，即4m+m2＞5，解出即可．【解答】解：（1）∵|x+5﹣a|≤2，∴a﹣7≤x≤a﹣3，∵f（x）﹣|x﹣a|≤2的解集为：[﹣5，﹣1]，∴，∴a=2．（2）∵f（x）=|x﹣a|+|x+5﹣a|≥5，∵∃x0∈R，使得f（x0）＜4m+m2成立，∴4m+m2＞f（x）min，即4m+m2＞5，解得：m＜﹣5，或m＞1，∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞）．4月2日。