高考数学模拟试题(文科)及答案

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高三文科数学模拟试题含答案

高三文科数学模拟试题含答案高三文科数学模拟试题本试卷共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1.复数3+ i的虚部是（）。

A。

2.B。

-1.C。

2i。

D。

-i2.已知集合A={-3,-2,0,1,2}，集合B={x|x+2<0}，则A∩(CRB) =（）。

A。

{-3,-2,0}。

B。

{0,1,2}。

C。

{-2,0,1,2}。

D。

{-3,-2,0,1,2}3.已知向量a=(2,1)，b=(1,x)，若2a-b与a+3b共线，则x=（）。

A。

2.B。

11/22.C。

-1.D。

-24.如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为（）。

A。

4π/3.B。

π。

C。

3π/2.D。

2π5.将函数f(x)=sin2x的图像向右平移π/6个单位，得到函数g(x)的图像，则它的一个对称中心是（）。

A。

(π/6,0)。

B。

(π/3,0)。

C。

(π/2,0)。

D。

(π,0)6.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）。

开始是否输出结束A。

-10.B。

-3.C。

4.D。

57.已知圆C:x^2+2x+y^2=1的一条斜率为1的切线l1，若与l1垂直的直线l2平分该圆，则直线l2的方程为（）。

A。

x-y+1=0.B。

x-y-1=0.C。

x+y-1=0.D。

x+y+1=08.在等差数列{an}中，an>0，且a1+a2+⋯+a10=30，则a5⋅a6的最大值是（）。

A。

4.B。

6.C。

9.D。

369.已知变量x,y满足约束条件2x-y≤2，x-y+1≥0，设z=x^2+y^2，则z的最小值是（）。

A。

1.B。

2.C。

11.D。

3210.定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)=2，当x<0时，f(x)=1-|x-3|，则函数F(x)=f(x)-a(0<a<1)的所有零点之和为（）。

某重点中学高考数学(文科)模拟试卷(1)(含标准答案)

某重点中学高考数学（文科）模拟试卷(1)（含标准答案）满分：150 时间：120分钟一、选择题：（每题5分，共40分） 1、若集合{}{}M y y N x y x x====--||21，，则M N =（）A. ()0，+∞B. [)0，+∞ C. [)1，+∞D. ()1，+∞2、如果双曲线的两个焦点分别为)0,3(1-F 、)0,3(2F ，一条渐近线方程为x y 2=，那么它的两条准线间的距离是（） A ．36B ．4C ．2D ．13、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+≤632x y y x xy ，则目标函数y x z +=2的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．94、设集合}30|{≤<=x x M ，}20|{≤<=x x N ，那么“M a ∈”是“N a ∈”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5、将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（） A ．10种 B ．20种 C ．36种 D ．52种 6、设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是（）A ．βαβα⊥⇒⊥⊂⊥n m n m ,,B ．n m n m ⊥⇒⊥βαβα//,,//C ．n m n m ⊥⇒⊥⊥βαβα//,,D ．ββαβα⊥⇒⊥=⊥n m n m ,,7、函数f x x()=+21的反函数为f x -1()，则不等式f x -<10()的解集为（）A. （0，2）B. （1，2）C. （-∞，2）D. （2，+∞）8、已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4π=x 处取得最小值，则函数)43(x f y -=π是（） A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 B ．偶函数且它的图象关于点)0,23(π对称C ．奇函数且它的图象关于点)0,23(π对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称二、填空题（每题5分，共30分） 9、7)12(xx +的二项展开式中x 的系数是____ （用数学作答）． 10、设向量a 与b的夹角为θ，且)3,3(=a ，)1,1(2-=-a b ，则=θcos __________．11、若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为． 12、如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，1=AB ．若二面角1C AB C --的大小为60，则点C 到平面1ABC 的距离为______________．13、设直线30ax y -+=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，则a =____________．14、M 是椭圆x y 22941+=上的任意一点，F F 12、是椭圆的左、右焦点，则MF MF 12·的最大值是_____________。

江西省宜春市2023届高三高考模拟文科数学试题(含解析)

江西省宜春市2023届高三高考模拟文科数学试题一、单选题1．（2023·江西宜春·统考模拟预测）设全集U =R ，{1A x x =<-或}2x ≥，{}2,1,0,1,2B =--，则()U B A ⋂=ð（）A ．{}0,1B ．{}1,0-C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1-2．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知复数z 满足()1i 2z +=-，则z 等于（）A ．1i--B ．1i-C ．1i+D ．1i-+3．（2023·江西宜春·统考模拟预测）非零向量a r ，b r ，c r 满足()a cb ⊥-r r r ，a r 与b r 的夹角为π3，2b =r ，则c r 在a r 上的投影为（）A ．－1B．C ．1D4．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知实数,x y 满足约束条件0,30,1,x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则23x yz -+=的最大值是（）A ．3B ．13CD ．1275．（2023·江西宜春·统考模拟预测）从棱长为2的正方体内随机取一点，则取到的点到中心的距离不小于1的概率为（）A ．π6B ．π4C ．π16-D ．π14-6．（2023·江西宜春·统考模拟预测）若30.04,ln1.04,log 1.04a b c ===则（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b<<D ．b<c<a7．（2023·江西宜春·统考模拟预测）在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数，公式和定理，若正整数,m n 只有1为公约数，则称,m n 互质，对于正整数(),n n ϕ是小于或等于n 的正整数中与n 互质的数的个数，函数()n ϕ以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：()()32,76ϕϕ==，()96ϕ=.记n S 为数列(){}3nϕ的前n 项和，则10S =（）A ．9312-B ．931-C ．10312-D ．1031-8．（2023·江西宜春·统考模拟预测）函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象(04)ω<<关于直线π6x =对称，将()f x 的图象向左平移π4个单位长度后与函数()y g x =图象重合，下列说法正确的是（）A ．函数()g x 图象关于直线π6x =对称B ．函数()g x 图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．函数()g x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭单调递减D ．函数()g x 最小正周期为π29．（2023·江西宜春·统考模拟预测）在Rt ABC V 中，1,2CA CB ==.以斜边AB 为旋转轴旋转一周得到一个几何体，则该几何体的内切球的体积为（）ABC ．32π81D ．4π8110．（2023·江西宜春·统考模拟预测）如图，设1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点，点A ，B 分别在两条渐近线上，且满足22133OA OF OB =+u u u r u u u u r u u u r ，20OA BF ⋅=u u u r u u u u r，则双曲线C 的离心率为（）A ．B ．2CD11．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知数列{}n a 满足1321223n n a a a a n+++++=L ，若数列()21n n n a ⎧⎫+⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和n S ，对任意*N n ∈不等式n S λ<恒成立，则实数λ的取值范围是（）A ．1λ>B ．1λ≥C ．58λ≥D ．58λ>12．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知函数()()()ln 1,ln (0)1m xf x xg x x m x m =+-=+>+，且()()120f x g x ==，则()2111em xx -+的最大值为（）A ．1B ．eC ．2eD ．1e二、填空题13．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知)114d πa x x -=+⎰，则到点(),0M a 的距离为2的点的坐标可以是___________.（写出一个满足条件的点就可以）14．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知点()()1,1,1,1A B ---，若圆22()(24)1x a y a -+-+=上存在点M 满足3MA MB ⋅=u u u r u u u r，则实数a 的取值的范围是___________.15．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知某线路公交车从6:30首发，每5分钟一班，甲、乙两同学都从起点站坐车去学校，若甲每天到起点站的时间是在6:30--7:00任意时刻随机到达，乙每天到起点站的时间是在6:45-7:15任意时刻随机到达，那么甲、乙两人搭乘同一辆公交车的概率是___________________16．（2023·江西宜春·统考模拟预测）如图，多面体ABCDEF 中，面ABCD 为正方形，DE ⊥平面,ABCD CF DE ∥，且2,1,AB DE CF G ===为棱BC 的中点，H 为棱DE 上的动点，有下列结论：①当H 为DE 的中点时，GH P 平面ABE ；②存在点H ，使得GH AC ⊥；③直线GH 与BE ④三棱锥A BCF -的外接球的表面积为9π.其中正确的结论序号为___________.（填写所有正确结论的序号）三、解答题17．（2023·江西宜春·统考模拟预测）在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2cos a b c B +=.(1)求证：2C B =；(2)求3cos a bb B+的最小值.18．（2023·江西宜春·统考模拟预测）如图1，在直角梯形ABCD 中，//,90,224AB CD DAB CD AB AD ∠====o ，点E ，F 分别是边,BC CD 的中点，现将CEF △沿EF 边折起，使点C 到达点P 的位置（如图2所示），且2BP =.(1)求证：平面APE ⊥平面ABD ；(2)求点B 到平面ADP 的距离.19．（2023·江西宜春·统考模拟预测）为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量.某地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额.某人拟参加2023年5月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告，统计了最近5个月参与竞拍的人数（见表）：月份2022.122023.12023.22023.32023.4月份编号t12345竞拍人数y （万人）1.72.12.52.83.4(1)由收集数据的散点图发现可用线性回归模型拟合竞拍人数y （万人）与月份编号t 之间的相关关系.请用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程：ˆˆˆy bt a =+，并预测2023年5月份参与竞拍的人数.(2)某市场调研机构对200位拟参加2023年5月份车牌竞拍人员的报价进行抽样调查，得到如下一份频数表：报价区间（万元）[)1,2[)2,3[)3,4[)4,5[)5,6[]6,7频数206060302010（i ）求这200位竞拍人员报价X 的平均数x 和样本方差2s （同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）；（ii ）假设所有参与竞价人员的报价X 可视为服从正态分布()2,N μσ，且μ与2σ可分别由（i ）中所求的样本平均数x 及方差2s 估值.若2023年5月份实际发放车牌数是5000，请你合理预测（需说明理由）竞拍的最低成交价.附：()()()121ˆ 1.3niii nii x x y y bx x ==--=≈-∑∑，若()0,1Y N :，则( 1.11)0.8660<=P Y ，( 1.12)0.8686P Y <=.20．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知函数()ln 2f x x x =--.(1)求函数的最小值；(2)若方程()f x a =有两个不同的实数根1x ，2x 且12x x <，证明：1223x x +>.21．（2023·江西宜春·统考模拟预测）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，左､右焦点分别是12,F F ，以1F 为圆心，6为半径的圆与以2F 为圆心，2为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过椭圆C 的右焦点2F 的直线12,l l 的斜率分别为12,k k ，且122k k =-，直线1l 交椭圆C 于,M N 两点，直线2l 交椭圆C 于,G H 两点，线段,MN GH 的中点分别为,R S ，直线RS 与椭圆C 交于,P Q 两点，,A B 是椭圆C 的左､右顶点，记PQA △与PQB △的面积分别为12,S S ，证明：12S S 为定值.22．（2023·江西宜春·统考模拟预测）在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程11222122t t t t x y ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程cos 2sin 10m ρθρθ+-=.(1)求曲线C 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 有两个不同公共点，求m 的取值范围.23．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知函数()244f x x x =++-.(1)求不等式24410x x ++-≥的解集；(2)若()f x 的最小值为m ，正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：11192a b b c c a m++≥+++.参考答案：1．D【分析】先计算得到U A ð，进而求出交集.【详解】{}12U A x x =-≤<ð，故(){}1,0,1U B A =-I ð故选：D 2．A【分析】利用复数的除法运算和共轭复数的定义求解.【详解】由题可得2(1i)1i 1iz -==--=-++，所以1i z =--，故选:A.3．C【分析】根据投影公式计算出正确答案.【详解】由于()a c b ⊥-r r r，所以()0,a c a b a c a a b b c ⋅-=⋅-⋅=⋅=⋅r r r r r r r r r r r ，由于a r 与b r 的夹角为π3，所以πcos 3a c a b a b a ⋅=⋅=⋅⋅=r r r r r r r，c r 在a r 上的投影为1a a c a a⋅==rr r r r .故选：C 4．B【分析】画出可行域，向上平移基准直线20x y -+=到可行域边界位置，由此求得23x y z -+=的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，向上平移基准直线20x y -+=到可行域边界点()1,1B 的位置，此时z 取得最大值为1max 12111,3z z --⨯+=-==，.故选：B.5．C【分析】根据几何概型概率问题的计算公式求得正确答案.【详解】点到中心距离小于等于1的几何体是以中心为球心，1为半径的球体.所以，取到的点到中心的距离不小于1的概率为334π1π31126⨯-=-.故选：C 6．A【分析】构造函数()()ln 1f x x x =+-，利用导数判断函数单调性，再结合对数的性质即可判断大小关系.【详解】因为0.04a =，ln1.04b =，3log 1.04c =，当()0,1x ∈时，设()()ln 1f x x x =+-，则()11011xf x x x -'=-=<++，所以()f x 在()0,1上单调递减且()00f =，所以()()()0.04ln 10.040.0400f f =+-<=，即()0.04ln 10.04>+，所以a b >；又因为3e >，所以ln 3ln e 1>=，3ln1.04log 1.03ln1.04ln 3=<，即b c >，所以c b a <<.故选：A.7．D【分析】根据题意分析可得()1323nn ϕ-=⋅，结合等比数列求和公式运算求解.【详解】由题意可知：若正整数3nm ≤与3n不互质，则m 为3的倍数，共有1333n n -=个，故()1133332n n n n ϕ---=⋅=，∵()()113233233n n n n ϕϕ+-⋅==⋅，即数列(){}3n ϕ是以首项()32ϕ=，公比3q =的等比数列，故()1010102133113S -==--.故选：D.8．C【分析】由对称性求得ω，由图象平移变换求得()g x ，然后结合正弦函数的对称性，单调性，周期判断各选项．【详解】由已知ππππ662k ω+=+，62k ω=+，Z k ∈，又04ω<<，∴2ω=，ππ2π()sin[2()sin(2463g x x x =++=+，π2ππ2ππ,Z 632k k ⨯+=≠+∈，A 错；π2ππ2()π,Z 633k k ⨯-+=≠∈，B 错；π(0,3x ∈时，2π2π4ππ3π2(,)(,)33322x +∈⊆，C 正确；()g x 的最小正周期是2ππ2T ==，D 错．故选：C ．9．C【分析】根据旋转体的概念得出该旋转体是两个共底面的圆锥的组合体，作出轴截面，得出内切球于心O 位于对称轴AB 上，由平行线性质求得球半径r 后可得球体积．【详解】由题意该几何体是两个共底面的圆锥的组合体，如图是其轴截面，由对称性知其内切球球心O 在AB 上，O 到,CA CB 的距离,OE OF 相等为球的半径，设其为r ，因为C 是直角，所以OECF 是正方形，即CF CE r ==，由//OF CA 得OF BF CA BC =，即212r r -=，解得23r =，球体积为3344232ππ(π33381V r ==⨯=．故选：C ．10．C【分析】先求出AB 所在的直线方程，分别与两条渐近线联立方程组，求出,A B 两点的坐标，再根据22133OA OF OB =+u u u r u u u u r u u u r，求出,a c 之间的关系，从而可得双曲线的离心率【详解】由题意：OA b k a = ，20OA BF =u u u r u u u u r Q g ,2OA BF ∴⊥ ,2BF ak b ∴=-所以直线2BF 的方程为：()ay x c b=-- ①直线OA 的方程为：by x a =②直线OB 的方程为：by x a=-③联立①②可得：2a x cab y c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ，即2(,)a ab A c c 联立①③可得22222a c x a babcy a b ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，即22222(,a c abc B a b a b ---又22133OA OF OB =+u u u r u u u u r u u u r Q 22222221(,)(,0)(,)33a ab a c abcc c c a b a b-∴=+--可得222222233()3()a a c c c a b ab abcc a b ⎧=+⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩ ，化简可得223a c = ，即2e 3=，e ∴= 故选：C 11．C【分析】根据1321223n n a a a a n+++++=L 求得 n a ,再因为对任意*N n ∈不等式n S λ<恒成立，()max n S λ>，求出实数λ的取值范围.【详解】1321223n n a a a a n+++++=L ①,31212231n n a a a a n -++++=-L ②,由①-②可得，当 2n ≥ 时,2n na n=,当211,2n a ==,当2n ≥,()()()122211222111n n n n n n n a n n n n +⎛⎫++==- ⎪ ⎪++⨯⨯+⨯⎝⎭,当1,n =()2318n n n a +=+，所以()()2312131111311228223221282212n n n n S n n n ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-=+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ,对任意*N n ∈不等式n S λ<恒成立,所以 ()max n S λ>,()21332528882221181n n S n +⎛⎫=+<+=⎪ ⎪-⨯+⎝⎭⨯.所以58λ≥.故选:C.12．A【分析】根据题意表示出()()21121ln 1e ,x x x x m ++==从而推导出21e 1,xx =+将问题转化为()21111e em m x x m--+=，利用导数求得函数的最值.【详解】()()()()()ln 10,ln 10,1ln 1,11m mf x x x m x x x x =+-=+-==++++()ln0,e ,x xg x x m x m=+==由题意知，()()21121ln 1e ,x x x x m ++==即()()2221121ln 1e e ln e ,x x xx x x m ++===因为0m >，所以21e 1,11xx >+>，设()ln ,1p x x x x =>，则()1ln 0p x x '=+>，()()211e ,xp x p m +==所以211e x x +=，所以()22121111e e e e x m m m x x x m---+==，1(),0e m m t m m -=>，则11(),em mt m --'=当01m <<时，()0;t m '>当1m >时，()0;t m '<所以()t m 在()0,1时单调递增，在()1,+∞时单调递减，所以max ()(1)1,t m t ==故选：A.13．22(2)4x y -+=上的任意一点都可以【分析】根据定积分的几何意义先求出a ，再写出到点(),0M a 的距离为2的点表示一个圆.【详解】由于11d x -⎰表示以()0,0为圆心，1为半径且在第一、二象限的圆弧与坐标轴围成的面积，其面积是半径为1的圆的面积的一半，即为π2.所以)111144π4d d 202ππ2πa x x x x --==⨯+=+=⎰⎰,到点()2,0M 的距离为2的点是圆22(2)4x y -+=上的点.故答案为：22(2)4x y -+=上的任意一点.14．120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】设(,)M x y ，由数量积的坐标表示求得M 点轨迹是一个圆，然后由圆与圆的位置关系可得a 的范围．【详解】设(,)M x y ，则(1,1),(1,1)MA x y MB x y =----=---u u u r u u u r，2(1)(1)(1)3MA MB x x y ⋅=---+--=u u u r u u u r，即22(1)4x y ++=，M 在以(0,1)-为圆心，2为半径的圆上，由题意该圆与圆22()(24)1x a y a -+-+=有公共点，所以2121-≤≤+，解得1205a ≤≤．故答案为：12[0,]5．15．112【分析】由题意知本题是一个几何概型，设甲和乙到达的分别为6时x +分、6时y +分，则3060x ……，4575y ……，他们能搭乘同一班公交车，则4560x ……，4560y ……．试验包含的所有区域是{(,)|3060x y x Ω=……，4575}y ……，他们能搭乘同一班公交车所表示的区域为A ，由此能求出结果．【详解】解：由题意知本题是一个几何概型，设甲和乙到达的分别为6时x +分、6时y +分，则3060x ……，4575y ……，则试验包含的所有区域是{(,)|3060x y x Ω=……，4575}y ……，他们能搭乘同一班公交车所表示的区域为4550{(,)|4550x A x y y ⎧=⎨⎩…………或50555055x y ⎧⎨⎩…………或5560}5560x y ⎧⎨⎩…………，则他们能搭乘同一班公交车的概率5531303012P ⨯⨯==⨯．故答案为：11216．①④【分析】根据线面平行的判定定理，以及线线垂直的判定，结合异面直线所成角，以及棱锥外接球半径的求解，对每一项进行逐一求解和分析即可.【详解】对①：当H 为DE 的中点时，取EA 中点为M ，连接,MH MB ，因为,H M 分别为,ED EA 的中点，故可得MH //AD ，12MH AD =，根据已知条件可知：BG //1,2AD BG AD =，故MH //,BG MH BG =，故四边形HMBG 为平行四边形，则H G //MB ，又MB ⊂平面,ABE HG ⊄平面ABE ，故H G //面ABE ，故①正确；对②：因为ED ⊥平面ABCD ，,⊂DA DC 平面ABCD ，故,DE DA DE DC ⊥⊥，又四边形ABCD 为矩形，故DA DC ⊥，则,,DE DA DC 两两垂直，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示：则()()()()()2,0,0,0,2,0,2,2,0,0,0,2,1,2,0A C B E G ，设()0,0,H m ，[]0,2m ∈，若GH AC ⊥，则()()1,2,2,2,020GH AC m ⋅=--⋅-=-≠u u u r u u u r，不满足题意，故②错误；对③：()1,2,GH m =--u u u r，()2,2,2BE =--u u u r ，()()()()1222262GH BE m m ⋅=-⨯-+-⨯-+=+u u u r u u u r，GH ==u u u r，BE =u u u r []0,2m ∈，,cos GH =u u u r u=[]0,2m ∈，令2325m y m +=+，设32t m =+，[]2,4t ∈，23t m -=，则29492453ty t t t==-⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭，当[]2,4t ∈时，根据对勾函数的性质得4949454,42t t ⎡⎤+-∈⎢⎥⎣⎦，则236,549y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当25y =时，cos ,GH BE u u u r u u u r有最小值，最小值为，故③错误；对④：由题可得CF ⊥平面ABCD ，又面ABCD 为正方形，∴,,AB BC CF AB BC CF C ⊥⊥⋂=，∴AB ⊥平面BCF ，则AB ，BC ，CF 两两垂直，∴AF 为三棱锥A BCF -的外接球的直径，又22222212219AF AB BC CF =++=++=，∴三棱锥A BCF -的外接球表面积为9π，故④正确.故答案为：①④.17．(1)证明见解析(2)最小值为【分析】（1）根据正弦定理边角互化和两角和差正弦化简即可证明.（2）将问题转化32cos 2cos cos a b c B b b B b B++=24cos cos B B =+，根据第一问解得π10,,cos ,132B B ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后结合不等式求解.【详解】（1）在ABC V 中，2cos a b c B +=，由正弦定理得sin sin 2sin cos A B C B +=，又()πA B C =-+，因为()sin sin 2sin cos B C B C B ++=⋅,所以sin cos sin cos sin C B B C B ⋅-⋅=,所以()sin sin C B B -=,又sin 0B >,所以0πC B C <-<<，且πB C B C +-=<,所以B C B =-，故2C B =.（2）由（1）2C B =得()30,πB C B +=∈，所以π10,,cos ,132B B ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为2cos ,2a b c B C B +==，所以32cos 2cos cos a b c B b b B b B++=2sin cos 2sin 2sin2cos 2sin sin cos sin cos C B B B B BB B B B⋅+⋅+==⋅⋅24cos cos B B=+≥当且仅当24cos cos B B =即cos B =π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即当且仅当π4B =时等号成立，所以当π4B =时，3cos a bb B +的最小值为18．(1)证明见解析【分析】（1）连接,BD BF ，由等腰三角形的性质和勾股定理，证明PE EF ⊥，PE BE ⊥，可证得PE ⊥平面ABD ，即可证得平面APE ⊥平面ABD .（2）取AD 的中点O ，连接,,OE DE PO ，由勾股定理求,,PD PA PO ，又B PAD P ABD V V --=，利用体积法求点B 到平面ADP 的距离.【详解】（1）证明：由题意，连接,BD BF ，因为224CD AB AD ===，//AB CD ，90,DAB F ∠=o 是边CD 的中点，所以2BF CF ==，则BC =又E 是边BC 的中点，则EF BC ⊥，在折起中PE EF ⊥.又222224BE PE BP +=+==，所以PE BE ⊥，又BE EF E =I ，BE ⊂平面ABD ，EF ⊂平面ABD ，故PE ⊥平面ABD ，又PE ⊂平面APE ，所以平面APE ⊥平面ABD .（2）由（1）中取AD 的中点O ，连接,,OE DE PO ，由（1）可知，PE ⊥平面ABD ，所以,,PE DE PE AE PE OE ⊥⊥⊥，而()132OE AB DC =+=，112OD AD ==，所以DE =同理AE =所以PD PA PO ======所以PAD V 是等腰三角形，所以1122PAD S AD PO =⋅=⨯=V 又B PAD P ABD V V --=，即1133PAD ABD S h S PE ⋅=⋅V V ，所以ABD PADS PE h S ⋅==VV =，即点B 到平面ADP19．(1)0.41.7ˆ12=+yt ，预测2023年5月份参与竞拍的人数为3.73万人(2)（i ） 3.5x =，2 1.7s =；（ii ）预测竞拍的最低成交价为4.943万元【分析】（1）由已知公式求得线性回归方程，6t =代入回归方程可得预测值；（2）（i ）由均值与方差公式计算出均值与方差；（ii ）由预测值求得报价在最低成交价以上人数占总人数比例，然后由正态分布的性质求得预测竞拍的最低成交价．【详解】（1）11(12345)3,(1.7 2.1 2.5 2.8 3.4) 2.555t y =++++==++++=，55211149162555, 1.7 4.27.511.21741.6,ii i i i tt y ===++++==++++=∑∑，241.653 2.5ˆˆ0.41, 2.50.413 1.275553ba -⨯⨯∴===-⨯=-⨯，y 关于t 的线性回归方程0.41.7ˆ12=+y t 2023年5月份对应6t =，所以0.416 1.27 3.73ˆ=⨯+=y所以预测2023年5月份参与竞拍的人数为3.73万人.（2）（i ）由题意可得：1.50.12.50.33.50.34.50.155.50.16.50.05 3.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=22222(1.5 3.5)0.1(2.5 3.5)0.3(3.5 3.5)0.3(4.5 3.5)0.15s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯22(5.5 3.5)0.1(6.5 3.5)0.05 1.7+-⨯+-⨯=（ii ）2023年5月份实际发放车牌数是5000，设预测竞拍的最低成交价为a 万元，根据竞价规则，报价在最低成交价以上人数占总人数比例为5000100%13.40%37300⨯≈根据假设报价X 可视为服从正态分布()22,, 3.5, 1.7, 1.3===≈N μσμσσ，令 3.51.3--==X X Y μσ，由于( 1.11)0.8660<=P Y ，1( 1.11)0.1340P Y ∴-<=，3.5() 1.110.86601.3a P Y a P Y -⎛⎫∴<=<== ⎪⎝⎭，所以 3.5 1.111.3a -=得 4.943=a ，所以预测竞拍的最低成交价为4.943万元．20．(1)1-(2)证明见解析【分析】(1)利用导数法求函数最值的步骤解求解；(2)根据题意构造函数()()()2F x f x f x =--，()0,1x ∈.对函数求导，利用导函数的正负判断函数的单调性，进而利用函数的最值得出()()212f x f x >-，再结合（1）中函数的单调性即可得证.【详解】（1）由题意可知：函数()ln 2f x x x =--的定义域为：()0,∞+.则()11f x x'=-，令()0f x '=，解得1x =.当()0,1x ∈，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当()1,x ∈+∞，()0f x ¢>，函数()f x 单调递增.所以1x =为极小值点，且()()min 11f x f ==-.所以函数()f x 的最小值为1-.（2）根据题意可知：()()12f x f x =，根据（1）设101x <<，21x >，构造函数()()()2F x f x f x =--，()0,1x ∈.()()()()()221202x F x f x f x x x -'''=+-=<-，所以()F x 在()0,1上单调递减.则有()()10F x F <=，也即()()1120f x f x -->.因为()()12f x f x =，所以()()2120f x f x -->，也即()()212f x f x >-因为121x ->，21x >，由（1）可知()f x 在()1,+∞上单调递增，所以212x x >-，也即122x x +>.由已知21x >，所以1223x x +>.21．(1)2211612x y +=；(2)证明见解析．【分析】（1）根据离心率的定义和椭圆定义求得,a c ，再计算出b 后得椭圆方程；（2）设()()1122,,,M x y N x y ，直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理求得中点,R S 的坐标，当直线PQ 斜率存在时，设直线:PQ y mx n =+，点,R S 在直线PQ 上，代入整理得12,k k 是一个一元二次方程的根，由韦达定理得12k k ，从而得出,m n 关系，得出直线PQ 过定点E ，再确定直线PQ 斜率不存在时也过这个定点E ，然后结合该定点得出三角形面积比．【详解】（1）依题意得12622c a a⎧=⎪⎨⎪+=⎩，则4,2,a c =⎧⎨=⎩则22212b a c =-=，所以椭圆C 的方程为2211612x y +=；（2）直线()11:2l y k x =-，设()()1122,,,M x y N x y ，由122(2)11612y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222111341616480k x k x k +-+-=，所以2112211634k x x k +=+，211221164834k x x k -=+，且0∆>，则中点211221186,3434k k R k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理可算222222286,3434k k S k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭①当直线斜率存在时，设直线:PQ y mx n =+，点,R S 在直线PQ 上，点,R S 坐标代入整理得()()21122284630,84630,m n k k n m n k k n ⎧+++=⎪⎨+++=⎪⎩易知12,k k 为方程()284630m n k k n +++=的两个根，则123284n k k m n==-+，所以1611n m =-，所以直线16:11PQ y mx m =-，则直线恒过点16,011E ⎛⎫⎪⎝⎭②当直线的斜率不存在时，由对称性可知12k k =-，由122k k =-，不妨设12k k ==，所以221222128816343411k k k k ==++，直线16:11PQ x =过16,011⎛⎫⎪⎝⎭，根据①②可知，直线PQ 恒过点16,011E ⎛⎫⎪⎝⎭，因为PQA △的面积11212S AE y y =⋅-，PQB △的面积21212S BE y y =⋅-，所以121641511167411AE S S BE +===-.【点睛】方法点睛：椭圆中的直线过定点问题的解决方法：斜率存在时，设出直线方程为y mx n =+，根据已知条件确定,m n 的关系后，由直线方程得出定点坐标．本题中，动直线PQ 是由点,R S 确定的，因此可由已知直线12,l l 确定,R S 的坐标，再把坐标代入所设直线方程，发现12,k k 是一个一元二次的两根，这样可由韦达定理求得,m n 的关系，得出结论．22．(1)()22441x y x -=≥(2)4m <<【分析】（1）在曲线C 的参数方程中消去参数t ，可得出曲线C 的普通方程，利用基本不等式求出x 的取值范围，即可得解；（2）求出直线l 的普通方程，分析可知直线l 与双曲线2214y x -=的右支有两个交点，将直线l 与双曲线2214y x -=方程联立，利用直线与双曲线的位置关系可得出关于m 的不等式组，即可解得实数m 的取值范围.【详解】（1）因为112122t t x ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭()222222221422,2441122,2t t t t x x y x y ⎧=++⎪⎪-=≥⎨⎪=+-⎪⎩则则曲线的普通方程为()22441x y x -=≥（2）cos 2sin 10m ρθρθ+-=则210mx y +-=由得()22210,1,14mx y y x x +-=⎧⎪⎨-=≥⎪⎩得()22162170m x mx -+-=有两个不等正根()22222160,Δ468160,20,1617016m m m m m m ⎧-≠⎪=+->⎪⎪⎨->⎪-⎪⎪->-⎩则4m <<23．(1)[)10,2,3∞∞⎛⎤--⋃+ ⎥⎝⎦(2)证明见解析【分析】（1）利用零点分段法分类讨论，分别求出不等式的解集，即可得解；（2）利用绝对值三角不等式求出()f x 的最小值，即m 的值，再利用柯西不等式证明即可.【详解】（1）不等式24410x x ++-≥，所以224410x x x ≤-⎧⎨---+≥⎩，解得103x ≤-，或2424410x x x -<<⎧⎨+-+≥⎩，解得24x ≤<，或424410x x x ≥⎧⎨++-≥⎩，解得4x ≥，所以原不等式解集为[)10,2,3∞∞⎛⎤--⋃+ ⎥⎝⎦.（2）()244242f x x x x x x =++-=++-++()2406x x ≥+--+=，当且仅当2x =-时取得，即min ()6f x =，所以6a b c m ++==，因为()1112a b c a b b c a c ⎛⎫++⨯++ ⎪+++⎝⎭()111a b b c c a a b b c c a ⎛⎫=+++++++ ⎪+++⎝⎭()()()111a b b c c a a b b c c a ⎛⎫=+++++++⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭222222⎡⎤⎡⎤⎢⎥=++++⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦2≥()21119=++=，当且仅当12a b c ===时取等号，所以()1119922a b b c c a a b c m ++≥=+++++成立.。

福建省福州市高考模拟有答案数学试卷(文科)

福建省福州市高考模拟数学试卷（文科）有答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分（满分150分考试时间120分钟）参考公式：样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差锥体体积公式V =31Sh 其中x 为样本平均数其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式球的表面积、体积公式V =Sh24S R =π，343V R =π其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．） 1.设复数121,2z i z bi =+=+, 若12z z ⋅为纯虚数,则实数b = A.2 B.2- C.1 D.1- 2.下列导数运算正确的是 A. 211()1x x x'+=+B. 2(cos )2sin x x x '=- C. 3(3)3log x x e '= D. 21(log )ln 2x x '=3.一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前6项均为正数，第7项起为负数，则它的公差为 A ．－2B ．－3C ．－4D ．－64.运行下面的程序，如果输入的n 是6，那么输出的p 是A. 120B. 720C. 1440D. 50405.将一个总体分为A, B, C 三层,其个体数之比为523,若用分层抽样抽取容量为200的样本,则应从C 中抽取的个体数是A. 20B. 40C. 60D. 80 6.将函数cos()3y x π=-的图像上各点的横坐标伸长到原的2倍(纵坐标不变),再向左平移6π个单位,所得函数图像的一条对称轴为 A. 9x π=B. 8x π=C. 2x π=D. x π=7.已知函数2(10)(),1)x x f x x --≤≤⎧⎪=<≤则下列图象错误的是8.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,点E 在1A D 上且12A E ED =,点F 在AC 上且2CF FA =, 则EF 与1BD 的位置关系是A. 相交不垂直B. 相交垂直C. 异面D. 平行9.已知A 、B 为平面内两定点, 过该平面内动点M 作直线AB 的垂线,垂足为N, 若2MN AN NB λ=⋅, 其中λ为常数, 则动点M 的轨迹不可能是A.圆B.椭圆C.抛物线D.双曲线10.已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点, P 为双曲线右支上一点,满足212PF F F =, 直线1PF 与圆222x y a +=相切, 则该双曲线的离心率是A.43 B. 53 C. 54D.以上都不正确 11.已知2a b >≥, 现有下列不等式 ①23b b a >-; ②41112()ab a b+>+; ③ab a b >+; ④log 3log 3a b >; 其中正确的是A. ②④B.①②C.③④D.①③12.设A 是整数集的一个非空子集,对于k A ∈, 如果1k A +∉且1k A -∉, 那么称k 是A 的一个“孤立元素”. 现给定集合{}1,2,3,4,5,6,7,8S =由S 的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元素”的集合共有多少个A. 6B. 7C. 8D. 9第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．13.式子3log 3的值为__________________________. 14.设命题21:01x p x -<-. 命题2:(21)(1)0q x a x a a -+++≤. 若p 是q 的充分不必要条件.则实数a 的取值范围是____________________________.15.设点(,a b 是区域4000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的随机点, 记A ={}2()41(0)[1,)x f x ax bx a =-+>+∞关于的一元二次函数在上是增函数,则事件A 发生的概率是_____________________________.16.如图所示, △ABC 是边长为1的正三角形，且点P 在边BC 上运动. 当PA PC ⋅取得最小值时，则cos PAB ∠的值为________________．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 中，n S 是它前n 项和，设10,2106==S a . (I)求数列{}n a 的通项公式；(II)若从数列{}n a 中依次取出第2项，第4项，第8项，……，第2n项，……，按取出的顺序组成一个新数列{}n b ，试求数列{}n b 的前n 项和n T . 18.（本小题满分12分）某学校甲、乙两位学生参加数学竞赛的培训,在培训期间,他们参加5次预赛,成绩记录如下(I)用茎叶图表示这两组数据;(II)现要从甲、乙两人中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度考虑,你认为选派哪位学生参赛更合适? 并说明理由. 19.（本小题满分12分）在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c , 且A ∠满足22cos A cos A A -1=-,(I)若2a c ==, 求ABC ∆的面积; (II)求2cos(60)b ca C -⋅+的值.20.（本小题满分12分）如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为3的正方形,平面PCD ⊥底面ABCD,E 是PC 的中点.(I)求证//PA BDE 平面;(II)若PD PC DC ==,求证平面PDA ⊥平面PCB ; (III)若侧棱PD ⊥底面ABCD ,PD=4.求PAD ∆以PA 为轴旋转所围成的几何体体积. 21.（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，直线)(03)21()3(R m m y m x m ∈=---++恒过的定点F 为椭圆的一个焦点，且椭圆上的点到焦点的最大距离为3. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）若直线MN 为垂直于x 轴的动弦，且N M ,均在椭圆C 上，定点)0,4(T ，直线 MF 与直线NT 交于点S ．①求证：点S 恒在椭圆C 上； ②求MST ∆面积的最大值． 22.(本小题满分14分) 已知函数21()2ln 2f x x x a x =-+有两个极值点12,x x 且12x x < (I)求实数a 的取值范围,并写出函数()f x 的单调区间; (II)判断方程()(1)f x a x =+根的个数并说明理由; (III)证明232ln 2()8f x -->.高三 (文科)数学试卷答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．13． 14-_________ ; 14． __1[0,]2_____ ;15．13 ; 16． ____26______ . 三、解答题本大题共6小题,满分74分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17．（本小题满分12分）解（Ⅰ）设数列d a a n ,,}{1公差分别为首项.则由已知得 251=+d a ①，102910101=⨯+d a ② …………4分联立①②解得)(102,2,81*∈-==-=N n n a d a n 所以…………6分（Ⅱ）),(102102212*+∈-=-⋅==N n a b n nn n ………………9分所以41021021)21(4221--=---=+++=+n n b b b T n n n n ………… 12分 18．（本小题满分12分）解 (1)作出的茎叶图如下…………4分 (2)派甲参赛比较合适. 理由如下 1(8282799587)855x =++++=甲…………5分1(9575809085)855x =++++=乙…………6分 2222221[(7985)(8285)(8285)(8785)(9585)]31.65s =-+-+-+-+-=甲……8分 2222221[(7585)(8085)(8585)(9085)(9585)]505s =-+-+-+-+-=乙……10分∵22,;x x s s <<乙乙甲甲 ∴甲的成绩较稳定,派甲参赛比较合适. ……12分19．（本小题满分12分）解 (1)由已知 22cosA cos A A -1=-, 可得sin(2)16A π-=,∵1102(,)266662A A A ππππππ<<∴-∈-⇒∴-=即3A π∠=.………… 2分在ABC ∆中,由余弦定理得 22224121cos 242b c a b A bc b +-+-===解得4b =或2b =-(舍去); ………… 4分∴11sin 4222ABC S bc A ∆==⨯⨯=………… 6分 (2)原式=0002sin()2sin 2sin 22sin sin 2sin 32sin cos(60)sin cos(60)sin cos(60)C CR B R C B C R A C A C A C π---⨯-==⋅+⋅+⋅+…… 9分3sin 2C C-==………… 12分 20．（本小题满分12分）解 (1)连接AC 交BD 于O, 连接EO.∵ABCD 是正方形, ∴O 为AC 中点, 已知E 为PC 的中点, ∴OE//PA. ………2分又∵OE ⊂平面BDE, PA ⊄平面BDE, ∴PA//平面BDE. …………3分(2)在DPC ∆中, 222,2PD PC DC PD PC DC ==∴+= , 即DP ⊥PC. ……4分又已知平面PCD ⊥底面ABCD, 平面PCD ∩平面ABCD=DC BC ⊥DC; ∴BC ⊥平面PDC, PD ⊂平面PDC, ∴PD ⊥BC, ………… 6分 BC 与PC 相交且在平面PBC 内.∴PD ⊥平面PCB, PD ⊂平面PDA, ∴平面PDA ⊥平面PCB. ………… 8分(3)过D 作PA 的垂线.垂足为H,则几何体为以DH 为半径,分别以PH,AH 为高的两个圆锥的组合体. …………9分侧棱PD ⊥底面ABCD, ∴PD ⊥DA, PD=4, DA=DC=3, ∴PA=5431255PD DA DH PA ⋅⨯===,…………10分 22221133111248()53355V DH PH DH AHDH PA πππππ=⋅+⋅=⋅=⨯⨯= …………12分21．（本小题满分12分）解：（1）直线)(03)21()3(R m m y m x m ∈=---++可化为033)12(=-++--y x y x m ，……1分由⎩⎨⎧=-+=--033012y x y x 得⎩⎨⎧==01y x ，)0,1(F ∴， 1=∴c ， ………… 3分又3=+c a ，2=∴a ，.3222=-=∴c a b ∴椭圆的方程为.13422=+y x ………4分（2）①设直线MN 的方程为s x =，则可设),(),,(t s N t s M -，且.124322=+t s 直线MF 的方程为)1(1--=x s t y ，直线NT 的方程为).4(4---=x s ty …… 6分联立求得交点)523,5285(---s t s s S ，…… 7分代入椭圆方程124322=+y x 得， 222)52(1236)85(3-=+-s t s ，化简得：.124322=+t s∴点S 恒在椭圆C 上. ……………… 8分②直线MS 过点)0,1(F ，设其方程为1+=my x ，).,(),,(2211y x S y x M 联立⎩⎨⎧=++=1243122y x my x 得096)43(22=-++my y m ， .439,436221221+-=+-=+∴m y y m m y y ………… 9分 2222122112)43(1184)(23321++=-+=-⨯=∆m m y y y y y y S MST，令)1(12≥+=u m u ，则.6191)13()43(12222++=+=++uu u u m m u u 19+在),1[+∞上是增函数， uu 19+∴的最小值为10. .294118=⨯≤∴∆MST S ………………………………………12分 22．（本小题满分14分）解(Ⅰ)由题设知,函数)(x f 的定义域为(0,)+∞,222()1a x x af x x x x-+'=-+=;…………………1分且()0f x '=有两个不同的根, ∴2220,2x x a a x x -+==-+且(0)x >有两个交点.2211112()()4424a x x x =--++=--+有两个交点求得 1102,0.48a a <<⇒<< ∴a 的取值范围是1(0,)8.…………………3分 (也可利用判别式1180,8a a ∆=-><即;又10,0x a =>∴>).∵1,2x =∴()()0;002121<'<<>'><<x f x x x x f x x x x 时，当时，或当 ∴()f x单调增区间为1(0,2和1()2++∞.单调减区间为 ………………………5分 (Ⅱ)由已知方程 ()(1)f x a x =+212ln 2x x a x ax x ⇒-+--=0∴令21()(2)2ln 2t x x a x a x =-++, 22(2)2()(2)()(2)a x a x a x a x t x x a x x x-++--'=-++==…………………7分21()22ln 02t a a a a a =--+<(2)222ln 20t a a =--+< 0x →时,()t x →-∞;x →+∞时,()t x →+∞;∴()t x 有且只有1个零点, ∴原方程有且只有一个根. ……………………9分 (III)由(Ⅰ)可知12221212(1)2x x a x x x x a+=⎧∴=-⋅⎨⋅=⎩ , ………………………10分并且由2x =21(,1)2x ∈. ………………………11分∵21()2ln 2f x x x a x =-+=2121ln 2x x x x x -+⋅, 222222221()()ln 2f x x x x x x =-+- 2222222222()1(12)ln (12)ln x x f x x x x x x x -'⇒=-+-+=-,其中21(,1)2x ∈………13分 ∴2()0f x '>, 函数()f x 在1(,1)2递增;∴111111132ln 2()()()ln 22422428f x f -->=⨯-+-⋅=. ………………14分 x(0,)aa(,2)a 2 (,)a +∞()t x + 0 - 0 + ()t x极大值极小值。

2023届高考文科数学模拟试卷三十六(含参考答案)

2023届高考文科数学模拟试卷三十六（含参考答案）一.选择题：本大题共10小题,每小题5分,满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有 A ．3个B ．5个C ．7个D ．8个 2. sin 42sin 72cos 42cos 72+=A ．B ．12C ．sin114 D ．cos114 3．下列各组命题中的假命题是A ．1,20x x R -∀∈>B ．2,(1)0x N x +∀∈->C ．,lg 1x R x ∃∈<D ．,tan 2x R x ∃∈= 4．右图是函数sin()(0,0,)2y A x A πωφωφ=+>><在区间5[,]66ππ-上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将sin ()y x x R =∈的图象上所有的点 A ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变5．已知等比数列{}n a 中，公比1q >，且168a a +=，3412a a =，则116a a = A ．2 B ．3 C ．6 D ．3或66．若a b c <<,则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间A. 和内B. 和内C. 和内D. 和内7．设a ，b ，c 均为正数，且122log aa =, 121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭则 A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c8．P 是ABC ∆所在平面上的一点，满足20PA PB PC ++=，若ABC ∆的面积为1，则(),a b (),b c (),a -∞(),a b (),b c (),c +∞(),a -∞(),c +∞6π-56πABP ∆的面积为 A. 1 B. 2 C. 21D. 319．从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为A ．2097B ．2264C ．2111D ．201210．函数，正实数满足且．若实数是方程的一个解，那么下列四个判断：① ② ③ ④ 中有可能成立的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4二.填空题：本大题共5小题,每小题5分,满分25分．把答案填在答题卡的横线上． 11．函数y =的值域是 ▲ ． 12．已知tan()35πα-=-，则22sin cos 3cos 2sin αααα-＝ ▲ . 13．如右图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得15BCD ︒∠=，30BDC ︒∠=,30CD =米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60︒，则塔高AB = ▲ 米.14. 已知向量=(1,3)OA ，=(2,1)OB - ，(1,2)OC m m =+-，若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是 ▲ . 15．已知函数f (x )=|x +11x-|，则关于x 的方程2()6()0f x f x c -+= (c ∈R )有6个不同实数解的充要条件是 ▲ ．三.解答题：本大题共6小题,共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.(本小题满分12分)已知集合231{|1,[,2]},{|||1}22A y y x x xB x x m ==-+∈-=-≥；命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，并且命题p 是命题q 的充分条件，求实数m 的取值范围．x x f x2log )31()(-=c b a ,,c b a <<d 0)(=x f a d <a d >c d >c d < 1 23 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 343536 37 383940…17．（本小题满分12分）已知（1）求的最大值及取得最大值时x 的取值的集合;（2）在△ABC 中，a b c 、、分别是角A ，B ，C所对的边，若a =，且对()f x 的定义域内的每一个x ，都有()()f x f A ≤恒成立，求AB AC ⋅的最大值.18．（本小题满分12分）叙述两角差的余弦公式，并用向量的数量积证明．19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足：121,(0).a a a a ==>数列{}n b 满足1(*)n n n b a a n N +=∈．（1）若{}n a 是等差数列，且312b =，求a 的值及{}n a 的通项公式；（2）若{}n a 是等比数列，求{}n b 的前项和n S ；（3）当{}n b 是公比为1a -的等比数列时，{}n a 能否为等比数列？若能，求出a 的值；若不能，请说明理由．20．（本小题满分13分）某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数与听课时间之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数(且)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数≥80时，听课效果最佳．(1) 试求的函数关系式；(2) 老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳？请说明理由．sin 2().sin xf x x x=+()f x p t ]14,0(∈t ]40,14[∈t ()835log +-=x y a 0a >1a ≠p ()p f t =。

2023届高考文科数学模拟试卷五十五(含参考答案)

2023届高考文科数学模拟试卷五十五（含参考答案）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的。

1．设集合A=2{|21},{|ln(1)}x x B x y x -<==-，则A B 为A ．{|2}x x <B ．{|12}x x <<C ．{|1}x x <D ．{|1}x x ≤2．若cos isin z θθ=-（i 为虚数单位），则使21z =-的θ值可能是A ．0B ．πC ．2πD ．2π3．下列函数中，在区间02π⎛⎫⎪⎝⎭，上为增函数且以π为周期的函数是A ．sin2xy = B ． sin y x = C ． tan y x =- D ． cos 2y x =- 4．命题“0x R ∃∈，3210x x -+>”的否定是A ．x R ∀∈，3210x x -+≤ B ．0x R ∃∈，3210x x -+< C ．0x R ∃∈，3210x x -+≤ D ．不存在x R ∈，3210x x -+> 5. 设α表示平面，b a ,表示直线，给定下列四个命题：①αα⊥⇒⊥b b a a ,//；②αα⊥⇒⊥b a b a ,//; ③αα//,b b a a ⇒⊥⊥;④b a b a //,⇒⊥⊥αα. 其中正确命题的个数有A.1个B.2个C.3个D.4个 6．在等比数列{}n a 中，5113133,4,a a a a ⋅=+=则155a a = A ．3 B ．13 C ．3或13 D ．3-或13- 7．圆224450x y x y +--+=上的点到直线90x y +-=的最大距离与最小距离的差为A.B.C. D.6频率706050408．一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为56，则判断框中应填入的条件是A.4i <B.5i <C. 5i ≥D. 6i < 9．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积不小于3S的概率是A ．32 B ．13C ．43 D ．41 10．若不等式组0024x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个三角形，则s 的取值范围是Ａ．s ≥4 Ｂ．0s <≤2 Ｃ．2≤s ≤4Ｄ．0s <≤2或s ≥4二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分． 11. 统计某校1000名学生的数学会考成绩，得到样本频率分布直方图如右图示，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格人数是；优秀率为。

2023年高考数学全真模拟(全国甲卷乙卷通用)文数02答案

2023年高考数学全真模拟卷二（全国卷）文科数学（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知集合{}3A x N x =∈<，{}21B x x =-<≤，则A B = （）A ．[]0,2B ．{}1,0,1-C ．{}0,1,2D ．{}0,1【答案】D【分析】利用集合的交集运算求解.【详解】解：因为集合{}3A x N x =∈<，{}21B x x =-<≤，所以A B = {}0,1，故选：D2．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为()3,4-，则43izz +=+（）A ．5i +B ．5i -C ．35i -D ．4【答案】B【分析】由题意得34i z =-，再代入式子计算即可得到答案.【详解】由复数z 在复平面内对应的点的坐标为()3,4-得34iz =-5z ∴==()()()()34i 43i 34i555i 43i 43i 43i 43i z z ---∴+=+=+=-+++-故选：B.3．机器人是一种能够半自主或全自主工作的智能机器．它可以辅助甚至替代人类完成某些工作，提高工作效率，服务人类生活，扩大或延伸人的活动及能力范畴．某公司为了研究某机器人的销售情况，统计了2022年2月至7月M ，N 两店每月该机器人的营业额（单位：万元），得到如图所示的折线图，则下列说法中不正确的是（）A ．N 店营业额的平均值是29B ．M 店营业额的中位数在[]30,35内C ．M 店营业额的极差比N 店营业额的极差小D ．M 店营业额的方差大于N 店营业额的方差【答案】D【分析】对A ，计算N 店营业额的平均值即可判断，对B 首先M 店的营业额从小到大排序，即可计算出其中位数，对C ，计算相关数据极差即可判断，对D 首先计算出M 店营业额的平均值，再计算M 店和N 店营业额的方差即可判断.【详解】对于A ，N 店营业额的平均值是()12816355063296⨯+++++=，所以A 正确；对于B ，将M 店的营业额/万元，从小到大排列得14,20,26,36,45,64，故其中位数为]236363152[30,+=∈，故B 正确；对于C ，M 店营业额极差为641450-=，N 店的极差为6326150-=>，故C 正确；所以B 正确；对于D ，M 店营业额的平均值是11(142026456436)3466⨯+++++=，所以M 店营业额的方差为2222222052052052052052051420264564366666666⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭10109292803636==N 店营业额的方差为()()()()()()2222222292029262945296429362929391.5280636-+-+-+-+-+-=>,故D 错误，故选：D ．4．设x ，y 满足约束条件260303x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3z x y =-的最大值为（）A ．3B ．152-C ．0D ．9【答案】A【分析】画出可行域，根据目标函数的几何意义即可求解.【详解】根据约束条件画出可行域（如图），把3z x y =-变形为33x z y =-，得到斜率为13，在y 轴上的截距为3z-，随z 变化的一族平行直线．由图可知，当直线33x z y =-过点(3,0)A 时，截距3z-最小，即z 最大，所以3z x y =-的最大值为3．故选：A ．5．在ABC 中，AB AC =，AD 是BC 边上的中线，且4BC =，3AD =，则⋅=AB AC （）A ．5-B ．5C ．8-D ．8【答案】B【分析】由题意，根据三角形的性质，结合向量的加法几何意义以及数量积的运算律，可得答案.【详解】由题意如图所示：由AD BC ⊥，所以0,0AD DC AD DB ⋅=⋅= 又AB AC =，所以D 为BC 的中点，所以122BD DC BC ===，所以()()22945AB AC AD DB AD DC AD DC ⋅=+⋅+=-=-= ，故选：B ．6．已知ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且656cos a c b C =+，则cos B =（）A ．78B ．56C ．34D ．23【答案】B【分析】根据题意，利用正弦定理边化角，由三角形内角和定理，展开化简得cos B ．【详解】由656cos a c b C =+，边化角得6sin 5sin 6sin cos A C B C =+，又()sin sin A B C =+，所以()6sin 5sin 6sin cos B C C B C +=+，展开得6sin cos 6cos sin 5sin 6sin cos B C B C C B C +=+，所以6cos sin 5sin B C C =，因为sin 0C >，所以5cos 6B =．故选：B ．7．一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，侧棱长为2，则其高为（）A ．12B ．1C D 【答案】B【分析】将正三棱台补全为正三棱锥再做高，结合勾股定理求解即可【详解】如图，延长正三棱台的三条棱,,AA BB CC '''，交于点P ，因为6AB BC AC ===,3A B B C A C ''''''===，则24PA PB PC AA '====，作PO ⊥底面ABC 于O ，连接BO ，则BO ==，故2PO ==，故正三棱台ABC A B C '''-的高为12PO=故选：B 8．已知F 为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为5，则C 的离心率为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【分析】求出A 点，B 点坐标，利用斜率等于5结合222b c a =-得到22540c ac a -+=，方程两边同除以2a 得到关于离心率的方程，求出答案.【详解】由题意得：(),0F c ，(),0A a ，当x c =时，22221c y a b -=，解得2by a=±，因为AB 的斜率为5，所以B 点位于第一象限，则2,b B c a ⎛⎫⎪⎝⎭，故25ABb a kc a==-，整理得：2255b ac a =-，因为222b c a =-，即22540c ac a -+=，方程两边同除以2a 得：2540e e -+=，解得：4e =或1（舍去）故选：A9．()()cos 0f x x x ωωω=>在ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则ω的最大值是（）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C【分析】根据两角和的余弦公式可得()()π2cos 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，可得其单调区间为π2π,33ωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，根据题意即可求解.【详解】()()πcos 2cos 03f x x x x ωωωω⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭，令()ππππ3k x k k ω≤+≤+∈Z ()π2ππ33k x k ω-+≤≤∈Z .令0k =,可得π2π33x ωω-≤≤.故函数()f x 在π2π,33ωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，所以πππ2π312123ωω-≤-<≤，解得04ω<≤.所以ω的最大值是4.故选:C.10．已知两圆C 1：（x -4）2+y 2=169，C 2：（x +4）2+y 2=9.动圆M 在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程是（）A ．2216448x y -=B ．2214864x y +=C ．2214864x y -=D ．2216448x y +=【答案】D【分析】由两圆外切和内切，得出圆心距与两圆的半径和差的关系，设出动圆的半径r ，消去r ，再由圆锥曲线的定义，可得动圆的圆心M 的轨迹，进一步求出其方程.【详解】设动圆的圆心(),M x y ，半径为r圆M 与圆1C :()224169x y -+=内切，与C2：()2249x y ++=外切.所以1213,3MC r MC r =-=+.1212+168MC MC C C =>=由椭圆的定义，M 的轨迹是以12,C C 为焦点，长轴为16的椭圆.则8,4a c ==，所以2228448b =-=动圆的圆心M 的轨迹方程为：2216448x y +=故选：D11．如图，在平面四边形ABCD 中，,,30AD CD AC BC DAC BAC ︒⊥⊥∠=∠=，现将ACD沿AC 折起，并连接BD ，使得平面ACD ⊥平面ABC ，若所得三棱锥D ABC -的外接球的表面积为4π，则三棱锥D ABC -的体积为（）A ．14B ．4C ．8D ．6【答案】C【分析】利用面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理可以证得ADB ∠为直角，又ACB ∠为直角，进而利用直角三角形的性质得到外接球的球心为斜边AB 的中点，然后根据球的面积公式求得球的半径，进而计算求得三棱锥D ABC -的体积.【详解】∵平面ACD ⊥平面ABC ，平面ABC∩平面BCD=AC ，AC ⊥BC ，BC ⊂平面ABC ，∴BC ⊥平面ACD ，又∵AD ⊂平面ACD ，∴AD ⊥BC ，又∵AD ⊥DC ，BC∩DC=C ，BC ⊂平面BCD ，DC ⊂平面BCD ，∴AD ⊥平面BCD ，又∵BD ⊂平面BCD ，∴AD ⊥BD ，即ADB ∠为直角，又∵ACB ∠为直角，∴取AB 的中点O ，连接OC ，OD ，由直角三角形的斜边上的中线性质OA=OB=OC=OD ，可得O 为三棱锥D ABC -外接球的球心，由三棱锥D ABC -外接球的表面积为4π，可得外接球的半径1r =，∴32,1,,22AB BC AC AD =====，∵BC ⊥平面ACD ，ADB ∠为直角，∴三棱锥D ABC -的体积为111313322ACD BC S ⨯=⨯⨯⨯=故选：C12．已知函数()ln k f x x x =+，k R ∈，1e()2g x x-=+，若对任意,()0x ∈+∞，不等式()()f x g x ≥恒成立，则实数k 的取值范围是（）A ．1k >B ．1k ≥C ．3k >D ．3k ≥【答案】B【分析】将不等式()()f x g x ≥恒成立进行转化，利用参数分离法求函数的最值，即可求实数k 的取值范围.【详解】由()()f x g x ≥恒成立，得对一切()0,x ∈+∞，都有1eln 2k x x x-+>+，即21e ln k x x x ≥+--，记()21e ln p x x x x =+--，则()()2ln 11ln p x x x +='=--，令()0p x '=，得e x =，因为当()0,e x ∈时，()0p x '>；函数()p x 在()0,e 上递增；当()e,x ∈+∞时，()0p x '<；函数()p x 在()e,+∞上递减，所以()()max e 1k p x p ≥==，故选：B.第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．在()()5611x x ++-展开式中，含4x 的项的系数是__________．【答案】20【分析】根据二项展开式的通项公式可求出结果.【详解】()51x +的展开式中4x 的系数为45C 5=，()61x -的展开式中4x 的系数为46C 15=，故在()()5611x x ++-展开式中，含4x 的项的系数为20．故答案为：2014．经过椭圆C ：22195x y +=的左焦点1F ，作不垂直于x 轴的直线AB ，交椭圆于A 、B两点，2F 是椭圆的右焦点，则2AF B 的周长为_________．【答案】12【分析】通过椭圆中的212BF BF a +=，212AF AF a +=，并通过2AF B 的周长为221122AB AF BF AF BF AF BF ++=+++从而求出周长的值.【详解】因为椭圆C ：22195x y +=的左焦点1F 为()2,0-，且作不垂直于x 轴的直线AB交椭圆于A 、B 两点，2F 是椭圆的右焦点()2,0所以2126BF BF a +==，2126AF AF a +==而2AF B 的周长为221122412AB AF BF AF BF AF BF a ++=+++==故答案为：12.15．已知直线l ：20kx y k +-+=，则圆2242110x x y y -+--=截直线l 所得的弦长的取值范围是______．【答案】⎡⎤⎣⎦【分析】求出直线l 所过的定点、圆心及半径，根据垂径定理可求弦长的最小值，最大值为直径的长度.【详解】直线l 的方程即()()120k x y ++-=，故直线l 恒过定点()1,2M -.圆的标准方程为()()222116x y -+-=，圆心为()2,1，半径为4，因为()()2212211016--+-=<，所以()1,2M -在圆内，直线l 恒与圆相交.圆心()2,1到点()1,2M -=则圆截直线l 所得的弦长的最小值为=248⨯=.所以圆截直线l 所得的弦长的取值范围是⎡⎤⎣⎦.故答案为:⎡⎤⎣⎦.16．①530.3log 5>，②22，③23e 2>，④1112ln sin cos 884⎛⎫+< ⎝⎭，上述不等式正确的有______（填序号）【答案】②④【分析】由指数对数的运算法则和不等式的性质比较大小.【详解】对于①：500.30.31<=，33log 5log 31>=，∴530.3log 5<，不等式①错误；对于②：ln 2ln e <=，∴ln 222<22<，不等式②正确对于③：22e 2.87.848<=<，∴()11233e8<，即23e 2<，不等式③错误；对于④：211111112ln sin cos ln sin cos ln 12sin cos ln 1sin 8888884⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==+⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令()()sin ,0,1f x x x x =-∈，则()1cos 0f x x '=->在()0,1x ∈上恒成立，()f x 在()0,1上单调递增，∴111sin (0)0444f f ⎛⎫=->= ⎪⎝⎭，11sin 44<，得115ln 1sin ln 1ln 444⎛⎫⎛⎫+<+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，45ln5544ln ln ln e=11444⎛⎫==< ⎪⎝⎭，∴51ln 44<，∴11512ln sin cos ln 8844⎛⎫+<< ⎪⎝⎭，不等式④正确.故答案为：②④三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分17．为调查学生住宿情况，某教育主管部门从甲、乙两所学校各抽取200名学生参与调查，调查结果分为“住校”与“走读”两类，结果统计如下表：住校人数走读人数合计甲校80120200乙校60140200合计140260400参考公式:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++.附表:()20P K k α= 0.10.050.010.0050.0010k 2.706 3.841 6.6357.87910.828(1)分别估计甲，乙两所学校学生住校的概率；(2)能否有95%的把握认为住校人数与不同的学校有关？【答案】(1)甲：0.4，乙：0.3(2)有【分析】（1）根据表格进行数据分析,直接求出两所学校学生住校的概率；（2）计算2K 的观测值,对照参数下结论.(1)由表格数据得，甲校学生住校的概率估计值是800.4200=，乙校学生住校的概率估计值是600.3200=.(2)由题意可得2K 的观测值为()24008014060120400 4.396 3.84114026020020091⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以有95%的把握认为住校人数与不同的学校有关.18．在公比大于0的等比数列{}n a 中，已知354a a a =，且2a ，43a ，3a 成等差数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）已知12n n S a a a = ，试问当n 为何值时，n S 取得最大值，并求n S 的最大值.【答案】（1）42nn a -=；（2）当3n =或4时，n S 取得最大值，()max 64n S =.【分析】（1）设{}n a 的公比为q ，由354a a a =，得41a =，再根据2a ，43a ，3a 成等差数列，求得公比即可.（2）根据（1）得到(7)321(4)21222n n n n n S a a a -++++-=== ，再利用二次函数的性质求解.【详解】（1）设{}n a 的公比为q ，由354a a a =，即244a a =得41a =或40a =（舍）.因为2a ，43a ，3a 成等差数列，所以2346a a a +=，即231116a q a q a q +=则2610q q --=，解得12q =或13q =-（舍），又3411a a q ==，故18a =.所以141822n n n a --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭.（2）(7)321(4)21222n nn n n S a a a -++++-=== ，又()2717222n ny n n -==-+，该二次函数对称轴为72，又n N +∈，故当3n =或4时，二次函数取得最大值6，故当3n =或4时，n S 取得最大值6264=，即()max 64n S =.19．如图，在直棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 14AA AC ==，E 为AB 的中点，F 为1CC 的中点.(1)证明：//EF 平面1ACD ；(2)若点P 为线段EF 上的动点，求点P 到平面1ACD 的距离.【答案】(1)证明见详解；(2)17.【分析】（1）取BC 的中点G ，连接FG ，EG ，1BC ，证明平面EFG ∥平面1ACD ，原题即得证；（2）连接BD 与AC 相交于点O ，利用11E ACD D ACE V V --=求解.【详解】（1）证明：如图，取BC 的中点G ，连接FG ，EG ，1BC .∵G 为BC 的中点，E 为AB 的中点，∴EG AC ∥，因为AC ⊂平面1ACD ,EG ⊄平面1ACD ，所以//EG 平面1ACD .∵G 为BC 的中点，F 为1CC 的中点，∴1FG BC ∥.∵直棱柱1111ABCD A B C D -，∴11AD BC ∥，∴1//AD FG ，因为1AD ⊂平面1ACD ,FG ⊄平面1ACD ，所以//FG 平面1ACD .∵EG FG G = ，,EG FG ⊂平面EFG ，∴平面EFG ∥平面1ACD .又∵EF ⊂平面EFG ，∴//EF 平面1ACD .（2）解：如图，连接BD 与AC 相交于点O ，在1Rt ADD △中，1AD ===，同理1CD 由菱形ABCD 可知AC BD ⊥，2OA OC ==，在Rt OAB 中，1OB =.设点P 到平面1ACD 的距离为d ，由//EF 平面1ACD ，可知点E 到平面1ACD 的距离也为d ，由1OD ==可得1ACD △的面积为142⨯ACE△的面积为11212⨯⨯=.有1144133D ACE V -=⨯⨯=，1133E ACD V d d -=⨯=，由11E ACD D ACE V V --=43=，可得d =故点P 到平面1ACD20．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在y 轴上，点()2,1Q -关于x 轴的对称点P 在抛物线C 上．(1)求抛物线C 的方程；(2)A 、B 是抛物线C 上异于点P 的两个动点，记直线PA 和直线PB 的斜率分别为1k 、()2120k k k ≠，若12112k k +=，求证：直线AB 过定点．【答案】(1)24x y=(2)证明见解析【分析】（1）由题意，设抛物线C 的方程为2x ay =，将点P 的坐标代入抛物线C 的方程，求出a 的值，由此可求得抛物线C 的方程；（2）分析可知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为=+y kx b ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式以及韦达定理可求得b 的值，即可求得直线AB 所过定点的坐标.【详解】（1）解：由题意可知，设抛物线C 的方程为2x ay =，易知点()2,1P ，由题意可得224a ==，所以，抛物线C 的方程为24x y =.（2）解：设点()11,A x y 、()22,B x y ，则21111111124224x y x k x x --+===--，同理2214x k +=，若直线AB 的斜率不存在，此时直线AB 与抛物线C 只有一个交点，不合乎题意.所以，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为=+y kx b ，联立2=4=+x yy kx b⎧⎨⎩可得2440x kx b --=，216160k b ∆=+>，由韦达定理可得124x x k +=，124x x b =-，()()121212121244114422224x x k k x x x x x x +++=+==+++++，可得124440x x b -=--=，解得1b =-，即直线AB 的方程为1y kx =-，所以，直线AB 过定点()0,1-.21．已知函数()2f x ax =，()lng x x x =．(1)若()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若=1a ，()()()1G x f x g x =--，且1mn >，证明：()()0G m G n +>．【答案】(1)1a ≥e(2)证明见解析【分析】（1）由()()f x g x ≥分离参数得ln xa x≥，构造函数，求函数的最值，即可得a 的取值范围；（2）由1mn >，可知m 与n 至少有一个大于1，假设1n >，则1m n>，求导，可得函数()G x 单调递增，所以()()()1G m G n G n G n ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭，证明()10G n G n ⎛⎫+> ⎪⎝⎭即可.（1）由()()f x g x ≥，即2ln ax x x ≥，0x >，所以ln xa x≥，设()ln x h x x =，则()21ln xh x x -'=，令()0h x '=，解得=e x ，所以当0e x <<时，()0h x '>，()h x 单调递增，当e x >时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以当=e x 时，()h x 取最大值为()1e eh =，所以1a ≥e ；（2）由1mn >，可知m 与n 至少有一个大于1，假设1n >，则1m n>，又()()()21ln 1G x f x g x x x x =--=--，则()2ln 1G x x x '=--，()1212x G x x x-''=-=，令()0G x ''=，得1=2x ，当102x <<时，()0G x ''<，()G x '单调递减，当12x >时，()0G x ''>，()G x '单调递增，所以()1ln 202G x G ⎛⎫''≥=> ⎪⎝⎭，所以()G x 在()0,+∞上单调递增，所以()1G m G n ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则()()()221111ln 11G m G n G n G n n n n n n n ⎛⎫+>+=--+-- ⎪⎝⎭11ln n n n n n ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，又1n n -在1n >时单调递增，所以当1n >时，10n n->，设()1ln F x x x x =--，1x >，则()22222131112410x x x F x x x x x ⎛⎫-+ ⎪-+⎝⎭'=+-==>恒成立，所以()F x 在()1,+∞上单调递增，则()()10F x F >=，所以当1n >时，1ln 0n n n-->，所以11ln 0n n n n n ⎛⎫⎛⎫---> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即()()0G m G n +>.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知圆C 的圆心坐标为()1,0，圆的半径为1.以直角坐标系原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系且取相同单位长度.（1）写出圆C 的极坐标方程，（2）将射线l ；0,02πθααρ⎛⎫=-<<> ⎪⎝⎭绕极点逆时针旋转3π得射线m ，设m ，l 与圆C 的交点分别为A ，B .求三角形AOB 的面积的最大值.【答案】（1）2cos ρθ=；（2）最大值为334.【分析】（1）方法一：先求圆的直角坐标方程，再互为极坐标方程；方法二：直接利用极坐标方程的意义求解即可.（2）射线m 的方程为0,032ππθααρ⎛⎫=+-<<> ⎪⎝⎭，进而根据极坐标的意义结合三角形的面积公式得12cos 2cos sin 233AOBS ππαα∆⎛⎫=⨯⨯+⨯ ⎪⎝⎭，再化简求值即可.【详解】解：（1）法一：以原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的普通方程为()2211x y -+=，令cos x ρθ=，sin y ρθ=得C 的极坐标方程为2cos ρθ=.法二：如图.设(),P ρθ为圆上任一点﹐在直角三角形 OPB 中，2cos OP θ=，∴2cos ρθ=.（2）由题意得射线m 的方程为0,032ππθααρ⎛⎫=+-<<> ⎪⎝⎭，∴()2cos ,B αα，2cos ,33A ππαα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,02παρ⎛⎫-<<> ⎪⎝⎭，12cos 2cos sin233AOB S ππαα∆⎛⎫=⨯⨯+⨯ ⎪⎝⎭1cos cos 3223πααααα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭231cos 231cos sin sin 22222ααααα+-=-⨯23πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.∵02πα-<<，∴22333πππα-<+<.∴当203πα+=，即6πα=-时，AOB S ∆的最大值为334.[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()222f x x x =+--.（1）解不等式()6f x ≥.（2）已知0a >，0b >，()()1g x f x x =-+的最大值m ，11m a b+=，求22a b +的最小值.【答案】（1）{10x x ≤-或}2x ≥；（2）最小值为89.【分析】（1）分2x >，12x -≤≤和1x <-三种情况解不等式；（2）先利用绝对值三角不等式求出()g x 的最大值为3m =，从而得113a b+=，所以()222221119a b a b a b ⎛⎫+=+⋅+ ⎪⎝⎭，化简后利用基本不等式求解即可【详解】解：（1）函数()4,22223,124,1x x f x x x x x x x +>⎧⎪=+--=-≤≤⎨⎪--<-⎩，当2x >时，不等式()6f x ≥即为46+≥x ，解得2x ≥，所以2x >；当12x -≤≤时，不等式()6f x ≥即为36x ≥，解得2x ≥，所以2x =；当1x <-时，不等式()6f x ≥即为46x --≥，解得10x ≤-，所以10x ≤-.综上所述，不等式()6f x ≥的解集为{10x x ≤-或}2x ≥；（2）()()()()112123=-+=+--≤+--=g x f x x x x x x ，所以()g x 的最大值为3m =，则113a b+=，故()222222222111122299⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b a a b a b a b a b a b ba 18299⎛⎫≥++= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当2222a b b a=且22a b b a =，即23a b ==时取等号，故22a b +的最小值为89.。

高三数学文科模拟试卷答案

一、选择题（每小题5分，共50分）1. 下列函数中，定义域为实数集R的是（）A. y = √(x+1)B. y = 1/xC. y = |x|D. y = x^2 - 4x + 4答案：C解析：选项A的定义域为x≥-1，选项B的定义域为x≠0，选项D的定义域为R。

只有选项C的定义域为实数集R。

2. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，则第10项an=（）A. 19B. 20C. 21D. 22答案：C解析：根据等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d，代入a1=3，d=2，n=10，得an = 3 + (10-1)×2 = 3 + 18 = 21。

3. 下列命题中，正确的是（）A. 函数y = x^2在定义域内单调递增B. 等差数列的任意三项成等比数列C. 函数y = log2x在定义域内单调递减D. 平面向量a与b垂直，则a·b=0答案：D解析：选项A错误，函数y = x^2在x<0时单调递减；选项B错误，等差数列的任意三项不一定成等比数列；选项C错误，函数y = log2x在定义域内单调递增；选项D正确，根据向量点积的性质，a·b=|a||b|cosθ，当a与b垂直时，cosθ=0，故a·b=0。

4. 若复数z满足|z-1|=|z+1|，则z的实部为（）A. 0B. 1C. -1D. 不存在答案：A解析：设复数z=a+bi，则|z-1|=|a-1+bi|，|z+1|=|a+1+bi|。

根据复数的模的定义，有(a-1)^2+b^2=(a+1)^2+b^2，化简得a=0，即z的实部为0。

5. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f(x)的图像在x轴上交点的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B解析：令f(x) = 0，得x^3 - 3x = 0，因式分解得x(x^2 - 3) = 0，解得x=0或x=±√3。

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凹凸教育高考文科数学模拟题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知全集,U R =且{}{}2|12,|680,A x x B x x x =->=-+<则()U C A B 等于（A ）[1,4)- （B ）(2,3] （C ）(2,3) （D ）(1,4)-2．已知i z i 32)33(-=⋅+（i 是虚数单位），那么复数z 对应的点位于复平面内的（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3．下列有关命题的说法正确的是（A ）命题“若21x =，则1=x ”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”．（B ）“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件．（C ）命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x ++<”．（D ）命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题．4．某人骑自行车沿直线匀速旅行，先前进了a 千米，休息了一段时间，又沿原路返回b 千米（)a b <，再前进c 千米，则此人离起点的距离s 与时间t 的关系示意图是（A ）（B ）（C ）（D ）5．已知(31)4,1()log ,1aa x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩ 是(,)-∞+∞上的减函数，那么 a 的取值范围是（A ）17⎡⎢⎣,⎪⎭⎫31 （B ）（0，13）（C ）（0，1）（D ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,716．如图是一个算法程序框图，当输入的x 值为3时，输出的结果恰好是31，则空白框处的关系式可以是（A ）x y -=3 （B ）xy 3= （C ） 31-=x y （D ） 31x y =7．底面边长为2，各侧面均为直角三角形的正三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（A ）π4（B ）34π（C ）π2（D ） π38．若]2,0(π∈x ，则使x x x x cot tan sin cos <<<成立的x 取值范围是（A ）（2,4ππ）（B ）（ππ,43）（C ）（ππ45,）（D ）（ππ2,47）9. 设n S 是等差数列{a n }的前n 项和，若3184=S S ，则168S S 等于（A ）103（B ）31（C ）91 （D ）81 10．已知函数x x f x 2log )31()(-=，正实数a 、b 、c 满足()0()()f c f a f b <<<，若实数d 是函数()f x 的一个零点，那么下列四个判断：①a d <；②b d >；③c d <；④c d >．其中可能成立的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 11．已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且02=++OC OB OA ，那么（A ） AO OD = （B ） 2AO OD = （C ） 3AO OD = （D ） 2AO OD =12．函数)(x f 、)(x g 都是定义在实数集R 上的函数，且方程-x [])(x g f =0有实根，则函数[])(x f g 的解析式可能是（A ）342++x x （B ）542+-x x （C ） 322++x x （D ）532+-x x二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13.若在区域34000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩内任取一点P ，则点P 落在单位圆221x y +=内的概率为．14. 过圆04622=-++x y x 与028622=-++y y x 的交点,并且圆心在直线04=--y x 上的圆的方程是 .15.设21,F F 是椭圆1162522=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的动点（不能重合于长轴的两端点），I 是21F PF ∆的内心，直线PI 交x 轴于点D ，则=IDPI. 16．老师给出一个函数=y )(x f ，四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质：甲：对于R x ∈，都有)1()1(x f x f -=+；乙：在(]0,∞-上函数递减；丙：在()+∞,0上函数递增；丁：函数的最小值为０.如果其中恰有三人说得正确，请写出一个这样的函数 .三．解答题：本大题共6小题，共74分.17．（本小题满分12分）函数πφωφω<>>+=||,0,0),sin()(A x A x f 的图象的一部分如图（Ⅰ）求函数)(x f 的解析式；（Ⅱ）求函数)(x g 的解析式，使得函数)(x f 与)(x g 的图象关于)1,4(π对称.18．（本小题满分12分）如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，2==BC AB ，过A 1, C 1 , B 三点的平面截去长方体的一个角后得到几何体111D C A ABCD -，且这个几何体的体积为340. （Ⅰ）证明：直线A 1B // CDD 1C 1；（Ⅱ）求 A 1 A 的长；（Ⅲ）求经过A 1、C 1、B 、D 四点的球的表面积.19．（本小题满分12分）某学校举行“科普与环保知识竞赛”，并从中抽取了部分学生的成绩（均为整数），所得数据的分布直方图如图.已知图中从左至右前3个小组的频率之比为1：2：3，第4小组与第5小组的频率分别是0.175和0.075，第2小组的频数为10.（Ⅰ）求所抽取学生的总人数，并估计这次竞赛的优秀率（分数大于80分）；（Ⅱ）从成绩落在)5.0.5,650（和)5.100,5.90(的学生中任选两人，求他们的成绩在同一组的概率.20．（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，13a =，对于*N n ∈，以1,n n a a +为系数的一元二次方程21210n n a x a x +-+=都有实数根αβ，，且满足(1)(1)2αβ--=.（Ⅰ）求证：数列1{}3n a -是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）求{}n a 的前n 项和n S .21．（本小题满分12分）已知点)0,1(),0,1(C B -，P 是平面上一动点，且满足CB PB BC PC ⋅=⋅||||. （Ⅰ）求动点P 的轨迹方程；（Ⅱ）直线l 过点（-4，43）且与动点P 的轨迹交于不同两点M 、N ，直线OM 、ON （O 是坐标原点）的倾斜角分别为α、β.求βα+的值.22．（本小题满分14分）若存在实常数k 和b ，使函数)(x f 和)(x g 对于其定义域上的任意实数x 分别满足b kx x f +≥)(和b kx x g +≤)(，则称直线b kx y l +=:为曲线)(x f 和)(x g 的“隔离直线”.已知函数2)(x x h =，x e x ln 2)(=ϕ（e为自然对数的底数）.（Ⅰ）求函数)()()(x x h x F ϕ-=的极值；（Ⅱ）函数)(x h 和)(x ϕ是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线；若不存在，请说明理由.参考答案1. B 解析：312|1|≤≤-⇔≤-x x ；42086<<⇔<+-x x x ， ()U C A B =],32(.选B.2. C 解析：23213332iii z --=+-=，故选C. 3. D 解析：“若x y =，则sin sin x y =”为真命题，∴其逆否命题为真命题.故选D.4. C 解析：匀速沿直线前进，图象应为斜率为正的直线；休息的一段时间s 应为常数，沿原路返回，图象应为斜率为负的直线；再前进，图象应为斜率为正的直线.故选C.5. A 解析：要使函数)(x f 在(,)-∞+∞上是减函数，需满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<-<<041301310a a a a ，解得3171<≤a ，故选A.6. B 解析：根据框图，空白框处函数一个满足31)1(=-f ，故选B. 7. D 解析：底面边长为2，则侧棱长为1.三棱锥的外接球，即为棱长为1的正方体的外接球，设外接球的半径为R ，则31112222=++=R ，此球的表面积为S =πππ343442=⋅=R .故选D. 8. C 解析：4个选项逐一验证，可知应选C. 9. A 解析：3184=S S ，得2:1)(:484=-S S S , )(),(),(,1216812484S S S S S S S ---成等差数列，∴4:3:2:1)(:)(:)(:1216812484=---S S S S S S S ，168S S =103432121=++++，故选A. 10. A 解析：如图，由在同一个坐标系内xy )31(=和xy 2log =图象可知，正实数a 、b 、c 与d 的大小关系应为，c d a b <<<，②③成立.故选B.11. A 解析：D 为BC 边中点,OD OC OB 2=+∴， 02=++OC OB OA ，0=+∴OD OA ,即AO OD =，故选A.12. B 解析：设1x 是-x [])(x g f =0的实数根，即=1x [])(1x g f ，则有=)(1x g []{})(1x g f g .令=)(1x g 2x ，则[])(22x f g x =，∴方程[]0)(=-x f g x 有实根，故选B. 13.332π解析：如图，设阴影部分的面积为1S , 则所求的概率为3231π=∆AOB S S ． 14. 0192722=++-+y x y x 解析：由题意，可把所求圆的方程设为028*******=-+++-++）（y y x x y x λ，即0284161622=--+++++λλλλy x y x ，其圆心坐标为)1313(λλλ+-+-，，代入04=--y x 得041313=-+++-λλλ，解得7-=λ，∴所求圆的方程S 是0192722=++-+y x y x 15. 35 解析：I 是21F PF ∆的内心，=D F PF 11ID PI ;=D F PF 22ID PI .∴=ID PI35222121==++c a D F D F PF PF . 16. |2|)(2x x x f -= 解析：若甲、乙、丁正确，丙不正确的一个函数可以是|2|)(2x x x f -=；若乙、丙、丁正确，甲不正确可以是2)(x x f =.答案不唯一，写出一个即可.17. 解：（Ⅰ）根据图象，5.1=A , -------------------------------------------------------------------------------------------1分πππ=-⋅=)365(2T ,222===πππωT ,---------------------------------------------------------------------------------------3分于是，)2sin(5.1)(φ+=x x f ，2z k k ∈=+⋅,23πφπ， z k k ∈-=,322ππφ，-----------------------------5分πφ<|| ，32πφ-=∴.函数)(x f 的解析式为)322sin(5.1)(π-=x x f .-------------------------------------------6分（Ⅱ）设点),(y x P 是函数)(x g 图象上任意一点，点P 关于直线4π=x 对称的点为),('''y x P ，------------------7分12,42''=+=+y y x x π，y y x x -=-=2,2''π.-------------------------------------------------------------------------------9分 ),('''y x P 在函数)(x f 的图象上，∴]32)2(2sin[5.12ππ--=-x y ，化简得2)32sin(5.1+-=πx y . ∴函数)(x g 的解析式为2)32sin(5.1)(+-=πx x g .---------------------------------------------------------------------------12分18．解：（Ⅰ）法一：1111D C B A ABCD -是长方体，∴平面//1AB A 平面11C CDD , AB A B A 11平面⊂，111C CDD B A 平面⊄,∴直线A 1B //平面CDD 1C 1.---------------------------------------------------------------------------3分法二：连接1CD ,1111D C B A ABCD -是长方体，∴BC AD D A ////11,且BCAD D A ==11,∴四边形11BCD A 是平行四边形，∴11//CD B A .111C CDD B A 平面⊄,111C CDD CD 平面⊂,∴直线A 1B //平面11C CDD .----------------------------------------------------------------------------------------------------3分（Ⅱ）设h A A =1, 几何体ABCD - A 1C 1D 1的体积是340. 340111111111=-=∴---C B A B D C B A ABCD D AC ABCD V V V ,------------------------------------------------------------------------------5分即34022213122=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯h h ，解得4=h .--------------------------------------------------------------------------7分（Ⅲ）法一：如图，连接B D 1,设B D 1的中点为O ,连OD OC OA ,,11,ABCD - A 1B 1C 1D 1是长方体,⊥∴11D A 平面AB A 1,AB A B A 11平面⊂,⊥∴11D A B A 1.----------------------------------------------------8分B D OA 1121=∴.同理B D OC OD 1121==,∴OB OC OD OA ===11. ∴经过A 1、C 1、B 、D 的球的球心为点O .---------------------------------------------------10分2424222222121121=++=++=∴AB A A D A B D . ∴πππ24)2(4)(42121=⨯==B D OD S 球.-------------------------------------------------------------------------------12分法二：A 1、C 1、B 、D 四点同时在长方体ABCD - A 1B 1C 1D 1的外接球上，而空间四边形BD C A 11的外接球是唯一的.所以经过A 1、C 1、B 、D 的球，就是长方体ABCD - A 1B 1C 1D 1的外接球.--------------------------------------------10分设长方体外接球的半径为R ，则244222222=++=R .∴ππ2442==R S 球.-------------------------------------------------------------------------------------------------------12分19. 解：（Ⅰ）设第一小组的频率为x ，则1075.0175.032=++++x x x ，解得125.0=x . 第二小组的频数为10，得抽取顾客的总人数为4025.10210=⨯人.------------------------------------------3分依题意,分数大于80分的学生所在的第四、第五小组的频率和为5.2075.0075.10=+，所以估计本次竞赛的优秀率为%25.----------------------------------------------------6分（Ⅱ）落在)5.0.5,650（和)5.100,5.90(的学生数分别为54025.10=⨯；34075.00=⨯.-----------------7分落在)5.0.5,650（的学生设为：)5,4,3,2,1(=i A i ；落在)5.100,5.90(的学生设为：)3,2,1(=j B j ，则从这8人中任取两人的基本事件为：),,(),,(),,(),,(),,(),,(322212312111B A B A B A B A B A B A),,(),,(),,(),,(),,(),,(342414332313B A B A B A B A B A B A ),(),,(),,(352515B A B A B A ,),,(),,(),,(323121A A A A A A),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(54534352423251413121B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B 共28个基本事件；------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------10分其中“成绩落在同一组”包括),,(),,(),,(323121A A A A A A),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(54534352423251413121B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B 共包含13个基本事件，故所求概率为2813.----------------------------------------------12分20. 解：（Ⅰ）由题意得：12n n a a αβ++=，1na αβ⋅=，代入(1)(1)2αβ--=整理得： 1111()323n n a a +-=--，---------------------------------------------------------------------------------------------------4分当113n n a a +==时方程无实数根，∴13n a ≠，由等比数列的定义知：1{}3n a -是以11833a -=为首项，公比为12-的等比数列.-----------------------6分（Ⅱ）由（1）知1181()332n n a --=⨯-，∴1811()323n n a -=⨯-+. -------------------------------------------------------------------------9分（Ⅲ）n S 218111[1()()()]32223n n-=+-+-++-+16161()9923n n=-⨯-+ . -------------------------------------------------------------------------12分21. 解：（Ⅰ）设),(y x P ，则),1(y x PC --=，)0,2(=BC ，),1(y x PB ---=，)0,2(-=CB ，---------1分CB PB BC PC ⋅=⋅||||，∴)1(22)()1(22x y x +⋅=⋅-+-，----------------------------------------------------------------4分化简得动点P 的轨迹方程是：x y 42=.-----------------------------------------------------------------------------------------------------------5分（Ⅱ）由于直线l 过点（-4，43），且与抛物线x y 42=交于两个不同点，所以直线l 的斜率一定存在，且不为0.设)4(34:+=-x k y l --------------------------------------------------------------------------------------------------------------6分⎩⎨⎧=+=-x y x k y 4)4(342，消去x 得，0)31616(42=++-k y ky ， 0)31616(442>+-=∆k k ，232232-<<--k ，且0≠k . ky y k y y 31616,42121+==+.---------------------------------------------------------------------------------------------------------8分 =-+=-+=+212122111tan tan 1tan tan )tan(x x y y x y x y βαβαβα3316316161616)(41614421212121=-+=-+=-+kk y y y y y y y y ， -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------11分,20,0πβαπβα<+<∴<≤，所以6πβα=+67π或.--------------------------------------------------------------------------------------------------12分22. 解：（Ⅰ）x e x x x h x F ln 2)()()(2-=-=ϕ，xe x x e x x F 2222)(2'-=-=， ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1分022)(2'=-=xex x F ，解得e x =，e x -=（舍）----------------------------------------------------2分∴当e x =时，)(x F 取得极小值，)(x F 极小值=0)(=-=e e e F --------------------------------------------5分（Ⅱ）若函数)(x h 和)(x ϕ存在隔离直线b kx y l +=:，则)()(x b kx x h ϕ≥+≥，由（1）知∴当e x =时，)(x F 取得极小值0.∴e e e h ==)()(ϕ，点),(e e 在b kx y l +=:上.-------------------------------------------------6分∴),(e x k e y -=-∴e k e kx y -+=，b kx x h +≥)(，即02≥+--e k e kx x 在),(+∞-∞∈x 上恒成立.∴0)2()(422≤-=+--=∆e k e k e k ，e k 2=∴.---------------------------------------------------------8分代入:l e k e kx y -+=得，y l :=e x e 22-.----------------------------------------------------------------------9分 )(x b kx ϕ≥+，即x e e x e ln 222≥-在),0(+∞∈x 上恒成立.即022ln 2≤+-e x e x e 在),0(+∞∈x 上恒成立. 令=)(x g e x e x e 22ln 2+-，xx e e e x e x g )(222)('-=-=，易知当),0(e x ∈时)(x g 递增，当),(+∞∈e x 时)(x g 递减，当e x =时，)(x g 在),0(+∞取最大值,-----------------------------------------------11分02)()(max =+-==e e e e g x g ，即022ln 2≤+-e x e x e 在),0(+∞∈x 上恒成立.-----------------------13分综上所述：函数)(x h 和)(x ϕ存在隔离直线y =e x e 22-.------------------------------------------------------14分。