【名师点睛】天津市西青区2016-2017年八年级数学上册 整式乘除与因式分解 章节复习题及答案(WORD版)
2016-2017学年天津市部分区八年级上学期期末数学试卷
2016-2017学年天津市部分区八年级上学期期末数学试卷一、选择题1.下列式子是分式的是（??）A、B、C、+y D、+2.计算（﹣3a3）2的结果是（??）A、﹣6a5B、6a5C、9a6D、﹣9a6+3.如果一个三角形的两边长分别为2和5，则此三角形的第三边长可能为（??）A、2B、3C、6D、7+4.下列平面图形中，不是轴对称图形的是（??）A、B、C、D、+5.下列运算正确的是（??）A、﹣2（a+b）=﹣2a+2bB、x5+x5=xC、a6﹣a4=a2D、3a2?2a3=6a5+6.下列从左到右的变形是因式分解的是（??）A、6a2b2=3ab?2abB、﹣8x2+8x﹣2=﹣2（2x﹣1）2C、2x2+8x﹣1=2x（x+4）﹣1D、a 2﹣1=a（a﹣）+7.下列说法正确的是（）A、形状相同的两个三角形全等B、面积相等的两个三角形全等C、完全重合的两个三角形全等D、所有的等边三角形全等+8.下列多项式中，含有因式（y+1）的多项式是（）A、y2﹣2xy﹣3x2B、（y+1）2﹣（y﹣1）2C、（y+1）2﹣（y2﹣1）D、（y+1）2+2（y+1）+1+9.若一个多边形的内角和与它的外角和相等，则这个多边形是（）A、三角形B、四边形C、五边形D、六边形+10.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①△ABD≌△CBD；②AC⊥BD；③四边形ABCD的面积= AC?BD，其中正确的结论有（??）A、0个B、1个C、2个D、3个+11.八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（??）A、﹣=20B、﹣=20C、﹣=D、﹣=+12.已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+b2+c2=ab+bc+ac，关于此三角形的形状有下列判断：①是锐角三角形；②是直角三角形；③是钝角三角形；④是等边三角形，其中正确说法的个数是（??）A、4个B、3个C、2个D、1个+二、填空题13.若分式有意义，则x的取值范围是．+14.若a2+ab+b2+M=（a﹣b）2，那么M= ．+15.在实数范围内分解因式：x2y﹣4y= ．+16.如图，已知AD所在直线是△ABC的对称轴，点E、F是AD上的两点，若BC=4，AD=3，则图中阴影部分的面积的值是．+17.若关于x的方程无解，则m的值是．+18.如图，在第一个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB，在边A1B上任取一D，延长CA2 到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D，在边A2B上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第三个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以A n为顶点的内角度数是度．+三、解答题19.计算下面各题(1)、计算（12a3﹣6a2+3a）÷3a；(2)、计算（x﹣y）（x2+xy+y2）．+20.解方程：﹣=+21.如图，△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，点F在AC上，B D=DF，求证：CF=BE．+22.已知a+b=3，ab=2，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．+23.按要求完成小题：(1)、计算：+(2)、先化简，再求值：（）÷，其中x=3．+24.一项工程，若由甲、乙两公司合作18天可以完成，共需付施工费144000元，若甲、乙两公司单独完成此项工程，甲公司所用时间是乙公司的1.5倍，已知甲公司每天的施工费比乙公司每天的施工费少2000元．(1)、求甲、乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？(2)、若由一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？+25.如图，在△ABC中，已知AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M ，连接MB．度．(1)、若∠ABC=70°，则∠MNA的度数是(2)、若AB=8cm，△MBC的周长是14cm．①求BC的长度；②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．+。
(人教版)天津市八年级数学上册第四单元《整式的乘法与因式分解》测试(包含答案解析)
一、选择题1．下列计算正确的是（ ）A ．248a a a •=B ．352()a a =C ．236()ab ab =D ．624a a a ÷= 2．下列因式分解正确的是（ ） A ．m 2+n 2=(m+n)(m-n)B ．a 3-a=a(a+1)(a-1)C ．a 2-2a+1=a(a-2)+1D ．x 2+2x-1=(x-1)23．()()()2483212121+++···()32211++的个位数是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．8 4．按照如图所示的运算程序，能使输出y 的值为5的是（ ）A ．1,4m n ==B ．2,5m n ==C ．5,3m n ==D ．2,2m n == 5．下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ）A ．214m m ++ B ．222x xy y -+- C ．221449x xy y -++ D ．22193x x -+ 6．如图是一所楼房的平面图，下列式子中不能表示它的面积的是（ ）A ．x 2+3x +6B ．（x +3）（x +2）﹣2xC ．x （x +3）+6D ．x （x +2）+x 2 7．下列各式运算正确的是（ ）A ．235a a a +=B ．1025a a a ÷=C ．()32626b b =D ．2421a a a -⋅= 8．下列各式中，正确的是（ ）A ．2222x y yx x y -+=B ．22445a a a +=C ．()2424m m --=-+D ．33a b ab +=9．若y 2+4y +4+1x y +-＝0，则xy 的值为（ ） A ．﹣6 B ．﹣2 C ．2 D ．610．已知x ＝7+1，y ＝7﹣1，则xy 的值为（ ）A ．8B ．48C ．27D ．6 11．下列运算正确的是（ ）． A ．236x x x =B ．2242x x x +=C ．22(2)4x x -=-D ．358(3)(5)15a a a --=12．下列运算正确的是（ ）A ．428a a a ⋅=B ．()23624a a =C ．6233()()ab ab a b ÷=D ．22()()a b a b a b +-=+二、填空题13．如图是一个简单的数值运算程序，当输入n 的值为3时，则输出的结果为______．14．若2,3x y a a ==，则22x y a +=_______________________．15．计算：2221111112310⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯⋯⋯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭________ 16．若()()21x a x -+的积中不含x 的一次项，则a 的值为______．17．观察下列各式：2(1)(1)1x x x -+=-；()23(1)11x x x x -++=-； ()324(1)11x xx x x -+++=-； …… （1）()432(1)1x x x x x -++++=___；（2）根据规律可得：()1(1)1n x x x --+++=_____（其中n 为正整数）；（3）计算：()5049482(31)333331-++++++； 18．若2211392781n n ++⨯÷=，则n =____．19．如图是一块长方形ABCD 的场地，长AB a 米，宽AD b 米，从A 、B 两处入口的小路宽都为1米，两小路汇合处的路宽是2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为________2m ．20．若210a a +-=，则43222016a a a a +--+的值为______．三、解答题21．（概念学习）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方．例如222÷÷，记作2③，读作“2的圈3次方”；再例如(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-，记作()3-④，读作“3-的圈4次方”；一般地，把n a a a a a ÷÷÷⋅⋅⋅÷个（0a ≠，n 为大于等于2的整数）记作，读作“a 的圈n 次方”．（初步探究）（1）直接写出计算结果：7=③_______________，14⎛⎫-= ⎪⎝⎭⑤__________； （2）关于除方，下列说法错误的是____________；A ．任何非零数的圈2次方都等于1；B ．对于任何大于等于2的整数c ，； C ．89=⑨⑧；D ．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；（深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？除方211112222222222⎛⎫→=÷÷÷=⨯⨯⨯=→ ⎪⎝⎭④乘方幂的形式 （1）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：(5)-=⑥___________；12⎛⎫= ⎪⎝⎭⑨___________； （2）将一个非零有理数a 的圈n 次方写成幂的形式为____________；（3）将（m 为大于等于2的整数）写成幂的形式为_________． 22．利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：2222221()()()2x y z xy yz xz x y y z x z ⎡⎤++---=-+-+-⎣⎦，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁、美观．（1）请你检验说明这个等式的正确性；（2）若ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，当222a b c ab bc ca ++=++时，试判断ABC 的形状；（3）若327a b -=，227a c -=，且22241abc ++=，求22ab bc ac ++的值． 23．观察下列各式： 2(1)(1)1x x x -+=-；()23(1)11x x x x -++=-；()324(1)11x x x x x -+++=-； 请根据这一规律计算：（1）()12(1)1n n n x x x x x ---+++⋅⋅⋅++；（2）1514132222221+++⋅⋅⋅+++． 24．好学的晓璐同学，在学习多项式乘以多项式时发现：（12x +4）（2x +5）（3x ﹣6）的结果是一个多项式，并且最高次项为：12x •2x •3x ＝3x 3，常数项为：4×5×（﹣6）＝﹣120，那么一次项是多少呢？ 根据尝试和总结她发现：一次项就是：12x ×5×（﹣6）+2x ×4×（﹣6）+3x ×4×5＝﹣3x ． 请你认真领会晓璐同学解决问题的思路、方法，仔细分析上面等式的结构特征，结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题：（1）计算（x +2）（3x +1）（5x ﹣3）所得多项式的最高次项为 ，一次项为 ； （2）若计算（x +1）（﹣3x +m ）（2x ﹣1）（m 为常数）所得的多项式不含一次项，求m 的值；（3）若（x +1）2021＝a 0x 2021+a 1x 2020+a 2x 2019+…+a 2020x +a 2021，则a 2020＝ ．25．已知5x y -=，6xy =，求下列各式的值．（1）22x y +；（2）x y +26．把下列多项式因式分解：（1）2()4a b ab -+；（2）22()()a x y b y x -+-．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】分别根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方法则以及同底数幂的除法法则逐一计算判断即可．【详解】解：A、a2∙a4=a6，故选项A不合题意；B、(a2)3=a6，故选项不B符合题意；C、(ab2)3=a3b6，故选项C不符合题意；D、a6÷a2＝a4，故选项D符合题意.故选：D．【点睛】本题主要考查了幂的运算，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．2．B解析：B【分析】根据因式分解的定义判断即可．【详解】解：A、等号左右两边不相等，故错误；B、a3-a=a(a+1)(a-1)，故正确；C、右边不是整式的积，故错误；D、等号左右两边不相等，故错误．故选：B．【点睛】因式分解与整式的乘法互为逆变形，并且因式分解是等式的恒等变形，变形前后一定相等．3．C解析：C【分析】原式中的3变形为22-1，反复利用平方差公式计算即可得到结果．【详解】解：3（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1=（24-1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1…=264-1+1=264，∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，…，∴个位上数字以2，4，8，6为循环节循环，∵64÷4=16，∴264个位上数字为6，即原式个位上数字为6．故选：C．【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．4．D【分析】根据题意逐一计算即可判断．【详解】A 、当m=1，n=4时，则m n <，∴2224210y n =+=⨯+=，不合题意；B 、当m=2，n=5时，则m n <，∴2225212y n =+=⨯+=，不合题意；C 、当m=5，n=3时，则m n >，∴3135114y m =-=⨯-=，不合题意；D 、当m=2，n=2时，则m n >，∴313215y m =-=⨯-=，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了代数式求值，有理数的混合运算等知识，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型．5．C解析：C【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．【详解】A 、222111(44)(2)444m m m m m ++=++=+能用完全平方公式分解因式，不符合题意； B 、222222(2)()x xy y x xy y x y -+-=--+=--能用完全平方公式分解因式，不符合题意；C 、221449x xy y -++不能用完全平方公式分解因式，符合题意；D 、2222111(69)(3)9399x x x x x -+=-+=-能用完全平方公式分解因式，不符合题意； 故选：C ．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 6．D解析：D【分析】根据S 楼房的面积＝S 矩形ABCD +S 矩形DEFC +S 矩形CFHG 代入数值求出图形面积，再根据计算各整式判断即可．【详解】S 楼房的面积＝S 矩形ABCD +S 矩形DEFC +S 矩形CFHG＝AD •AB +DC •DE +CF •FH ．∵AB ＝DC ＝AD ＝x ，DE ＝CF ＝3，FH ＝2，∴S 楼房的面积＝x 2+3x +6．∵（x+3）（x+2）﹣2x= x 2+3x +6，x （x +3）+6= x 2+3x +6，x （x +2）+x 2=2 x 2+2x ，．【点睛】此题考查列整式求图形面积，整式的混合运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． 7．D解析：D【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相乘，底数不变指数相加；合并同类项的法则，对各选项计算后利用排除法求解．【详解】解：A 、a 2与3a 不是同类项，不能合并，故本选项错误；B 、1028a a a ÷=，故本选项错误；C 、()32628b b =，故本选项错误； D 、24221a a a a --⋅==，正确． 故选：D ．【点睛】本题考查了幂的乘方的性质，同底数幂的乘法，合并同类项的法则，熟练掌握运算性质是解题的关键，合并同类项时，不是同类项的不能合并．8．A解析：A【分析】根据同类项的定义与单项式的乘法法则，分别判断分析即可．【详解】解：A.2222x y yx x y -+=，故A 正确；B.22245a a a +=，故B 不正确；C.-2(m-4)=-2m+8，故C 不正确；D.3a 与b 不是同类项，不能合并，故D 不正确.故选A.【点睛】本题考查了合并同类项与单项式的乘法、去括号与添括号．注意，去括号时，如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．9．A解析：A【分析】根据2440y y ++=，即（y +2）20，根据任何数的偶次方以及二次根式都是非负数，两个非负数的和是0，则每个非负数都等于0，据此即可求解．【详解】解：∵2440y y ++=∴（y +2）20∴y +2＝0且x +y ﹣1＝0解得：y ＝﹣2，x ＝3∴xy ＝﹣6．故选：A ．【点睛】本题主要考查了非负数的性质，两个非负数的和是0，则两个非负数都等于0． 10．D解析：D【分析】利用平方差公式计算即可.【详解】当x +1，y 1时，xy +11））2﹣12＝7﹣1＝6，故选：D.【点睛】此题考查平方差计算公式，已知字母的值求代数式的值，熟记平方差公式是解题的关键. 11．D解析：D【分析】根据整式的同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，单项式乘以单项式计算并判断．【详解】A 、235x x x =，故该项错误；B 、2222x x x +=，故该项错误；C 、22(2)4x x -=，故该项错误；D 、358(3)(5)15a a a --=，故该项正确；【点睛】此题考查整式的计算，正确掌握整式的同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，单项式乘以单项式计算法则是解题的关键．12．B解析：B【分析】根据同底数幂相乘法则、积的乘方法则、同底数幂除法法则、平方差公式依次计算判断．【详解】A 、426a a a ⋅=，故该项错误；B 、()23624a a =，故该项正确；C 、4624()()ab ab a b ÷=，故该项错误；D 、22()()a b a b a b +-=-，故该项错误；故选：B ．【点睛】此题考查整式的计算法则，正确掌握整式的同底数幂相乘法则、积的乘方法则、同底数幂除法法则、平方差公式是解题的关键．二、填空题13．870【分析】将n ＝3代入数值运算程序计算判断结果与30大小小于或等于30再代入计算大于30输出即可得到输出结果【详解】解：当n ＝3时根据数值运算程序得：32−3＝9−3＝6＜30当n ＝6时根据数值解析：870【分析】将n ＝3代入数值运算程序计算，判断结果与30大小，小于或等于30再代入计算，大于30输出，即可得到输出结果．【详解】解：当n ＝3时，根据数值运算程序得：32−3＝9−3＝6＜30，当n ＝6时，根据数值运算程序得：62−6＝36−6＝30，当n ＝30时，根据数值运算程序得：302−30＝900−30＝870＞30，则输出结果为870．故答案为：870【点睛】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．36【分析】根据同底数幂的乘法及幂的乘方的逆用计算即可【详解】解：∵∴=2²×3²=36故答案为36【点睛】本题考查了同底数幂的乘法及幂的乘方的逆用熟记幂的运算性质是解答本题的关键【分析】根据同底数幂的乘法及幂的乘方的逆用计算即可．【详解】解：∵2,3x y a a ==，∴222222().()x y x y x y a a a a a +=⋅==2²×3²=36，故答案为36．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法及幂的乘方的逆用，熟记幂的运算性质是解答本题的关键． 15．【分析】运用平方差公式进行计算即可【详解】解：====故答案为：【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算以及平方差公式的应用熟练掌握运算法则以及平方差公式是解答此题的关键 解析：1120【分析】运用平方差公式进行计算即可．【详解】 解：2221111112310⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯⋯⋯⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ =1111111+1111122331010⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯+⨯-⨯⨯+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ =132491122331010⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =111210⨯ =1120． 故答案为：1120． 【点睛】 此题主要考查了有理数的混合运算以及平方差公式的应用，熟练掌握运算法则以及平方差公式是解答此题的关键．16．2【分析】先运用多项式的乘法法则计算再合并同类项因积中不含x 的一次项所以让一次项的系数等于0得a 的等式再求解【详解】解：（2x-a ）（x+1）=2x2+（2-a ）x-a ∵积中不含x 的一次项∴2-a=解析：2【分析】先运用多项式的乘法法则计算，再合并同类项，因积中不含x 的一次项，所以让一次项的系数等于0，得a 的等式，再求解． 【详解】解：（2x-a ）（x+1）=2x 2+（2-a ）x-a ， ∵积中不含x 的一次项， ∴2-a=0， ∴a=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式法则，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．17．（1）；（2）；（3）【分析】(1)第二个括号里最高次数4根据观察可知结论中次数为4+1=5；(2)第二个括号里最高次数n-1根据观察可知结论中次数为n-1+1=n ；(3)用3代替等式中的x 次数根据解析：（1）51x -；（2）1n x -；（3）5131-. 【分析】(1)第二个括号里最高次数4，根据观察可知结论中次数为4+1=5； (2) 第二个括号里最高次数n-1，根据观察可知结论中次数为n-1+1=n ； (3)用3代替等式中的x ，次数根据观察规律确定即可. 【详解】（1）根据观察，发现结论是个二项式，且常数项为-1，另一项底数是x ，指数比第二个括号里多项式的最高次数多1，∵()4321x x x x ++++的最高次数是4， ∴()432(1)1x x x x x -++++=51x -， 故应该填51x -；（2）∵()11n xx -+++的最高次数是n-1，∴()1(1)1n x xx --+++=1n x -，故应该填1n x -； （3）由（2）知：()1(1)11n n x x x x --+++=-，令3x =，51n =，得：()504948251(31)33333131-++++++=-，故应该填5131-. 【点睛】本题考查了整式变化中的规律探索，解答时，抓住变化中变化项，不变项，变化的位置，变化的规律是解题的关键.18．3【分析】根据幂的乘方把算式中的各底数变成同底数然后按同底数幂运算法则列方程即可【详解】解：故答案为：3【点睛】本题考查了同底数幂的乘除和幂的乘方根据题意把底数变成相同是解题关键解析：3 【分析】根据幂的乘方把算式中的各底数变成同底数，然后按同底数幂运算法则，列方程即可． 【详解】解：2211392781n n ++⨯÷=22213143(3)(3)3n n ++⨯÷=， 2423343333n n ++⨯÷=， 242(33)433n n ++-+=， 1433n +=，14n +=， 3n =．故答案为：3 【点睛】本题考查了同底数幂的乘除和幂的乘方，根据题意，把底数变成相同是解题关键．19．【分析】可以将草坪拼成一块完整的长方形分别表示出它的长和宽即可求出面积【详解】解：可以将草坪拼成一块完整的长方形这个长方形的长是：米宽是：米∴草坪的面积是：（平方米）故答案是：【点睛】本题考查多项式 解析：22ab a b --+【分析】可以将草坪拼成一块完整的长方形，分别表示出它的长和宽即可求出面积． 【详解】解：可以将草坪拼成一块完整的长方形，这个长方形的长是：112a a --=-米，宽是：1b -米， ∴草坪的面积是：()()2122a b ab a b --=--+（平方米）． 故答案是：22ab a b --+． 【点睛】本题考查多项式的乘法和图形的平移，解题的关键是通过平移的方法将不规则的图形拼成规则图形进行求解．20．【分析】原式变形为由已知得到整体代入即可求解【详解】已知得：故答案为：【点睛】本题考查了代数式求值熟练掌握整体代入法是解题的关键 解析：2015【分析】 原式变形为()22222016a aa a a +--+，由已知得到21a a +=，整体代入即可求解．【详解】已知得：21a a +=，43222016a a a a +--+()22222016a a a a a =+--+ 2222016a a a =--+()22016a a =-++12016=-+ 2015=．故答案为：2015． 【点睛】本题考查了代数式求值，熟练掌握整体代入法是解题的关键．三、解答题21．【初步探究】（1）17，64-；（2）C ；【深入思考】（1）415⎛⎫- ⎪⎝⎭，72；（2）21n a -⎛⎫⎪⎝⎭；（3）4m n a +-【分析】初步探究：（1）根据新定义的运算法则进行计算，即可得到答案； （2）根据新定义的运算法则进行判断，即可得到答案；深入思考：（1）由题目中的运算法则转换成幂的形式，即可得到答案； （2）把幂的形式转换为一般形式即可；（3）先把代数式进行化简，然后写成幂的形式即可． 【详解】 解：【初步探究】 （1）177777=÷÷=③； 111111()()()()()44444464⎛⎫-=-÷-÷-÷-÷-= ⎪⎭-⎝⑤； 故答案为：17；64-； （2）由题意：A 、任何非零数的圈2次方都等于1；正确；B 、对于任何大于等于2的整数c ，；正确；C 、7188888888888=÷÷÷÷÷÷÷÷=⑨， 6199********=÷÷÷÷÷÷÷=⑧，∴89≠⑨⑧，则C 错误；D 、负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；正确； 故选：C ． 【深入思考】 （1）4111111(5)(5)()()()()()()555555-=-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-=-⑥；71122222222222⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭⑨； 故答案为：41()5-；72；（2）由（1）可知，根据乘方的运算法则，则 将一个非零有理数a 的圈n 次方写成幂的形式为：21n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭；故答案为：21n a -⎛⎫⎪⎝⎭；（3）=224m n m n a a a --+-•=；故答案为：4m n a +-． 【点睛】本题考查了新定义的运算法则，幂的乘方，有理数的乘法和除法运算，解题的关键是熟练掌握新定义的运算法则、乘方的运算法则进行解题． 22．（1）见详解；（2）ABC 为等边三角形；（3）4249【分析】（1）利用完全平方公式将等式的右边展开，合并同类项后即可得出等式的左边，从而得出该等式成立；（2）由a 2＋b 2＋c 2−ab−bc−ac ＝12[（a−b ）2＋（b−c ）2＋（c−a ）2]＝0，利用偶次方的非负性即可得出a ＝b ＝c ，从而得出该三角形为等边三角形； （3）先求出17b c -=-，结合第（1）题的结论，即可求解． 【详解】 （1）等式右边＝()22222221222x xy y y z x yz xz z -++++-+- ＝()222122x y z y xy xz z ⨯++--- ＝222x y z xy yz xz ++---＝等式左边． ∴等式2222221()()()2x y z xy yz xz x y y z x z ⎡⎤++---=-+-+-⎣⎦成立．（2）∵a 2＋b 2＋c 2−ab−bc−ac ＝12[（a−b ）2＋（b−c ）2＋（c−a ）2]＝0， ∴a−b ＝0，b−c ＝0，c−a ＝0， ∴a ＝b ＝c ，∵a 、b 、c 分别是三角形的三条边， ∴ABC 为等边三角形；（3）∵327a b -=，227a c -=， ∴17b c -=-， 又∵2222221(2)22(2)(2)()2a b c ab ac bc a b a c b c ⎡⎤++---=-+-+-⎣⎦， ∴2222221321(2)22()()()2777a b c ab ac bc ⎡⎤++---=⨯++-⎢⎥⎣⎦=749， ∵22241a b c ++=， ∴22ab bc ac ++=1-749=4249． 【点睛】本题考查了整式的运算、偶次方的非负性以及等边三角形的判定，利用完全平方的展开式证出等式2222221()()()2x y z xy yz xz x y y z x z ⎡⎤++---=-+-+-⎣⎦成立是解题的关键．23．（1）11n x +-；（2）1621-． 【分析】（1）观察题中所给的三个等式，可知等式右边第一项的次数等于左边第二个括号内最高次项的次数加1，等式右边第二项均为1，据此可解；（2）根据（1）中所得的规律，可将原式左边乘以（2-1），再按照（1）中规律计算即可． 【详解】（1）()12(1)1n n n x x xx x ---+++⋅⋅⋅++11n x +=-；（2）1514132222221+++⋅⋅⋅+++1514132(21)(222221)=-+++⋅⋅⋅+++1621=-．【点睛】本题考查了平方差公式和多项式乘法公式在计算中的应用，熟练掌握相关计算法则是解题的关键．24．（1）15x 3，﹣11x ；（2）m ＝－3；（3）2021【分析】（1）求多项式的最高次项，把每个因式的多项式最高次项相乘即可；求一次项，含有一次项的有x ，3x ，5x ，这三个中依次选出其中一个再与另外两项中的常数相乘最终积相加，或者展开所有的式子得出一次项即可．（2）先根据（1）所求方法求出一次项系数，最后用m 表示，列出等式，求出m ； （3）根据前两问的规律可以计算出第（3）问的值． 【详解】 （1）由题意得：（x +2）（3x +1）（5x ﹣3）所得多项式的最高次项为x ×3x ×5x ＝15x 3， 一次项为：1×1×（﹣3）x +2×3×（﹣3）x +2×1×5x ＝﹣11x ， 故答案为：15x 3，﹣11x ；（2）依题意有：1×m ×（﹣1）+1×（﹣3）×（﹣1）+1×m ×2＝0， 解得m ＝﹣3；（3）根据题意可知2020a 即为2021(1)x +所得多项式的一次项系数，∵2021(1)x +展开之后x 的一次项共有2021个，且每一项的系数都为2021(111)1⨯⨯⨯=，∴20202021202120212021(111)+(111)(111)2021a =⨯⨯⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯=故答案为：2021． 【点睛】本题考查多项式乘多项式以及对多项式中一次项系数的理解，根据题意找出多项式乘多项式所得结果的一次项系数与多项式乘多项式中每个多项式的一次项系数和常数项关系规律是解题关键． 25．(1) 37 ；(2)7±． 【分析】(1) 根据x 2+y 2=（x-y ）2+2xy ，把已知的式子代入即可求解．(2)根据()22+()4x y x y xy =-+ ，求出()2+x y ，再开方求x+y 即可． 【详解】解：5x y -=，6xy =，(1) 2222()252637.x y x y xy +=-+=+⨯= (2) ()222+()454649x y x y xy =-+=+⨯=，∴=7x y +±． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式是解题关键． 26．（1）2()a b +；（2）()()()a b a b x y +-- 【分析】（1）根据完全平方公式展开，合并，再根据完全平方公式即可分解； （2）先提取公因式(x y -)，再根据平方差公式继续分解即可． 【详解】解：（1）原式2224a ab b ab =-++222a ab b =++2()a b =+；（2）原式22()()a x y b x y =---()22()a b x y =--()()()a b a b x y =+--．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．。
八年级上数学整式的乘除与因式分解基本知识点
整式是一个或多个代数式的和、差或积。
整式的乘除与因式分解是数学中非常重要的概念，是解决各种代数问题的基础。
本文将详细介绍八年级上数学中整式的乘除与因式分解的基本知识点。
一、整式的乘法1.1 单项式的乘法：单项式的乘法是指单项式与单项式之间的乘法。
例如：2x ×3y = 6xy，-4a^2 × 5b^3 = -20a^2b^31.2多项式的乘法：多项式的乘法是指多项式与多项式之间的乘法。
例如：(3x+2)(x-1)=3x^2+x-2二、整式的除法2.1 单项式的除法：单项式的除法是指单项式除以单项式。
例如：4x^2 ÷ x = 4x，10a^3b^2 ÷ 2ab = 5a^2b。
2.2多项式的除法：多项式的除法是指多项式除以多项式。
例如：(12x^3+9x^2+3x)÷3x=4x^2+3x+1三、整式的因式分解整式的因式分解是将一个整式写成几个整式的乘积的形式，其中每个整式都是原来整式的因式。
例如：12x^2+8xy，将其因式分解为4x(3x+2y)。
3.1 提取公因式：如果一个整式的每一项都能被同一个整式整除，那么这个公因式就是整式的一个因子。
例如：12x^2+8xy，公因式是4x。
3.2分解差的平方：差的平方是指形如"一个数的平方减另一个数的平方"的表达式。
例如：x^2-9，可因式分解为(x-3)(x+3)。
3.3 分解二次三项式：二次三项式是指形如"一个平方项加两个相同系数的次项"的表达式。
例如：x^2+2xy+y^2，可因式分解为(x+y)^2四、习题例析例1：将多项式4x^2+16x因式分解。
解：这个多项式2x的平方加4x的倍数，所以可以因式分解为4x(x+4)。
例2：将多项式a^2-9因式分解。
解：由差的平方公式可得，a^2-9=(a-3)(a+3)。
例3：将多项式4x^2y^2-8xy^2因式分解。
天津市西青区2016-2017年八年级数学上期末冲刺试卷及答案
2016-2017年八年级数学上册期末冲刺一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.下列约分正确的是（）A. B. =﹣1C. =D. =2.在等腰三角形ABC中,AB=AC,其周长为20cm,则边AB的取值范围是( ).A.1cm<AB<4cmB.5cm<AB<10cmC.4cm<AB<8cmD.4cm<AB<10cm3.图（1）是一个长为2a,宽为2b（a>b）的长方形,用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形,则中间空的部分的面积是（）A.abB.(a+b)2C.(a﹣b)2D.a2﹣b24.化简，可得（）A. B. C. D.5.如图,△ABC中,AB=5,AC=6,BC=4,边AB的垂直平分线交AC于点D,则△BDC的周长是（）A.8B.9C.10D.116.下列运算正确的是（）A.a-2a=aB.(-2a2)3=﹣8a6C.a6+a3=a2D.(a+b)2=a2+b27.如果（）2÷（）2=3，那么a8b4等于（）A.6B.9C.12D.818.如图,地面上有三个洞口A、B、C,老鼠可以从任意一个洞口跑出,猫为能同时最省力地顾及到三个洞口(到A、B、C三个点的距离相等）,尽快抓到老鼠,应该蹲守在（）A.△ABC三边垂直平分线的交点B.△ABC三条角平分线的交点C.△ABC三条高所在直线的交点D.△ABC三条中线的交点9.在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，∠A=∠A′，若证△ABC≌△A′B′C′还要从下列条件中补选一个，错误的选法是（）A.∠B=∠B′B.∠C=∠C′C.BC=B′C′D.AC=A′C′10.如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）A.线段CD的中点B.OA与OB的中垂线的交点C.OA与CD的中垂线的交点D.CD与∠AOB的平分线的交点11.如图,D为BC上一点,且AB=AC=BD,则图中∠1与∠2关系是（）A.∠1=2∠2B.∠1+∠2=180°C.∠1+3∠2=180°D.3∠1-∠2=180°12.小明上月在某文具店正好用20元钱买了几本笔记本,本月再去买时,恰遇此文具店搞优惠酬宾活动,同样的笔记本,每本比上月便宜1元,结果小明只比上次多用了4元钱,却比上次多买了2本.若设他上月买了x本笔记本,则根据题意可列方程（）A. =1B. =1C. =1D. =1二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13.代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．14.分解因式：x2+2x-3=____________.15.如图,△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,AD、CE交于点H,请你添加一个适当的条件: ，使△AEH≌△CEB．16.若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有________对.17.计算：（）2007×（﹣1）2008= ．18.如图，∠AOB=60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为．三、计算题（本大题共7小题，共66分）19.计算：(1)(x+1)2﹣(x+2)(x﹣2)． (2)．(3) (4)（1﹣）．20.因式分解：（1）3x﹣12x3；（2）1-a2-b2-2ab；21.如图,已知AD∥BC,∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E,CE的连线交AP于D.求证：AD+BC=AB．22.如图,已知等边三角形ABC中,D为AC边的中点,E为BC延长线上一点,CE=CD,DM⊥BC于M，求证：M是BE的中点.23.从甲地到乙地有两条公路，一条是全长600km的普通公路，另一条是全长480km的高速公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45km/h，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间．24.如图,已知△ABC中,AB=AC=12cm，BC=10cm,点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以2cm/s 的速度由点B向C点运动,同时,点Q在线段AC上由点A向C点以4cm/s的速度运动．（1）若点P、Q两点分别从B、A 两点同时出发,经过2秒后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由；（2）若点P、Q两点分别从B、A 两点同时出发,△CPQ的周长为18cm，问：经过几秒后，△CPQ 是等腰三角形？2016-2017年八年级数学上册期末冲刺答案1.D．2.B.3.C．4.B．5.C6.B7.B8.A9.C 10.D 11.D 12.B13.【解答】答案为：x≠3 14. (x+3)(x-1)； 15.答案：AH=CB或EH=EB或AE=CE．16.317.【解答】解：（）2007×（﹣1）2008=（）2007×（﹣1）2007×（﹣1）=（﹣×1）2007×（﹣1）=﹣1×（﹣1）=．故答案为：．18.【解答】解：∵∠AOB=60°，OC平分∠AOB，∴∠AOC=30°，①当E在E1时，OE=CE，∵∠AOC=∠OCE=30°，∴∠OEC=180°﹣30°﹣30°=120°；②当E在E2点时，OC=OE，则∠OCE=∠OEC=（180°﹣30°）=75°；③当E在E3时，OC=CE，则∠OEC=∠AOC=30°；故答案为：120°或75°或30°．19.（1）原式=x2+2x+1﹣x2+4=2x+5．（2）【解答】解：原式=•﹣=﹣=0．（3）原式==（4）【解答】解：原式==1．20.（1）3x﹣12x3=3x（1﹣4x2）=3x（1+2x）（1﹣2x）；（2）1-(a+b)2=(1+a+b)(1-a-b)；21.证明：做BE的延长线，与AP相交于F点，∵PA//BC∴∠PAB+∠CBA=180°，又∵，AE，BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB为直角三角形在三角形ABF中，AE⊥BF，且AE为∠FAB的角平分线∴三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF在三角形DEF与三角形BEC中，∠EBC=∠DFE,且BE=EF，∠DEF=∠CEB，∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，∴DF=BC ∴AB=AF=AD+DF=AD+BC.22.证明：如图，连接BD，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°.∵ CD=CE，∴∠CDE=∠E=30°.∵ BD是AC边上的中线，∴ BD平分∠ABC，即∠DBC=30°，∴∠DBE=∠E.∴ DB=DE.又∵ DM⊥BE，∴ DM是BE边上的中线，即M是BE的中点.23.【解答】解：设客车由高速公路从甲地到乙地需x小时，则走普通公路需2x小时，根据题意得：，解得x=4经检验，x=4原方程的根，答：客车由高速公路从甲地到乙地需4时．24.。
2016-2017年天津市西青区杨柳青三中八年级(上)期末数学 试卷(解析版)
2016-2017学年天津市西青区杨柳青三中八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（3分）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（）A．a2+（﹣b）2 B．5m2﹣20mn C．﹣x2﹣y2 D．﹣x2+92．（3分）下列运算正确的是（）A．3a2+5a2=8a4B．a6•a2=a12C．（a+b）2=a2+b2D．（a2+1）0=13．（3分）在，，，中，是分式的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（3分）下列计算正确的是（）A．2÷2﹣1=﹣1 B．C．（﹣2x﹣2）﹣3=6x6 D．5．（3分）△ABC的三边长是a、b、c，且a＞b＞c，若b=8，c=3，则a的取值范围是（）A．3＜a＜8 B．5＜a＜11 C．8＜a＜11 D．6＜a＜106．（3分）在下列“绿色食品、回收、节能、节水”四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．7．（3分）在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，∠A=∠A′，若证△ABC≌△A′B′C′还要从下列条件中补选一个，错误的选法是（）A．∠B=∠B′B．∠C=∠C′C．BC=B′C′D．AC=A′C′8．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于x轴的对称点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限9．（3分）计算（5m2+15m3n﹣20m4）÷（﹣5m2）结果正确的是（）A．1﹣3mn+4m2B．﹣1﹣3m+4m2C．4m2﹣3mn﹣1 D．4m2﹣3mn 10．（3分）若（x﹣3）（x+4）=x2+px+q，那么p、q的值是（）A．p=1，q=﹣12 B．p=﹣1，q=12 C．p=7，q=12 D．p=7，q=﹣12 11．（3分）如图，在△ACB中，∠ACB=100°，∠A=20°，D是AB上一点．将△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（）A．25°B．30°C．35°D．40°12．（3分）如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下六个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°；⑥OC平分∠AOE．其中不正确的有（）个．A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）已知﹣（x﹣1）0有意义，则x的取值范围是．14．（3分）一个多边形每个内角都为108°，这个多边形是边形．15．（3分）计算：=．16．（3分）若m+n=2，mn=1，则m2+n2=．17．（3分）在平面直角坐标系中，点A（2，0），B（0，4），作△BOC，使△BOC 与△ABO全等，则点C坐标为．（点C不与点A重合）18．（3分）如图，已知点P在锐角∠AOB内部，∠AOB=α，在OB边上存在一点D，在OA边上存在一点C，能使PD+DC最小，此时∠PDC=．四、计算题19．计算：（1）（a+b）（a﹣b）+（a+b）2，（2）（x2﹣4y2）÷•（3）÷（x+2﹣）20．已知x2+y2﹣2x+6y+10=0．求（2x+y）2的值．21．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E．（1）若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E的度数；（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明．22．“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元．求第一批盒装花每盒的进价是多少元？23．如图，已知∠B+∠CDE=180°，AC=CE．求证：AB=DE．24．在边长为1的小正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，（1）B点关于y轴的对称点坐标为；（2）将△ABC向右平移3个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（3）在（2）的条件下，A1的坐标为；（4）求△ABC的面积．25．在△ABC中，AB=AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．设∠BAC=α，∠DCE=β．（1）如图（1），点D在线段BC上移动时，角α与β之间的数量关系是，证明你的结论；（2）如图（2），点D在线段BC的延长线上移动时，①探索角α与β之间的数量关系并证明，②探索线段BC、DC、CE之间的数量关系并证明．（3）当点D在线段BC的反向延长线上移动时，请在图（3）中画出完整图形并猜想角α与β之间的数量关系是，线段BC、DC、CE之间的数量关系是，并写出证明过程．2016-2017学年天津市西青区杨柳青三中八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（3分）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（）A．a2+（﹣b）2 B．5m2﹣20mn C．﹣x2﹣y2 D．﹣x2+9【解答】解：A、a2+（﹣b）2符号相同，不能用平方差公式分解因式，故A选项错误；B、5m2﹣20mn两项不都是平方项，不能用平方差公式分解因式，故B选项错误；C、﹣x2﹣y2符号相同，不能用平方差公式分解因式，故C选项错误；D、﹣x2+9=﹣x2+32，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，故D选项正确．故选：D．2．（3分）下列运算正确的是（）A．3a2+5a2=8a4B．a6•a2=a12C．（a+b）2=a2+b2D．（a2+1）0=1【解答】解：A、原式=8a2，故A选项错误；B、原式=a8，故B选项错误；C、原式=a2+b2+2ab，故C选项错误；D、原式=1，故D选项正确．故选：D．3．（3分）在，，，中，是分式的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：，这2个式子分母中含有字母，因此是分式．其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式．故选：B．4．（3分）下列计算正确的是（）A．2÷2﹣1=﹣1 B．C．（﹣2x﹣2）﹣3=6x6 D．【解答】解：A、2÷2﹣1=4，故此选项错误；B、2x﹣3÷4x﹣4=，故此选项错误；C、（﹣2x﹣2）﹣3=﹣x6，故此选项错误；D、3x﹣2+4x﹣2=，故此选项正确；故选：D．5．（3分）△ABC的三边长是a、b、c，且a＞b＞c，若b=8，c=3，则a的取值范围是（）A．3＜a＜8 B．5＜a＜11 C．8＜a＜11 D．6＜a＜10【解答】解：∵a＞b＞c，b=8，c=3，∴根据三角形的三边关系，得8＜a＜11．故选：C．6．（3分）在下列“绿色食品、回收、节能、节水”四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项正确；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误．故选：A．7．（3分）在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，∠A=∠A′，若证△ABC≌△A′B′C′还要从下列条件中补选一个，错误的选法是（）A．∠B=∠B′B．∠C=∠C′C．BC=B′C′D．AC=A′C′【解答】解：AB=A′B′，∠A=∠A′，∠B=∠B′符合ASA，A正确；∠C=∠C′符合AAS，B正确；AC=A′C′符合SAS，D正确；若BC=B′C′则有“SSA”，不能证明全等，明显是错误的．故选：C．8．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于x轴的对称点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：点P（﹣2，3）关于x轴的对称点为（﹣2，﹣3），（﹣2，﹣3）在第三象限．故选：C．9．（3分）计算（5m2+15m3n﹣20m4）÷（﹣5m2）结果正确的是（）A．1﹣3mn+4m2B．﹣1﹣3m+4m2C．4m2﹣3mn﹣1 D．4m2﹣3mn【解答】解：原式=5m2（1+3mn﹣4m2）÷（﹣5m2）=4m2﹣3mn﹣1．故选：C．10．（3分）若（x﹣3）（x+4）=x2+px+q，那么p、q的值是（）A．p=1，q=﹣12 B．p=﹣1，q=12 C．p=7，q=12 D．p=7，q=﹣12【解答】解：由于（x﹣3）（x+4）=x2+x﹣12=x2+px+q，则p=1，q=﹣12．故选：A．11．（3分）如图，在△ACB中，∠ACB=100°，∠A=20°，D是AB上一点．将△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（）A．25°B．30°C．35°D．40°【解答】解：∵∠ACB=100°，∠A=20°，∴∠B=60°，由折叠的性质可知，∠ACD=∠BCD=50°，∴∠B′DC=∠BDC=70°，∴∠ADB′=180°﹣70°﹣70°=40°，故选：D．12．（3分）如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下六个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°；⑥OC平分∠AOE．其中不正确的有（）个．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：①∵△ABC和△CDE为等边三角形∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCB=60°∴∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE∴AD=BE，故①正确；由（1）中的全等得∠CBE=∠DAC，进而可求证△CQB≌△CPA，∴AP=BQ，故③正确；又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形，∴∠PQC=∠DCE=60°，∴PQ∥AE②成立，∵∠QCP=60°，∠DPC=∠BCA+∠PAC＞60°，∴PD≠CD，∴DE≠DP，故④DE=DP错误；∵BC∥DE，∴∠CBE=∠BED，∵∠CBE=∠DAE，∴∠AOB=∠OAE+∠AEO=60°，故⑤正确；同理可得出∠AOE=120°，∠OAC=∠OCD，∴∠DCE=∠AOC=60°，∴OC平分∠AOE，故⑥正确，故正确的有①②③⑤⑥共5个，故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）已知﹣（x﹣1）0有意义，则x的取值范围是x≠2且x≠1．【解答】解：由题意得，x﹣2≠0且x﹣1≠0，解得x≠2且x≠1．故答案为：x≠2且x≠1．14．（3分）一个多边形每个内角都为108°，这个多边形是五边形．【解答】解：∵多边形每个内角都为108°，∴多边形每个外角都为180°﹣108°=72°，∴边数=360°÷72°=5．故答案为：五．15．（3分）计算：=．【解答】解：原式=•=．故答案为：16．（3分）若m+n=2，mn=1，则m2+n2=2．【解答】解：∵m+n=2，mn=1，∴原式=（m+n）2﹣2mn=4﹣2=2，故答案为：217．（3分）在平面直角坐标系中，点A（2，0），B（0，4），作△BOC，使△BOC 与△ABO全等，则点C坐标为（2，4）或（﹣2，0）或（﹣2，4）．（点C 不与点A重合）【解答】解：如图所示：有三个点符合，∵点A（2，0），B（0，4），∴OB=4，OA=2，∵△BOC与△AOB全等，∴OB=OB=4，OA=OC=2，∴C1（﹣2，0），C2（﹣2，4），C3（2，4）．故答案为：（2，4）或（﹣2，0）或（﹣2，4）．18．（3分）如图，已知点P在锐角∠AOB内部，∠AOB=α，在OB边上存在一点D，在OA边上存在一点C，能使PD+DC最小，此时∠PDC=2α．【解答】解：过P的作关于OB的对称点P'，作P′C⊥OA于C，交OB于D，此时PD=PD′，根据点到直线的距离最短可知PD+DC=P′C最短，∵∠PDB=∠P′DB，∠CDO=∠P′DB，∴∠CDO=∠PDB，∵P′C⊥OA，∠AOB=α，∴∠CDO=90°﹣α，∴∠PDC=180°﹣2（90°﹣α）=2α．故答案为：2α．四、计算题19．计算：（1）（a+b）（a﹣b）+（a+b）2，（2）（x2﹣4y2）÷•（3）÷（x+2﹣）【解答】解：（1）原式=a2﹣b2+（a2+2ab+b2）=2a2+2ab（2）原式=（x+2y）（x﹣y）••=﹣y（3）原式=﹣•=﹣20．已知x2+y2﹣2x+6y+10=0．求（2x+y）2的值．【解答】解：∵x2+y2﹣2x+6y+10=0，∴x2﹣2x+1+y2+6y+9=0，∴（x﹣1）2+（y+3）2=0，∴x=1，y=﹣3，∴（2x+y）2=（2×1﹣3）2=1．21．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E．（1）若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E的度数；（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明．【解答】解：（1）∵∠B=35°，∠ACB=85°，∴∠BAC=60°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=30°，∴∠ADC=65°，∴∠E=25°；（2）．设∠B=n°，∠ACB=m°，∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2=∠BAC，∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°，∵∠B=n°，∠ACB=m°，∴∠CAB=（180﹣n﹣m）°，∴∠BAD=（180﹣n﹣m）°，∴∠3=∠B+∠1=n°+（180﹣n﹣m）°=90°+n°﹣m°，∵PE⊥AD，∴∠DPE=90°，∴∠E=90°﹣（90°+n°﹣m°）=（m﹣n）°=（∠ACB﹣∠B）．22．“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元．求第一批盒装花每盒的进价是多少元？【解答】解：设第一批盒装花的进价是x元/盒，则2×=，解得x=30经检验，x=30是原方程的根．答：第一批盒装花每盒的进价是30元．23．如图，已知∠B+∠CDE=180°，AC=CE．求证：AB=DE．【解答】证明：如图，过E点作EH∥AB交BD的延长线于H，故∠A=∠CEH，在△ABC与△EHC中，∴△ABC≌△EHC（ASA），∴AB=HE，∵∠B+∠CDE=180°，∠HDE+∠CDE=180°∴∠HDE=∠B=∠H，∴DE=HE．∵AB=HE，∴AB=DE．24．在边长为1的小正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，（1）B点关于y轴的对称点坐标为（2，2）；（2）将△ABC向右平移3个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（3）在（2）的条件下，A1的坐标为（3，4）；（4）求△ABC的面积．【解答】解：（1）B点关于y轴的对称点坐标为：（2，2）；故答案为：（2，2）；（2）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（3）在（2）的条件下，A1的坐标为：（3，4）；故答案为：（3，4）；（4）△ABC的面积为：2×3﹣×2×2﹣×1×1﹣×1×3=2．25．在△ABC中，AB=AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．设∠BAC=α，∠DCE=β．（1）如图（1），点D在线段BC上移动时，角α与β之间的数量关系是α+β=180°，证明你的结论；（2）如图（2），点D在线段BC的延长线上移动时，①探索角α与β之间的数量关系并证明，②探索线段BC、DC、CE之间的数量关系并证明．（3）当点D在线段BC的反向延长线上移动时，请在图（3）中画出完整图形并猜想角α与β之间的数量关系是α＞β，线段BC、DC、CE之间的数量关系是BC+CD＞CE，并写出证明过程．【解答】解：（1）α+β=180°；理由如下：∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE﹣∠DAC=∠BAC﹣∠DAC，∴∠CAE=∠BAD，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，∵∠BAC+∠ABD+∠ACB=180°，∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=180°，∴∠BAC+∠BCE=180°，即α+β=180°；（2）α=β；理由如下：∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，∵∠ACD=∠ABD+∠BAC=∠ACE+∠DCE，∴∠BAC=∠DCE，即α=β；∵BD=BC+CD，∴CE=BC+CD；（3）α＞β，BC+CD＞CE；如图所示：连接BE，∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE+∠DAB=∠BAC+∠DAB，∴∠BAE=∠CAD，在△BAE和△CAD中，，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴∠ABE=∠ACD，BE=CD，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠ABC+∠ABE+∠DBE=180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠DBE=∠BAC=α，∵∠DBE＞β，∴α＞β，∵BC+BE＞CE，∴BC+CD＞CE．。
八年级上数学整式的乘除与因式分解基本知识点
整式的乘除与因式分解基本知识点一、整式的乘除：1、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项. 例如：_______3=-a a ；________22=+a a ；________8253=+-+b a b a __________________210242333222=-++-+-x xy x y x xy xy y x2、同底数幂的乘法法则：a m ·a n =a m+n (m ，n 是正整数). 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 例如：________3=⋅a a ；________32=⋅⋅a a a3、幂的乘方法则：(a m )n =a mn (m ，n 是正整数).幂的乘方，底数不变，指数相乘. 例如：_________)(32=a ；_________)(25=x ；()334)()(a a =4、积的乘方的法则：(a b)m =a m b m (m 是正整数).积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 例如：________)(3=ab ；________)2(32=-b a ；________)5(223=-b a 5、同底数幂的除法法则：a m ÷a n =a m-n (a ≠0，m ，n 都是正整数，并且m ＞n). 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 规定：10=a例如：________3=÷a a ；________210=÷a a ；________55=÷a a 6、单项式乘法法则y x 32⋅ )5)(2(22xy y x - )2()3(22xy xy -⋅ 2232)()(b a b a ⋅-7、单项式除法法则单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.y x y x 2324÷ ()xy y x 6242-÷ ()()58103106⨯÷⨯8、单项式与多项式相乘的乘法法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.)(c b a m ++ )532(2+--y x x )25(32b ab a ab +--9、多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.)6)(2(-+x x )12)(32(+--y x y x ))((22b ab a b a +-+10、多项式除以单项式的除法法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.()x x xy ÷+56； ()()a ab a 4482-÷-()b a b a b a 232454520÷-c c b c a 2121222÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-11、整式乘法的平方差公式：(a +b)(a -b)=a 2-b 2.两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 例如：（4a －1）（4a+1）=___________； （3a －2b ）（2b+3a ）=___________；()()11-+mn mn = ； =--+-)3)(3(x x ；12、整式乘法的完全平方公式：(a +b)2=a 2+2a b+b 2，(a -b)2=a 2-2a b+b 2.两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍. 例如：()____________522=+b a ； ()_______________32=-y x()_____________22=+-ab ； ()______________122=--m二、因式分解： 1、提公因式法：4y xy - 32x x + x 2+12x 3+4x )1()1(-+-a n a m 2、公式法.：（1）、平方差公式：))((22b a b a b a -+=-12-x 2294b a - 22)(16z y x +- 22)2()2(b a b a --+（2）、完全平方公式：222)(2b a b ab a +=++ 222)(2b a b ab a -=+-442+-m m 2269y xy x ++ 924162++x x 36)(12)(2++-+b a b a3、分组分解法：1a b ab +++ ab －c ＋b －ac a 2－2ab ＋b 2－c 24、“十字相乘法”：即式子x 2+(p+q)x+pq 的因式分解. x 2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).x 2＋7x ＋6 （2）、x 2－5x －6 （3）、x 2－5x ＋6整式的乘法[同底数幂的乘法]a m ·a n =a m+n （m 、n 都是正整数） [幂的乘方](a m )n ＝a mn (m ，n 都是正整数) [积的乘方](ab)n ＝a n b n (n 是正整数) [单项式乘以单项式]单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同的字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． [单项式乘以多项式]单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． [多项式乘以多项式]多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．平方差公式[平方差公式] (a ＋b)(a －b)＝a 2－b 21. 公式的结构特征：⑴左边是两个二项式相乘，这两个二项式中，有一项完全相同，另一项互为相反数.⑵右边是这两个数的平方差，即完全相同的项与互为相反数的项的平方差（同号项2－异号项2）.2. 公式的应用：⑴公式中的字母a ，b 可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式，只要符合公式的结构特征，就可以用此公式进行计算.⑵公式中的a b 22-是不可颠倒的，注意是同号项的平方减去异号项的平方，还要注意字母的系数和指数.⑶为了避免错误，初学时，可将结果用“括号”的平方差表示，再往括号内填上这两个数. 如：(a+b )( a - b )= a 2 － b 2 ↓↓ ↓↓ ↓ ↓计算：(1+2x )(1-2x )= ( 1 )2－( 2x )2 =1-4x 2[完全平方公式]两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加（或减）它们的积的2倍.公式特征：左边是一个二项式的平方，右边是一个三项式（首平方，尾平方，二倍乘积在中央）．公式变形：(a+b)2=(a-b)2+4ab a 2 + b 2 = (a+b)2-2ab (a-b)2=(a+b)2-4ab a 2 + b 2 = (a-b)2+2ab(a+b)2- (a-b)2=4ab[公式的推广] (a+b+c)2=a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ac[同底数幂的除法]a m ÷a n =a m-n (a ≠0，m ，n 都是正整数，并且m>n)． a 0=1(a ≠0)任何非零数的零次幂是1. [单项式除以单项式]单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． [多项式除以单项式]多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．[因式分解]把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解（或分解因式）. [提公因式法]ac ＋bc=（a ＋b ）c[公式法][十字相乘法一、训练平台1.下列各式中，计算正确的是( ) ×27=28 ×22=210 +26=27 +26=2122.当x=23时，3(x+5)(x-3)-5(x-2)(x+3)的值等于( )239 B.-18 D.239 3.已知x-y=3，x-z=21，则(y-z)2+5(y-z)+425的值等于( )A.425B.25 25 4.设n 为正整数，若a 2n =5，则2a 6n -4的值为( ) B.246 D.不能确定 5.(a +b)(a -2b)= . 6.(2a +2= .7.(a +4b)(m+n)= . 8.计算.(1)(2a -b 2)(b 2+2a )= ；(2)(5a -b)(-5a +b)= . 9.分解因式.(1)1-4m+4m 2； (2)7x 3-7x. 10.先化简，再求值.[(x-y)2+(x+y)(x-y)]÷2x ，其中x=3，y=. 二、探究平台1.分解因式(a -b)(a 2-a b+b 2)-a b(b-a )为( ) A.(a -b)(a 2+b 2) B.(a -b)2(a +b) C.(a -b)3 (a -b)32.下列计算正确的是( )÷a 2=a 4(a ≠0) ÷a 4=a (a ≠0) ÷a 6=a 3(a ≠0) D.(a 2b)3=a 6b3.下列各题是在有理数范围内分解因式，结果正确的是( ) =(-x+4)(-x-4)+x 3n =x n (2+x 3) 41=41(1+2x)(1-2x)4.分解因式：-a 2+4a b-4b 2= .5.如果x 2+2(m-3)x+25能用公式法分解因式，那么m 的值是 .6.(3x 3+3x)÷(x 2+1)= . . 8.计算.(1)12345678921234567890123456789112345678902⨯-；(2)20032002200220002002220022323-+-⨯-. 9.分解因式.(1)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m)； (2)x 4-81x 2y 2.10.112--x x +x(1+x1)，其中x=2-1.三、交流平台1.一条水渠其横断面为梯形，如图15－23所示，根据图中的长度求出横断面面积的代数式，并计算当a =2，b=时的面积.2.已知多项式x 3+kx+6有一个因式x+3，当k 为何值时，能分解成三个一次因式的积并将它分解. 3.如果x+y=0，试求x 3+x 2y+xy 2+y 3的值.4.试说明无论m ，n 为任何有理数，多项式4m 2+12m+25+9n 2-24n 的值为非负数.第十六章分式知识点和典型例习题【知识网络】【思想方法】 1．转化思想转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．第一讲 分式的运算【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;2.与分式运算有关的运算法则3.分式的化简求值(通分与约分)4.幂的运算法则【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b ca a a a±±=≠2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc daa c a c ac ac ac±±=±=≠≠;3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac •=,b c b d bda d a c ac÷=•=4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m )n = a mn7.负指数幂: a -p =1p aa 0=18.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a 2- b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：y x yx y x y x ba b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x（5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）31+-x x （2）42||2--x x （3）653222----x x x x题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当x 为何值时，分式x-84为正；（2）当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x 为负；（3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数.练习：1．当x 取何值时，下列分式有意义：（1）3||61-x（2）1)1(32++-x x （3）x111+2．当x 为何值时，下列分式的值为零：（1）4|1|5+--x x（2）562522+--x x x3．解下列不等式 （1）012||≤+-x x （2）03252>+++x x x（二）分式的基本性质及有关题型1．分式的基本性质：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=2．分式的变号法则：bab a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）y x yx 41313221+- （2）ba ba +-04.003.02.0题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）yx yx --+- （2）ba a ---（3）ba ---题型三：化简求值题【例3】已知：511=+y x，求yxy x yxy x +++-2232的值. 提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出yx11+. 【例4】已知：21=-xx ，求221xx +的值.【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值. 练习：1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.（1）yx yx 5.008.02.003.0+-（2）b a ba 10141534.0-+ 2．已知：31=+x x ，求1242++x x x 的值.3．已知：311=-b a ，求aab b bab a ---+232的值.4．若0106222=+-++b b a a ，求ba ba 532+-的值. 5．如果21<<x ，试化简x x --2|2|xx x x |||1|1+---.（三）分式的运算1．确定最简公分母的方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.题型一：通分【例1】将下列各式分别通分.（1）cb ac a b ab c 225,3,2--； （2）a b b b a a 22,--； （3）22,21,1222--+--x x xx xx x ； （4）aa -+21,2题型二：约分【例2】约分：（1）322016xy y x -；（3）n m m n --22；（3）6222---+x x x x .题型三：分式的混合运算【例3】计算：（1）42232)()()(abc ab c c b a ÷-⋅-；（2）22233)()()3(xy x y y x y x a +-÷-⋅+； （3）mn mn m n m n n m ---+-+22；（4）112---a a a ；（5）874321814121111x x x x x x x x +-+-+-+--； （6）)5)(3(1)3)(1(1)1)(1(1+++++++-x x x x x x ； （7）)12()21444(222+-⋅--+--x x x x x x x 题型四：化简求值题【例4】先化简后求值（1）已知：1-=x ，求分子)]121()144[(48122x x x x -÷-+--的值；（2）已知：432z y x ==，求22232zy x xzyz xy ++-+的值；（3）已知：0132=+-a a ，试求)1)(1(22a a a a --的值.题型五：求待定字母的值【例5】若111312-++=--x Nx M x x ，试求N M ,的值. 练习：1．计算（1）)1(232)1(21)1(252+-++--++a a a a a a ；（2）a b abb b a a ----222； （3）ba c cb ac b c b a c b a c b a ---++-+---++-232；（4）b a b b a ++-22；（5）)4)(4(ba abb a b a ab b a +-+-+-； （6）2121111x x x ++++-； （7）)2)(1(1)3)(1(2)3)(2(1--+-----x x x x x x . 2．先化简后求值（1）1112421222-÷+--⋅+-a a a a a a ，其中a 满足02=-a a . （2）已知3:2:=y x ，求2322])()[()(yxx y x y x xy y x ÷-⋅+÷-的值.3．已知：121)12)(1(45---=---x Bx A x x x ，试求A 、B 的值. 4．当a 为何整数时，代数式2805399++a a 的值是整数，并求出这个整数值. （四）、整数指数幂与科学记数法题型一：运用整数指数幂计算【例1】计算：（1）3132)()(---⋅bc a （2）2322123)5()3(z xy z y x ---⋅（3）24253])()()()([b a b a b a b a +--+-- （4）6223)(])()[(--+⋅-⋅+y x y x y x题型二：化简求值题【例2】已知51=+-x x ，求（1）22-+x x 的值；（2）求44-+x x 的值. 题型三：科学记数法的计算【例3】计算：（1）223)102.8()103(--⨯⨯⨯；（2）3223)102()104(--⨯÷⨯. 练习：1．计算：（1）20082007024)25.0()31(|31|)51()5131(⋅-+-+-÷⋅-- （2）322231)()3(-----⋅n m n m （3）23232222)()3()()2(--⋅⋅ab b a b a ab（4）21222)]()(2[])()(4[----++-y x y x y x y x2．已知0152=+-x x ，求（1）1-+x x ，（2）22-+x x 的值.第二讲 分式方程【知识要点】1.分式方程的概念以及解法;2.分式方程产生增根的原因3.分式方程的应用题【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母.3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数.（一）分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程【例1】解下列分式方程（1）xx 311=-；（2）0132=--x x ；（3）114112=---+x x x ；（4）x x x x -+=++4535 提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根.题型二：特殊方法解分式方程【例2】解下列方程（1）4441=+++x x x x ； （2）569108967+++++=+++++x x x x x x x x 提示：（1）换元法，设y x x =+1；（2）裂项法，61167++=++x x x .【例3】解下列方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+)3(4111)2(3111)1(2111x z z y y x 题型三：求待定字母的值【例4】若关于x 的分式方程3132--=-x mx 有增根，求m 的值. 【例5】若分式方程122-=-+x ax 的解是正数，求a 的取值范围. 提示：032>-=ax 且2≠x ，2<∴a 且4-≠a . 题型四：解含有字母系数的方程【例6】解关于x 的方程)0(≠+=--d c dcx b a x 提示：（1）d c b a ,,,是已知数；（2）0≠+d c . 题型五：列分式方程解应用题 练习：1．解下列方程：（1）021211=-++-xxx x ； （2）3423-=--x x x ； （3）22322=--+x x x ； （4）171372222--+=--+x x x x xx （5）2123524245--+=--x x x x（6）41215111+++=+++x x x x（7）6811792--+-+=--+-x x x x x x x x2．解关于x 的方程： （1）b xa211+=)2(a b ≠；（2）)(11b a xbb x a a ≠+=+. 3．如果解关于x 的方程222-=+-x xx k 会产生增根，求k 的值.4．当k 为何值时，关于x 的方程1)2)(1(23++-=++x x kx x 的解为非负数. 5．已知关于x 的分式方程a x a =++112无解，试求a 的值. （二）分式方程的特殊解法解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下： 一、交叉相乘法例1．解方程：231+=x x二、化归法例2．解方程：012112=---x x 三、左边通分法例3：解方程：87178=----x x x 四、分子对等法例4．解方程：)(11b a xb b x a a≠+=+五、观察比较法例5．解方程：417425254=-+-x x x x六、分离常数法例6．解方程：87329821+++++=+++++x x x x x x x x七、分组通分法例7．解方程：41315121+++=+++x x x x（三）分式方程求待定字母值的方法例1．若分式方程xmx x -=--221无解，求m 的值。
(人教版)天津八年级数学上册第十四章《整式的乘法与因式分解》知识点总结(培优)
一、选择题1．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便．原理是：如对于多项式44x y -，因式分解的结果是()()()22x y x y x y -++，若取9x =，9y =，则各个因式的值是：0x y -=，18x y +=，22162x y +=，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式32x xy -，取30x =，20y =，用上述方法产生的密码不可能是（ ）A ．301050B ．103020C ．305010D ．501030 2．计算下列各式，结果为5x 的是（ ）A ．()32xB ．102x x ÷C ．23x x ⋅D ．6x x - 3．若3a b +=-，10ab =-，则-a b 的值是（ ）A ．0或7B ．0或13-C ．7-或7D ．13-或13 4．形如ab cd 的式子叫做二阶行列式，它的算法是：ab ad bc cd =-，则221a a a a -++的运算结果是（ ）A ．4aB ．4a -C ．4D ．4-5．按照如图所示的运算程序，能使输出y 的值为5的是（ ）A ．1,4m n ==B ．2,5m n ==C ．5,3m n ==D ．2,2m n == 6．化简()2003200455-+所得的值为（ ） A ．5- B ．0 C ．20025 D ．200345⨯ 7．下列有四个结论，其中正确的是（ ）①若1(1)1x x +-=，则x 只能是2；②若()2(1)1x x ax -++的运算结果中不含2x 项，则1a =③若10,16a b ab +==，则6a b -=④若4,8x y a b ==，则232x y -可表示为a b A ．①②③④ B ．②③④ C ．①③④ D ．②④ 8．下列分解因式正确的是（ ）A ．xy ﹣2y 2＝x （y ﹣2x ）B ．m 3n ﹣mn ＝mn （m 2﹣1）C ．4x 2﹣24x +36＝（2x ﹣6）2D ．4x 2﹣9y 2＝（2x ﹣3y ）（2x +3y ）9．下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ）A ．214m m ++ B ．222x xy y -+- C ．221449x xy y -++D ．22193x x -+ 10．下列计算一定正确的是（ ）A ．235a b ab +=B ．()235610a b a b -=C ．623a a a ÷=D ．()222a b a b +=+ 11．下列各式计算正确的是（ ）A ．224a a a +=B ．236a a a ⋅=C ．()22439a a -=D ．22(1)1a a +=+ 12．如图是一所楼房的平面图，下列式子中不能表示它的面积的是（ ）A ．x 2+3x +6B ．（x +3）（x +2）﹣2xC ．x （x +3）+6D ．x （x +2）+x 2 13．若|m ﹣3n ﹣2019|＝1，则（2020﹣m +3n ）2的值为（ ）A ．1B ．0C ．1或2D ．0或4 14．下列运算中，正确的是（ ）A ．()23294x y x y = B ．3362x x x += C ．34x x x ⋅= D ．22(3)(3)3x y x y x y +-=-15．下列运算正确的是（ ）． A ．236x x x =B ．2242x x x +=C ．22(2)4x x -=-D ．358(3)(5)15a a a --=二、填空题16．如果23a b -的值为1-，则645b a -+的值为_____．17．2007200820092()(1.5)(1)3⨯÷-＝_____．18．若2,3x y a a ==，则22x y a +=_______________________．19．已知18m x =，16n x =，则2m n x +的值为________． 20．我们知道，同底数幂的乘法法则为m n m n a a a +⋅=（其中0a ≠，m 、n 为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m 、n 的一种新运算：()()()h m n h m h n +=⋅；比如(2)3h =，则(4)(22)339h h =+=⨯=，若(2)(0)h k k =≠，那么(8)h ＝_______，(2)(2020)h n h ⋅＝_______．21．历史上数学家欧拉最先把关于x 的多项式用记号()f x 来表示，把x 等于某数a 时的多项式的值用()f a 来表示．例如，对于多项式42()5f x mx nx x =+++，当2x =时，多项式的值为(2)1647f m n =++，若(2)10f =，则()2f -的值为_________． 22．若294x kx ++是一个完全平方式，则k 的值为_____． 23．如果关于x 的多项式24x bx ++是一个完全平方式，那么b =________．24．已知香蕉，苹果，梨的价格分别为a ，b ，c （单位：元/千克）、用20元正好可以买三种水果各1千克：买1千克香蕉，2千克苹果，3千克梨正好花去42元，若买b 千克香需w 元，则w =___________．（结果用含c 的代数式表示）25．因式分解：24ay a -=_______．26．若210a a +-=，则43222016a a a a +--+的值为______．三、解答题27．（1）23235ab a b ab （2）23233x x x x 28．利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：2222221()()()2x y z xy yz xz x y y z x z ⎡⎤++---=-+-+-⎣⎦，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁、美观．（1）请你检验说明这个等式的正确性；（2）若ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，当222a b c ab bc ca ++=++时，试判断ABC 的形状；（3）若327a b -=，227a c -=，且22241a b c ++=，求22ab bc ac ++的值． 29．计算（1）()()433a a -⋅-（2）（ab 2）2 •（﹣a 3b ）3÷（﹣5ab ）30．已知x 、y 为有理数，现规定一种新运算，满足1x y xy *=+．（1）求24*的值；（2）求(14)(2)*-的值；（3）探索()a b c *+与a b a c *+*的关系，并用等式把它们表达出来．。
初二上册数学整式的乘除与因式分解
初二上册数学整式的乘除与因式分解一、整体设计思路本节课的内容属于初二数学（上册）“整式的乘除与因式分解”一章，课程目标是：使学生掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用他们进行计算。
对于“整式的乘法”，有三个方面的内容：单项式乘单项式、多项式乘单项式以及多项式乘多项式，本节课只学前两项。
重点是单项式乘单项式。
整式的乘法是在学生掌握了有理数、整式的加减等知识的基础上学习的。
其中，幂的运算性质是学习整式乘法的基础。
教材中已经作为预备知识，进行了必要的铺垫。
基于此，我在课前准备时，就打算让学生从具体情境出发，通过“数”的运算自然过渡到“式”的运算。
目的是让学生从整体上知道本节课的内容在整个数学学习中处于一个什么位置。
在所有探索新知的过程中，让学生先独立思考，再相互交流，然后由学生自己小结，从而构建新的知识体系，从中体会到学习新知识的方法，即学习一种新的知识、方法，通常的做法是把它归结为已知的数学知识方法，从而使学习能够不断归一。
这实际上就是一个不断进行的同化和顺应的过程，由此使学生的知识、能力不断得到提升。
首先利用教材中提供的“已知光速及照射时间计算地球到太阳的距离”这一问题为母本，通过学生对“数”的运算，唤醒记忆中的运算律，即乘法的交换律和结合律。
因为不论是“数”的运算，还是“式”的运算，所依据的运算律是一致的。
其次，引导学生尝试用字母替换数字，找到新的疑难所在，思考解决办法，把已有的数的运算能力迁移到式的运算中来，以此解决单项式乘单项式的问题。
第三，继续变换母本题目，让单项式乘单项式中的一个单项式变为多项式，引起学生新的认知冲突，找到单项式乘多项式与单项式乘单项式的联系及区别，迁移单项式乘单项式中形成的能力，循着突破口解决多项式乘单项式的问题。
最后，让学生思考单项式乘单项式、单项式乘多项式中的共同点，进行提升，形成多题归一的学习习惯，进而思考多项式乘多项式的问题，为下节课做铺垫。
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2016-2017学年度第一学期 八年级数学
整式乘除与因式分解 章节复习题
姓名：_______________班级：_______________得分：_______________
一 选择题：
1.下列运算中与-a 3·a 4结果相同的是（ ）
A.(-a 3)4
B.(-a 4)3
C.(-a)2·a 5
D.(-a)·a 6
2.已知5,3==b a x x ,则b a x 23-= ( )
A.2527
B.109
C.5
3 D.52 3.分解因式2x 2-4x+2的最终结果是（ ）
A.2x(x-2)
B.2(x 2-2x + 1)
C.2(x-1)2
D.(2x-2)2
4.把a 2﹣2a 分解因式，正确的是（ ）
A.a(a ﹣2)
B.a(a+2)
C.a(a 2﹣2)
D.a(2﹣a)
5.若x 2
+mx+16是一个完全平方式,则m 的取值是（ )
A.8
B.-8
C.±8
D.±4
6.计算n n a 2)(-的结果是( )
A.n a 3-
B.a 3n
C.22n a -
D.22n a 7.已知a+b=2,则a2-b2+4b 的值是（ ）
A.2
B.3
C.4
D.6
8.若a+b=3,a-b=7,则b2-a2的值为（ ）
A.-21
B.21
C.-10
D.10
9.若x 2
+2(m-3)x+16是完全平方式，则m 的值应为( )
A.7
B.-1
C.-7或1
D.7或-1
10.若2x 3 -ax 2 -5x+5=(2x 2 +ax-1)(x-b)+3，其中a 、b 为整数，则a+b 之值为何？( )
A.-4
B. -2
C.0
D.4
11.计算(x 4+1)(x 2+1)(x+1)(x-1）的结果是（ ）
A.x 8+1
B.x 8-1
C.(x+1)8
D.(x-1)8
12.80803-能被（ ）整除．
A.76
B.78
C.79
D.82
二 填空题：
13.计算：32)2(a -= .
14.多项式﹣5mx 3+25mx 2﹣10mx 各项的公因式是 ．
15.①a 2－4a+4;②a 2+a+
41;③4a 2－a+41;④4a 2+4a+1.以上各式中属于完全平方式的有_______（填序号）． 16.计算：20162017)5
22()125(⨯-=__________． 17.分解因式：m 2(a ﹣2)+m(2﹣a)=
18.已知a 2+b 2
=13，ab=6，则a+b 的值是________．
19.若)2)((2+--x b ax x 的积不含x 的一次项和二次项，则b a = .
20.若0122)(2=+--+y x y x ，则x+y= .
21.已知a 2-2a+b 2+4b+5=0，则b a = ． 22.将4个数a,b,c,d 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成
d c b a ，定义d
c b a =ad-bc,上述记号就叫做2阶行列式．若
81111=+--+x x x x ，则x= ． 三 计算题:
23.计算下列各题： (1)33222)()(b a b a -⋅- (2)))(2(y x y x -+ (3))22(2)2)(3(22----+a a a a
(4)2018201420162⨯- (5))2)(2()(2y x y x y x +--- (6)22)()(b a b a +-
24.对下列多项式进行因式分解：
(1)2224232162a x a x a -+- (2)2225n m - (3)229124y xy x ++
(4)ab b a b a 245332-- (5)452+-x x (6)n m n m 2222-+-
25.先化简，再求值：)53())((4)2(2b a b b a b a b a +--+-+，其中a=-1，b=2．
26.若已知x ＋y=3，xy=1，试分别求出(x-y)2 和x 3y+xy 3
的值．
27.已知a，b，c为△ABC的三条边的长，当b2+2ab=c2+2ac时，（1）试判断△ABC属于哪一类三角形；
（2）若a=4，b=3，求△ABC的周长．
参考答案
1、D
2、A
3、C
4、A
5、C
6、D
7、C
8、A
9、D 10、D 11、B 12、C
13、-8a 6 14、5mx ．15、①②④ 16、12
5
17、m （a ﹣2）（m ﹣1） ．18、±5 19、A 20、1 21、1 22、 2 ；
23、(1)原式=-a 10b 11
(2)原式=x 2+xy-2y 2
(3)原式＝a 3-2a 2＋3a-6-a 3＋2a 2＋2a=5a-6
(4)原式=4
(5)原式=x 2﹣2xy+y 2﹣x 2+4y 2=﹣2xy+5y 2．
(6)原式=2x+5
24.(1)﹣2a 2x 4+16a 2x 2﹣32a 2=﹣2a 2（x 4+8x 2﹣16）=﹣2a 2（x 2﹣4）2=﹣2a 2（x+2）2（x ﹣2））2；
(2)25m 2﹣n 2=（5m+n ）（5m ﹣n ）；
(3)4x 2+12xy+9y 2=（2x+3y ）2；
(4)6a 2b ﹣4a 3b 3﹣2ab=2ab （3a ﹣2a 2b 2﹣1）；
(5)x 2﹣5x+4=（x ﹣1）（x ﹣4）；
(6)解：原式＝(m －n)(m ＋n ＋2)
25.原式=4a 2+4ab+b 2－4(a 2-b 2) -3ab-5b 2(3分) = 4a 2+4ab+b 2－4a 2 +4b 2 -3ab-5b 2(4分)= ab (5分),当a=-1，b=2时，原式= -2
26、== =5
== 27.解：（1）△ABC 是等腰三角形，理由如下：
∵a ，b ，c 为△ABC 的三条边的长，b 2+2ab=c 2+2ac ，∴b 2﹣c 2
+2ab ﹣2ac=0，
因式分解得：（b ﹣c ）（b+c+2a ）=0，∴b ﹣c=0，∴b=c ，∴△ABC 是等腰三角形；
（2）∵a=4，b=3，∴b=c=3，∴△ABC 的周长=a+b+c=4+3+3=10．。