2018高考数学(理)复习 2013-2017高考分类汇编 第3章 导数与定积分-1 导数的概念与运算(理科) 含解析

第三章 导数与定积分第一节 导数的概念与运算题型30 导数的定义——暂无 题型31 求函数的导数1．（2013江西理13）设函数()f x 在(0,)+∞内可导，且(e )e x xf x =+，则(1)f '= ．2.（2016全国丙理21）21.设函数()cos2(1)(cos +1)f x a x a x =+-，其中0a >，记()f x 的最大值为A .（1）求()f x '；（2）求A ；（3）证明2.f x A '（）…2.解析 (1)()()2sin 21sin f x a x a x '=---. （2）当1a …时，()()()()()cos21cos 121320f x a x a x a a a f =+-++-=-=≤.因此32A α=-.当01a <<时，将()f x 变形为()()22cos 1cos 1f x a x a x =+--. 令()()2211g t at a t =+--，则A 是()g t 在[]1,1-上的最大值，()1g a -=，()132g a =-，且当14at a-=时，()g t 取得极小值，极小值为()2211611488a a a a g a a a --++⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭. 令1114a a --<<，解得13a >-且15a >，所以15a >. （i ）当105a <…时，()g t 在()1,1-内无极值点，()1g a -=，()123g a =-，()()11g g -<，所以23A a =-.（ii ）当115a <<时，在同一坐标中画出函数y x =，32y x =-，2618x x y x ++=在1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的图像.由上图，我们得到如下结论当115a <<时，2618a a A a ++=.综上，2123,05611,18532,1a a a a a a a a ⎧-<⎪⎪++⎪<<⎨⎪->⎪⎪⎩…. （3）由（1）得()()2sin 21sin 21f x a x x a a α'=---+-….当105a <…时，()()1242232f x a a a A '+-<-=??； 当115α<<时，131884a A a =++…，所以()12f x a A '+<?； 当1a ≥时，()31642f x a a A '--=??.所以()2f x A '…； 综上所述，有()2f x A '….题型32 导数的几何意义1.(2013广东理10）若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于轴，则 k = ．2.（2014 大纲理 7） 曲线1e x y x -=在点()1,1处切线的斜率等于（ ）. A ．2e B ． C ． D ．3.（2014 新课标2理8）设曲线()ln 1y ax x =-+在点()0,0处的切线方程为2y x =，则a =（ ）.A. B. C. D.4.（2014 江苏理 11）在平面直角坐标系xOy 中，若曲线2by ax x=+（,a b 为常数）过点()2,5P -，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b +的值是 ．5.（2014 江西理 13）若曲线e xy -=上点P 处的切线平行于直线210x y ++=，则点P 的坐标是 .6.（2015陕西理15）设曲线e x y =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为 ．6. 解析 因为()0,1在e x y =上，所以在()0,1处切线的斜率()10e 1x x k ='==.设001,P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1y x =在P 处的切线斜率022011'x x k x x =⎛⎫==-⎪⎝⎭. 因为121k k =-，所以020111x x -=-⇒=±.又因为0x >，所以01x =，()1,1P . 7.（2015四川理15）已知函数()2xf x =，()2g x x ax =+（其中a ∈R ）.对于不相等的实数12,x x ，设()()1212f x f x m x x -=-，()()1212g x g x n x x -=-，现有如下命题：①对于任意不相等的实数12,x x ，都有0m >；②对于任意的a 及任意不相等的实数12,x x ，都有0n >； ③对于任意的a ，存在不相等的实数12,x x ，使得m n =； ④对于任意的a ，存在不相等的实数12,x x ，使得m n =-. 其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号). 7. 解析①.由()()1212f x f x m x x -=-得()()1122f x mx f x mx -=-.令()()2xF x f x mx mx =-=-，则()()12F x F x =，故()F x 不单调. 当0m …时，()F x 为单调递减函数，不符合题意.当0m >时，()2ln 2xF x m '=-,由于2ln 2x y =是值域为()0,+∞的单调递增函数，故必存在一个0x ，使得()00F x '=.且当()00,x x ∈时，()0F x '<.当()0,x x ∈+∞时，()0F x '>.即()F x 不单调.所以①正确.②.由()()1212g x g x n x x -=-得()()1122g x nx g x nx -=-.令()()()22G x g x nx x ax nx x a n x =-=+-=+-，则()()12G x G x =，即对任意的a ，()G x 不单调.取0a =，则()2G x x nx =-。

此时对任意的n ，()G x 都不单调.所以不一定有0n >.②错误. ③.若m n =，则()()()()12121212f x f xg x g x x x x x --=--，即()()()()1122f x g x f x g x -=-. 令()()()22xH x f x g x x ax =-=--，则()H x 不单调. 令()2ln220xH x x a '=--=，得2ln 22x a x =-要有根.令2ln 22,x y x =-则()22ln 22xy '=-，是值域为()2,-+∞的增函数.所以存在0x ，使得()22ln 220x -=.所以2ln 22x y x =-在()0,x -∞单调递减，在()0,x +∞上单调递增，存在最小值.因此，对于任意的a ，2ln 22xa x =-不一定有根.所以③错误.④.若m n =-，则12121212()()()()f x f xg x g x x x x x --=---，即1212()()()()f x f x g x g x +=+. 令()()()22xR x f x g x x ax =+=++,则()R x 不单调.令()2ln 220xR x x a '=++=，得2ln 22xa x =--要有根.而2ln 22x y x =--是值域为(),-∞+∞的减函数，所以2ln 22x a x =--一定会有根.所以对任意的a ，存在不相等的实数12,x x ，使得m n =-.④正确. 所以真命题为①，④.8.（2015安徽理18（1））设*n ∈N ，n x 是曲线221n y x +=+在点()12，处的切线与x 轴交点的横坐标．求数列{}n x 的通项公式；9.（2015北京理18（1））已知函数()1ln 1xf x x+=-.求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；9. 解析 由题可知函数()f x 的定义域是()1,1-，则()221f x x '=-，()02f '=，()00f =， 从而曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为2y x =.10.（2015全国1理21（1））（本小题满分12分）已知函数()314f x x ax =++， 当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；10. 解析 设曲线()y f x =与x 轴相切于点()0,0x ，则()00f x =，()00f x '=，即3002010430x ax x a ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩，解得012x =，34a =-， 所以当34a =-时，x 轴为曲线()y f x =的切线． 11.（2015重庆理20（1））设函数()()23e xx axf x a +=∈R .若()f x 在0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；11. 解析 对()f x 求导得()()()()()2226e 3e 36e e xxxx x a xax x a x a f x +-+-+-+'==，因为()f x 在0=x 处取得极值，所以()00f '=，即0=a ．经检验，0x =为()f x 的极小值点.当0=a 时，()23ex x f x =， ()236e xx xf x -+'=， 故()31e f =，()31ef '=． 从而()f x 在点()()1,1f 处的切线方程()331e ey x -=-，化简得3e 0x y -=． 12.（2016山东理10）若函数()y f x =的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（ ）.A.sin y x = B.ln y x = C.e x y = D.3y x =12.A 解析 因为函数ln y x =，e xy =的图像上任何一点的切线的斜率都是正数；函数3y x =的图像上任何一点的切线的斜率都是非负数.在这三个函数的图像上都不可能存在这样的两点，使得在这两点处的切线互相垂直，即不具有T 性质.利用排除法. 故选A.13.（2016全国丙理15）已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点()13-，处的切线方程是_______________. 13.210x y ++= 解析 解法一：先求函数()f x 在0x >上的解析式，再求切线方程.设0x >，则0x -<，又()l n 3(f x x x f x -=-=，所以()l n 3(0f x x x x =->，1()3(1)2f x f x''=-=-，，所以()y f x =在点3（1，-）处的切线方程为32(1)y x +=--，即210x y ++=.解法二：由函数性质来求切线方程.因为()f x 为偶函数，所以若()f x 在点()()00,x f x 处的切线方程为y kx b =+，则()f x 在点()()00,x f x --处的切线方程为y kx b =-+.因此，先求出()y f x =在点()1,3--处的切线方程.又()()130f x x x'=+<，得()12f '-=，所以()f x 在点()1,3--处的切线方程为21y x =-，所以()f x 在点3（1，-）处的切线方程为21y x =--，即210x y ++=. 14.（2016全国甲理16）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线()ln 1y x =+的切线，则b= .14. 1ln 2- 解析l n 2y x =+的切点为()11ln +2x x ，，则它的切线为111ln 1y x x x =⋅++.()ln 1y x =+的切点为()22ln +2x x ，，则它的切线为：()22221ln 111xy x x x x =++-++， 所以()122122111ln 1ln 11x x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=+-⎪+⎩，解得112x =，212x =-，所1ln 11ln 2b x =+=-.15.（2016北京理18）设函数()e a x f x x bx -=+，曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为()e 14y x =-+.（1）求,a b 的值；（2）求()f x 的单调区间.15. 解析 （1）由题可得()e (1)a x f x x b -'=-+. 再由题设，可得22(2)ee 1(2)2e 22(e 1)4a af b f b --'⎧=-+=-⎪⎨=+=-+⎪⎩，解得2,e a b ==. （2）由（1）的解答及题设，可得()2e (1)e x f x x -'=-+，()f x '的导函数2(())e (2)xf x x -''=-.所以函数()f x '在(,2)-∞上是减函数，在(2,)+∞上是增函数，所以min ()(2)e 10f x f ''==->，即()0f x '>对x ∈R 恒成立，所以函数()f x 的单调递增区间是(,)-∞+∞，无单调递减区间.16.(2017北京理19)已知函数()e cos xf x x x =-.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2）求函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.16.解析 （1）因为()e cos x f x x x =-，所以()e (cos sin )1x f x x x '=--，(0)0f '=. 又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =. （2）设()e (cos sin )1x h x x x =--，则()e (cos sin sin cos )2e sin x x h x x x x x x '=---=-. 当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以()h x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 所以对任意π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()(0)0h x h =…，即()0f x '….所以函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.因此()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ22f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.。