(完整word版)高考数学专题《数列》超经典
高考数列必考知识点
高考数列必考知识点数列作为高中数学中的重要知识点之一，在高考中占据着重要的位置。
掌握数列的概念、性质以及常见的数列类型是高考数学取得好成绩的必备知识。
本文将为同学们总结归纳高考数列必考的知识点。
一、数列的概念和性质1. 数列的定义：数列是按照一定顺序排列的由数字组成的序列。
2. 数列的通项公式：数列的通项公式表示数列中第n个数的一般项，常用符号有an或者Un。
3. 数列的首项和公差：对于等差数列，首项表示数列的第一个数，常用符号是a1；公差表示相邻两项之间的差值，常用符号是d。
4. 数列的递推公式：数列的递推公式表示数列中第n+1项与第n项的关系式。
二、等差数列1. 等差数列的定义：等差数列是指数列中相邻两项之差保持不变的数列。
2. 等差数列的通项公式：对于公差为d的等差数列，其通项公式为an = a1 + (n-1)d。
3. 等差数列前n项和：等差数列前n项和的公式为Sn = (a1 + an) *n / 2。
三、等比数列1. 等比数列的定义：等比数列是指数列中相邻两项之比保持不变的数列，且首项不能为0。
2. 等比数列的通项公式：对于公比为q的等比数列，其通项公式为an = a1 * q^(n-1)。
3. 等比数列前n项和：等比数列前n项和的公式为Sn = a1 * (1-q^n) / (1-q)。
四、特殊数列1. 斐波那契数列：斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项之和，首几项为0、1、1、2、3、5、8、13……2. 等差-等比混合数列：等差-等比混合数列是指数列中既存在等差关系又存在等比关系的数列。
五、数列求和问题1. 常用的数列求和方法：对于等差数列或者等比数列，可以通过数列求和公式或者特殊方法进行求和。
2. 数列求和的技巧：对于一些特殊的数列，可以利用数列的性质进行化简，从而简化求和的过程。
六、题目实战演练1. 高考数列选择题：通过对历年高考数学试卷中关于数列的选择题进行分类整理，帮助同学们熟悉数列的考点和解题思路。
数列高考知识点归纳(非常全!) - 含答案
数列高考知识点大扫描第一节等差数列的概念、性质及前n 项和例1．等差数列{a n }中，69121520a a a a +++=，求S 20 [思路]等差数列前n 项和公式11()(1)22n n a a n n n S na d +-==+： 1、 由已知直接求a 1，公差d.2、 利用性质q p n m a a a a q p n m +=+⇒+=+[解题 ] 由69121520a a a a +++=，615912120a a a a a a +=+=+，得1202()20a a +=，12010a a ∴+=，120()201002n a a S +⨯∴==。
[收获] 灵活应用通项性质可使运算过程简化。
练习：1.等差数列{a n }满足121010a a a +++= ，则有（）A 、11010a a +> B 、21000a a +< C 、3990a a += D 、5151a =2.等差数列中,a 3+a 7-a 10=8,a 11-a 4=4,求13S 。
3.等差数列{a n }共10项，123420a a a a +++=，12360n n n n a a a a ---+++=，求S n. [思路] 已知数列前四项和与后四项和，结合通项性质，联想S n 公式推导方法。
[解题] 已知123420a a a a +++=，12360n n n n a a a a ---+++=，又14()80n a a +=，得120n a a +=，1()201010022n n a a n S +⨯∴==⨯=，[收获] 1、重视倒加法的应用，恰当运用通项性质：q p n m a a a a q p n m +=+⇒+=+，快捷准确；1、 求出1n a a +后运用“整体代换”手段巧妙解决问题。
4.等差数列{a n }前n 项和为18 ，若1S =3, 123n n n a a a --++=, 求项数n .第2变已知前n 项和及前m 项和，如何求前n+m 项和[变题2] 在等差数列{a n }中，S n =a,S m =b,(m>n)，求S n+m 的值。
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直高考要求要求层次：重难点数列的概念数列的概念和表示法 A 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式根据数列的递推公式写出数列的前几项等差数列 等差数列的概念B 等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用 灵活应用求和公式解决冋题等差数列的通项公式与 前n 项和公式 C 等比数列等比数列的概念B 等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用 灵活应用求和公式解决冋题等比数列的通项公式与 前n 项和公式C目H 匸例题精讲典例分析:【例1】设等比数列a n 的公比为q ，前n 项和为0，若5 i ，£，S n 2成等差数列，则q 的值为 ________ .【例2】已知数列 a 满足a 1 1,a 2 3,a n2 3a n 勺2a n (n N *).⑴证明：数列 am a n 是等比数列； ⑵求数列a n 的通项公式； ⑶若数列b n 满足4b114b2 1...4bn 1 (a n 1)bn (n N *),证明b .是等差数列.【点评】若数列a n 的递推公式的一般形式为 a n 1 pa n qam当p q 1时，有a n 1 a n q(a n a .1).于是a n1a .是以a ? d 为首项，q 为公比的等比数列，接下去就可以按照例题 2的方法继续了. 当pq 1时，存在， 满足a n 1 a n 何 a . J ，与a . 1 pa . qa .1比较系数得p ,q .可见，是二次方程t 2 pt q 0的两个根，通过解此方程求，数列综合问题板块一：等差等比综合的值，再进一步推导a n的表达式.由于高考中不涉及连续三项递推公式，因此在此不再举例.【例3】已知数列a n的首项为a i 3，通项a n与前n项和S n之间满足2a n S n S n i(n > 2).⑴求证：1Sn是等差数列，并求公差;⑵求数列a n的通项公式.【例4】已知数列a n的前n项和为S n，且S n 2a.2(n 1,2,3L ),数列b n 中，b 1，点P(b n , b n l)【例5】在直线y x 2上.⑴求数列a n , b n的通项公式a n和S ；⑵设C n a nb n，求数列C n的前n项和T n , 并求满足T n 167的最大正整数n .已知等比数列a n满足a1 a6 11，且a3a49⑴求数列a n的通项a n ；⑵如果至少存在一个自然数m，恰使2a m1 , (a m)2, a m 1 -这三个数依次成等差数列3 9样的等比数列a n是否存在？若存在，求出通项公式；若不存在，请说明理由问这【例6】已知等差数列a n，公差为d，求S n qx a2x3a3x5L a n x2n 1 (x 1)【例7】已知数列a是等差数列，且a1 2 , a1 a2 a3 12 . (2003北京-文-16)⑴求数列a n的通项公式；⑵令b n a n 3n，求数列b n前n项和的公式.【例8】在等差数列a n中，a i 1，前n项和&满足条件鱼4^^,n 1,2,L ,S n n 1⑴求数列a n的通项公式；⑵记b n a n p an (p 0)，求数列b n的前n项和T n。
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数列1、数列中 a n 与 S n 之 的关系：a nS 1 , ( n 1)S n S n 1 ,( n 注意通 能否合并。
2).2、等差数列：⑴定 ： 如果一个数列从第2 起，每一 与它的前一 的差等于同一个常数，即 a n － a n 1=d ，（n ≥ 2， n ∈N ），那么 个数列就叫做等差数列。
⑵等差中 ：若三数a 、 A 、b 成等差数列a bA2⑶通 公式： a n a 1 ( n1)d a m (n m)d或 a npn q ( p 、 q 是常数） .⑷前 n 和公式：S n na 1n n 1n a 1 a n2d2⑸常用性 ：①若 m n p q m, n, p, q N ， a m a n a p a q ；②下 等差数列的 a k ,a k m , a k 2m , ，仍 成等差数列；③数列a nb （,b 常数）仍 等差数列；④若 { a n } 、 { b n } 是等差数列，{ ka n } 、 { ka n pb n } ( k 、 p 是非零常数 )、{ a p nq }( p, q N * )、，⋯也成等差数列。
⑤性： a n 的公差 d ， ：ⅰ） d 0 a n 增数列； ⅱ） d0 a n 减数列； ⅲ） da n 常数列；⑥数列 { a n } 等差数列a n pn q （ p,q是常数）⑦若等差数列a n的前 n 和 S， S、S 2 k S k 、S 3k S 2k ⋯ 是等差数列。
nk3、等比数列⑴定 ： 如果一个数列从第 2 起，每一 与它的前一 的比等于同一个常数， 那么 个数列就叫做等比数列。
⑵等比中 ：若三数a 、G 、b 成等比数列 G 2 ab, （ ab 同号）。
反之不一定成立。
⑶通 公式：a n a 1q n 1 a m q n m⑷前 n 和公式： S na 1 1 q na 1 a n q1 q1 q⑸常用性①若 m n p q m, n, p, q N， a ma n a p a q ；②,, , 等比数列，公比qk下 成等差数列的 成等比数列a k ak mak 2m( ), ③数列a n （不等于零的常数）仍是公比q 的等比数列；正 等比数列a n ；lg a n 是公差 lg q 的等差 数列；④若a n 是等比数列，ca n ，a n 2 ， 1，a nan r( r Z) 是等比数列，公比依次是q ， q21 r.， ， qq⑤ 性：a 10, q 1或 a 1 0,0q 1a n 增数列； a 1 0,0 q 1或 a 1 0, q 1a n 减数列；q1a n 常数列；q 0a n 数列；⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。
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.高考复习序列 -----高中数学数列一、数列的通项公式与前 n 项的和的关系① a ns 1, n 1（注：该公式对随意数列都合用）s ns n 1, n2② S n Sn 1a n (n 2) （注：该公式对随意数列都合用） ③ S n a 1a 2 La n（注：该公式对随意数列都合用）④s- sn- 1 = an+ 1 + a （注：该公式对随意数列都合用）n + 1n二、等差与等比数列的基本知识1 、等差数列⑴通项公式与公差：定义式： a n a n 1 d一般式： a n a 1 n 1 da n pn q推行形式：a na m ( n m)dda nam ；n m前 n 项和与公差的关系：dS n S mn m ；2nm⑵前 n 项和与通项 a n 的关系：前 n 项和公式： s nn ( a 1 a n )na 1 n ( n1) d d n 2( a 11d ) n .222 2前 n 项和公式的一般式：S n An2Bn,此中 Ad, Ba 11 d22应用：若已知 fn2n 2 n ，即可判断 f n 为某个等差数列 a n 的前 n 项和，并可求出首项及公差的值。
a n 与 S n 的关系： a n S n S n 1 (n 2) （注：该公式对随意数列都合用）例：等差数列 S n 2n 1， a na n 1（直接利用通项公式作差求解）⑶常用性质：①若 m+n=p+q，则有 a m a n a pa q ；特别地：若 a m 是 a n ,a p 的等差中项， 则有 2 a m a n a p n 、m 、 p 成等差数列；②等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如 a 1 a 2 a 3 , a 4a 5 a 6, a 7 a 8 a 9 ，）还是等差数列；③ a 为公差为 d 等差数列， S n 为其前 n 项和，则 S m , S 2m S m , S 3mS2 m，S4mS 3m ，．．．也成等差数列 ,n ． ．．．A 、组成的新数列 公差为 D= m2d ，即 m 2 d=(S 2m -S m )- S m ；S n S mS nd等差数列。
高考数学数列知识点归纳
高考数学中的数列知识点主要包括以下内容：
1. 数列的定义与性质：
-数列的概念：数列是按照一定规律排列的数的集合。
-项数与前n项和：第n项表示数列中的第n个数，前n项和表示数列前n项的和。
-通项公式与递推公式：通项公式是指可以通过给定的项数n来直接计算某一项的公式，递推公式则是通过前一项或前几项来计算下一项的公式。
2. 常见数列：
-等差数列：数列中的每个数都与其前一个数之差相等。
-等比数列：数列中的每个数都与其前一个数之比相等。
-斐波那契数列：数列中的每个数都是前两个数之和，即第三项开始满足an = an-1 + an-2。
3. 数列的性质和运算：
-数列的有界性：数列可以是有界的（上有界、下有界）、无界的或发散的。
-数列的单调性：数列可以是递增的、递减的或保持不变。
-数列的极限：数列可能有极限（有限或无穷）或不存在极限。
4. 数列的求和：
-等差数列的求和公式：利用等差数列的性质，可以得到等差数列前n项和的通用公式。
-等比数列的求和公式：利用等比数列的性质，可以得到等比数列前n项和的通用公式。
5. 数列的应用：
-常见问题的建模与解决：通过将实际问题转化为数列的形式，利用数列的性质和公式来解决问题。
以上是高考数学中与数列相关的主要知识点。
掌握这些知识点，能够帮助学生在解答数列相关题目时更加熟练和准确。
需要注意的是，除了理论知识，还需要进行大量的练习和实践，以提高对数列概念的理解和应用能力。
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数列高考知识点大扫描数列基本概念数列是一种特殊函数，对于数列这种特殊函数，着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的性质，依据这些性质将数列分类：依定义域分为：有穷数列、无穷数列； 依值域分为：有界数列和无界数列；依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。
数列的表示方法：列表法、图象法、解析法（通项公式法及递推关系法）； 数列通项：()n a f n =2、等差数列1、定义 当n N ∈,且2n ≥ 时，总有 1,()n n a a d d +-=常，d 叫公差。
2、通项公式 1(1)n a a n d =+-1）、从函数角度看 1()n a dn a d =+-是n 的一次函数，其图象是以点 1(1,)a 为端点, 斜率为d 斜线上一些孤立点。
2）、从变形角度看 (1)()n n a a n d =+--, 即可从两个不同方向认识同一数列，公差为相反数。
又11(1),(1)n m a a n d a a m d =+-=+-,相减得 ()n m a a n m d -=-，即()n m a a n m d =+-. 若 n>m ，则以 m a 为第一项，n a 是第n-m+1项，公差为d ； 若n<m ，则 m a 以为第一项时，n a 是第m-n+1项，公差为-d.3）、从发展的角度看 若{}n a 是等差数列，则12(2)p q a a a p q d +=++- ，12(2)m n a a a m n d +=++-, 因此有如下命题：在等差数列中，若2m n p q r +=+= , 则2m n p q r a a a a a +=+=.3、前n 项和公式由 1211,n n n n n S a a a S a a a -=+++=+++L L ， 相加得 12n n a a S n +=， 还可表示为1(1),(0)2n n n S na d d -=+≠，是n 的二次函数。
(完整word)2019年高考试题汇编理科数学--数列,推荐文档
解答: 13，设等比数列公比为q3、25•- (ag )ag••• q 3• S 121 …S 53（1）证明:a nb n 是等比数列，a n b n 是等差数列;(2 )求a n 和b n 的通项公式. 答案： (1) 见解析 1 x n 11 x n 1(2)a n () n，b n () n2222解析：(1)将 4a n 1 3a n b n 4 , 4b n 1 3b n a n 4 相加可得 4a n1 4b n 1 3a n 3b n a n b n ,11 整理可得a n 1 b n 1丄(a n b n )，又玄1 Q 1，故a . b n 是首项为1,公比为1的等比数列22将 4a n 1 3a n b n 4, 4b n 13b n a n 4 作差可得 4a n14b n13a n 3b n a . b n 8,整理可得a n 1 b n 1a nb n 2，又a 1 Q 1，故a .b n 是首项为1，公差为2的等差数列1 1A. a n 2n 5B.3n 3n 10 CS2n 28nD.S n■In 2 2n 2答案：A解析：S 4 4冃 6d 0a 1 3 5, S n2依题意有 可得 a nn 4n .3S 31 4d 5 d 2 n（2019全国1理）9•记S n 为等差数列 a n 的前n 项和•已知S 40 , a 5 5，则（2（2019全国1理）14.记S n 为等比数列 a n 的前 n 项和,a 436，则 S5答案: S 51213 2019全国2理)19.已知数列a n 和b n满足a 10 , 4a n 1 3a n b n 4, 4b n 1 3b n a n 4.-31 2 3436(2)由a n b n是首项为1 ,公比为?的等比数列可得a n b n ()"①；由a n bn 是首项为1公差为2的等差数列可得a n b n 2n 1②;【解析】 【分析】首先确定公差，然后由通项公式可得 a 5的值，进一步研究数列中正项 ？负项的变化规律,得到和的最小值.【详解】等差数列 a n 中，8s 5a 3 10,得a 3 2& 3,公差da 3 a ?1, a§% 2d 0,由等差数列a n 的性质得n 5时，a n 0, n 6时，a n 大于0,所以S n 的最小值为S 4或S 5,即为10.①②相加化简得a n（!）n n 1，①②相减化简得b n 2 2（2019全国3理）5.已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且a s 3a 3 4印，则a ?（）A. 16B. 8 答案： C解答：C. 4D.设该等比数列的首项 a i ，公比由已知得,4a©3dq 24a i ， 因为a 0且q 0， 则可解得2，又因为 a i (1q 3) 15,即可解得c 1，则4.（2019全国3理）14.记S n 为等差数列 a n 的前n 项和，若q0, a 2 3a ，则 3°S 5答案:4解析:设该等差数列的公差为d 2a 1 a 1 0,d 0 ,10 a 1 a 10S 0____________2S 55 a 1 a 522 2a 1 9d3 4.2a 1 4d 5d（2019北京理）10.设等差数列 的前n 项和为S n,若a 2=-3 ,S s =-10，则a s = ,S n 的最小值为【答案】 (1). 0. (2). -10.【点睛】本题考查等差数列的通项公式？求和公式？等差数列的性质，难度不大，注重重要知识？基础知识？基本运算能力的考查a i (2019北京理)20.已知数列｛a n｝，从中选取第i1项、第i2项、…、第i m项(i l<i2<・・Vm)，若a h a2则称新数列a h, a i2, , a m为｛a n｝的长度为m的递增子列•规定：数列｛a n｝的任意一项都是｛a n｝的长度为1的递增子列．(I)写出数列1 , 8, 3, 7, 5, 6, 9的一个长度为4的递增子列；(H)已知数列｛a n｝的长度为p的递增子列的末项的最小值为a m o，长度为q的递增子列的末项的最小值为a n0.若p<q,求证：a m°<a n°；(川)设无穷数列｛a n｝的各项均为正整数，且任意两项均不相等若｛ a n｝的长度为s的递增子列末项的最小值为2s -, 且长度为S末项为2s-1的递增子列恰有2s-1个(s=1 , 2,…)，求数列｛a n｝的通项公式.【答案】(I )1,3,5,6.(n )见解析; (川)见解析.【解析】【分析】(I )由题意结合新定义的知识给出一个满足题意的递增子列即可；(n )利用数列的性质和递增子列的定义证明题中的结论即可；(川)观察所要求解数列的特征给出一个满足题意的通项公式，然后证明通项公式满足题中所有的条件即可•【详解】(I )满足题意的一个长度为4的递增子列为：1,3,5,6.(n)对于每一个长度为q的递增子列a n a2丄a q，都能从其中找到若干个长度为p的递增子列色总丄a p，此时a p a q ，设所有长度为q的子列的末项分别为：a q, ,a q2,a q3 ,L ,所有长度为p的子列的末项分别为：a p1,a p2,a p3,L ,则a n0 min a q1,a q2,a q3,L ，注意到长度为P的子列可能无法进一步找到长度为q的子列，故a m0 min a p1,a p2,a p3,L ，据此可得：a m0a n0n 1, n为偶数(川)满足题意的一个数列的通项公式可以是a n 斗才来朴2,1,4,3,6,5,8,7,L ,n 1,n为奇数面说明此数列满足题意很明显数列为无穷数列，且各项均为正整数，任意两项均不相等.长度为s 的递增子列末项的最小值为2s-1，下面用数学归纳法证明长度为s 末项为2s-1 的递增子列恰有2s 1个s 1,2,L ：当n 1 时命题显然成立，假设当n k时命题成立，即长度为k末项为2k-1的递增子列恰有21个，则当n k 1时，对于n k 时得到的每一个子列a s1,a s2,L ,a s k 1,2k 1，可构造：aq,a s2丄，a s「2k 1,2 k 1 1和a5^,a S2,L ,a^l,2k,2 k 1 1两个满足题意的递增子列，则长度为k+1 末项为2k+1 的递增子列恰有 2 2k 12k2k 1 1个，n 1, n为偶数综上可得，数列a n、，卄沁.2,1,4,3,6,5,8,7,L是一个满足题意的数列的通项公式•n 1, n为奇数注：当s 3时，所有满足题意的数列为：2,3,5 , 1,3,5 , 2,4,5 , 1,4,5 ，当s 4 时，数列2,3,5 对应的两个递增子列为：2,3,5,7 和2,3,6,7 .【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.2019天津理) 19.设a n 是等差数列，b n 是等比数列.已知a1 4,b1 6，b2 2a2 2,b3 2a3 4.(I)求a n和b n的通项公式;（n）设数列q满足G 1,c n X 2 J 2「其中k Nn 1 n b k,n 2k ,i )求数列a2n c2n1 的通项公式;2nii ）求a i c i n Ni1答案】（I ）a n 3n 1 ; b n 3 2n（n ）（i ）a2n c2n 1 9 4n1 （ii ）* 2n 1n 1 *aqnN 27 25 2 n 12 nNi 1【解析】 【分析】(I )由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可; (n )结合(I )中的结论可得数列a 2n c 2n 1的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行等2n价变形，结合等比数列前n 项和公式可得aG 的值.i 12 4 d 26 2d，解得2 4 2d 4 12 4d故a n 4 (n 1) 33n1 ,b n6 2n13 2n.所以,a n的通项公式为 a n 3n 1 , b n的通项公式为b n3 2n (n )( i ) a 2n C 2n 1 a ?n b n 1 3 2n 1 3 2n 19 4n 1所以,数列 a ?n c?n1 的通 项公式 :为a2nc 2n 19 4n 12n 2n2n2n(ii )a &a i a C i 1a ia c 2i1i 1i 1i 1i 12n 2n 1n2 n4-39 412i 14 1 4n3 ?2 n5 2n 19n1 427 _2n•1J 112N*25 2n n【点睛】本题主要考查等差数列 ？等比数列的通项公式及其前 n 项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列 求和的基本方法以及运算求解能力.【详解】(I )设等差数列a n 的公db n 的公比为q .依题意得6q6q 2（2019上海）18•已知数列｛a n ｝ , a 1 3，前n 项和为S n •（1）若｛an ｝为等差数列,且 a 4 15, 求S n ；（2）若｛a n ｝为等比数列,且 lim n S n 12，求公比 q 的取值范围 【解答】解：（1） Q a 4 a 3d 3 3d 15 ,d 4 ,n(n 1),S n 3n4 2n 2 n；2lim S n 存在，nlim 3(^ 2 ,n1 q 1 q3 4公比q 的取值范围为（1 , 0） （0 , 3）.42综上，d -或者d3Hm S n存在， lim S n n （2019上海）21.已知等差数列｛务｝的公差d (0， ］，数列｛b n ｝满足 b n sin (a n )，集合 S x|xb n ,n2 、（1 ）若a 1 0,d 一，求集合 30,d —,3｛乜，0, △.2 2根据三角函数线，①等差数列 ｛a n ｝的终边落在y 轴的正负半轴上时，集合S 恰好有两个元素，此时此时d —,3（2）若a 1，求d 使得集合 2 S 恰好有两个（3）若集合S 恰好有三个元素: b n T b n , T 是不超过7的正整数，求 T 的所有可能的值.【解答】解：（1） Q 等差数列｛a n ｝的公差d (0，］，数列｛b n ｝满足 b n sin (a n )，集合 S x|xb n ,n当a 1集合S (2) Q，数列｛b n ｝满足 b n sin (a .),2集合S x|x N *恰好有两个元素，如图:②a 1终边落在OA 上，要使得集合 S 恰好有两个元素，可以使 a 2, a 3的终边关于y 轴对称，如图OB , OC ,(3)①当T 3 时，b n 3 b n，集合S {bl，b2, b3},符合题意.②当T 4 时，b n 4 b n ，sin(a n 4d) sina. a n 4d a n 2k ，或者a n 4d 2k a n ，4d a n 2k，又k 1，2当k1时满足条件，此时S {，1, 1}.③当T 5时，b n 5b n，si n(a n5d)sina n，故k1，2.当k1时，S{sin—，1，sin}满足题意1010④当T 6时，b n 6b n，sin (an6d)sina n，a na n等差数列{a n}的公差d (0，］，故a n5d a n 2k ，或者a n 5d 2k a n，因为 d (0 ,所以6d a n 2k 或者a n 6d 2k a n，d (0，1 , 2, 3.1时，S {-^O, —3}，满足题意.2 2⑤当T 7 时，b n 7 b n，si n(a n 7d) si na n si na n，所以a n 7d a n 2k ，或者a n 7d 2k a n，d (0，故k 1 , 2, 31时，因为b i ~b7对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有a m a n 2 ，d m 7，不符合条件.k 2时，因为b i~b7对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有a m a n 2 ，d n不是整数，不符合条件.k 3时，因为bi ~ b7对应着3 个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有a m a n—，或者d7—，此时，m n均不是整数，不符合题意.7综上，T3，4，5，6.(2019江苏)8.已知数列{a n}( n N*)是等差数列，S n是其前n项和若a2^ 兎0,S9 27 ,则Q的值是 _____________________ 【答案】16【解析】【分析】由题意首先求得首项和公差，然后求解前8项和即可.a 2a 5CBa 1 d a-i 4d7d 0【详解】由题意可得：9 8S99a 1 9 8d227解得： a 1 51 ，则 S 8 8a 1 8 7d40 28 216.d 22【点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应 用通项公式、求和公式等，构建方程(组)，如本题，从已知出发，构建a 1, d 的方程组.(2019江苏)20.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M—数列”.(1)已知等比数列｛a n ｝满足：a ?a 4 a 5,a 3 4a ? 4印 0 ,求证：数列｛a n ｝为“M—数列”；u . 1 2 2(2)已知数列｛b n ｝满足：b 1 1,S b b ，其中S 为数列｛b n ｝的前n 项和.S n b n b n 1① 求数列｛b n ｝的通项公式；② 设m 为正整数，若存在 “M—数列” ｛｝ (n € N *)，对任意正整数k ，当k 呦 时，都有C k b k q 1成立，求m 的 最大值.【答案】(1)见解析； (2［① b n = n n N * :② 5. 【解析】 【分析】(1 )由题意分别求得数列的首项和公比即可证得题中的结论； (2)①由题意利用递推关系式讨论可得数列｛b n ｝是等差数列，据此即可确定其通项公式；②由①确定b k 的值，将原问题进行等价转化，构造函数，结合导函数研究函数的性质即可求得【详解】(1)设等比数列｛a n ｝的公比为q ,所以a 1^0, q 丰0.因此数列｛a n ｝为M —数列”1 22 (2) ①因S n—，所以b nb nbn11 2 2由b| 1,S 1th 得1 1 ，则 b 22.1由2 2 得 S nb n b n 1m 的最大值.a 2&4 a s由a 3 4a ： 4ci|。
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高考复习序列-----高中数学数列一、数列的通项公式与前n 项的和的关系①11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩（注：该公式对任意数列都适用）②1(2)n n n S S a n -=+≥ （注：该公式对任意数列都适用） ③12n n S a a a =+++L （注：该公式对任意数列都适用） ④s n +1−s n −1=a n +1+a n （注：该公式对任意数列都适用） 二、等差与等比数列的基本知识 1、等差数列⑴ 通项公式与公差：定义式：d a a n n =--1一般式：()q pn a d n a a n n +=⇔-+=11 推广形式： ()n m a a n m d =+-ma a d mn --=⇔；⑵ 前n 项和与通项n a 的关系：前n 项和公式：1()n n n a a s +=1(1)n n na d -=+211()2d n a d n =+-.前n 项和公式的一般式：应用：若已知()n n n f +=22，即可判断n f 为某个等差数列n a 的前n 项和，并可求出首项及公差的值。
n a 与n S 的关系：1(2)n n n a S S n -=-≥（注：该公式对任意数列都适用）例：等差数列12-=n S n ，=--1n n a a （直接利用通项公式作差求解） ⑶ 常用性质：①若m+n=p+q ，则有 m n p q a a a a +=+ ；特别地：若,m n p a a a 是的等差中项，则有2m n p a a a =+⇔n 、m 、p 成等差数列；②等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如123,a a a ++456,a a a ++789a a a ++，⋅⋅⋅）仍是等差数列；③{}n a 为公差为d 等差数列，n S 为其前．n ．项和．．，则232,,m m m m m S S S S S --，43m m S S -，．．．也成等差数列, A 、 构成的新数列公差为D=m 2d ，即m 2d=(S 2m -S m )- S m ；B 、 对于任意已知S m ，S n ，等差数列{}n a⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 也构成一个公差为2d 等差数列。
⑥若项数为偶数，设共有2n 项，则①S 偶-S 奇nd =； ② 1n n S aS a +=奇偶； ⑦若项数为奇数，设共有21n -项，则①S 奇-S 偶n a a ==中；②1S n S n =-奇偶。
例：已知等差数列{}n a ，其中===11010010,10,100S S S 则 解析：法一，用等差数列求和公式1(1)2n n na d -=+求出d a ,1 法二，10S ，10011020301020...,S S S S S S ---成等差数列，设公差为D ，则：D S S S 451010100110+=-法三,63. 等比数列的通项公式：⑴ ①一般形式：1*11()n nn a a a qq n N q-==⋅∈； ②推广形式：n mn m a a q-=⋅，n q =③其前n 项的和公式为：11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩，或11,11,1n n a a q q q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.⑵数列{}n a 为等比数列()()211111002,n n n n n n na q q a a a n n N a a q a -+-++⇔=≠⇔=⋅>≥∈⇔=⋅()1a q 0n N*≠∈、，nnS A q B ⇔=⋅+ ⑶ 常用性质： ①若m+n=p+q ，则有 m n p q a a a a ⋅=⋅ ；特别地：若,m n p a a a 是的等比中项，则有 2m n p a a a =⋅⇔n 、m 、p 成等比数列; ②等比数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如123,a a a ++456,a a a ++789a a a ++，⋅⋅⋅）仍是等比数列；③{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则232,,m m m m m S S S S S --，43m m S S -，．．．也成等比数列（仅当当1q ≠-或者1q =-且m 不是偶数时候成立）；设等比数列{}n b 的前．n 项积．．为nT ，则kT ，232,k k k k T T T T ，43k kTT 成等比数列． ④ {}n a 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列. ⑤ {}n a 既是等差数列又是等比数列⇔{}n a 是各项不为零的常数列.判断或证明一个数列是等差数列的方法：①定义法：）常数）（*+∈=-N n d a a n n (1⇒{}n a 是等差数列②中项法：)221*++∈+=N n a a a n n n （⇒{}n a 是等差数列③一般通项公式法：),(为常数b k bkn a n +=⇒{}n a 是等差数列④一般前n 项和公式法：),(2为常数B A BnAn S n +=⇒{}n a 是等差数列判断或证明一个数列是等差数列的方法：（1）定义法：⇒=+（常数）q a a nn 1{}n a 为等比数列； （2）中项法：⇒≠⋅=++)0(221n n n n a a a a {}n a 为等比数列；（3）通项公式法：⇒⋅=为常数）q k q k a nn ,({}n a 为等比数列；（4）前n 项和法：⇒-=为常数）（q k q k S n n ,)1({}n a 为等比数列。
⇒-=为常数）（q k kq k S n n ,{}n a 为等比数列。
数列最值的求解（1）10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；（2）n S 最值的求法：①若已知n S ，的最值可求二次函数的最值；可用二次函数最值的求法（n N +∈）；②或者求出中的正、负分界项，即： 若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）可如下确定100n n a a +≥⎧⎨≤⎩或10n n a a +≤⎧⎨≥⎩。
例1：等差数列{}n a 中，12910S S a =>，，则前 项的和最大。
【解析】：()项）项和最大（或前前，1011020001110121012111012111011129121291⇒⎭⎬⎫=-=⇒⎭⎬⎫+=+-=⇒=++⇒=-⇒=>a a a a a a a a a a a a S S S S a Θ例2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知 001213123<>=S S a ，，①求出公差d 的范围，②指出1221S S S ，，，Λ中哪一个值最大，并说明理由。
【解析】：n S 2n S an bn =+{}n a① ()()()372400,5215642144211212212212,21221312131211231--⇒<>+=+=+-=+=⇒-=-=ππΘd S S d S dd d a a S d d a a ，，根据已知同理：② 由0001213123πd S S a 及，，<>=，可知，n=12是前n 项和正负分界项，故()(),70,60φπn a n a n n ≤≥所以，6S 最大变式：若等差数列的首项为为31，从第16项开始小于1 ，则此数列公差d 的取值范围是 解析：116πa ，但要注意此时还要一个隐含条件115φa ，联立不等式组求解。
3、若数列的前n 项和n n S n 102-=，则=n a ，{}n ns 数值最小项是第 项。
【解析】：法一（导数法）：根据等差数列前n 项和的标准形式Bn An S n +=2，可知该数列为等差数列，nn nS n a a a d S S a n n S a n n 112112,2,7,910212122211-=⇒-==-=∴-=-=-=-==令时时，即当’‘4110)(,114)(,112)(2==-=-==n n f n n f n n nS n f n ,取得最小值， 其中15)3(,14)2(34112-=-=f f ，分别求出ππ，可见当n=3时{}n ns 取得最小。
法二（列举法）：对于,0,01且数值较大时且数值较小φπd a 可用列举法，分别求出n=1、2…时的{}n ns 的值，再进行比较发现。
4、已知数列{}n a ，的最小值为则na n a a a nn n ,2,3311=-=+ 【解析】：法一（均值不等式）：由累加法：33--221+=⇒=-n n a n n a a n n ，令时取得最小值。
，可见，，取得最小值，时，，即可见当6663)6(533)5(63353333,133)(=====-+==n f f n a n n n n n n a n f n n ππΘ 法二（列举法）：实在没招时使用该法。
5、 已知等差数列{}n a 的前n 项和的最小值为则n n S n S S S ,25,0,1510== 。
【解析】：49-49-)7(48-)6(,732063200)(,320)(,)(,310300,322'2'23110110，故取，而时取得最小值，，即当令====-==-=∴-=⇒=+⇒==⇒--=f f n n f n n n f S n n f n n S n a a a S d m n m S n S d n n mn ππΘ6、数列通项公式的求法：类型1：等差数列型)(1n f a a n n +=+思路：把原递推式转化为)(1n f a a n n =-+，再使用累加法（逐差相加法）求解。
例，已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则21221111*21)2(21)1(2n a a a n a a n a a n n n n n =∴+=-•+-=-+-=----以上逐次累加，所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =变式： 已知数列{}n a 满足1232nn n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。
解： 1232nn n a a +=+⨯两边除以12n +，得113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，此时23)(=n f ，故数列{}2n na 是以1222a 11==为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222nn a n =-评注：本题n n a a 、1+前的系数不一致，不能直接使用前述方法，解题的关键是把递推关系式1232nn n a a +=+⨯转化为113222n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。