_学年高中数学第三章导数及其应用学业分层测评18函数的最大小值与导数新人教A版选修1_1
2019-2020学年高中数学第三章导数及其应用3.3.3函数的最大(小)值与导数练习(含解析)新人教A版选修1-1
3.3.3 函数的最大（小）值与导数[学生用书P133(单独成册)])[A 基础达标]1．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[－2，1]上的最大值、最小值分别是( ) A ．12，－8 B ．1，－8 C ．12，－15D ．5，－16解析：选A.y ′＝6x 2－6x －12， 由y ′＝0⇒x ＝－1或x ＝2(舍去)．x ＝－2时，y ＝1；x ＝－1时，y ＝12；x ＝1时， y ＝－8.所以y max ＝12，y min ＝－8.故选A.2．函数f (x )＝x －12x 在区间[0，＋∞)上( )A ．有最大值，无最小值B ．有最大值，有最小值C ．无最大值，无最小值D ．无最大值，有最小值解析：选A.由已知得f (x )的定义域为[0，＋∞)，f ′(x )＝12x －12，令f ′(x )＞0，得f (x )的单调增区间为[0，1)；令f ′(x )＜0，得f (x )的单调减区间为(1，＋∞)．所以f (x )在区间[0，＋∞)上有最大值，无最小值．3．函数y ＝x ＋2cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上取最大值时，x 的值为( )A ．0B ．π6C.π3D ．π2解析：选B.y ′＝1－2sin x ，令y ′＝0，得sin x ＝12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以x ＝π6.由y ′＞0得sin x ＜12，所以0≤x ＜π6；由y ′＜0得sin x ＞12，所以π6＜x ≤π2，所以原函数在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6上单调递增，在⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，π2上单调递减． 所以当x ＝π6时取最大值，故应选B.4．若函数y ＝x 3＋32x 2＋m 在[－2，1]上的最大值为92，则m 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．52解析：选C.y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋32x 2＋m ′＝3x 2＋3x ＝3x (x ＋1)，由y ′＝0，得x ＝0或x ＝－1.f (0)＝m ，f (－1)＝m ＋12.又因为f (1)＝m ＋52，f (－2)＝－8＋6＋m ＝m －2，所以f (1)＝m ＋52最大，所以m ＋52＝92，所以m ＝2.5．函数f (x )＝x 22x ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1上的最小值与最大值的和为( ) A.13 B ．23C ．1D ．0解析：选A.f ′(x )＝2x （2x ＋1）－2x2（2x ＋1）2＝2x （x ＋1）（2x ＋1）2，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1，当f ′(x )＝0时，x ＝0； 当f ′(x )<0时，－13≤x <0；当f ′(x )>0时，0<x ≤1.所以f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，0上是减函数，在(0，1]上是增函数． 所以f (x )min ＝f (0)＝0. 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝13，f (1)＝13.所以f (x )的最大值与最小值的和为13.6．已知奇函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e xx －1（x ＞0），h （x ）（x ＜0），则函数h (x )的最大值为______．解析：先求出x ＞0时，f (x )＝e xx －1的最小值．当x ＞0时，f ′(x )＝e x（x －1）x2，所以x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，函数单调递减，x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数单调递增，所以x ＝1时，函数取得极小值即最小值，为e －1，所以由已知条件得h (x )的最大值为1－e.答案：1－e7．函数f (x )＝xex 在区间[2，4]上的最小值为________．解析：f ′(x )＝e x －x e x（e x ）2＝1－xe x ，当x ∈[2，4]时，f ′(x )＜0，即函数f (x )在x ∈[2，4]上是单调递减函数，故当x ＝4时，函数f (x )有最小值4e4.答案：4e48．若函数f (x )＝x 3－3x －a 在区间[0，3]上的最大值、最小值分别为m ，n 则m －n ＝________．解析：因为f ′(x )＝3x 2－3，所以当x ＞1或x ＜－1时，f ′(x )＞0; 当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0.所以f (x )在[0，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增． 所以f (x )min ＝f (1)＝1－3－a ＝－2－a ＝n . 又因为f (0)＝－a ，f (3)＝18－a ， 所以f (0)＜f (3)．所以f (x )max ＝f (3)＝18－a ＝m ， 所以m －n ＝18－a －(－2－a )＝20. 答案：209．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋2，x ＝2是f (x )的一个极值点，求： (1)实数a 的值；(2)f (x )在区间[－1，3]上的最大值和最小值．解：(1)因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ，f (x )在x ＝2处有极值， 所以f ′(2)＝0，即3×4＋4a ＝0， 所以a ＝－3. (2)由(1)知a ＝－3，所以f (x )＝x 3－3x 2＋2，f ′(x )＝3x 2－6x . 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2.当x 变化时f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可知f (x )在区间[－1，3]上的最大值是2，最小值是－2.[B 能力提升]10．(2019·衡水高二检测)已知函数f (x )＝ax 4－4ax 3＋b (a ＞0)，x ∈[1，4]，f (x )的最大值为3，最小值为－6，则a ＋b ＝( )A.53 B ．73C.103D ．113解析：选C.f ′(x )＝4ax 3－12ax 2.令f ′(x )＝0，得x ＝3或x ＝0(舍去)．当1≤x ＜3时，f ′(x )＜0，当3＜x ≤4时，f ′(x )＞0，故x ＝3为极小点，也是最小值点．因为f (3)＝b －27a ，f (1)＝b －3a ，f (4)＝b ，所以f (x )的最小值为f (3)＝b －27a ，最大值为f (4)＝b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3b －27a ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13b ＝3，所以a ＋b ＝103.11．若存在正数x 使2x(x －a )＜1成立，则a 的取值范围是________． 解析：因为2x(x －a )＜1， 所以a ＞x －12x .令f (x )＝x －12x ，所以f ′(x )＝1＋2－xln 2＞0， 所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 所以f (x )＞f (0)＝0－1＝－1， 所以a 的取值范围为(－1，＋∞)． 答案：(－1，＋∞)12．已知函数f (x )＝13x 3＋ax ＋b (a ，b ∈R )在x ＝2处取得极小值－43.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若f (x )≤m 2＋m ＋103在[－4，3]上恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝x 2＋a ，x ∈R ，由f ′(2)＝0，得a ＝－4； 再由f (2)＝－43，得b ＝4.所以f (x )＝13x 3－4x ＋4，f ′(x )＝x 2－4.令f ′(x )＝x 2－4＞0，得x ＞2或x ＜－2.所以f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)．(2)因为f (－4)＝－43，f (－2)＝283，f (2)＝－43，f (3)＝1，所以函数f (x )在[－4，3]上的最大值为283.要使f (x )≤m 2＋m ＋103在[－4，3]上恒成立，只需m 2＋m ＋103≥283，解得m ≥2或m ≤－3.13．(选做题)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a ＞0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞时，f ′(x )＜0.所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减．(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a ＞0时，f (x )在x ＝1a处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0.令g (a )＝ln a ＋a －1，g ′(a )＝1a＋1＞0，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，又g (1)＝0， 于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0； 当a ＞1时，g (a )＞0. 因此a 的取值范围是(0，1)．。
高中数学人教a版高二选修1-1_第三章导数及其应用_学业分层测评14_word版有答案
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.已知函数y ＝f (x )的图象如图3－1－6，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )图3－1－6A ．f ′(x A )>f ′(xB )B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定【解析】 f ′(A )与f ′(B )分别表示函数图象在点A ，B 处的切线斜率，故f ′(A )<f ′(B )．【答案】 B2．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( )A ．不存在B ．与x 轴平行或重合C ．与x 轴垂直D ．与x 轴斜交【解析】 f ′(x 0)＝0，说明曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率为0，所以与x 轴平行或重合．【答案】 B3．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( ) A ．(0,0)B ．(2,4) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，116 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14【解析】 ∵y ＝x 2，∴k ＝y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x ， ∴2x ＝tan π4＝1，∴x ＝12，则y ＝14.【答案】 D4．若曲线y ＝x 2上的点P 处的切线与直线y ＝－12x ＋1垂直，则过点P 处的切线方程为( )A ．2x －y －1＝0B ．2x －y －2＝0C ．x ＋2y ＋2＝0D ．2x －y ＋1＝0【解析】 与直线y ＝－12x ＋1垂直的直线的斜率为k ＝2.由y ＝x 2知，y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x . 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则2x 0＝2，即x 0＝1，故y 0＝1.所以过P (1,1)且与直线y ＝－12x ＋1垂直的直线方程为y －1＝2(x －1)，即y＝2x －1.【答案】 A5．曲线y ＝f (x )＝x 3在点P 处切线的斜率为k ，当k ＝3时点P 的坐标为( )A ．(－2，－8)B ．(－1，－1)或(1,1)C ．(2,8) D.⎝⎛⎭⎪⎫－12，－18 【解析】 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )3－x 30Δx＝lim Δx →0[(Δx )2＋3x 20＋3x 0·Δx ]＝3x 20. ∵k ＝3，∴3x 20＝3.∴x 0＝1或x 0＝－1，∴y 0＝1或y 0＝－1.∴点P 的坐标为(－1，－1)或(1,1)．【答案】 B二、填空题6．已知函数y ＝f (x )在点(2,1)处的切线与直线3x －y －2＝0平行，则y ′|x ＝2等于________．【解析】 因为直线3x －y －2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y ′|x ＝2＝3.【答案】 37．若抛物线y ＝2x 2＋1与直线4x －y ＋m ＝0相切，则m ＝________.【导学号：26160074】【解析】 设切点P (x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2.∴Δy Δx ＝4x 0＋2Δx .当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx 无限趋近于4x 0，即f ′(x 0)＝4x 0.y ′|x ＝x 0＝4x 0，由⎩⎪⎨⎪⎧ 4x 0＝4，y 0＝2x 20＋1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝3， 即P (1,3)．又P (1,3)在直线4x －y ＋m ＝0上，故4×1－3＋m ＝0，∴m ＝－1.【答案】 －18．若函数y ＝f (x )的图象在点P (4，f (4))处的切线方程是y ＝－2x ＋9，则f (4)＋f′(4)＝________.【解析】由导数的几何意义知，f′(4)＝－2，又点P在切线上，则f(4)＝－2×4＋9＝1，故f(4)＋f′(4)＝－1.【答案】－1三、解答题9．求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线．【解】曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝limΔx→03(1＋Δx)2－4(1＋Δx)＋2－3＋4－2Δx＝limΔx→0(3Δx＋2)＝2.∴过点P(－1,2)的直线的斜率为2，由点斜式得y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0.所以所求直线方程为2x－y＋4＝0.10．已知曲线y＝2x2－7，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(2)过点P(3,9)与曲线相切的切线方程．【解】y′＝limΔx→0Δy Δx＝limΔx→0[2(x＋Δx)2－7]－(2x2－7)Δx＝limΔx→0(4x＋2Δx)＝4x.(1)设切点为(x0，y0)，则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，∴切点坐标为(1，－5)．(2)由于点P(3,9)不在曲线上．设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)．将P(3,9)及y0＝2x20－7代入上式，得9－(2x20－7)＝4x0(3－x0)．解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)．从而所求切线方程为8x－y－15＝0和16x－y－39＝0.[能力提升]1．设f(x)为可导函数，且满足limΔx→0f(1)－f(1－2x)2x＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))的切线斜率为()A．1B．－1 C．2D．－2【解析】令x→0，则2x→0，所以limΔx→0f(1)－f(1－2x)2x＝limΔx→0f(1)－f(1－Δx)Δx＝f′(1)＝－1，故过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))的切线斜率为－1.【答案】 B2.已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图3－1－7所示，则该函数的图象是()图3－1－7【解析】由函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象自左至右先增后减，可知函数y＝f(x)图象的切线的斜率自左至右先增大后减小．【答案】 B3．如图3－1－8是函数f(x)及f(x)在点P处切线的图象，则f(2)＋f′(2)＝________.图3－1－8【解析】 由题图可知切线方程为y ＝－98x ＋92，所以f (2)＝94，f ′(2)＝－98，所以f (2)＋f ′(2)＝98.【答案】 984．已知曲线y ＝x 2＋1，是否存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【导学号：26160075】【解】 由Δy Δx ＝(x ＋Δx )2＋1－(x 2＋1)Δx＝2x ＋Δx ， 得y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x . 设切点为P (x 0，y 0)，则切线斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0，由点斜式得所求切线方程为：y －y 0＝2x 0(x －x 0)．又因为切线过点(1，a )，且y 0＝x 20＋1，所以a －(x 20＋1)＝2x 0(1－x 0)，即x 20－2x 0＋a －1＝0.因为切线有两条，所以Δ＝(－2)2－4(a －1)>0，解得a <2.故存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线，且a 的取值范围是(－∞，2)．。
2018版高中数学第三章导数及其应用3.3.3函数的最大(小)值与导数学案新人教A版
3.3.3 函数的最大(小)值与导数1.能够区分极值与最值两个不同的概念.(易混点)2.掌握在闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)的求法.(重点)3.能根据函数的最值求参数的值.(难点)[基础·初探]教材整理 函数的最大(小)值与导数阅读教材P 96函数最大(小)值与导数～P 98第一段，完成下列问题. 1.函数f (x )在区间[a ，b ]上的最值如果在区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a ，b ]上一定能够取得最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点取得.2.求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最值的步骤 (1)求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值.(2)将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的最大值一定是函数的极大值.( ) (2)开区间上的单调连续函数无最值.( )(3)函数f (x )在区间[a ，b ]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得.( ) (4)函数f (x )＝1x在区间[－1,1]上有最值.( )【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)×[小组合作型](1)f (x )＝2x 3－6x 2＋3，x ∈[－2,4]；(2)f (x )＝e x (3－x 2)，x ∈[2,5]. 【精彩点拨】 求导→列表→下结论.【自主解答】 (1)f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2). 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：当x ＝－2时，f (x )取最小值－37. (2)∵f (x )＝3e x －e x x 2， ∴f ′(x )＝3e x －(e x x 2＋2e xx ) ＝－e x (x 2＋2x －3) ＝－e x(x ＋3)(x －1).∵在区间[2,5]上，f ′(x )＝－e x(x ＋3)(x －1)＜0， 即函数f (x )在区间[2,5]上单调递减， ∴x ＝2时，函数f (x )取得最大值f (2)＝－e 2；x ＝5时，函数f (x )取得最小值f (5)＝－22e 5.1.求函数最值时，若函数f (x )的定义域是闭区间，则需比较极值点处函数值与端点处函数值的大小，才能确定函数的最值.2.若f (x )的定义域是开区间且只有一个极值点，则该极值点就是最值点.[再练一题]1.(1)函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是( )A.π－1B.π2－1 C.πD.π＋1【解析】 y ′＝1－cos x ＞0，∴y ＝x －sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递增，∴y max ＝π－sin π＝π. 【答案】 C(2)求下列各函数的最值.①f (x )＝－x 3＋3x ，x ∈[－3，3]； ②f (x )＝x 2－54x(x ＜0).【导学号：97792048】【解】 ①f ′(x )＝3－3x 2＝3(1－x )(1＋x ). 令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：＝－2. 又因为f (x )在区间端点处的取值为f (－3)＝0，f (3)＝－18， 所以f (x )max ＝2，f (x )min ＝－18. ②f ′(x )＝2x ＋54x2.令f ′(x )＝0，得x ＝－3.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以x 故f (x )的最小值为f (－3)＝27，无最大值.【精彩点拨】 求导→讨论a 的正负→判断[0,2]上的单调性→得最值. 【自主解答】 f ′(x )＝3x 2－2ax ，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a 3.当2a3≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,2]上单调递增，从而f (x )max ＝f (2)＝8－4a .当2a3≥2，即a ≥3时，f (x )在[0,2]上单调递减， 从而f (x )max ＝f (0)＝0. 当0＜2a3＜2，即0＜a ＜3时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2a 3上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 3，2上单调递增，从而f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a ，＜a ，0，＜a ＜， 综上所述，f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a ，a，0，a ＞由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化.所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解.[再练一题]2.已知函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，x ∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a ，b 的值.【解】 由题设知a ≠0，否则f (x )＝b 为常函数，与题设矛盾.求导得f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝3ax (x －4)，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4(舍去).(1)当a >0时，且x 变化时f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：f (0)＝b ＝3.又f (－1)＝－7a ＋3，f (2)＝－16a ＋3<f (－1)， ∴f (2)＝－16a ＋3＝－29，解得a ＝2.(2)当a <0时，同理可得，当x ＝0时，f (x )取得极小值b ，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f (0)＝b ＝－29.又f (－1)＝－7a －29，f (2)＝－16a －29>f (－1)， ∴f (2)＝－16a －29＝3，解得a ＝－2.综上可得，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29.[探究共研型]【提示】 解决“恒成立”问题，可将问题转化为函数的最值问题.如f (x )＞0恒成立，只要f (x )的最小值大于0即可.对含参不等式的恒成立问题，求参数范围时，可先分离参数.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值.(1)求a 、b 的值及函数f (x )的单调区间；(2)若对x ∈[－1,2]，不等式f (x )＜c 2恒成立，求c 的取值范围. 【精彩点拨】【自主解答】 (1)f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝129－43a ＋b ＝0，f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，得a ＝－12，b ＝－2，经检验，满足题意，f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)，当x 变化时，f ′(x )及f (x )的变化情况如下表：所以函数f (x )的递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3，(1，＋∞)， 递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1.(2)f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，x ∈[－1,2]，当x ＝－23时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝2227＋c 为极大值，而f (2)＝2＋c ，则f (2)＝2＋c 为最大值.要使f (x )＜c 2，x ∈[－1,2]恒成立，则只需要c 2＞f (2)＝2＋c ，得c ＜－1或c ＞2. 所以c 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).不等式恒成立问题常用的解题方法[再练一题]3.已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1.若xf ′(x )≤x 2＋ax ＋1恒成立，求a 的取值范围.【导学号：97792049】【解】 f ′(x )＝x ＋1x＋ln x －1 ＝ln x ＋1x，xf ′(x )＝x ln x ＋1，而xf ′(x )≤x 2＋ax ＋1(x ＞0)等价于ln x －x ≤a . 令g (x )＝ln x －x ，则g ′(x )＝1x－1.当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0；当x ≥1时，g ′(x )≤0，x ＝1是g (x )的最大值点，所以g (x )≤g (1)＝－1.综上可知，a 的取值范围是[－1，＋∞).1.函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1)( ) A.有最大值，但无最小值 B.有最大值，也有最小值 C.无最大值，但有最小值 D.既无最大值，也无最小值【解析】 f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1，1)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.【答案】 D2.连续函数f (x )在(a ，b )上有最大值是有极大值的( ) A.充分条件 B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】 连续函数f (x )在(a ，b )上有最大值，能推出其有极大值，但有极大值不一定有最大值，故选A.【答案】 A3.函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________. 【解析】 y ′＝12x －1＝1－2x2x .令y ′＝0，得x ＝14.当0<x <14时，y ′>0；当x >14时，y ′<0.∴x ＝14时，y max ＝14－14＝14. 【答案】 144.如果函数f (x )＝x 3－32x 2＋a 在[－1,1]上的最大值是2，那么f (x )在[－1,1]上的最小值是________.【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2－3x ，令f ′(x )＝0， ∴x ＝0或x ＝1.∴在[－1,1]上有：当x ∈[－1,0)时，f ′(x )＞0，当x ∈(0,1]时，f ′(x )＜0，∴x ＝0是f (x )的极大值点，也是最大值点.∴f (x )max ＝f (0)＝a ＝2， ∴f (x )＝x 3－32x 2＋2，∴f (－1)＝－12，f (1)＝52，∴f (x )在[－1,1]上的最小值为－12.【答案】 －125.已知函数f (x )＝1－x x ＋ln x ，求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值和最小值.【导学号：97792050】【解】 f ′(x )＝－x －－xx2＋1x ＝x －1x2.由f ′(x )＝0，得x ＝1.∴在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f (2)＝2－2ln 2＝2(ln e 3－ln 16)，而e 3＞16，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＞f (2)＞0.∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－ln 2，最小值为0.。
人教A版高中数学选修1-1第三章《导数及其应用》单元检测题(含答案).docx
第三章《导数及其应用》检测题一、选择题(每小题只有一个正确答案)1.已知曲线y = |x2-2上一点P(屈一$,则过点P切线的倾斜角为()乙乙A.30°B. 45°C. 60°D. 120°2.设P为曲线C： y = F+2x + 3上的点，且曲线c在点P处切线倾斜角的取值范围7T 7T为则点P横坐标的取值范围为()4 2( JiA. —co,—B. [—1,0]1D. , + 823.定义在(0, +8)上的函数f(x)的导函数为广(无)，且对VxG (0,+oo)都有c. [0,1]/z(x)lnx<^/'(x),则(A. 4/(e) > e3/(e4) > 2e/(e2) C. e3/(e4) > 4/(e) > 2e/(e2) )(其中e«2. 7)B.e3/(e4) > 2e/(e2) > 4/(e) D. 4/(e) > 2e/(e2) > e3/(e4)4.曲线/(x) = (x + l)e x在点(0, f(0))处的切线方程为()A. y = % 4- 1B. y = 2x 4- 1C. y = + 1D.y 弓x+15.对于函数/(x)=—,下列说法正确的有()①f(兀)在x = €处取得极大值》②f(x)有两个不同的零点；③门4) < f (兀)< /(3); @7T4 < 4兀.A.4个B.3个C.2个D. 1个6.定义在R上的奇函数f (x)满足f (・1)=0,且当x>0时，f (x) >xf (x),则下列关系式中成立的是()A. 4f (i) >f (2)B. 4f (2) <f (2)C. f (i) >4f (2)D. f (i) f (2) > 2 2 2 27.定义在［0, +oo)的函数fO)的导函数为f(x),对于任意的%>0,恒有/Xx) </(%),m = n = 则m, zi的大小关系是()・e e zA. m > nB. m < nC. m = nD.无法确定&函数/(x) = e x + x3 - 2在区间(0,1)内的零点个数是().A. 0B. 1C. 2D. 39 .在平面直角坐标系xOy中，已知好一In%! - = 0 , x2 - y2 ~ 2 = 0 ,则(%i -x2)2 +(7i -y2)2的最小值为()A. 1B. 2C. 3D. 410.已知直线2是曲线y = e x与曲线y = e2x-2的一条公切线，2与曲线y =/x 一2切于点(a,b),且a是函数£仗)的零点，贝”仗)的解析式可能为()A. /(%) = e2x(2x + 21n2 -1)-1B. f(x) = e2x(2x + 21n2 -1)-2C.f(x) = e2x(2x一21n2 -1)-1D. /(x) = e2x(2x一21n2 -1)-2二、填空题设函数fd)的导数为f f (x),且f(x)=f‘(^sinx + cosx,则f' (? = _____________________ 12.如图，函数y = f(x)的图象在点P处的切线方程是y = -兀+ 5,则/'⑶+厂⑶=_. Array13._____ 函数y=f (x)的导函数y = f(jc)的图象如图所示，则函数y=f (x)的图象可能是_________ (填序号).(D ②③④14.已知函数/(x)=xlnx + i%2, %是函数f(x)的极值点，给出以下几个命题：乙@0 < %0 < -；②尢o>2；+ X o < 0；④fOo) + Xo>0;e e其中正确的命题是______________ •(填出所有正确命题的序号)、215 .已知函数/(X)= X3 +OT2 +/?JC+C在X =——与兀=1时都取得极值，若对xe[-l,2],不等式f(x)<c2恒成立，则c的取值范围为___________________________ o三、解答题16.求下列函数的导函数®y = X4—3x2—5x + 6 ③y = x2cos x ②y二x+古@y = tan x17.已知函数/'(兀)=|%2一(a + l)x + a\nx.(1)当a VI时，讨论函数f(x)的单调性；(2)若不等式f(X) + (a + l)x n牛+対+ 1 一对于任意x G [e~1,e]成立，求正实数a 的取值范围.18.已知函数f (尤)=^x3— ax1 2 + l(a 6 /?).(1)若曲线y = /(%)在(l,f(l))处的切线与直线x-y + l = 0垂直，求a的值.(2)若a>0,函数y = /(%)在区间(a,a2 - 3)±存在极值，求a的取值范圉.(3)若a >2,求证：函数y = f(x)在(0,2)上恰有一个零点.19.已知函数f^x) = a x^-x2-x\na (a>0,且aHl).(I )求函数/(兀)的单调区间；(II)求函数/(兀)在［-2,2］上的最大值.20.现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P~A\B\G从, 下部的形状是正四棱柱ABCD-A限Cd (如图所示)，并要求正四棱柱的高"0是正以棱锥的高％的4倍.1 若AB=6 m, n =2 m,则仓库的容积是多少？2 若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当〃为多少时，仓库的容积最大?参考答案I.C2. D3. D4・ B5. C6. A7. B8. B9. B10・ BII.- A/212. 113.④14.①③15.(-00,-1) U(2,4-oo)16.解析：(l)y z = 4x3— 6x — 5(2)y‘ = % 4- x~2(3)y‘ = (x2ycosx + x2(cosx)f = 2xcosx-x2sinx, sinx , (sinx),cosx — sinx(cosx)' cos2% + sin2% 1(4)-------------- y =( ----------------- )= ----- = = :—cos2%cosx cos2%cos2% cos2%17.(1)当a<0时，函数门切在(1,+8)上单调递增，在(0,1)上单调递减；当ova VI时, 函数f(x)在@,1)上单调递减，在(0卫)和(1,+8)上单调递增.(2) (0,1]解析：(1)函数/'仗)的定义域为(0,+s),广(％)=兀 _ @ + 1)+ 兰=*一@+1央+。
高中数学人教A版选修1-1 第三章导数及其应用 学业分层测评16 Word版含答案
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．函数y＝f(x)的图象如图3－3－4所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是()图3－3－4【解析】由函数y＝f(x)的图象可知，在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上，函数f(x)均为减函数，故在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上，f′(x)均小于0，故选D.【答案】 D2．函数f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上()A．是增函数 B．是减函数C．有最大值D．有最小值【解析】∵cos x≤1，∴f′(x)＝2－cos x>0恒成立，∴f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．【答案】 A3．函数y ＝(3－x 2)e x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－3)和(1，＋∞)D ．(－3,1)【解析】 y ′＝－2x e x ＋(3－x 2)e x ＝(－x 2－2x ＋3)e x ，令(－x 2－2x ＋3)e x >0，由于e x >0，则－x 2－2x ＋3>0，解得－3<x <1，所以函数的单调递增区间是(－3,1)．【答案】 D4．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( )A ．f (2)<f (e)<f (3)B ．f (e)<f (2)<f (3)C ．f (3)<f (e)<f (2)D ．f (e)<f (3)<f (2)【解析】 因为在定义域(0，＋∞)上，f ′(x )＝12x ＋1x>0，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以有f (2)<f (e)<f (3)．【答案】 A5．(2014·全国卷Ⅱ)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)【解析】 由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增⇔f ′(x )＝k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立．由于k ≥1x ，而0<1x <1，所以k ≥1.即k 的取值范围为[1，＋∞)．【答案】 D二、填空题6．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1，2)，则b ＝________，c ＝________. 【导学号：26160084】【解析】 f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知－1<x <2是不等式f ′(x )<0的解，即－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根，把－1,2分别代入方程，解得b ＝－32，c ＝－6.【答案】 －32 －67．函数y ＝ax 3－1在(－∞，＋∞)上是减函数，则a 的取值范围为________．【解析】 y ′＝3ax 2≤0恒成立，解得a ≤0.而a ＝0时，y ＝－1，不是减函数，∴a <0.【答案】 a <08．在下列命题中，真命题是________．(填序号)①若f (x )在(a ，b )内是增函数，则对任意x ∈(a ，b )，都应有f ′(x )>0； ②若在(a ，b )内f ′(x )存在，则f (x )必为单调函数；③若在(a ，b )内对任意x 都有f ′(x )>0，则f (x )在(a ，b )内是增函数； ④若可导函数在(a ，b )内有f ′(x )<0，则在(a ，b )内有f (x )<0.【解析】 对于①，可以存在x 0，使f ′(x 0)＝0不影响区间内函数的单调性；对于②，导数f ′(x )符号不确定，函数不一定是单调函数；对于④，f ′(x )<0只能得到f (x )单调递减．【答案】 ③三、解答题9．求下列函数的单调区间：(1)f (x )＝12x ＋sin x ，x ∈(0,2π)；(2)f (x )＝2x －ln x .【解】 (1)∵f ′(x )＝12＋cos x ，令f ′(x )>0，得12＋cos x >0，即cos x >－12.又∵x ∈(0,2π)，∴0<x <23π或43π<x <2π.同理，令f ′(x )<0，得23π<x <43π.∴该函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23π，⎝ ⎛⎭⎪⎫43π，2π； 单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫23π，43π. (2)函数的定义域为(0，＋∞)，其导函数为f ′(x )＝2－1x .令2－1x >0，解得x >12；令2－1x <0，解得0<x <12，∴该函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 10．若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)内为减函数，在区间(6，＋∞)内为增函数，试求实数a 的取值范围．【解】 函数求导得f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1＝(x －1)[x －(a －1)]，令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝a －1.因为函数在区间(1,4)内为减函数，所以当x ∈(1,4)时，f ′(x )≤0，又因为函数在区间(6，＋∞)内为增函数，所以当x ∈(6，＋∞)时，f ′(x )≥0，所以4≤a －1≤6，所以5≤a ≤7，即实数a 的取值范围为[5,7]．[能力提升]1．已知函数y＝xf′(x)的图象如图3－3－5所示，下面四个图象中能大致表示y＝f(x)的图象的是()图3－3－5【解析】由题图可知，当x<－1时，xf′(x)<0，所以f′(x)>0，此时原函数为增函数，图象应是上升的；当－1<x<0时，xf′(x)>0，所以f′(x)<0，此时原函数为减函数，图象应是下降的；当0<x<1时，xf′(x)<0，所以f′(x)<0，此时原函数为减函数，图象应是下降的；当x>1时，xf′(x)>0，所以f′(x)>0，此时原函数为增函数，图象应是上升的，由上述分析，可知选C.【答案】 C2．设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f′(x)＞g′(x)，则当a＜x＜b 时，有() 【导学号：26160085】A．f(x)＞g(x)B．f(x)＜g(x)C．f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)D ．f (x )＋g (b )＞g (x )＋f (b )【解析】 ∵f ′(x )－g ′(x )＞0，∴(f (x )－g (x ))′＞0，∴f (x )－g (x )在[a ，b ]上是增函数，∴当a ＜x ＜b 时，f (x )－g (x )＞f (a )－g (a )，∴f (x )＋g (a )＞g (x )＋f (a )．故选C.【答案】 C3．若函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x 存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是________．【解析】 f ′(x )＝1x －ax －2＝－ax 2＋2x －1x. 因为函数f (x )存在单调递减区间，所以f ′(x )≤0有解．又因为函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．所以ax 2＋2x －1≥0在(0，＋∞)内有解．①当a >0时，y ＝ax 2＋2x －1为开口向上的抛物线，ax 2＋2x －1≥0在(0，＋∞)内恒有解；②当a <0时，y ＝ax 2＋2x －1为开口向下的抛物线，若ax 2＋2x －1≥0在(0，＋∞)内恒有解，则⎩⎨⎧ Δ＝4＋4a ≥0，x ＝－1a >0，解得－1≤a <0； ③当a ＝0时，显然符合题意．综合上述，a 的取值范围是[－1，＋∞)．【答案】 [－1，＋∞)4．已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)若f (x )在R 上单调递增，求a 的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由；(3)证明：f(x)＝x3－ax－1的图象不可能总在直线y＝a的上方．【解】(1)f′(x)＝3x2－a，∵3x2－a≥0在R上恒成立，即a≤3x2在R上恒成立，又∵y＝3x2≥0，∴当a≤0时，f(x)＝x3－ax－1在R 上是增函数，又a＝0时，f′(x)＝3x2不恒为0，∴a≤0.(2)∵3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，∴a≥3x2在(－1，1)上恒成立．但当x∈(－1，1)时，0≤3x2<3，∴a≥3，即当a≥3时，f(x)在(－1,1)上单调递减．(3)证明：取x＝－1，得f(－1)＝a－2<a，即存在点(－1，a－2)在f(x)＝x3－ax－1的图象上，且在直线y＝a的下方．。
高中数学人教A版选修1-1 第三章导数及其应用 学业分层测评16 Word版含答案
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．函数y＝f(x)的图象如图3－3－4所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是()图3－3－4【解析】由函数y＝f(x)的图象可知，在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上，函数f(x)均为减函数，故在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上，f′(x)均小于0，故选D.【答案】 D2．函数f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上()A．是增函数 B．是减函数C．有最大值D．有最小值【解析】∵cos x≤1，∴f′(x)＝2－cos x>0恒成立，∴f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．【答案】 A3．函数y ＝(3－x 2)e x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－3)和(1，＋∞)D ．(－3,1)【解析】 y ′＝－2x e x ＋(3－x 2)e x ＝(－x 2－2x ＋3)e x ，令(－x 2－2x ＋3)e x >0，由于e x >0，则－x 2－2x ＋3>0，解得－3<x <1，所以函数的单调递增区间是(－3,1)．【答案】 D4．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( )A ．f (2)<f (e)<f (3)B ．f (e)<f (2)<f (3)C ．f (3)<f (e)<f (2)D ．f (e)<f (3)<f (2)【解析】 因为在定义域(0，＋∞)上，f ′(x )＝12x ＋1x>0，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以有f (2)<f (e)<f (3)．【答案】 A5．(2014·全国卷Ⅱ)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)【解析】 由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增⇔f ′(x )＝k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立．由于k ≥1x ，而0<1x <1，所以k ≥1.即k 的取值范围为[1，＋∞)．【答案】 D二、填空题6．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1，2)，则b ＝________，c ＝________. 【导学号：26160084】【解析】 f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知－1<x <2是不等式f ′(x )<0的解，即－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根，把－1,2分别代入方程，解得b ＝－32，c ＝－6.【答案】 －32 －67．函数y ＝ax 3－1在(－∞，＋∞)上是减函数，则a 的取值范围为________．【解析】 y ′＝3ax 2≤0恒成立，解得a ≤0.而a ＝0时，y ＝－1，不是减函数，∴a <0.【答案】 a <08．在下列命题中，真命题是________．(填序号)①若f (x )在(a ，b )内是增函数，则对任意x ∈(a ，b )，都应有f ′(x )>0； ②若在(a ，b )内f ′(x )存在，则f (x )必为单调函数；③若在(a ，b )内对任意x 都有f ′(x )>0，则f (x )在(a ，b )内是增函数； ④若可导函数在(a ，b )内有f ′(x )<0，则在(a ，b )内有f (x )<0.【解析】 对于①，可以存在x 0，使f ′(x 0)＝0不影响区间内函数的单调性；对于②，导数f ′(x )符号不确定，函数不一定是单调函数；对于④，f ′(x )<0只能得到f (x )单调递减．【答案】 ③三、解答题9．求下列函数的单调区间：(1)f (x )＝12x ＋sin x ，x ∈(0,2π)；(2)f (x )＝2x －ln x .【解】 (1)∵f ′(x )＝12＋cos x ，令f ′(x )>0，得12＋cos x >0，即cos x >－12.又∵x ∈(0,2π)，∴0<x <23π或43π<x <2π.同理，令f ′(x )<0，得23π<x <43π.∴该函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23π，⎝ ⎛⎭⎪⎫43π，2π； 单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫23π，43π. (2)函数的定义域为(0，＋∞)，其导函数为f ′(x )＝2－1x .令2－1x >0，解得x >12；令2－1x <0，解得0<x <12，∴该函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 10．若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)内为减函数，在区间(6，＋∞)内为增函数，试求实数a 的取值范围．【解】 函数求导得f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1＝(x －1)[x －(a －1)]，令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝a －1.因为函数在区间(1,4)内为减函数，所以当x ∈(1,4)时，f ′(x )≤0，又因为函数在区间(6，＋∞)内为增函数，所以当x ∈(6，＋∞)时，f ′(x )≥0，所以4≤a －1≤6，所以5≤a ≤7，即实数a 的取值范围为[5,7]．[能力提升]1．已知函数y＝xf′(x)的图象如图3－3－5所示，下面四个图象中能大致表示y＝f(x)的图象的是()图3－3－5【解析】由题图可知，当x<－1时，xf′(x)<0，所以f′(x)>0，此时原函数为增函数，图象应是上升的；当－1<x<0时，xf′(x)>0，所以f′(x)<0，此时原函数为减函数，图象应是下降的；当0<x<1时，xf′(x)<0，所以f′(x)<0，此时原函数为减函数，图象应是下降的；当x>1时，xf′(x)>0，所以f′(x)>0，此时原函数为增函数，图象应是上升的，由上述分析，可知选C.【答案】 C2．设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f′(x)＞g′(x)，则当a＜x＜b 时，有() 【导学号：26160085】A．f(x)＞g(x)B．f(x)＜g(x)C．f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)D ．f (x )＋g (b )＞g (x )＋f (b )【解析】 ∵f ′(x )－g ′(x )＞0，∴(f (x )－g (x ))′＞0，∴f (x )－g (x )在[a ，b ]上是增函数，∴当a ＜x ＜b 时，f (x )－g (x )＞f (a )－g (a )，∴f (x )＋g (a )＞g (x )＋f (a )．故选C.【答案】 C3．若函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x 存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是________．【解析】 f ′(x )＝1x －ax －2＝－ax 2＋2x －1x. 因为函数f (x )存在单调递减区间，所以f ′(x )≤0有解．又因为函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．所以ax 2＋2x －1≥0在(0，＋∞)内有解．①当a >0时，y ＝ax 2＋2x －1为开口向上的抛物线，ax 2＋2x －1≥0在(0，＋∞)内恒有解；②当a <0时，y ＝ax 2＋2x －1为开口向下的抛物线，若ax 2＋2x －1≥0在(0，＋∞)内恒有解，则⎩⎨⎧ Δ＝4＋4a ≥0，x ＝－1a >0，解得－1≤a <0； ③当a ＝0时，显然符合题意．综合上述，a 的取值范围是[－1，＋∞)．【答案】 [－1，＋∞)4．已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)若f (x )在R 上单调递增，求a 的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由；(3)证明：f(x)＝x3－ax－1的图象不可能总在直线y＝a的上方．【解】(1)f′(x)＝3x2－a，∵3x2－a≥0在R上恒成立，即a≤3x2在R上恒成立，又∵y＝3x2≥0，∴当a≤0时，f(x)＝x3－ax－1在R 上是增函数，又a＝0时，f′(x)＝3x2不恒为0，∴a≤0.(2)∵3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，∴a≥3x2在(－1，1)上恒成立．但当x∈(－1，1)时，0≤3x2<3，∴a≥3，即当a≥3时，f(x)在(－1,1)上单调递减．(3)证明：取x＝－1，得f(－1)＝a－2<a，即存在点(－1，a－2)在f(x)＝x3－ax－1的图象上，且在直线y＝a的下方．。
[精品]新人教A版选修1-1高中数学第三章导数及其应用分层测评15和答案
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学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x ＋1D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x 【解析】 ∵y ＝sin x ＋cos x ，∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x ．故选D. 【答案】 D2．函数y ＝(x ＋1)(x －1)的导数等于( ) A ．1 B ．－12xC.12xD ．－14x【解析】 因为y ＝(x ＋1)(x －1)＝x －1，所以y ′＝x ′－1′＝1.【答案】 A 3．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋2【解析】 ∵y ′＝x x ＋－x x ＋x ＋2＝2x ＋2，∴k ＝y ′|x ＝－1＝2－1＋2＝2，∴切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)， 即y ＝2x ＋1.故选A. 【答案】 A4．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D.12【解析】 因为y ′＝x 2－3x ，所以由导数的几何意义可知，x 2－3x＝12，解得x ＝3(x ＝－2不合题意，舍去)． 【答案】 A5．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．不确定【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则3x 20＝1，得x 0＝±33，即在点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫33，39和点⎝⎛⎭⎪⎪⎫－33，－39处有斜率为1的切线．故选B.【答案】 B 二、填空题6．已知f (x )＝52x 2，g (x )＝x 3，若f ′(x )－g ′(x )＝－2，则x ＝________.【导学号：26160079】【解析】 因为f ′(x )＝5x ，g ′(x )＝3x 2，所以5x －3x 2＝－2，解得x 1＝－13，x 2＝2.【答案】 －13或27．若曲线y ＝x －12 在点(a ，a －12 )处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝________.【解析】 ∵y ＝x －12 ，∴y ′＝－12x －32 ，∴曲线在点(a ，a －12 )处的切线斜率k ＝－12a －32 ，∴切线方程为y －a －12 ＝－12a －32 (x －a )．令x ＝0得y ＝32a －12 ；令y ＝0得x ＝3a .∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12·3a ·32 a －12 ＝94a 12 ＝18，∴a ＝64. 【答案】 648．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________．【解析】 ∵f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4×22＋22，得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2－1.∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1.【答案】 1 三、解答题9．求下列函数的导数： (1)y ＝(x ＋1)2(x －1)； (2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝e x ＋1e x －1.【解】 (1)法一：y ′＝[(x ＋1)2]′(x －1)＋(x ＋1)2(x －1)′＝2(x ＋1)(x －1)＋(x ＋1)2＝3x 2＋2x －1.法二：y ＝(x 2＋2x ＋1)(x －1)＝x 3＋x 2－x －1，y ′＝(x 3＋x 2－x －1)′＝3x 2＋2x －1.(2)y ′＝(x 2sin x )′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x .(3)y ′＝x＋x－－x＋x－x －2＝e x x－－x＋xx －2＝－2e x x －2.10．设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R .求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程．【解】 因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1， 所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，又f ′(1)＝2a ， 所以3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3.令x ＝2，得f ′(2)＝12＋4a ＋b ，又f ′(2)＝－b ，所以12＋4a＋b ＝－b ，解得a ＝－32.所以f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，从而f (1)＝－52.又f ′(1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为：y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.[能力提升]1．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A. 1eB ．－1eC ．－eD ．e【解析】y ′＝e x，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，y 0＝e x 0，k ＝e x 0，∴e x 0＝e x 0·x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e.故选D. 【答案】 D2．若f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 016(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x【解析】 因为f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ，f 5(x )＝(sin x )′＝cos x ，所以循环周期为4，因此f 2 016(x )＝f 4(x )＝sin x .【答案】 A3．已知f (x )＝x (x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)(x ＋5)＋6，则f ′(0)＝________.【解析】 因为f (x )＝x (x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)(x ＋5)＋6， 所以f ′(x )＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)(x ＋5)＋x (x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)(x ＋5)＋x (x ＋1)(x ＋3)(x ＋4)·(x ＋5)＋x (x ＋1)(x ＋2)(x ＋4)(x ＋5)＋x (x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋5)＋x (x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)，所以f ′(0)＝1×2×3×4×5＝120. 【答案】 1204．设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)求证：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值. 【导学号：26160080】【解】 (1)7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx 2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)证明：设点P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2可知曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线方程为：y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y－⎝⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0·|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。
高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.2导数的概念课时作业(含解析)新人教A版
课时作业22一、选择题 1．在f ′(x 0)＝lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx中，Δx 不可能( )A. 大于0B. 小于0C. 等于0D. 大于0或小于0解析：由导数定义知Δx 只是无限趋近于0，故选C. 答案：C2．设f (x )在x ＝x 0处可导，则lim Δx →0 f x 0－Δx －f x 0Δx等于( )A ．－f ′(x 0)B ．f ′(－x 0)C ．f ′(x 0)D ．2f ′(x 0)解析：lim Δx →0 f x 0－Δx －f x 0Δx＝lim Δx →0－f x 0－f x 0－ΔxΔx＝－lim Δx →0 f x 0－f x 0－ΔxΔx＝－f ′(x 0)．答案：A3．设函数f (x )在点x 0处附近有定义，且f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A. f ′(x 0)＝－aB. f ′(x 0)＝－bC. f ′(x 0)＝aD. f ′(x 0)＝b解析：∵f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2， ∴f x 0＋Δx －f x 0Δx＝a ＋b ·Δx .∴lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝lim Δx →0 (a ＋b ·Δx )． ∴f ′(x 0)＝a .故选C. 答案：C4．一物体的运动方程是s ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是( )A ．at 0B ．－at 0C.12at 0 D ．2at 0解析：∵Δs Δt ＝st 0＋Δt －s t 0Δt ＝12a Δt ＋at 0，∴lim Δt →0 Δs Δt ＝at 0. 答案：A 二、填空题5．过曲线y ＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为__________． 解析：由平均变化率的几何意义知k ＝2－11－0＝1.答案：16．已知f (x )＝2x，则lim x →afx －f ax －a＝________.解析：令x －a ＝Δx ，则x ＝a ＋Δx ， lim x →af x －f a x －a ＝lim Δx →0 f a ＋Δx －f aΔx＝lim Δx →0 2a ＋Δx －2a Δx ＝lim Δx →0 －2a a ＋Δx ＝－2a 2. 答案：－2a27．已知f (x )＝1x ，且f ′(m )＝－116，则f (m )＝________.解析：∵f (x )＝1x，∴f ′(m )＝lim Δx →0f m ＋Δx －f mΔx＝lim Δx →0 1m ＋Δx －1m Δx ＝lim Δx →0 －1m m ＋Δx ＝－1m 2. 又f ′(m )＝－116，∴－1m 2＝－116.∴m ＝±4.∴f (m )＝1m ＝±14.答案：±14三、解答题8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥01＋x 2，x <0，求f ′(1)·f ′(－1)的值．解：当x ＝1时，Δy Δx ＝f＋Δx －fΔx＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1.由导数的定义，得f ′(1)＝lim Δx →0 11＋Δx ＋1＝12.当x ＝－1时，ΔyΔx＝f －1＋Δx －f －Δx＝1＋－1＋Δx 2－1－－2Δx＝Δx －2.由导数的定义，得f ′(－1)＝lim Δx →0 (Δx －2)＝－2. 所以f ′(1)·f ′(－1)＝12×(－2)＝－1.9．高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)之间的关系式为h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，求运动员在t ＝6598 s 时的瞬时速度，并解释此时的运动状况．解：令t 0＝6598，Δt 为增量．则h t 0＋Δt －h t 0Δt＝－t 0＋Δt2＋t 0＋Δt ＋10＋4.9t 20－6.5t 0－10Δt＝－4.9Δtt 0＋Δt ＋6.5ΔtΔt＝－4.9(6549＋Δt )＋6.5.∴lim Δt →0h t 0＋Δt －h t 0Δt ＝lim Δt →0[－4.9(6549＋Δt )＋6.5]＝0， 即运动员在t 0＝6598 s 时的瞬时速度为0 m/s.说明运动员处于跳水运动中离水面最高点处．。
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【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第三章导数及其应用学业分层测评18 函数的最大(小)值与导数新人教A版选修1-1(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列是函数f(x)在[a，b]上的图象，则f(x)在(a，b)上无最大值的是( )【解析】在开区间(a，b)上，只有D选项中的函数f(x)无最大值．【答案】 D2．函数f(x)＝2x＋1x，x∈(0,5]的最小值为( )A．2 B．3C.174D．22＋12【解析】由f′(x)＝1x－1x2＝x32－1x2＝0，得x＝1，且x∈(0,1]时，f′(x)<0；x∈(1,5]时，f′(x)>0，∴x＝1时，f(x)最小，最小值为f(1)＝3.【答案】 B3．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值为M，最小值为m，则M－m的值为( )A．2 B．－4C．4 D．－2【解析】f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.因为f(0)＝2，f(－1)＝－2，f(1)＝0，所以M＝2，m＝－2.所以M－m＝4.【答案】 C4．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为( )A．0≤a＜1 B．0＜a＜1C ．－1＜a ＜1D ．0＜a ＜12【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2－3a ，令f ′(x )＝0得x 2＝a . ∴x ＝±a .又∵f (x )在(0,1)内有最小值， ∴0＜a ＜1，∴0＜a ＜1.故选B. 【答案】 B5．已知函数f (x )＝ax 3＋c ，且f ′(1)＝6，函数在[1,2]上的最大值为20，则c 的值为( )A ．1B ．4C ．－1D ．0【解析】 ∵f ′(x )＝3ax 2， ∴f ′(1)＝3a ＝6，∴a ＝2.当x ∈[1,2]时，f ′(x )＝6x 2＞0，即f (x )在[1,2]上是增函数， ∴f (x )max ＝f (2)＝2×23＋c ＝20， ∴c ＝4. 【答案】 B 二、填空题6．函数f (x )＝3x＋sin x 在x ∈[0，π]上的最小值为________． 【解析】 f ′(x )＝3xln 3＋cos x .∵x ∈[0，π]时，3xln 3＞1，－1≤cos x ≤1， ∴f ′(x )＞0.∴f (x )递增，∴f (x )min ＝f (0)＝1. 【答案】 17．已知函数f (x )＝x 3－32ax 2＋b (a ，b 为实数，且a ＞1)在区间[－1,1]上的最大值为1，最小值为－1，则a ＝________，b ＝________.【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2－3ax ＝3x (x －a )， 令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝a . ∵a ＞1，∴当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：f (－1)＝－3a 2，f (1)＝2－3a2，f (－1)＜f (1)，∴－3a 2＝－1，∴a ＝23.【答案】 2318．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对任意的x ∈(0,1]都有f (x )≥0成立，则实数a 的取值范围为________. 【导学号：26160094】【解析】 ∵x ∈(0,1]， ∴f (x )≥0可化为a ≥3x 2－1x3.设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3 1－2xx4. 令g ′(x )＝0，得x ＝12.当 0<x <12时，g ′(x )>0；当12<x ≤1时，g ′(x )<0. ∴g (x )在(0,1]上有极大值g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4， 它也是最大值，故a ≥4. 【答案】 [4，＋∞) 三、解答题9．求下列各函数的最值．(1)f (x )＝x 3－3x 2＋6x －2，x ∈[－1,1]； (2)y ＝5－36x ＋3x 2＋4x 3，x ∈(－2,2)．【解】 (1)f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x 2－2x ＋2)＝3(x －1)2＋3， ∵f ′(x )在[－1,1]内恒大于0， ∴f ′(x )在[－1,1]上为增函数． 故x ＝－1时，f (x )最小值＝－12；x ＝1时，f (x )最大值＝2.即f (x )的最小值为－12，最大值为2.(2)y ′＝－36＋6x ＋12x 2，令y ′＝0，即12x 2＋6x －36＝0，解得x 1＝32，x 2＝－2(舍去)．当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－2，32时，f ′(x )＜0，函数单调递减； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2时，f ′(x )＞0，函数单调递增． ∴函数f (x )在x ＝32时取得极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－2834，无极大值，即在(－2,2)上函数f (x )的最小值为－2834，无最大值．10．设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .(1)若f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围； (2)当0<a <2时，f (x )在[1,4]上的最小值为－163，求f (x )在该区间上的最大值．【解】 由f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a ，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a ；令29＋2a >0，得a >－19.所以，当a >－19时，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间．(2)令f ′(x )＝0，得两根x 1＝1－1＋8a 2，x 2＝1＋1＋8a2. 所以f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增． 当0<a <2时，有x 1<1<x 2<4，所以f (x )在[1,4]上的最大值为f (x 2)． 又f (4)－f (1)＝－272＋6a <0，即f (4)<f (1)，所以f (x )在[1,4]上的最小值为f (4)＝8a －403＝－163，得a ＝1，x 2＝2，从而f (x )在[1,4]上的最大值为f (2)＝103.[能力提升]1．已知函数f (x )、g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上连续且f ′(x )<g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为( )A ．f (a )－g (a )B ．f (b )－g (b )C ．f (a )－g (b )D ．f (b )－g (a )【解析】 令u (x )＝f (x )－g (x )， 则u ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )<0， ∴u (x )在[a ，b ]上为减函数，∴u (x )在[a ，b ]上的最大值为u (a )＝f (a )－g (a )． 【答案】 A2．设动直线x ＝m 与函数f (x )＝x 3，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则|MN |的最小值为( )A.13(1＋ln 3) B.13ln 3 C ．1＋ln 3D ．ln 3－1【解析】 由题意知，|MN |＝|x 3－ln x |.设h (x )＝x 3－ln x ，h ′(x )＝3x 2－1x，令h ′(x )＝0，得x ＝313，易知，当x ＝313时，h (x )取得最小值，h (x )min ＝13－13ln 13＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－ln 13>0，故|MN |min ＝13⎝⎛⎭⎪⎫1－ln 13＝13(1＋ln 3)．【答案】 A3．已知函数f (x )＝2ln x ＋ax2(a >0)，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )≥2恒成立，则实数a 的取值范围是________. 【导学号：26160095】【解析】 由f (x )≥2，得a ≥2x 2－2x 2ln x . 设g (x )＝2x 2－2x 2ln x ， 则g ′(x )＝2x (1－2ln x )，令g ′(x )＝0，得x ＝e 12 或x ＝0(舍去)，因为当0<x <e 12 时，g ′(x )>0；当x >e 12 时，g ′(x )<0. 所以当x ＝e 12 时，g (x )取得最大值g (e 12 )＝e ，故a ≥e. 【答案】 a ≥e4．设23＜a ＜1，函数f (x )＝x 3－32ax 2＋b (－1≤x ≤1)的最大值为1，最小值为－62，求常数a ，b 的值．【解】 令f ′(x )＝3x 2－3ax ＝0，得x 1＝0，x 2＝a . 由题意可知当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：而f (0)＞f (a )，f (1)＞f (－1)，故需比较f (0)与f (1)的大小． 因为f (0)－f (1)＝32a －1＞0，所以f (x )的最大值为f (0)＝b ，所以b ＝1， 又f (－1)－f (a )＝12(a ＋1)2(a －2)＜0，所以f (x )的最小值为f (－1)＝－1－32a ＋b ＝－32a ，所以－32a ＝－62，所以a ＝63.综上，a ＝63，b ＝1.。