三年高考2013_2015高考数学试题分项版专题05平面向量理(含解析)

第五章 平面向量一、选择题1. 【2014，安徽理10】在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,,1,0,a b a b a b ==⋅=点Q 满足2()OQ a b =+．曲线{cos sin ,02}C P OP a b θθθπ==+≤≤，区域{0,}P r PQ R r R Ω=<≤≤<．若C Ω为两段分离的曲线，则( )A ．13r R <<<B ．13r R <<≤C ．13r R ≤<<D ．13r R <<< 【答案】A ．【名师点睛】对于平面向量应用性问题，常常要利用向量的坐标运算，当题中出现明显的垂直和特征长度特征，优先考虑建立平面直角坐标系，用图形表示出要题中给定的条件，再利用几何意义进行求解.尤其要与平面几何结合考虑.2．【2015高考安徽，理8】C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2a AB =，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（ ）（A ）1b = （B ）a b ⊥ （C ）1a b ⋅= （D ）()4C a b +⊥B 【答案】D【名师点睛】平面向量问题中，向量的线性运算和数量积是高频考点.当出现线性运算问题时，注意两个向量的差OA OB BA -=，这是一个易错点，两个向量的和2OA OB OD +=（D 点是AB 的中点）.另外，要选好基底向量，如本题就要灵活使用向量,AB AC ，当涉及到向量数量积时，要记熟向量数量积的公式、坐标公式、几何意义等. 3. 【2013，安徽理9】在平面直角坐标系中，o 是坐标原点，两定点,A B 满足2,OA OB OA OB ===则点集,1,,|P OP OA OB R λμλμλμ==++≤∈所表示的区域的面积是 （ ）A．．． ．【答案】D ． 【解析】方法一：由2,OA OB OA OB ===得1cos ,2OA OB OA OB OA OB⋅==，所以,OA OB 的夹角是60°．设(),P x y ，A （2，0），则(B ，所以由OP OA OB λμ=+得2x y λμ=+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得12x λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入1λμ+≤得112x ≤．等价于0112y x ⎧≤≤⎪⎨+≤⎪⎩或0112y y x ⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪⎪≤⎪⎩或0112y y x ⎧⎪≥⎪⎪≥⎨⎪⎪-+≤⎪⎩或0112y x ⎧≥≥⎪⎨-+≤⎪⎩，对应的平面区域是一个以(((),(2,0),1,,2,0--为顶点的矩形，边长分别是2和，所以面积为D ． 方法二：考察三点共线向量知识:1,,,,=++=μλμλ其中是线外一点则三点共线若P C B A ．32cos 4cos ||||πθθθ=⇒==⋅⋅=⋅．建立直角坐标系，设A(2，0)，).(10,0).31(含边界内在三角形时，，则当OAB P B ≤+≥≥μλμλ344=⨯=的面积三角形的面积根据对称性，所求区域OAB S ，所以选D ．【命题立意】考查向量的运算以及不等式组对应的平面区域．【名师点睛】要解决好本题，需要熟知平面向量中的一个结论.,A B 两点确定一条直线AB ，P 是线外一点，若PC PA PB λμ=+且1λμ+=，则C 点在直线AB 上；若PC PA PB λμ=+且1λμ+<，则C 点在直线AB 与P 点构成的区域内；若PC PA PB λμ=+且1λμ+>，则C 点在直线AB 与P 点构成的区域外，并与P 点分别在直线AB 两侧.4.【 2013湖南6】已知,a b 是单位向量，0a b =r rg .若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是r r r rA．⎤⎦B．⎤⎦C．1⎡⎤⎣⎦D．1⎡⎤⎣⎦【答案】 A 【解析】的向量与即一个模为单位2.1|-)(||-|,2||向量，是,=+=-=+∴ 的模为1，可以在单位圆中解得12||1-2+≤≤c 。

选A【名师点睛】本题考查平面向量的数量积运算，解决问题的关键是根据题意作出图象，数形结合是解决本题的有力工具．5.【2015高考山东，理4】已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=,则BD CD ⋅=（ ） （A ）232a - （B ）234a - （C ） 234a （D ） 232a【答案】D【名师点睛】本题考查了平面向量的基础知识，重点考查学生对平面向量的线性运算和数量积的理解与掌握，属基础题，要注意结合图形的性质，灵活运用向量的运算解决问题. 6. 【2015高考陕西，理7】对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是（ ） A ．||||||a b a b ⋅≤ B ．||||||||a b a b -≤- C ．22()||a b a b +=+ D ．22()()a b a b a b +-=- 【答案】B【考点定位】1、向量的模；2、向量的数量积．【名师点晴】本题主要考查的是向量的模和向量的数量积，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“不”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是向量的模和向量的数量积，即cos ,a b a b a b ⋅=，22a a =．7. 【2014新课标，理3】设向量a,b 满足|a+b |a-b a ⋅b = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】A【解析】因为22||()a b a b +=+=r u r r r 222a b a b ++⋅r r r r=10，22||()a b a b -=-=r u r r r 2226a b a b +-⋅=r r r r ，两式相加得：228a b +=r r ，所以1a b ⋅=r r ，故选A.【考点定位】向量的数量积.【名师点睛】本题主要考查了向量数量积运算，本题属于基础题，解决本题的关健在于掌握向量的模与向量数量积之间的关系，还有就是熟练掌握数量积的运算性质与运算律. 8. 【2014四川，理7】平面向量(1,2)a =，(4,2)b =，c ma b =+（m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 【答案】 D.【名师点睛】本题考查两向量的夹角，涉及到向量的模，向量的数量积等知识，体现了数学问题的综合性，考查学生运算求解能力，综合运用能力.9. 【2015高考四川，理7】设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =.若点M ，N 满足3BM MC =，2DN NC =，则AM NM ⋅=（ ） （A ）20 （B ）15 （C ）9 （D ）6 【答案】C【名师点睛】涉及图形的向量运算问题，一般应选两个向量作为基底，选基底的原则是这两个向量有尽量多的已知元素.本题中，由于6AB =，4AD =故可选,AB AD 作为基底. 10. 【2015高考新课标1，理7】设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =，则（ ） （A ）1433AD AB AC =-+ (B)1433AD AB AC =- （C ）4133AD AB AC =+ (D)4133AD AB AC =- 【答案】A【解析】由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-==1433AB AC -+，故选A.【考点定位】平面向量的线性运算【名师点睛】本题以三角形为载体考查了平面向量的加法、减法及实数与向量的积的法则与运算性质，是基础题，解答本题的关键是结合图形会利用向量加法将向量AD 表示为AC CD +，再用已知条件和向量减法将CD 用,AB AC 表示出来.11.【2013年.浙江卷.理7】设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB ·PC ≥0P B ·0PC ，则( )． A ．∠ABC ＝90° B．∠BAC ＝90° C ．AB ＝AC D ．AC ＝BC 【答案】：D由二次函数的性质可知：2142AB BC AB ⋅-=， 即：AB -·BC ＝122AB ， ∴AB ·12AB BC ⎛⎫+⎪⎝⎭＝0. 取AB 中点M ，则12AB ＋BC ＝MB ＋BC ＝MC ，∴AB ·MC ＝0，即AB ⊥MC ． ∴AC ＝BC ．故选D ．【考点定位】平面向量数量积运算【名师点睛】本题主要考查了平面向量的运算，向量的模及向量的数量积的概念，向量运算的几何意义的应用，还考查了利用向量解决简单的几何问题的能力；向量线性运算的解题策略：(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．两个结论：(1)P 为线段AB 的中点⇔OP ＝12(OA ＋OB )；(2)G 为△ABC 的重心⇔GA ＋GB ＋GC ＝0.12. 【2014年.浙江卷.理8】记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x yx y x x y ≥⎧=⎨<⎩，设,a b 为平面向量，则（ ）A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+ D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+答案：Ｄ【名师点睛】本题在处理时要结合着向量加减法的几何意义，将 a b a b a b +-，，， 放在同一个平行四边形中进行比较判断，在具体解题时，本题采用了排除法，对错误选项进行举反例说明，这是高考中做选择题的常用方法，也不失为一种快速有效的方法，在高考选择题的处理上，未必每一题都要写出具体解答步骤，针对选择题的特点，有时“排除法”，“确定法”，“特殊值”代入法等也许是一种更快速，更有 有效的方法.13. 【2013高考重庆理第10题】在平面上，1AB ⊥2AB ，|1OB |＝|2OB |＝1，AP ＝1AB ＋2AB .若|OP |＜12，则|OA |的取值范围是( )．A ．0,2⎛ ⎝⎦B ．22⎛⎝⎦C ．⎝D ．⎝【答案】D【考点定位】向量的模【名师点睛】本题考查了平面向量的应用问题，也考查了不等式的应用问题，属于较难的题目，此题应用坐标法，将向量模的问题转化为点的坐标来加以解决．14. 【2014高考重庆理第4题】已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===，且(23)a b c-⊥，则实数k =（ ）9.2A -.0B .C 3 D.152【答案】C 【解析】试题分析：因为()(),3,1,4,a k b ==所以()2323,6a b k -=--又因为()23a b c -⊥，所以，()230a b c -⋅=，所以，()()22360k -+-=，解得：3k = 故选C.考点：1、平面向量的坐标运算；2、平面向量的数量积.【名师点睛】本题考查了向量的坐标运算，向量的数量积，向量垂直的条件，属于基础题，利用向量垂直的条件的坐标条件可将两向量垂直的条件转化为所求实数k 的方程，解之即得结果.15. 【2015高考重庆，理6】若非零向量a ，b 满足|a |=3|b |，且（a -b ）⊥（3a +2b ），则a 与b 的夹角为 （ ） A 、4π B 、2π C 、34π D 、π【答案】A【名师点晴】本题考查两向量的夹角，涉及到向量的模，向量的垂直，向量的数量积等知识，体现了数学问题的综合性，考查学生运算求解能力，综合运用能力.16. 【2014高考广东卷.理.5】已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60的是( )A .()1,1,0-B .()1,1,0-C .()0,1,1-D .()1,0,1-【答案】B【解析】对于A 选项中的向量()11,0,1a =-，1111cos ,22a a a a a a ⋅===-⋅⋅，则1,120a a =；对于B 选项中的向量()21,1,0a =-，2221cos,22a a a a a a ⋅===⋅⋅，则2,60a a =； 对于C 选项中的向量()30,1,1a =-，2321cos ,22a a a a a a ⋅===-⋅⋅，则2,120a a =；对于D 选项中的向量()41,0,1a =-，此时4a a =-，两向量的夹角为180.故选B . 【考点定位】本题考查空间向量数量积与空间向量的坐标运算，属于基础题.【名师点晴】本题主要考查的是空间向量数量积的坐标运算，属于中等题．解题时要抓住关键字眼“成60”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是空间向量数量积的坐标运算，即若()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，则cos ,a b =．17.【2014天津，理8】已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ?，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE BC l =，DF DC m =．若1AE AF?，23CE CF?-，则l m += （ ） （A ）12 （B ）23 （C ）56 （D ）712【答案】C ．【名师点睛】本题考查平面向量的有关知识及及向量运算，运用向量的加法、减法正确表示向量，利用向量的数量积求值，本题属于基础题.解决向量问题有两种方法，第一种是本题的做法，借助向量的几何意义，利用加法、减法、数乘、数量积运算，借助模运算解题，另一种方法是建立适当的平面直角坐标系，利用向量的坐标运算解题.18.【2013湖北卷7】已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）A B C ．D ．【答案】A 【解析】试题分析：因为AB ＝(2,1)，CD ＝(5,5)，所以向量AB 在CD 方向上的投影为|AB |cos〈AB ，CD 〉＝2AB CD AB CD AB AB CDCD⋅⋅⋅===.故选A.考点：向量的坐标运算，向量的投影.【名师点睛】将向量的坐标表示和数量积的定义及运算联系起来，综合考查平面向量知识，扎根基础知识，强调教材的重要性，充分体现了教材在高考中的地位和重要性，考查了基本概念、基本规律和基本操作的识记与运用能力.19. 【2014上海,理16】如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，,...)2,1(=i P i 是上底面上其余的八个点，则...)2,1(=⋅→→i AP AB i 的不同值的个数为（ ）（A ）1 (B)2 (C)4 (D)8 【答案】A【解析】如图，AB 与上底面垂直，因此i AB BP ⊥(1,2,)i =，cos 1i i i AB AP AB AP BAP AB AB ⋅=∠=⋅=．【考点】数量积的定义与几何意义． 【名师点睛】向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||b |cos<a ，b>．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解． 20. 【2014上海,理17】已知),(111b a P 与),(222b a P 是直线y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ）（A ）无论k ，21,P P 如何，总是无解 （B)无论k ，21,P P 如何，总有唯一解 （C ）存在k ，21,P P ，使之恰有两解 （D ）存在k ，21,P P ，使之有无穷多解 【答案】B21. 【2013上海,理18】在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记为A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为a 1、a 2、a 3、a 4、a 5；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为d 1、d 2、d 3、d 4、d 5.若m 、M 份别为(a i ＋a j ＋a k )·(d r ＋d s ＋d t )的最小值、最大值，其中{i ，j ，k }⊆{1,2,3,4,5}，{r ，s ，t }⊆{1,2,3,4,5}，则m 、M 满足( )A ．m ＝0，M ＞0B ．m ＜0，M ＞0C ．m ＜0，M ＝0D ．m ＜0，M ＜0【答案】D【解析】作图验证知，只有AF DE ⋅＝AB DC ⋅＞0，其余均有i r a d ⋅≤0，故选D. 【考点定位】新定义问题【名师点睛】新定义问题一般先考察对定义的理解，这时只需一一验证定义中各个条件即可.二是考查满足新定义的函数的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的函数有某些新的性质，这也是在新环境下研究“旧”性质，此时需结合新函数的新性质，探究“旧”性质.三是考查综合分析能力，主要将新性质有机应用在“旧”性质，创造性证明更新的性质. 22.【2014福建,理8】在下列向量组中，可以把向量()2,3=表示出来的是（ ） A.)2,1(),0,0(21==e e B .)2,5(),2,1(21-=-=e e C.)10,6(),5,3(21==e e D.)3,2(),3,2(21-=-=e e 【答案】B 【解析】试题分析：由于平面向量的基本定理可得,不共线的向量都可与作为基底.只有)2,5(),2,1(21-=-=e e 成立.故选B.考点：平面向量的基本定理.【名师点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算及共面向量的基本定理，向量的坐标运算大多以客观题形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要结论是：若()()1122,,,x y x y ==a b ,则,a b 共线的充要条件是12210x y x y -=.23. (2013福建，理7)在四边形ABCD 中，AC ＝(1,2)，BD ＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )．A ．．5 D ．10 【答案】C【名师点睛】高考试题中向量大多以客观题形式出现,可以是容易题,也可以是考查能力的难题,本题是基础题主要考查向量的坐标运算及简单的计算问题.解决此类问题既要准确记忆公式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若()()1122,,,x y x y ==a b ,则22211,x y =+a 1122x y x y ⋅=+a b .24. 【2015高考福建，理9】已知1,,AB AC AB AC t t⊥== ，若P 点是ABC ∆ 所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，则PB PC ⋅ 的最大值等于（ ）A ．13B ．15C ．19D ．21 【答案】A【考点】1、平面向量数量积；2、基本不等式．【名师点睛】本题考查平面向量线性运算和数量积运算，通过构建直角坐标系，使得向量运算完全代数化，实现了数形的紧密结合，同时将数量积的最大值问题转化为函数的最大值问题，本题容易出错的地方是对AB AB的理解不到位，从而导致解题失败．25. (2013辽宁，理3)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB 同方向的单位向量为( )． A ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】与AB 同方向的单位向量为ABAB＝34,55⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选A.【名师点睛】本题考查单位向量概念及平面向量的坐标运算,属于基础题，注意运算的准确性.26. (2013辽宁，理9)已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a ，a3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( )．A ．b ＝a3B ．31b a a =+C ．331()0b a b a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭D ．3310b a b a a -+--=【答案】C【名师点睛】本题考查平面向量的应用、平面向量的数量积及平面向量的坐标运算.由于没有明确三角形的哪个角是直角，故须利用分类讨论思想加以探究.本题是一道能力题，属于中等题，重点考查平面向量的应用、平面向量的数量积及平面向量的坐标运算等基础知识，同时考查考生的计算能力、分类讨论思想及应用数学知识解决问题的能力.27. 【2015湖南理2】已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为(2,0)，则PA PB PC ++的最大值为（ ） A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】B.【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，向量的几何意义以及点到圆上点的距离的最值问题，属于中档题，结合转化思想和数形结合思想求解最值，关键是把向量的模的最值问题转化为点与圆上点的距离的最值问题，即圆221x y +=上的动点到点)0,6(距离的最大值.二、填空题1.【2013高考北京理第13题】向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ=__________.【答案】4 【解析】【名师点睛】本题考查平面向量的有关知识及及向量运算，利用向量相等条件求值，本题属于基础题.利用坐标运算要建立适当的之间坐标系，准确写出相关点的坐标、向量的坐标，利用向量相等，列方程组，解出未知数的值.2. 【2014高考北京理第10题】已知向量a 、b 满足1||=a ，)1,2(=b ，且0b a =+λ（R λ∈），则||λ= . 【答案】5【名师点睛】本题考查平面向量的有关知识及及向量的坐标运算，本题属于基础题.利用向量坐标求向量的模，通过向量的模之间的关系解题，研究平面向量问题要注意两条腿走路，一是注意运用向量的加法、减法、数乘、数量积运算的几何意义，即运用向量的模、夹角、数量积等知识解题，而是建立直角坐标系，利用向量的坐标运算解题.3. 【2015高考北京，理13】在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =，BN NC =．若MN xAB yAC =+，则x = ；y = ．【答案】11,26-【考点定位】本题考点为平面向量有关知识与计算，利用向量相等解题.【名师点睛】本题考查平面向量的有关知识及及向量运算，利用向量相等条件求值，本题属于基础题.利用坐标运算要建立适当的之间坐标系，准确写出相关点的坐标、向量的坐标，利用向量相等，列方程组，解出未知数的值.4.【2014，安徽理15】已知两个不相等的非零向量,,两组向量54321,,,,x x x x x 和54321,,,,y y y y y 均由2个和3个排列而成．记5544332211y x y x y x y x y x S ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=，min S 表示S 所有可能取值中的最小值．则下列命题的是_________（写出所有正确命题的编号）． ①S 有5个不同的值．②若,b a ⊥则min S③若,b a ∥则min S 无关．>，则0min >S ． ⑤若2min||2||,8||b a S a ==，则a 与b 的夹角为4π【答案】②④． 【解析】试题分析：由题意S 有三种结果，如下：1S a a a a b b b b b b =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅；2S a a a b b a b b b b =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅；3S a b a b b a b a b b =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅．故①错误；∵12S S -2222223()()2||||2||||(||||)0S S a b a b a b a b a b =-=+-⋅≥+-⋅=-≥，∴S 中最小为3S ．若a b ⊥，则2min3()S S b ==与||a 无关，故②正确；若a //b ，则2min 34()S S a b b ==⋅+与||b >，则222min 34()4||||cos ()4||||()S S a b b a b b a b b θ==⋅+=+>-+22||||0b b >-+=，故④正确；若||2||b a =，2222min 34()8||cos 4||8||S S a b b a a a θ==⋅+=+=，∴2cos 1θ=，∴3πθ=，故⑤错误．所以正确的编号为②④．考点：1．平面向量的运算；2．平面向量的数量积．【名师点睛】对于填空多选题，难度较大，但要了解考查的核心.本题先要了解相关的排列知识，2个a 和3个b 排列所得的S 结果有几种，需要进行讨论，要注意重复的情况删除.比较两数的大小常用作差法，根据平面向量的平行、垂直的坐标运算性质，表示出需要研究的量的关系.5.【 2014湖南16】在平面直角坐标系中,O 为原点,()),0,3(),3,0(,0,1C B A -动点D 满足CD =1，则OA OB OD ++的最大值是_________.【答案】1【名师点睛】本题主要考查了圆的参数方程，解决问题的关键是根据所给条件CD 得到对应点C 的轨迹，然后得到其参数方程，根据向量的和的坐标运算得到其和的模满足的三角函数式，运用三角函数知识不难得到其最大值.主要运用了转化的思想方法.6.【2015江苏高考，6】已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-, 若m a +n b =)8,9(-(R n m ∈,), 则n m -的值为______. 【答案】3-【解析】由题意得：29,282,5, 3.m n m n m n m n +=-=-⇒==-=- 【考点定位】向量相等【名师点晴】明确两向量相等的充要条件，它们的对应坐标相等.其实质为平面向量基本定理应用. 向量共线的充要条件的坐标表示：若1122()()a x y b x y ==，，，，则a b ∥⇔12210x y x y =-.向量垂直的充要条件的坐标表示：若1122()()a x y b x y ==，，，，则a b ⊥⇔1212+0x x y y =.7. 【2013江苏，理10】设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，1=2AD AB ，2=3BE BC .若12DE AB AC λλ=+(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为__________． 【答案】12． 【解析】由题意作图如图． ∵在△ABC 中，1223DE DB BE AB BC =+=+12()23AB AC AB =+- 121263AB AC AB AC λλ=-+=+，∴λ1＝16-，λ2＝23.故λ1＋λ2＝12.【考点定位】平面向量的加法、减法法则【名师点晴】平面向量共线的应用，主要有两种情况，一是已知向量的坐标和两向量共线求参数值（或范围），利用向量共线的充要条件，建立方程（组）或建立函数式，应用函数方程思想求解；二是涉及几何图形的问题，从不同角度，利用三点共线，确定共线向量，建立方程（组）求解.8. 【2014江苏，理12】如图在平行四边形ABCD 中，已知8,5AB AD ==，3,2CP PD AP BP =⋅=，则AB AD ⋅的值是 .【答案】22ADCBP【名师点晴】平面向量的数量积计算问题，往往有有两种形式，一是利用数量积的定义式；二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平直角坐标系，可起到化繁为简的妙用.也可利用几何性质用一组已知基底数量积表示所求数量积.9. 【2015江苏高考，14】设向量a k (cos ,sin cos )(0,1,2,,12)666k k k k πππ=+=，则11k =∑(a k a k+1)的值 为【答案】【考点定位】向量数量积，三角函数性质【名师点晴】向量数量积在本题中仅是一个表示，实质是三角函数化简求和，首先根据角之间的差别与联系，对通项进行重新搭配，对不可搭配的项再一次展开，重新配角搭配，这样将通项化为一次式，利用三角函数周期性进行求和.作为压轴题，主要考查学生基础题型的识别与综合应用.10. 【2014山东.理12】 在ABC ∆中，已知tan AB AC A ⋅=，当6A π=时，ABC ∆的面积为________. 【答案】16【解析】由tan AB AC A ⋅=得，tantan 26||||cos tan ,||||cos 3cos 6A AB AC A A AB AC A ππ⋅=⋅===， 所以，11221||||sin sin 223636ABCS AB AC A π∆=⋅=⨯⨯==. 【名师点睛】本题考查平面向量的数量积、三角函数同角关系、三角形的面积.由1sin 2ABCS AB AC A ∆=⋅可知，关键在于确定AB AC ，故应用平面向量的数量积的定义式求此.本题属于能力题，思路易得，在考查平面向量的数量积、三角函数同角关系、三角形的面积等基础知识的同时，考查考生的计算及逻辑思维能力.11. 【2013山东，理15】已知向量AB 与AC 的夹角为120°，且|AB |＝3，|AC |＝2，若AP ＝λAB ＋AC ，且AP ⊥BC ，则实数λ的值为__________．【答案】：71212. 【2014高考陕西版理第13题】设20πθ<<，向量)cos ,1(),cos ,2(sin θθθ-==b a ，若0=⋅，则=θtan ______. 【答案】12【名师点晴】本题主要考查的是平行向量的坐标运算、向量共线定理，三角恒等变换，属于容易题．解题时一定要注意角的范围，否则很容易失分．解决此题的关键是三角变换，而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式．13. 【2015高考新课标2，理13】设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________． 【答案】12【解析】因为向量a b λ+与2a b +平行，所以2a b k a b λ+=+（），则12,k kλ=⎧⎨=⎩，所以12λ=．【考点定位】向量共线．【名师点睛】本题考查向量共线，明确平面向量共线定理，利用待定系数法得参数的关系是解题关键，属于基础题．14. 【2013课标全国Ⅱ，理13】已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅＝__________. 【答案】：2【解析】：以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A 的坐标为(0,0)，点B 的坐标为(2,0)，点D 的坐标为(0,2)，点E 的坐标为(1,2)，则AE ＝(1,2)，BD ＝(－2,2)，所以2AE BD ⋅=.【考点定位】向量的数量积.【名师点睛】本题考查了平面向量基本定理、向量的加法、减法及向量数量积运算，属于基础题目，解决此题的关键在于取一组基底（或是建立平面直角坐标系），将向量的数量积转化为基底的数量积（或向量坐标的运算）.15. 【2013四川，理12】在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB AD AO λ+=，则λ=____________．【答案】2【名师点睛】平面向量问题中，向量的线性运算是高频考点.当出现线性运算问题时，注意两个向量的差OA OB BA -=，这是一个易错点，两个向量的和2OA OB OD +=（D 点是AB 的中点）.另外，要选好基底向量.16. 【2014课标Ⅰ，理15】已知C B A ,,为圆O 上的三点，若()+=21，则与的夹角为_______． 【答案】090．【名师点睛】 本题主要考查平面向量基本定理、平面向量的夹角的计算，根据共线定理得到,,O B C 三点共线，得到BC 是圆O 的直径，然后再利用圆直径的性质是解决本题的关键. 17. 【2013课标全国Ⅰ，理13】已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝__________. 【答案】：2【解析】：∵c ＝t a ＋(1－t )b ，∴b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )|b |2.又∵|a |＝|b |＝1，且a 与b 夹角为60°，b ⊥c ，∴0＝t |a ||b |cos 60°＋(1－t )，0＝12t ＋1－t .∴t ＝2. 【名师点睛】本题考查向量的数量积运算，考查考生的基本运算能力.18.【2013年.浙江卷.理17】设e 1，e 2为单位向量，非零向量b ＝x e 1＋y e 2，x ，y ∈R .若e 1，e 2的夹角为π6，则||||x b 的最大值等于__________． 【答案】：2【名师点睛】本题主要考查两个向量的数量积的运算，求向量的模，利用二次函数的性质求函数的最大值，属于中档题．向量数量积的两种运算方法：(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||b a ，b ． (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.19. 【2015高考浙江，理15】已知12,e e 是空间单位向量，1212e e ⋅=，若空间向量b 满足1252,2b e b e ⋅=⋅=，且对于任意,x y R ∈，12010200()()1(,)b xe ye b x e y e x y R -+≥-+=∈，则0x = ，0y = ，b = ．【答案】1，2，22.【名师点睛】本题主要考查了以平面向量模长为背景下的函数最值的求解，属于较难题，分析题意可得问题等价于12()b xe ye -+当且仅当0x x =，0y y =时取到最小值1，这是解决此题的关键突破口，也是最小值的本质，两边平方后转化为一个关于x ，y 的二元二次函数的最值求解，此类函数最值的求解对考生来说相对陌生，此时需将其视为关于某个字母的二次函数或利用配方的方法求解，关于二元二次函数求最值的问题，在14年杭州二模的试题出现过类似的问题，在复习时应予以关注. 20.【2013天津，理12】在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC ·BE ＝1，则AB 的长为__________．【答案】12【名师点睛】本题考查平面向量的有关知识及及向量运算，运用向量的加法、减法正确表示向量，利用向量的数量积求值，本题属于基础题.解决向量问题有两种方法，第一种是本题的做法，借助向量的几何意义，利用加法、减法、数乘、数量积运算，借助模运算解题，另一种方法是建立适当的平面直角坐标系，利用向量的坐标运算解题. 21. 【2015高考天津，理14】在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ== 则AE AF ⋅的最小值为 . 【答案】2918【解析】因为1,9DF DC λ=12DC AB =，119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ--=-=-==，AE AB BE AB BC λ=+=+，19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+， ()221919191181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BCλλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19199421cos1201818λλλλ++=⨯++⨯⨯⨯︒2117172992181818λλ=++≥= 当且仅当2192λλ=即23λ=时AE AF ⋅的最小值为2918.A【考点定位】向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式.【名师点睛】本题主要考查向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式.运用向量的几何运算求,AE AF ，体现了数形结合的基本思想，再运用向量数量积的定义计算AE AF ⋅，体现了数学定义的运用，再利用基本不等式求最小值，体现了数学知识的综合应用能力.是思维能力与计算能力的综合体现.22.【2014湖北卷11】设向量)3,3(=a ，)1,1(-=b ，若)()(b a b a λλ-⊥+，则实数λ= .【答案】3±【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算和平面向量的垂直的性质，扎根基础知识，强调教材的重要性，充分体现了教材在高考中的地位和重要性，考查了基本概念、基本规律和基本操作的识记能力.其解题的关键是正确的计算平面向量的坐标运算.23. 【2015高考湖北，理11】已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB ∙= . 【答案】9【解析】因为OA AB ⊥，||3OA =，所以OA OB ∙=93||||)(222===∙+=+∙OA OB OA OA AB OA OA .【考点定位】 平面向量的加法法则，向量垂直，向量的模与数量积.【名师点睛】平面向量是新教材新增内容，而且由于向量的双重“身份”是研究一些数学问题的工具.这类问题难度不大，以考查基础知识为主.24. 【2014上海,理14】已知曲线C ：x =l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为 . 【答案】[2,3](1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||b |cos<a ，b>． (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解． 三、解答题1. 【2013江苏，理15】已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.(1)若|a －b |a⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a －b ＝c ，求α，β的值． 【答案】(1)详见解析．(2) 5π6α=，π6β=. 【解析】(1)证明：由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a|2＝|b|2＝1， 所以2－2a·b ＝2，即a·b ＝0. 故a ⊥b .(2)解：因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以cos cos 0,sin sin 1,αβαβ+=⎧⎨+=⎩由此得cos α＝cos(π－β)．由0＜β＜π，得0＜π－β＜π，又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α＞β，所以5π6α=，π6β=. 【考点定位】本小题主要考查平面向量的加法、减法、数量积、三角函数的基本关系、诱导。