电磁场与电磁波13_静磁学1_磁矢位

R
J
对于面分布电流密度 J s，有 0 J s (r ) (r r ) B ds 3 S 4 r r
采用比奥 -沙伐尔定律计算磁场，需要计算矢量 积，再进行矢量积分，运算非常复杂。
为了在一般情况下便于求解，引入辅助位函数。
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电磁场与电磁波
Electromagnetic Fields and Waves
第13讲 静磁学1
— 矢量磁位
王世伟
副教授 华南理工大学电子与信息学院 射频与无线技术研究所 TEL: 22236201-604 Email:eewsw@
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为 因为 0 ，所以如果设 A A ， 任意标量函数，仍有 B A A ，这说明 只有 B A 不能唯一确定磁矢位。
根据Helmhotz定理，为了唯一确定 A ，除了给 定它的旋度 A 外，还应该给定它的散 度 A 。 给定 A 的条件称为规范条件。 规范条件的给定有一定的任意性。但不影响磁 感应强度的计算 B A 。但与磁矢位的方程形 式有关系，因此也影响着磁矢位的计算难易。
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虽然是矢量，但由于有规范条件，独立的标量只 有两个。从 2 A 0 J 可以看出， A 的求解比 B 更容易。 根据 有
ˆx2 Ax a ˆ y2 Ay a ˆz 2 Az 2 A a
2 Ax 0 J x 2 Ay 0 J y 2 Az 0 J z
13.3 磁偶极子
一个线度很小，形状任意的电流环称为磁偶极子。
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直接计算静磁场的方法就是利用比奥 -沙伐尔定 律。 闭合电流线C’产生的磁感应强度 ˆ R 0 0 I dl a I dl (r r ) B 3 2 l 4 R 4 l r r
z
C
dl
dl
C
I r
R r r
r
I
由于 B 0 ，而 ( A) 0 ，因此可引入辅助 位函数 A ，满足
B A
则 A 称为静磁场矢量位函数，简称磁矢位。
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第13讲内容
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引言 静磁场矢量磁位函数
磁偶极子
教材p111-127
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13.1 引言
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13.2 矢量磁位
【静磁场方程】
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静磁场的三个基本方程：
H J 0 H 0 J 0 (1) (2) (3)
由(3)知，在静磁场中电流一定是无散，即电流线 是连续，若电流分布在有限区域中，电流线应是 闭合的。
μ0 I Az 4π
z L/2 Az r (r,φ,z ) rr

L 2 L 2
dz r 2 ( z z) 2
2 L z` L z r2 z μ0 I 2 2 -L/2 ln 2 4π z L r2 z L 2 2 Research Institute of RF & Wireless Techniques
这就是L→∞时，空间任意一点r处的磁矢位表达 式。在柱坐标系下求旋度可得磁感应强度
ˆ B A a Az I ˆ a r 2 r
这与直接用安培环路定理的积分形式计算的结果 一致。
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当L>>z时，磁矢位简化为：
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2 L L r2 μ0 I 2 2 ln 2 4π L r2 L 2 2
对于面电流
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0 Ar 4
J s r S R ds
1 C Rdl
对于线电流
0 A r 4
I r 0 I C R dl 4
可以证明上面给出的公式满足： A 0
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和 J 0
0 A 4
0 1 1 1 J J dv J dv V R R 4 V R J 0 J 0 1 J dv dv 4 V R 4 V R R 0 J 注意：V中已包含了所有电流， ds 0 所以S表面不可能有法向电流。 4 S R
证明：
0 A 4
J Vห้องสมุดไป่ตู้ R dv
0 4
J dv V Research R Institute of RF & Wireless Techniques
1 1 利用 公式： R R
2
这个解可以在任何广义坐标系中使用。
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利用(5)求磁场强度 H
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0 1 1 H r Ar 0 0 4
x
o
y
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对于体分布电流密度 J，有
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0 B 4
J v (r ) (r r ) V r r 3 dv
B
右手螺旋




利用Stokes定理，得磁通量
B ds A ds
S S

C
A dl
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【例13-1】求长度为L，流过恒定电流I的直导线产生 的矢量磁位 A 以及当L→∞时该电流产生的磁感应 强度 B 。 解：选取柱坐标系，设场点 坐标为(r,φ,z) , A 只有z分量
考虑安培环路定律
B ( A) ( A) 2 A 0 J
根据库伦规范，得到磁矢位的简洁方程形式
2 A 0 J
泊松方程
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引入辅助位函数的目的是简化计算，可是磁矢位 仍然是矢量，那么引入磁矢位的好处在哪里？
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由于静磁场方程对于这个方面没有限制，所以采 用最方便的条件定义磁矢位的散度，即
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A 0
称这种规范为库伦规范。
【磁矢位的方程】
上式适用于描述在直导线中点附近所作的与直导 线垂直的平面上任意一点的磁位。
当L>>z和L>>r时 ，磁矢位简化为：
μ0 I L Az ln 4π r
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1 4 1 4
J r V R dv
J r V R dv 1 J r dv V R J r R 1 dv ←比奥 -沙伐尔定律 3 4 V R
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上式的简化过程用到当x<<1时，(1+x)1/2≈1+x/2的 泰勒级数的近似表示。可描述在直导线中点附近 所作的与直导线垂直的平面上，且距直导线很近 的点。 当L→∞时，空间任意一点r(不再有条件限制)磁 矢位表示为
μ0 I L Az ln 4π r
显然，磁矢位将趋于无限大。其原因在于，对于 对称分布在无限区域的电流系统，不能取无限远 处做为参考点，只能选一有限远点。
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【矢量磁位的引入】
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静磁场在一般情况下不适合保守场，因而不能采 用标量位的方法讨论一般的静磁场问题。
但在特殊情况下，如求电流存在的区域外的静磁 场，是可以采用的。