苏教版2019届高考数学(文)能力提升练习-第2章 第4节 函数的奇偶性与周期性

能力提升练习一、填空题
1．已知函数f(x)＝x2＋x＋1
x2＋1，若
f(a)＝
2
3
，则f(－a)＝________.
解析：根据题意，f(x)＝x2＋x＋1
x2＋1＝1＋
x
x2＋1，而
h(x)＝
x
x2＋1是奇函数，
故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－2
3
＝
4
3
.
答案：4 3
2．若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，值域为(－∞，4]，则该函数的解析式为f(x)＝________.
解析：由f(x)＝bx2＋a(b＋2)x＋2a2是偶函数，可得a(b＋2)＝0.又其值
域为(－∞，4]，∴b<0，且2a2＝4，从而b＝－2，∴f(x)＝－2x2＋4.
答案：－2x2＋4
3．若f(x)＝
1
2x－1
＋a是奇函数，则a＝________.
解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
则
1
2－x－1
＋a＝－(
1
2x－1
＋a)，∴a＝
1
2
.
答案：1 2
4．定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有f x2 －f x1
x2－x1
<0，则f(3)，f(－2)与f(1)的大小关系是________．
解析：由已知f x 2 －f x 1
x 2－x 1<0，得f (x )在[0，＋∞)上单调递减，由
偶函数性质得f (3)<f (－2)<f (1)．
答案：f (3)<f (－2)<f (1)
5．已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都
有xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )，则f (32
)＝_ _______. 解析：由xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )，x ∈R ，
令x ＝－12，得－12f (12)＝12f (－12
)． 又f (x )为偶函数，∴f (12
)＝0. 又令x ＝12，得12f (32)＝32f (12)，∴f (32
)＝0. 答案：0
6．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R)是偶函数，则实数a 的值为________．
解析：因为f (x )是偶函数，所以恒有f (－x )＝f (x )，
即－x (e －x ＋a e x )＝x (e x ＋a e －x )，
化简得x (e －x ＋e x )(a ＋1)＝0.
因为上式对任意实数x 都成立，所以a ＝－1.
答案：－1
7．偶函数f (x )是以4为周期的函数，f (x )在区间[－6，－4]上是减函数，则f (x )在[0,2]上的单调性是________．
解析：∵T ＝4，且f (x )在[－6，－4]上单调递减，
∴函数在[－2,0]上也单调递减，
又f (x )为偶函数，故f (x )的图象关于y 轴对称，
由对称性知f (x )在[0,2]上单调递增．
答案：单调递增
8．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则不等式f (x )<－1的解集是________．
解析：∵f (x )是奇函数，
∴x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－log 2(－x )．
当x >0时，f (x )<－1，即log 2 x <－1，得0<x <12
； 当x <0时，f (x )<－1，即－log 2 (－x )<－1，得x <－2.
故解集为(－∞，－2)∪(0，12
)． 答案：(－∞，－2)∪(0，12
) 9．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －1， x ≤0，f x －1 －f x －2 ， x >0，
则f (2 016)＝________.
解析：x >0时，f (x )＝f (x －1)－f (x －2)，f (x ＋1)＝f (x )－f (x －1)，相加得f (x ＋1)＝－f (x －2)，即f (x ＋3)＝－f (x )，所以f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f (x )；进而f (2 016)＝f (336×6)＝f (0)＝3－1＝13.
答案：13
二、解答题 10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x >0，0， x ＝0，
x 2＋mx ， x <0是奇函数．
(1)求实数m 的值；
(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．
解析：(1)设x <0，则－x >0，
所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .
又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，
于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.
(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，
结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧ a －2>－1，a －2≤1，
所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．
11．已知f (x )＝x －a
x 2＋bx ＋1是奇函数．
(1)求a ，b 的值；
(2)求f (x )的单调区间，并加以证明；
(3)求f (x )的值域．
解析：(1)∵f (x )＋f (－x )＝0恒成立，
即x－a
x2＋bx＋1－
x＋a
x2－bx＋1＝0恒成立，
则2(a＋b)x2＋2a＝0对任意的实数x恒成立．∴a＝b＝0.
(2)∵f(x)＝
x
x2＋1(
x∈R)是奇函数，
∴只需研究f(x)在区间[0，＋∞)上的单调区间即可．任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1<x2，则
f(x1)－f(x2)＝
x1
x21＋1－
x2
x22＋1＝
x2－x1 x1x2－1
x21＋1 x22＋1
.
∵x21＋1>0，x22＋1>0，x2－x1>0，
而x1，x2∈[0,1]时，x1x2－1<0，
x1，x2∈[1，＋∞)时，x1x2－1>0，
∴当x1，x2∈[0,1]时，f(x1)－f(x2)<0，
函数y＝f(x)是增函数；
当x1，x2∈[1，＋∞)时，f(x1)－f(x2)>0，
函数y＝f(x)是减函数．
又f(x)是奇函数，∴f(x)在[－1,0]上是增函数，
在(－∞，－1]上是减函数．
又x∈[0,1]，u∈[－1,0]时，恒有f(x)≥f(u)，等号只在x＝u＝0时取到，故f(x)在[－1,1]上是增函数，
在(－∞，－1]，[1，＋∞)上是减函数．
(3)当x＝0时，f(x)＝
x
x2＋1＝0；
当x >0时，f (x )＝x x 2＋1＝1x ＋1x
≤12， 即0<f (x )≤12
； 当x <0时，f (x )＝1x ＋1x ＝－1 －x ＋ 1－x ≥－12， 即－12
≤f (x )<0， 综上可知：函数f (x )的值域为[－12，12
]． 12．已知函数f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，对定义域内的任意x 1、x 2，都有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，且当x >1时，f (x )>0.
(1)求证：f (x )是偶函数；
(2)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数．
证明：(1)因对定义域内的任意x 1、x 2都有 f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，
令x ＝x 1，x 2＝－1，则有f (－x )＝f (x )＋f (－1)．
又令x 1＝x 2＝－1，得2f (－1)＝f (1)．
再令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝0，从而f (－1)＝0，
于是有f (－x )＝f (x )，
所以f (x )是偶函数．
(2)设0<x 1<x 2，
则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)－f (x 1·x 2
x 1
) ＝f (x 1)－[f (x 1)＋f (x 2
x 1)]＝－f (x 2x 1
)， 由于0<x 1<x 2，
所以x 2
x 1>1，从而f (x 2x 1
)>0， 故f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．。