河北省衡水、张家口、邢台2021届高三9月摸底联考新高考数学试题(含答案和解析)(2020.09)
2021-2022年高三9月摸底考试 数学理答案 含答案
2021年高三9月摸底考试 数学理答案 含答案一、选择题：A 卷： BCAA DABC BDDCB 卷： ABCD DBACCDAB二、填空题：（13）y ＝1e x（14）2 （15）(0，＋∞) （16）2n －n －1三、解答题：（17）解：（Ⅰ）由正弦定理，得sin C sin A ＝3sin A cos C ，因为sin A ≠0，解得tan C ＝3，C ＝ π3．…6分（Ⅱ）由sin C ＋sin(B －A )＝3sin2A ，得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝3sin2A ， 整理，得sin B cos A ＝3sin A cos A ．若cos A ＝0，则A ＝π2，cb ＝tanπ3，b ＝213，△ABC 的面积S ＝ 1 2bc ＝736． …8分 若cos A ≠0，则sin B ＝3sin A ，b ＝3a ．由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，解得a ＝1，b ＝3．△ABC 的面积S ＝ 1 2ab sin C ＝334．综上，△ABC 的面积为736或334． …12分 （18）解：（Ⅰ）由频率分布直方图，得该校高三学生本次数学考试的平均分为 0.0050×20×40＋0.0075×20×60＋0.0075×20×80＋0.0150×20×100 ＋0.0125×20×120＋0.0025×20×140＝92． …5分（Ⅱ）样本中成绩不低于90分的频率为0.0150×20＋0.0125×20＋0.0025×20＝0.6，所以从该校高三学生中随机抽取1人，分数不低于90分的概率为0.6． …7分由题意，X ～B (3，0.6)，P (X ＝k )＝C k 30.6k 0.43－k （k ＝0，1，2，3）， 其概率分布列为：…10分 X 的期望为E (X )＝3×0.6＝1.8．…12分（Ⅱ）由题意，AB 、AD 、AF 两两垂直，以AB 为x 轴，AD 为y 轴建立空间直角坐标系A -xyz ．设BC ＝1，则C (2，1，0)，D (0，2，0)，E (0，1，2)，G (1，0，2)． 设平面CED 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则m ·CE →＝0，m ·CD →＝0，又CE →＝(－2，0，2)，CD →＝(－2，1，0)，所以⎩⎨⎧x －z ＝0，2x －y ＝0，取m ＝(1，2，1)．同理，得平面CEG 的一个法向量为n ＝(－1，－1，－1)．因为cos 〈m ，n 〉＝m ·n _______|m |·|n |＝－223，又二面角G -CE -D 为钝角，所以二面角G -CE -D 的余弦值－223．…12分（20）解：（Ⅰ）在△F 1MF 2中，由12|MF 1||MF 2|sin 60︒＝433，得|MF 1||MF 2|＝163．由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|cos 60︒＝(|MF 1|＋|MF 2|)2－2|MF 1||MF 2|(1＋cos 60︒)，从而2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝42，即a ＝22，从而b ＝2，故椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1． …6分 （Ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＋2＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＋2＝k (x ＋1)，得(1＋2k 2)x 2＋4k (k －2)x ＋2k 2－8k ＝0． …8分 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝－4k (k －2)1＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－8k1＋2k 2．从而k 1＋k 2＝y 1－2x 1＋y 2－2x 2＝2kx 1x 2＋(k －4)(x 1＋x 2)x 1x 2， ＝2k －(k －4)4k (k －2)2k 2－8k＝4． …11分当直线l 的斜率不存在时，得A (－1，142)，B (－1，－142)，得k 1＋k 2＝4．综上，恒有k 1＋k 2＝4．…12分（21）解：（Ⅰ）f '(x )＝2－axx ，x ＞0．若a ≤0，f '(x )＞0，f (x )在(0，＋∞)上递增；若a ＞0，当x ∈(0， 2a )时，f '(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈( 2a ，＋∞)时，f '(x )＜0，f (x )单调递减．…5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若a ≤0，f (x )在(0，＋∞)上递增， 又f (1)＝0，故f (x )≤0不恒成立．若a ＞2，当x ∈(2a ，1)时，f (x )递减，f (x )＞f (1)＝0，不合题意．若0＜a ＜2，当x ∈(1， 2a )时，f (x )递增，f (x )＞f (1)＝0，不合题意． 若a ＝2，f (x )在(0，1)上递增，在(1，＋∞)上递减， f (x )≤f (1)＝0，合题意．故a ＝2，且ln x ≤x －1（当且仅当x ＝1时取“＝”）．…8分当0＜x 1＜x 2时，f (x 2)－f (x 1)＝2ln x 2x 1－2(x 2－x 1)＋2＜2(x 2x 1－1)－2(x 2－x 1)＋2＝2(1x 1－1)(x 2－x 1)，所以f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＜2(1x 1－1)．…12分（22）证明：（Ⅰ）连结AM ，则∠AMB ＝90︒． 因为AB ⊥CD ，所以∠AEF ＝90︒．所以∠AMB ＋∠AEF ＝180︒，即A 、E 、F 、…5分（Ⅱ）连结AC ，CB ．由A 、E 、F 、M 所以BF ·BM ＝BE ·BA ． 在Rt △ACB 中，BC 2＝BE ·BA ，AC 2＋CB 2＝所以AC 2＋BF ·BM ＝AB 2． …10分（23）解：（Ⅰ）由ρsin 2θ＝8cos θ，得ρ2sin 2θ＝8ρcos θ， 即曲线C 的直角坐标方程为y 2＝8x ．…5分（Ⅱ）将直线l 的方程代入y 2＝8x ，并整理得， 3t 2－16t －64＝0，t 1＋t 2＝163，t 1t 2＝－643．所以|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝323．…10分（24）解：（Ⅰ）f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1＜x ＜2，3，x ≥2．…2分当x≤－1时，f(x)≥2不成立；当－1＜x＜2时，由f(x)≥2，得2x－1≥2，解得32≤x＜2；当x≥2时，f(x)≥2恒成立．所以不等式f(x)≥2的解集为{x|x≥32}．…5分（Ⅱ）因为f(x)＝|x＋1|－|x－2|≤|(x＋1)－(x－2)|＝3，所以|a－2|≥3，解得a≥5，或a≤－1，所以a的取值范围是(－∞，－1]∪[5，＋∞)．…10分。
2021届河北省张家口市高三上学期入学摸底联合考试数学(理)试题Word版含解析
2021届河北省张家口市高三上学期入学摸底联合考试数学（理）试题一、单选题1．设函数y =A ，函数ln(1)y x =-的定义域为B ，则A B =（）A ．(1,3)B ．(1,3]C ．[3,1)-D ．(3,1)-【答案】C【解析】根据幂函数及对数函数定义域的求法，即可求得A 和B ，即可求得A B ．【详解】解：由290x -≥，解得：33x -≤≤，则函数y =[3,3]-，由对数函数的定义域可知：10x ->，解得：1x <，则函数ln(1)y x =-的定义域(,1)-∞， 则AB =[3,1)-，故选：C ． 【点睛】本题考查函数定义的求法，交集及其运算，考查计算能力，属于基础题． 2．设1i2i 1iz -=++，则||z =A ．0B ．12C ．1D【答案】C【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模. 详解：()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+ i 2i i =-+=，则1z =，故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3．若2()lg(21)f x x ax a =-++在区间(,1]-∞上单调递减，则a 的取值范围为（ ）A ．[1,2)B ．[]12，C ．[1+)∞，D ．[2+)∞，【答案】A【解析】分析：由题意，在区间（﹣∞，1]上，a 的取值需令真数x 2﹣2ax+1+a ＞0，且函数u=x 2﹣2ax+1+a 在区间（﹣∞，1]上应单调递减，这样复合函数才能单调递减． 详解：令u=x 2﹣2ax+1+a ，则f （u ）=lgu ，配方得u=x 2﹣2ax+1+a=（x ﹣a ）2﹣a 2+a+1，故对称轴为x=a ，如图所示：由图象可知，当对称轴a ≥1时，u=x 2﹣2ax+1+a 在区间（﹣∞，1]上单调递减， 又真数x 2﹣2ax+1+a ＞0，二次函数u=x 2﹣2ax+1+a 在（﹣∞，1]上单调递减， 故只需当x=1时，若x 2﹣2ax+1+a ＞0， 则x ∈（﹣∞，1]时，真数x 2﹣2ax+1+a ＞0， 代入x=1解得a ＜2，所以a 的取值范围是[1，2） 故选：A ．点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间[],a b 上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.4．《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”可用如图所示的程序框图解决此类问题.现执行该程序框图，输入的d 的值为33，则输出的i 的值为A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C 【解析】【详解】0,0,1,1i S x y ====，开始执行程序框图，1111,11,2,;2,1+21+,4,,......224i S x y i S x y ==+====+==()111115,124816133,32,2481632i S x y ⎛⎫==+++++++++<== ⎪⎝⎭，，()1111116,12481632133,64,248163264i S x y ⎛⎫==+++++++++++>== ⎪⎝⎭，s d > 退出循环，输出6i =，故选C.5．已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(3)()0f x f x -+=，且当3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2()log (27)f x x =+，则(2020)f =（） A ．2- B ．2log 3C ．3D ．2log 5-【答案】D【解析】由题意利用函数奇偶性求得()f x 的周期为3，再利用函数的周期性求得(2020)f 的值．【详解】 解：已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(3)()0f x f x -+=，()()(3)f x f x f x ∴-=-=-，∴()f x 的周期为3.3,02x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭时，2()log (27)f x x =+，22(2020)(36731)(1)(1log (27)lo )5g f f f f =⨯+==-=--+-=-,故选：D 。
2021-2022年高三9月摸底考试数学理试题 含答案
河北省唐山市xx届高三年级摸底考试2021年高三9月摸底考试数学理试题含答案说明：1．本试卷分为第Ⅰ卷和第II卷．第Ⅰ卷为选择题；第II卷为非选择题，分为必考和选考两部分。
2．答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。
3．做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案。
4．考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．已知复数z满足z（1+i）=i，则复数z的共轭复数为A．B．C．1+i D．1-i2．设U=R，已知集合A={x|x1}，B={x|xa}，且（），则实数A的取值范围是A．B．C．D．3．已知点A（6，2），B（l，14），则与共线的单位向量为A．B．C．D．4．已知sin2a=，则cos2A．B．C．D．5．执行右面的程序框图，那么输出S的值为A．9 B．10C．45 D．556．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=13，S15=63，则S20=A．100B．90C．120D．1107．某几何体的三视图如图所示，则它的侧面积为A．B．C．24 D．8．已知双曲线=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F l，F2，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（3，4），则此双曲线的方程为A．B．C．D．9．直三棱柱ABC－A1B1 C1的六个顶点都在球O的球面上．若AB=BC=1, ∠ABC=120o，AA1=2，则球O的表面积为A．B．C．D．10．设函数f（x）=x2－23x+60, g（x）=f（x）+|f（x）|，则g（1）+g（2）+…+g（20）= A．0 B．38 C．56 D．11211．在长度为3的线段上随机取两点，将其分成三条线段，则恰有两条线段的长大于1的概率为A．B．C．D．12．设x，y∈R，则(3－4y－cosx)2+(4+3y+sinx)2的最小值为A．4 B．5 C．16 D．25第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中横线上．13．过坐标原点与曲线y=lnx相切的直线方程为。
2020年9月河北省张家口市普通高中2021届高三上学期9月月考数学试卷参考答案
B.将
g(x)的图像向右平移
6
个单位得到
y=2sin[
1 2
(x-
6
)+
6
]=2sin(
x 2
12
)
高三数学 第 2 页
2020年9月河北省张家口市普通高中2021届高三上学期9月月考数学试卷
所以得到函数不关于原点对称，，所以不正确.
C.因为
g( )
3
=2sin(
6
+
6
)=
3
0 ,所以点（
选项中值域范围超过 Q 的取值范围.
10. AB【解析】向量由两个要素方向和长度描述，A 错；若 a // b ,且与 c 垂直，结果成立，但 a 不一定等于
b ，B 错；相等向量模相等，方向相同，D 选项对.
11.ABD【解析】对于 A，在△ABC 中，由正弦定理可得 a ＝ b ，所以 sinA＞sinB⇔a＞b⇔A＞B，故 A sin A sin B
x 1 t ，则 y t 1 t2 ， t 0 ，
∴t
1
时，
2
ymax
3 4
.
故选 C.
5. C【解析】
f (x) （-x）3 log3 （-x）2 1 x
-x3 log3( x2 1 x) x3 log3( x2 1 x) 1 -x3 log3( x2 1 x) f ( x)
3
，0）不是函数
g(x)的一个对称中心，所以不正确
D.若
x
2
2
,则
3
x 2
6
7 6
x
，所以当
2
6
2 =3
时，g(x)取得最大值，且最大值
2021年高三9月摸底考试题数学理
2021年高三9月摸底考试题数学理一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项．1．已知集合,则（）A．B．C．D．2．对于平面、、和直线、、m、n,下列命题中真命题是（）A．若,则B．若,则C．若,则D．若则3．是奇函数，则①一定是偶函数；②一定是偶函数；③；④，其中错误的个数有（）A．1个B．2个C．4个D．0个4．如图，是一个几何体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）、俯视图，正视图（主视图）、侧视图（左视图）都是矩形，则该几何体的体积是A．24 B．12C．8 D．45．命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的否命题是（）A．“若一个数是负数,则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数,则它是负数”C．“若一个数不是负数,则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数,则它不是负数”6．某种动物繁殖量（只）与时间（年）的关系为,设这种动物第2年有100只,到第8年它们将发展到（）A．200只B．300只C．400只D．500只7．已知直线与圆相切,且与直线平行,则直线的方程是（）A．B．或C．D．或8．对于任意两个正整数,定义某种运算“※”如下:当都为正偶数或正奇数时,※=;当中一个为正偶数,另一个为正奇数时,※=．则在此定义下,集合※中的元素个数是A．10个B．15个C．16个D．18个二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置．9．设数列的前项和，则的值为__ __．10．已知双曲线的中心在原点,离心率为,若它的一条准线与抛物线的准线重合,则该双曲线的方程是．11．图1是某学生的数学考试成绩茎叶图,第1次到14次的考试成绩依次记为．图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是．12．中，所对的边长分别为，且，，则．13．科网，，，则的最小值是．14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点关于极点的对称点的极坐标是．15．（几何证明选讲选做题）中，，，于，于，于，则．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知：，其中，，，．（Ⅰ）求的对称轴和对称中心；（Ⅱ）求的单增区间．17人数10 15 20 25 30 35 40件数 4 7 12 15 20 23 27其中．（Ⅰ）以每天进店人数为横轴，每天商品销售件数为纵轴，画出散点图；（Ⅱ）求回归直线方程；（结果保留到小数点后两位）（参考数据：，，，，，）（Ⅲ）预测进店人数为80人时，商品销售的件数．（结果保留整数）18．（本小题满分14分）如图，为等边三角形，为矩形，平面平面，，分别为、、中点，与底面成角．（Ⅰ）求证：（Ⅱ）求二面角的正切．19．（本小题满分14分）在平面直角坐标系中,设点,直线:,点在直线上移动,是线段与轴的交点, ．（I）求动点的轨迹的方程；（II）设圆过,且圆心在曲线上, 设圆过,且圆心在曲线上,是圆在轴上截得的弦,当运动时弦长是否为定值？请说明理由．20．（本小题满分14分）设函数，其中（Ⅰ）当判断在上的单调性．（Ⅱ）讨论的极值点．21．（本小题满分14分）已知定义在上的奇函数满足，且对任意有．（Ⅰ）判断在上的奇偶性，并加以证明．（Ⅱ）令，，求数列的通项公式．（Ⅲ）设为的前项和，若对恒成立，求的最大值．参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项．1—5 BDBBC 6—8 ADB二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置．9．14 10．11．10 12．2 13．14．15．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．解：（Ⅰ）．由题设知，，………………………………………………２分，则…………………３分………………………………………………４分………………………………………………５分对称轴是，即对称轴是………………………………………………７分对称中心横坐标满足，即对称中心是………………………………………………９分（Ⅱ）．当时单增，……………１０分即的单增区间是………………………１２分17．解：（Ⅰ）．散点图如图………………………………………………４分（Ⅱ）．，，，，，………………………………………………６分………………………………………………８分回归直线方程是……………………………………９分（Ⅲ）．进店人数80人时，商品销售的件数件………………………………………………１２分18．（Ⅰ）．证明：连接、是等边三角形，为边中点，…………………………１分为矩形，，平面平面， 平面 ………………………………２分 ，平面，…………………………………３分分别为、中点， ，，，四边形是平行四边形，………………………………………………４分 ………………………………………………５分（Ⅱ）．（理）取中点，连接，在等边中，，则平面 且是与平面所成的角，，………７分 设等边边长为，则，在矩形中，，2222223114442CD CH DH a a a ==-=-= 解得………………………………９分平面，过做于，连接 则平面则就是二面角的平面角…１１分由及 解得在中，………………………………………１２分求二面角的正切值为……………………………………………１４分 19．解：（I ） 依题意知,直线的方程为：．……………2分点是线段的中点,且⊥,∴是线段的垂直平分线．……………4分 ∴是点到直线的距离．∵点在线段的垂直平分线,∴．……………6分 故动点的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线, 其方程为：．……………8分（II ）,到轴的距离为,…………9分 圆的半径,…………１0分 则,……………１2分 由（I ）知,所以,是定值．……………１４分20．解：（理）由题设函数定义域是，…………………………………………1分函数………………①………………………………………………２分 （Ⅰ）．当时，①式的， ，又………………………………………………４分在上的单调递增．………………………………………………５分 （Ⅱ）． (1) 当时，由（Ⅰ）知，在上的单调递增，故无极值点．……………………………７分 (2) 当时，由解得，此时 当或时， 当时，………………………………………………８分 ① 当时，， 时，，F KH P D CB A，在上单减，在上单增，为极小值点，无极大值点．………………………………１０分 ② 当时，， 当或时， 时，在上单减，在和上单增，为极大值点，为极小值点．……………１２分综上，时，为极小值点，无极大值点；时，为极大值点，为极小值点； 时，无极值点． ………………………１４分 21．解：（Ⅰ）．对任意有…………①令得；………………………………………………１分 令由①得，用替换上式中的有………………………………………２分 在上为奇函数．………………………………………………３分 （Ⅱ）．满足，则必有否则若则必有，依此类推必有，矛盾………………………………………………５分()()()()2()n n n n n f x f x f x f x f x =--=+=，又是为首项，为公比的等比数列，…………………………………７分 ………………………………………………８分 （Ⅲ）．………………………………………………９分 故……………………………………②2341113523212()222222n n n n n T +--=⨯+++++………………………③ ②③得2311111111212()2222222n n n n T -+-=⨯+++++-………………………………………………１１分………………………………………………１２分 若对恒成立须，解得……………………１３分 的最大值为． ………………………………………………１４分Vn23574 5C16 尖D35907 8C43 豃24021 5DD5 巕28401 6EF1 滱30272 7640 癀 22235 56DB 四720811 514B 克+*I。
河北省邢台市2021届高三数学模拟试题 理(含解析).doc
河北省邢台市2021届高三数学模拟试题 理（含解析）一、选择题（共12小题）. 1.若2z i =+，则z zz z-=（ ） A. 85i B. 2455i -C. 85i -D.2455i + 【答案】A 【解析】 【分析】求出共轭复数2z i =-，根据复数运算法则()()2222222224i i z z i i z z i i i +--+--=-=-+-即可得解.【详解】2z i =+，2z i =-，()()222222282245i i z z i i i z z i i i +--+--=-==-+-.故选：A【点睛】此题考查复数的概念辨析和基本运算，关键在于熟练掌握复数的运算法则，根据法则求解.2.已知集合(){}2lg 10A x x x =-->，{}03B x x =<<，则A B =（ ）A. {}01x x << B. {}{}10x x x x <-⋃> C. {}23x x << D. {}{}0123x x x x <<⋃<<【答案】C 【解析】 【分析】根据对数不等式解法求出解集得到A ，根据交集运算即可得解. 【详解】(){}{}22lg 1011A x x x x x x =-->=-->()(){}()()210,12,x x x =-+>=-∞-+∞，{}03B x x =<<所以AB ={}23x x <<【点睛】此题考查集合的交集运算，关键在于准确求解对数型不等式和一元二次不等式. 3.设非零向量a ，b 满足3a b =，1cos ,3a b =，()16a a b ⋅-=，则b =（ ） A. 2 B. 3C. 2D. 5【答案】A 【解析】 【分析】由()16a a b ⋅-=可得()0⋅-=a a b ，利用数量积的运算性质结合条件可得答案.【详解】||3||a b =，1cos ,3a b 〈〉=. 2222()9||||8||16a a b a a b b b b ∴⋅-=-⋅=-==，||2b ∴=.故选：A【点睛】本题考查利用向量垂直其数量积为零求向量的模长，属于中档题.4.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点，几何体1ABCDEC 的侧视图与俯视图如图所示，则该几何体的正视图为（ ）A. B. C. D.【解析】 【分析】根据侧视图和俯视图特征判定几何体，找出正投影，即可得解.【详解】结合俯视图和侧视图，根据几何体特征，该几何体为图中1AED BCC -， 正投影为1EDCC ，ABE 与1EBC 不在同一平面， 所以正视图为A 选项的图形. 故选：A【点睛】此题考查三视图的识别，关键在于根据俯视图侧视图结合几何体辨析正视图，易错点在于对几何体的棱BE 考虑不准确.5.设双曲线2213y x -=，22125x y -=，22127y x -=的离心率分别为1e ，2e ，3e ，则（ ）A. 321e e e <<B. 312e e e <<C. 123e e e <<D.213e e e <<【答案】D 【解析】 【分析】已知双曲线标准方程，根据离心率的公式，直接分别算出1e ，2e ，3e ，即可得出结论.【详解】对于双曲线2213y x -=，可得222221,3,4a b c a b ===+=，则22124c e a==，对于双曲线22125x y -=，得222222,5,7a b c a b ===+=，则222272c e a ==，对于双曲线22271x y -=，得222222,7,9a b c a b ===+=，则223292c e a ==，可得出，221322e e e <<，所以213e e e <<. 故选：D.【点睛】本题考查双曲线的标准方程和离心率，属于基础题. 6.若24log log 1x y +=，则2x y +的最小值为（ ）A. 2B.C. 4D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由条件有24(0,0)xy x y =>>，利用均值不等式有2224x y x y +=可得到答案.【详解】因为()2224444log log log log log 1+=+==x y x y x y ， 所以24(0,0)xy x y =>>，则2224x y x y +=，当且仅当22x y ==时，等号成立，故2x y +的最小值为4. 故选：C【点睛】本题考查对数的运算性质和利用均值不等式求最值，属于中档题.7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央.出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池1丈见方（即10CD =尺），芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺.将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示）.试问水深、芦苇的长度各是多少？假设BAC θ=∠，现有下述四个结论：①水深为12尺；②芦苇长为15尺；③2tan 23θ=；④17tan 47πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.其中所有正确结论的编号是（ ）A. ①③B. ①③④C. ①④D. ②③④【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理求出BC 的值，可得tan BCAB θ=，再利用二倍角的正切公式求得tan 2θ，利用两角和的正切公式求得tan 4πθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【详解】设BC x =，则1AC x =+， ∵5AB =，∴2225(1)x x +=+，∴12x =. 即水深为12尺，芦苇长为12尺；∴12tan 5BC AB θ==，由2θ2tan2tan θθ1tan 2，解得2tan 23θ=（负根舍去）. ∵12tan 5θ=， ∴1tan 17tan 41tan 7πθθθ+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭. 故正确结论的编号为①③④. 故选：B.【点睛】本题主要考查二倍角的正切公式、两角和的正切公式，属于基础题.8.在外国人学唱中文歌曲的大赛中，有白皮肤选手6人，黑皮肤选手6人，黄皮肤选手8人，一等奖规定至少2个至多3个名额，且要求一等奖获奖选手不能全是同种肤色，则一等奖人选的所有可能的种数为（ ） A. 420 B. 766 C. 1080 D. 1176【答案】D【解析】 【分析】分别计算一等奖两个名额和三个名额的情况即可得解.【详解】一等奖两个名额，一共222220668132C C C C ---=种， 一等奖三个名额，一共3333206681044C C C C ---=种，所以一等奖人选的所有可能的种数为1176. 故选：D【点睛】此题考查计数原理的综合应用，需要熟练掌握利用组合知识解决实际问题，准确分类，结合对立事件求解.9.已知函数()sin 2sin 23f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则（ ）A. ()f x 的最小正周期为2πB. 曲线()y f x =关于,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. ()f x 的最大值为2 D. 曲线()y f x =关于6x π=对称【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得()26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据三角函数的性质逐一判断.【详解】()1sin 2sin 22226f x x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则T π=. ()f x当6x π=时，2666f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()y f x =关于6x π=对称，当3x π=时，23306f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故曲线()y f x =不关于,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称. 故选：D.【点睛】本题考查三角函数的性质，其中对称轴和对称中心可代入判断，是基础题.10.函数()22lg 2||f x x x x =+-的零点的个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C 【解析】 【分析】将原题转化为求方程22lg 2||x x x =-+的根的个数，根据函数奇偶性，考虑当0x >时方程的根的个数，根据对称性即可得解.【详解】函数()22lg 2||f x x x x =+-的零点个数，即方程22lg 2||x x x =-+的根的个数，考虑()()22lg ,2||g x x h x x x ==-+，定义在()(),00,-∞+∞的偶函数，当0x >时，()()22lg ,2g x x h x x x ==-+，作出函数图象：两个函数一共两个交点，即当0x >时22lg 2||x x x =-+有两根， 根据对称性可得：当0x <时22lg 2||x x x =-+有两根， 所以22lg 2||x x x =-+一共4个根，即函数()22lg 2||f x x x x =+-的零点的个数为4.故选：C【点睛】此题考查函数零点问题，转化为方程的根的问题，根据奇偶性数形结合求解. 11.在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为棱A 1B 1上一点，且AB ＝2，若二面角B 1﹣BC 1﹣E 为45°，则四面体BB 1C 1E 的外接球的表面积为（ ） A.172π B. 12π C. 9π D. 10π【答案】D 【解析】【分析】连接1B C 交1BC 于O ，可得11B O BC ⊥，利用线面垂直的判定定理可得：1BC ⊥平面1B OE ，于是1BC EO ⊥，可得而1B OE ∠为二面角11B BC E --的平面角，再求出四面体11BB C E 的外接球半径R ，进而利用球的表面积计算公式得出结论．【详解】连接1B C 交1BC 于O ，则11B O BC ⊥， 易知111A B BC ⊥，则1BC ⊥平面1B OE ， 所以1BC EO ⊥，从而1B OE ∠为二面角11B BC E --的平面角， 则145B OE ∠=.因为2AB =，所以112B E BO == 所以四面体11BB C E 的外接球半径24410R ++==． 故四面体BB 1C 1E 的外接球的表面积为2244410ππ++=． 故选：D【点睛】本题考查了正方体的性质、线面垂直的判定与性质定理、二面角的平面角、球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 12.若曲线()11xmy xe x x =+<-+存在两条垂直于y 轴的切线，则m 的取值范围为（ ） A. 427,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭ B. 427,0e -⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 427,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D.4271,e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】 曲线()11xm y xe x x =+<-+存在两条垂直于y 轴的切线⇔函数()11x my xe x x =+<-+存在两个极值点⇔()()'2101xmy x e x =+-=+在(),1-∞-上有两个解，即()31x m x e =+在(),1-∞-上有两异根，令()()()311x f x x e x =+<-，利用导数法可求得()f x 的值域，从而可得m 的取值范围. 【详解】解：∵曲线()11xmy xe x x =+<-+存在两条垂直于y 轴的切线， ∴函数()11xmy xe x x =+<-+的导函数存在两个不同的零点， 又()()'2101x my x e x =+-=+，即()31x m x e =+在(),1-∞-上有两个不同的解，设()()()311x f x x e x =+<-，()()()2'14x f x x e x =++， 当4x <-时，()'0fx <；当41x -≤<-时，()'0f x >，所以()()4min 274f x f e=-=-， 又当x →-∞时，()0f x →，当1x →-时，()0f x →， 故427,0m e ⎛⎫∈-⎪⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，考查推理与运算能力，属于难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.若x，y满足约束条件212x yx yy+≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩，则yzx=的取值范围为________．【答案】1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】作出可行域，yzx=几何意义为可行域内的点(),x y与点()0,0连线的斜率，根据图形观察计算可得答案.【详解】作出可行域，如图所示，则131232OAz kyx≥===，故z的取值范围为1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查分式型目标函数的最值问题，关键是画出可行域，是基础题.14.某工厂共有50位工人组装某种零件.下面的散点图反映了工人们组装每个零件所用的工时（单位：分钟）与人数的分布情况.由散点图可得，这50位工人组装每个零件所用工时的中位数为___________.若将500个要组装的零件分给每个工人，让他们同时开始组装，则至少要过_________分钟后，所有工人都完成组装任务.（本题第一空2分，第二空3分）【答案】 (1). 3.3； (2). 33.14【解析】 【分析】①根据工时从小到大依次分析得出工时3.4人数16，工时3.5人数8，工时3.3人数12，即可得到中位数；②计算出工时平均数即可得解.【详解】①根据散点图：工时3.0人数3，工时3.1人数5，工时3.2人数6，工时3.3人数12，工时3.4人数16，工时3.5人数8，所以工时的中位数为3.3； ②将500个要组装的零件分给每个工人，让他们同时开始组装， 至少需要时间：3561216810 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.533.14505050505050⎛⎫⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ⎪⎝⎭故答案为：①3.3；②33.14【点睛】此题考查求平均数和中位数，关键在于准确读懂题意，根据公式计算求解. 15.设,,a b c 分别为ABC 内角,,A B C 的对边．已知3A π=，1b =且22222(sin 4sin )8(sin sin sin )A B c B C A +=+-，则a = _____．【答案】2 【解析】 【分析】首先利用正弦定理的角化边得到22222(4)8()a b c b c a +=+-，再根据余弦定理即可得到22442a b +=，解方程即可. 【详解】因为22222(sin 4sin )8(sin sin sin )A B c B C A +=+- 所以22222(4)8()a b c b c a +=+-又因为1b =，所以22222(4)8()a b bc b c a +=+-22222488cos 422a b b c a A bc ++-=⨯== 即22442a b +=，解得2a =故答案为：2【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题． 16.设()()2,02,0A B -，，若直线()0y ax a =>上存在一点P 满足||||6PA PB +=，且PAB △的内心到x ，则a =___________.【解析】 【分析】由题意可得点P 为直线(0)y ax a =>与椭圆22195x y +=的交点,直线方程与椭圆方程联立可得2224595a y a =+，由PAB△的内心到x 轴的距离为20，即PAB △的内切圆的半径20r =，由等面积法可求出参数a 的值. 【详解】点P 满足||||6PA PB +=,则点P 在椭圆22195x y+=上.由题意可得点P 为直线(0)y ax a =>与椭圆22195x y +=的交点.联立y ax =与22195x y +=，消去y 得224595x a =+，则2224595a y a =+.因为APB △的内心到x 轴的距离为20，所以PAB △的内切圆的半径20r =. 所以APB △的面积为11||||(||||||)22AB y r AB PA PB ⨯⨯=⨯⨯++，即222254552527||,2954440a y r y r a ====⨯+，解得23a =，又0a >，则a =【点睛】本题考查考查直线与椭圆的位置关系，根据椭圆的焦点三角形的相关性质求参数，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.设等差数列{a n ﹣b n }的公差为2，等比数列{a n +b n }的公比为2，且a 1＝2，b 1＝1． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{2a n +2n }的前n 项和S n ． 【答案】（1）21(21)322n n a n -=-+⨯，（2）2525nn S n =+⨯- 【解析】 【分析】（1）111a b -=，113a b +=，，可得21nn a b n ，132n n n a b -+=⨯，联立即可解得n a .（2）122(21)52n n n a n -+=-+⨯，利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出n S .【详解】（1）111a b -=，113a b +=，∴12(1)21n n a b n n -=+-=-，132n n n a b -+=⨯.联立解得：21(21)322n n a n -=-+⨯. （2）1122(21)322(21)52n n n n n a n n --+=-+⨯+=-+⨯ ∴数列{22}nn a +的前n 项和2(211)125525212nn n n n S n -+-=+⨯=+⨯--.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，同时考查了分组求和，考查了学生推理能力与计算能力，属于简单题．18.某厂加工的零件按箱出厂，每箱有10个零件，在出厂之前需要对每箱的零件作检验，人工检验方法如下：先从每箱的零件中随机抽取4个零件，若抽取的零件都是正品或都是次品，则停止检验；若抽取的零件至少有1个至多有3个次品，则对剩下的6个零件逐一检验.已知每个零件检验合格的概率为0.8，每个零件是否检验合格相互独立，且每个零件的人工检验费为2元.（1）设1箱零件人工检验总费用为X 元，求X 的分布列；（2）除了人工检验方法外还有机器检验方法，机器检验需要对每箱每个零件作检验，每个零件的检验费为1.6元.现有1000箱零件需要检验，以检验总费用的数学期望为依据，在人工检验与机器检验中，应该选择哪一个？说明你的理由.【答案】（1）详见解析（2）应该选择人工检验，详见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，工人抽查的4个零件中，分别计算出4个都是正品或者都是次品，4个不全是次品的人工费用，得出X 的可能值，利用二项分布分别求出概率，即可列出X 的分布列；（2）由（1）求出X 的数学期望EX ，根据条件分别算出1000箱零件的人工检验和机器检验总费用的数学期望，比较即可得出结论.【详解】解：（1）由题可知，工人抽查的4个零件中，当4个都是正品或者都是次品，则人工检验总费用为：248⨯=元， 当4个不全是次品时，人工检验总费用都为：426220⨯+⨯=元， 所以X 的可能取值为8，20，44(8)0.80.20.4112P X ==+=，(20)10.41120.5888P X ==-=，则X 的分布列为（2）由（1）知，80.4112200.588815.0656EX =⨯+⨯=，所以1000箱零件的人工检验总费用的数学期望为100015065.6EX =元， 因为1000箱零件的机器检验总费用的数学期望为1.610100016000⨯⨯=元， 且1600015065.6>， 所以应该选择人工检验.【点睛】本题考查离散型随机变量的实际应用，求离散型随机变量概率、分布列和数学期望，属于基础题.19.如图，在四棱锥P -ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，//AD BC ，AB BC ⊥，12AP AB BC AD ===，E 为AD 的中点，AC 与BE 相交于点O .（1）证明：PO ⊥平面ABCD .（2）求直线BC 与平面PBD 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）2211【解析】 【分析】（1）通过证明BE ⊥平面APC ，得到BE PO ⊥，再证PO AC ⊥即可证得PO ⊥平面ABCD . （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量、直线的方向向量，利用空间向量法求出线面角的正弦值. 【详解】（1）证明：AP ⊥平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，AP CD ∴⊥，//,AD BC 12BC AD =，E 为AD 的中点，则//BC DE 且BC DE =. ∴四边形BCDE 为平行四边形，//BE CD ∴，AP BE ∴⊥.又,AB BC ⊥12AB BC AD ==，且E 为AD 的中点，∴四边形ABCE 为正方形，BE AC ∴⊥，又,APAC A =BE ∴⊥平面APC ，PO ⊂平面APC ，则BE PO ⊥.AP ⊥平面,PCD PC ⊂平面PCD ，AP PC ∴⊥，又22AC AP ==，PAC ∴∆为等腰直角三角形，O 为斜边AC 上的中点，PO AC ∴⊥且,ACBE O =PO ∴⊥平面ABCD .（2）解：以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O -xyz ，如图所示不妨设1OB =，则(1,0,0),B (0,1,0),C (0,0,1),P (2,1,0)D -, 则(1,1,0),BC =-(1,0,1),PB =-(2,1,1)PD =--. 设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =，则00n PB n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，，即0,20,x z x y z -=⎧⎨-+-=⎩即,3,x z y z =⎧⎨=⎩令1z =，得(1,3,1)n =. 设BC 与平面PBD 所成角为θ， 则()2222211310122sin cos ,1113111BC n θ-⨯+⨯+⨯=<>==++-+. 【点睛】本题考查线面垂直，线面角的计算，属于中档题.20.已知函数3()f x x ax =+.（1）讨论()f x 在(),a +∞上的单调性；（2）若3a ≥-，求不等式()()2624224361282f x x x x x a x -+<+++++的解集.【答案】（1）当0a ≥时，()0f x '，则()f x 在(),a +∞上单调递增; 当13a =-时,()f x 的单调递减区间为11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭;当13a <-时()f x 的单调递减区间为,33a a ⎛--- ⎝，单调递增区间为,3a a ⎛- ⎝，,3a ⎫-+∞⎪⎪⎭;当103-<<a 时()f x 的单调递减区间为a ⎛ ⎝，单调递增区间为⎫+∞⎪⎪⎭；（2）(22-. 【解析】 【分析】（1）2()3f x x a '=+，分0a ≥和0a <讨论得出函数()f x 的单调性.(2) 原不等式等价于()()222432f x x f x -+<+,又222432(1)11x x x -+=-+≥，221x +>，当3a ≥-时，22()333f x x a x '=+≥-，所以()f x 在[)1,+∞上单调递增，从而可得出答案.【详解】（1）2()3f x x a '=+.当0a ≥时，()0f x '，则()f x 在(),a +∞上单调递增.当0a <时，令()0f x '=，得x =（i ）当13a =-时，a =， 令()0f x '<，得1133x -<<；令()0f x '>，得13x >.所以()f x 的单调递减区间为11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭.（ii ）当13a <-时，a >， 令()0f x '<，得33a a x；令()0f x '>，得a x <<3a x .所以()f x 的单调递减区间为⎛ ⎝，单调递增区间为,a ⎛ ⎝，⎫+∞⎪⎪⎭.（iii ）当103-<<a 时，a <，令()0f x '<，得a x <<()0f x '>，得3a x .所以()f x 的单调递减区间为a ⎛ ⎝，单调递增区间为⎫+∞⎪⎪⎭. （2）因为3a ≥-，所以22()333f x x a x '=+≥-，当1x ≥时，()0f x '≥，所以()f x 在[)1,+∞上单调递增.因为()()()()3642222261282222x x x a x x a x f x +++++=+++=+，所以原不等式等价于()()222432f x x f x -+<+.因为222432(1)11x x x -+=-+≥，221x +>，所以222432x x x -+<+，解得22x <+(22.【点睛】本题考查讨论函数的单调性和根据函数的单调性解不等式，属于中档题. 21.已知抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点． （1）若l 过点F ，抛物线C 在点P 处的切线与在点Q 处的切线交于点G ．证明：点G 在定直线上．（2）若p ＝2，点M 在曲线y =上，MP ，MQ 的中点均在抛物线C 上，求△MPQ 面积的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）4⎡⎢⎣ 【解析】 【分析】（1）设211(),2x P x p ，222(),2x Q x p，根据条件分别求出直线PG 的方程，QG 的方程，联立可得()()1212122x x x x x x y p--=，化简得到点G 在定直线2py =-上．（2）设00(,)M x y ，表示出MPQ面积32212001(4)24S MN x x x y =⋅-=-．结合M在曲线y【详解】（1）证明：易知(0,)2pF ，设211(),2x P x p ，222(),2x Q x p ． 由题意可知直线l 的斜率存在，故设其方程为2py kx =+． 由222p y kx x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得2220x pkx p --=，所以212x x p =-．由22x py =，得22x y p =，'x y p =，则1PG x k p=，直线PG 的方程为()21112y x x p x x p -=-，即21102x x x y p p--=①. 同理可得直线QG 的方程为22202x x x y p p--=②. 联立①②，可得121212()()2x x x x x x y p--=．因为12x x ≠，所以1222x x py p ==-，故点G 在定直线2p y =-上．（2）设00(,)M x y ，MP ，MQ 的中点分别为210104()22x y x x ++,，22204(,)22x y x x ++． 因为MP ，MQ 得中点均在抛物线上，所以1x ，2x 为方程2204()422x y x x ++=⨯的解，即方程22000280xx x y x -+-=的两个不同的实根，则1202x x x +=，212008x x y x =-，22000(2)4(8)0x y x ∆=-->，即2004x y >，所以PQ 的中点N 的横坐标为0x ，纵坐标为22121()8x x +.则22221201212000113()()23884MN x x y x x x x y x y ⎡⎤=+-=+--=-⎣⎦，12x x -==，所以MPQ的面积32212001(4)24S MN x x x y =⋅-=-．由0y =，得()22000110x y y =--≤≤，所以22200000441(2)5x y y y y -=--+=-++， 因为010y -≤≤，所以201(2)54y ≤-++≤，所以MPQ面积的取值范围为[4． 【点睛】本题考查直线与抛物线的综合，点过定直线的证明，三角形面积取值范围，合理利用根与系数关系是关键，属于难题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为21x y θθ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）若点P 的极坐标为()1,π，过P 的直线与曲线C 交于A ，B 两点，求11PA PB+的最大值．【答案】（1）4cos 2sin ρθθ=-（2）5【解析】 【分析】（1）先将21x y θθ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩中的θ消去得普通方程，再利用cos sin x y ρθρθ==，可得极坐标方程；（2）先求出AB 的参数方程，代入曲线C 的普通方程，利用韦达定理及三角函数的性质可得11PA PB+的最大值. 【详解】解：（1）由21x y θθ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩，得()()22215x y -++=， 即2242x y x y +=-，所以24cos 2sin ρρθρθ=-， 即4cos 2sin ρθθ=-，故曲线C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=-.（2）因为P 的极坐标为()1,π，所以P 的直角坐标为()1,0-，故可设AB 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数）. 将1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩代入()()22215x y -++=，得()22sin 6cos 50t t αα+-+=， 设点,A B 对应的参数分别为12,t t ，则122sin 6cos t t αα+=-+，1250t t =>， 所以1112122sin 6cos 11115t t PA PB t t t t αα+-+=+===， 故11PA PB +的最大值为5. 【点睛】本题考查普通方程，参数方程，极坐标方程之间的互化，考查直线参数方程中参数几何意义的应用，是中档题.[选修4-5：不等式选讲] 23.已知函数()32f x x kx =--.（1）若1k =，求不等式()31f x x ≤-的解集；（2）设函数()f x 的图象与x 轴围成的封闭区域为Ω，证明：当23k <<时，Ω的面积大于1615. 【答案】（1）{}1x x ≥-；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）对不等式进行零点分段讨论求解；（2）求出函数与x 轴交点坐标，表示出三角形面积，根据23k <<求得面积即可得证.【详解】（1）若1k =，不等式()31f x x ≤-即：3231x x x --≤- 32310x x x ----≤， 当23x <时，23330,1x x x x -+--≤≥-，得213x -≤<， 当213x ≤≤时，32330,1x x x x -+--≤≤，得213x ≤≤， 当1x >时，32330,1x x x x --+-≤≥，得1x >，综上所述：1x ≥-即：不等式()31f x x ≤-的解集为{}1x x ≥-； （2）()()()232,332232,3k x x f x x kx k x x ⎧-->⎪⎪=--=⎨⎪--+≤⎪⎩， 该函数图象与x 轴围成的封闭区域为三角形， 其三个顶点为2222,,,0,,03333k A B C k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 23k <<，249k <<该三角形面积：12222333k S k k ⎛⎫=-⋅ ⎪-+⎝⎭ 22439k k=⨯- 2249939k k-+=⨯-2494916113939415k ⎛⎫⎛⎫=-+>⨯-+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 所以原命题得证.【点睛】此题考查求解绝对值不等式，利用零点分段讨论，根据三角形的面积证明不等式，关键在于准确求解顶点坐标，利用不等关系证明.。
2021届高考9月份联考试题理科数学试卷附答案解析
2021届普通高中教育教学质量监测考试全国卷理科数学注意事项：1 .本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。
2 .答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。
3 .全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4 .本试卷满分150分，测试时间120分钟。
5 .考试范画：必修1〜5,选修2 — 1, 2-2, 2—3。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。
1.若 z=2—L 则区一zl= A3 B.2 C. VTO D.V262,若集合 A={xly=k )g3(x2—3x-18)}, B={-5, -2, 2, 5, 7),则 AAB = A.{—2, 2, 5}B.{-5, 7}C.{-5, -2, 7}D.{-5, 5, 7)3.我国古代的宫殿金碧辉煌，设计巧夺天工，下图(1)为北京某宫殿建筑，图(2)为该宫殿某一 “柱脚”的三视图，其中小正方形的边长为1,则根据三视图可知，该“柱脚”的表面积为94•已知抛物线G ： y2=6x 上的点M 到焦点F 的距离为一,若点N 在Cz ： (x+2)2+y 2=l ・ 2则点M 到点N 距离的最小值为A.A /26-1B.>/43-1C.V33-1D.25.根据散点图可知，变量x, y 呈现非线性关系。
为了进行线性回归分析，设u=21ny, v=(2x -3)2,利用最小二乘法，得到线性回归方程u=-1v+2,则3B.变量y 的估计值的最小值为eA.变量y 的估计值的最大值为e图⑴ 图⑵A.9TT +9+9 B.18 兀+18 点 +9 C.18 兀+18& +18D.18TT +91 + 18C 变量y 的估计值的最大值为e 2 D.变量y 的估计值的最小值为e 26,函数f(x)=h]2x —x3的图象在点(1, f(L))处的切线方程为 2 25 3 5 c — 1 1 、1 A. y = — x--B. y = — —x + 2C. y = —x--D. y = --x44 44447,已知函数 f(x)=3cos(sx+<p)(3>0),若 f (一二)=3, f( —)=0,则 3 的最小值为3 31 3 A.-B.-C.2D.3248 .(3x-2)2(x-2)6的展开式中，X”的系数为 A.O B.4320C.480D.38409 .已知圆C 过点(1, 3), (0, 2), (7, -5),直线/： 12x-5y —1=0与圆C 交于M, N 两点, 则 IMNI = A.3B.4C.6D.8 10・已知角a 的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(1, m),其中m>0：若tan2a12 rll—,则 cos(2a+ni7i) = 6「 口A.— —B.— —131311 .已知三棱锥S-ABC 中，ZiSBC 为等腰直角三角形，ZBSC=ZABC = 90°, ZBAC=2Z BCA, D, E, F 分别为线段AB, BC, AC 的中点，则直线SA, SB, AC, SD 中，与平面SEF 所成角为定值的有A.1条B.2条 C3条 D.4条e x212.已知函数f(x)= — —m(h]x+x+ —)恰有两个极值点，则实数m 的取值范围为 x x11 1 c c 1 eA.(-8, _] B,(一，+8) C.(一，-)U (- , 4-oo)D .(—8, —]U(—，+8)222 332 3第n 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
2021届河北省张家口市邢台市衡水市高三上学期摸底联考(新高考)数学试题(解析版)
2021届河北省张家口市邢台市衡水市高三上学期摸底联考（新高考）数学试题一、单选题1．已知集合{}0,1,2,3A =，{B x y ==，则A B =（ ）．A ．{}3B ．{}2,3C ．{}0,1D ．{}0,1,2【答案】D【解析】化简集合B ，利用交集的定义计算即可． 【详解】∵{{}=|2B x y x x ==≤，∴{}0,1,2A B =．故选：D 【点睛】本题考查集合的交并补运算，考查函数的定义域，属于基础题． 2．命题“()0,x ∀∈+∞，221x x +≥”的否定是（ ）．A ．()00,x ∃∈+∞，02021x x +<B ．()00,x ∃∈+∞，02021x x +≥C ．()0,x ∀∈+∞，221x x +<D ．221x x +≤【答案】A【解析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得解； 【详解】解：命题“()0,x ∀∈+∞，221x x +≥”为全称量词命题，其否定为存在量词命题，所以命题的否定为：()00,x ∃∈+∞，02021x x +<．故选：A ． 【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题. 3．已知复数34i2iz -=-，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ）． A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】化简复数z ，进而得出z 的共轭复数z ，可得z 在复平面内对应的点． 【详解】 ∵()52i |34i|2i 2i 5z +-===+-，∴2i z =-，它在复平面内对应的点()2,1-位于第四象限． 故选：D ． 【点睛】本题考查复数的几何意义，考查共轭复数的定义，考查复数的运算，属于基础题． 4．设132a =，3log 2b =，2log 0.1c =，则（ ）． A ．a c b >> B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c b a >>【答案】B【解析】先与0比较，c 小于0，再a 和b 与1比较，即可判断大小. 【详解】103221a =>=3330log 1log 2log 31=<<=，01b ∴<<，22log 0.1log 10c =<=，∴a b c >>． 故选：B ． 【点睛】本题考查比较大小、指数函数单调性、对数函数单调性，考查基本分析判断能力，属基础题.5．已知向量m ，n 满足2m n m n +=-，且2m n =，则m 与n 的夹角的余弦值为（ ）． A ．13B ．14C ．16D ．18【答案】B【解析】将2m n m n +=-两边平方可得212m n n ⋅=，再利用向量数量积即可求解. 【详解】∵2m n m n +=-，∴2222244m n m n m n m n ++⋅=+-⋅，∴212m n n⋅=，且2m n=，设向量m与n的夹角为θ，则22112cos42nm nm n nθ⋅===⋅．故选：B．【点睛】本题考查了向量的数量积求向量的夹角，考查了基本知识的掌握情况以及基本运算求解能力，属于基础题.6．函数()()22e cose1xxx xf x-=+的大致图象为（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】根据解析式，分析函数的定义域、奇偶性、特殊点、单调性等，利用排除法即可求出答案． 【详解】 解：∵()()22e cos e1x xx x f x ----=+()()22e cos e 1x xx x f x -==+，且定义域为R ，∴()f x 为偶函数，排除D ； ∵()102f =，∴排除B ； ∵()()2422e cos 244cos 221e 1e ef --==-++，而22224cos 250111e e e e -<<<++， ∴()()21,0f ∈-，排除A ； 故选：C ． 【点睛】本题主要考查函数图象的识别问题，考查数形结合思想，属于中档题．7．我国古代著作《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完．在这个问题中，记第n 天后剩余木棍的长度为n a ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则使得不等式20202021n S >成立的正整数n 的最小值为（ ）． A ．9 B ．10C ．11D ．12【答案】C【解析】记第n 天后剩余木棍的长度为n a ，则{}n a 是首项为12，公比为12的等比数列，利用等比数列的求和公式计算，解不等式可得整数n 的最小值． 【详解】记第n 天后剩余木棍的长度为n a ，则{}n a 是首项为12，公比为12的等比数列， 所以12n n a =，11112211212nn nS ⎛⎫- ⎪⎝⎭==--，nS 是关于n 的增函数，而10101102320201210242021S =-=<，11111204720201220482021S =-=>，所以使得不等式20202021n S >成立的正整数n 的最小值为11． 故选：C ． 【点睛】本题考查等比数列求和公式的应用，考查数列的单调性，属于基础题．8．已知斜率存在的直线l 交椭圆C ：22194x y +=于A ，B 两点，点P 是弦AB 的中点，点()1,0M ，且()0MP MB MA ⋅-=，1MP =，则直线MP 的斜率为（ ）． A． B．C ．43±D ．34±【答案】D【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，代入椭圆的方程两式相减，整理得49x k y =-，再由()0MP MB MA ⋅-=，得到MP AB ⊥，进而根据1MP k k ⋅=-，求得095x =，过点P 作PH x ⊥轴于点H ，求得3tan 4PMH ∠=，即可求得MP k . 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，直线AB 的斜率为k ，不妨令0k >，则22112222194194x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减，得()()()()1212121211094x x x x y y y y +-++-=， 所以1200121122094y y x y x x -⨯+⨯⨯=-，所以00490x y k +=，即0049x k y =-． 由()0MP MB MA ⋅-=，即0MP AB ⋅=,可得MP AB ⊥， 又由001MP y k x =-，所以00004191MPx y k k y x ⋅=-⋅=--，解得095x =， 过点P 作PH x ⊥轴于点H ，则4cos 5PMH ∠=， 所以3tan 4PMH ∠=，即34MP k =-，根据椭圆的对称性，可得直线MP 的斜率为34±． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其几何性质，以及直线的倾斜角和斜率公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.二、多选题9．已知双曲线E ：2214x y m -=（0m >）的一条渐近线方程为30x y +=，则下列说法正确的是（ ）． A ．E 的焦点在x 轴上 B ．49m =C ．E 的实轴长为6D ．E 【答案】AD【解析】根据双曲线的定义及性质即可验证各选项． 【详解】解：由0m >，可知双曲线E 的焦点一定在x 轴上，故A 正确；根据题意得13b a ==，所以36m =，故B 错误；双曲线E 的实轴长为12==，故C 错误；双曲线E 的离心率3c e a ====，故D 正确． 故选：AD ． 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，属于基础题．10．2020年初以来，5G 技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G 手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了近5个月来5G 手机的实际销量，如下表所示：若y 与x 线性相关，且求得线性回归方程为455y x =+，则下列说法正确的是（ ） A ．147a = B ．y 与x 正相关C ．y 与x 的相关系数为负数D ．8月份该手机商城的5G 手机销量约为36.5万部 【答案】AB【解析】计算出销量的平均数，利用总销量可得a 值；由回归方程中的x 的系数为正可知，y 与x 正相关；将7x =代入，可得8月份该手机商城的5G 手机销量． 【详解】由表中数据，计算得()11234535x =⨯++++=，所以4535140y =⨯+=， 于是得371041962161405a ++++=⨯，解得147a =，故A 正确；由回归方程中的x 的系数为正可知，y 与x 正相关，且其相关系数0r >，故B 正确，C 错误；8月份时，7x =，32y =（万部），故D 错误． 故选：AB ． 【点睛】本题考查两个变量的线性相关关系，考查了线性回归方程的应用，考查学生逻辑推理能力，属于中档题． 11．已知0a >，0b >，且211a b+=，则（ ） A ．1b > B ．8ab ≤ C ．224112a b +≥ D ．28a b +≥【答案】ACD【解析】结合不等式的基本性质，根据基本不等式逐一验证各选项即可得出结论． 【详解】 解：∵211a b+=， ∴21110b a b b-=-=>，∴1b >，故A 正确；211a b +=≥8ab ≥，故B 错误； 2224121a b a b ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭221212a b a b ⎛⎫-⨯⨯≥+ ⎪⎝⎭21212a b ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭2121122a b ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故C 正确；()2122a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭4448b a a b =++≥+=，故D 正确．故选：ACD ． 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题． 12．已知函数()πcos 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭与()()sin 2g x x θ=+（ππθ-<<）的图象关于y 轴对称，则下列结论正确的是（ ）．A ．π4θ=B ．直线π8x =是()g x 的图象的一条对称轴 C ．()g x 在π5π,88⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D ．()g x 的图象可看作是()f x 的图象向左平移π4个单位长度而得到的 【答案】ABC【解析】首先求出()πsin 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后逐一判断即可. 【详解】由题得，()πππππcos 2cos 2sin 2sin 244424g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴π4θ=，故A 正确； ∵ππππsin 2sin 18842g ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴直线π8x =是函数()g x 的图象的一条对称轴，故B 正确； 由ππ3π2π22π242k x k +≤+≤+（k ∈Z ），得π5πππ88k x k +≤≤+（k ∈Z ），当0k =时，π5π88x ≤≤，故()g x 在π5π,88⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故C 正确；()πππ3πcos 2sin 2sin 24244f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而()ππ3ππ3πsin 2sin 2sin 242444g x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故函数()g x 的图象可看作是函数()f x 的图象向右平移π4个单位长度而得到的，故D 错误． 故选：ABC 【点睛】本题考查的是三角函数的图象和性质，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.三、填空题13．若曲线()32f x ax x =-在点()()22f ,处的切线的斜率为1，则a =______．【答案】14【解析】求得函数的导数()f x '，得到()2122f a '=-，根据题意得出1221a -=，即可求解. 【详解】由题意，函数()32f x ax x =-，可得()232f x ax '=-，则()2122f a '=-，因为曲线()32f x ax x =-在点()()22f ,处的切线的斜率为1，所以1221a -=，解得14a =． 故答案为：14. 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求参数问题，其中解答中熟记导数的几何意义，列出方程是解答的关键，着重考查运算与求解能力.14．2020年是我国脱贫攻坚决战决胜之年，某县农业局为支持该县的扶贫工作，决定派出8名农技人员（5男3女），并分成两组，分配到2个贫困村进行扶贫工作，若每组至少3人，且每组都有男农技人员，则不同的分配方案共有______种（用数字填写答案）．【答案】180【解析】分为两类：第一类是一组3人，另一组5人，第二类是两组均为4人，然后根据人数分组，再进行排列即可. 【详解】分配的方案有两类，第一类：一组3人，另一组5人，有()3282C 1A 110-⋅=种；第二类：两组均为4人，有44284252C C A 70A ⋅=种， 所以共有11070180N =+=种不同的分配方案． 故填：180 【点睛】本题考查了分类计数原理和分步计数原理以及排列组合数的计算，属于中档题目，解题中需要注意分组的条件要充分考虑到，防止重复和遗漏.15．已知球O 是三棱锥P ABC -的外接球，1AB BC CA ===，2PA =，则当点P 到平面ABC 的距离取最大值时，球O 的表面积为______． 【答案】16π3【解析】当点P 到平面ABC 的距离最大时，PA ⊥平面ABC ,转化为三棱柱的外接球求解即可. 【详解】当点P 到平面ABC 的距离最大时，PA ⊥平面ABC ．如图，以ABC 为底面，PA 为侧棱补成一个直三棱柱，则球O 是该三棱柱的外接球， 球心O 到底面ABC 的距离112d PA ==． 由正弦定理得ABC的外接圆半径2sin 60AB r ==︒ 所以球O的半径为R ==， 所以球O 的表面积为216π4π3S R ==． 故答案为：16π3.【点睛】本题主要考查点面距离、多面体的外接球以及正弦定理的应用，属于综合题.四、双空题 16．已知π1tan 42α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=______，22cos 2sin 2cos ααα=-______． 【答案】3; 87-【解析】根据两角差的正切公式可求得第一空，再根据二倍角公式弦化切可求得第二空． 【详解】 解：∵π1tan 42α⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴tan 111tan 2αα-=+，解得tan 3α=，∴22222222cos 2cos sin 1tan 8sin 2cos sin 2cos tan 27a a ααααααα--===----， 故答案为：3；87-． 【点睛】本题主要考查两角差的正切公式，考查同角三角函数的基本关系，考查齐次式的求值，属于基础题．五、解答题17．在①5cos 3cos 3cos b B a C c A -=；②3sin cos 4cos 3cos sin b B C a B b B C =-；③2π22cos 12810B ⎛⎫+=-⎪⎝⎭（π02B <<），这三个条件中，任选一个补充在下面问题中的横线处，并加以解答．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若7a c +=，ABC 的面积为4，______，求sin B 及b ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】4sin 5B =．b =【解析】选①，用正弦定理化角为边，再用两角和公式求出sin B ，再由面积公式求出a ，c ，再由余弦定理可求出b选②，用正弦定理化角为边，再用两角和公式的求出sin B ，cos B ，再由面积公式求出a ，c ，再由余弦定理可求出b选③，利用倍角公式，两角和公式以及面积公式和余弦定理即可求解 【详解】解：若选①：由正弦定理及5sin 3cos 3cos b B a C c A -=，得()5sin cos 3sin cos 3sin cos 3sin 3sin B B A C C A A C B =+=+=， 又()0,πB ∈，所以sin 0B ≠，所以5cos 3B =，即3cos 5B =，所以4sin 5B ==．因为114sin 4225ABC S ac B ac ==⨯=△，所以10ac =， 由余弦定理得()2222222cos 12212493217b a c ac B a c a c ac =+-=+-=+--=-=，即b =若选②：由正弦定理得及3sin cos 4cos 3cos sin b B C a B b B C =-， 得()3sin sin 4sin cos B B C A B +=，即3sin sin 4sin cos B A A B =，又()0,πA ∈，所以sin 0A ≠，所以3sin 4cos B B =，结合22sin cos 1B B +=及()0,πB ∈，可解得3cos 5B =，4sin 5B =．因为114sin 4225ABC S a B ac ==⨯=△，所以10ac =， 由余弦定理得()2222222cos 12212493217b a c ac B a c a c ac =+-=+-=+--=-=，即b =若选③：由2π2cos 12810B ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，得πcos 410B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 又π02B <<，所以ππ3π444B <+<，所以πsin 04B ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以πsin 4B ⎛⎫+==⎪⎝⎭，所以ππ4sin sin 441021025B B ⎛⎫=+-=+= ⎪⎝⎭． 因为114sin 4225ABC S ac B ac ==⨯=△，所以10ac =， 由余弦定理得()2222222cos 12212493217b a c ac B a c a c ac =+-=+-=+--=-=，即b = 【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，两角和公式以及面积公式的使用，属于基础题 18．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，8390S S -=，26a =． （1）求数列{}n a 的通项公式及n S ； （2）记数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若2033nT =，求n 的值． 【答案】（1）3n a n =；23322n S n n =+；（2）10n =． 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列的通项公式和前n 项和公式即可求出答案； （2）由（1）可得()132113331n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，再用裂项相消法可求得n T ，再解方程即可求出答案． 【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， ∵8390S S -=，26a =，∴()11182833906a d a d a d ⎧+-+=⎨+=⎩， 解得133a d =⎧⎨=⎩，∴()3133n a n n =+-⨯=， ∴()()1233332222n n n aa n n S n n ++===+； （2）由（1）可得()132113331n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， ∴211111132231n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()21213131n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，令2033n T =，得()2203133n n =+，即10111n n =+， ∴10n =． 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，考查裂项相消法求和，属于基础题．19．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AB AD ⊥，四边形ADEF 为正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD ．33BC AB AD ==，M 为线段BD 的中点．（1）求证：BD ⊥平面AFM ；（2）求平面AFM 与平面ACE 所成的锐二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2222. 【解析】（1）证明BD ⊥平面AFM 内的两条相交直线,AF AM ，即可得答案； （2）由（1）知AF ⊥平面ABCD ，所以AF AB ⊥，AF AD ⊥，又AB AD ⊥，可得AB ，AD ，AF 两两垂直．分别以AB ，AD ，AF 为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系A xyz -（如图）．求出平面ACE 的法向量，再代入向量的夹角公式，即可得答案； 【详解】解：（1）因为ADEF 为正方形，所以AF AD ⊥．又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ， 且平面ADEF平面ABCD AD =，所以AF ⊥平面ABCD ．所以AF BD ⊥．因为AB AD =，M 线段BD 的中点，所以BD AM ⊥． 又AMAF A =，所以BD ⊥平面AFM ．（2）由（1）知AF ⊥平面ABCD ，所以AF AB ⊥，AF AD ⊥，又AB AD ⊥， 所以AB ，AD ，AF 两两垂直．分别以AB ，AD ，AF 为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系A xyz -（如图）．设1AB =，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,3,0C ，()0,1,0D ，()0,1,1E ， 所以()1,1,0BD =-，()0,1,1AE =，()1,3,0AC =，设平面ACE 的一个法向量为(),,n x y z =，则0,0,AC n AE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 即0,30,y z x y +=⎧⎨+=⎩令1y =，则3x =-，1z =-，则()3,1,1n =--．由（1）知，()1,1,0BD =-为平面AFM 的一个法向量． 设平面AFM 与平面ACE 所成的锐二面角为θ， 则cos cos ||||BD n BD n BD n θ⋅=⋅=()()()222222|311110|311110-⨯-+⨯+-⨯=-++-⋅-++22211=． 所以平面AFM 与平面ACE 所成的锐二面角的余弦值为22211． 【点睛】本题考查线面垂直判定定理、线面角的向量求法，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意寻找三条两两互相垂直的直线，再建系.20．在平面直角坐标系xOy 中，已知()2,0F ，()2,3M -，动点P 满足12OF MP PF ⋅=． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,0D 作直线AB 交C 于A ，B 两点，若AFD 的面积是BFD △的面积的2倍，求AB ．【答案】（1）28y x =；（2. 【解析】（1）设(),P x y ，求得,,MP OF PF 的坐标，结合12OF MP PF ⋅=，化简、整理，即可求得抛物线的方程；（2）设()()1122,,,A x y B x y ，不妨设120,0y y ><，由2AFD BFD S S =△△，求得122y y =-，设直线AB 的方程为1x my =+，联立方程组，结合根与系数的关系，求得128y y m +=，128y y =-，进而求得12,,y y m ，利用弦长公式，即可求解. 【详解】（1）设(),P x y ，因为()2,0F ，()2,3M -，则()2,3MP x y =+-，()2,0OF =，()2,PF x y =--．由12OF MP PF ⋅=，可得2x +=28y x =，即动点P 的轨迹C 的方程为28y x =． （2）设()11,A x y ，()22,B x y ， 由题意知112AFD S FD y =⋅△，212BFD S FD y =⋅△， 易知120y y <，不妨设120,0y y ><，因为2AFD BFD S S =△△，所以122y y =，所以122y y =-． ① 设直线AB 的方程为1x my =+，联立281y xx my ⎧=⎨=+⎩消去x ，得2880y my --=，则264320m ∆=+>，可得128y y m +=，128y y =- ②由①②联立，解得1214,2,4y y m ==-=， 所以2121317114(2)162AB m y y =+-=+⨯--=． 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，抛物线的标准方程的求解，以及直线与抛物线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．质量指标值[)0,10[)10,20[)20,30[)30,40[)40,50频数2010301525（1）规定：消毒液的质量指标值越高，消毒液的质量越好．已求得甲厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数为2263，乙厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数为26.5，分别求甲厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数以及乙厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数，并针对这两家工厂所生产的消毒液的质量情况写出两条统计结论； （2）甲厂生产的消毒液的质量指标值Z 近似地服从正态分布()2,Nμσ，其中μ近似为样本平均数x ，并已求得11.95σ=．该厂决定将消毒液分为A ，B ，C 级三个等级，其中质量指标值Z 不高于2.6的为C 级，高于38.45的为A 级，其余为B 级，请利用该正态分布模型解决下列问题：（ⅰ）甲厂近期生产了10万瓶消毒液，试估计其中B 级消毒液的总瓶数； （ⅱ）已知每瓶消毒液的等级与出厂价X （单位：元/瓶）的关系如下表所示：等级A B C假定甲厂半年消毒液的生产量为1000万瓶，且消毒液全都能销售出去．若每瓶消毒液的成本为20元，工厂的总投资为4千万元（含引进生产线、兴建厂房等一切费用在内），问：甲厂能否在半年之内收回投资？试说明理由． 附：若()2,ZN μσ，则()0.6827P Z μσμσ-<≤+=，()220.9545P Z μσμσ-<≤+=，()330.9973P Z μσμσ-<≤+=．【答案】（1）26.5；2263；答案见解析；（2）（ⅰ）B 级消毒液有81860瓶；（ⅱ）甲厂能在半年之内收回投资．理由见解析.【解析】（1）根据频率分布直方图和频率分布表求出平均数、众数，然后对两家工厂生产的消毒液质量指标值作比较得出方案；（2）根据()()2.638.452P Z P Z μσμσ<≤=-<≤+模型可求出； （3）列出Y 的分布列，可求出期望，然后再作比较可得答案. 【详解】（1）甲厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数为50.1150.2250.3350.25450.1526.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=甲．设乙厂生产的消毒液的质量指标值的中位数为n ， 则()0.20.1200.030.5n ++-⨯=，解得2263n =． 统计结论：（答案不唯一，任意两个即可，其他答案如果叙述正确也给分）①两家工厂生产的消毒液质量指标值的平均数相等，从这个角度看这两家工厂生产的消毒液质量基本相当；②由数据波动的情况可知，乙厂生产的消毒液质量的方差大于甲厂生产的消毒液质量的方差，说明甲厂生产的消毒液比乙厂生产的消毒液的质量更稳定．③两家工厂生产的消毒液质量指标值的平均数相同，但乙厂生产的消毒液质量的方差大于甲厂生产的消毒液质量的方差，所以甲厂生产的消毒液更好． ④两家工厂所生产的消毒液的质量指标值的众数均等于25． ⑤两家工厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数均为2263． ⑥甲厂生产的消毒液质量集中在平均数附近，乙厂生产的消毒液中质量指标值特别小和质量指标值特别大的较多．（2）（ⅰ）()()2.638.452P Z P Z μσμσ<≤=-<≤+()()1222P Z P Z μσμσμσμσ=-<≤++-<≤+⎡⎤⎣⎦0.8186=， 因为1000000.818681860⨯=，所以可估计甲厂所生产的这10万瓶消毒液中，B 级消毒液有81860瓶．（ⅱ）设每瓶消毒液的利润为Y 元，则Y 的可能取值为10，5，4-，()()1038.45P Y P Z ==≥()P Z μσ=≥+()112P Z μσμσ=--<<+⎡⎤⎣⎦ ()110.68272=-0.15865=， 由（ⅰ）知()()5 2.638.450.1816P Y P Z ==<<=，所以()410.81860.158650.02275P Y =-=--=，故Y 的分布列为所以每瓶消毒液的平均利润为()100.1586550.818640.02275 5.5885E Y =⨯+⨯-⨯=（元），故生产半年消毒液所获利润为1 5.5885 5.5885⨯=（千万元），而5．5885（千万元）>4（千万元），所以甲厂能在半年之内收回投资． 【点睛】本题考查了根据频率分布直方图、频率分布表求平均数、中位数，正态分布的性质及随机变量的分布列.22．已知函数()sin cos 1f x x x x =+-，()()214g x x f x =-． （1）求()f x 在区间()0,2π上的极值点； （2）证明：()g x 恰有3个零点． 【答案】（1）极大值点π2x =，极小值点3π2x =；（2）证明见解析. 【解析】（1）求出()cos f x x x '=，利用导数求出函数的单调区间，进而求出极值点. （2）求出0x =是()g x 的一个零点，再判断函数为偶函数，只需确定0x >时，()g x的零点个数，利用导数判断函数的单调性，结合函数的符号即可求解． 【详解】解：（1）()cos f x x x '=（()0,2πx ∈）， 令()0f x '=，得π2x =，或3π2x =． 当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增；当π3π,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当3π,2π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增．故π2x =是()f x 的极大值点，3π2x =是()f x 的极小值点． 综上所述，()f x 在区间()0,2π上的极大值点为π2x =，极小值点为3π2x =．（2）()()22111sin cos 44g x x f x x x x x =-=+--（x ∈R ）， 因为()00g =，所以0x =是()g x 的一个零点．()()()()()()2211sin cos 1sin cos 44x g x x x x x x x x g x --=+-----=+--=， 所以()g x 为偶函数．即要确定()g x 在R 上的零点个数，只需确定0x >时，()g x 的零点个数即可． 当0x >时，()()11cos 12cos 22g x x x x x x '=-=-． 令()0g x '=，即1cos 2x =，π2π3x k =+或5π2π3x k =+（k ∈N ）．π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减，又()00g =，所以π03g ⎛⎫< ⎪⎝⎭；π5,π33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，且25251ππ03362g ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭， 所以()g x 在区间50,π3⎛⎫ ⎪⎝⎭内有唯一零点．当5π3x ≥时，由于sin 1x ≤，cos 1≤x ．第 21 页 共 21 页 ()()2221111sin cos 11444g x x x x x x x x x t x =+--≥+--=-=． 而()t x 在区间5π,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭内单调递增，()5π03t x t ⎛⎫≥> ⎪⎝⎭， 所以()0g x >恒成立，故()g x 在区间5π,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭内无零点，所以()g x 在区间()0,∞+内有一个零点，由于()g x 是偶函数，所以()g x 在区间(),0-∞内有一个零点，而()00g =，综上，()g x 有且仅有三个零点．【点睛】本题考查了利用导数求函数的极值点、利用导数研究函数的零点个数，考查了分析能力、数学运算，属于难题.。