2018高考数学(文)备考黄金易错点专题02 不等式与线性规划(易错起源)

合集下载

高考数学第二轮复习线性规划知识要点总结

高考数学第二轮复习线性规划知识要点总结2018年高考数学第二轮复习线性规划知识点总结简单线性规划问题是高考的热点之一，也是历年高考的必修内容。

它主要以填空题的形式考查X最优解的X值问题的解。

高考命题主要集中在以下几个方面的线性规划知识点：(1)常规的线性规划问题，即线性约束下求X值的问题；(2)结合函数、平面向量等知识的X值问题；(3)求解非线性约束下的X值问题；(4)考察线性规划在解决现实生活和生产实践中的应用。

第一个(2)(3)(4)点往往是命题的xx点。

【例1】让函数f()=？3?罪恶？因为。

其中角的顶点与坐标原点重合，开始边与X轴的非负半轴重合，结束边经过该点？P(x，y)？0呢？(1)如果点p的坐标是12，32，求f()的值；(2)如果点P(x，y)是平面区域：xyy1，y1。

在最后一个移动点上，尝试确定角度的取值范围，求函数f()的小值和大值。

分析第一个问题(1)，我们只需要用到三角函数的定义。

在问题(2)中，只要先画出平面面积，然后根据画出的平面面积确定角度的范围，再转化为求f()=a？罪恶？b？因为。

类型函数的x值。

解(1)可以从点p的坐标和三角函数的定义得到？罪恶？=32,因为。

=12。

所以f()=3？罪恶？因为。

=?332 12=2。

(2)做一个如图所示的平面区域(即三角形区域ABC)，其中a (1，0)，b (1，1)，C(0，1)？所以0？2,F()=又是3？罪恶？因为。

=2?罪恶？6,然后呢。

2?3,所以呢。

2，那是=？3，f()得到x的值，x的值等于2；什么时候？6，即当=0时，f()取x的小值，x的小值等于1。

评论本题X的亮点在于将线性规划中的基本内容平面区域有机合成，以解题的形式对三角函数进行求值，这在过去几年中是很少见的。

专题02 不等式与线性规划易错练兵-2018年高考数学理备

1．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －2x ≤0，B ＝{0，1,2,3}，则A ∩B ＝( ) A ．{ 1,2} B ．{0,1,2} C ．{1} D ．{1,2,3}解析：∵A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －2x ≤0＝{x |0<x ≤2}， ∴A ∩B ＝{1,2}，故选A. 答案：A2．若1a <1b<0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |解析：由题可知b <a <0，所以A ，B ，C 正确，而|a |＋|b |＝－a －b ＝|a ＋b |，故D 错误，选D. 答案：D3．关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(1,3)C ．(－1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)4．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥1，x －y ≤1，y －1≤0，则z ＝x －2y 的最大值为( )A ．－3B ．0C ．1D ．3解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥1，x －y ≤1，y －1≤0，表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中A (－1,1)，B (2,1)，C (1,0)，设z ＝F (x ，y )＝x －2y ，将直线l ：z ＝x －2y 进行平移，当l 经过点C 时，目标函数z 达到最大值．所以z max ＝F (1,0)＝1. 答案：C5．若log a (3a －1)>0，则a 的取值范围是( ) A ．a <13 B.13<a <23C ．a >1 D.13<a <23或a >1解析：∵log a (3a －1)>0， ∴log a (3a －1)>log a 1，当a >1时，则有3a －1>1，解得a >23，∴a >1；当0<a <1时，则有⎩⎪⎨⎪⎧3a －1>03a －1<1，解得13<a <23，∴13<a <23，综上，可知a 的取值范围是a >1或13<a <23.故选D.答案：D6．已知x >0，y >0，lg2x ＋lg8y＝lg2，则1x ＋13y 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3解析：因为lg2x ＋lg8y＝lg2，所以x ＋3y ＝1，所以1x ＋13y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋13y (x ＋3y )＝2＋3y x ＋x 3y ≥4，当且仅当3y x＝x 3y ，即x ＝12，y ＝16时，取等号．答案：C7．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋4y ≤12，则z ＝2x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 的最大值为( )A ．16B ．8C ．4D ．38．已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a x －，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A ．1 B.35C.12D ．2 解析：依题意可知不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，由图可知，当y ＝－2x ＋z 经过点A (1，－2a )时，z 取得最小值1，即1＝2×1－2a ，解得a ＝12，选C.答案：C9．已知a ，b ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋1a ＋1b＝5，则a ＋b 的取值范围是( )A ．[1,4]B ．[2，＋∞)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)10．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，y ＋2≥0，x ＋y ＋2≥0，则(x ＋2)2＋(y ＋3)2的最小值为( )A ．1 B.92C ．5D ．9解析：可行域为如图所示的阴影部分，由题意可知点P (－2，－3)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－2－3＋2|2＝32，所以(x ＋2)2＋(y ＋3)2的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝92，故选B.答案：B11．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －9≤0，y ≤2，若使z ＝ax ＋y 取得最小值的最优解有无穷多个，则实数a 的取值集合是( ) A ．{－2,0} B ．{1，－2} C ．{0,1} D ．{－2,0,1}解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由z ＝ax ＋y 得y ＝－ax ＋z .若a ＝0，则直线y ＝－ax ＋z ＝z ，此时z 取得最小值的最优解只有一个，不满足题意；若－a >0，则直线y ＝－ax ＋z 在y 轴上的截距取得最小值时，z 取得最小值，此时当直线y ＝－ax 与直线2x －y －9＝0平行时满足题意，此时－a ＝2，解得a ＝－2；若－a <0，则直线y ＝－ax ＋z 在y 轴上的截距取得最小值时，z 取得最小值，此时当直线y ＝－ax 与直线x ＋y －3＝0平行时满足题意，此时－a ＝－1，解得a ＝1. 综上可知，a ＝－2或a ＝1.故选B. 答案：B12．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －＋a 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4]B ．[－4，＋∞)C ．[－4,20]D ．[－40,20)13．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，2x －y －2≤0，x ＋y －4≥0，则x ＋2y 的最大值为( )A.132B ．6C ．11D ．10答案 C解析令z ＝x ＋2y ，则y ＝－12x ＋z2，由线性约束条件作出可行域如图中阴影部分所示，则z max ＝11.14．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ＋y －7≤0，x ≥1，则y x的最大值为( )A ．3B ．6 C.95 D ．1答案 B解析目标函数y x 可以变形为k ＝y －0x －0，即其可表示为满足题中约束条件的可行域内的点(x ，y )和原点(0,0)连线的斜率，作出可行域，如图中阴影部分所示．由图可知：当直线经过点C (1,6)时，斜率最大，即y x 有最大值为y x ＝6－01－0＝6，故选B.15．若不等式tt 2＋9≤a ≤t ＋2t2在t ∈(0,2]上恒成立，则a 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤16，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤16，22C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤16，413 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤213，1 答案 D 解析 ∵tt 2＋9＝1t ＋9t ，而t ＋9t 在区间(0,2]上单调递减，∴t ＋9t ≥2＋92＝132，t t 2＋9＝1t ＋9t≤213(当且仅当t ＝2时等号成立)．又t ＋2t 2＝1t ＋2t 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋142－18， ∵1t ≥12，∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋142－18≥1(当且仅当t ＝2时等号成立)．故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤213，1.16．设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12 (f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( ) A ．q ＝r ＜p B ．q ＝r ＞p C ．p ＝r ＜q D ．p ＝r ＞q答案 C解析 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，故f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p .又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝12ln a ＋12ln b ＝ln(ab )12＝f (ab )＝p . 故p ＝r ＜q .选C.17．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，13x，x ≤0，那么不等式f (x )≥1的解集为________________．答案 (－∞，0]∪[3，＋∞)解析当x >0时，由log 3x ≥1可得x ≥3，当x ≤0时，由(13)x≥1可得x ≤0，∴不等式f (x )≥1的解集为(－∞，0]∪[3，＋∞)．18．要制作一个容积为4m 3，高为1m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．答案 160解析由题意知，体积V ＝4m 3，高h ＝1m ，所以底面积S ＝4m 2，设底面矩形的一条边长是x m ，则另一条边长是4xm ，又设总造价是y 元，则y ＝20×4＋10×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8x ≥80＋202x ·8x ＝160，当且仅当2x ＝8x，即x ＝2时取得等号．19．已知x >0，y >0，若2y x ＋8x y>m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案 (－4,2)解析由题意可得m 2＋2m 应小于2y x ＋8x y 的最小值，所以由基本不等式可得2y x ＋8x y≥22y x ·8xy＝8，所以m 2＋2m <8⇒－4<m <2.20．定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy(x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．答案2解析由题意，得x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy＋y2－x22yx＝x 2＋2y 22xy ≥2x 2·2y 22xy＝2，当且仅当x ＝2y 时取等号．21．设点P (x ，y )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y ≤2x ＋2，点Q (a ，b ) (a ≤0，b ≥0)满足OP →·OQ →≤1恒成立，其中O 是坐标原点，则Q 点的轨迹所围成图形的面积是________．答案 12解析 ∵OP →·OQ →≤1， ∴ax ＋by ≤1， ∵点P (x ，y )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y ≤2x ＋2的区域，如图阴影部分所示，OP →·OQ →≤1，即ax ＋by ≤1，且点Q (a ，b )满足OP →·OQ →≤1恒成立，只需点P (x ，y )在可行域内的交点处：A (－1,0)，B (0,2)，ax ＋by ≤1成立即可，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤1，2b ≤1，a ≤0，b ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，b ≤12，a ≤0，b ≥0，它表示一个长为1宽为12的矩形，其面积为12，故答案为12.22．设0<a <1，集合A ＝{x ∈R |x >0}，B ＝{x ∈R |2x 2－3(1＋a )x ＋6a >0}，D ＝A ∩B ，求集合D .(用区间表示)②当13<a <1时，Δ<0，则g (x )>0恒成立，所以D ＝A ∩B ＝(0，＋∞)．综上所述，当0<a ≤13时，D ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3a ＋3－9a 2－30a ＋94∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋3＋9a 2－30a ＋94，＋∞；当13<a <1时，D ＝(0，＋∞)． 23．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米(按交通法规限制50≤x ≤100)(单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋x 2360)升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．解 (1)行车所用时间为t ＝130x(h)，y ＝130x ×2×(2＋x 2360)＋14×130x ，x ∈[50,100]．所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝2340x ＋1318x ，x ∈[50,100]．(2)y ＝2340x ＋1318x ≥2610，当且仅当2340x ＝1318x ，即x ＝1810时，上述不等式中等号成立．故当x ＝1810时，这次行车的总费用最低，最低费用为2610元．24．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． (1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)解 (1)由题意：当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，显然v (x )＝ax ＋b 在[20,200]上是减函数，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003，故函数v (x )的表达式为 v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60 x ，13－x x(2)依题意并由(1)可得 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x x ，13x －x x，当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1200；当20≤x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13[x ＋－x 2]2＝100003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立，所以，当x ＝100时，f (x )在区间[20,200]上取得最大值100003.综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值100003≈3333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约3 333辆/小时．。

考点18 不等关系和基本不等式-2018届高考数学文30个黄

2018届高三数学30个黄金考点精析精训考点18 不等关系和基本不等式【考点剖析】1.最新考试说明：了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景，会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 2.命题方向预测：预计2018年高考对本节内容的考查将与命题、充要条件相结合，题型延续选择题或填空题，分值为4分到5分，与数列、函数相结合，将不等关系隐含其中，要求学生区分“等”与“不等”，在复习时应予以关注，利用不等式性质和分析法，综合法，放缩法等证明不等式的命题趋势较强. 3.课本结论总结：对于不等式的性质，关键是正确理解和运用，要弄清每一个性质的条件和结论，注意条件的加强或减弱、条件与结论的相互关系；在变形时要根据已知和要求证的式子的结构特征适当拆分、添项、减项及符号的变化等，多个式子同时用基本不等式，要注意各式取等号的条件必须同时成立. 4.名师二级结论：不等式的证明是高中数学的重要内容，同时也是高中数学的一个难点，加之题型广泛，涉及面广，证法灵活，备受命题者的青睐，亦成为历届高考中的热点问题，但高考几何不可能出现单独考查不等式证明的试题，命题方向重在考查逻辑推理能力，在题目的设计上，常常将不等式的证明与函数、数列、三角综合.比较法是不等式证明的最基本方法，综合法的应用反映了学生对已知条件和所学知识的驾驭能力，这两种方法都是高考的重点考查内容. 5.课本经典习题：(1)新课标A 版必修5第75页，B 组 2.已知0a b >>，0c d >>，求证a bd c>. 【解析】考虑采用分析法来证明不等式：a b a bac bd d c d c>⇒>⇔>，根据不等式的性质6，可知这是显然成立的，故得证.【经典理由】结合具体实例，给出了利用分析法证明不等式的一般步骤及不等式性质的运用.(2)新课标A 版必修5 第100页，练习2 已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时，两条直角边的和最小，最小值是多少？【解析】设两条直角边为a ，b ，根据基本不等式2a bab +≥，即250a b +≥，当且仅当50a b ==时，等号成立，即最小值是250.【经典理由】结合具体实例，给出了利用基本不等式求最值的运用. 6.考点交汇展示： (1)不等式与函数相结合1．【2017江苏，11】已知函数31()2e ex x f x x x =-+-, 其中e 是自然对数的底数. 若2(1)(2)0f a f a -+≤则实数a 的取值范围是 . 【答案】1[1,]2-(2)不等式与数列相结合【2018贵州贵阳市第一中学模拟】在等差数列错误！未找到引用源。

不等式选讲有解析2018年高考理科数学易错点

不等式选讲（有解析2018年高考理科数学易错点）1．(2016全国卷乙)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|1的解集．解析：(1)由题意得f(x)＝x－4，x≤－1，3x－2，－1x≤32，－x＋4，x32，故y＝f(x)的图象如图所示．2．(2017江苏卷)已知a，b，c，d为实数，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，证明：ac＋bd≤8.证明：由柯西不等式，得(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．因为a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，所以(ac＋bd)2≤64，因此ac＋bd≤8.3．(2017全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集；(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．解析：(1)f(x)＝－3，x＜－1，2x－1，－1≤x≤2，3，x＞2.当x＜－1时，f(x)≥1无解；当－1≤x≤2时，由f(x)≥1，得2x－1≥1，解得1≤x≤2；当x＞2时，由f(x)≥1，解得x＞2.所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}．(2)由f(x)≥x2－x＋m，得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x.而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x| ＝－|x|－322＋54≤54，且当x＝32时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝54，故m的取值范围为－∞，54.4．(2016全国卷甲)已知函数f(x)＝x－12＋x＋12，M为不等式f(x)2的解集．(1)求M；(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b||1＋ab|.解析：(1)f(x)＝－2x，x≤－12，1，－12x12，2x，x≥12.当x≤－12时，由f(x)2得－2x2，解得x－1；当－12x12时，f(x)2；当x≥12时，由f(x)2得2x2，解得x1.所以f(x)2的解集M＝{x|－1x1}．(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1a1，－1b1，从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)0.因此|a＋b||1＋ab|.5．已知函数f(x)＝x－12＋x＋12，M为不等式f(x)2的解集．(1)求M；(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b||1＋ab|.(2)证明由(1)知，当a，b∈M时，－1a1，－1b1，从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)0，即(a＋b)2(1＋ab)2，因此|a＋b||1＋ab|. 6．已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．解(1)当a＝1时，f(x)1化为|x＋1|－2|x－1|－10.当x≤－1时，不等式化为x－40，无解；当－1x1时，不等式化为3x－20，解得23x1；当x≥1时，不等式化为－x＋20，解得1≤x2.所以f(x)1的解集为x23x2.(2)由题设可得，f(x)＝x－1－2a，x－1，3x＋1－2a，－1≤x≤a，－x＋1＋2a，xa.所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A2a－13，0，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，△ABC的面积为23(a＋1)2.由题设得23(a＋1)26，故a2.所以a的取值范围为(2，＋∞)．7．解不等式|x＋3|－|2x－1|x2＋1.8．设a，b，c均为正实数，试证明不等式12a＋12b＋12c≥1b＋c＋1c＋a＋1a＋b，并说明等号成立的条件．解因为a，b，c均为正实数，所以1212a＋12b≥12ab≥1a＋b，当且仅当a＝b时等号成立；1212b＋12c≥12bc≥1b＋c，当且仅当b＝c时等号成立；1212c＋12a≥12ca≥1c＋a，当且仅当a＝c时等号成立．三个不等式相加，得12a＋12b＋12c≥1b＋c＋1c＋a＋1a＋b，当且仅当a＝b＝c时等号成立．9．若a、b、c均为实数，且a＝x2－2y＋π2，b＝y2－2z＋π3，c＝z2－2x＋π6.求证：a、b、c中至少有一个大于0.证明假设a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，所以a＋b＋c≤0.而a＋b＋c＝(x2－2y＋π2)＋(y2－2z＋π3)＋(z2－2x ＋π6)＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.所以a＋b＋c0，这与a＋b＋c≤0矛盾，故a、b、c中至少有一个大于0.易错起源1、含绝对值不等式的解法例1、已知函数f(x)＝|x－a|，其中a＞1.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．(2)记h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)，则h(x)＝－2a，x≤0，4x－2a，0＜x＜a，2a，x≥a.由|h(x)|≤2，解得a－12≤x≤a＋12.又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，所以a－12＝1，a＋12＝2，于是a＝3【变式探究】已知函数f(x)＝|x－2|－|x－5|.(1)证明：－3≤f(x)≤3；(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集．(1)证明f(x)＝|x－2|－|x－5|＝－3，x≤2，2x－7，2x5，3，x≥5.当2x5时，－32x－73.所以－3≤f(x)≤3.(2)由(1)可知，当x≤2时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为空集；当2x5时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－3≤x5}；当x≥5时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5≤x≤6}．综上，不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－3≤x≤6}．【名师点睛】(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．【锦囊妙计，战胜自我】含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|a(a0)⇔f(x)a或f(x)－a；(2)|f(x)|a(a0)⇔－af(x)a；(3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．易错起源2、不等式的证明例2(1)已知x，y均为正数，且xy.求证：2x＋1x2－2xy ＋y2≥2y＋3.(2)已知实数x，y满足：|x＋y|13，|2x－y|16，求证：|y|518.证明(1)因为x0，y0，x－y0，2x＋1x2－2xy＋y2－2y＝2(x－y)＋1x－y2＝(x－y)＋(x－y)＋1x－y2≥33x－y21x－y2＝3，所以2x＋1x2－2xy＋y2≥2y＋3，(2)因为3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，由题设知|x＋y|13，|2x－y|16，从而3|y|23＋16＝56，所以|y|518.【变式探究】(1)若a，b∈R，求证：|a＋b|1＋|a＋b|≤|a|1＋|a|＋|b|1＋|b|.(2)已知a，b，c均为正数，a＋b＝1，求证：a2b＋b2c ＋c2a≥1.证明(1)当|a＋b|＝0时，不等式显然成立．当|a＋b|≠0时，由0|a＋b|≤|a|＋|b|⇒1|a＋b|≥1|a|＋|b|，所以|a＋b|1＋|a＋b|＝11|a＋b|＋1≤11＋1|a|＋|b|＝|a|＋|b|1＋|a|＋|b|≤|a|1＋|a|＋|b|1＋|b|.(2)因为a2b＋b≥2a，b2c＋c≥2b，c2a＋a≥2c，故a2b＋b2c＋c2a＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c，所以a2b＋b2c＋c2a≥1.【名师点睛】(1)作差法应该是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论．关键是代数式的变形能力．(2)在不等式的证明中，适当“放”“缩”是常用的推证技巧．【锦囊妙计，战胜自我】1．含有绝对值的不等式的性质|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.2．算术—几何平均不等式定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立．定理2：如果a、b为正数，则a＋b2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立．定理3：如果a、b、c为正数，则a＋b＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正数，则a1＋a2＋…＋ann≥na1a2…an，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．易错起源3、柯西不等式的应用例3(2015福建)已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f(x)＝|x ＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4.(1)求a＋b＋c的值；(2)求14a2＋19b2＋c2的最小值．解(1)因为f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c，当且仅当－a≤x≤b时，等号成立．又a＞0，b＞0，所以|a＋b|＝a＋b.所以f(x)的最小值为a＋b＋c.又已知f(x)的最小值为4，所以a＋b＋c＝4.(2)由(1)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式得14a2＋19b2＋c2(4＋9＋1)≥a2×2＋b3×3＋c×12＝(a ＋b＋c)2＝16，即14a2＋19b2＋c2≥87.当且仅当12a2＝13b3＝c1，即a＝87，b＝187，c＝27时等号成立．故14a2＋19b2＋c2的最小值为87.【变式探究】已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x －2|的最小值为a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正实数，且满足p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2＋r2≥3.【名师点睛】(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明．(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为(a21＋a22＋…＋a2n)(1a21＋1a22＋…＋1a2n)≥(1＋1＋…＋1)2＝n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．【锦囊妙计，战胜自我】柯西不等式(1)设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac ＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．(2)设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．。

2018高考数学文科一轮复习讲义 11.3 第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

第三节二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题【考点点知】知己知彼，百战不殆由于线性规划问题是众多知识的交汇点，在实际生活、生产中的应用十分广泛，并且在线性规划问题的解决中，需要用到多种数学思想方法，所以线性规划问题正成为新课标高考命题的热点内容．本部分试题主要考查平面区域的表示，线性目标函数的最值等问题，同时也考查线性规划思想和相关的其他问题：如平面区域的面积、非线性目标函数的最值等．在高考试题中，多以客观题的形式出现，但有时也会以解答题的形式出现．考点一: 二元一次不等式表示的平面区域 1.确定二元一次不等式表示的平面区域我们把含有两个未知数，并且未知数的次数都是1的不等式称为二元一次不等式.(1)一般地,直线y kx b =+把平面分成两个区域,y kx b >+表示直线上方的平面区域;y kx b <+表示直线下方的平面区域.(2)一般地，二元一次不等式Ax ＋By ＋C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧所有点组成的平面区域;二元一次不等式Ax ＋By ＋C ≥0在平面直角坐标系中表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界；作图时，不包括边界画成虚线，包括边界画成实线．(3)确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法,常用的一种方法是“选点法”:任选一个不在直线上的点,检验它的坐标是否满足所给的不等式,若适合,则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域;否则,直线的另一侧为所求的平面区域.2．画二元一次不等式表示的平面区域（1）先画界线.(直线定界，虚实分明）.一般地，把直线:0l Ax By C ++=画成实线，表示平面区域包括这一条边界直线；若把直线:0l Ax By C ++=画成虚线，则表示平面区域不包括这一条边界直线.（2）再定区域.在直线l 的某一侧的平面区域内，任取一特殊点00(,)x y ，从00Ax By C ++值的正负，即可判断不等式表示的平面区域（特殊点定域，可用原点）.（3）最后用阴影画出平面区域并作答.归纳为“直线定界，特殊点定域”. 考点二: 二元一次不等式组表示的平面区域我们把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组. 如何确定二元一次不等式组表示的平面区域?(1)不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集.因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.(2)满足二元一次不等式（组）的x 和y 的取值构成有序数对(,)x y ，所有这样的有序数对(,)x y 构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集.有序数对可以看成直角坐标平面内点的坐标.于是，二元一次不等式（组）的解集就可以看成直角坐标系内的点构成的集合. (3)在直角坐标系中的整点即横，纵坐标都是整数的点称为平面区域中的整点.(整点问题的要求不高).考点三: 线性规划问题 1.线性规划中的有关定义(1)约束条件.关于,x y 的不等式组是对变量,x y 的约束条件,这些约束条件都是关于,x y 的一次不等式，所以又称为线性约束条件.(2)可行域.作出约束条件所表示的平面区域,这一区域称为可行域.(3)目标函数.要求达到最大值或最小值所涉及的变量,x y 的解析式叫做目标函数，一般来说目标函数是关于,x y 的一次解析式，所以又叫做线性目标函数.(4)线性规划问题.求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题称为线性规划问题.(5)满足线性约束条件的每一组解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.其中使目标函数取得最大值和最小值时的可行解又叫做这个问题的最优解.2．线性规划的实际应用线性规划在实际中的应用，关键在于要把实际问题转化成线性规划问题，也就是建模，即如何根据问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，并从数学的角度有条理地表述出来，此外，如何去寻找最优整点解，也值得我们重视.(1)线性规划问题的常见题型线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.①物资调运问题.例如已知1A 、2A 两煤矿每年的产量，煤需经1B 、2B 两个车站运往外地，1B 、2B 两车站的运输能力是有限的，且已知1A 、2A 两煤矿运往1B 、2B 两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最低？ ②产品安排问题.例如某工厂生产甲、乙两产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品所需A 、B 、C 三种材料的数量、此厂每月所能提供的三种材料的限额、每生产一个单位甲种或乙种产品所获利润额都是已知的，这个厂每月应如何安排产品的生产，才能每月获得的总利润最大？③下料问题.例如要把一批长钢管截成两种规格的短钢管，怎样下料才能使损耗最小？【考题点评】分析原因，醍醐灌顶例1.(基础·2006·南京一模)如图3.3-2所示，表示阴影区域的不等式组为A ．⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥+094352y y x y xB ．⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+094352y y x y xC ．⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥+094352x y x y xD ．⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≤+094352y y x y x思路透析:由平面区域写出不等式组为⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≤+094352x y x y x ,故应选D.点评:先写出各条直线的方程,然后根据阴影区域的范围写出各个不等式,组合成不等式组即可.在由可行域写不等式或不等式组时,一定要注意可行域的边界是实线还是虚线,与不10等式中不等号的等与不等相对应,另外对不等号的方向判断也要准确无误.例2.(基础·2007·西城区抽样)不等式组1,3,330,x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩所表示的平面区域的面积是思路透析:不等式组1,3,330,x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩的可行域如图所示,其三角形的面积为131322⨯⨯=. 点评:本题考查了线性规划可行域内目标函数可行域的作图及其面积求解,体现了数形结合法的解题策略,对作图要求较高.可行域可以是一个一侧开放的平面区域，也可以是一个封闭的多边形. 若是一个多边形，目标函数的最优解一般在多边形的某个顶点处取得.例3.(综合·2007山东卷理科14)设D 是不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+1,40,32102y x y x y x ，表示的平面区域，则D 中的点P （x ,y ）到直线x +y =10距离的最大值是 .思路透析:不等式组210,23,04,1,x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎪⎨≤≤⎪⎪≥⎩所表示的可行域如右图所示,作平行直线系z x y =+可得该目标函数的最小值的最优解为(1,1), 作直线2x y+=,则D 中的点P(,x y )到直线10x y +=的距离的最大值即为平行直线2x y +=与10x y +=间的距离d ==点评:部分考生求得的最值是最小值,属于审题不清性错误,研究该可行域内到定直线的距离的最大值,除了利用所给的平移法外,还可以通过直观感知,将可行域的边界上的交点坐标代入求解,并比较大小而得出最大值.例 4.(综合·2006·湖南理12文13)已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是 .思路透析:如出不等式组1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩的可行域如右图所示,以原点为圆心的圆与可行域有公共顶点的最小圆过点A(1,2),故得22x y +的最小值是5.点评:通过数形结合求解,观察最优解的点受作图因素的干扰,因而解题过程中要注意可行域作图的精确性.例5.(创新探究·2007年石家庄一模试题）已知集合{}*∈--=N n y x n y x y x A 是三角形的三边之长，2,,),(，设n a 表示集合A 中整点(横、纵坐标均为整数)的个数． (Ⅰ)写出n a 的通项公式；(Ⅱ)求使得n a >2006成立的n 的最小值；思路透析:(Ⅰ) ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<+->>>⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--+>--+-->+>>nx n y n x y y x x y x n y y y x n x y x n y x y x 00,22200即 ,则集合A 所表示的区域为图所示．∴2)1)(2()2(210--=-++++=n n n a n(Ⅱ) .4010)3(,22006)1)(2(,2006>-⨯>--∴>n n n n a n 即令)3(-=x x t ，当x ≥3时，该函数为增函数．经检验：6540304010,6439044010x t x t ==>==<时，时，．∴n ≥65, ∴n 的最小值为65．点评:随着新课标中线性规划问题研究的不断深入，其内涵以及思想方法在不知不觉中悄然地渗透到各个章节、各知识模块中去，它不仅扩大了解题的视野，增强了解题的活力, 而且拓宽了思维的空间.由于线性规划是集数与形融汇为一体，使其具有丰富的内涵和广阔的应用前景,已成为联系各个知识的重要媒介之一.例6.(创新探究·2007山东卷文科19)本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？思路透析:设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益l为z 元，由题意得3005002009000000.x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，≥目标函数为30002000z x y =+．二元一次不等式组等价于3005290000.x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，≥如图,所示作直线:300020000l x y +=，即320x y +=．平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值．联立30052900.x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得100200x y ==，．∴点M 的坐标为(100200)，．max 30002000700000z x y ∴=+=（元）答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．点评:部分考生解题过程中没有作出可行域,而仅在草稿纸上作图,造成失分现象,其主要的原因是本题的可行域非常简单,显然为两直线的交点即为最大值的最优解,因而考生在思想上放松了对本题的要求,忽视了高考中对作图能力考查的要求. 【画龙点睛】探索规律，豁然开朗 1.规律总结:(1)利用口决“＞在右侧，＜在左侧”判断平面区域.即0Ax By C ++>(0A >),不等号为大于号(>)时所表示的平面区域在直线0Ax By C ++=的右侧,0Ax By C ++<(0A >),不等号为小于号(<)时所表示的平面区域在直线0Ax By C ++=的左侧.如下图所示:(2) (4)利用口决“＞(大于)在左右，＜(小于)在上下”确定区域一般地,二元二次不等式111222()()0A x B y C A x B y C ++++>1221()A B A B ≠表示在平面直角坐标系中表示两相交直线1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的对角平面区域.所谓“＞在左右，＜在上下”即 1112()()0A x B y C x y C ++++>12(0,0)A A >>,不等号为大于号(>)时所表示的平面区域在两相交直线1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的对角平面区域的左右区域, 1112()()0A x B y C x y C ++++< 12(0,0)A A >> ,不等号为小于号(<)时所表示的平面区域在两相交直线1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的对角平面区域的上下区域.(3)线性规划问题的解决步骤利用线性规划解决应用问题的方法可按下列步骤进行：①根据题意，建立数学模型，作出不等式组区域的图形，即可行解区域； ②设所求的目标函数(,)f x y 为(,)Z f x y =；③将各顶点坐标代入目标函数，即可得最大值Max 或最小值Min ，或求直线(,)Z f x y =在y 轴上截距的最大值（最小值）从而得(,)Z f x y =的最大值（最小值）.2.学以致用:(1)设集合A ＝{(x ，y )|x ，y ，1－x －y 是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( )(2)不等式x 2－y 2≥0表示的平面区域是( )A.B.C.(3)某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则z =10x +10y 的最大值是( )A. 80B. 85C. 90D. 95(4)在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域{(,)|1,A x y x y =+≤且0,0}x y ≥≥，则平面区域{(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积为（）A ．2B ．1C ．12D ．14答案:(1)A 解析:由阴影部分可得10,21,11,,21,1,2x y x y x y x x y y y y x y x x ⎧+->⎪+>--⎧⎪⎪⎪+-->⇒<⎨⎨⎪⎪+-->⎩⎪<⎪⎩所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是A.(2)B 解析:∵不等式x 2－y 2≥0可以写成(x +y )(x －y )≥0,即⎩⎨⎧≥-≥+00y x y x ,点(1,0)满足此不等式组，或⎩⎨⎧≤-≤+0y x y x ,点(－1,0)满足此不等式组.故应选B ．(3)C 解析:由题意作出可行域通过平移目标函数通过点29,211(A , 在A 附近整点(5,4)时得最小值,901010=+=y x z 故选C.(4)B 解析:不等式1,0,0,x y x y +≤⎧⎨≥≥⎩所表示的可行域如右图1所示,设,a x y b x y =+=-, 则此两目标函数的范围分别为2=2[0,1],[1,1]a x y b x y =+∈=-∈-,又2[0,2],2[0,2]a b x a b y +=∈-=∈, ∴点坐标(,)x y x y +-,即点(,a b )满足约束条件01,11,02,02,a b a b a b ≤≤⎧⎪-≤≤⎪⎨≤+≤⎪⎪≤-≤⎩ 作出该不等式组所表示的可行域如图2所示, 由图示可得该可行域为一等腰直角三角形,其面积12112S =⨯⨯=, 故应选B. 3.易错分析:(1)二元一次不等式所表示的平面区域易出现判断错误, 要掌握快速判断可行域的方法; (2)最值、最优解求解不正确, 对目标函数分析所对应的平行直线系在各坐标轴上的截距最大与最小分析错误, 一般情况下看平行直线系运动时在哪个坐标轴上截距最大,取最值最优解时可以各点代入验证一下是否正确;(3)整点最优解问题策略选择不当,新定义背景问题转化情境较困难,一般简单线性规划问题常以新定义背景面目呈现, 转化为二元一次不等式组或二元二次不等式组时,应有线性规划求解意识.【能力训练】学练结合，融会贯通一、选择题:1.在平面直角坐标系中，不等式组20,20,0x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积是( )A. B.4C. D.2 2.不等式2x －y －6＜0表示的平面区域在直线2x －y －6=0的( ) A.左上方 B.右上方 C.左下方D.右下方3.在约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥4200x y s y x y x 下，当53≤≤s 时，目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是( )A. ]15,6[B. ]15,7[C. ]8,6[D. ]8,7[4.已知钝角三角形ABC 的最长边的长为2，其余两边长为a 、b ，则集合{}(,),P x y x a y b ===所表示的平面图形的面积是( )A ．2B ．4C ．2π-D ．42π-5.已知平面区域如图所示，z =mx +y (m ＞0)在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个，则m 的值为( )A ．－207 B ．207 C ．21D ．不存在6.设满足1y x ≥-的点(x ，y )的集合为M ，满足2y x ≤-+的点(x ，则M N ⋂所表示的图形的面积是A.B.C. D.32二、填空题:7.若Ax+By+5<0表示的区域不包括点（1，2），ω=A+2B ，则ω的范围是 .8.已知变量x ，y 满足约束条件23033010x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩.若目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围为 .9.已知变量,x y 满足约束条件14,22x y x y ≤+≤-≤-≤．若目标函数z ax y =+(其中0a >)仅在点()3,1处取得最大值，则a 的取值范围为．10.设m 为实数，若{}22250()30()250x y x y x x y x y mx y ⎧⎫-+⎧⎪⎪⎪-⊆+⎨⎨⎬⎪⎪⎪+⎩⎩⎭≥，≥，≤≥，则m 的取值范围是．三、解答题:11.要将甲、乙两种长短不同的钢管截成A 、B 、C 三种规格，每根钢管可同时截得三种规格的短钢管的根数如下表所示：今需A 、B 、C 三种规格的钢管各13、16、18根，问各截这两种钢管多少根可得所需三种规格钢管，且使所用钢管根数最少．12.设f (x)=ax2+bx，且－1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．13.某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨;生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨．甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨)，能使利润总额最大?14.某工厂生产A和B两种产品，按计划每天生产A、B各不得少于10吨，已知生产A 产品一吨需用煤9吨、电4度、劳动力3个(按工作日计算);生产B产品一吨需用煤4吨、电5度，劳动力10个．如果A产品每吨价值7万元，B产品每吨价值12万元，而且每天用煤不超过300吨，用电不超过200度，劳动力最多只有300个．每天应安排生产A、B两种产品各多少，才能既保证完成生产计划，又能为国家创造最多的产值?【能力训练】参考答案一、选择题:1. B2. A3. D4. C5. B6. D二、填空题:7. ω≥-5 8. 12a >9. 1a > 10. 0≤m ≤43. 三、解答题: 11.解析:设需截甲种钢管x 根，乙种钢管y 根，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+.0,0,184,163,1322y x y x y x y x作出可行域(如图3.3-9所示)：目标函数为z =x +y ,作出一组平行直线x +y =t 中(t 为参数)过直线4x +y =18和直线x +3y =16的交点A (1146,1138)，直线方程为x +y =1184.由于11和11都不是整数，所以可行域内的点(1146,1138)不是最优解．经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x +y =8,经过的整点是B (4，4)，它是最优解．【答】要截得所需三种规格的钢管，且使所截两种钢管的根数最少，方法是截甲种钢管、乙种钢管各4根．12.解析:∵f (－1)=a －b , －1≤f (－1)≤2 ∴－1≤a －b ≤2∵f (1)=a +b , 2≤f (1)≤4， ∴2≤a +b ≤4∴a 、b 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥+≤--≥-,4,2,2,1b a b a b a b af (－2)=4a －2b ,在直角坐标系aOb 中作出上面的不等式组所表示的平面区域(如图所示)即可行域(四边形ABCD 的边界或其内部)．作直线l :4a －2b =0，即直线l :2a －b =0，把直线平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点B ，且与原点的距离最大;把直线l 平移至l 2的位置时，直线经过可行域上的点D ，且与原点的距离最小．由⎩⎨⎧=+=-,4,2b a b a 得B 点坐标为（3，1）；由⎩⎨⎧=+-=-,2,1b a b a 得D 点的坐标为(23,21)．∴f (－2)的最大值为f (－2)=4a －2b =4×3－2×1=10．f (－2)的最小值为f (－2)=4×21－2×23=－1． ∴－1≤f (－2)≤10为所求． 13.解析:设生产甲、乙两种棉纱分别为x 吨、y 吨，利润总额为z 元，那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+;0,0,2502,3002y x y x y x z =600x +900y .作出以上不等式组所表示的平面区域(如图所示)，即可行域．作直线l :600x +900y =0，即直线l :2x +3y =0,把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，此时z =600x +900y 取最大值．解方程组⎩⎨⎧=+=+25023002y x y x ,得M 的坐标为x =3350,y =3200. 【答】应生产甲种棉纱3350吨，乙种棉纱3200吨，能使利润总额达到最大． 14.解析:设每天生产A 产品x 吨和B 产品y 吨，则煤、电力、劳动力以及产量的限制为： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+.10,10,300103,20054,30049y x y x y x y x产值S=7x+12y.作出以上不等式组所表示的平面区域(如图所示)，即可行域．作直线l :7x +12y =0,把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点D ，且与原点距离最大，此时S =7x +12y 取最大值．解方程组⎩⎨⎧=+=+,20054,300103y x y x 得D 的坐标为x =20,y =24. 【答】每天生产A 产品20吨和B 产品24吨时，既完成了生产计划，又能为国家创造最多的产值．。

高考热点剖析——不等式及线性规划问题热点问题

高考热点剖析——不等式及线性规划问题热点问题高考对本内容的考查主要有：(1)一元二次不等式是C 级要求，要求在初中所学二次函数的基础上，掌握二次函数、二次不等式、二次方程之间的联系和区别，可以单独考查，也可以与函数、方程等构成综合题；(2)线性规划的要求是A 级，理解二元一次不等式对应的平面区域，能够求线性目标函数在给定区域上的最值，同时对一次分式型函数、二次型函数的最值也要有所了解；(3)不等式作为一种重要工具，要理解不等式的性质、简单不等式的解法及含参数不等式的分类讨论等．1．一元二次不等式的求解步骤：一变、二求、三画、四结论． 2．一元二次不等式恒成立的条件设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则ax 2＋bx ＋c ＞0恒成立(解集为R )⇔y ＝f (x )图象恒在x轴上方⇔f (x )min ＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝b 2－4ac ＜0.ax 2＋bx ＋c ＜0恒成立(解集为R )⇔y ＝f (x )图象恒在x 轴下方⇔f (x )max ＜0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝b 2－4ac ＜0.3．二元一次不等式表示的平面区域直线定界，特殊点定域．注意：边界的虚实线．【应对策略】对不等式的学习要立足基础，重在理解，加强训练，学会建模，培养能力，提高素质，具体要注意以下几点：(1)学习不等式性质时，要弄清条件与结论，要克服“想当然”和“显然成立”的思维定势，要以比较准则和实数运算法则为依据解决问题；(2)解决某些不等式时，要与函数定义域、值域、单调性联系起来，注重数形结合思想，解含参数不等式时要注意分类讨论思想；(3)要强化不等式的应用意识，同时要注意到不等式与函数和方程的对比与联系，充分利用函数与方程思想、数形结合处理不等式问题；(4)利用线性规划解决实际问题时，充分利用数形结合思想，会达到事半功倍的效果，因此要力求画图准确.【必备方法】1．三个“二次”的关系一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根，也是相应的二次函数图象与x 轴交点的横坐标，即二次函数的零点．2．对于给定集合M 和给定含参数的不等式f (x )＞0，求不等式中的参数的取值范围问题，要看清楚题目的要求，再相应求解，不妨“对号入座”：(1)若M 是f (x )＞0的解集，则由M ＝{x |f (x )＞0}来求； (2)若f (x )＞0在M 上有解，则由M ∩{x |f (x )＞0}≠∅来求； (3)若f (x )＞0在M 上恒成立，则由M ⊆{x |f (x )＞0}来求．3．简单的线性规划问题解题步骤：一画二移三算四答，充分挖掘目标对象的几何意义！通常与直线的纵截距、斜率，圆的半径或半径的平方有关．命题角度一一元二次不等式[命题要点] ①简单一元二次不等式的解法；②含参数的一元二次不等式的解法．【例1】► 解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0.[思路分析] 不等式的左端可以先分解因式，然后根据a ＞0，a ＝0，a ＜0的情况和方程ax 2－(2a ＋1)x ＋2＝0两个根的大小进行分类求解．解不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0，即(ax －1)(x －2)＜0.(1)当a ＞0时，不等式可以化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －2)＜0.①若0＜a ＜12，则1a＞2，此时不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫2，1a ；②若a ＝12，则不等式为(x －2)2＜0，不等式的解集为∅；③若a ＞12，则1a ＜2，此时不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2. (2)当a ＝0时，不等式即－x ＋2＜0，此时不等式的解集为(2，＋∞)．(3)当a ＜0时，不等式可以化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －2)＞0.由于1a＜2，故不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1a ∪(2，＋∞)．综上所述，当a ＜0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1a ∪(2，＋∞)；当a ＝0时，不等式的解集为(2，＋∞)；当0＜a ＜12时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1a ；当a ＝12时，不等式的解集为∅；当a ＞12时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2. 【方法支招】含有参数的一元二次不等式在能通过因式分解求出对应方程根的情况下，按照本题的方法求解，但如果不能根据因式分解的方法求出其根，则需要按照不等式对应方程根的判别式的情况进行分类．【突破训练1】已知关于x 的不等式ax －1x ＋1＞0的解集是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，则a ＝________.解析由题意，可得a ≠0，且不等式等价于a (x ＋1)·⎝⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0.由不等式解集的特点可得a ＞0且1a ＝12，故a ＝2.答案 2命题角度二含参不等式恒成立问题[命题要点] 一元二次不等式有解、恒成立，求参数的取值范围．【例2】► (2012·镇江质量检测)不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对任意a ，b ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为________．[思路分析] 不等式中有两个变量，可以先看成关于其中一个变量的一元二次不等式恒成立，再考虑另一个变量．解析先将不等式整理为关于a 的一元二次不等式为a 2－λba ＋8b 2－λb 2≥0，对任意a ∈R 恒成立，所以λ2b 2－4(8b 2－λb 2)≤0，即(λ2＋4λ－32)b 2≤0，对任意b ∈R 恒成立，则λ2＋4λ－32≤0，解得－8≤λ≤4.答案－8≤λ≤4【方法支招】含有多变量的不等式是近年来考查热点，要将不等式逐个看成关于某一变量的不等式，其它变量先看作常数，这样可以逐步减少变量个数，同时要看清是恒成立还是有解．【突破训练2】（2012年高考（辽宁理））若[0,)x ∈+∞,则下列不等式恒成立的是（）A ．21xe x x ++…B 211124x x <-+C ．21cos 12x x -… D ．21ln(1)8x x x +-…【答案】C【解析】设2211()cos (1)cos 122f x x x x x =--=-+,则()()sin ,g x f x x x '==-+ 所以()cg x x '=-+≥，所以当[0x ∈+∞时,()()()(0)0,g x g x f x g '==为增函数，所以≥ 同理21()(0)0cos (1)02f x f x x =∴--≥，≥，即21cos 12x x -…,故选C【方法支招】本题主要考查导数公式,以及利用导数,通过函数的单调性与最值来证明不等式,考查转化思想、推理论证能力、以及运算能力,难度较大. 命题角度三线性规划问题[命题要点] 线性规划考题的新变化为：问题中的目标函数形式已不再局限为单一的、线性的，甚至有的问题隐含有线性规划知识，以上这些变化都可以通过适当的方法转化为较为基本的问题来解决．【例3】► (2012·苏锡常镇调研)设实数n ≤6，若不等式2xm ＋(2－x )n －8≥0对任意x ∈[－4,2]都成立，则m 4－n 4m 3n的最小值为________．[审题视点] 先对题干中恒成立问题进行转化，得到关于m ，n 的关系式，再利用线性规划知识解决．解析因为不等式2xm ＋(2－x )n －8≥0即为(2m －n )x ≥8－2n ，对任意x ∈[－4,2]都成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧22m －n ≥8－2n－42m －n ≥8－2n，所以m ，n 满足的不等式为⎩⎪⎨⎪⎧m ≥24m －3n ＋4≤0n ≤6，所以点(m ，n )对应的平面区域如图，nm 的几何意义是可行域上的点与原点的连线的斜率，所以n m∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤127，3，而目标函数m 4－n 4m 3n ＝m n －⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 3，令n m ＝t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤127，3，则目标函数即为y ＝1t －t 3，其导数y ′＝－1t 2－3t 2＜0，所以函数y ＝1t －t 3在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤127，3上递减，故t ＝3时取得最小值－803. 答案－803【方法支招】线性规划是不等式的重要内容，与函数的综合是常见题型，一般方法是利用线性规划求出某个中间变量的取值范围，再利用换元法、导数等方法求最值．【突破训练3】（2012年高考（山东理））已知变量,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩,则目标函数3z x y =-的取值范围是（）A ．3[,6]2-B ．3[,1]2-- C ．[1,6]-D ．3[6,]2-【解析】做出不等式所表示的区域如图,由y x z -=3得z x y -=3,平移直线x y 3=,由图象可知当直线经过点)0,2(E 时,直线z x y -=3的截距最小,此时z 最大为63=-=y x z ,当直线经过C 点时,直线截距最大,此时z 最小,由⎩⎨⎧=+-=-4214y x y x ,解得⎪⎩⎪⎨⎧==321y x ,此时233233-=-=-=y x z ,所以y x z -=3的取值范围是]6,23[-,选A.解不等式要留意等号，画可行域要注意边界的虚实一、注意解不等式不能漏解【例1】► 不等式(x －4)x 2－3x －4≥0的解集是________．解析当x 2－3x －4＞0时，x －4≥0，解得x ≥4；当x 2－3x －4＝0，即x ＝－1或4时，原不等式也成立，所以解集是{x |x ≥4或x ＝－1}．答案 {x |x ≥4或x ＝－1}【小提示】：要考虑二次根式有意义的条件，当二次根式等于0时，则对x －4没有条件限制，所以要对根式是否为零进行讨论.否则，本题会出现下面的错误：因为\r(x2－3x －4)≥0，所以x －4≥0，解得x ≥4，造成遗漏解的情况.二、注意可行域边界的虚实【例2】► 已知函数f (x )＝ax 2＋bx －1(a ＞0)的一个零点在区间(1,2)内，则a －b 的取值范围是________．解析因为二次函数f (x )＝ax 2＋bx －1(a ＞0)开口向上，纵截距是－1，一个零点在区间(1,2)内，所以a ，b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0f 1＝a ＋b －1＜0f 2＝4a ＋2b －1＞0，作出点(a ，b )对应的平面区域如图，由图可知，当目标函数过点(0,1)(不在区域内)时取得最小值－1(取不到)，即a －b ∈(－1，＋∞)．答案 (－1，＋∞)【小提示】：画可行域要特别注意边界能否取到，当区域不包含边界时，取值范围中等号取不到，如果忽视这一点，容易在等号上出错.三、注意目标函数的几何意义，尤其是平方、开方之类的问题【例3】► 在平面直角坐标系xOy 中，设A 、B 、C 是圆x 2＋y 2＝1上相异三点，若存在正实数λ，μ，使得OC →＝λOA →＋μOB →，则λ2＋(μ－3)2的取值范围是________．解析由OC →＝λOA →＋μOB →两边平方得OC →2＝(λOA →)2＋(μOB →)2＋2λμOA →·OB →，即为1＝λ2＋μ2＋2λμcos 〈OA →，OB →〉，所以cos 〈OA →，OB →〉＝1－λ2－μ22λμ∈(－1,1)，又λ，μ∈(0，＋∞)，所以化简即得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＞1－1＜λ－μ＜1，作出可行域如图目标函数λ2＋(μ－3)2的几何意义是区域上的点(λ，μ)到定点(0,3)的距离的平方，由点到直线的距离公式求得点(0,3)到λ－μ＋1＝0的距离为2，且取不到，故λ2＋(μ－3)2的取值范围是(2，＋∞)．答案 (2，＋∞)【小提示】对目标函数λ2＋μ－32的几何意义要理解正确，表示点0，3到λ－μ＋1＝0的距离的平方，如果忘记平方，就会出现2，＋∞的错误，所以考虑问题要细心.1．(2011·南京模拟)已知A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |x 2＋2x ＋a ≥0}，A 、B 的交集不是空集，则实数a 的取值范围是________．解析若A ，B 的交集是空集时，即x 2＋2x ＋a ＜0在1≤x ≤2上恒成立．令f (x )＝x 2＋2x ＋a ，因为对称轴为x ＝－1，所以y ＝f (x )在集合A 上递增，所以f (2)＜0即可，所以a ＜－8，所以A ，B 的交集不是空集时，实数a 的取值范围是a ≥－8.答案 [－8，＋∞)2．(2012·江苏，13)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．解析由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24.∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24.∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22.又∵f (x )＜c ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＜c ，即－a 2－c ＜x ＜－a2＋c .∴⎩⎪⎨⎪⎧－a2－c ＝m ， ①－a2＋c ＝m ＋6. ②由②－①得2c ＝6，∴c ＝9.答案 93．(2012·江苏，14)已知正数a ，b ，c 满足：5c －3a ≤b ≤4c －a ，c ln b ≥a ＋c ln c ，则b a的取值范围是________．解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ≤4c ，3a ＋b ≥5c ，c ln b －a ≥c ln c ⇒b ≥c e ac.作出可行域(如图所示)．由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4c ，3a ＋b ＝5c ，得a ＝c 2，b ＝72c .此时⎝ ⎛⎭⎪⎫b a max ＝7.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4c ，b ＝c e a c ，得a ＝4c e ＋1，b ＝4c e e ＋1.此时⎝ ⎛⎭⎪⎫b a min ＝4c ee ＋14c e ＋1＝e.所以b a ∈[e,7]．答案 [e,7]4．(2010·江苏，12)设实数x ，y 满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3y4的最大值是________．解析根据不等式的基本性质求解.⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y 2∈[16,81]，1xy 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，13，x 3y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y 2·1xy ∈[2,27]，x 3y的最大值是27. 答案275．(2012·南京模拟)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x －y ≤1，y ≤2.则目标函数z ＝－2x ＋y 的取值范围是________．解析约束条件对应的可行域如图，由图可知，当目标函数经过图中点(3,2)时取得最小值－4，经过点(0,2)时，取得最大值2，所以取值范围是[－4,2]．答案[－4,2]。

线性规划-2018年高考数学(文)--精校解析Word版

【母题原题1】【2018新课标1，文14】若，满足约束条件，则的最大值为_____________．【答案】6由可得，画出直线，将其上下移动，结合的几何意义，可知当直线过点B时，z取得最大值，由，解得，此时，故答案为6.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.【母题原题2】【2017新课标1，文7】设x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数经过时z取得最大值，故，故选D．点睛:本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围．【母题原题3】【2016新课标1，文16】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料。

生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元。

该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.【答案】216000【解析】试题分析：设生产产品和产品的件数分别为件，利润之和为元，则根据题意可得考点：线性规划的应用.【方法点晴】本题是结合实际应用的线性规划问题，根据条件列出限制条件，即得到可行域，根据问题明确目标函数；线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想，需要注意的是：一、准确无误的做出可行域；二、画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.【命题意图】1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．【命题规律】1．二元一次不等式(组)的解集满足二元一次不等式(组)的x 和y 的取值构成有序数对(x ，y )，所有这样的有序数对(x ，y )构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集． 2．二元一次不等式所表示的平面区域一般地，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0在平面直角坐标系中表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界．当我们在坐标系中画不等式Ax ＋By ＋C ≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界，则把边界画成实线． 3．二元一次不等式表示平面区域的判断方法直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0把坐标平面内不在直线l 上的点分为两部分，直线l 的同一侧点的坐标使式子Ax ＋By ＋C 的值具有相同的符号，并且两侧点的坐标使Ax ＋By ＋C 的值的符号相反，一侧都大于0，另一侧都小于0. 4．线性规划中的基本概念约束条件：由变量x ，y 组成的不等式组.线性约束条件：由x ，y 的线性不等式(或方程)组成的不等式组；目标函数：关于x ，y 的函数(,)f x y ，如z ＝2x ＋3y 等；线性目标函数：关于x ，y 的线性目标函数. 可行解：满足线性约束条件的解. 可行域：所有可行解组成的平面区域.最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题：在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题【方法总结】1．求目标函数最值的一般步骤：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有：(1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.(3)斜率型：形如z＝y－b x－a.3．解线性规划应用题的步骤(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案．1．【2018年北京市石景山区高三统一测试】设满足约束条件则下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】C2．【浙江省杭州市第二中学2018届高三仿真考】已知不等式组表示的平面区域的面积为9，若点，则的最大值为（）A. 3B. 6C. 9D. 12【答案】C【解析】分析：先画出满足约束条件对应的平面区域，利用平面区域的面积为9求出，然后分析平面点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.3．【安徽省安庆市第一中学2018届高三热身考】记不等式组的解集为，若，则实数的最小值是( )A. 0B. 1C. 2D. 4【答案】C【解析】分析：首先根据题干所给的约束条件，画出相应的可行域，再分析可得目标函数所表示的直线经过定点，分析参数的几何意义可知当直线经过点时，取最小值为.详解：作出约束条件所表示的可行域,如图所示,直线经过点,而经过两点的直线的斜率为,所以要使得, 成立,则,所以实数的最小值是,故选C.点睛：本题在求解时，首先要根据约束条件正确画出可行域，之后根据目标函数的形式，判断参数的几何意义，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值即可.4．【北京市十一学校2018届高三三模】已知实数满足若的最小值是-5，则实数取值集合是（）A. B. C. D.【答案】B的最小值是-5，此时-5，此时目标函数过定点，作出-5的图象，由图象知当时，直线经过B时，取得最小值-5；当时，由平移可知当直线经过点A时，目标函数取得最小值-5，此时满足条件，点睛：与二元一次不等式(组)区域有关问题的解决方法(1)求解与平面区域有关的问题的关键是作出平面区域，在含有参数的问题中注意对参数的取值范围进行讨论；(2)在含有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中，首先把不含参数的平面区域确定好，然后用数形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状，根据求解要求确定问题的答案．5．【福建省莆田第九中学2018届高三高考模拟】设关于,的不等式组,表示的平面区域内存在点，满足,求得取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先根据约束条件，画出可行域，要使可行域存在，必有，要求可行域包含直线上的点，只要边界点在直线的上方，且在直线下方，从而建立关于的不等式组，解之可得结论.详解：点睛：本题主要考查可行域、含参数约束条件，属于难题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度，此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.6．【湖北省华中师范大学第一附属中学2018届高三5月押题考】已知变量，满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与定点连线的斜故选B.点睛：本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有：（1）截距型：形如，求这类目标函数的最值常将函数转化为直线的斜截式：，通过求直线的截距的最值间接求出的最值；（2）距离型：形如；（3）斜率型：形如，而本题属于斜率型.7．【湖北省2018届高三5月冲刺】已知实数、满足条件，则的最大值为（）A. B. C. D. 1【答案】A点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.8．【山东省潍坊市青州市2018届高三第三次高考模拟考试】某旅行社租用两种型号的客车安排名客人旅行，两种车辆的载客量分别为人和人，租金分别为元/辆和元/辆，旅行社要求租车总数不超过辆，且型车不多于型车辆，则租金最少为（）A. 元B. 元C. 元D. 元【答案】C【解析】设租A型车x辆，B型车y辆时租金为z元则z＝1600x＋2400yx、y满足画出可行域观察可知，直线过点A(5,12)时纵截距最小，∴z min＝5×1 600＋2 400×12＝36800，故租金最少为36800元．选C.9．【湖南省长沙市长郡中学2018届高考模拟卷（二）】已知变量，满足条件则目标函数的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C其中为向量与的夹角，由图可知，时有最小值，在直线上时，有最大值，即，，目标函数的最大值为，故选C.点睛：本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移或旋转变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.10．【安徽省江南十校2018届高三冲刺联考（二模）】已知实数，满足，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】B点睛：线性规划问题中，关键是作出可行域，作出目标函数对应的直线，然后平移直线得出最优解，如果目标函数不是一次的，一般要确定其几何意义，如直线的斜率，两点间距离等，再利用几何意义求解．11．【福建省两大名校2018届高三下学期第一次模拟考试】若变量、满足约束条件，则的最大值为______________.【答案】【解析】分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值.详解：画出可行域，如图：点睛：本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力，以及利用几何意义求最值，是基础题.12．【江苏省南通市2018届高三最后一卷】已知实数满足，且恒成立，则实数的最小值是__________．【答案】.【解析】分析：若恒成立，满足的可行域在直线下面，结合图形可得结果.详解：点睛：本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解，属于难题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度，此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.13．【福建省三明市第一中学2018届高三模拟卷（一）】已知实数，满足约束条件，且的最小值为3，则常数__________．【答案】-2.【解析】分析：画出可行域，将变形为，平移直线由图可知当直经过点时，直线在轴上的截距最小，根据的最小值为列方程求解即可.详解：点睛：本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14．【江苏省南通市2018届高三最后一卷】甲、乙两种食物的维生素含量如下表：维生素/分别取这两种食物若干并混合，且使混合物中维生素的含量分别不低于单位，则混合物重量的最小值为__________．【答案】.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的定点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.。

2018年高考数学试卷历年高考数学易错知识点总结

《2018年高考数学试卷历年高考数学易错知识点总结》摘要：错因分析如原命题是“若则B”则这命题逆命题是“若B则”否命题是“若┐则┐B”逆否命题是“若┐B则┐”，错因分析对两条件B如B成立则是B充分条件B是必要条件，错因分析等差数列首项、公差则其通项公式+()前项和公式+()(+)数学是座高山哪怕是高考数学这样山丘也让无数学子望其背而心戚戚更有人混淆知识里面兜兜浪费了精力和满纸推算却只能挣得卷面分看得己也是阵心疼啊编立马搬出高考数学易错知识总结希望能让少走弯路收藏起定有用集合与简单逻辑易错遗忘空集致误错因分析由空集是任何非空集合真子集因对集合B就有Bφ≠BB≠φ三种情况题如思维不够缜密就有可能忽视了B≠φ这种情况导致题结错误尤其是含有参数集合问题更要充分当参数某围取值所给集合可能是空集这种情况空集是特殊集合由思维定式原因考生往往会题遗忘了这集合导致题错误或是题不全面易错忽视集合元素三性致误错因分析集合元素具有确定性、无序性、异性集合元素三性异性对题影响特别是带有母参数集合实际上就隐含着对母参数些要题也可以先确定母参数围再具体问题3易错四种命题结构不明致误错因分析如原命题是“若则B”则这命题逆命题是“若B则”否命题是“若┐则┐B”逆否命题是“若┐B则┐”这里面有两组等价命题即“原命题和它逆否命题等价否命题与逆命题等价”答由命题写出该命题其他形式命题定要明确四种命题结构以及它们等价关系另外否定命题要全称命题否定是特称命题特称命题否定是全称命题如对“b都是偶数”否定应该是“b不都是偶数”而不应该是“b都是奇数”易错充分必要条件颠倒致误错因分析对两条件B如B成立则是B充分条件B是必要条件；如B成立则是B必要条件B是充分条件；如B则B充分必要条件题容易出错就是颠倒了充分性与必要性所以这类问题定要根据充要条件概念作出准确判断5易错逻辑结词理不准致误错因分析判断含逻辑结词命题很容易因理不准确而出现错误这里我们给出些常用判断方法希望对有所助∨q真真或q真∨q假假且q假(概括真即真)；∧q真真且q真∧q假假或q假(概括假即假)；┐真假┐假真(概括真假)函数与导数6易错函数定义域忽视细节致误错因分析函数定义域是使函数有义变量取值围因要定义域就要根据函数析式把各种情况下变量限制条件出列成不等式组不等式组集就是该函数定义域般函数定义域要下面几()分母不0；()偶次被开放式非；(3)真数0；()00次幂没有义函数定义域是非空数集函数定义域不要忘记了这对复合函数要外层函数定义域是由层函数值域定7易错带有绝对值函数单调性判断错误错因分析带有绝对值函数实质上就是分段函数对分段函数单调性有两种基判断方法是各段上根据函数析式所表示函数单调性出单调区对各段上单调区进行整合；二是画出这分段函数图象结合函数图象、性质进行直观判断研究函数问题离不开函数图象函数图象反应了函数所有性质研究函数问题要刻刻想到函数图象学会从函数图象上分析问题寻问题方案对函数几不单调递增(减)区千万记住不要使用并集只要指明这几区是该函数单调递增(减)区即可8易错函数奇偶性常见错误错因分析函数奇偶性常见错误有错函数定义域或是忽视函数定义域对函数具有奇偶性前提条件不清对分段函数奇偶性判断方法不当等判断函数奇偶性首先要考虑函数定义域函数具备奇偶性必要条件是这函数定义域区关原对称如不具备这条件函数定是非奇非偶函数定义域区关原对称前提下再根据奇偶函数定义进行判断用定义进行判断要变量定义域区任性7易错抽象函数推理不严密致误错因分析很多抽象函数问题都是以抽象出某类函数共“特征”而设计出问题可以通类比这类函数些具体函数性质抽象函数性质答抽象函数问题要特殊赋值法应用通特殊赋值可以到函数不变性质这不变性质往往是进步问题突破口抽象函数性质证明是种代数推理和几何推理证明样要推理严谨性每步推理都要有充分条件不可漏些条件更不要臆造条件推理程要层次分明写规0易错函数零定理使用不当致误错因分析如函数(x)区[b]上图象是连续不断条曲线并且有()(b)0那么函数(x)区(b)有零即存∈(b)使得()0这也是方程()0根这结论我们般称函数零定理函数零有“变零”和“不变零”对“不变零”函数零定理是“无能力”函数零要这问题易错混淆两类切线致误错因分析曲线上处切线是指以该切曲线切线这样切线只有条；曲线切线是指这曲线所有切线这如曲线上当然包括曲线该处切线曲线切线可能不止条因曲线切线问题首先要区分是什么类型切线易错混淆导数与单调性关系致误错因分析对函数某区上是增函数如认函数导函数区上恒0就会出错研究函数单调性与其导函数关系定要函数导函数某区上单调递增(减)充要条件是这函数导函数区上恒()等0且导函数区任子区上都不恒零3易错导数与极值关系不清致误错因分析使用导数函数极值很容易出现错误就是出使导函数等0而没有对这些左右两侧导函数进行判断误以使导函数等0就是函数极值出现这些错误原因是对导数与极值关系不清可导函数处导函数值零只是这函数处取到极值必要条件提醒广考生使用导数函数极值定要对极值进行检验数列易错用错基公式致误错因分析等差数列首项、公差则其通项公式+()前项和公式+()(+)；等比数列首项、公比q则其通项公式当公比q≠前项和公式()(q)(q)(q)当公比q前项和公式数列基础性试题等差数列、等比数列这几公式是题根用错了公式题就失了方向5易错关系不清致误错因分析数列问题数列通项与其前项和存关系这关系是对任数列都成立但要是这关系式是分段和≥这关系式具有完全不表现形式这也是题常出错地方使用这关系式要牢牢记住其“分段”特当题目给出了数列{}与关系这两者可以进行相换知道了具体表达式可以通数列和方法出知道了可以出题要体会这种换相性6易错对等差、等比数列性质理错误错因分析等差数列前项和公差不0是关常数项0二次函数般地有结论“若数列{}前项和+b+(b∈R)则数列{}等差数列充要条件是0”；等差数列3(∈)是等差数列这类题目基出发就是考虑问题要全面把各种可能性都考虑进认正确命题给以证明认不正确命题举出反例予以驳斥等比数列公比等是很特殊情况有关问题要这特殊情况7易错数列值错误错因分析数列通项公式、前项和公式都是关正整数函数要善从函数观认识和理数列问题但是考生很容易忽视正整数特或即使考虑了正整数但对取何值能够取到值出错关正整数二次函数其取值要根据正整数距离二次函数对称轴远近而定8易错错位相减和项数处理不当致误错因分析错位相减和法适用环境是数列是由等差数列和等比数列对应项乘积所组成其前项和基方法是设这和式这和式两端乘以等比数列公比得到另和式这两和式错位相减得到和式要分三部分()原数列项；()等比数列前()项和；(3)原数列项乘以公比作差出现用错位相减法数列和定要处理这三部分否则就会出错。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2018高考数学（文）备考黄金易错点专题02 不等式与线性规划（易错起源）1.【2017课标1，文7】设x，y满足约束条件33,1,0,x yx yy+≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z=x+y的最大值为A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D2.【2017课标II，文7】设,x y满足约束条件2+330233030x yx yy-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩,则2z x y=+的最小值是A.15- B.9- C.1 D 9【答案】A【解析】x、y满足约束条件2+330{233030x yx yy-≤-+≥+≥的可行域如图：z=2x+y经过可行域的A时，目标函数取得最小值，由3{2330yx y=--+=解得A(−6,−3)，则z=2x+y的最小值是：−15. 故选：A.3.【2017课标3，文5】设x，y满足约束条件3260x yxy+-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则z x y=-的取值范围是（）A．[–3,0] B．[–3,2] C．[0,2] D．[0,3] 【答案】B【解析】作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示.4.【2017北京，文4】若,x y满足3,2,,xx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩错误！未找到引用源。

则2x y+的最大值为（A）1 （B）3 （C）5 （D）9 【答案】D【解析】如图，画出可行域，2z x y=+表示斜率为12-的一组平行线，当2z x y=+过点()3,3C时，目标函数取得最大值max 3239z=+⨯=，故选D.5.【2017山东，文3】已知x,y满足约束条件250302x yxy-+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则z=x+2y的最大值是A.-3B.-1C.1D.3【答案】D6.【2017浙江，4】若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则y x z 2+=的取值范围是A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，)∞+D ．[4，)∞+7.【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是 ▲ .【答案】30【解析】总费用600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立. 8. 【2016高考新课标1卷】若101a b c >><<，,则( )y（A ）c c a b < （B ）c c ab ba < （C ）log log b a a c b c < （D ）log log a b c c < 【答案】C9.【2016高考天津文数】设变量x ，y 满足约束条件20,2360,3290.x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数25z x y =+的最小值为（）（A ）4- （B ）6 （C ）10 （D ）17【答案】B【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(0,2),(3,0),(1,3)A B C ，直线z 25x y =+过点B 时取最小值6，选B.10.【2016高考山东文数】若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x ì+?ïïïï-?íïï锍ïî则22x y +的最大值是（）（A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12【答案】C【解析】不等式组表示的可行域是以A (0,-3),B (0,2),C (3,-1)为顶点的三角形区域,22x y +表示点（x ,y ）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为210OC=,故选C.易错起源1、不等式的解法例1、(1)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为__________．(2)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12，则f (10x)>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >－lg2}B ．{x |－1<x <－lg2}C ．{x |x >－lg2}D ．{x |x <－lg2}【变式探究】(1)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝________. (2)不等式22x x－＜4的解集为________．答案 (1)52(2)(－1,2)解析 (1)由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，因为a >0，所以不等式的解集为(－2a,4a )，即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52.(2)∵22x x－＜4＝22，∴x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0，解得－1<x <2.【名师点睛】(1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化；(2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集；(3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论．【锦囊妙计，战胜自我】 1．一元二次不等式的解法先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． 2．简单分式不等式的解法 (1)f xg x>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)； (2)f xg x≥0(≤0)⇔f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. 3．指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解．易错起源2、基本不等式的应用例2、(1)已知向量a ＝(m,2)，b ＝(1，n －1)，若a ⊥b ，则2m＋4n的最小值为( ) A ．2 B ．2 2 C ．4D ．8(2)设实数m ，n 满足m >0，n <0，且1m ＋1n＝1，则4m ＋n ( )A ．有最小值9B ．有最大值9C ．有最大值1D ．有最小值1答案 (1)C (2)C(2)因为1m ＋1n＝1，所以4m ＋n ＝(4m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ＝5＋4m n ＋n m，又m >0，n <0，所以－4m n－nm≥4，当且仅当n ＝－2m 时取等号，故5＋4m n ＋nm≤5－4＝1，当且仅当m ＝12，n ＝－1时取等号，故选C.【变式探究】(1)若正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则a a ＋1＋bb ＋1的最大值为________． (2)若圆(x －2)2＋(y －2)2＝9上存在两点关于直线ax ＋by －2＝0(a >0，b >0)对称，则1a ＋9b的最小值为__________．答案 (1)23(2)16(2)圆(x －2)2＋(y －2)2＝9的圆心坐标为(2,2)，由已知得直线ax ＋by －2＝0必经过圆心(2,2)，即a ＋b ＝1. 所以1a ＋9b ＝(1a ＋9b )(a ＋b )＝10＋b a ＋9ab≥10＋2b a ·9a b ＝16(当且仅当b a ＝9a b ，即a ＝14，b ＝34时等号成立)，所以1a ＋9b的最小值为16.【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．【锦囊妙计，战胜自我】利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法则是：(1)如果x >0，y >0，xy ＝p (定值)，当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记为：积定，和有最小值)；(2)如果x >0，y >0，x ＋y ＝s (定值)，当x ＝y 时，xy有最大值14s 2(简记为：和定，积有最大值)．易错起源3、简单的线性规划问题例3、(1)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x3－2，y ≤2x ＋4，2x ＋3y －12≤0，则z ＝x ＋2y 的最大值与最小值之和为( ) A ．－2 B ．14 C ．－6D ．2(2)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，y ≥x －2，y ≥－12x ＋52，且目标函数z ＝－kx ＋y 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1时取得最小值，则实数k 的取值范围是________．答案 (1)A (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1解析 (1)根据x ，y 的约束条件画出可行域，如图阴影部分所示，其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－185，－165，B (6,0)，C (0,4)．【变式探究】 (1)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤2，则z ＝4x ＋y 的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[0,8]C ．[2,8]D ．[2,10](2)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ≥a ，若x ＋2y ≥－5恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]B ．[－1，＋∞)C ．[－1,1]D ．[－1,1)答案 (1)B (2)C(2)由题意作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，则x ＋2y ≥－5恒成立可转化为图中的阴影部分在直线x ＋2y ＝－5的上方，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝1，x ＋2y ＝－5，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－2，【名师点睛】(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．(2)一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得．【锦囊妙计，战胜自我】解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．。