2016-2017学年高中数学人教A版选修4-5课时跟踪检测(三) 三个正数的算术—几何平均不等式

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高中数学课时跟踪检测(三)三个正数的算术—几何平均不等式(含解析)新人教A版选修45

高中数学课时跟踪检测（三）三个正数的算术—几何平均不等式（含解析）新人教A 版选修45 1．设x >0，则y ＝x ＋4x 2的最小值为( ) A ．2B ．2 2C ．3 2D ．3 解析：选D y ＝x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3·3x 2·x 2·4x 2＝3，当且仅当x 2＝4x2，即x ＝2时取“＝”号． 2．设x ，y ，z ∈R ＋且x ＋y ＋z ＝6，则lg x ＋lg y ＋lg z 的取值范围是( )A ．(－∞，lg 6]B ．(－∞，3lg 2]C ．[lg 6，＋∞)D ．[3lg 2，＋∞)解析：选B ∵lg x ＋lg y ＋lg z ＝lg(xyz )，而xyz ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y ＋z 33，∴lg(xyz )≤lg 8＝3lg 2，当且仅当x ＝y ＝z ＝2时，等号成立． 3．若实数x ，y 满足xy >0，且x 2y ＝2，则xy ＋x 2的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：选C xy ＋x 2＝12xy ＋12xy ＋x 2≥ 3312xy ·12xy ·x 2＝3 314x 2y 2＝3，当且仅当12xy ＝x 2，x 2y ＝2，即x ＝1，y ＝2时取“＝”号．故xy ＋x 2的最小值为3.4．已知a ，b ，c ∈R ＋，x ＝a ＋b ＋c 3，y ＝3abc ，z ＝ a 2＋b 2＋c 23，则x ，y ，z 的大小关系是( )A ．x ≤y ≤zB ．y ≤x ≤zC ．y ≤z ≤xD ．z ≤y ≤x 解析：选B ∵a ，b ，c ∈R ＋，∴a ＋b ＋c3≥3abc ，∴x ≥y ，又x 2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac 9， z 2＝3a 2＋3b 2＋3c 29， ∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，三式相加得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ，∴3a 2＋3b 2＋3c 2≥(a ＋b ＋c )2，∴z 2≥x 2，∴z ≥x ，即y ≤x ≤z .5．设0<x <1，则x (1－x )2的最大值为 ________.解析：∵0<x <1，∴1－x >0.故32x 1－x 1－x ≤2x ＋1－x ＋1－x 3＝23. ∴x (1－x )2≤427，当且仅当x ＝13时取等号．答案：4276．设x ，y ，z 均大于0，且x ＋3y ＋4z ＝6，则x 2y 3z 的最大值为________．解析：∵6＝x ＋3y ＋4z ＝x 2＋x 2＋y ＋y ＋y ＋4z ≥66x 2y 3z . ∴x 2y 3z ≤1，当且仅当 x2＝y ＝4z 时取“＝”号． ∴x 2z 3z 的最大值为1.答案：17．设三角形三边长为3,4,5，P 是三角形内的一点，则P 到该三角形三边距离乘积的最大值是________．解析：设P 到长度为3,4,5的三角形三边的距离分别是x ，y ，z ，三角形的面积为S .则S ＝12(3x ＋4y ＋5z )，又∵32＋42＝52， ∴这个直角三角形的面积S ＝12×3×4＝6. ∴3x ＋4y ＋5z ＝2×6＝12.∴333x ·4y ·5z ≤3x ＋4y ＋5z ＝12.∴(xyz )max ＝1615. 当且仅当x ＝43，y ＝1，z ＝45时等号成立．答案：1615 8．设a ，b ，c ∈R ＋，求证：(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥92. 证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，∴2(a ＋b ＋c )＝(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )≥33a ＋b b ＋c c ＋a >0.1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥331a ＋b ·1b ＋c ·1a ＋c ＞0， ∴(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥92. 当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 9．若θ为锐角，求y ＝sin θ·cos 2θ的最大值．解：y 2＝sin 2θ·cos 2θ·cos 2θ＝12·2sin 2θ(1－sin 2θ)·(1－sin 2θ) ≤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝427. 当且仅当2sin 2θ＝1－sin 2θ，即sin θ＝33时取等号．此时y max ＝239. 10．已知某轮船速度为每小时10千米时，燃料费为每小时30元，其余费用(不随速度变化)为每小时480元，设轮船的燃料费用与其速度的立方成正比，问轮船航行的速度为每小时多少千米时，每千米航行费用总和最小．解：设船速为v 千米/小时，燃料费为A 元/小时．则依题意有A ＝k ·v 3，且有30＝k ·103，∴k ＝3100.∴A ＝3100v 3. 设每千米的航行费用为R ，则需时间为1v小时， ∴R ＝1v ⎝ ⎛⎭⎪⎫3100v 3＋480＝3100v 2＋480v ＝3100v 2＋240v ＋240v ≥333100v 2·240v ·240v ＝36.当且仅当3100v 2＝240v，即v ＝20时取最小值．∴轮船航行速度为20千米/小时时，每千米航行费用总和最小．。

2016-2017学年高中数学人教A版选修4-5课件：第一讲一 3.三个正数的算术—几何平均不等式

1．已知x＞0，y＞0，求证：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.
证明：因为x＞0，y＞0，所以1＋x＋y ≥3
2 2
3
xy2 ＞0，1＋ 3
2
x ＋y≥3 x y＞0，故(1＋x＋y )(1＋x ＋y)≥3 xy · 3 x2y ＝9xy.
3
2
2
2
3
2．已知a1，a2，„，an都是正数，且a1a2„an＝1，求证：(2＋a1)(2＋a2)„(2＋an)≥3n.
这里k是一个和灯光强度有关的常数，那么究竟应该怎样选择灯的高度h，才能使桌子边缘处最亮？
[思路点拨] sin θ 根据题设条件建立r与θ的关系式 → 将它代入E＝k 2 r → 得到以θ为自变量，E为因变量的函数关系式 → 用平均不等式求函数的最值 → 获得问题的解
[解]
π 2 sin θcos2θ 0<θ< . ∵r＝，∴E＝k· 2 cos θ 4
3．三个正数的算术—几何平均不等式
1．定理3 a＋b＋c 3 如果a，b，c∈R＋，那么 ≥ abc ，当且仅 3 当 a＝b＝c 时，等号成立，用文字语言可叙述为：
三个正数的算术平均不小于它们的几何平均． a＋b＋c 3 a，b，c (1)不等式 ≥ abc成立的条件是：________ 3
用平均不等式证明不等式
[例1] 已知a，b，c∈R＋，求证：
b＋c－a c＋a－b a＋b－c ≥3. a ＋ b ＋ c [思路点拨] ＋b＋c≥3 3 欲证不等式的右边为常数3，联想到不等式a
abc (a，b，c∈R＋)，故将所证不等式的左边进行
恰当的变形．
[证明]
b＋c－a c＋a－b a＋b－c a ＋ b ＋ c

最新整理高中数学人教A版选修4-5 章末综合测评3 Word版含答案.doc

章末综合测评(三)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设xy >0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋4y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2＋1x 2的最小值为( )A ．－9B ．9C ．10D ．0 【解析】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋y 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·1x ＋2y ·y 2＝9. 【答案】 B2．已知实数a ，b ，c ，d ，e 满足a ＋b ＋c ＋d ＋e ＝8，a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋e 2＝16，则e 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，455 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－165，165 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，165 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－455，455 【解析】 ∵4(a 2＋b 2＋c 2＋d 2) ＝(1＋1＋1＋1)(a 2＋b 2＋c 2＋d 2) ≥(a ＋b ＋c ＋d )2，即4(16－e 2)≥(8－e )2，64－4e 2≥64－16e ＋e 2，即5e 2－16e ≤0， ∴e (5e －16)≤0，故0≤e ≤165. 【答案】 C3．学校要开运动会，需要买价格不同的奖品40件、50件、20件，现在选择商店中为5元、3元、2元的奖品，则至少要花( )A ．300元B ．360元C ．320元 D.340元【解析】由排序原理，反序和最小， ∴最小值为50×2＋40×3＋20×5＝320(元). 【答案】 C4．已知a ，b ，c 为非零实数，则(a 2＋b 2＋c 2)1a 2＋1b 2＋1c 2的最小值为( ) A ．7 B ．9 C ．12 D.18 【解析】由(a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2＋1c 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋b ·1b ＋c ·1c 2＝9，所以所求最小值为9. 【答案】 B5．设a ，b ，c 均小于0，且a 2＋b 2＋c 2＝3，则ab ＋bc ＋ca 的最大值为( )【导学号：32750061】A ．0B ．1C ．3 D.333【解析】由排序不等式a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ，所以ab ＋bc ＋ca ≤3. 【答案】 C6．若x ＋2y ＋4z ＝1，则x 2＋y 2＋z 2的最小值是( ) A ．21 B.121 C ．16 D.116 【解析】 ∵1＝x ＋2y ＋4z ≤ x 2＋y 2＋z 2·1＋4＋16，∴x 2＋y 2＋z 2≥121，即x 2＋y 2＋z 2的最小值为121. 【答案】 B7．函数f (x )＝1－cos 2x ＋cos x ，则f (x )的最大值是( ) A. 3 B. 2 C ．1 D.2 【解析】 f (x )＝2·sin 2x ＋cos x .又(2·sin 2x ＋cos x )2≤(2＋1)(sin 2x ＋cos 2x )＝3，∴f (x )的最大值为 3.【答案】 A8．已知a ，b ，x 1，x 2为互不相等的正数，若y 1＝ax 1＋bx 2a ＋b ，y 2＝bx 1＋ax 2a ＋b，则y 1y 2与x 1x 2的关系为( )A ．y 1y 2<x 1x 2B ．y 1y 2＝x 1x 2C ．y 1y 2>x 1x 2D.不能确定【解析】 ∵a ，b ，x 1，x 2为互不相等的正数， ∴y 1y 2＝ax 1＋bx 2a ＋b ·bx 1＋ax 2a ＋b＝(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)(a ＋b )2＝[(ax 1)2＋(bx 2)2]·[(ax 2)2＋(bx 1)2](a ＋b )2>(ax 1·ax 2＋bx 2·bx 1)2(a ＋b )2＝(a ＋b )2x 1x 2(a ＋b )2＝x 1x 2.【答案】 C9．已知半圆的直径AB ＝2R ，P 是弧AB 上一点，则2|P A |＋3|PB |的最大值是( )A.6RB.13R C ．213RD.413R【解析】由2|P A |＋3|PB | ≤(22＋32)(|P A |2＋|PB |2) ＝13|AB |2＝13·2R . 【答案】 C10．设a 1，a 2，…，a n 为正实数，P ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ，Q ＝n1a 1＋1a 2＋…＋1a n ，则P ，Q 间的大小关系为( )A ．P >QB ．P ≥QC ．P <QD.P ≤Q【解析】 ∵(a 1＋a 2＋…＋a n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≥(1＋1＋…＋1)2n 个＝n 2，∴a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n1a 1＋1a 2＋…＋1a n，即P ≥Q . 【答案】 B11．设a 1，a 2，a 3为正数，则a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2与a 1＋a 2＋a 3大小为( )A ．>B ．≥C ．< D.≤ 【解析】不妨设a 1≥a 2≥a 3>0，于是 1a 1≤1a 2≤1a 3，a 2a 3≤a 3a 1≤a 1a 2，由排序不等式得，a 1a 2a 3＋a 3a 1a 2＋a 2a 3a 1≥1a 2·a 2a 3＋1a 3·a 3a 1＋1a 1·a 1a 2 ＝a 3＋a 1＋a 2，即a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2≥a 1＋a 2＋a 3.【答案】 B12．设c 1，c 2，…，c n 是a 1，a 2，…，a n 的某一排列(a 1，a 2，…，a n 均为正数)，则a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a nc n的最小值是( )A ．n B.1n C.n D.2n【解析】不妨设0≤a 1≤a 2≤…≤a n ，则1a 1≥1a 2≥…≥1a n，1c 1，1c 2，…，1c n是1a 1，1a 2，…，1a n的一个排列．再利用排序不等式的反序和≤乱序和求解，所以a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n ≥a 1a 1＋a 2a 2＋…＋a na n ＝n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时等号成立．故选A. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．设x ，y ，z ∈R ，且满足x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，则x ＋y ＋z ＝________.【导学号：32750062】【解析】由柯西不等式可得(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32)≥(x ＋2y ＋3z )2，即(x ＋2y ＋3z )2≤14，因此x ＋2y ＋3z ≤14.因为x ＋2y ＋3z ＝14，所以x ＝y 2＝z3，解得x ＝1414，y ＝147，z ＝31414，于是x ＋y ＋z ＝3147.【答案】314714．已知实数m ，n ＞0，则a 2m ＋b 2n ________(a ＋b )2m ＋n .(填“≥”“＞”“≤”或“＜”)【解析】因为m ，n ＞0，利用柯西不等式，得(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2m ＋b 2n ≥(a ＋b )2，所以a 2m ＋b 2n ≥(a ＋b )2m ＋n .【答案】 ≥15．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1cos α⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜α＜π2的最小值是________．【解析】由柯西不等式，得y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝⎛⎭⎪⎫1sin α2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos α2≥⎝⎛⎭⎪⎫1×1＋1sin α·1cos α2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2sin 2α2≥(1＋2)2＝3＋2 2. 当且仅当1cos α＝1sin α，即α＝π4时等号成立．【答案】 3＋2 216.如图1所示，矩形OP AQ 中，a 1≤a 2，b 1≤b 2，则阴影部分的矩形的面积之和________空白部分的矩形的面积之和．图1【解析】由题图可知，阴影面积＝a 1b 1＋a 2b 2，而空白面积＝a 1b 2＋a 2b 1，根据顺序和≥逆序和可知答案为≥.【答案】 ≥三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设x 2＋2y 2＝1，求u (x ，y )＝x ＋2y 的最值．【解】由柯西不等式，有|u (x ，y )| ＝|1·x ＋2·2y |≤1＋2·x 2＋2y 2＝3，得u max ＝3，u min ＝－ 3.分别在⎝ ⎛⎭⎪⎫33，33，⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－33时取得最大值和最小值．18．(本小题满分12分)已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝1.求证：x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y ≥13. 【证明】因为x >0，y >0，z >0，所以由柯西不等式得：[(y ＋2z )＋(z ＋2x )＋(x ＋2y )]x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y ≥(x ＋y ＋z )2，又因为x ＋y ＋z＝1，所以x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2z ＋2y ≥(x ＋y ＋z )2(y ＋2z )＋(z ＋2x )＋(x ＋2y )＝13.19．(本小题满分12分)已知a ，b ，c ∈R ＋，求证：a ＋b ＋c ≤a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b ≤a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab .【证明】不妨设a ≥b ≥c >0，则a 2≥b 2≥c 2，1c ≥1b ≥1a .由排序不等式，可得a 2·1c ＋b 2·1a ＋c 2·1b ≥a 2·1a ＋b 2·1b ＋c 2·1c ，①a 2·1b ＋b 2·1c ＋c 2·1a ≥a 2·1a ＋b 2·1b ＋c 2·1c ，② 由(①＋②)÷2，可得a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b ≥a ＋b ＋c . 又因为a ≥b ≥c >0，所以a 3≥b 3≥c 3，1bc ≥1ac ≥1ab . 由排序不等式，得a 3·1bc ＋b 3·1ca ＋c 3·1ab ≥a 3·1ac ＋b 3·1ab ＋c 3·1bc ，③ a 3·1bc ＋b 3·1ca ＋c 3·1ab ≥a 3·1ab ＋b 3·1bc ＋c 3·1ca ，④由(③＋④)÷2，可得a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab ≥a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a22b .综上可知原式成立．20．(本小题满分12分)已知a ，b ，c 大于0，且a cos 2θ＋b sin 2θ<c ，求证：a cos 2θ＋b sin 2θ<c 14.【导学号：32750063】【证明】由柯西不等式，得(a cos 2θ＋b sin 2θ)2 ≤[(a cos θ)2＋(b sin θ)2](cos 2θ＋sin 2θ) ＝a cos 2θ＋b sin 2θ. 又a cos 2θ＋b sin 2θ<c ， ∴(a cos 2θ＋b sin 2θ)2<c . 因此，a cos 2θ＋b sin 2θ<c 14.21．(本小题满分12分)设a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c ≥9. 【证明】构造两组数a ，b ，c ；1a ，1b ，1c. 于是由柯西不等式有[(a )2＋(b )2＋(c )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1c 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋b ·1b ＋c ·1c 2，即(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ≥32.因为a ＋b ＋c ＝1，所以1a ＋1b ＋1c ≥9.22．(本小题满分12分)设a ，b ，c ∈R ＋，利用排序不等式证明： (1)a a b b ＞a b b a (a ≠b )； (2)a 2a b 2b c 2c ≥a b ＋c b c ＋a c a ＋b .【证明】 (1)不妨设a ＞b ＞0，则lg a ＞lg b . 从而a lg a ＋b lg b ＞a lg b ＋b lg a ， ∴lg a a ＋lg b b ＞lg b a ＋lg a b ，即lg a a b b ＞lg b a a b ，故a a b b ＞b a a b .(2)不妨设a ≥b ≥c ＞0，则lg a ≥lg b ≥lg c ， ∴a lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥b lg a ＋c lg b ＋a lg c ， a lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥c lg a ＋a lg b ＋b lg c ， ∴2a lg a ＋2b lg b ＋2c lg c≥(b ＋c )lg a ＋(a ＋c )lg b ＋(a ＋b )lg c ， ∴lg(a 2a ·b 2b ·c 2c )≥lg (a b ＋c ·b a ＋c ·c a ＋b )．故a 2a b 2b c 2c ≥a b ＋c b c ＋a c a ＋b .。

高中数学全册质量检测新人教A版选修4-5(2021年整理)

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全册质量检测一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知：a＋b〉0，b〈0，那么( )A．a>b〉－a>－b B．a>－a〉b〉－bC．a〉－b>b〉－a D．－a>－b〉a>b解析：∵a＋b>0∴a〉－b，b>－a∵b〈0∴－b>0〉b∴a〉－b〉b〉－a答案：C2．“a＋c>b＋d"是“a〉b且c>d"的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析:易得a〉b且c〉d时必有a＋c〉b＋d.若a＋c>b＋d时，则可能有a〉d且c〉d，选A。

答案：A3．a≥0，b≥0，且a＋b＝2,则( ）A．ab≤错误!B．ab≥错误!C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3解析:由a≥0，b≥0，且a＋b＝2，∵4＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)，∴a2＋b2≥2.选C。

答案:C4．若不等式|2x－3｜>4与不等式x2＋px＋q>0的解集相同,则p∶q等于（）A．12∶7 B．7∶12C．（－12）∶7 D．（－3）∶4解析：｜2x－3|>4⇔2x－3〉4或2x－3〈－4⇔x〉错误!或x〈－错误!，∴错误!－错误!＝－p，p＝－3,错误!×错误!＝q，q＝－错误!，∴p∶q＝12∶7。

(课堂新坐标)2016-2017学年高中数学人教a版高二选修4-5_模块综合测评_word版有答案AKMHKM

模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．不等式|3x －2|>4的解集是( ) A ．{x |x >2}B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－23 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－23或x >2D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23<x <2【解析】因为|3x －2|>4，所以3x －2>4或3x －2<－4，所以x >2或x <－23. 【答案】 C2．能用来表示二维形式的柯西不等式的是( ) A ．a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )B ．(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2(a ，b ，c ，d ∈R )C ．(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ab ＋cd )2(a ，b ，c ，d ∈R )D ．(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≤(ac ＋bd )2(a ，b ，c ，d ∈R )【解析】根据柯西不等式的结构特征可知只有B 正确，故选B. 【答案】 B3．若实数x ，y 满足|tan x |＋|tan y |>|tan x ＋tan y |，且y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则|tan x －tan y |等于( )A ．tan x －tan yB ．tan y －tan xC ．tan x ＋tan yD.|tan y |－|tan x |【解析】由|tan x |＋|tan y |>|tan x ＋tan y |，得tan x 和tan y 异号，且y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，得tan y >0. 故|tan x －tan y |＝tan y －tan x . 【答案】 B4．已知a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( )【导学号：32750076】A ．a 2<b 2B ．ab 2<a 2b C.1ab 2<1a 2bD.b a <a b【解析】对于C 中，1ab 2－1a 2b ＝a －ba 2b 2<0， ∴1ab 2<1a 2b . 【答案】 C5．用数学归纳法证明2n >n 2(n ∈N ＋，n ≥5)成立时，第二步归纳假设的正确写法是( ) A ．假设n ＝k 时命题成立 B ．假设n ＝k (k ∈N ＋)时命题成立 C ．假设n ＝k (k ≥5)时命题成立 D ．假设n ＝k (k >5)时命题成立【答案】 C6．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥a 对任意正实数x ，y 恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．2B ．4 C. 2D.16【解析】由(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥(1＋1)2＝4.因此不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥a 对任意正实数x ，y 恒成立，即a ≤4. 【答案】 B7．某人要买房，随着楼层的升高，上、下楼耗费的体力增多，因此不满意度升高．设住第n 层楼，上下楼造成的不满意度为n ；但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随楼层升高，环境不满意度降低，设住第n 层楼时，环境不满意程度为9n ，则此人应选( )A ．1楼B ．2楼C ．3楼D.4楼【解析】设第n 层总的不满意程度为f (n )，则f (n )＝n ＋9n ≥29＝2×3＝6，当且仅当n＝9n ，即n ＝3时取等号，故选C.【答案】 C8．对任意实数x ，若不等式|x ＋1|－|x －2|>k 恒成立，对k 的取值范围是( ) A ．k <3 B ．k <－3 C ．k ≤3D.k ≤－3【解析】 ∵|x ＋1|－|x －2|≥－|(x ＋1)－(x －2)|＝－3，∴|x ＋1|－|x －2|的最小值为－3.∴不等式恒成立，应有k <－3. 【答案】 B9．用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N ＋)”时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时等号左边应增添的式子是( )A ．2k ＋1 B.(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋2k ＋1【解析】当n ＝k 时，有f (k )＝(k ＋1)·(k ＋2)·…·(k ＋k )，当n ＝k ＋1时，有f (k ＋1)＝(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )(k ＋k ＋1)(k ＋k ＋2)， ∴f (k ＋1)＝f (k )·(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1.【答案】 B10．对一切正数m ，不等式n <4m ＋2m 2恒成立，则常数n 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，6) C ．(0，＋∞)D.[6，＋∞)【解析】要使不等式恒成立，只要n 小于4m ＋2m 2的最小值．∵4m ＋2m 2＝2m ＋2m ＋2m 2≥338＝6，∴n <6.【答案】 B11．若n 棱柱有f (n )个对角面，则(n ＋1)棱柱含有对角面的个数为( ) A ．2f (n ) B ．f (n )＋(n －1) C ．f (n )＋nD.f (n )＋2【解析】由n ＝k 到n ＝k ＋1时增加的对角面的个数与底面上由n ＝k 到n ＝k ＋1时增加的对角线一样，设n ＝k 时，底面为A 1A 2…A k ，n ＝k ＋1时底面为A 1A 2A 3…A k A k ＋1，增加的对角线为A 2A k ＋1，A 3A k ＋1，A 4A k ＋1，…，A k －1A k ＋1，A 1A k ，共有(k －1)条，因此对角面也增加了(k －1)个，故选B.【答案】 B12．记满足下列条件的函数f (x )的集合为M ，当|x 1|≤2，|x 2|≤2时，|f (x 1)－f (x 2)|≤6|x 1－x 2|，又令g (x )＝x 2＋2x －1，则g (x )与M 的关系是( )A ．g (x )MB ．g (x )∈MC ．g (x )∉M D.不能确定【解析】 ∵g (x 1)－g (x 2)＝x 21＋2x 1－x 22－2x 2＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2)，∴|g (x 1)－g (x 2)|＝|x 1－x 2|·|x 1＋x 2＋2|≤|x 1－x 2|(|x 1|＋|x 2|＋2)≤6|x 1－x 2|，所以g (x )∈M .故选B. 【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在题中横线上) 13．若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，则实数a 的取值范围是________.【导学号：32750077】【解析】 ∵|x －5|＋|x ＋3| ＝|5－x |＋|x ＋3|≥|5－x ＋x ＋3|＝8， ∴(|x －5|＋|x ＋3|)min ＝8，要使|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，只需a ≤8. 【答案】 (－∞，8]14．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋8，则ab 的最小值为________．【解析】 ∵ab ＝a ＋b ＋8，且a ＞0，b ＞0， ∴ab －8＝a ＋b ≥2ab ， ∴(ab )2－2ab －8≥0， ∴ab ≥4或ab ≤－2(舍去)， ∴ab ≥16，即ab 的最小值为16. 【答案】 1615．用数学归纳法证明a n ＋b n 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2n(a ，b 是非负实数，n ∈N ＋)，假设n ＝k 时不等式a k ＋b k2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2k(*)成立，再推证n ＝k ＋1时不等式也成立的关键是将(*)式两边同乘________．【解析】要想办法出现a k ＋1＋b k ＋12，两边同乘以a ＋b 2，右边也出现了要求证的⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2k ＋1. 【答案】 a ＋b216．设a ，b ，c ，d ，m ，n ∈R ＋，P ＝ab ＋cd ，Q ＝am ＋nc ·b m ＋dn，则P ，Q 的大小关系为________．【解析】由柯西不等式 P ＝am ·b m ＋nc ·d n ≤am ＋nc ·b m ＋d n ＝Q ，∴P≤Q.【答案】P≤Q三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知a＞b＞c，求证：1a－b＋1b－c≥4a－c.【证明】因为a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0，所以(a－c)⎝⎛⎭⎪⎫1a－b＋1b－c＝[(a－b)＋(b－c)]1a－b＋1b－c＝a－bb－c＋b－ca－b＋2≥2a－bb－c·b－ca－b ＋2＝4，当且仅当a－b＝b－c，即a＋c＝2b时等号成立．故1a－b＋1b－c≥4a－c成立．18．(本小题满分12分)(2016·全国乙卷)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|＞1的解集．图1【解】(1)由题意得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x－4，x≤－1，3x－2，－1＜x≤32，－x＋4，x＞32，故y＝f(x)的图象如图所示．(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5. 故f (x )＞1的解集为{x |1＜x ＜3}， f (x )＜－1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞5. 所以|f (x )|＞1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或1＜x ＜3或x ＞5. 19．(本小题满分12分)设m ，n ∈R ＋，m ＋n ＝p ，求证：1m ＋1n ≥4p ，并指出等号成立的条件．【证明】根据柯西不等式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n (m ＋n )≥⎝⎛⎭⎪⎫m ·1m ＋n ·1n 2＝4，于是1m ＋1n ≥4m ＋n ＝4p ，当m ＝n ＝p2时，等号成立．20．(本小题满分12分)某自来水厂要制作容积为500 m 3的无盖长方体水箱，现有三种不同规格的长方形金属制箱材料(单位：m)：①19×19；②30×10；③25×12.请你选择其中的一种规格材料，并设计出相应的制作方案(要求：①用料最省；②简便易行)．【解】设无盖长方体水箱的长、宽、高分别为a ，b ，c . 由题意，可得abc ＝500，长方体水箱的表面积为S ＝2bc ＋2ac ＋ab . 由均值不等式，知S ＝2bc ＋2ac ＋ab ≥ 332bc ·2ac ·ab ＝334×5002＝3×102＝300.当且仅当2bc ＝2ca ＝ab ，即a ＝b ＝10，c ＝5时，S ＝2bc ＋2ac ＋ab ＝300为最小，这表明将无盖长方体的尺寸设计为10×10×5(即2∶2∶1)时，其用料最省．如何选择材料并设计制作方案？就要研究三种供选择的材料，哪一种更易制作成长方体水箱的平面展开图．逆向思维，先将无盖长方体展开成平面图：下图(1)进一步剪拼成图(2)的长30 m ，宽10 m(长∶宽＝3∶1)的长方形．因此，应选择规格30×10的制作材料，制作方案如图(3)．(1) (2) (3)可以看出，图(3)这种“先割后补”的方案不但可使用料最省，而且简便易行．21．(本小题满分12分)设f (n )>0(n ∈N ＋)，对任意自然数n 1和n 2总有f (n 1＋n 2)＝f (n 1)f (n 2)，又f (2)＝4.(1)求f (1)，f (3)的值；(2)猜想f (n )的表达式，并证明你的猜想．【解】 (1)由于对任意自然数n 1和n 2，总有f (n 1＋n 2)＝f (n 1)·f (n 2)，取n 1＝n 2＝1，得f (2)＝f (1)·f (1)，即f 2(1)＝4. ∵f (n )>0(n ∈N ＋)， ∴f (1)＝2，取n 1＝1，n 2＝2，得f (3)＝23.(2)由f (1)＝21，f (2)＝4＝22，f (3)＝23，初步归纳猜想f (n )＝2n . 证明：①当n ＝1时，f (1)＝2成立； ②假设n ＝k 时，f (k )＝2k 成立． f (k ＋1)＝f (k )·f (1)＝2k ·2＝2k ＋1，即当n ＝k ＋1时，猜想也成立．由①②得，对一切n ∈N ＋，f (n )＝2n 都成立．22．(本小题满分12分)设数列{a n }的首项a 1∈(0,1)，a n ＝3－a n －12，n ＝2,3,4，….【导学号：32750078】(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n 3－2a n ，求证：b n <b n ＋1，其中n 为正整数．【解】 (1)由a n ＝3－a n －12，得2a n ＝3－a n －1，即1－a n 1－a n －1＝－12，所以数列{1－a n }是以1－a 1(a 1∈(0,1))为首项，以－12为公比的等比数列，所以1－a n ＝(1－a 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，因此a n ＝1－(1－a 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1.(2)证明：由(1)可知0<a n <32，故b n >0.那么b 2n ＋1－b 2n ＝a 2n ＋1(3－2a n ＋1)－a 2n (3－2a n )＝⎝⎛⎭⎪⎫3－a n 22⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2×3－a n 2－a 2n (3－2a n ) ＝9a n4(a n －1)2.又由(1)知a n >0且a n ≠1，故b 2n ＋1－b 2n >0，因此b n <b n ＋1，n 为正整数．。

人教A版高中数学选修4-5课件第一讲一3.三个正数的算术

94.
方法感悟
1．公式a＋2 b≥ ab，a＋3b＋c≥3 abc都
是
a1＋a2＋a3＋…＋an n
≥
n
a1a2a3…an 的
特例．
其使用条件都是“R＋”中，“＝”成立
条件都是“每个数都相等”．
2．利用上述公式求最值时要注意三点： (1)函数式中各项(必要时还要考虑常数项)必须都是正数，若不是正数，必须变为正数．
3 ≥3
x2·1x·2x＝33 2.
【错因】要使 y＝33 2，必须有 x2＝1x ＝2x，这时无解． 3x的拆项出错，使不等式不能取到“＝”．
【自我校正】 ∵x>0， ∴y＝x2＋3x＝x2＋23x＋23x
3 ≥3
x2·23x·23x＝3 3
9 4.
当且仅当 x2＝23x，
3 即 x＝
32时，ymin＝3 3
变式训练 3 当 x>0 时，求 y＝3x＋x12的最小值．
解：∵x>0， ∴y＝3x＋x12＝32x＋32x＋x12
3 ≥3
32x·32x·x12＝3
3
94，
当
且
仅
当
3 2
x
＝
1 x2
，
即
x＝
“＝”，
3
2 3
时
取
∴当 x＝
3
23时，ymin＝3
3
9 4.
误区警示例当 x>0 时，求 y＝x2＋3x的最小值．【错解】 y＝x2＋3x＝x2＋1x＋2x
例3 已知 x>0，求 y＝4x2＋1x的最小值．【思路点拨】为使其积为定值，即把 x2 约掉，须把1x拆开为21x＋21x.

2017-2018学年高中数学选修4-5课时跟踪检测3 三个正数

课时跟踪检测(三) 三个正数的算术—几何平均不等式1．已知x 为正数，下列各题求得的最值正确的是( ) A ．y ＝x 2＋2x ＋4x≥33x 2·2x ·4x3＝6，∴y min ＝6.B ．y ＝2＋x ＋1x ≥332·x ·1x＝332，∴y min ＝332.C ．y ＝2＋x ＋1x≥4，∴y min ＝4. D ．y ＝x (1－x )(1－2x ) ≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋－x＋－2x 33＝881， ∴y max ＝881. 解析：选C A 、B 、D 在使用不等式a ＋b ＋c ≥33abc (a ，b ，c ∈R ＋)和abc ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c 33(a ，b ，c ∈R ＋)都不能保证等号成立，最值取不到．C 中，∵x >0，∴y ＝2＋x ＋1x＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≥2＋2＝4，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，等号成立．2．已知a ，b ，c 为正数，则a b ＋b c ＋c a有( ) A ．最小值3B ．最大值3C ．最小值2D ．最大值2解析：选A a b ＋b c ＋ca ≥33ab ×bc ×c a ＝3，当且仅当a b ＝b c ＝c a，即a ＝b ＝c 时，等号成立． 3．若log x y ＝－2，则x ＋y 的最小值是( ) A.3322 B.833 C.332 D.223解析：选A 由log x y ＝－2，得y ＝1x 2.而x ＋y ＝x ＋1x2＝x 2＋x 2＋1x 2≥33x 2·x 2·1x 2＝3314＝3322，当且仅当x 2＝1x2，即x ＝32时，等号成立． 4．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V ，则下列不等式总成立的是( )A ．V ≥πB ．V ≤πC ．V ≥18πD ．V ≤18π解析：选B 设圆柱底面半径为r ，则圆柱的高h ＝6－4r 2，所以圆柱的体积为V ＝πr 2·h＝πr 2·6－4r 2＝πr 2(3－2r )≤π⎝ ⎛⎭⎪⎫r ＋r ＋3－2r 33＝π. 当且仅当r ＝3－2r ，即r ＝1时，等号成立． 5．若a >2，b >3，则a ＋b ＋1a －b －的最小值为________．解析：∵a >2，b >3，∴a －2>0，b －3>0，则a ＋b ＋1a －b －＝(a －2)＋(b －3)＋1a －b －＋5 ≥33a －b －1a －b －＋5＝8.当且仅当a －2＝b －3＝1a －b －，即a ＝3，b ＝4时，等号成立．答案：86．设0<x <1，则x (1－x )2的最大值为 ________. 解析：∵0<x <1，∴1－x >0.故x (1－x )2＝12×2x (1－x )(1－x )≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋－x ＋＋x 33＝12×827＝427(当且仅当x ＝13时，等号成立)．答案：4277．已知关于x 的不等式2x ＋1x －a2≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．解析：2x ＋1x －a2＝(x －a )＋(x －a )＋1x －a2＋2a .∵x －a >0， ∴2x ＋1x －a2≥33x －a x －a1x －a2＋2a ＝3＋2a ，当且仅当x －a ＝1x －a2即x ＝a ＋1时，等号成立．∴2x ＋1x －a2的最小值为3＋2a .由题意可得3＋2a ≥7，得a ≥2. 答案：28．设a ，b ，c ∈R ＋，求证： (a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥92.证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，∴2(a ＋b ＋c )＝(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )≥33a ＋b b ＋c c ＋a >0.1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥331a ＋b ·1b ＋c ·1a ＋c >0， ∴(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥92.当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．9．已知正数a ，b ，c 满足abc ＝1，求(a ＋2)(b ＋2)·(c ＋2)的最小值．解：因为(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)＝(a ＋1＋1)(b ＋1＋1)(c ＋1＋1) ≥3·3a ·3·3b ·3·3c ＝27·3abc ＝27，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．所以(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)的最小值为27.10．已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．证明：法一：因为a ，b ，c 均为正数，由平均值不等式，得a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23，①1a ＋1b ＋1c ≥3(abc )－13，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc )－23.②故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc )23＋9(abc )－23.又3(abc )23＋9(abc )－23≥227＝63，③所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc )23＝9(abc )－23时，③式等号成立．即当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原式等号成立．法二：因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式，得a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ，① 同理1a 2＋1b 2＋1c 2≥1ab ＋1bc ＋1ac，②故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥ab ＋bc ＋ac ＋3ab ＋3bc ＋3ac≥63，③所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立；当且仅当a ＝b ＝c ，(ab )2＝(bc )2＝(ac )2＝3时，③式等号成立，即当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原式等号成立．。

【人教A版】高中数学选修4-5全册配套试卷课时提升作业三 1.1.3

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课时提升作业三三个正数的算术-几何平均不等式一、选择题(每小题6分,共18分)1.函数y=x2·(1-5x)的最大值为( )A. B. C. D.【解析】选A.因为0≤x≤,所以1-5x≥0,所以y=x2·(1-5x)=≤=.当且仅当x=1-5x,即x=时取“=”.2.设a,b,c都是正数,且a+2b+c=1,则++的最小值为( )A.9B.12C.6-2D.6+4【解析】选D.因为a,b,c都是正数,且a+2b+c=1,所以++=(a+2b+c)=4++++++≥4+2+2+2=6+4,当且仅当a=c=b时等号成立.所以++的最小值是6+4.3.(2016·商丘高二检测)若a,b,c>0且a(a+b+c)+bc=4-2,则2a+b+c的最小值为( )A.-1B.+1C.2+2D.2-2【解析】选D.因为a(a+b+c)+bc=4-2即(a+b)(a+c)=4-2,又a,b,c>0所以(a+b)(a+c)≤=所以2a+b+c≥2-2.二、填空题(每小题6分,共12分)4.已知a,b,c∈R+,且满足a+2b+3c=1,则++的最小值为________.【解析】因为a,b,c∈R+,且满足a+2b+3c=1,所以++=(a+2b+3c)·≥3·3=9,当且仅当a=2b=3c=时取等号.因此++的最小值为9.答案:95.(2016·唐山高二检测)已知x,y,z∈R+,且x+3y+4z=6,则x2y3z的最大值为________.【解析】因为x,y,z∈R+,且x+3y+4z=6,所以6=x+3y+4z=++y+y+y+4z≥6·,所以x2y3z≤1.答案:1三、解答题(每小题10分,共30分)6.若a,b,c>0,求证:a2+b2+c2+≥6.【证明】因为a,b,c>0,所以a2+b2+c2≥3·①又++≥3·,所以≥9·②a2+b2+c2+≥3·+9·≥2·=6,当且仅当a=b=c时等号成立.7.(2016·哈尔滨高二检测)设正实数x,y,z满足x+2y+z=1,求+的最小值.【解析】因为正实数x,y,z满足x+2y+z=1,所以+=+=1++≥1+2=7,当且仅当=,即x+y=,y+z=时,取等号.所以+的最小值为7.8.已知实数a,b,c∈R,a+b+c=1,求4a+4b+的最小值,并求出取最小值时a,b,c 的值.【解析】由平均不等式,得4a+4b+≥3=3(当且仅当a=b=c2时等号成立).因为a+b+c=1,所以a+b=1-c,则a+b+c2=c2-c+1=+,当c=时,a+b+c2取得最小值.从而当a=b=,c=时,4a+4b+取最小值,最小值为3.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016·温州高二检测)若log x y=-2,则x+y的最小值是( )A. B. C. D.【解析】选A.因为log x y=-2,所以x>0且x≠1,y>0,且y=x-2,所以x+y=++≥3=,当且仅当=,即x=时等号成立.2.如果圆柱的轴截面周长l为定值,那么圆柱的体积最大值是( )【解析】选A.设圆柱的底面半径为r,高为h,则l=4r+2h,即2r+h=,V=πr2h≤π=π.当且仅当r=h=时等号成立.二、填空题(每小题5分,共10分)3.已知0<x<,则x2(1-2x)的最大值为________.【解析】因为0<x<,所以1-2x>0,则x2(1-2x)=x·x(1-2x)≤==.当且仅当x=1-2x,即x=时等号成立.故x2(1-2x)的最大值为.答案:【拓展延伸】用平均不等式求最值(1)利用平均不等式求函数的最值必须同时具备“一正、二定、三相等”这三个条件才能应用,否则会求出错误结果.(2)在具体问题中,“正数”这个条件一般由已知条件容易获得,“相等”条件也容易验证确定,而获得“定值”条件往往被设计为一个难点,它需要一定的灵活性和变形能力.(3)“定值”条件是运用不等式求最值的关键,解题时应根据已知条件适当进行添(拆)项,创造应用平均不等式的情境及能使等号成立的条件.(4)当连续应用不等式时,要注意各不等式取等号时条件是否一致,否则也不能求出最值.4.(2016·天津高二检测)已知关于x的不等式2x+≥7在x∈(a,+∞)上恒成立,则实数a的最小值为________.【解析】2x+=(x-a)+(x-a)++2a因为x-a>0,所以2x+≥3+2a=3+2a.当且仅当x-a=,即x=a+1时,取等号.所以2x+的最小值为3+2a,由题意可得3+2a≥7,解得a≥2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)5.已知a,b,c同号,且互不相等,a+b+c=1,求证:++>9.【证明】++=++=3++++++,因为a,b,c同号,且a+b+c=1,所以a>0,b>0,c>0,所以,,,,,均大于0,又a,b,c互不相等,所以3++++++>3+6=9.所以++>9.【补偿训练】设a,b,c为正实数,求证:+++abc≥2.【证明】因为a,b,c为正实数,由平均不等式可得++≥3即++≥,所以+++abc≥+abc,而+abc≥2=2,所以+++abc≥2.当且仅当a=b=c时取等号.6.有一块边长为36cm的正三角形铁皮,从它的三个角上剪下三个全等的四边形后做成一个无盖的正三棱柱容器,要使这个容器的容积最大,剪下的三个四边形面积之和等于多少?最大容积是多少?【解析】剪下的三个全等的四边形如图所示,设A1F1=xcm,则AF1=xcm,所以A1B1=F1F2=36-2x.所以V=(36-2x)2·x=(6-x)(6-x)·2x.因为0<x<6,所以6-x>0.又(6-x)+(6-x)+2x=12,所以当6-x=2x,即x=2时,V有最大值,这时V最大=·(4)3=864(cm3).因为=x·x=x2=12(cm2),所以此时三个四边形面积之和等于36cm2.关闭Word文档返回原板块。

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课时跟踪检测(三) 三个正数的算术—几何平均不等式
1．已知x 为正数，下列各题求得的最值正确的是( )
A ．y ＝x 2
＋2x ＋4x 3≥33x 2·2x ·4x 3＝6，∴y min ＝6. B ．y ＝2＋x ＋1x ≥332·x ·1x
＝332，∴y min ＝332. C ．y ＝2＋x ＋1x ≥4，∴y min ＝4.
D ．y ＝x (1－x )(1－2x )
≤13⎣⎡⎦⎤3x ＋(1－x )＋(1－2x )33＝881，
∴y max ＝881
. 解析：选C A 、B 、D 在使用不等式a ＋b ＋c ≥33abc (a ，b ，c ∈R ＋)和abc ≤⎝⎛⎭
⎫a ＋b ＋c 33(a ，b ，c ∈R ＋)都不能保证等号成立，最值取不到．
C 中，∵x >0，∴y ＝2＋x ＋1x ＝2＋⎝⎛⎭
⎫x ＋1x ≥2＋2＝4，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时，等号成立．
2．已知a ，b ，c 为正数，则a b ＋b c ＋c a 有( )
A ．最小值3
B ．最大值3
C ．最小值2
D ．最大值2
解析：选A a b ＋b c ＋c a ≥33a b ×b c ×c a
＝3，当且仅当a b ＝b c ＝c a ，即a ＝b ＝c 时，等号成立．
3．若log x y ＝－2，则x ＋y 的最小值是( )
A.3322
B.833
C.332
D.223
解析：选A 由log x y ＝－2，得y ＝1x 2.而x ＋y ＝x ＋1x
2＝ x 2＋x 2＋1x 2≥33x 2·x 2·1x 2＝3314＝3322，当且仅当x 2＝1x
2，即x ＝32时，等号成立． 4．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V ，则下列不等式总成立的是( )
A ．V ≥π
B ．V ≤π
C ．V ≥18π
D ．V ≤18
π
解析：选B 设圆柱底面半径为r ，则圆柱的高h ＝6－4r 2
，所以圆柱的体积为V ＝πr 2·h ＝πr 2·6－4r 2＝πr 2(3－2r )≤π⎝⎛⎭⎫r ＋r ＋3－2r 33＝π.
当且仅当r ＝3－2r ，即r ＝1时，等号成立．
5．若a >2，b >3，则a ＋b ＋1(a －2)(b －3)
的最小值为________．解析：∵a >2，b >3，∴a －2>0，b －3>0，
则a ＋b ＋1(a －2)(b －3)
＝(a －2)＋(b －3)＋1(a －2)(b －3)
＋5 ≥33(a －2)×(b －3)×
1(a －2)(b －3)＋5＝8. 当且仅当a －2＝b －3＝
1(a －2)(b －3)
，即a ＝3，b ＝4时，等号成立．答案：8 6．设0<x <1，则x (1－x )2的最大值为 ________.
解析：∵0<x <1，∴1－x >0. 故x (1－x )2＝12×2x (1－x )(1－x )≤12⎣⎡⎦⎤2x ＋(1－x )＋(1＋x )33
＝12×827＝427(当且仅当x ＝13
时，等号成立)．答案：427
7．已知关于x 的不等式2x ＋
1(x －a )2≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．
解析：2x ＋1(x －a )2＝(x －a )＋(x －a )＋1(x －a )2
＋2a . ∵x －a >0，
∴2x ＋1(x －a )2≥33(x －a )(x －a )1(x －a )2＋2a ＝3＋2a ，当且仅当x －a ＝1(x －a )2
即x ＝a ＋1时，等号成立．
∴2x ＋1(x －a )2
的最小值为3＋2a . 由题意可得3＋2a ≥7，得a ≥2.
答案：2
8．设a ，b ，c ∈R ＋，求证：
(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥92
. 证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，
∴2(a ＋b ＋c )＝(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )≥33(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )>0.
1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥331a ＋b ·1b ＋c ·1a ＋c
>0， ∴(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥92
. 当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．
9．已知正数a ，b ，c 满足abc ＝1，求(a ＋2)(b ＋2)·(c ＋2)的最小值．
解：因为(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)＝(a ＋1＋1)(b ＋1＋1)(c ＋1＋1)
≥3·3a ·3·3b ·3·3c ＝27·3abc ＝27，
当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．
所以(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)的最小值为27.
10．已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥63，并确定a ，b ，c 为
何值时，等号成立．
证明：法一：因为a ，b ，c 均为正数，由平均值不等式，得
a 2＋
b 2＋
c 2≥3(abc )23
，① 1a ＋1b ＋1c ≥3(abc )－13
，所以⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc )－23
.② 故a 2＋b 2＋c 2＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc )23＋9(abc )－23
. 又3(abc )23＋9(abc )－23
≥227＝63，③ 所以原不等式成立．
当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立．
当且仅当3(abc )23＝9(abc )－23
时，③式等号成立．即当且仅当a ＝b ＝c ＝314
时，原式等号成立．法二：因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式，得
a 2＋
b 2≥2ab ，b 2＋
c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，
所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ，①
同理1a 2＋1b 2＋1c 2≥1ab ＋1bc ＋1ac
，② 故a 2＋b 2＋c 2＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥ab ＋bc ＋ac ＋3ab ＋3bc ＋3ac ≥63，③
所以原不等式成立．
当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立；当且仅当a ＝b ＝c ，(ab )2＝(bc )2＝(ac )2＝
3时，③式等号成立，即当且仅当a ＝b ＝c ＝314
时，原式等号成立．。