高中数学 第一章 三角函数 1.2 任意的三角函数 1.2.1 第2课时 三角函数线及其应用学案 4

第2课时 三角函数线及其应用学习目标：1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．(重点)2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．有向线段(1)定义：带有方向的线段．(2)表示：用大写字母表示，如有向线段OM ，MP .2．三角函数线(1)作图：①α的终边与单位圆交于P ，过P 作PM 垂直于x 轴，垂足为M .②过A (1,0)作x 轴的垂线，交α的终边或其反向延长线于点T .(2)图示：图1­2­ 3(3)结论：有向线段MP 、OM 、AT ，分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线．[基础自测]1．思考辨析(1)角α的正弦线的长度等于sin α.( )(2)当角α的终边在y 轴上时，角α的正切线不存在．( )(3)余弦线和正切线的始点都是原点．( )[解析] (1)错误．角α的正弦线的长度等于|sin α|.(2)正确．(3)错误．正切线的始点是(1,0)．[答案] (1)× (2)√ (3)×2．角π7和角8π7有相同的( ) A ．正弦线B ．余弦线C ．正切线D ．不能确定C [角π7和角8π7的终边互为反向延长线，所以正切线相同．] 3．如图1­2­4，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )图1­2­ 4A ．正弦线MP ，正切线A ′T ′B ．正弦线MP ，正切线A ′T ′C ．正弦线MP ，正切线ATD ．正弦线MP ，正切线ATC [α为第三象限角，故正弦线为MP ，正切线为AT ，C 正确．][合 作 探 究·攻 重 难]作已知角的三角函数线 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．(1)－π4；(2)17π6；(3)10π3. [解] 如图．其中MP 为正弦线，OM 为余弦线，AT 为正切线．[规律方法] 三角函数线的画法1作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x 轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线.2作正切线时，应从A 1，0点引x 轴的垂线，交α的终边α为第一或第四象限角或α终边的反向延长线α为第二或第三象限角于点T ，即可得到正切线AT .[跟踪训练]1．作出－5π8的正弦线、余弦线和正切线． [解] 如图：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π8＝MP ， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π8＝OM ， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π8＝AT .利用三角函数线解三角不等式1．利用三角函数线如何解答形如sin α≥a ，sin α≤a (|a |≤1)的不等式？提示：对形如sin α≥a ，sin α≤a (|a |≤1)的不等式：画出如图①所示的单位圆；在y 轴上截取OM ＝a ，过点(0，a )作y 轴的垂线交单位圆于两点P 和P ′，并作射线OP 和OP ′；写出终边在OP 和OP ′上的角的集合；图中阴影部分即为满足不等式sin α≤a 的角α的范围，其余部分即为满足不等式sin α≥a 的角α的范围．图①2．利用三角函数线如何解答形如cos α≥a ，cos α≤a (|a |≤1)的不等式？提示：对形如cos α≥a ，cos α≤a (|a |≤1)的不等式：画出如图②所示的单位圆；在x 轴上截取OM ＝a ，过点(a,0)作x 轴的垂线交单位圆于两点P 和P ′，作射线OP 和OP ′；写出终边在OP 和OP ′上的角的集合；图中阴影部分即为满足不等式cos α≤a 的角α的范围，其余部分即为满足不等式cos α≥a 的角α的范围．图②利用三角函数线确定满足下列条件的角α的取值范围．(1)cos α＞－22；(2)tan α≤33；(3)|sin α|≤12. [思路探究]确定对应方程的解―→确定角α的终边所在区域―→写出角α的取值范围 [解] (1)如图，由余弦线知角α的取值范围是⎩⎨⎧ α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π－3π4＜α＜2k π＋3π4，k ∈Z .(2)如图，由正切线知角α的取值范围是⎩⎨⎧ α⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π－π2＜α≤k π＋π6，k ∈Z .(3)由|sin α|≤12，得－12≤sin α≤12.如图，由正弦线知角α的取值范围是⎩⎨⎧ α⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π－π6≤α≤k π＋π6，k ∈Z .[规律方法] 利用单位圆中的三角函数线解不等式的方法1首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件，利用三角函数线画出角α满足条件的终边的位置.2角的终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值，与单位圆交点的纵坐标是该角的正弦值.3写角的范围时，抓住边界值，然后再注意角的范围的写法要求.提醒：在一定范围内先找出符合条件的角，再用终边相同的角的表达式写出符合条件的所有角的集合.母题探究：1.将本例(1)的不等式改为“cos α＜22”，求α的取值范围． [解] 如图，由余弦线知角α的取值范围是⎩⎨⎧ α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋π4＜α＜2k π＋7π4，k ∈Z .2．将本例(3)的不等式改为“－12≤sin θ＜32”求α的取值范围． [解] 由三角函数线可知sin π3＝sin 2π3＝32，sin 7π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，且－12≤sin θ＜32，故θ的取值集合是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π－π6，2k π＋π3∪⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋7π6(k ∈Z ). 利用三角函数线比较大小(1)已知cos α＞cos β，那么下列结论成立的是( )A ．若α、β是第一象限角，则sin α＞sin βB ．若α、β是第二象限角，则tan α＞tan βC ．若α、β是第三象限角，则sin α＞sin βD ．若α、β是第四象限角，则tan α＞tan β(2)利用三角函数线比较sin 2π3和sin 4π5，cos 2π3和cos 4π5，tan 2π3和tan 4π5的大小. [思路探究] (1)在规定象限内画出α、β的余弦线满足cos α＞cos β→观察正弦线或正切线判断大小 (2) →观察图形，比较大小(1)D [由图(1)可知，cos α＞cos β时，sin α＜sin β，故A 错误；图(1)由图(2)可知，cos α＞cos β时，tan α＜tan β，故B 错误；图(2)由图(3)可知，cos α＞cos β时，sin α＜sin β，C 错误；图(3)由图(4)可知，cos α＞cos β时，tan α＞tan β，D 正确．]图(4)(2)如图，sin 2π3＝MP ，cos 2π3＝OM ，tan 2π3＝AT ，sin 4π5＝M ′P ′，cos 4π5＝OM ′，tan 4π5＝AT ′. 显然|MP |＞|M ′P ′|，符号皆正，∴sin 2π3＞sin 4π5； |OM |＜|OM ′|，符号皆负，∴cos 2π3＞cos 4π5；|AT |＞|AT ′|，符号皆负，∴tan 2π3＜tan 4π5.[规律方法] 1利用三角函数线比较大小的步骤：①角的位置要“对号入座”；②比较三角函数线的长度； ③确定有向线段的正负.2利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点：①关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线.②注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向.[跟踪训练] 2．已知a ＝sin 2π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜cD [由如图的三角函数线知：MP ＜AT ，因为2π7＞2π8＝π4，所以MP ＞OM ，所以cos 2π7＜sin 2π7＜tan 2π7，所以b ＜a ＜c .][当 堂 达 标·固 双 基]1．如果OM ，MP 分别是角α＝π5余弦线和正弦线，那么下列结论正确的是() A ．MP ＜OM ＜0 B ．MP ＜0＜OMC ．MP ＞OM ＞0D ．OM ＞MP ＞0D [角β＝π4的余弦线正弦线相等，结合图象可知角α＝π5的余弦线和正弦线满足OM ＞MP ＞0.]2．若角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α终边在( )A ．y 轴上B ．x 轴上C ．直线y ＝x 上D ．直线y ＝－x 上B [由已知得，角α的终边与单位圆的交点坐标为(－1,0)或(1,0)，在x 轴上．]3．利用正弦线比较sin 1，sin 1.2，sin 1.5的大小关系是( )A ．sin 1＞sin 1.2＞sin 1.5B ．sin 1＞sin 1.5＞sin 1.2C ．sin 1.5＞sin 1.2＞sin 1D ．sin 1.2＞sin 1＞sin 1.5C [如图，画出已知三个角的正弦线，观察可知sin 1.5＞sin 1.2＞sin 1.]4．若a ＝sin 4，b ＝cos 4，则a ，b 的大小关系为________．a ＜b [因为5π4＜4＜3π2， 画出4弧度角的正弦线和余弦弦(如图)，观察可知sin 4＜cos 4，即a ＜b .]5．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边范围，并由此写出角α的集合．(1)sin α≥32；(2)cos α≤－12.[解] (1)作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则角α的终边在如图①所示的阴影区域内(含边界)，角α的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ π3＋2k π≤α≤23π＋2k π，k ∈Z .图① 图②(2)作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则角α的终边在如图②所示的阴影区域内(含边界)，角α的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ 23π＋2k π≤α≤43π＋2k π，k ∈Z .。