比例线段及性质
比例线段及有关定理
射影定理
总结词
射影定理是指在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和减去两直角边的乘积。
详细描述
射影定理是几何学中的一个重要定理，它描述了直角三角形中斜边与两直角边之间的关系。具体来说 ，在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和减去两直角边的乘积。这个定理在解决实际问 题中具有广泛的应用，如测量、建筑等领域。
03
比例线段的计算方法
利用平行线分线段成比例定理计算平行线分线段成比例定理如果一组平行线被一组横截线所截，那么这些截线段之比是相等的。
应用
通过已知的比例线段，利用平行线分线段成比例定理，可以计算出其他相关的 比例线段长度。
利用相似三角形的性质和判定定理计算
相似三角形的性质
两个三角形对应角相等， 则这两个三角形相似。相 似三角形对应边之比为相 似比。
成比例的线段具有传递性，即如果a:b:c:d且b:c:d:e，则必有 a:b:c:e。
比例线段的性质
01
02
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比例线段的性质
如果线段a、b、c、d成比 例，那么它们的长度之比 是常数，即|a/b|=|c/d|。
比例线段的性质
如果线段a、b、c、d成比 例，那么它们的面积之比 是常数的平方，即 |a×d/b×c|=1。
判定定理
如果两个三角形两组对应 角相等，则这两个三角形 相似。
应用
通过已知的比例线段，利 用相似三角形的性质和判 定定理，可以计算出其他 相关的比例线段长度。
利用射影定理计算
射影定理
在直角三角形中，斜边上的高将直角三角形分为两个小三角形，这两个小三角形 是相似的，且它们的边长之比等于原三角形的边长之比。
利用面积关系计算线段长度
通过已知的线段和面积比例关系，可以计算出未知线段的长度。
《比例线段》课件
在建筑设计中的应用
在建筑设计中，比例线段的应用同样 不可忽视。建筑师需要利用比例来协 调各个部分之间的关系，以创造和谐 、平衡的建筑外观。
例如，在建筑设计图中，建筑师会使 用比例尺来表示实际建筑与设计图纸 之间的比例关系，以确保施工过程中 的准确性。
在地图绘制中的应用
在地图绘制中，比例线段的应用至关重要。地图上的比例尺可以帮助我们了解地 图上的距离与实际距离之间的比例关系。
比例线段的等比性
总结词
比例线段的等比性是指两条线段的长度比值是常数，与线段所在的位置无关。
详细描述
如果两条线段AB和CD的长度比值是常数k，即$frac{AB}{CD} = k$，那么无论这 两条线段在平面上的位置如何变化，它们的长度比值始终保持为k。这个性质在 解决几何问题时非常有用。
比例线段的传递性
02 比例线段的性质
CHAPTER
比例线段的相似性
总结词
比例线段的相似性是指两条线段在长度上成比例，且夹角相 等。
详细描述
如果两条线段AB和CD在长度上成比例，即$frac{AB}{CD} = k$（k为常数），并且它们之间的夹角相等，那么这两条线段 被称为相似的。相似线段在几何学中具有很多重要的性质和 应用。
利用代数方法计算
总结词
利用代数方法，通过建立方程式来求解比例线段问题。
详细描述
代数方法是解决比例线段问题的另一种常用方法。通过建立方程式来表示比例线段的关 系，我们可以求解未知的线段长度。这种方法适用于解决一些涉及比例线段的代数问题
。
05 练习与思考
CHAPTER
基础练习题
基础题目1
已知线段a=10cm，b=5cm， c=2.5cm，d=5cm，判断线段a 、b、c、d是否成比例。
线段的比与比例线段的概念
线段的比与比例线段的概念、比例的性质和黄金分割I 梳理知识比与比例、比例的基本性质、合比性质、等比性质、两线段的比、成比例线段、平行线分 线段成比例、截三角形两边或其延长线的直线平行于第三边的判定、黄金分割1. 线段的比的定义 在同一单位长度下，两条线段2. 比例线段的定义在四条线段中，如果其中两条线段的_______________________________________ 等于另外两条线段的 _____ ,那么这四条线段叫做 成比例线段，简称 ____________ .在 a ： b = c ： d 中，a 、d 叫做比例的 ___ , b 、c 叫做比例 的 _____ ，称d 为a 、b 、c 的 _____________ .3. 比例的性质(1)比例的基本性质：如果a : b = c : d ，那么 则b 叫a , c 的比例中项.⑵合份)比性质：若a⑶等比性质：若一b4.黄金分割(1) 黄金分割的意义：如图，点 那么称线段 AB 被点C 黄金分割.其中点C 叫做线段AB 的 做 .(2) 黄金分割的作法【例题讲解】 例1.(1)已知1,厉,5三个数，如果再添一个数，使之能与已知的三个数成比例，则这个数应该是 ___________ .⑵在比例尺为1: n 的某市地图上，规划出一块长 5cm X 2cm 的矩形工业区，则该工业区的实际面积是平方米.例 2.(1)已知 X ： y : z = 3 : 4 : 5，①求-—y的值；②若 x +y + z = 6, za(2)已知a 、b 、c 、d 是非零实数，且 --------b c d的值•的比叫做这两条线段的比•特别地，若a : b = b : C,即 ，则C 把线段AB 分成两条线段 AC 和BC,如果 __________________ , ,AC 与AB 的比叫求 X 、y 、z.C bad一d一k ，求 ka b c求x 的值.黄金分割点吗为什么【同步测试】 一、选择题1. 已知一矩形的长 a = 1.35m , (A)9 : 400(B)9 : 402. 下列线段能成比例线段的是( b = 60cm ，贝U a : b 的值为((C)9 : 4(D)90 : 4)(A)1cm,2cm,3cm,4cm (B)1cm, 72 cm,V 2 cm,2cm (C b/2 cm,亦cm, J 3 cm,1cm(D)2cm,5cm,3cm,4cm3. 如果线段a = 4, (A)84. 已知- b 3 (A)- 25. 已知 (A)— 2(B)16 2 2,则3 4 (B)4 y : z = 1 (B)2b = 16,c = 8, (C)24 「 的值为b5 (C)5 :2 : 3，且 (C)3 那么a 、b 、c 的第四比例项d 为( (D)32 3 (D)- 5 2x + y — 3z =— 15，贝U x 的值为( (D)— 3 6. 在比例尺为1 : 38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约为 7cm ，它的实际长度约为()(A)0.226km (B)2.66km (C)26.6km (D)266km 7. 某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是 影长是1米，旗杆的影长是 8米，则旗杆的高度是( ) (A)12 米 8. 已知点 1.5 米, (B)11 米 (C)10 米 C 是AB 的黄金分割点(AC >BC , (B)(6 — 2也)cm (D)9 米 若AB = 4cm ，贝U AC 的长为( (C)詰—1)cm AD AE (A)(2A /5 — 2)cm )(D)(3 —75 )cm 9.若D 、E 分别是△ ABC 的边AB 、AC 上的点，且AB =疋，那么下列各式中正确的是 ((3)若a 、b 、c 是非零实数，并满足ab c ，且 xa(a b)(b c)(c a)abc例3.(1 )已知线段AB = a ,在线段 AB 上有一点C,若则点 C 是线段AB 的(A)AD DEDB = BCAB(B)A DAE=A CDB AB(C)Ec = ACAD AE(D)DB = AC10.若k丄空 b 2c a + b+ CM0,k的值为（(A)—1 (B)2 (C)1 (D) —二、填空题11.在(5 +x)：2中的x= (5—x) : x 中的x=12.若10 813.若a : 3 = b : 4 = c : 5 ,且a + b —c= 6,贝U a=,b= c=14.已知x : y :z= 4 : 5 ,且x+ y+ z= 12,那么x= ,y=z=15.若b16.已知ace,②(x + y) : (y + z)17.若x 2y18.图纸上画出的某个零件的长是是32 mm,如果比例尺是 1 : 20,这个零件的实际长19.如图，已知AB : DB = AC：EC, AD = 15 cm , AB = 40 cm , AC = 28 cm ,贝U AEA20.已知，线段 2 cm, c (2 73) cm, 则线段a、c的比例中项b是三、解答题21.已知x3 0，求下列各式的值：（1）2x 3y 4z⑵5x 3y za22.已知——x0，求x+y+ z 的值.23.若△ ABC 的三内角之比为 1 : 2 : 3,求^ ABC 的三边之比.24.已知 a 、b 、c 为^ ABC 的三边，且 a + b + c = 60cm , a : b : c = 3 : 4 : 5,求^ ABC 的面 积.25.已知线段AB = 10cm , C 、D 是AB 上的两个黄金分割点，求线段CD 的长.四、挑战中考DE = 12 , BC = 15, GH = 4，求 AH .ABCD,取 AB 的中点 P ,连结 PD ,在BA 的延 长线上取点F ,使PF =PD,以AF 为边作正方形 AMEF ,点M 在AD 上(1)求AM 、MD 的长；1、若一c-a bA . 12B . 1C .— 1则k 的值为()D .-或一12AGABC 中,2、如图，△ 匹，且。
比例线段及其应用
比例线段及其应用比例线段是数学中重要的概念，它在几何图形的构造和测量中有广泛的应用。
本文将详细介绍比例线段的定义、性质以及它在实际问题中的应用。
一、比例线段的定义和性质比例线段是指两个线段的比值等于另外两个线段的比值。
设有线段AB和CD，若有AB/CD = EF/GH，其中EF和GH是对应的线段，则称AB和CD为比例线段。
比例线段有以下重要性质：1. 若等式AB/CD = EF/GH成立，则有AB/CD = (EF+GH)/(GH+EF)。
2. 若等式AB/CD = EF/GH成立，则有AB/EF = CD/GH。
二、比例线段的应用举例1. 海报制作在海报制作中，比例线段用于确定原图与放大或缩小后图形之间的比例关系。
例如，如果要将一幅长宽比为3:2的原始海报缩小为A4尺寸，首先需要计算出原始海报与A4尺寸之间的比例关系，然后按比例缩小图片。
2. 地图测量在地图测量中，比例线段用于确定地图上的距离与实际距离之间的比例关系。
通过在地图上测量两个地点的实际距离，并计算出对应的地图上线段的长度，可以得到地图上的比例尺，从而在实际使用中准确测量距离。
3. 建筑设计在建筑设计中，比例线段用于确定建筑物的尺寸和比例关系。
比例线段可以帮助建筑师在设计初期对建筑物进行草图设计，并确认各个部分的比例关系，保证整体设计的协调性。
4. 经济分析在经济分析中，比例线段可以用于计算不同产品或指标之间的比例关系。
例如，通过计算消费者支出与收入之间的比例，可以分析出不同收入阶层的消费结构和消费倾向，为市场营销和财务规划提供依据。
5. 统计调查在统计调查中，比例线段可以用于测量样本数据与总体数据之间的比例关系。
通过在样本中抽取一定数量的数据，并计算出对应的总体数据，可以推断出总体的特征和趋势，从而进行全面的统计分析。
三、总结比例线段是数学中重要的概念，它在几何图形的构造和测量、经济分析、地图测量以及统计调查等领域有广泛的应用。
正确理解和应用比例线段可以帮助我们解决实际问题，提高数学应用能力和实践能力。
几何中的线段比例
几何中的线段比例线段比例是几何学中的一个重要概念，它描述了两个线段在长度上的相对关系。
在几何问题中，线段比例常常被用来解决关于图形形状和大小的推理和计算。
本文将详细探讨线段比例的定义、性质以及一些应用实例。
一、线段比例的定义与性质线段比例是指在一条直线上，将该直线分割成若干个部分时，各个部分的长度之间的比例关系。
设直线上有三个点A、B、C，分别对应线段AB、BC，如果满足线段AB与线段BC的长度比等于一个常数k，即AB/BC=k，则称线段AB与线段BC成比例。
线段比例具有以下性质:1. 反身性：线段的长度比与其倒数之间的关系是相互的。
即若AB/BC=k，则BC/AB=1/k。
2. 传递性：若AB/BC=k，BC/DE=m，则必有AB/DE=km。
3. 分点式定理：对于分割线段的一个点D，AD/DB=k，那么BD所对应的其他点E与线段AB的比例与AD/DB相同，即BE/EC=AD/DB=k。
二、线段比例的应用实例1. 相似三角形的线段比例：在相似三角形中，对应边的长度比相等。
例如，若△ABC相似于△DEF，且AB/DE=BC/EF=k，那么AC/DF也等于k。
2. 面积比例的计算：线段比例可以用于计算图形的面积比。
例如，若在平行四边形ABCD中，两条对角线AC和BD相交于点O，且AO/OC=BO/OD=k，那么△AOD的面积与△BOC的面积之比为k²。
3. 带有比例关系的图形构造：线段比例可以用于构造符合特定长度比的图形。
例如，在一个圆上，若AB/BC=k，可以利用线段比例来确定点B和点C的位置。
三、线段比例的推断与计算方法1. 通过已知比例推断未知线段：若已知线段AB与线段BC的比例为k，且已知线段AB的长度为a，则通过线段比例可以推断线段BC的长度为a/k。
2. 通过已知线段推断比例：若已知线段AB的长度为a，线段BC长度为b，可以通过计算得到线段AB与线段BC的比例为a/b。
3. 通过已知线段求多个线段的比例：若已知线段AB与线段BC的比例为k，线段BC与线段CD的比例为m，可以通过传递性得到线段AB与线段CD的比例为km。
北师大数学九年级上册第四章比例线段
第01讲_比例线段知识图谱比例与比例线段知识精讲一．比例的性质1.比例的基本性质：a cad bc b d =⇔=； 2.反比定理：a c b db d ac =⇔=；3.更比定理：a c a b b d c d =⇔=(或d cb a =)；4.合比定理：a c a b c db d b d ++=⇔=； 5.分比定理：a c a b c db d b d --=⇔=； 6.合分比定理：a c a b c db d a bcd ++=⇔=--； 7.等比定理：(0)a c m a c m ab d n b d n b d n b++⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+≠⇔=++⋅⋅⋅+．二．成比例线段1.比例线段：对于四条线段a b c d ，，，，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a cb d=（即::a b c d =），那么这四条线段a b c d ，，，叫做成比例线段，简称比例线段． 2.比例的项：在比例式a cb d =（::a bcd =）中，a d ，称为比例外项，b c ，称为比例内项，d 叫做a b c ，，的第四比例项．三条线段a bb c=（2b ac =）中，b 叫做a 和c 的比例中项．3.黄金分割：如图，若线段AB 上一点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即2AC AB BC =⋅）则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，其中510.618AC AB AB -=≈，350.382BC AB AB -=≈，AC 与AB 的比叫做黄金比．三点剖析一．考点：比例与成比例线段二．重难点：比例的性质三．易错点：注意等比定理在运用时的时候一定要对分母为0或不为0进行讨论．比例的基本性质例题1、已知23a b=（0ab≠），下列比例式成立的是（）A.32ab= B.32a b= C.23ab= D.32ba=【答案】B【解析】本题考查比例的基本性质，内项积等于外项积。
比例的基本性质、平行线分线段成比例
精心整理数学辅导11： 比例的基本性质一、知识点：1. 成比例线段：线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即dc b a =，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段. 2.（1d 都不为（2（3（4（5.（1，则yx（2 已知572c b a ==，则a cb a -+=______________.已知75==d c b a ，那么db ca 3232--=_____________.（3）在△ABC 与△DEF 中，若43===FD CA EF BC DE AB ，且△ABC 的周长为36cm ，则△DEF 的周长为______.（4）已知543cb a ==，且6=-+c b a ，则a =__________. （5）如果d c b a =（0≠+b a ，0≠+d c ），那么cd ca b a +=+成立吗？请说明理由. （6）已知a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中cm a 3=，cm b 2=，cm c 6=，则线段d =___________.（7）已知2:4:3::=c b a ，且182=-+c b a ，求c b a 23+-的值. 练习12. ∶c =d 3. 4 A 5 A 、511=+y y x B 、51=-y y x C 、6=-y x x D 、5=-x y y6．若2:1:::===d c c b b a ，则=d a :（ ）A 、1:2B 、1:4C 、1:6D 、1:87．若3:2:1::=c b a ，则c b a cb a +---的值为（ ）A 、-2B 、2C 、3D 、-38．已知875c b a ==，且20=++c b a ，则=-+c b a 2（ ） A 、11 B 、12 C 、314D 、99．若4:3:2::=c b a ，且5=-+c b a ，则b a -的值是（ ）A10.11.12.m ，1314151617．18. 如果线段a ，b ，c 的长度之和是32cm ，且457ac c b b a +=+=+，那么这三条线段能否围成一个三角形？数学辅导12： 平行线分线段成比例一、知识点：如图1，∵L 1∥L 2∥L 3，∴EF DE BC AB =； 如图2，∵L 1∥L 2∥L 3，∴EFDEBC AB =.。
比例性质及比例线段
比例性质及比例线段（初二4.16）一、知识点与方法概述：1、比例的性质：基本性质：如果a:b=c:d，那么ad=bc；如果ad=bc，那么a:b=c:d.合比性质：等比性质：如果，那么.2、（成）比例线段：比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比. 那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.设a、b、c、d为线段，如果a:b=c:d，b、c叫比例内项，a、d叫比例外项，d叫做a、b、c的第四比例项；如果a:b=b:c，或b2=ac，那么b叫a、c的比例中项.3、黄金分割：如图，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割, 点C叫做线段AB的黄金分割点.注意：1、AC 0.618AB；2、0.618叫做黄金比；3、一条线段有两个黄金分割点.4、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的线段对应成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 推论的扩展：平行于三角形一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.（三角形一边平行线的性质）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.（三角形一边平行线的判定定理）5、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.根据被截的两条直线的位置关系，可以分五种图形情况（如图1-图5）:推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.已知：在梯形ACFD 中，CF AD //，AB=BC求证：DE=EF推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.已知：在△ACF 中，CF BE //，AB=BC 求证：AE=EF6、三角形的中位线定理：三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
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练习2—2： 如果 PA· PB=PC· PD， 那么 PA PD PC = PB ， PB PD PC = PA ，
PC PB PA = PD ， PD PB = PC ， PA
PA PC PD = PB PB PC PD = PA PC PA PB = PD PD PA PB = PC
， ， ， ；
a+c+…+m a 那么 = . b+d+…+n b
a c m = = …= b d n
？
a+c+…+m a = . b+d+…+n b
a c m =k, 证明：设 = = …= b d n 则 a=bk, c=dk, … m=nk,
a+c+…+m bk+dk+…nk ∴ = b+d+…+n b+d+…n (b+d+…n)k a = b+d+…n =k = . b
练习2—4： 如果 AC2=AB· AD， AC AD 那么 AB = AC ， AB AC = AD ； AC
(2)合比性质 a c 如果 = ， b d a±b c±d 那么 = . b d
练习3—1：
A
D
AB DE 如图，已知 = EF ， BC B AC DF 那么 BC = EF ， C 理由： AB DE AB+BC DE+EF = = EF BC BC EF AC DF = EF . BC
那么线段 b 叫做线段 a 和 c 的比例中项.
AB、BC、A`B`、B`C`是否是成比例线段?
D C
25
A
D`
C`
10
A`
20
B`
B 50 A`B` 20 AB 50 ∵ BC = 25 =2， B`C`= 10 =2， AB A`B` ∴ BC = B`C` . 因此，AB、BC、A`B`、B`C`是成比例线段.
已知四条线段a、b、c、d 中， a c 如果 b = d ，或 a：b=c：d，
那么这四条线段a、b、c、d 叫做 成比例的线段，简称比例线段. a、b、c、d 叫做组成比例的项， 线段 a、d 叫做比例外项， 线段 b、c 叫做比例内项， 线段 d 叫做 a、b、c的第四比例项.
如果作为比例内项的是两条相同的线段 ， a b 即 = c ， 或 a：b=b：c， b
E
F
练习3—2： AB DE 如图，已知 = EF ， BC AC DF 那么 AB = DE ， 理由： BC EF AB DE = DE = EF AB BC
A
D
B C
E
F
AC DF AB+BC DE+EF AB = DE AB = DE .
(3)等比性质 a c m 如果 = = …= b d n (b+d+…+n≠0),
2a+5b–c 4k+25k–6k 23 = . ∴ 3a–2b+c = 6k–10k+6k 2
4.已知：a:2=3:5,求a.
5.已知：a=4cm,b=3cm,求线段a,b的比例中项；
a b 5 6.已知： b 7
a ，求 b
a c e 2 7.已知： b d f 3 ,
且a+c+e=5,求b+d+f.
(1)比例的基本性质
综合地说：
a：b=c：d ad=bc.
特殊地说：
a：b=b：c
2=ac. b
练习2—1： 如果 AE· BF=AF· BE， AE AF 那么 AE BE = BF ， = BF ， AF BE BE AE = AF ， BF BF BE AF = AE ， AF BF = BE ， AE BE BF = AF ， AE BF AF = AE ， BE AF AE BF = BE ；
在同一长度单位下，两条线段的长度的比 叫做这两条线段的比
.
2、 已知线段a=10mm , b=6cm c=2cm , d=3cm 问：这四条线段是否成比例？为 什么?
3. 已知:△ABC中,D、E分别是 AB、AC的中点，那么线段AD、 AB、DE、BC是否成比例线段？ 为什么？
(1)比例的基本性质
如果 a：b =c：d ，那么ad =bc.
比例的内项乘积等于外项乘积.
上述性质反过来也对，就是
如果 ad =bc，那么 a：b =c：d .
说明： (1)一个等积式可以改写成八个比例式 (比值各不相同)； (2)对调比例式的内项或外项， 比例式仍然成立 (比值变了).
a c c a b
x+y 5 x 例1、已知 3y = 4 ，求 y .
x+y 5 解： ∵ 3y = 4 ，
x+y 15 ∴ y = 4 ， x+y–y 15–4 ∴ y = 4 ， x 11 ∴ y=4 .
例2、已知 a：b：c=2：5：6，
求 2a+5b–c 的值. 3a–2b+c a b c 解： 设 2 = 5 = 6 = k, 则 a=2k, b=5k, c=6k,