试题精选_安徽省皖南八校2015届高三上学期第一次联考数学(理)调研试卷 Word版_精校完美版

安徽省皖南八校2015届高三上学期第一次联考数学（理）试题（解析版）【试卷综析】试题考查的知识涉及到函数、三角函数、数列、导数等几章知识，重视学科基础知识和基本技能的考察，同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察，知识点综合与迁移。

试卷的整体水准应该说比较高，综合知识、创新题目的题考的有点少,试题适合阶段性质考试.一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.【题文】1.已知复数z 满足(3)10i z i +=(其中i 是虚数单位,满足21i =-),则复数z 的共轭复数是A.13i -+B.13i -C.13i +D.13i -- 【知识点】复数的基本概念与运算. L4【答案解析】BB.【思路点拨】利用复数除法运算求得复数z=1+3i ，再由共轭复数的定义求z 的共轭复数.【题文】2.则下列结论正确的是A.{2,1}A B =--B.()(,0)R A B =-∞ðC.(0,)AB =+∞ D.(){2,1}R A B =--ð【知识点】集合运算. A1【答案解析】D 解析：{|0},{2,1,1,2},A y y B =>=--Q()(){}{1,2},,01,2U A B C A B ∴==-∞I U U ,(){}(){}0,1,2,2,1U A B C A B =+∞--=--U U I ,故选D.【思路点拨】求出集合A ，然后依次求各选项中的集合，得出正确选项.【题文】3.设,a b R ∈,”是“||||a b>”成立的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【知识点】充分条件；必要条件. A2【答案解析】Aa=-5,b=1时，||||a b >但. ”是“||||a b >”成立的充分而不必要条件.故选A.【思路点拨】分别判断充分性、必要性是否成立得结论.【题文】4.则与向量AB 方向相同的单位向量是【知识点】平面向量的概念；向量的坐标运算. F1 F2【答案解析】C ，所以与向量AB方向相同C.【思路点拨】求出向量AB的坐标，提出向量AB的模得与向量AB方向相同的单位向量.【题文】5.已知函数()f x是R上的奇函数,且在区间[0,)+∞上单调递增,若则A.b a c<< B.c b a<< C.b c a<< D.a b c<<【知识点】函数奇偶性、单调性的应用. B3 B4【答案解析】B，而函数()f x是R上的奇函数,且在区间[0,)+∞上单调递增，所以a>0,b<0,c<0，又因为b>c，所以a>b>c，故选B.【思路点拨】利用诱导公式化简各自变量值，根据函数的奇偶性、单调性，把a,b,c分成正数、负数两类，再根据单调性得负数b,c大小关系，从而得a,b,c的大小顺序.【题文】6.函数()cos22sinf x x x=+的最大值与最小值的和是A.2-B.0【知识点】与三角函数有关的最值.C7【答案解析】C 所以函数()f x的最大值是最小值是-3，所以最大值与最小值的和是 C.【思路点拨】把已知函数化为二次函数形式求得结论.【题文】7.函数1()x xf x xe e+=-的单调递增区间是A.(,)e-∞ B.(1,)e C.(,)e+∞ D.(1,)e-+∞【知识点】导数法求函数的单调区间. B12 【答案解析】D 解析：()1(1)x x x xf x e xe e x e e +'=+-=-+，由()0f x '>得x>e-1，故选D.【思路点拨】求定义域上导函数大于0的x 范围.【题文】8.及y 轴所围成的封闭图形的面积是A.2ln 2B.2ln 21-【知识点】定积分与微积分基本定理. B13【答案解析】A A.【思路点拨】由定积分的几何意义及微积分基本定理求解.【题文】9.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,若2015120aBC bCA cAB ++=,则ABC ∆的最小角的正弦值等于【知识点】向量；解三角形. F1 C8【答案解析】C 解析：由2015120aBC bCA cAB ++=得()2015120aCB bCA c CB CA -++-=(1512)(2012)b c CA a c CB⇒-=-,因为,CA CB 不共线，所以A 最小，又cosA= C.【思路点拨】根据向量共线的意义得关于a,b,c 的方程组，由此确定三角形的最小内角，再由余弦定理求得此最小内角的余弦值，进而求其正弦值.【题文】10.已知定义在R 上的奇函数()f x 的导函数为'()f x ,当0x <时,()f x 满足2()'()f x xf x x +<,则()f x 在R 上的零点个数为A.1B.3C.5D.1或3 【知识点】函数的奇偶性；函数的零点；导数的应用. B4 B9 B12【答案解析】A 解析：设2()()h x x f x =则[]2()2()()2()()h x xf x x f x x f x xf x '''=+=+，因为0x <时,()f x 满足2()'()f x xf x x +<，所以0x <时,[]()2()()h x x f x xf x ''=+ 20x >>，所以函数()f x 是(),0-∞上的增函数，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 是R 上增函数，所以()f x 在R 上的零点个数为1，故选 A. 【思路点拨】构造函数，利用导数确定函数在(),0-∞的单调性，再由奇偶性得函数在R 上单调性，从而得到函数的零点个数.二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分,请将答案填在题后横线上.【题文】11.命题“对任意2,310x R x x ∈-+>”的否定是 【知识点】含量词的命题的否定. A3【答案解析】存在0x R ∈,使得200310x x -+≤. 解析：命题“对任意2,310x R x x ∈-+>”的否定是“存在0x R ∈,使得200310x x -+≤” 【思路点拨】根据含量词的命题的否定方法写出结论.【题文】12.已知向量(3,4),a =向量b 满足||3a b -=,则||b 的取值范围是 【知识点】向量的几何意义. F1【答案解析】[2，8] 解析：||3a b -=表示b 对应的点与a 对应的点距离是35a =，所以||b 的最小值5-3=2，最大值5+3=8，即||b 的取值范围是[2，8].【思路点拨】根据向量差的模的几何意义，得b 对应点的轨迹是以（3，4）为圆心3为半径的圆，由此得||b 的取值范围.【题文】13.,,则ω=【知识点】函数sin()y A x ωϕ=+的性质. C4解析：,时，()f x,在.时，()f x 在,.【题文】14.设函数266,0()34,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩,若互不相等的实数123,,x x x 满足123()()()f x f x f x ==,则123x x x ++的取值范围是【知识点】分段函数. B1解析：设123x x x <<，则 所以123x x x ++的取值范围是【思路点拨】画出函数()f x 的图像，由图像可知若123x x x <<，，由此得123x x x ++的取值范围. 【题文】15.有下列五个命题①不论,a b 为什么值,函数()y f x =的图象关于原点对称; ②若0a b =≠,函数()f x 的极小值是2a ,极大值是2a -;③若0ab ≠,则函数()y f x =的图象上任意一点的切线都不可能经过原点;④当0,0a b >>时,对函数()y f x =图象上任意一点A ,都存在唯一的点B ,其中点O 是坐标原点)⑤当0ab ≠时,函数()y f x =图象上任意一点的切线与直线y ax =及y 轴所围成的三角形的面积是定值. 其中正确的命题是 (填上你认为正确的所有命题的序号) 【知识点】函数的性质. B12【答案解析】①③⑤ 解析：显然函数()f x 是奇函数，故命题①正确；当a=b<0时函数()f x 的极小值是-2a ,极大值是2a ，故命题②不正确；假设存在过原点的切线，b=0，与0ab ≠矛盾，故命题③正确；当a=b=1时，对勾函y=x,y 3,4ππ⎫⎛⎤⎪ ⎥⎭⎝⎦，所以对函数()y f x =图象上任意一点A ,都存在唯一的点B ,y=ax 联立得交点()002,2x ax ，切线与y 又原点（0,0），所以围成三角形的面积是2ab 是定值，故命题⑤正确.所以正确命题有①③⑤.【思路点拨】①可判断函数()f x 的奇偶性；②当a=b<0时函数()f x 的极小值是-2a ,极大值是2a ，故结论不成立；③反证法，假设存在过原点的切线，切点为00(,x ax +则切线斜又b=0，与0ab ≠矛盾，故命题③正确；④特殊值法，当a=b=1y=x,y 30,,44AOB πππ⎛⎫⎛⎤∈⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦不成立，故命题④不正确；⑤由③得切线方程y =y=ax 联立得交点()002,2x ax ，切线与y ，又原点（0,0），所以围成三角形的面积是2ab 是定值，故命题⑤正确.三、解答题本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 【题文】16(本小题满分12分)如图动点12,A A 与12,B B 分别在射线,OA OB 上,且线段12A A 的长为1,线段12,B B 的长为2,点,M N 分别是线段1122,A B A B 的中点.(Ⅰ)用向量12A A 与12B B 表示向量MN ;(Ⅱ)求向量MN 的模.【知识点】向量在几何中的应用；向量的线性运算；向量的模.F1【答案解析】1()MN A A B B =+.解析：（Ⅰ）1122MN MA A A A N =++,1122MN MB B B B N =++两式相加，并注意到点,M N 分别是线段11A B 、22A B 的中点，得1()MN A A B B =+分（Ⅱ）由已知可得向量12A A 与12B B 的模分别为1与2，夹角为所以12121A A B B =,由1()MN A A B B =+22211()2MN A A B B A A B B A A B B =+=++∙12分【思路点拨】（Ⅰ）根据向量加法的多边形法则求解；（Ⅱ）根据向量模的平方与向量数量积的关系求解.【题文】17(本小题满分12分)在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,(Ⅰ)求cos C 的值;(Ⅱ)若5a =,求ABC ∆的面积.【知识点】解三角形. C8【答案解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 解析：（Ⅰ）可得3分 所以3,所以)6分 （Ⅱ）由（1在△ABC 中，由正弦定理, ……………9分……………12分【思路点拨】（Ⅰ）已知等式展开，代入余弦定理得cosA,代入cos cos()C A B =-+得结论；（Ⅱ）由正弦定理求得边c.【题文】18(本小题满分12分)的导函数为'()f x .(Ⅰ)若函数()f x 在2x =处取得极值,求实数a 的值;(Ⅱ)已知不等式2'()f x x x a >+-对任意(0,)a ∈+∞都成立,求实数x 的取值范围. 【知识点】导数的应用. B12【答案解析】(Ⅰ)(Ⅱ) }{|20x x -≤≤.解析：(Ⅰ)'2()f x ax x a =-+，由于函数()f x 在2x =时取得极值，所以 '(2)0f =.即 420,a a -+=解得此时'()f x 在2x =两边异号，()f x 在2x =处取得极值--------6分(Ⅱ) 方法一：由题设知：22ax x a x x a -+>+- 对任意(0,)a ∈+∞都成立即22(2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立……………9分 设22()(2)2()g a a x x x a R =+--∈, 则对任意x R ∈，()g a 为单调递增函数()a R ∈ 所以对任意(0,)a ∈+∞，()0g a >恒成立的充分必要条件是(0)0g ≥即 220x x --≥，20x -≤≤∴， 于是x 的取值范围是}{|20x x -≤≤………12分方法二： 由题设知：22ax x a x x a -+>+-，对任意(0,)a ∈+∞都成立即22(2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立对任意(0,)a ∈+∞都成立，即9分20x -≤≤∴， 于是x 的取值范围是}{|20x x -≤≤……………12分【思路点拨】(Ⅰ)由可导函数在某点取得极值的条件求a值；(Ⅱ)法一即22(2)20a x x x+-->对任意(0,)a∈+∞都成立，把不等式左边看成关于a的一次函数，利用一次函数单调性得关于x的不等式求解；法二：分离参数法求x范围.【题文】19(本小题满分12分),且函数()y f x=的图象的(Ⅰ);(Ⅱ)将函数()y f x=的图象向右平移,得到函数()y g x=的图象,求函数()g x的单调递增区间. 【知识点】函数sin()y A xωϕ=+解析式的确定；图像变换. C4【答案解析】（k∈Z）.解析：3分因为()f x为奇函数，所以所以()2sinf x xω=，由题意得π22，所以2ω=．故()2sin2f x x=．因此……………6分（Ⅱ）将()f x的图象向右平移……………9分（k∈Z），（k ∈Z ）时，()g x 单调递增，因此()g x 的单调递增区间为（k ∈Z ）． ……………12分【思路点拨】（Ⅰ）由奇偶性求ϕ，由周期性求ω，得解析式，从而求（Ⅱ）根据图像变换规律得函数()y g x =的解析式，再根据正弦函数的单调性求得函数()g x 的单调递增区间.【题文】20(本小题满分13分)其中0a <.(Ⅰ)若函数()f x 在其定义域内单调递减,求实数a 的取值范围;(Ⅱ)且关于x 的方程在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,求实数b 的取值范围.【知识点】导数的应用. B12 【答案解析】（Ⅰ）(,1]-∞- ；(Ⅱ).解析：（Ⅰ）()f x 的定义域是(0,)+∞，求导得依题意'()0f x ≤在0x >时恒成立，即2210ax x +-≤在0x >恒成立. ……3分这个不等式提供2种解法，供参考解法一：因为0a <，所以二次函数开口向下，对称轴问题转化为2240a =+≤所以1a ≤-，所以a 的取值范围是(,1]-∞- ……………6分在0x >恒成立，当1=x 时，取最小值1-，∴a 的取值范围是(,1]-∞- ………6分，()(2)ln 22g x g b ==--极小值，又(4)2ln 22g b =--………10分方程()0g x =在[1，4]上恰有两个不相等的实数根.则(1)0(2)0(4)0g g g ≥⎧⎪<⎨⎪≥⎩， 得………13分【思路点拨】（Ⅰ）利用导数转化为不等式恒成立问题，再由分离参数法等求a 范围；在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，利用导数求极值，通过分析极值的取值条件求得b 范围.【题文】21(本小题满分14分)已知函数()ln ()f x x x mx m R =+∈的图象在点(1,(1))f 处的切线的斜率为2.(Ⅰ)求实数m 的值; (Ⅱ)讨论()g x 的单调性;(Ⅲ)已知*,m n N ∈且1m n >>,【知识点】导数的应用；分析法证明不等式. B12 E7【答案解析】（Ⅰ）1；(Ⅱ) ()g x 在区间(0,1)和(1,)+∞都是单调递增的；(Ⅲ)见解析.解析：（Ⅰ）()ln ,f x x x mx =+所以'()1ln f x x m =++由题意'(1)1ln12f m =++=,得1m =……3分(Ⅱ当1x >时，，()h x 是增函数，()(1)0h x h >=， ，故()g x 在()1,+∞上为增函数； ………6分 当01x <<时，，()h x 是减函数，()(1)0h x h >=， ，故()g x 在()0,1上为增函数； 所以()g x 在区间(0,1)和(1,)+∞都是单调递增的。