2019年高考数学压轴大题复习题库及答案(题量大)
浙江省2019年高考数学压轴卷(含解析)
18.设函数 ，其中 ，已知 .
(1)求 ；
(2)将函数 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，求 在 上的最小值．
19.已知等差数列 的前 项和为 ，若 ．
A.4B.-4C.6D.-6
8.4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查. 根据调查结果知道，从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率是 .现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为 .若每次抽取的结果是相互独立的，则期望 和方差 分别是（ ）.
∴ ，
解得 ，
∴ ，
解得R=2.
故答案为：2;2.
14.【答案】4
【解析】设向量 的夹角为 ，由余弦定理有： ，
，则：
，
令 ，则 ，
据此可得： ，
即 的最小值是4，最大值是 ．
15.【答案】
【解析】原问题等价于 有三个不同的实根，即 与 有三个不同的交点，当 时， 为增函数，在 处取得最小值为 ，与 只有一个交点.当 时， ，根据复合函数的单调性，其在 上先减后增.所以，要有三个不同交点，则需 ，解得 .
设直线 的方程为： ，
联立 ，得 ，
则 ①.
设 ，则 .
∵
即 ，得： ，
∴ ，即 或 ，
代人①式检验均满足 ，
∴直线 的方程为： 或 .
∴直线过定点 （定点 不满足题意，故舍去）.
22.【答案】(1) ；(2) .
全国卷Ⅱ2019年高考数学压轴卷理含解析20190514017
（全国卷Ⅱ）2019年高考数学压轴卷 理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知{}lg 0A x x =>，{}12B x x =-<，则A B =U （ ） A ．{}11x x x <-≥或 B ．{}13x x << C ．{}3x x >D ．{}1x x >-2．下列命题中正确的是（ ）A ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题B ．若0x >，则sin x x >恒成立C ．命题“()00,x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是“()00,x ∀∉+∞，00ln 1x x ≠-”D ．命题“若22x =，则2x =或2x =-”的逆否命题是“若2x ≠或2x ≠-，则22x ≠”3．设曲线C 是双曲线，则“C 的方程为2214y x -=”是“C 的渐近线方程为2y x =±”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数e 4xy x=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知函数()sin y A x b ωϕ=++的最大值为3，最小值为1-．两条对称轴间最短距离为2π，直线6x π=是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式为（ ） A ．4sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B ．2sin 216y x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭C ．2sin 3y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭D ．2sin 213y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭6．设0.1log 0.2a =， 1.1log 0.2b =，0.21.2c =，0.21.1d =则（ ）A．a b d c>>>B．c a d b>>>C．d c a b>>>D．c d a b>>>7．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．16π3B．3πC．29πD．169π8．已知向量(1,3=-a，()0,2=-b，则a与b的夹角为（）A．π6B．π3C．5π6D．2π39．在ABC△中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，()()3a b c a c b ac+++-=，则角B=（）A．2π3B．π3C．5π6D．π610．执行如图所示程序框图，输出的S=（）A．25 B．9 C．17 D．2011．已知过点(),0A a作曲线:e xC y x=⋅的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是（）A．()(),40,-∞-+∞U B．()0,+∞C．()(),11,-∞-+∞U D．(),1-∞-12．已知函数()ln,0e,ex xf x exx⎧<≤⎪=⎨>⎪⎩，若0a b c<<<且满足()()()f a f b f c==，则()af b()bf c+()cf a+的取值范围是（）A．()1,+∞B．()e,+∞C．11e1e⎛⎫++⎪⎝⎭,D．1e,2ee⎛⎫+⎪⎝⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知直线l、m与平面α、β，lα⊂，mβ⊂，则下列命题中正确的是_______（填写正确命题对应的序号）．S＝S＋8开始否T>S？结束是S＝1，T=0,n=0n=＝0n＝n+2输出ST＝T+2n①若l m ∥，则αβ∥；②若l m ⊥，则αβ⊥； ③若l β⊥，则αβ⊥；④若αβ⊥，则m α⊥，14．若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最小值为__________．15．费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点．当三角形三个内角均小于120︒时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为120︒．根据以上性质，函数 ()f x______．16．已知ABC △中，AB AC =，点D 是AC 边的中点，线段BD x =，ABC △的面积2S =，则x 的取值范围是_________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，角A 、B、C 成等差数列，b =（1）若3sin 4sin C A =，求c 的值； （2）求a c +的最大值． 18．（本小题满分12分）2018年2月9-25日，第23届冬奥会在韩国平昌举行．4年后，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行．为了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：（1（2）现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取12人参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动． （i ）问男、女学生各选取了多少人？ （ii ）若从这12人中随机选取3人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目的宣传介绍，设选取的3人中女生人数为X ，写出X 的分布列，并求()E X ． 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．19．（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PDC ，PD DC ⊥，底面ABCD 是梯形，AB DC ∥，1AB AD PD ===，2CD =．（1）求证：平面PBC ⊥平面PBD ；（2）设Q 为棱PC 上一点，PQ PC λ=u u u r u u u r，试确定λ的值使得二面角Q BD P --为60︒．20.（本小题满分12分）已知椭圆()222:90C x y m m +=>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ．（1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（2）若l 过点,3m m ⎛⎫⎪⎝⎭，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求l 的斜率；若不能，说明理由． 21．（本小题满分12分）已知函数()ln 2a xf x x x =++．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）设函数()()ln 1g x x x f x =+-，若1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x >恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为131x t y t =+⎧⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 1cos θρθ=-．（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程;（2）已知与直线l 平行的直线l '过点()20M ,，且与曲线C 交于A ，B 两点，试求MA MB ⋅． 23．（本题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()211f x x x =+--． （1）解不等式()2f x <；（2）若不等式()1123m f x x x -≥+-+-有解，求实数m 的取值范围．2019全国卷Ⅱ高考压轴卷数学理科答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D 【解析】{}{}lg 01A x x x x =>=>，{}{}1213B x x x x =-<=-<<，则{}1A B x x =>-U ．故选D ．2．【答案】B【解析】令()sin f x x x =-，()1cos 0f x x '=-≥恒成立，()sin f x x x =-在()0,+∞单调递增，∴()()00f x f >=，∴sin x x >，B 为真命题或者排除A 、C 、D ．故选B ． 3．【答案】A【解析】若C 的方程为2214y x -=，则1a =，2b =，渐近线方程为b y x a=±，即为2y x =±，充分性成立，若渐近线方程为2y x =±，则双曲线方程为()2204y x λλ-=≠，∴“C 的方程为2214y x -=”是“C 的渐近线方程为2y x =±”的充分而不必要条件，故选A ． 4．【答案】C【解析】函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B ，当1x =时，e14y =<，排除A ； 当x →+∞时，e4xx→+∞，排除D ．故选C ．5．【答案】B【解析】由31A b A b +=⎧⎨-+=-⎩，∴21A b =⎧⎨=⎩，又22T π=，∴T =π，∴2ω=，∴()2sin 21y x ϕ=++，又262k ϕππ⋅+=+π，k ∈Z ，∴6k ϕπ=+π，k ∈Z ， ∴72sin 212sin 2166y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B ． 6．【答案】D【解析】01a <<，0b <，1c >，1d >，由0.2y x =在R 上为增函数，∴c d >，故选D ． 7．【答案】D【解析】形，高是4的圆锥体．容易算得底面面积，所以其体积D ．8．【答案】A【解析】设向量a 与向量b 的夹角为[]()0,πθθ∈，则3cos θ⋅==a b a b ，∴π6θ=．故选A ． 9．【答案】B【解析】由()()3a b c a c b ac +++-=，可得222a c b ac +-=，根据余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，∵()0,πB ∈，∴π3B =．故选B ． 10．【答案】C【解析】按照程序框图依次执行为1S =，0n =，0T =；9S =，2n =，044T =+=； 17S =，4n =，41620T S =+=>，退出循环，输出17S =．故选C ． 11．【答案】A【解析】设切点为()000,e x x x ，()1e xy x '=+，∴0001e x x x y x ='=+⋅，则切线方程为：()()00000e =1e x xy x x x x -+⋅-，切线过点(),0A a 代入得：()()000e =1ex x x x a x -+⋅-，∴2001x a x =+，即方程2000x ax a --=有两个解，则有2400a a a ∆=+>⇒>或4a <-．故选A ．12．【答案】D【解析】画出()f x 的图象，由0a b c <<<且()()()f a f b f c ==得：01a <<，1e b <<，e c >，ln ln a b -=，e ln b c=，∴1ab =，ln e c b =，()()()()1ln ln e af b bf c cf a a b c b b b b ⎛⎫++=++=++ ⎪⎝⎭，令()1ln e g b b b b ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，()1e b <<，则()21111ln g b b b b b b ⎛⎫⎛⎫'=-++⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()211ln 1ln g b b b b'=++-，∵1e b <<，∴1ln 0b ->，ln 0b >，∴()0g b '>，则函数()g b 在区间()1,e 上单调递增，∴()()()1e g g b g <<，即11e ln e 2e e b b b ⎛⎫<++<+ ⎪⎝⎭，∴()()()af b bf c cf a ++的取值范围是1e,2e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（以a 为变量时，注意a 的取值范围为11ea <<）．故选D ． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】③【解析】①如图所示，设c αβ=I ，l c ∥，m c ∥满足条件，但是α与β不平行，故①不正确；②假设αβ∥，l β'⊂，l l '∥，l m '⊥，则满足条件，但是α与β不垂直，故②不正确； ③由面面垂直的判定定理，若l β⊥，则αβ⊥，故③正确；④若αβ⊥，n αβ=I ，由面面垂直的性质定理知，m n ⊥时，m α⊥，故④不正确． 综上可知：只有③正确．故答案为③． 14．【答案】11-【解析】画出可行域如图所示，可知目标函数过点()4,3A --时取得最小值，()()min 24311z =⨯-+-=-． 15.【答案】23【解析】由两点间的距离公式得()()()222222112x y x y x y -++++-为点(),x y 到点()1,0、()1,0-、()0,2的距离之和，即求点(),x y 到点()1,0、()1,0-、()0,2的距离之和的最小值，取最小值时的这个点即为这三个点构成的三角形的费马点，容易求得最小值为2233322333=+．16．【答案】)3+⎡∞⎣,【解析】设BAC α∠=，BA c =，则21sin 22c α⋅=，∴2sin 4c α⋅=①在ABD △中，222cos 22c c BD c c α⎛⎫=+-⋅⋅ ⎪⎝⎭，2225cos 4BD c c α=-②由①得24sin c α=③，把③代入②得：254cos sin BD αα-=，2sin 4cos 5BD αα+=， 由辅助角公式得()224sin 5BD αϕ++=，∴4245BD +≥，即49BD ≥，23BD ≥，则3BD ≥（3sin 5α=，203c =时取等号）． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17（本小题满分12分） 【答案】（1）4；（2）213．【解析】（1）由角A ，B ，C 成等差数列，得2B A C =+，又A B C ++=π，得3B π=． 又由正弦定理，3sin 4sinC A =，得34c a =，即34a c =，由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-， 即22331132442c c c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得4c =． （2）由正弦定理得213sin sin sin 3a c b A C B ===， ∴2133a A ，2133c C =，)()213213sin sin sin sin 33a c A C A A B +=+=++⎤⎦213sin sin 213363A A A π⎤π⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦，由23Aπ<<，知当62Aππ+=，即3Aπ=时，()max213a c+=．18．（本小题满分12分）【答案】（1）有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关；（2）见解析．【解析】（1）因为()22120602020207.5 6.63580408040K⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关．（2）（i）根据分层抽样方法得，男生31294⨯=人，女生11234⨯=人，所以选取的12人中，男生有9人，女生有3人．（ii）由题意可知，X的可能取值有0，1，2，3．()3093312C C84220CP X===，()2193312C C1081220CP X===，()1293312C C272220CP X===，()0393312C C13220CP X===，∴XX0123P84220108220272201220∴()01232202202202204E X=⨯+⨯+⨯+⨯=．19．（本小题满分12分）【答案】（1）见解析；（2）36λ=-．【解析】（1）证明∵AD⊥平面PDC，PD⊂平面PDC，DC⊂平面PDC，∴AD PD⊥，AD DC⊥，在梯形ABCD中，过点作B作BH CD⊥于H，在BCH△中，145BH CH BCH==⇒∠=︒，又在DAB△中，145AD AB ADB==⇒∠=︒，∴4590BDC DBC BC BD∠=︒⇒∠=︒⇒⊥，①∵PD AD⊥，PD DC⊥，AD DC D=I，AD⊂平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PD⊥平面ABCD，∵BC⊂平面ABCD，∴PD BC⊥，由①②，∵BD PD D=I，BD⊂平面PBD，PD⊂平面PBD，∴BC⊥平面PBD，∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD；（2）以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系(如图)则()0,0,1P ，()0,2,0C ，()1,0,0A ，()1,1,0B ， 令()000,,Q x y z ，()000,,1PQ x y z =-u u u r ，()0,2,1PC =-u u u r，∵PQ PC λ=u u u r u u u r，∴()()000,,10,2,1x y z λ-=-，∴()0,2,1Q λλ=-，∵BC ⊥平面PBD ，∴()1,1,0=-n 是平面PBD 的一个法向量， 设平面QBD 的法向量为(),,x y z =m ，则00DB DQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r m m ，即()0210x y y z λλ+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，即()21x y z y λλ=-⎧⎪⎨=⎪-⎩，不妨令1y =，得21,1,1λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭m ，∵二面角Q BD P --为60︒，∴21cos ,22221λλ⋅===⋅⎛⎫⋅+ ⎪-⎝⎭m n m n m n，解得36λ=±，∵Q 在棱PC 上，∴01λ<<，故36λ=-为所求．20.（本小题满分12分）【答案】（1）见解析；（2）四边形OAPB 能为平行四边形，当l 的斜率为4747四边形OAPB 为平行四边形．【解析】（1）设直线()0,0y kx b k b =+≠≠，()11,A x y ，()22,B x y ，(),M M M x y ，将y kx b =+代入2229x y m +=，得()2222920k x kbx b m +++-=，故12229M x x kb x k +==-+，299M M by kx b k =+=+，于是直线OM 的斜率9M OM M y k x k ==-， 即9OM k k ⋅=-，所是命题得证． （2）四边形OAPB 能为平行四边形．∵直线l 过点,3m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >且3k ≠． 由（1）得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ． 由22299y x k x y m ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，得2222981P k m x k =+，即P x =． 将点,3m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭的坐标代入直线l 的方程得()33m k b -=， 因此()()2339M mk k x k -=+，四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x =()()23239mk k k -=⨯+．解得14k =-24k =∵0i k >，3i k ≠，1i =，2，∴当l的斜率为4或4OAPB 为平行四边形．21．（本小题满分12分）【答案】（1）当0a ≤时，()f x 的增区间为()0,+∞；当0a >时，()f x 的减区间为(0,1-，增区间为()1-+∞；（2）12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,． 【解析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()222112222a x x a f x x x x +-'=-+=， 令()0f x '=，则2220x x a +-=，480a ∆=+>时， 即12a >-，方程两根为11x ==-，2x =-，122x x +=-，122x x a =-， ①当12a ≤-时，0∆≤，()0f x '≥恒成立，()f x 的增区间为()0,+∞； ②当102a -<≤时，1220x x a =-≥，10x <，20x ≤， ()0,x ∈+∞时，()0f x '≥，()f x 的增区间为()0,+∞；③当0a >时，10x <，20x >，当()20,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()2+x x ∈∞,时，()0f x '>，单调递增；综上，当0a ≤时，()f x 的增区间为()0,+∞；当0a >时，()f x 的减区间为()0,112a -++，增区间为()112,a -+++∞．（2）1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x >恒成立，即ln ln 102a x x x x x ---+>，∴22ln ln 2x a x x x x x <--+， 令()221ln ln 22x h x x x x x x x ⎛⎫=--+> ⎪⎝⎭，()2ln ln 11h x x x x x x '=+---+，()()21ln h x x x '=-，当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 单调递减；当()1+x ∈∞,时，()0h x '>，()h x 单调递减； ∴()()min 112h x h ==，∴12a <，则实数a 的取值范围时12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本小题满分10分）【答案】（1）()311y x =-+，22y x =；（2）163． 【解析】（1）把直线l 的参数方程化为普通方程为()311y x =-+．由22cos 1cos θρθ=-，可得()221cos 2cos ρθρθ-=， ∴曲线C 的直角坐标方程为22y x =．（2）直线l 的倾斜角为3π，∴直线l '的倾斜角也为3π， 又直线l '过点()20M ,， ∴直线l '的参数方程为1223x t y ⎧'=+⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩(t '为参数)， 将其代入曲线C 的直角坐标方程可得234160t t ''--=，设点A ，B 对应的参数分别为1t '，2t '． 由一元二次方程的根与系数的关系知12163t t ''=-，1243t t ''+=． ∴163MA MB ⋅=． 23．（本小题满分10分）【答案】（1）243x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；（2）3m ≤-或5m ≥． 【解析】（1）()12,21211=3,122,1x x f x x x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪=+---≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩， ∴1222x x ⎧<-⎪⎨⎪--<⎩或11232x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪<⎩或122x x >⎧⎨+<⎩，解得142x -<<-或1223x -≤<或无解， 综上，不等式()2f x <的解集是243x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭． （2）()1232111232123f x x x x x x x x x +-+-=+--+-+-=++-()21234x x ≥+--=， 当1322x -≤≤时等号成立不等式()1123m f x x x -≥+-+-有解， ∴()min 1123m f x x x -≥⎡+-+-⎤⎣⎦， ∴14m -≥，∴14m -≤-或14m -≥，即3m ≤-或5m ≥，∴实数m 的取值范围是3m ≤-或5m ≥．。
2019年江苏省高考数学压轴试卷及参考答案
2019年江苏省高考数学压轴试卷副标题题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，4}，B={3，5}，则∁U（A∩B）═______．2.已知i是虚数单位，若（1-i）（a+i）=2，a∈R，则a=______．3.我国古代数学算经十书之一的《九章算术》一哀分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出500人服役，则北乡比南乡多抽______人．4.如图是一个算法的流程图，则输出y的取值范围是______．5.已知函数f（x）=，若f（m）=-6，则f（m-61）=______．6.已知f（x）=sin（x-1），若p∈{1，3，5，7}，则f（p）≤0的概率为______．7.已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（）的值为______．8.已知A，B分别是双曲线C：=1的左、右顶点，P（3，4）为C上一点，则△PAB的外接圆的标准方程为______．9.已知f（x）是R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=|x2-3x|，则不等式f（x-2）≤2的解集为______．10.若函数f（x）=a1nx，（a∈R）与函数g（x）=，在公共点处有共同的切线，则实数a的值为______．11.设A，B在圆x2+y2=4上运动，且|AB|=2，点P在直线3x+4y-15=0上运动．则|+|的最小值是______．12.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=，∠ABC的平分线交AC于点D，BD=1，则a+c的最小值为______．13.如图，点D为△ABC的边BC上一点，，E n（n∈N）为AC上一列点，且满足：=（4a n-1）+，其中实数列{a n}满足4a n-1≠0，且a1=2，则+++…+=______．14.已知函数f（x）=，其中e是自然对数的底数．若集合{x∈Z|x（f（x）-m）≥0}中有且仅有4个元素，则整数m的个数为______．二、解答题（本大题共12小题，共158.0分）15.如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知点M为棱BC上异于B，C的一点．（1）若M为BC中点，求证：A1C∥平面AB1M；（2）若平面AB1M⊥平面BB1C1C，求证：AM⊥BC．16.已知．（1）求sin（2α-2β）的值；（2）求cosα的值．17.学校拟在一块三角形边角地上建外籍教室和留学生公寓楼，如图，已知△ABC中，∠C=，∠CBA=θ，BC=a．在它的内接正方形DEFG中建房，其余部分绿化，假设△ABC的面积为S，正方形DEFG的面积为T．（1）用a，θ表示S和T；（2）设f（θ）=，试求f（θ）的最大值P；18.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）如图，经过椭圆左项点A且斜率为k（k≠0）直线l与C交于A，B两点，交y轴于点E，点P为线段AB的中点，若点E关于x轴的对称点为H，过点E作与OP（O为坐标原点）垂直的直线交直线AH于点M，且△APM面积为，求k的值．19.已知函数f（x）=2ln x+-ax，a∈R．（1）当a=3时，求函数f（x）的极值；（2）设函数f（x）在x=x0处的切线方程为y=g（x），若函数y=f（x）-g（x）是（0，+∞）上的单调增函数，求x0的值；（3）是否存在一条直线与函数y=f（x）的图象相切于两个不同的点？并说明理由．20.已知集合A=a1，a2，a3，…，a n，其中a i∈R（1≤i≤n，n＞2），l（A）表示和a i+a j（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．（Ⅰ）设集合P=2，4，6，8，Q=2，4，8，16，分别求l（P）和l（Q）；（Ⅱ）若集合A=2，4，8，…，2n，求证：；（Ⅲ）l（A）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？21.如图，已知AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点B作BD⊥CD于点D．求证：BC2=BA•BD．22.已知矩阵，，且，求矩阵M．23.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系中（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，极轴与x轴的非负半轴重合），圆C的方程为，求直线l被圆C截得的弦长．24.已知正实数x、y、z，满足x+y+z=3xyz，求xy+yz+xz的最小值．25.如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．（1）求异面直线AP与BC所成角的余弦值．（2）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．26.在集合A={1，2，3，4，…，2n}中，任取m（m≤n，m，n∈N*）元素构成集合A m．若A m的所有元素之和为偶数，则称A m为A的偶子集，其个数记为f（m）；若A m的所有元素之和为奇数，则称A m为A的奇子集，其个数记为g（m）．令F（m）=f（m）-g（m）．（1）当n=2时，求F（1），F（2）的值；（2）求F（m）．答案和解析1.【答案】{1，2，4，5}【解析】解：A∩B={3}，则∁（A∩B）={1，2，4，5}，U故答案为：{1，2，4，5}，根据集合交集补集的定义进行求解即可本题主要考查集合的基本运算，根据集合交集补集的定义是解决本题的关键，比较基础．2.【答案】1【解析】解：∵（1-i）（a+i）=（a+1）+（1-a）i=2，∴，即a=1．故答案为：1．利用复数代数形式的乘除运算化简，复数相等的条件列式求解a值．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．3.【答案】60【解析】解：由题意可知，抽样比为=．故北乡应抽8100×=180，南乡应抽5400×=120，所以180-120=60，即北乡比南乡多抽60人，故答案为：60根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．4.【答案】[2-3，1]【解析】解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是计算并输出变量y=的值，由于当x＞0时，y=2x+-3≥2-3，当x≤0时，y=3x∈（0，1]，则输出y的取值范围是[2-3，1]．故答案为：[2-3，1]．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5.【答案】-4【解析】解：∵函数f（x）=，f（m）=-6，∴当m＜3时，f（m）=3m-2-5=-6，无解；（m+1）=-6，当m≥3时，f（m）=-log2解得m=63，∴f（m-61）=f（2）=32-2-5=-4．故答案为：-4．（m+1）=-6，当m＜3时，f（m）=3m-2-5=-6，无解；当m≥3时，f（m）=-log2由此能求出m的值．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】【解析】解：∵f（x）=sin（x-1），p∈{1，3，5，7}，f（1）=sin0=0，f（3）=sin2＞0，f（5）=sin4＜0，f（7）=sin6＜0，∴f（p）≤0的概率为p=．故答案为：．利用列举法能求出f（p）≤0的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】1【解析】解：根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象，可得•=+，∴ω=2，再根据五点法作图可得2•+φ=0，求得φ=-，∴函数f（x）=2sin（2x-），∴f（）=2sin（-）=2sin=2sin=1，故答案为：1．由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，从而求得f（）的值．本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．8.【答案】x2+（y-3）2=10【解析】解：P（3，4）为C上的一点，所以，解得m=1，所以A（-1，0）B（1，0），设△PAB的外接圆的圆心（0，b），则1+b2=32+（b-4）2，解得b=3，则△PAB的外接圆的标准方程为x2+（y-3）2=10．故答案为：x2+（y-3）2=10．求出m，推出AB坐标，设出圆心，然后求解即可得到圆的方程．本题考查双曲线的简单性质与圆的方程的求法，考查发现问题解决问题的能力．9.【答案】{x|-3≤x≤1或0≤x≤或-≤x≤-4}【解析】解：根据题意，当x≥0时，f（x）=|x2-3x|，此时若有f（x）≤2，即，解可得0≤x≤1或2≤x≤，即此时f（x）≤2的解集为{x|0≤x≤1或2≤x≤}，又由f（x）为偶函数，则当x≤0时，f（x）≤2的解集为{x|-1≤x≤0或-≤x≤-2}，综合可得：f（x）≤2的解集为{x|-1≤x≤1或2≤x≤或-≤x≤-2}；则不等式f（x-2）≤2的解集{x|-3≤x≤1或0≤x≤或-≤x≤-4}；故答案为：{x|-3≤x≤1或0≤x≤或-≤x≤-4}．根据题意，由函数的解析式求出当x≥0时，不等式f（x）≤2的解集，结合函数的奇偶性可得f（x）≤2的解集，据此由函数图象的性质分析可得f （x-2）≤2的解集，即可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是分析f（x）≤2的解集．10.【答案】【解析】解：函数f（x）=alnx的定义域为（0，+∞），f′（x）=，g′（x）=，设曲线f（x）=alnx与曲线g（x）=公共点为（x0，y），由于在公共点处有共同的切线，∴，解得，a＞0．由f（x0）=g（x），可得alnx=．联立，解得a=．故答案为：．函数f（x）=alnx的定义域为（0，+∞），求出导函数，利用曲线y=f（x）与曲线g（x）=公共点为（x0，y）由于在公共点处有共同的切线，解得，a＞0，f（x0）=g（x），联立解得a的值．本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．11.【答案】4【解析】解：取AB的中点M，连OM，则OM⊥AB，∴|OM|===1，即点M的轨迹是以O为圆心，1为半径的圆．∴|+|=2||，设点O到直线3x+4y-15=0的距离为d==3，所以||≥||-||≥d-||=3-1=2，2||≥4（当且仅当OP⊥l，M为线段OP与圆x2+y2=1的交点时取等）故答案为：4．取AB的中点M，得M的轨迹是以O为圆心1为半径的圆，根据|+|=2||的最小值等于O到直线3x+4y-15=0的距离减去1可得．本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．12.【答案】4【解析】解：由题意得acsin=asin+csin，即ac=a+c，得+=1，得a+c=（a+c）（+）=2++≥2+2=2+2=4，当且仅当a=c时，取等号，故答案为：4根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可．本题主要考查基本不等式的应用，利用1的代换结合基本不等式是解决本题的关键．13.【答案】【解析】解：点D为△ABC的边BC上一点，，∴又，，∴，，∴，∴，．．故答案为：．首先利用向量的线性运算和数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用通项公式求出数列的和．本题考查的知识要点：平面向量的坐标的运算的应用，递推关系式求出数列的通项公式，等比数列的前n项和的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．14.【答案】34【解析】解：∵x=0∈A，符合条件的整数根，除零外有且只有三个即可．画出f（x）的图象如下图：当x＞0时，f（x）≥m；当x＜0时，m≥f（x）．即y轴左侧的图象在y=m下面，y轴右侧的图象在y=m上面，∵f（3）=-3×9+18=-9，f（4）=-3×16+24=-24，f（-3）=-（-3）3-3×（-3）2+4=4，f（-4）=-（-4）3-3×（-4）2+4=20，平移y=a，由图可知：当-24＜a≤-9时，A={1，2，3}，符合题意；a=0时，A={-1，1，2}，符合题意；2≤a≤3时，A={1，-1，-2}，符合题意；4≤a＜20时，A={-1，-2，-3}，符合题意；∴整数m的值为-23，-22，-21，-20，-19，-18，-17，-16，-15，-14，-13，-12，-11，-10，-9，0，2，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，共34个．故答案为：34．由x=0∈A，画出函数图象，x（f（x）-m）≥0等价于当x＞0时，f（x）≥m；当x＜0时，m≥f（x），平移y=m，符合条件的整数根，除零外有三个即可，由此能求出满足条件的整数m的个数．本题考查不等式的整数解的个数的求示，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是难题．15.【答案】证明：（1）连结A1B，交AB1于N，则N是A1B的中点，∵在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，M为BC中点，∴MN∥A1C，∵A1C⊄平面AB1M，MN⊂平面AB1M，∴A1C∥平面AB1M．解：（2）过B作BP⊥B1M，垂足为P，平面AB1M⊥平面B1BCC1，且交线为B1M，BP⊂平面AB1M，AM⊂平面ABCD，∴BB1⊥AM，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，AM⊂平面ABCD，∴BB1⊥AM，又BP∩BB1=B，∴AM⊥平面BB1C1C，又BC⊂平面BB1C1C，∴AM⊥BC．【解析】（1）连结A1B，交AB1于N，则N是A1B的中点，推导出MN∥A1C，由此能证明A1C∥平面AB1M．（2）过B作BP⊥B1M，垂足为P，推导出BB1⊥AM，BB1⊥AM，从而AM⊥平面BB1C1C，由此能证明AM⊥BC．本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】解：（1）∵已知，∴sin（α-β）==，∴sin（2α-2β）=2sin（α-β）cos（α-β）=．（2）cos2α=cos[（α+β）+（α-β）]=cos（α+β）cos（α-β）-sin（α+β）sin （α-β）=-•-•=-=2cos2α-1，求得cosα==，或cosα=-=-（舍去），综上，cosα=．【解析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系求得sin（α-β）的值，再利用二倍角公式求得sin（2α-2β）的值．（2）利用两角和差的三角公式求得cos2α=cos[（α+β）+（α-β）]的值，再利用二倍角公式求得cosα的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，两角和差的三角公式，属于基础题．17.【答案】解：（1）由题意知，AC=a tanθ，所以△ABC的面积为：S=AC•BC=a2tanθ，其中θ∈（0，）；又DG=GF=BG sinθ==，所以BG=，DG=，所以正方形DEFG的面积为：T=DG2=，其中θ∈（0，）；（2）由题意知f（θ）=，其中θ∈（0，），所以f（θ）=；由sinθcosθ=sin2θ∈（0，]，所以sinθcosθ+≥，即f（θ）≤，当且仅当sin2θ=1，即θ=时“=”成立；所以f（θ）的最大值P为．【解析】（1）由题意计算直角△ABC的面积S和正方形DEFG的面积T即可；（2）利用三角恒等变换以及三角函数的性质和基本不等式，计算f（θ）的最大值即可．本题考查了三角函数模型的应用问题，也考查了面积与函数最值的计算问题，是中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）由题意可得，解得a=2，b=，c=，∴椭圆C的方程为+=1，（Ⅱ）易知椭圆左顶点A（-2，0），设直线l的方程为y=k（x+2），则E（0，2k），H（0，-2k），由消y可得（1+2k2）x2+8k2x+8k2-4=0设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），∴△=64k4-4（8k2-4）（1+2k2）=16则有x1+x2=-，x1x2=，∴x0=（x1+x2）=-，y0=k（x0+2）=，∴k OP==-，∴直线EM的斜率k EM=2k，∴直线EM的方程为y=2kx+2k，直线AH的方程为y=-k（x+2），∴点M（-，-k），∴点M到直线l：kx-y+2k=0的距离d=，∴|AB|=•=，∴|AP|=|AB|=，∴S △APM=|AP|•d=××==，解得k=±【解析】（Ⅰ）由题意可得，解得a=2，b=，c=，即可求出椭圆方程，（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x+2），设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），根据韦达定理和中点坐标公式，斜率公式，求出直线EM，AH的方程，可得M的坐标，根据点到直线距离公式和弦长公式，以及三角形的面积公式即可求出k的值本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．19.【答案】解：（1）当a=3时，函数f（x）=2ln x+-3x的定义域为（0，+∞）．则f'（x）=，令f′（x）=0得，x=1或x=2．……………………2分列表：x（0，1）1（1，2）2（2，+∞）f'（x）+0-0+f（x）↗极大值↘极小值↗∴函数f（x）的极大值为；极小值为f（2）=2ln2-4． (4)分（2）依题意，切线方程为y=f'（x0）（x-x0）+f（x0）（x0＞0），从而g（x）=f'（x0）（x-x0）+f（x0）（x0＞0），记p（x）=f（x）-g（x），则p（x）=f（x）-f（x0）-f'（x0）（x-x0）在（0，+∞）上为单调增函数，∴p'（x）=f'（x）-f'（x0）≥0在（0，+∞）上恒成立，即≥0在（0，+∞）上恒成立．……………………8分变形得在（0，+∞）上恒成立，∴，又x 0＞0，∴x0=．……………………10分（3）假设存在一条直线与函数f（x）的图象有两个不同的切点T1（x1，y1），T2（x2，y2），不妨0＜x1＜x2，则T1处切线l1的方程为：y-f（x1）=f'（x1）（x-x1），T2处切线l2的方程为：y-f（x2）=f'（x2）（x-x2）．∵l1，l2为同一直线，∴……………………12分即整理得，……………………14分消去x2得，2ln=0．①令t=，由0＜x1＜x2与x1x2=2，得t∈（0，1），记p（t）=2ln t+-t，则p'（t）=＜0，∴p（t）为（0，1）上的单调减函数，则p（t）＞p（1）=0．从而①式不可能成立，∴假设不成立，从而不存在一条直线与函数f （x ）的图象有两个不同的切点．……………………16分 【解析】（1）把a=3代入函数解析式，求得导函数零点，分析单调性，从而求得极值；（2）求出函数在x=x 0处的切线方程，得到函数y=f （x ）-g （x ），利用其导函数大于等于0在（0，+∞）上恒成立求解x 0的值；（3）假设存在一条直线与函数f （x ）的图象有两个不同的切点T 1（x 1，y 1），T 2（x 2，y 2），不妨0＜x 1＜x 2，则T 1处切线l 1的方程为：y-f （x 1）=f'（x 1）（x-x 1），T 2处切线l 2的方程为：y-f （x 2）=f'（x 2）（x-x 2）．利用l 1，l 2为同一直线，可得，进一步得到．利用导数证明该式不可能成立，说明假设不成立，从而不存在一条直线与函数f （x ）的图象有两个不同的点．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的极值，考查数学转化思想方法，属难题． 20.【答案】解：（Ⅰ）根据题中的定义可知：由2+4=6，2+6=8，2+8=10，4+6=10，4+8=12，6+8=14，得l （P ）=5．由2+4=6，2+8=10，2+16=18，4+8=12，4+16=20，8+16=24，得l （Q ）=6．（5分） （Ⅱ）证明：因为a i +a j （1≤i ＜j ≤n ）最多有个值，所以．又集合A =2，4，8，，2n，任取a i +a j ，a k +a l （1≤i ＜j ≤n ，1≤k ＜l ≤n ）， 当j ≠l 时，不妨设j ＜l ，则a i +a j ＜2a j =2j +1≤a l ＜a k +a l ， 即a i +a j ≠a k +a l ．当j =l ，i ≠k 时，a i +a j ≠a k +a l ． 因此，当且仅当i =k ，j =l 时，a i +a j =a k +a l ． 即所有a i +a j （1≤i ＜j ≤n ）的值两两不同， 所以．（9分）（Ⅲ）l （A ）存在最小值，且最小值为2n -3．不妨设a 1＜a 2＜a 3＜…＜a n ，可得a 1+a 2＜a 1+a 3＜…＜a 1+a n ＜a 2+a n ＜…＜a n -1+a n ， 所以a i +a j （1≤i ＜j ≤n ）中至少有2n -3个不同的数，即l （A ）≥2n -3． 事实上，设a 1，a 2，a 3，，a n 成等差数列，考虑a i +a j （1≤i ＜j ≤n ），根据等差数列的性质， 当i +j ≤n 时，a i +a j =a 1+a i +j -1； 当i +j ＞n 时，a i +a j =a i +j -n +a n ；因此每个和a i +a j （1≤i ＜j ≤n ）等于a 1+a k （2≤k ≤n ）中的一个， 或者等于a l +a n （2≤l ≤n -1）中的一个．所以对这样的A，l（A）=2n-3，所以l（A）的最小值为2n-3．（13分）【解析】（Ⅰ）直接利用定义把集合P=2，4，6，8，Q=2，4，8，16中的值代入即可求出l（P）和l（Q）；（Ⅱ）先由ai +aj（1≤i＜j≤n）最多有个值，可得；再利用定义推得所有ai+aj（1≤i＜j≤n）的值两两不同，即可证明结论．（Ⅲ）l（A）存在最小值，设a1＜a2＜＜an，所以a1+a2＜a1+a3＜…＜a1+an＜a2+an＜…＜an-1+an．由此即可证明l（A）的最小值2n-3．本题考查集合与元素的位置关系和数列的综合应用，综合性较强，解题时注意整体思想和转化思想的运用，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误．21.【答案】证明：CD与半圆相切于点C．由弦切角定理可得：∠DCB=∠CAB．∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°，由BD⊥CD，∴∠D=90°，∴△ACB∽△CDB．∴=，∴BC2=BA•BD．【解析】由弦切角定理可得：∠DCB=∠CAB．进而可得△ACB∽△CDB．即可证明．本题考查了圆的性质、相似三角形的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.【答案】解：由题意，，则．……………………………………4分因为，则．……………………………………………………6分所以矩阵．………………………………………………10分【解析】推导出，，由此能求出矩阵M．本题考查矩阵的求法，考查矩阵的乘法、逆矩阵等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．23.【答案】解：将直线l的参数方程为化为直角坐标方程：x+2y+4=0…………（2分）圆C的方程为，∴ρ2=4ρ（cosθ-sinθ），化为直角坐标方程x2+y2-4x+4y=0，∴（x-2）2+（y+2）2=8，其圆心（2，-2），半径为…………（5分）∴圆心C到直线l的距离为∴直线l被圆C截得的弦长为2=．…………（10分）【解析】将直线l的参数方程化为直角坐标方程，圆C的方程化为直角坐标方程，求出圆心C到直线l的距离，由此能求出直线l被圆C截得的弦长．本题考查弦长的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．24.【答案】解：因为x+y+z=3xyz，所以=3，………………………（5分）又xy+yz+xz=∴由柯西不等式可得，（xy+yz+xz）（）≥（1+1+1）2=9，所以xy+xz+yz≥3，当且仅当x=y=z=1时取等号，所以，xy+xz+yz的最小值为3．………………………（10分）【解析】由已知可得=3，然后结合柯西不等式可得xy+yz+xz=（xy+yz+xz）（）≥（1+1+1）2，可求．本题主要考查了柯西不等式在求解最值中的应用，属于基础试题．25.【答案】解：（1）因为AD∥BC，所以∠DAP或其补角就是异面直线AP与BC所成的角，因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD，在Rt△PDA中，AP==，故cos∠DAP==，所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为．（2）过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB 与平面PBC所成的角．∵AD⊥PD，AD∥BC，∴PD⊥BC，又PD⊥PB，PB∩BC=B，∴PD⊥平面PBC，∴∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角．由于AD∥BC，DF∥AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC-BF=2．又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得DF==2．在Rt△DPF中，sin∠DFP==．所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为．【解析】（1）由AD∥BC可知∠DAP或其补角就是异面直线AP与BC所成的角，在Rt△ADP中计算cos∠PAD即可；（2）证明PD⊥平面PBC，过D作AB的平行线DF，计算sin∠DFP即可．本题考查了空间角的计算，做出空间角是解题的关键，属于中档题．26.【答案】解：（1）当n=2时，集合为{1，2，3，4}．当m=1时，偶子集有{2}，{4}，奇子集有{1}，{3}，f（1）=2，g（1）=2，F（1）=0；当m=2时，偶子集有{2，4}，{1，3}，奇子集有{1，2}，{1，4}，{2，3}，{3，4}，f（2）=2，g（2）=4，F（2）=-2；（2）当m为奇数时，偶子集的个数f（m）=C n0C n m+C n2C n m-2+C n4C n m-4+…+C n m-1C n1，奇子集的个数g（m）=C n1C n m-1+C n3C n m-3+…+C n m C n0，所以f（m）=g（m），F（m）=f（m）-g（m）=0．当m为偶数时，偶子集的个数C n0C n m+C n2C n m-2+C n4C n m-4+…+C n m C n0，奇子集的个数g（m）=C n1C n m-1+C n3C n m-3+…+C n m-1C n1，所以F（m）=f（m）-g（m）=C n0C n m-C n1C n m-1+C n2C n m-2-C n3C n m-3+…-C n m-1C n1+C n m C n0，一方面，（1+x）m（1-x）m=（C m0+C m1x+C m2x2+…+C m m x m）（（C m0-C m1x+C m2x2+…+（-1）m C m m x m），所以（1+x）m（1-x）m中x m的系数为C m0C m m-C m1C m m-1+C m2C m m-2-C m3C m m-3+…-C m m-1C m1+C m m C m0，另一方面，（1+x）m（1-x）m=（1+x）m（1-x2）m中，（1-x2）m中x m的系数为（-1），故F（m）=（-1），综上，F（m）=．【解析】（1）当n=2时，根据定义即可求F（1），F（2）（2）分别讨论当m是奇数和偶数时，f（m）和g（m）的值，利用二项式定理进行求解即可．本题主要考查集合关系的应用，结合二项式定理进行证明是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，难度较大．第21页，共21页。
全国卷Ⅱ2019年高考数学压轴卷文含解析20190514018
（全国卷Ⅱ）2019年高考数学压轴卷 文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足11i 12z z -=+，则复数z 在复平面内对应点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合{}06M x x =≤≤， {}232x N x =≤，则M N ⋃=（ ） A. (],6-∞ B. (],5-∞ C. []0,6 D. []0,53.已知向量2=a ，1=b ，()22⋅-=a a b ，则a 与b 的夹角为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．150︒4.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得面包成等差数列，且较大的三份之和的等于较小的两份之和，问最小的一份为（ ）A.65 B.611 C. 35 D. 310 5.若n 是2和8的等比中项，则圆锥曲线221y x n+=的离心率是（ ）A ．32 B ．5 C ．32或52 D ．32或5 【答案】D6． 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为( )A ．4B ．642+C ．442+D ．27.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin 1sin 2B C =，()2213cos2a b B BA BC-=⋅u u u v u u u v，则角C=（）A.6πB.3πC.2πD.3π或2π8. 如图为函数()y f x=的图象，则该函数可能为()A．sin xyx=B．cos xyx=C．sin||xyx=D．|sin|xyx=9．执行如图所示程序框图，若输出的S值为20-，在条件框内应填写（）A．3?i>B．4?i<C．4?i>D．5?i< 10．已知抛物线()220y px p=>的焦点为F，准线l与x轴交于点A，点P在抛物线上，点P到准线l的距离为d，点O关于准线l的对称点为点B，BP交y轴于点M，若BP a BM=，23OM d=，则实数a的值是（）A.34B.12C.23D.3211．已知不等式组2024x yx yyx y m-≥+≤≥⎧⎪+⎨≤⎪⎪⎪⎩表示的平面区域为M，若m是整数，且平面区域M内的整点(),x y恰有3个（其中整点是指横、纵坐标都是整数的点），则m的值是（）A. 1B. 2C. 3D. 412．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()32123f x x ax bx =+++， ()()24f x f x +='-'，若函数()6ln 2f x x x ≥+恒成立，则实数b 的取值范围为（ ）A. [)64ln3,++∞B. [)5ln5,++∞C. [)66ln6,++∞D. [)4ln2,++∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．某学校选修网球课程的学生中，高一、高二、高三年级分别有50名、40名、40名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高二年级学生中抽取了8名，则在高一年级学生中应抽取的人数为_______．14．设P 为曲线2:23C y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π，则点P 横坐标的取值范围为 ． 15．已知正四棱锥P ABCD -内接于半径为94的球O 中（且球心O 在该棱锥内部），底面ABCD 的边长为2，则点A 到平面PBC 的距离是__________．16．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上存在一点P 满足以OP 为边长的正三角形的内切圆的面积等于236c π（其中O 为坐标原点， c 为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率的取值范围是 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小满分题12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，1110,910n n a a S +==+. （1）求证：{lg }n a 是等差数列； （2）设n T 是数列13{}(lg )(lg )n n a a +的前n 项和，求使21(5)4n T m m >-对所有的*n N ∈都成立的最大正整数m 的值.18.（本小题满分12分）进入11月份，香港大学自主招生开始报名，“五校联盟”统一对五校高三学生进行综合素质测试，在所有参加测试的学生中随机抽取了部分学生的成绩，得到如图所示的成绩频率分布直方图：（1）估计五校学生综合素质成绩的平均值；（2）某校决定从本校综合素质成绩排名前6名同学中，推荐3人参加自主招生考试，若已知6名同学中有4名理科生，2名文科生，试求这2人中含文科生的概率．19.（本题满分12分）如图，在三棱锥P ADE -中， 4AD =， 22AP =， AP ⊥底面ADE ，以AD 为直径的圆经过点E .（1）求证： DE ⊥平面PAE ；（2）若60DAE ∠=︒，过直线AD 作三棱锥P ADE -的截面ADF 交PE 于点F ，且45FAE ∠=︒，求截面ADF 分三棱锥P ADE -所成的两部分的体积之比.20. （本小题满分12分）已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－10，0)，F 2(10，0)，且椭圆C 过点P (3，2)． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）与直线OP 平行的直线交椭圆C 于A ，B 两点，求△PAB 面积的最大值．21. （本小题满分12分）已知函数()e x f x ax =-（a 为常数）的图象与y 轴交于点A ，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为2-．（1）求a 的值及函数()f x 的单调区间；（2）设()231g x x x =-+，证明：当0x >时，()()f x g x >恒成立． 22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线M 的参数方程为1cos 1sin x y ϕϕ=+=+⎧⎨⎩（ϕ为参数），过原点O 且倾斜角为α的直线l 交M 于A 、B 两点．（1）求l 和M 的极坐标方程；（2）当4π0,α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，求OA OB +的取值范围．23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()121f x x x =++-． （1）解不等式()2f x x ≤+；（2）若()3231g x x m x =-+-，对1x ∀∈R ，2x ∃∈R ，使()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围．2019全国卷Ⅱ高考压轴卷数学文科答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】D【解析】设复数i z a b =+，(),a b ∈R ，则i z a b =-，因为11i 12z z -=+，所以()()211i z z -=-，所以2(1)2i a b --()1i a b =+-，所以可得2221a bb a -=-⎧⎨-=+⎩，解得5343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以54i 33z =-，所以复数z 在复平面内对应点54,33⎛⎫-⎪⎝⎭在第四象限上．故选D ．2【答案】A【解析】 因为{}06M x x =≤≤， {}232{|5}x N x x x =≤=≤， 所以{|6}M N x x ⋃=≤，故选A. 3.【答案】B【解析】∵()222422⋅-=-⋅=-⋅=a a b a a b a b ，∴1⋅=a b ．设a 与b 的夹角为θ，则1cos 2θ⋅==a b a b ，又0180θ︒≤≤︒，∴60θ=︒，即a 与b 的夹角为60︒．4.【答案】C【解析】分析：根据已知条件，设等差数列的公差为，将已知条件转化为等式，求出等差数列的首项和公差，再得出答案。
2019年高考最后压轴卷(北京卷)理科数学(附解析)
2019年高考最后压轴卷（北京卷）理科数学（附解析）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知，则的值为（） A. B. C. D. 2．下列函数中，值域为R 的偶函数是（ ）A ．y=x 2+1 B ．y=e x﹣e ﹣xC ．y=lg|x|D ．3．若变量满足约束条件,则的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．4. 某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的值为1，则输出的值为（）A. B. C. D.5.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（）A ．27B ．30C ．32D ．36(1i)i 1i(b b +=-+∈R)b 11-i i -2x y =0234a a 输出输入开始结束是12356. “”是直线与直线平行的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知点及抛物线上一动点，则的最小值是（）A ．B ．1C ．2D ． 3 8.设函数的定义域，如果存在正实数，使得对任意，都有，则称为上的“型增函数”，已知函数是定义在上的奇函数，且当时，（）．若为上的“20型增函数”，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，满分30分.把答案填在题中的横线上．）9.函数的最小正周期是 ，最小值是 ． 10．已知x >0,y >0，且，若x +y ≥m 2+m +3恒成立，则实数m的取值4ab =210x ay +-=220bx y +-=(,)P x y ||y PQ +12()f x D m x D ∈()()f x m f x +>()f x D m ()f x R 0x >()f x x a a =--a R ∈()f x R a 0a >5a <10a <20a <2sin(2)16y x π=++114=+yx范围是__________．11. 如果平面直角坐标系中的两点，关于直线对称，那么直线的方程为 ．12.的二项展开式中项的系数为_________．（用数字作答）13.若，，，，则，，有小到大排列为 ．14.数列满足：，给出下述命题：①若数列满足：，则成立；②存在常数，使得成立；③若，则；④存在常数，使得都成立．上述命题正确的是____．(写出所有正确结论的序号)三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题满分13分）在中，已知， （Ⅰ）求的长；（Ⅱ）求边上的中线的长.(1,1)A a a -+(,)B a a l l 51⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x 01a b <<<b x a =a y b =log b z a =x y z {}n a *112(1,)n n n a a a n n N -++>>∈{}n a 21a a >*1(1,)n n a a n n N ->>∈c *()n a c n N >∈*(,,,)p q m n p q m n N +>+∈其中p q m n a a a a +>+d *1(1)()n a a n d n N >+-∈ABC △312,cos 413A C π==13.BC =AB BC AD16.（本小题满分13分）自由购是通过自助结算方式购物的一种形式．某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：（2）从被抽取的年龄在使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用X 表示这3人中年龄在的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望； （3）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋．)30,50[]50,70[)50,6017．（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB ⊥底面ABCD ，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，点M 在线段PD 上．（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求证：ME ∥平面PAB ；（Ⅲ）如果直线ME 与平面PBC 所成的角和直线ME 与平面ABCD 所成的角相等，求的值．18. （本小题满分14分）已知函数. （Ⅰ）当时，求函数的极小值； （Ⅱ）当时，讨论的单调性；（Ⅲ）若函数在区间上有且只有一个零点，求的取值范围.2()e (1)(0)2xmf x x x m =-+≥0m =()f x 0m >()f x ()f x (),1-∞m19.（本小题满分14分）已知圆的切线与椭圆相交于，两点． （1）求椭圆的离心率； （2）求证：； （3）求面积的最大值.20.（本小题共13分）已知曲线的方程为：.（1）分别求出时，曲线所围成的图形的面积;（2）若表示曲线所围成的图形的面积，求证：关于是递增的;（3）若方程，，没有正整数解，求证：曲线上任一点对应的坐标，不能全是有理数.:O 221x y +=l :C 2234x y +=A B C OA OB ⊥OAB ∆n C *1()n nx y n N +=∈1,2n n ==n C ()n S n N *∈n C ()n S n N *∈n (2,)nnnx y z n n N +=>∈0xyz ≠(2,)n C n n N *>∈(,)x y ,x y答案1.【 答案】A【 解析】试题分析：因为（1+bi ）i=i+bi2=-b+i=-1+i ，所以，． 2．【 答案】C【 解析】试题分析：y=x2+1是偶函数，值域为：[1，+∞）．y=ex ﹣e ﹣x 是奇函数．y=lg|x|是偶函数，值域为：R ．的值域：[0，+∞）．故选：C 3．【 答案】D【 解析】作出约束条件表示的可行域，如图内部（含边界），作直线，是直线的纵截距，向上平移直线，增大，当直线过点时，为最大值．故选D ．4.【 答案】C1b -=-1b =2x y =ABC ∆:20l x y +=z 2x y z +=l z l (2,0)B 24z x y =+=【 解析】由题知：a=1，i=1，a=2-1=1，i=2，否；a=3，i=3，否；a=6-3=3，i=4，是，则输出的a 为3． 5.【 答案】A.【 解析】四棱锥的底面是边长为3的正方形，侧面是两个直角边长为3，4的直角三角形，两个直角边长为3，5的直角三角形，∴该四棱锥的侧面积是，故选A.6．【 答案】B【 解析】时，直线与直线不平行，所以直线与直线平行的充要条件是，即且，所以“”是直线与直线平行的必要不充分条件．故选B ．7.【 答案】C.【 解析】由抛物线的定义知：，∴，∴，即当，，三点共线时，值最小，故选C.8.【 答案】B.272532124321=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯0=a 012=-+ay x 022=-+y bx 012=-+ay x 022=-+y bx 1222--≠=a b 4=ab )4(1≠≠b a 4=ab 012=-+ay x 022=-+y bx (0,1)F ||1PF y =+||||1||||11312y PQ PF PQ FQ +=-+≥-==-=P Q F【 解析】若：当时，，又∵是定义在上的奇函数，∴，符合题意；若：当时，，又∵是定义在上的奇函数，∴大致的函数图象如下图所示，根据题意可知对于任意恒成立，∴问题等价于将的图象向左平移20个单位后得到的新的函数图象恒在图象上方，根据图象可知，即，综上实数的取值范围是，故选B.9.【 答案】.【 解析】，最小值是，故填：. 10．【 答案】【 解析】∵x >0，y >0，(x +y)min ≥m 2+m +3恒成立，且4x +1y =1， x +y =(x +y)(4x +1y )=5+4y x+x y≥5+2√4y x×xy=9因为(x +y)min ≥m 2+m +3恒成立，∴m 2+m +3≤9 ∴−3≤m ≤2．11.【 答案】【 解析】直线斜率为，所以斜率为1，设直线方程为， 由已知直线过点，所以，即所以直线方程为12.【 答案】0a ≤0x >()||||f x x a a x x =--==()f x R ()f x x =0a >0x >, 0()||2, x x a f x x a a x a x a -<<⎧=--=⎨-≥⎩()f x R ()f x (20)()f x f x +>x R ∈()f x (20)f x +()f x 420a <05a <<a (,5)-∞1-，πππωπ===222T 211-+=-1-，π[]2,3-01=+-y x AB 111-=---+aa aa lb x y +=),1(a a -b a a +-=11=b 01=+-y x 5-【 解析】展开式通项为，令，，所以项的系数为．13.【 答案】【 解析】取特殊值，令，，则，，，则，即 14.【 答案】①④.【 解析】试题分析：对①；因为，所以，由已知，所以，即，正确对②；假设存在在常数，使得，则有，所以应有最大值，错，对③，因为，，所以假设 ，则应有，即原数列应为递增数列，错，对④，不妨设，，则，若存在常数，使得，应有，显然成立，正确，所以正确命题的序号为①④．53521551()(1)rrrr r rr T C C x x --+=-=-5312r -=1r =x 115(1)5C -=-x y z <<14a =12b =121142b x a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭141122a y b ⎛⎫==> ⎪⎝⎭121log log 24b z a ===1411222⎛⎫<< ⎪⎝⎭x y z <<21a a >210a a ->11n n n n a a a a +-->-11210n n n n a a a a a a +-->->⋅⋅⋅>->1n n a a ->c n a c>12n n n a a c a ++<<11n n a a -++p q m n +>+22p q m n++>p q m na a a a +>+22p q m na a ++>11a =1n n a a n+-=(1)12n n n a -=+d 1(1)n a a n d>+-112n a a nd n -<=-15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由，，所以.由正弦定理得，，即……… 6分（Ⅱ）在中，. 由余弦定理得，,所以. 所以. 【答案】（1）；（2）详见解析；（3）2200．【解析】（1）在随机抽取的100名顾客中，年龄在且未使用自由购的共有人，所以随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率为． （2）所有的可能取值为1，2，3，；；． 12cos 13C =02C π<<5sin 13C =sin sin AB BC C A=5sin=13sin CAB BC A =⋅=ABD△3cos cos()cos 42226B C C C π=π--=+=222+2cos AD AB BD AB BD B =-⋅2AD 21691329+242264=-⨯⨯=2AD =17100[)30,5031417+=[)30,5017100P =X ()124236C C 115C P X ===()214236C C 325C P X ===()304236C C 135C P X ===所以的分布列为所以的数学期望为．（3）在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有人， 所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为． 17．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）【解析】试题分析：（Ⅰ）证明AB⊥AC ．EF⊥AC ．推出PA⊥底面ABCD ，即可说明PA⊥EF ， 然后证明EF⊥平面PAC ．（Ⅱ）证明MF∥PA ，然后证明MF∥平面PAB ，EF∥平面PAB ．即可证明平面MEF∥平面PAB ，从而证明ME∥平面PAB ．（Ⅲ）以AB ，AC ，AP 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如上图建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，平面ABCD 的法向量，平面PBC 的法向量，利用直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等，列出方程求解即可试题解析：（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，因为AB=AC ，∠BCD=135°，∠ABC=45°． 所以AB⊥AC ．X X 1232555EX =⨯+⨯+⨯=3121764244+++++=4450002200100⨯=由E ，F 分别为BC ，AD 的中点，得EF∥AB ， 所以EF⊥AC ．因为侧面PAB⊥底面ABCD ，且∠BAP=90°， 所以PA⊥底面ABCD ．又因为EF ⊂底面ABCD ，所以PA⊥EF ．又因为PA∩AC=A ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ， 所以EF⊥平面PAC ．（Ⅱ）证明：因为M 为PD 的中点，F 分别为AD 的中点， 所以MF∥PA ，又因为MF ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ， 所以MF∥平面PAB ．同理，得EF∥平面PAB ． 又因为MF∩EF=F ，MF ⊂平面MEF ，EF ⊂平面MEF ， 所以平面MEF∥平面PAB ．又因为ME ⊂平面MEF ， 所以ME∥平面PAB ．（Ⅲ）解：因为PA⊥底面ABCD ，AB⊥AC ，所以AP ，AB ，AC 两两垂直，故以AB ，AC ，AP分别为x 轴、y 轴和z 轴，如上图建立空间直角坐标系，则A （0，0，0），B （2，0，0），C （0，2，0），P （0，0，2），D （﹣2，2， 0），E （1，1，0），所以，，，(2,0,2)PB =-(2,2,2)PD =--(2,2,0)BC =-设，则，所以M （﹣2λ，2λ，2﹣2λ），， 易得平面ABCD 的法向量=（0，0，1）． 设平面PBC 的法向量为=（x ，y ，z ），由，，得令x=1，得=（1，1，1）．因为直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等，所以，即，所以，解得，或（舍）．18.（本小题满分14分）([0,1])PMPD λλ=∈(2,2,2)PM λλλ=--(12,12,22)ME λλλ=+--m n 0n BC ⋅=0n PB ⋅=220220x y x z -+=⎧⎨-=⎩n cos ,cos ,ME m ME n <>=<>ME mME n ME mME n⋅⋅=⋅⋅22λ-=λ=λ=解：(Ⅰ)当时：，令解得， 又因为当，，函数为减函数； 当，，函数为增函数.所以，的极小值为.（Ⅱ）.当时，由，得或.(ⅰ)若，则.故在上单调递增；（ⅱ）若，则.故当时，； 当时，.所以在，单调递增，在单调递减.(ⅲ)若，则.故当时，； 当时，.所以在，单调递增，在单调递减.（Ⅲ）(1)当时，，令，得.因为当时，，当时，，所以此时在区间上只有一个零点.0m =()(1)e x f x x '=+()0f x '=1x =-(),1x ∈-∞-()0f x '<()f x ()1,x ∈-+∞()0f x '>()f x ()f x 1(1)ef -=-()(1)(e )x f x x m '=+-0m >()0f x '=1x =-ln x m =1em =1()(1)(e )0e xf x x '=+-≥()f x (),-∞+∞1em >ln 1m >-()0f x '>1ln x x m <->或()0f x '<1ln x m -<<()f x (),1-∞-()ln ,m +∞()1,ln m -10em <<ln 1m <-()0f x '>ln 1x m x <>-或()0f x '<ln 1m x <<-()f x (),ln m -∞()1,-+∞()ln ,1m -0m =()e xf x x =()0f x =0x =0x <()0f x <0x >()0f x >()f x (),1-∞(2)当时：（ⅰ）当时，由（Ⅱ）可知在上单调递增，且，，此时在区间上有且只有一个零点. （ⅱ）当时，由（Ⅱ）的单调性结合，又， 只需讨论的符号：当时，，在区间上有且只有一个零点； 当时，，函数在区间上无零点. (ⅲ)当时，由（Ⅱ）的单调性结合，，，此时在区间上有且只有一个零点. 综上所述，. 19.（本小题满分14分）【答案】（1）；（2）详见解析；（3）.【解析】试题分析：（1）根据题意以及椭圆中，，满足的关系式即可求解；（2）联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理和平面向量数量积的坐标表示即可得证；（3）建立的函数关系式，将问题转化为求函数最值.0m >1em =()f x (),-∞+∞1(1)0e f -=-<2(1)e 0ef =->()f x (),1-∞1em >(1)0f -<(ln )(1)0f m f <-<(1)e 2f m =-1ee 2m <<(1)0f >()f x ()1-∞，e2m ≥(1)0f ≤()f x ()1-∞，10em <<(1)0f -<(1)e 20f m =->2(ln )ln 022m mf m m =--<()f x (),1-∞e02m ≤<3a b c OABS ∆试题解析：（1）由题意可知，，∴，∴，∴椭圆的离心率为；（2）若切线的斜率不存在，则，在中令得，不妨设，，则，∴，同理，当时，也有，若切线的斜率存在，设，即，由，得．显然，设，,则，，∴，∴，24a =243b =22283c a b =-=c e a ==C 3l :1l x =±223144x y +=1x =1y =±(1,1)A (1,1)B -110OA OB ⋅=-=OA OB ⊥:1l x =-OA OB ⊥l :l y kx m =+1=221k m +=2234y kx mx y =+⎧⎨+=⎩222(31)6340k x kmx m +++-=0∆>11(,)A x y 22(,)B x y 122631kmx x k +=-+21223431m x x k -=+2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++1212OA OB x x y y ⋅=+221212(1)()k x x km x x m =++++22222346(1)3131m kmk km m k k -=+-+++2222222(1)(34)6(31)31k m k m k m k +--++=+22244431m k k --=+2224(1)44031k k k +--==+∴，综上所述，总有成立；（3）∵直线与圆相切，则圆半径即为的高，当的斜率不存在时，由（2）可知，则，当的斜率存在时，由（2）可知，∴（当且仅当时，等号成立），∴，此时，综上所述，当且仅当时，面积的最大值为．20.（本小题共13分）【答案】（1）；（2）详见解析；（3）详见解析．OA OB⊥OA OB⊥AB OO OAB∆l2AB=1OABS∆=lAB==231k=+231k=+==2242222242424(1)(91)4(9101)44(1)(31)961961k k k k kABk k k k k++++===++++++24222164164164419613396kk k kk=+⋅=+≤+=++++3k=±3AB≤max(S)3OAB∆=3k=±OAB∆3π【解析】试题分析：（1）画出对应的取值的图形，根据图形即可求解；（2）由于曲线具有对称性，只需证明曲线在第一象限的部分与坐标轴所围成的面积递增，再根据式子推导；（3）根据条件中给出的结论利用反证法推导．试题解析：（1）当时，由图可知，；（2）要证是关于递增的，只需证明：，由于曲线具有对称性，只需证明曲线在第一象限的部分与坐标轴所围成的面积递增，现在考虑曲线与，因为（1） 因为，在(1)和(2)中令，，当，存在，使得，成立，此时必有，因为当时，所以，两边同时开次方有，.（指数函数单调性）这就得到了，从而是关于递增的；（3）由于可等价转化为，反证：若曲线上存在一点对应的坐标，，全是有理数，不妨设，，，且互质，互质，则由n nC nC 1,2n =1141122C =⨯⨯⨯=2C π=(*)n S n N ∈n *1()n n S S n N +<∈n C nC nC 1n C +*||||1()n n x y n N +=∈11*||||1()n n x y n N +++=∈0x x =0(0,1)x ∈0(0,1)x ∈1y 2(0,1)y ∈011nn x y +=11011n n x y +++=21y y >0(0,1)x ∈100n n x x +>121n ny y +>n 1221n ny y y +>>21y y >*()n S n N ∈n (2,)n n n x y z n n N +=>∈()()1n n x yz z +=*(2,)n C n n N >∈(,)x y x y q x p =ty s =*,,,p q s t N ∈,p q ,s t可得，，即，这时，，就是的一组解，这与方程，，没有正整数解矛盾， 所以曲线上任一点对应的坐标，不能全是有理数.||||1n n x y +=||||1n n q tp s +=||||||n n nqs pt ps +=qs pt ps (2,)n n n x y z n n N +=>∈(2,)n n nx y z n n N +=>∈0xyz ≠*(2,)n C n n N >∈(,)x y ,x y。
江苏省2019年高考数学压轴卷含解析201905140158
【解析】解：P（3，4）为 C 上的一点， 所以 9 - 16＝1 ，解得 m＝1，
m2 所以 A（﹣1，0）B（1，0），
设△PAB 的外接圆的圆心（0，b），
则 1+b2＝32+（b﹣4）2，解得 b＝3，
则△PAB 的外接圆的标准方程为 x2+（y﹣3）2＝10．
故答案为：x2+（y﹣3）2＝10．
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2019 江苏省高考压轴卷 数学 1．【答案】{1，2，4，5}
【解析】解：A∩B＝{3}，
则∁U（A∩B）＝{1，2，4，5}， 故答案为：{1，2，4，5}，
2．【答案】1．
【解析】解：∵（1﹣i）（a+i）＝（a+1）+（1﹣a）i＝2，
a 1 2 ∴ 1 a 0 ，即 a＝1．
| PA PB | 的最小值是 ．
2
12．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，∠ABC＝ ，∠ABC 的平分线交 AC 3
于点 D，BD＝1，则 a+c 的最小值为 ．
13．如图，点 D 为△ABC 的边 BC 上一点， BD 2DC ，En（n∈N）为 AC 上一列点，且满
的外接圆的标准方程为 ． 9．已知 f（x）是 R 上的偶函数，且当 x≥0 时，f（x）＝|x2﹣3x|，则不等式 f（x﹣2）≤ 2 的解集为 ．
10．若函数 f（x）＝a1nx，（a∈R）与函数 g（x）＝ x ，在公共点处有共同的切线，则 实数 a 的值为 ．
11．设 A，B 在圆 x2+y2＝4 上运动，且 AB ＝2 3 ，点 P 在直线 3x+4y﹣15＝0 上运动．则
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2019全国卷Ⅲ高考压轴卷数学文科附答案解析
2019全国卷Ⅲ高考压轴卷数学文科一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．12i2i+=-+（ ） A ．41i 5-+B ．4i 5-+C ．i -D ．i2．设1i2i 1iz +=+-，则z =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．53．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若44a =，972S =，则10a =（ ） A ．20B ．23C ．24D ．284．若πsin 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，那么πcos 4α⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（ ） AB． CD．5．设x ，y 满足约束条件22010240x y x y x y +-≥-⎧+≥--≤⎪⎨⎪⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A ．1B ．16C ．20D ．226．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图， 则该几何体的体积为（ ）A ．2π3B ．4π3C ．2π D．7．如图，在正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中任取两个点作直线，与直线1A B 异面且夹角成60︒的直线的条数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．已知()13ln2a =，()13ln3b=，2log 0.7c=，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．c b a <<9．过圆2216x y +=上一点P 作圆()222:0O x y m m +=>的两条切线，切点分别为A 、B ，若2π3AOB ∠=，则实数m =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．910．执行如图所示程序框图，输出的S =（ ）A ．25B ．9C ．17D ．2011．已知1F ，2F 分别是椭圆22:14x y C m +=的上下两个焦点，若椭圆上存在四个不同点P ，使得12PF F △则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A．12⎛ ⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C．⎫⎪⎪⎝⎭12．在边长为2的等边ABC △中，D 是BC 的中点，点P 是线段AD 上一动点，则AP CP ⋅的取值范围是（ ）A ．3,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]1,0-D ．[]1,1-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为48，则抽到的最小学号为________． 14．若x ，y 满足01010y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =-的最大值为______．15．设函数()ln ,11,1x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩，若()1f m >，则实数m 的取值范围是______．16．直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若3AB =，4AC =，5BC =，12AA =，则此球的表面积等于______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 02AA +=． （1）求角A 的大小；（2）已知ABC △外接圆半径R =AC =，求ABC △的周长．18．(本小题满分12分）某中学为了丰富学生的课外文体活动，分别开设了阅读、书法、绘画等文化活动；跑步、游泳、健身操等体育活动．该中学共有高一学生300名，要求每位学生必须选择参加其中一项活动，现对高一学生的性别、学习积极性及选择参加的文体活动情况进行统计，得到数据如下：（1）在选择参加体育活动的学生中按性别分层抽取6名，再从这6名学生中抽取2人了解家庭情况，求2人中至少有1名女生的概率；（2）是否有99.9％的把握认为学生的学习积极性与选择参加文化活动有关?请说明你的理由． 附：参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．19．(本小题满分12分）如图，多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是菱形，π3BCD ∠=，四边形BDEF 是正方形，且DE ⊥平面ABCD ．（1）求证：CF ∥平面AED ；（2）若AE ，求多面体ABCDEF 的体积V ．20．(本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>经过点12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且右焦点)2F ．（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线:l y kx =与椭圆E 交于A ，B 两点，当AB 最大时，求直线l 的方程． 21．(本小题满分12分）已知()()2ln ln a x xf x x+=．求()f x 在()1,0处的切线方程；求证：当1a ≥时，()10f x +≥．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．(本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C ：2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），在以平面直角坐标系的原点为极点、x 轴的正半轴为极轴，且与平面直角坐标系xoy 取相同单位长度的极坐标系中，曲线2C ：πsin 16ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（1）求曲线1C 的普通方程以及曲线2C 的平面直角坐标方程；（2）若曲线1C 上恰好存在三个不同的点到曲线2C 的距离相等，求这三个点的极坐标． （2）∵圆心O 到曲线2C：20x +=的距离112d r ===，23．(本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】若0a >，0b >，且(1a b +=． （1）求3311a b +的最小值； （2）是否存在a ，b ，使得1123a b+2019全国卷Ⅲ高考压轴卷数学文科（三）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C 【解析】()()()()12i 2i 12i 5ii 2i 2i 2i 5+--+-===--+-+--，故选C ． 2．【答案】B 【解析】()()()()1i 1i 1i 2ii 1i 1i 1i 2+++===--+，则3i z =，故3z =，故选B ． 3．【答案】D【解析】由于数列是等差数列，故41913493672a a d S a d =+==+=⎧⎨⎩，解得18a =-，4d =，故101983628a a d =+=-+=．故选D ． 4．【答案】D【解析】由题意可得πππππcos sin sin sin 42444αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选D ． 5.【答案】B【解析】由题可知，再画出约束条件所表示的可行域，如图所示，结合图象可知当:20l x y +=平移到过点A 时，目标函数取得最大值，又由10240x y x y -+=--=⎧⎨⎩，解得()5,6A ，此时目标函数的最大值为max 16z =，故选B ．【解析】由三视图可知，该几何体由两个同底的圆锥拼接而成，圆锥的底面半径1r =，高2h =，所以该几何体的体积为()214π2π1233V =⨯⨯⨯⨯=，故选B ．7．【解析】在正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中任取两个点作直线，与直线1A B 异面且夹角成60︒的直线有：1AD ，AC ，11D B ，1B C ，共4条．故选B ． 8．【答案】B【解析】22log 0.7log 10c =<=，()()11330ln21ln3a b <=<<=，故c a b <<，故选B ． 9．【答案】A 【解析】如图所示，取圆2216x y +=上一点()4,0P ，过P 作圆()222:0O x y m m +=>的两条切线PA 、PB ， 当2π3AOB ∠=时，π3AOP ∠=，且OA AP ⊥，4OP =；122OA OP ==，则实数2m OA ==．故选A ．10．【答案】C【解析】按照程序框图依次执行为1S =，0n =，0T =；9S =，2n =，044T =+=；17S =，4n =，41620T S =+=>，退出循环，输出17S =．故选C ．11．【答案】A【解析】由题知2a =，b =c ，设椭圆的右顶点为)A，12AF F △的面积为1212F F∴12PF F △的面积的最大值时为12AF F △，>，13m <<解，∴1c <<12c e a ⎛=∈ ⎝⎭，故选A ．【解析】画出图像如下图所示，以DC ，DA 分别为x ，y轴建立平面直角坐标系，故(A ，()1,0C ，设()()0,P t t ⎡∈⎣，所以(()20,1,AP CP t t t ⋅=⋅-=，根据二次函数的性质可知，对称轴t =， 故当0t =或t 0，当t =时取得最小值为234=-⎝⎭，故A P C P ⋅的取值范围是3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故选B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】6【解析】由系统抽样方法从学号为1到48的48名学生中抽取8名学生进行调查，把48人分成8组， 抽到的最大学号为48，它是第8组的最后一名，则抽到的最小学号为第一组的最后一名6号．故答案为6． 14．【答案】1【解析】由x ，y 满足01010y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，作出可行域如图，联立010y x y =⎧⎨+-=⎩，解得()1,0A ，函数2z x y =-为22x z y =-，由图可知，当直线22x zy =-过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 的最大值为1．故答案为1． 15．【答案】()(),0e,-∞+∞【解析】如图所示：可得()ln ,11,1x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩的图像与1y =的交点分别为()0,1，()e,1，∴()1f m >，则实数m 的取值范围是()(),0e,-∞+∞，可得答案()(),0e,-∞+∞．16．【答案】29π【解析】如图，在ABC △中，3AB =，4AC =，5BC =，由勾股定理可得90BAC ∠=︒，可得ABC △外接圆半径52r =，设此圆圆心为O '，球心为O ，在Rt OBO '△中，可得球半径R =∴此球的表面积为2294π4π29π4R =⨯=．故答案为29π． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分）【答案】（1）π3A =；（2）3+【解析】（1）223sin sin 02A A +=，1cos sin 02A A -∴+，即sin 0A A =，tan A ∴=， 又0πA <<，π3A ∴=．（2）2sin a R A =，2sin π33a R A ∴===，3AC b ==，∴由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，293c =+，∴260c -=，∵0c >，所以得c =3a b c ++=+18．(本小题满分12分） 【答案】（1）35；（2）见解析．【解析】（1）由题意知参加体育活动的学生中，男生人数为60人，女生人数为30人， 按性别分层抽取6名，则男生被抽取的人数为60646030⨯=+，女生被抽取的人数为30626030⨯=+，记4名男生分别为a ，b ，c ，d ，2名女生为A ，B ，则从这6名学生中抽取2人的情况有(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a A ，(),a B ，(),b c ，(),b d ，(),b A ，(),b B ，(),c d ，(),c A ，(),c B ，(),d A ，(),d B ，(),A B ，一共15种情况，2人中至少有1名女生共有9种情况，概率为93155=． （2）列联表为：()()()()()()22230018030603010014.28610.82824060210907n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯， ∴有99.9％的把握认为学生的学习积极性与选择参加文化活动有关．19．(本小题满分12分）【答案】（1）见解析；（2． 【解析】（1）证明：∵ABCD 是菱形，∴BC AD ∥， 又BC ⊄平面ADE ，AD ⊂平面，∴BC ∥平面ADE ．又BDEF 是正方形，∴BF DE ∥．∵BF ⊄平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，∴BF ∥平面ADE ， ∵BC ⊂平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，BCBF B =，∴平面BCF ∥平面AED ，∴CF ∥平面AED ． （2）解：连接AC ，记ACBD O =．∵ABCD 是菱形，AC BD ⊥，且AO BO =．由DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，DE AC ⊥． ∵DE ⊂平面BDEF ，BD ⊂平面BDEF ，DEBD D =，∴AC ⊥平面BDEF 于O ，即AO 为四棱锥A BDEF -的高． 由ABCD 是菱形，60BCD ∠=︒，则ABD △为等边三角形，由AE ，则1AD DE ==，AO =，1BDEF S =，13BDEF BDEF V S AO =⋅=2BDEF V V ==． 20．(本小题满分12分）【答案】（1）2214x y +=；（2）y =+【解析】（1）设椭圆E 的左焦点()1F ，则12242a PF PF a =+=⇒=，又2221c b a c ⇒=-=，所以椭圆E 的方程为2214x y +=．（2）由()2222144044y kx k x x y ⎧⎪⎨⎪=⇒+++=+=⎩，设()11,A x y ，()22,B x y ，由()2221128161404Δk k k =-+>⇒>，且12214x x k +=-+，122414x x k =+，AB =设2114t k =+，则10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，AB ==，当112t =，即k =AB :l y x =21．(本小题满分12分）【答案】（1）10x y --=；（2）见解析．【解析】（1）()()()222ln 1ln ln 'a x a x x f x x ⎡⎤+-+⎣⎦=，故()11f '=，故切线方程是10x y --=．（2）令()ln 1g x x x =--，()11g x x'=-， 令()0g x '>，解得1x >，令()0g x '<，解得01x <<，故()g x 在()0,1递减，在()1,+∞，故()()min 10g x g ==，故ln 1x x ≥+，∵1a ≥，∴()()()()()2222ln ln ln ln ln ln ln 1ln 110a x x xx x x x x x x f x x x x x +++++++++=≥≥≥≥，故1a ≥时，()10f x +≥．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．(本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】【答案】（1）224x y +=，20x +=；（2）2π2,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，π2,6B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，7π2,6C ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【解析】（1）由2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩消去参数α得224x y +=，即曲线1C 的普通方程为224x y +=， 又由πsin 16ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得ππsin cos cos sin 166ρθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即为20x -+=，即曲线2C的平面直角坐标方程为20x +=．（2）∵圆心O 到曲线2C：20x +=的距离112d r ===， 如图所示，∴直线40x +=与圆的切点A 以及直线0x-=与圆的两个交点B ，C 即为所求．∵OA BC ⊥，则OA k =OA l 的倾斜角为2π3， 即A 点的极角为2π3，∴B 点的极角为2πππ326-=，C 点的极角为2ππ7π326+=， ∴三个点的极坐标为2π2,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，π2,6B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，7π2,6C ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 23．(本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】【答案】（1）（2）不存在a ，b ，使得1123a b +．【解析】（1）()1a b +=，()a b∴+，0a >，0b >，()a b ∴+≥a b =时取等号，≥12ab ∴≤．3311a b ∴+≥=≥3311a b ∴+≥a b =时取等号．（2）0a >，0b >，1123a b ∴+≥≥，62<，∴不存在a ，b ，使得1123a b +。
江苏省2019年高考数学压轴卷含解析201905140158
江苏省2019年高考数学压轴卷（含解析）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求 1．本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、解析题（第15题～第20题）．本卷满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效．4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 参考公式：球体的体积公式：V ＝334R π，其中为球体的半径．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．全集12{}345U ＝，，，，，集合134{}}35{A B ＝，，，＝，，则U A B ⋂（）ð═ ． 2．已知i 是虚数单位，若12i a i a R +∈（﹣)(）＝，，则a ＝ ． 3．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》一哀分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出500人服役，则北乡比南乡多抽 人．4．如图是一个算法的流程图，则输出y 的取值范围是 ．5．已知函数22353log (1)3x x f x x x -⎧-<⎨-+≥⎩（）＝，若f （m ）＝﹣6，则f （m ﹣61）＝ ．6．已知f （x ）＝sin （x ﹣1），若p ∈{1，3，5，7}，则f （p ）≤0的概率为 ． 7．已知函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜2π）的部分图象如图所示，则f （76π）的值为 ．8．已知A ，B 分别是双曲线2212x y C m ：-＝的左、右顶点，P （3，4）为C 上一点，则△PAB 的外接圆的标准方程为 ．9．已知f （x ）是R 上的偶函数，且当x ≥0时，f （x ）＝|x 2﹣3x |，则不等式f （x ﹣2）≤2的解集为 ．10．若函数f （x ）＝a 1nx ，（a ∈R ）与函数g （x ）＝x ，在公共点处有共同的切线，则实数a 的值为 ．11．设A ，B 在圆x 2+y 2＝4上运动，且23AB ＝，点P 在直线3x +4y ﹣15＝0上运动．则|PA PB |+u u u r u u u r的最小值是 ．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝23π，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，BD ＝1，则a +c 的最小值为 ．13．如图，点D 为△ABC 的边BC 上一点，2BD DC =u u u r u u u r，E n （n ∈N ）为AC 上一列点，且满足：11414n n n n n E A E D E a B a +=+u u u u r u u u u ru u u u r （﹣）﹣5，其中实数列{a n }满足4a n ﹣1≠0，且a 1＝2，则111a -+211a -+311a -+…+11n a -＝ ．14．已知函数2910(1)e ,023xx x f x x x ⎧++<⎪⎨⎪-≥⎩（）＝+6,x 0，其中e 是自然对数的底数．若集合{x ∈Z|x（f （x ）﹣m ）≥0}中有且仅有4个元素，则整数m 的个数为 ．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解析应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15．(本小题满分14分) 如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知点M 为棱BC 上异于B ，C 的一点．（1）若M 为BC 中点，求证：A 1C ∥平面AB 1M ； （2）若平面AB 1M ⊥平面BB 1C 1C ，求证：AM ⊥BC ．16.（本小题满分14分）已知12(,),(0,cos(),.2273πππαπβαβαβ∈∈-=+=), （1）求22sin αβ（﹣）的值； （2）求cos α的值．17．(本小题满分14分) 学校拟在一块三角形边角地上建外籍教室和留学生公寓楼，如图，已知△ABC 中，∠C ＝2π，∠CBA ＝θ，BC ＝a ．在它的内接正方形DEFG 中建房，其余部分绿化，假设△ABC 的面积为S ，正方形DEFG 的面积为T ． （1）用a ，θ表示S 和T ； （2）设f （θ）＝TS，试求f （θ）的最大值P ；18.(本小题满分16分) 已知椭圆22221x y C a b：+＝0a b （＞＞）的离心率为22，短轴长为22（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）如图，经过椭圆左项点A 且斜率为k （k ≠0）直线l 与C 交于A ，B 两点，交y 轴于点E ，点P 为线段AB 的中点，若点E 关于x 轴的对称点为H ，过点E 作与OP （O 为坐标原点）垂直的直线交直线AH 于点M ，且△APM 面积为23，求k 的值．19．(本小题满分16分) 已知函数()212ln 2f x x x ax a R =+-∈，． （1）当3a =时，求函数()f x 的极值；（2）设函数()f x 在0x x =处的切线方程为()y g x =，若函数()()y f x g x =-是()0+∞，上的单调增函数，求0x 的值；（3）是否存在一条直线与函数()y f x =的图象相切于两个不同的点？并说明理由． 20．(本小题满分16分) 已知集合A ＝a 1，a 2，a 3，…，a n ，其中a i ∈R （1≤i ≤n ，n ＞2），l （A ）表示和a i +a j （1≤i ＜j ≤n ）中所有不同值的个数．（Ⅰ）设集合P ＝2，4，6，8，Q ＝2，4，8，16，分别求l （P ）和l （Q ）； （Ⅱ）若集合A ＝2，4，8， (2)，求证：(1)()2n n l A -=； （Ⅲ）l A （）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？ 数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．请在答题卡．．．指定区域内．．．．．作答．解析应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲如图，已知AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点B作BD CD⊥于点D. 求证：2BC BA BD=⋅．B．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵=a bMc d⎡⎤⎢⎥⎣⎦，10=12N⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且()11402MN-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，求矩阵M．C．选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为2{2x ty t==--（t为参数）．在极坐标系中（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，极轴与x轴的非负半轴重合），圆C的方程为42cos4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，求直线l被圆C截得的弦长．D．选修4—5：不等式选讲已知正实数x y z、、，满足3x y z xyz++=，求xy yz xz++的最小值．注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共2页，均为非选择题（第21~23题）。
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2019年高考数学压轴大题复习题库及答案1、（本小题满分14分）已知函数．（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（2）当时，试比较与的大小；（3）求证：（）．2、设函数，其中为常数．（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；（Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；（Ⅲ）当且时，求证：．3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若∙，（i ）求证：直线过定点；（ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题（每空？ 分，共？ 分）4、设函数的图象在点处的切线的斜率为，且函数为偶函数．若函数满足下列条件：①；②对一切实数，不等式恒成立．（Ⅰ）求函数的表达式；（Ⅱ）求证：．5、已知函数：（1）讨论函数的单调性；（2）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，函数在区间上总存在极值？(3)求证：．6、已知函数=，.(Ⅰ)求函数在区间上的值域；（Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的，使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对于函数图象上的点（其中总能使得成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具备性质“”，并说明理由.7、已知函数（Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值；（Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围；（Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．8、已知函数：⑴讨论函数的单调性；⑵若函数的图象在点处的切线的倾斜角为45o，对于任意的，函数在区间上总不是单调函数，求m 的取值范围；⑶求证：．9、已知正方形的中心在原点，四个顶点都在函数图象上．（1）若正方形的一个顶点为，求，的值，并求出此时函数的单调增区间；（2）若正方形唯一确定，试求出的值．10、已知函数，曲线在点处的切线方程为．（I）求a，b的值；（II）如果当x>0，且时，，求k的取值范围．11、设函数f(x)=x2+b ln(x+1),其中b≠0.(Ⅰ)当b>时，判断函数f(x)在定义域上的单调性；（Ⅱ）求函数f(x)的极值点；（Ⅲ）证明对任意的正整数n,不等式ln)都成立.12、如图7，椭圆的离心率为，x轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长。
（Ⅰ）求，的方程；（Ⅱ）设与y轴的焦点为M，过坐标原点O的直线与相交于点A,B,直线MA,MB分别与相交与D,E.(i)证明：MD⊥ME;(ii)记△MAB,△MDE的面积分别是,.问：是否存在直线l,使得=?请说明理由。
13、已知点是直角坐标平面内的动点，点到直线的距离为，到点的距离为，且．(1)求动点P所在曲线C的方程；(2)直线过点F且与曲线C交于不同两点A、B(点A或B不在x轴上)，分别过A、B点作直线的垂线，对应的垂足分别为，试判断点F与以线段为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况)；(3)记，，(A、B、是(2)中的点)，问是否存在实数，使成立．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．进一步思考问题：若上述问题中直线、点、曲线C：，则使等式成立的的值仍保持不变．请给出你的判断 (填写“不正确”或“正确”)(限于时间，这里不需要举反例，或证明)．14、如图，在轴上方有一段曲线弧，其端点、在轴上（但不属于），对上任一点及点，，满足：．直线，分别交直线于，两点．（1）求曲线弧的方程；（2）求的最小值（用表示）；（3）曲线上是否存点，使为正三角形？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．15、设、是函数的两个极值点．(1)若，求函数的解析式；(2)若，求的最大值．(3)若，且，，求证：．16、已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）设，若对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围．17、已知函数（1）若曲线处的切线平行，求a的值；（2）求的单调区间；（3）设是否存在实数a，对均成立；若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。
18、已知函数图象的对称中心为，且的极小值为.（1）求的解析式；（2）设，若有三个零点，求实数的取值范围；（3）是否存在实数，当时，使函数在定义域[a,b] 上的值域恰为[a,b]，若存在，求出k的范围；若不存在，说明理由.19、已知函数．（1）若方程在区间内有两个不相等的实根，求实数的取值范围；（2）如果函数的图像与x轴交于两点，且，求证：（其中，是的导函数，正常数满足）．20、已知函数f(x)＝a x＋x2－x ln a(a＞0，a≠1)．（1）当a＞1时，求证：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；（2）若函数y＝|f(x)－t|－1有三个零点，求t的值；（3）若存在x1，x2∈[－1，1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1，试求a 的取值范围．21、已知函数处取得极小值，其图象过点A （0，1），且在点A处切线的斜率为—1。
(Ⅰ)求的解析式；（Ⅱ）设函数上的值域也是，则称区间为函数的“保值区间”。
证明：当不存在“保值区间”；22、已知函数（1）求证函数上的单调递增；（2）函数有三个零点，求t的值；（3）对恒成立，求a的取值范围。
23、已知函数，其中（Ⅰ）若函数上有极值，求的取值范围；（Ⅱ）若函数有最大值（其中为无理数，约为2．71828）,求的值；（Ⅲ）若函数有极大值,求的值。
24、已知函数。
（1）若函数在区间上存在极值，其中，求实数的取值范围；（2）如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）求证：25、已知函数,，其中R．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；（Ⅲ）设函数,当时，若，，总有成立，求实数的取值范围．26、已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）设m>0，求在[m，2m]上的最大值；（3）试证明：对任意N+，不等式＜恒成立．27、已知函数（1）求函数的单调区间；（2）设，求证：；（3）设，求证：. 28、已知二次函数对都满足且，设函数（，）．（Ⅰ）求的表达式；（Ⅱ）若，使成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）设，，求证：对于，恒有.29、已知函数不等式求实数的取值范围；（3）若函数30、已知函数（Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值；（Ⅱ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标为，直线的斜率为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．31、已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线斜率为3．⑴求实数的值；⑵若，且对任意恒成立，求的最大值；⑶当时，证明．32、已知函数在点的切线方程为.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）设，求证：在上恒成立；（Ⅲ）已知，求证：.33、已知（1）若，函数在其定义域内是增函数，求的取值范围；（2）当时，证明：函数只有一个零点；（3）若的图象与轴交于两点，AB中点为，求证：参考答案一、综合题1、解：（1）当时，，定义域是，，令，得或．…2分当或时，，当时，，函数在、上单调递增，在上单调递减．……………4分的极大值是，极小值是．当时，；当时，，当仅有一个零点时，的取值范围是或．……………5分（2）当时，，定义域为．令，，在上是增函数． (7)分①当时，，即；②当时，，即；③当时，，即．…………………………………9分（3）（法一）根据（2）的结论，当时，，即．令，则有，．……………12分．……………………………………14分(法二)当时，．，，即时命题成立．………………………………10分设当时，命题成立，即．时，．根据（2）的结论，当时，，即．令，则有，则有，即时命题也成立．……………13分因此，由数学归纳法可知不等式成立．………………………………14分（法三）如图，根据定积分的定义，得．……11分，．………………………………12分，又，，．．…………………………………14分【说明】本题主要考查函数导数运算法则、利用导数求函数的极值、证明不等式等基础知识，考查分类讨论思想和数形结合思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识．2、解：（1）由题意知，的定义域为，当时，，函数在定义域上单调递增．（2）①由（Ⅰ）得，当时，函数无极值点．②时，有两个相同的解，时，时，函数在上无极值点．③当时，有两个不同解，时，，,此时，随在定义域上的变化情况如下表：由此表可知：时，有惟一极小值点，ii) 当时，0<<1此时，，随的变化情况如下表：由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点；综上所述：当且仅当时有极值点;当时，有惟一最小值点；当时，有一个极大值点和一个极小值点（3）由(2)可知当时，函数，此时有惟一极小值点且令函数3、【解析】（Ⅰ）由题意:设直线,由消y得:,设A、B,AB 的中点E,则由韦达定理得: =,即,,所以中点E的坐标为E,因为O、E、D三点在同一直线上，所以，即，解得，所以=,当且仅当时取等号,即的最小值为2.（Ⅱ）（i）证明:由题意知:n>0,因为直线OD的方程为,所以由得交点G的纵坐标为,又因为,,且∙，所以,又由（Ⅰ）知: ,所以解得,所以直线的方程为,即有,令得,y=0,与实数k无关,所以直线过定点(-1,0). （ii）假设点，关于轴对称,则有的外接圆的圆心在x轴上,又在线段AB的中垂线上,由（i）知点G(,所以点B(,又因为直线过定点(-1,0),所以直线的斜率为，又因为，所以解得或6，又因为,所以舍去,即，此时k=1，m=1，E，AB的中垂线为2x+2y+1=0，圆心坐标为，G(,圆半径为，圆的方程为.综上所述, 点，关于轴对称,此时的外接圆的方程为.二、计算题4、（Ⅰ）解：由已知得：．……………1分由为偶函数，得为偶函数，显然有．…………2分又，所以，即．…………3分又因为对一切实数恒成立，即对一切实数，不等式恒成立．…………4分显然，当时，不符合题意．…………5分当时，应满足注意到，解得．…………7分所以．……………8分（Ⅱ）证明：因为，所以．………9分要证不等式成立,即证．…………10分因为,…………12分所以．所以成立．……………14分5、解：（1）(1分),当时，的单调增区间为，减区间为；…………2分当时，的单调增区间为，减区间为；…………3分当时，不是单调函数…………4分（2）因为函数的图像在点处的切线的倾斜角为，所以，所以，，……………..…6分， (7)分要使函数在区间上总存在极值，所以只需，………………ks5u……..……9分解得………………………………………………………10分⑶令此时，所以，由⑴知在上单调递增，∴当时，即，∴对一切成立，………12分∵，则有，∴…………14分6、解：(Ⅰ)在区间上单调递增，在区间上单调递减,且的值域为 (3)分（Ⅱ）令，则由(Ⅰ)可得，原问题等价于：对任意的在上总有两个不同的实根，故在不可能是单调函数…………………5分当时, ,.s 在区间上递减，不合题意当时, ,在区间上单调递增，不合题意当时, ,在区间上单调递减，不合题意当即时, 在区间上单调递减; 在区间上单递增，由上可得，此时必有的最小值小于等于0 而由可得，则综上，满足条件的不存在。