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中考二轮复习专题13：特殊四边形探究同步测试(含答案)

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(常考题)北师大版初中数学九年级数学上册第一单元《特殊平行四边形》检测卷(答案解析)(1)

(常考题)北师大版初中数学九年级数学上册第一单元《特殊平行四边形》检测卷(答案解析)(1)

一、选择题1．如图，矩形ABCD 被两条对角线分成4个小三角形OAB ∆、OAD ∆、OBC ∆和OCD ∆，若这4个小三角形的周长之和为68，对角线10AC =，则矩形ABCD 的周长是（ ）A ．14B ．18C ．21D ．28 2．如图，顺次连接四边形ABCD 各边的中点得到四边形EFGH ，要使四边形EFGH 为菱形，应添加的条件是( )A ．AB ∥DCB ．AB ＝DC C ．AC ⊥BDD ．AC ＝BD 3．如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD 的顶点A 折叠至DC 边上的点E ，使DE=5，折痕为PQ ，则PQ 的长为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．154．如图，在矩形ABCD 中，23,4AB BC ==，E 为BC 的中点，连接,,,AE DE P Q 分别是,AE DE 上的点，且PE DQ =．设EPQ ∆的面积为y ，PE 的长为x ，则y 关于x 的函数关系式的图象大致是 （ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，在菱形ABCD 中，已知3AD =，1DF =，60DAB ∠=︒，15EFG ∠=︒，FG BC ⊥，求AE 的长是（ ）A ．12+B ．6C ．231-D ．13+ 6．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）A ．两组对边分别平行B ．对角线相等C ．对角线互相垂直D ．两组对角分别相等 7．如图，四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠C ＝90°，AB ＝AD ，AE ⊥BC ，垂足是E ，若线段AE ＝4，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．12B ．16C ．20D ．248．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，连接DE ，DF ，当△ABC 满足下列哪个条件时，四边形AEDF 为菱形（ ）A ．AB ＝AC B ．∠B ＝∠A C ．BD ＝DF D ．DE ⊥DF9．如图，在ABC 中，D 是BC 边上的中点，连结AD ，把ACD △沿AD 翻折，得到ADC '，DC '与AB 交于点E ，连结BC '，若2BD BC ='=，3AD =，则点D 到AC '的距离为（ ）A ．332B ．3217C ．7D ．1310．下列四个命题中真命题是（ ）A ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形B ．对角线垂直且相等的四边形是菱形C ．对角线相等且互相平分的四边形是矩形D ．四边都相等的四边形是正方形 11．如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，BC ＝10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为（ ）A ．2B ．2.4C ．2.6D ．312．如图，AC ，BD 是四边形ABCD 对角线，点E ，F 分别是AD ，BC 的中点，点M ，N 分别是AC ，BD 的中点，连接EM ，MF ，NE ，要使四边形EMFN 为正方形，则需要添加的条件是（ ）A ．,AB CD AB CD =⊥B ．,AB CD AD BC == C ．,AB CD AC BD =⊥ D ．,//AB CD AD BC =二、填空题13．如图，将矩形ABCD 沿DE 折叠，使A 点落在BC 上的F 处，若∠EFB ＝60°，则∠CFD ＝_____．14．如图，已知正方形OPQR 的顶点O 是正方形ABCD 对角线AC 与BD 的交点，正方形OPQR 绕点O 逆时针旋转一定角度后，△OPR 能与△OBC 重合，已知∠BOR=55°，那么旋转角等于________．15．如图，四边形ABCD 是一张长方形纸片，将该纸片对折，使顶点B 与顶点D 重合，EF 为折痕，若6AB =、8BC =，则图中阴影部分的面积为______.16．如图，矩形ABCD 中AC 交BD 于点O ，120AOB ∠=，3AD =，则BD 的长为__________．17．请你写出一个原命题与它的逆命题都是真命题的命题____________________ ． 18．如图，长方形ABCD 中，AD ＝8，AB ＝4，BQ ＝5，点P 在AD 边上运动，当BPQ 为等腰三角形时，AP 的长为_____．19．如图，CD 是ABC 的边AB 上的中线，将线段AD 绕点D 顺时针旋转90︒后，点A 的对应点E 恰好落在AC 边上，若2AD =，5BC =AC 的长为_________．∆沿着AF翻折，使得翻折后的20．如图，长方形ABCD中，F是BC上一点，将ABFFC=，则线段BF恰好经过AD边的中点E，翻折后的点B记作点G．若EF DF=，1BF的长度为______．三、解答题21．如图，在△ABC中，AB=AC，AD为∠BAC的平分线，AN为△ABC的外角∠BAM的平分线，BE⊥AN，垂足为点E．（1）求证：四边形ADBE是矩形．（2）连接DE，试判断四边形ACDE的形状，并证明你的结论．22．如图，矩形ABCD中，EF垂直平分对角线BD，垂足为O，点E和F分别在边AD，BC 上，连接BE，DF．（1）求证：四边形BFDE是菱形；（2）若AE＝OF，求∠BDC的度数．23．有两棵树，一棵高9米，另一棵高4米，两树相距12米. 一只小鸟从一棵树的树梢（最高点）飞到另一棵树的树梢（最高点），问小鸟至少飞行多少米？24．如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x 轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10，OC=8，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处．（1）求点E的坐标；（2）求点D的坐标．25．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）当AC=6时，求出四边形OCED的周长.26．综合与实践问题情境：如图1，已知点O是正方形ABCD的两条对角线的交点，以点O为直角顶点的直角三角形OEF的两边OE，OF分别过点B，C，且OF OC=，30BC=．E∠=︒，2（1）OC的长度为________；操作证明：∆按如图放置，若OE，OF分别与AB，BC （2）如图2，在（1）的条件下，将OEF相交于点M，N．请判断OM和ON有怎样的数量关系，并证明结论；探究发现：∆按如图放置，若点B恰好在EF上，求证：（3）如图3，在（1）的条件下，将OEFEM EB=．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】四个小三角形的周长是两条对角线长的2倍与矩形周长的和，由此可求矩形周长．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，四个小三角形的周长=2AC+2BD+AD+DC+BC+BA，即40+矩形周长=68，所以矩形周长为28．故选：D.【点睛】本题考查了矩形的性质和矩形的周长，抓住矩形的对角线相等和四个小三角形的周长=4倍的对角线长+矩形的周长是解决本题的关键．2．D解析：D【分析】连AC，BD，根据三角形中位线的性质得到EF∥AC，EF=12AC；HG∥AC，HG=12AC，即有四边形EFGH为平行四边形，当AB∥DC和AB=DC，只能判断四边形EFGH为平行四边形；当AC⊥BD，只能判断四边形EFGH为矩形；当AC=BD，可判断四边形EFGH为菱形．【详解】解：连AC，BD，如图，∵E、F、G、H为四边形ABCD各中点，∴EF∥AC，EF=12AC；HG∥AC，HG=12AC，∴四边形EFGH为平行四边形，要使四边形EFGH为菱形，则EF=EH，而EH=12 AC，∴AC=BD．当AB∥DC和AB=DC，只能判断四边形EFGH为平行四边形，故A、B选项错误；当AC⊥BD，只能判断四边形EFGH为矩形，故C选项错误；当AC=BD，可判断四边形EFGH为菱形，故D选项正确．故选D．【点睛】本题考查了菱形的判定定理：邻边相等的平行四边形是菱形．也考查了平行四边形的判定以及三角形中位线的性质．3．B解析：B【解析】过点P 作PM ⊥BC 于点M ，由折叠得到PQ ⊥AE ，∴∠DAE+∠APQ=90°，又∠DAE+∠AED=90°，∴∠AED=∠APQ ，∵AD ∥BC ，∴∠APQ=∠PQM ，则∠PQM=∠APQ=∠AED ，∠D=∠PMQ ，PM=AD∴△PQM ≌△ADE∴2251213+=.【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等． 4．C解析：C【分析】过点P 作PH ED ⊥于点H ，用勾股定理求出AE=DE=4，可得ADE ∆为等边三角形，用x 表示出PE 和EQ 的长，在Rt PEH 中利用三角函数用含x 的式子表示出PH 的长，再利用12S EQ PH =⋅△PEQ 可列出y 与x 的函数关系，在结合二次函数性质即可解答． 【详解】∵4BC =，E 为BC 的中点，∴2BE =．在Rt ABE ∆中，3,2AB BE ==，则4AE =，同理可得4ED AE AD ===，故ADE ∆为等边三角形，则60AED ︒∠=，∵PE QD x ==，∴4QE x =-，如图，在PQE ∆中，过点P 作PH ED ⊥于点H ．3·sin ?sin 60PH PE AED xx =∠=︒=， ∴()21133432224y PH EQ x x x x ==⨯⨯-=-+ 因此该函数的图象为开口向下的抛物线，当32232b x a =-=-=-⨯时，y 有最大值3．故选C ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数解直角三角形，二次函数的性质，解题关键是用含x 的式子表示出PQE ∆的底和高，列出y 与x 的函数关系． 5．D解析：D【分析】首先作FH ⊥AB ，垂足为H ，由四边形ABCD 是菱形，可得AD ＝AB ＝3，即可求得AF 的长，又由∠DAB ＝60°，即可求得AH 与FH 的长，然后由∠EFG ＝15°，证得△FHE 是等腰直角三角形，继而求得答案．【详解】解：如图，作FH ⊥AB ，垂足为H ．∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝AB ＝3，∵DF ＝1，∴AF ＝AD−FD ＝2，∵∠DAB ＝60°，∴∠AFH ＝30°，∴AH ＝1，FH 3∵FG BC ⊥，∴FG AD ⊥，又∵∠EFG ＝15°，∴∠EFH ＝∠AFG−∠AFH−∠EFG ＝90°−30°−15°＝45°，∴△FHE 是等腰直角三角形，∴HE ＝FH ＝3，∴AE ＝AH ＋HE ＝1＋3，故选：D ．【点睛】此题考查了菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质．难度适中，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．6．B解析：B【分析】矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相平分，互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角，据此解答．【详解】A 、是菱形的性质，是矩形的性质，故本选项不符合题意；B 、是矩形的性质，不是菱形的性质，故本选项符合题意；C 、是菱形的性质，不是矩形的性质，故本选项不符合题意；D 、矩形、菱形的对角都相等，故本选项不符合题意；故选：B ．【点睛】此题考查矩形的性质，菱形的性质，熟记各自的性质特征是解题的关键．7．B解析：B【分析】延长CD ，作AF CD ⊥的延长线于点F ，构造出全等三角形，()ABE ADF AAS ≅，即可得到四边形ABCD 的面积就等于正方形AECF 的面积．【详解】解：如图，延长CD ，作AF CD ⊥的延长线于点F ，∵AE BC ⊥，∴90AEC AEB ∠=∠=︒，∵AF CD ⊥，∴90AFC ∠=︒，∵90C ∠=︒，∴四边形AECF 是矩形，∴90EAF ∠=︒，∵BAD EAF ∠=∠，∴BAD EAD EAF EAD ∠-∠=∠-∠，即BAE DAF ∠=∠，在ABE △和ADF 中，BAE DAF AEB AFD AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABE ADF AAS ≅，∴AE AF =，∴四边形AECF 是正方形，∵ABE ADF S S ，∴216ABCD AECF S S AE ===．故选：B ．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，正方形的性质和判定，解题的关键是作辅助线构造全等三角形．8．A解析：A【分析】可根据三角形的中位线定理、等腰三角形的性质、菱形的判定，分析得出当△ABC 满足条件AB ＝AC 或∠B ＝∠C 时，四边形AEDF 是菱形．【详解】解：要使四边形AEDF 是菱形，则应有DE ＝DF ＝AE ＝AF ，∵E ，F 分别为AC ，BC 的中点∴AE ＝BE ，AF ＝FC ，应有DE ＝BE ，DF ＝CF ，则应有△BDE ≌△CDF ，应有BD ＝CD ，∴当点D 应是BC 的中点，而AD ⊥BC ，∴△ABC 应是等腰三角形，∴应添加条件：AB ＝AC 或∠B ＝∠C ．则当△ABC 满足条件AB ＝AC 或∠B ＝∠C 时，四边形AEDF 是菱形．故选：A ．【点睛】解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展，从而寻找出添加的条件和所得的结论．9．B解析：B【分析】过点D 作DF ⊥BC'，垂足为F ，过点A 作AG ⊥BC'，交BC'的延长线于G ，则四边形ADFG 是矩形，计算AC '的长，后利用三角形ADC 'M 面积 的不同计算方法计算即可.【详解】如图，过点D 作DF ⊥BC'，垂足为F ，过点A 作AG ⊥BC'，交BC'的延长线于G ，∵把ACD △沿AD 翻折，得到ADC '，∴DC=DC '，∠ADC=∠A DC '，∵D 是BC 边上的中点，∴DC=BD ，∵2BD BC ='=，∴DC '=2BD BC ='=，∴BDC '是等边三角形，∴∠ADC=∠A DC '=∠B DC '=∠DC 'B=60°，∴BG ∥AD ，∵DF ⊥BC'，AG ⊥BC'，∴四边形ADFG 是矩形，∴BF=FC'=1，FG=AD=3， 222221BD BF -=-3，∴3GC '=2，∴AC '22222(3)AG GC '+=+7，设点D 到AC '的距离为h ， ∴1122AC h AD DF '=，∴1173322h ⨯⨯=⨯⨯， ∴h=3217， 故选B.【点睛】 本题考查了三角形的折叠问题，等边三角形的判定和性质，平行线的判定，矩形的判定，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握折叠的性质，矩形的判定，三角形面积不同表示方法是解题的关键.10．C解析：C【分析】根据正方形、菱形、矩形的判定分别判断得出即可．【详解】A 、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故原命题是假命题；B 、对角线垂直平分的四边形是菱形，故原命题是假命题；C 、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故原命题是真命题；D 、四边都相等的四边形是菱形，故原命题是假命题；故选：C ．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解正方形的判定定理、矩形的判定定理、菱形的判定定理．11．B解析：B【分析】先求证四边形AFPE 是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用面积法可求得AP 最短时的长，然后即可求出AM 最短时的长．【详解】解：连接AP ，在△ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，∴∠BAC=90°，∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，∴四边形AFPE 是矩形，∴EF=AP ．∵M 是EF 的中点，∴AM=12AP ， 根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即AP ⊥BC 时，AP 最短，同样AM 也最短，∴S △ABC=12BC•AP ＝12AB•AC ， ∴12×10AP ＝12×6×8， ∴AP 最短时，AP=245， ∴当AM 最短时，AM=12AP=125=2.4． 故选：B ．【点睛】此题主要考查学生对勾股定理逆定理的应用、矩形的判定和性质、垂线段最短和直角三角形斜边上的中线的理解和掌握，此题涉及到动点问题，有一定难度．12．A解析：A【分析】证出EN 、NF 、FM 、ME 分别是ABD △、BCD 、ABC 、ACD △的中位线，得出////EN AB FM ，////ME CD NF ，12EN AB FM ==，12ME CD NF ==，证出四边形EMFN 为平行四边形，当AB CD =时，EN FM ME NF ===，得出平行四边形EMFN 是菱形；当AB CD ⊥时，EN ME ⊥，则90MEN ∠=︒，即可得出菱形EMFN 是正方形．【详解】 解：点E ，F 分别是AD ，BC 的中点，点M ，N 分别是AC ，BD 的中点，EN ∴、NF 、FM 、ME 分别是ABD △、BCD 、ABC 、ACD △的中位线， ∴////EN AB FM ，////ME CD NF ，12EN AB FM ==，12ME CD NF ==， ∴四边形EMFN 为平行四边形，当AB CD =时，EN FM ME NF ===，∴平行四边形EMFN 是菱形；当AB CD ⊥时，EN ME ⊥，则90MEN ∠=︒，∴菱形EMFN 是正方形；故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定以及三角形中位线定理；熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．二、填空题13．【分析】根据轴对称和矩形性质得；结合∠EFB ＝60°经计算即可得到答案【详解】∵矩形ABCD 沿DE 折叠使A 点落在BC 上的F 处∴∵∠EFB ＝60°∴故答案为：【点睛】本题考查了轴对称矩形的性质；解题的解析：30【分析】根据轴对称和矩形性质，得90EFD A ∠=∠=；结合∠EFB ＝60°，经计算即可得到答案．【详解】∵矩形ABCD 沿DE 折叠，使A 点落在BC 上的F 处∴90EFD A ∠=∠=∵∠EFB ＝60°∴180180609030CFD EFB EFD ∠=-∠-∠=--=故答案为：30．【点睛】本题考查了轴对称、矩形的性质；解题的关键是熟练掌握轴对称、矩形的性质，从而完成求解．14．35°【分析】利用正方形的性质得BA=BC ∠ABC=90°然后根据旋转的定义可判断旋转角为35°【详解】解：∵四边形ABCD 为正方形∴∠BOC=90°∵四边形OPQR 是正方形∴∠POR=90°∴∠P解析：35°【分析】利用正方形的性质得BA=BC ，∠ABC=90°，然后根据旋转的定义可判断旋转角为35°．【详解】解：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠BOC=90°，∵四边形OPQR 是正方形，∴∠POR=90°，∴∠POB=90°-∠BOR=35°，∵△OPR 逆时针旋转后能与△OBC 重合，∴旋转角∠POB=35°；故答案为：35°．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．15．【分析】先根据矩形的性质可得设从而可得再根据折叠的性质然后在中利用勾股定理可求出DE 的长最后利用三角形的面积公式即可得【详解】四边形ABCD 是长方形且点F 到AD 的距离等于AB 的长的边DE 上的高为6设解析：754【分析】先根据矩形的性质可得8,90AD BC A ==∠=︒，设DE x =，从而可得8AE x =-，再根据折叠的性质8,6,90A E AE x A D AB A A '''==-==∠=∠=︒，然后在Rt A DE '中，利用勾股定理可求出DE 的长，最后利用三角形的面积公式即可得．【详解】四边形ABCD 是长方形，6AB =，8BC =，8,90AD BC A ∴==∠=︒，且点F 到AD 的距离等于AB 的长，DEF ∴的边DE 上的高为6，设DE x =，则8AE AD DE x =-=-，由折叠的性质得：8,6,90A E AE x A D AB A A '''==-==∠=∠=︒，在Rt A DE '中，222A E A D DE ''+=，即()22286x x -+=， 解得254x =， 即254DE =， 则阴影部分的面积为125756244⨯⨯=， 故答案为：754． 【点睛】 本题考查了矩形与折叠问题、勾股定理等知识点，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题关键．16．6【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得OA=OD 再求出∠AOD=60°然后判断出△AOD 是等边三角形根据等边三角形的性质求出OD 即可得出BD 的长【详解】解：在矩形ABCD 中OA=OC=ACOB解析：6【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得OA=OD ，再求出∠AOD=60°，然后判断出△AOD 是等边三角形，根据等边三角形的性质求出OD ，即可得出BD 的长．【详解】解：在矩形ABCD 中，OA=OC=12AC ，OB=OD=12BD ，AC=BD ， ∴OA=OD ，∵∠AOB=120°，∴∠AOD=180°-120°=60°，∴△AOD 是等边三角形，∴OD=AD=3，∴BD=2OD=6；故答案为：6．【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记矩形的性质，证出△AOD是等边三角形是解题的关键．17．对角线互相平分且相等的四边形是矩形（答案不唯一）【分析】命题由题设和结论两部分组成题设是已知事项结论是由已知事项推出的事项；题设成立结论也成立的叫真命题而题设成立结论不成立的为假命题把一个命题的题设解析：对角线互相平分且相等的四边形是矩形（答案不唯一）【分析】命题由题设和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项；题设成立，结论也成立的叫真命题，而题设成立，结论不成立的为假命题，把一个命题的题设和结论互换即可得到其逆命题．【详解】解：如命题：对角线互相平分且相等的四边形是矩形，真命题，逆命题是矩形的对角线互相平分且相等，真命题，故答案为：对角线互相平分且相等的四边形是矩形（答案不唯一）.【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；题设与结论互换的两个命题互为逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题.18．3或或2或8【分析】根据矩形的性质可得∠A＝90°BC＝AD＝8然后根据等腰三角形腰的情况分类讨论根据勾股定理和垂直平分线等知识即可求解【详解】解：∵四边形ABCD是矩形∴∠A＝90°BC＝AD＝8解析：3或52或2或8【分析】根据矩形的性质可得∠A＝90°，BC＝AD＝8，然后根据等腰三角形腰的情况分类讨论，根据勾股定理和垂直平分线等知识即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，BC＝AD＝8，分三种情况：①BP＝BQ＝5时，AP3；②当PB＝PQ时，作PM⊥BC于M，则点P在BQ的垂直平分线时，如图所示：∴AP ＝12BQ ＝52； ③当QP ＝QB ＝5时，作QE ⊥AD 于E ，如图所示：则四边形ABQE 是矩形，∴AE ＝BQ ＝5，QE ＝AB ＝4，∴PE 22QP QE -2254-3，∴AP ＝AE ﹣PE ＝5﹣3＝2；④当点P 和点D 重合时，∵CQ=3，CD=4，∴根据勾股定理，PQ=5=BQ ，此时AP=AD=8，综上所述，当BPQ 为等腰三角形时，AP 的长为3或52或2或8； 故答案为：3或52或2或8． 【点睛】此题考查的是矩形的性质、等腰三角形的性质和勾股定理，掌握矩形的性质、等腰三角形的性质、分类讨论的数学思想和勾股定理是解题关键． 19．3【分析】连接BE 由旋转的性质可得AD=DE ∠ADE=90°可求∠A=45°AE=AD=2AD=DE=BD 可证∠AEB=90°由勾股定理可求EC 的长即可求解【详解】解：如图连接BE ∵CD 是△ABC 的解析：3【分析】连接BE ，由旋转的性质可得AD=DE ，∠ADE=90°，可求∠A=45°，2AD=2，AD=DE=BD ，可证∠AEB=90°，由勾股定理可求EC 的长，即可求解．【详解】解：如图，连接BE ，∵CD是△ABC的边AB上的中线，∴AD=BD，∵将线段AD绕点D顺时针旋转90°，∴AD=DE，∠ADE=90°，∴∠A=45°，2AD=2，AD=DE=BD，∴∠AEB=90°，∴∠A=∠ABE=45°，∴AE=BE=2，∴22541-=-=，EC BC BE∴AC=AE+EC=3，故答案是：3．【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的判定，勾股定理，求出EC的长是本题的关键．20．3【分析】根据等腰三角形的性质得出EP=PD进而得出AD的长利用矩形的性质解答即可【详解】解：过F点作FP⊥AD于P∵EF=DFFP⊥AD∴EP=PD∵FP⊥AD∴FP∥CD∵四边形ABCD是矩形∴解析：3【分析】根据等腰三角形的性质得出EP=PD，进而得出AD的长，利用矩形的性质解答即可．【详解】解：过F点作FP⊥AD于P，∵EF=DF，FP⊥AD，∴EP=PD，∵FP⊥AD，∴FP∥CD，∵四边形ABCD是矩形，∴PD∥FC，∠PDC=90°，AD=BC，∴四边形PFCD是矩形，∴FC=PD=1，∴ED=2PD=2，∵翻折后的BF恰好经过AD边的中点E，∴AD=2AE=4，∴BC=4，∴BF=4-1=3，故答案为：3．【点睛】本题考查了折叠的性质：叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质．三、解答题21．（1）证明见解析；（2）四边形ACDE是平行四边形，证明见解析．【分析】（1）由AD平分∠BAC，AN平分∠BAM，可得∠DAE=90°，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平分线，可得AD⊥BC，所以∠ADB=90°，又由BE⊥AN，可得∠BEA=90°，即可证得四边形ADBE为矩形；（2）利用（1）中四边形ADBE是矩形，得到AE∥BD，AE=BD，又根据等腰三角形的三线合一可得BD=CD，从而可得AE=CD，由此即可判定四边形ACDE是平行四边形．【详解】（1）证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠BAM，∴∠BAD=12∠BAC，∠BAN=12∠BAM，∴∠DAE=∠BAD+∠BAN=12（∠BAC+∠BAM）=12×180°=90°，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，又∵BE⊥AN，∴∠BEA=90°，∴四边形ADBE是矩形．（2）四边形ACDE是平行四边形．证明：∵四边形ADBE是矩形，∴AE∥BD，AE=BD．∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴BD=CD，∴AE∥CD，AE=CD，∴四边形ACDE是平行四边形．【点睛】此题考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的三线合一、角平分线的定义以及平行四边形的判定．解题关键是熟练掌握矩形的判定与性质、等腰三角形的三线合一以及平行四边形的判定．22．（1）见解析；（2）60°．【分析】（1）首先判定平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行判定即可；（2）AE＝OF，四边形BFDE是菱形，BE=BF，可证△ABF≌△OBF, ∠ABF=∠OBF,∠FBO=∠OBF, ∠OBF=30°，即可求解．【详解】证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴ AD∥BC,AD=BC,∴∠EDO=∠OBF,∵EF垂直平分BD,∴BO=DO,∠EOD=∠BOF=90°,∴△DEO=△BFO(ASA)∴OE=OF,∴四边形EBFD是平行四边形,又EF⊥BD,∴四边形EBFD是菱形;(2)∵四边形EBFD是菱形,∴ED=EB又 AE＝OF，∠A=∠BOF∴△ABF≌△OBF∴∠ABF=∠OBF,∵∠FBO=∠OBF,∴∠ABF =∠FBO=∠OBF,∴∠OBF=30°∴∠BDC=60°．【点睛】本题考查了菱形的性质和判定，掌握菱形的性质和判定是解题的关键．23．小鸟至少飞行13米．【分析】先画出图形，再根据矩形的判定与性质、勾股定理可求出AC的长，然后根据两点之间线段最短可得最短飞行距离等于AC的长，由此即可得．【详解】画出图形如下所示：由题意得：,,4AB BD CD BD AB ⊥⊥=米，9CD =米，12BD =米，过点A 作AE CD ⊥于点E ，则四边形ABDE 是矩形，12AE BD ∴==米，4DE AB ==米，5CE CD DE ∴=-=米，在Rt ACE △中，222212513AC AE CE +=+=（米），由两点之间线段最短得：小鸟飞行的最短距离等于AC 的长，即为13米，答：小鸟至少飞行13米．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识点，依据题意，正确画出图形是解题关键．24．（1）()4,8E ；（2）()0,5D【分析】（1）由折叠的性质得10AO AE ==，利用勾股定理求出BE 长，得到CE 的长，就可以得到点E 的坐标；（2）设OD x =，8CD x =-，由折叠的性质得OD DE x ==，再在Rt CDE △中利用勾股定理列式求出x 的值，就可以得到点D 的坐标．【详解】解：（1）∵折叠，∴10AO AE ==，在Rt ABE △中，22221086BE AE AB =-=-=， ∴1064CE BC BE =-=-=，∴()4,8E ；（2）设OD x =，则8CD x =-，∵折叠，∴OD DE x ==，在Rt CDE △中，222CD CE DE +=，即()22284x x -+=，解得5x =，∴()0,5D ．【点睛】本题考查折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质，并结合勾股定理进行边长的求解．25．（1）详见解析；（2）12【分析】（1）首先由CE ∥BD ，DE ∥AC ，可证得四边形OCED 是平行四边形，又由四边形ABCD 是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD ，即可判定四边形OCED 是菱形，（2）求出OC=OD=3，由菱形的性质即可得出答案．【详解】（1）∵CE ∥BD ，DE ∥AC ，∴四边形OCED 为平行四边形，又∵四边形 ABCD 是矩形，∴OD=OC ，∴四边形OCED 为菱形；（2）∵四边形 ABCD 是矩形，∴OC=OD=12AC ， 又∵AC=6，∴OC=3， 由（1）知，四边形OCED 为菱形，∴四边形OCED 的周长为=4OC=4×3=12．【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．26．（1；（2）OM ON =，证明详见解析；（3）详见解析【分析】（1）由题意可得OC=OB ，OC ⊥OB ，再根据勾股定理即可得到答案；（2）连接OB ，OC ，证明BOM CON ∆∆≌，即可得出答案；（3）根据题意可推出OBF ∆为等边三角形，可得60OBF F ∠=∠=︒，BF OF ==45OBC ∠=︒，可得45OBM ∠=︒，从而可推出，EBM EMB ∠=∠，即可得证．【详解】解：（1）∵点O 是正方形ABCD 的两条对角线的交点，以点O 为直角顶点的直角三角形OEF 的两边OE ，OF 分别过点B ，C ，∴OC=OB ，OC ⊥OB ，∵BC=2，∴OC 2=BC 2-OB 2，2OC 2=BC 2，2OC 2=4，即；（2）OM ON =；证明：如图，连接OB ，OC ，∵点O 是正方形ABCD 的两条对角线的交点， ∴OB OC =，45OBM OCN ∠=∠=︒， ∵90BOF MOB BOF NOC ∠+∠=∠+∠=︒， ∴MOB NOC ∠=∠，在BOM ∆和CON ∆中OBM OCN OB OC MOB NOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()BOM CON ASA ∆∆≌，∴OM ON =；（3）连接OB ，OC ，∵OF OC =，OB OC =，∴OB OF =，∵在Rt OEF ∆中，30E ∠=︒，∴60F ∠=︒，∴OBF ∆为等边三角形，∴60OBF F ∠=∠=︒，2BF OF ==又∵45OBC ∠=︒，∴45OBM ∠=︒，∵180180456075EBM OBM OBF ∠=-∠-∠=--︒︒=︒︒︒， ∴180180753075EMB EBM E ∠=-∠-∠=-︒-︒=︒︒︒， ∴EBM EMB ∠=∠，∴EM EB =．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，掌握知识点是解题关键．。

中考数学专题复习《特殊四边形的分类讨论、存在性问题》测试卷(附带答案)

中考数学专题复习《特殊四边形的分类讨论、存在性问题》测试卷(附带答案)

中考数学专题复习《特殊四边形的分类讨论 存在性问题》测试卷（附带答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一 单选题1．如图 ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ．如果添加一个条件 使得ABCD 是矩形 那么这个条件可以是（ ）A ．AB AD = B ．AO BO =C ．AC BD ⊥ D ．AO CO =2．如图 在菱形ABCD 中 对角线AC 与BD 相交于点O 8AC = 6BD = OE BC ⊥ 垂足为点E 则OE 的长为( )A ．10B ．125C ．245D ．243．如图 在正方形ABCD 中 E F 分别为边AD AB 上一点 且=AE BF 连接BE CF BG 平分CBE ∠交CD 于点G 且点G 为CD 中点．若CFB α∠= 则GED ∠的度数为（ ）A ．αB ．2αC ．902α︒- D ．90α︒-4．如图 O 是矩形ABCD 对角线的交点 AE 平分BAD ∠ 30ADO ∠=︒ 则COE ∠的度数为（ ）A ．48︒B ．45︒C ．40︒D ．36︒5．如图 点E 在正方形ABCD 内 满足90AEB ∠=︒ 68AE BE ==， 则阴影部分的面积是（ ）A ．48B ．52C ．76D ．806．如图 在正方形ABCD 中 6BC = 2CE = 点E 点H 为CD AD 边上的一点 连接BE 和CH 使得BE CH ⊥交于点F 点G 是线段CH 上的一个动点 连接BG EG ．当四边形GECB 的面积是8时 线段HG 的长度为（ ）A B C D 7．如图 在菱形ABCD 中 30A ∠=︒ 12AB = F 是边BC 上的一个动点 连接DF 以DF 为对角线作菱形DEFG 使点E 落在DC 边上 当菱形DEFG 的周长最小时 菱形DEFG 的面积为（ ）A ．16B ．12C ．D ．8．如图 取边长为4的正方形各边中点 顺次连接构成小正方形 依次画下去 小正方形的面积从大到小．．．．排列 分别记为1S 2S 3S … 则123::S S S 等于（ ）A ．1:2:3B ．3:2:1C ．1:2:4D ．4:2:1二 填空题9．如图 在边长相同的小正方形网格中 点A B C D 、、、都在这些小正方形的顶点上 AB 与CD 相交于点P 则tan APD ∠的值为 ．10．如图 在矩形ABCD 中 点G 在AD 上 且1GD AB == 3AG = 点E 是线段BC 上的一个动点(点E 不与点B C 重合) 连接GB GE 将GBE 关于直线GE 对称的三角形记作GFE 当点E 运动到使点F 落在矩形任意一边所在的直线上时 则线段BE 的长是 ．11．如图 菱形ABCD 的对角线AC BD 相交于点O 点E 为边CD 的中点 连接OE ．若3AC = 1OE =则菱形ABCD 的面积为 ．12．如图 在矩形ABCD 中 E 是AB 的中点 过点E 作ED 的垂线交BC 于点F 对角线AC 分别交DE DF 于点G H 当DH AC ⊥时 则GH EF的值为 ．13．如图 O 是矩形ABCD 对角线的交点 点E 在AD 边上 连接OE 将线段OE 绕着点O 逆时针旋转90︒得到线段OF （ 点F 在矩形ABCD 内部） 连接,AF EF ．若2AB = 4=AD 则AEF △面积的最大值是 ．三 解答题14．如图 四边形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O 且互相平分 若AD CD = 过点D 作DE AC ∥ 且12DE AC = 连接CE ．(1)求证：四边形OCED 为矩形(2)连接AE ．若4BD = AE = 求四边形ABCD 的面积．=D为AC中点．过点D作AB的平行线过点B作AC的15．如图在ABC中AB BC平行线两平行线相交于点E BC交DE于点F连接CE．求证：(1)四边形BECD是矩形AD=直接写出矩形BECD的面积．(2)取AB的中点M连接DM若2DM=316．如图1 在平行四边形ABCD中AD CD⊥8AB=4=AD M是一动点从点D ---运动以4个单位每秒的速度向终点C点运动N是从点C出发的另出发沿D A B C-运动以2个单位每秒的速度向终点D点运动点M和点N同时出发运一动点沿C D动时间为t秒（M N两点中如有一个点到达终点时所有运动即终止）．(1)若M N出发t秒后四边形MBCN为平行四边形求t(2)若AMC的面积为8 请求出t的值(3)如图2 点F是线段AD中点E是直线CD上另一动点（位于N点右边）且线段NE在++的最小值．移动过程中始终保持长度为2不变请探究并直接写出FN NE BE17．如图① 正方形ABCD中点O是对角线AC的中点点P是线段AC上（不与A O C 重合）的一个动点过点P作PE PB⊥且PE交边CD（或DC延长线）于点E．(1)①如图1 当P在AO时直接写出PB与PE的数量关系__________①如图2 当P在CO时请按题意补全图形判断PB与PE的数量关系并说明理由⊥于点F在P点运(2)如图3 当P在AO时若正方形ABCD的边长为2 过E作EF AC动的过程中PF的长度是否发生变化？若不变试求出这个不变的值若变化请说明理由PC PA CE之间的数量关系．(3)用等式直接表示线段,,18．如图 在矩形ABCD 中 2,23AB BC == 点E 为射线BA 上一点（点E 不与点B 重合） 将BCE 沿EC 折叠 得到FCE △ 点P 为线段FC 上一点 再将EFP △沿EP 折叠 得到EGP △ PG 的延长线与边BC 相交于点Q ．(1)如图1 连接EQ 求证：QB QG =．(2)如图2 当点E 与点A 重合时 若点G 落在边AD 上 连接BF EC ，与BF 相交于点M 与PQ 相交于点N 求MN 的长．(3)若点G 落在边AD 上 且322BQ CE 所在直线与AD 所在直线相交于点H ： ①如图3 当点E 在线段BA 延长线上时 求HG 的长①当点E 在线段AB 上时 请直接写出HG 的长．参考答案：1．B2．B3．C4．B5．C6．C7．DFE BC ∴⊥8．D9．2在Rt PBF 中 tan 2BF BPF PF∠==10．3或5211．1213．9814．（1）证明：①四边形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O 且互相平分 同时AD CD = ①四边形ABCD 是菱形 ①12OC AC =90COD ∠=︒ ①12DE AC = ①DE OC =①∥DE AC①四边形OCED 为平行四边形 再结合90COD ∠=︒ ①四边形OCED 为矩形（2）由（1）可知 90ECA ∠=︒ 122CE OD BD ===6AC ∴==∴菱形ABCD 的面积11641222AC BD =⋅=⨯⨯=． 15．（1）证明：①过点D 作AB 的平行线 过点B 作AC 的平行线 两平行线相交于点E ①四边形ABED 是平行四边形①AD BE = AB DE =①AB BC = D 为AC 中点．①,AD CD BD AC =⊥①,BE CD =①BE CD①四边形BECD 是平行四边形①=90BDC ∠︒①四边形BECD 是矩形（2）如图①2,DM ABD =是直角三角形 AB 的中点为M①24AB DM ==①3AD = D 为AC 中点． ①22223,437CD AD BD AB AD ==--①矩形BECD 的面积为37BD CD ⋅=16．（1）①四边形MBCN 为平行四边形①MB CN =MB CN MN CB ∥ MN BC =①动点M 应在线段AB 上 N 应在线段CD 上 .①在平行四边形ABCD 中 8AB = 4=AD①84CD AB BC AD ====，．由题意得t 秒后 8441242MB t t CN t =+-=-=， 04t ≤≤． ①1242t t -=．①2t =．（2）①当点M 在AD 上时 0144t AM t ≤<=-， ①AMC 的面积为8 Δ12AMC S AM CD =⋅ ①1(44)882t -⋅=． ①12t =． ①当点M 在AB 上时 1344t AM t <≤=-，①AMC 的面积为8 Δ12AMC S AM BC =⋅ ①1(44)482t -⋅=． ①2t =．①当点M 在BC 上时 34164t MC t <<=-，①AMC 的面积为8 Δ12AMC S MC AB =⋅ ①1(164)882t -⋅=． ①72t =．①综上可知12t =,2t =或72t =． （3）如图将BE 向左平移到B N ' 作FN 关于CD 对称的线段F N ' 则122F D FD AD ===',2B B NE '==①22FN NE BE F N B N F B ++=+≥'''++'.①当B ' F ' N 三点共线时有最小值．①826AB AB BB ''=-=-= 426AF AD DF ''=+=+=①F B ''=①22FN NE BE F N B N F B ++=+≥'''++'有最小值2． 17．（1）证明：（1）如图 过P 作MN AD ∥ 交AB 于M 交CD 于N①PB PE ⊥①90BPE ∠=︒①90MPB EPN ∠+∠=︒①四边形ABCD 是正方形①90BAD D ∠=∠=︒①AD MN ∥①90BMP BAD PNE D ∠=∠=∠=∠=︒①90MPB MBP ∠+∠=︒①EPN MBP ∠=∠Rt PNC △中 45PCN ∠=︒①PNC △是等腰直角三角形①PN CN =①90BMP PNC ABC ∠=∠=∠=︒①四边形MBCN 是矩形①BM CN =①BM PN =①()ASA BMP PNE ≌①PB PE =①当P 在CO 时 补全图形如图 此时PB PE =过P 作MN AD ∥ 交AB 于M 交CD 于N①PB PE ⊥①90BPE ∠=︒①90MPB EPN ∠+∠=︒①四边形ABCD 是正方形①90ABC BCD BAC D ∠=∠=∠=∠=︒①AD MN ∥①90BMP BAD PNE D ∠=∠=∠=∠=︒①90MPB MBP ∠+∠=︒①EPN MBP ∠=∠Rt PNC △中 45PCN ∠=︒①PNC △是等腰直角三角形①PN CN =①90BMP PNC ABC ∠=∠=∠=︒①四边形MBCN 是矩形①BM CN =①BM PN =①()ASA BMP PNE ≌①PB PE =（2）解：在P 点运动的过程中 PF 的长度不发生变化 理由是： 连接OB 如图①点O 是正方形ABCD 对角线AC 的中点①OB AC ⊥①90AOB ∠=︒①90AOB EFP ∠=∠=︒①90OBP BPO ∠+∠=︒①90BPE ∠=︒①90BPO OPE ∠+∠=︒①OBP OPE ∠=∠由（1）得：PB PE =①OBP FPE ≌①PF OB =①2AB = ABO 是等腰直角三角形①OB ==①PF 2（3）解：分两种情况：①当P 在线段AO 上 2PC PA EC = 理由如下： 如图①45BAC ∠=︒ ①AMP 是等腰直角三角形 ①PA 2PM =由（1）知：PM NE = ①PA 2NE =①PCN △是等腰直角三角形 ①)22222PC NC NE EC NE EC PA EC +==． ①当P 在线段CO 上 2PA PC EC = 理由如下：如图同理可得 2,PC NC =)222222PA PM NE NC CE NC CE PC CE +== 18．（1）证明：四边形ABCD 是矩形90B ∴∠=︒由折叠知EG EF EB == 90EGP F B ∠=∠=∠=︒18090EGQ EGP ∴∠=︒-∠=︒又EQ EQ =①()Rt Rt HL EBQ EGQ ≌QB QG ∴=（2）解：将BCE 沿EC 折叠 得到FCE EC ∴垂直平分BF ．90BMC ∴∠=︒四边形ABCD 是矩形90ABC BAD ∴∠=∠=︒由（1）知90EGQ ∠=︒ 2EG EF EB === ∴四边形EBQG 是矩形2BQ EG ∴==2CQ BC BQ ∴=-=在Rt ABC △中tan AB ACB BC ∠=== 30ACB ∴∠=︒在Rt BCM △中cos303CM BC =⋅︒== 在Rt CNQ △中4cos30CQ CN ===︒∴3(41MN CM CN =-=-= （3）解：①过点G 作GR BC ⊥ 垂足为R90GRB ∴∠=︒．由（1）得QG QB ==90DAB B GRB ∴∠=∠=∠=︒∴四边形ABRG 是矩形．AG BR ∴= 2GR AB ==． 在Rt GQR △ 中 2222322()22QR GQ GR =-=- ∴32222AG BR BQ QR ==+=+=在Rt EAG △中 222AE AG EG += 2EG EB AE AB AE ==+=+ ∴222(22)(2)AE AE +=+ 解得1AE =． 213EB AE AB ∴=+=+= 四边形ABRG 是矩形∥AH BC ∴．EAH EBC ∴∽． ∴AH AE BC BE= ∴23AE BC AH BE ⋅==∴232HG AG AH =-= ①过点G 作GR BC ⊥ 垂足为R同理得 2222322()22QR GQ GR =--= 3222AG BQ QR ∴=-==在Rt EAG △中 222AE AG EG += 2EG EB AB AE AE ==-=- 222(2)(2)AE AE ∴+=- 解得12AE =．13222EB AB AE ∴=-=-=AH BC ∥． EAD EBC ∴∽． ∴AHAEBC BE =1232=AH ∴=HG AH AG ∴=+=．。

苏科版数学中考复习专题练习— 特殊四边形(含答案)

苏科版数学中考复习专题练习— 特殊四边形(含答案)

特殊四边形一、学习目标1．理解多边形的内角和、外角和公式，了解正多边形，四边形的不稳定性；2．掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义，判定和性质，会利用这些性质和判定进行计算与推理；3．理解矩形、菱形、正方形与一般平行四边形之间的共性、特性和从属关系．二、典型例题题型一、多边形及其内角和、外角和1．多边形的对角线例题1．（1）五边形共有对角线的条数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8（2）从十二边形的一个顶点作对角线，把这个十二边形分成三角形的个数是 ．【题小结】找到对角线与边数的关系借题发挥：一个n 边形共有n 条对角线，将这个n 边形截去一个角后它的边数为 ．2. 多边形内角和、外角和例题2．已知正多边形的一个外角等于40°，则这个正多边形的内角和的度数为 ．【题小结】运用多边形的内角和、外角和公式借题发挥：如图，P 为正五边形ABCDE 的边AE 上一点，过点P 作PQ ∥BC ，交DE 于点Q ，则∠EPQ 的度数为 ．题型二、平行四边形及其判定和性质 １．平行四边形判定例题3．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，下列条件不能判断四边形ABCD 是平行四边形的是（）A ． AB ∥DC ，AD ∥BC B ．AB = DC ，AD = BC C ． AB ∥DC ，AD =BC D ．OA = OC ，OB =OD【题小结】灵活运用平行四边形判定借题发挥：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝∠C ．E 使边BC 上一点，且DE ＝DC ． 求证：AD ＝BE ．2．平行四边形性质例题4．（1）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC 是□ABCD 的对角线，点E 在AC 上，AD ＝AE ＝BE ，∠D ＝102°，则∠BAC 的大小是____________．（2）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，OE ∥AB 交AD 于点E ．若OA ＝1，△AOE 的周长等于5，则平行四边形ABCD 的周长等于．【题小结】灵活运用平行四边形性质A DB EC Q PD A B C OO E D C B A E D A B C F D A E C B D O A C B 借题发挥：如图，在平行四边形ABCD 中，∠ABC 的平分线交AC 于点E ，交AD 于点F ，交CD 的延长线于点G ，若AF ＝2FD ，则BE EG的值为（ ） A ．12B ．13C ．23D ．34（例题4（1）） （例题4（2））（借题发挥）题型三、矩形及其判定和性质1．矩形判定例题5．已知平行四边形ABCD 中，下列条件：①AB ＝BC ；②AC ＝BD ；③AC ⊥BD ；④AC 平分∠BAD ，其中能说明平行四边形ABCD 是矩形的是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④【题小结】灵活运用矩形判定借题发挥：如图，在□ABCD 中，E 为BC 的中点，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ，连接BF ，A C ．若AD ＝AF ，求证：四边形ABFC 是矩形．2．矩形性质例题6．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，已知∠BOC ＝120°，DC ＝3cm ，则AC 的长为______cm ．【题小结】灵活运用矩形性质借题发挥：如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，AB =6，BC =8，过点O 作OE ⊥AC ，交AD 于点E ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ，则OE +EF 的值为（ ）．A ．485B ．325C ．245D ．125（例题6）（借题发挥）3．折叠问题 E D B C F G A F D E A B C O。

2020年中考数学二轮复习压轴专题四边形(含解析)

2020年中考数学二轮复习压轴专题四边形(含解析)

《四边形》1．【习题再现】课本中有这样一道题目：如图1，在四边形ABCD中，E，F，M分别是AB，CD，BD的中点，AD＝BC．求证：∠EFM ＝∠FEM．（不用证明）【习题变式】（1）如图2，在“习题再现”的条件下，延长AD，BC，EF，AD与EF交于点N，BC与EF 交于点P．求证：∠ANE＝∠BPE．（2）如图3，在△ABC中，AC＞AB，点D在AC上，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，交BA的延长线于点G，连接GD，∠EFC＝60°．求证：∠AGD＝90°．【习题变式】解：（1）∵F，M分别是CD，BD的中点，∴MF∥BP，，∴∠MFE＝∠BPE．∵E，M分别是AB，BD的中点，∴ME∥AN，，∴∠MEF＝∠ANE．∵AD＝BC，∴ME＝MF，∴∠EFM＝∠FEM，∴∠ANE＝∠BPE．（2）连接BD，取BD的中点H，连接EH，FH．∵H，F分别是BD和AD的中点，∴HF∥BG，，∴∠HFE＝∠FGA．∵H，E分别是BD，BC的中点，∴HE∥AC，，∴∠HEF＝∠EFC＝60°．∵AB＝CD，∴HE＝HF，∴∠HFE＝∠EFC＝60°，∴∠A GF＝60°，∵∠AFG＝∠EFC＝60°，∴△AFG为等边三角形．∴AF＝GF，∵AF＝FD，∴GF＝FD，∴∠FGD＝∠FDG＝30°，∴∠AGD＝60°+30°＝90°．2．（1）问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AD，过点A作AE⊥AD，并满足AE＝AD，连接CE．则线段BD和线段CE的数量关系是BD＝CE，位置关系是BD⊥CE．（2）探索：如图2，当D点为BC边上一点（不与点B，C重合），Rt△ABC与Rt△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE．试探索线段BD2、CD2、DE2之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，若BD＝3，CD＝1，请直接写出线段AD的长．解：（1）问题：在Rt△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），故答案为：BD＝CE，BD⊥CE；（2）探索：结论：DE2＝BD2+CD2，理由是：如图2中，连接EC．∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，∵，∵△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，∴DE2＝CE2+CD2，∴DE2＝BD2+CD2；（3）拓展：如图3，将AD绕点A逆时针旋转90°至AG，连接CG、DG，则△DAG是等腰直角三角形，∴∠ADG＝45°，∵∠ADC＝45°，∴∠GDC＝90°，同理得：△BAD≌△CAG，∴CG＝BD＝3，Rt△CGD中，∵CD＝1，∴DG＝＝＝2，∵△DAG是等腰直角三角形，∴AD＝AG＝2．3．如图1，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG．（1）BE和DG的数量关系是BE＝DG，BE和DG的位置关系是BE⊥DG；（2）把正方形ECGF绕点C旋转，如图2，（1）中的结论是否还成立？若成立，写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）设正方形ABCD的边长为4，正方形ECGF的边长为3，正方形ECGF绕点C旋转过程中，若A、C、E三点共线，直接写出DG的长．解：（1）BE＝DG．BE⊥DG；理由如下：∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，∴CD＝BC，CE＝CG，∠BCE＝∠DCG＝90°，在△BEC和△DGC中，，∴△BEC≌△DGC（SAS），∴BE＝DG；如图1，延长GD交BE于点H，∵△BEC≌△DGC，∴∠DGC＝∠BEC，∴∠DGC+∠EBC＝∠BEC+∠EBC＝90°，∴∠BHG＝90°，即BE⊥DG；故答案为：BE＝DG，BE⊥DG．（2）成立，理由如下：如图2所示：同（1）得：△DCG≌△BCE（SAS），∴BE＝DG，∠CDG＝∠CBE，∵∠DME＝∠BMC，∠CBE+∠BMC＝90°，∴∠CDG+∠DME＝90°，∴∠DOB＝90°，∴BE⊥DG；（3）由（2）得：DG＝EB，分两种情况：①如图3所示：∵正方形ABCD的边长为4，正方形ECGF的边长为3，∴AC⊥BD，BD＝AC＝AB＝4，OA＝OC＝OB＝AC＝2，CE＝3，∴AE＝AC﹣CE＝，∴OE＝OA﹣AE＝，在Rt△BOE中，由勾股定理得：DG＝BE＝＝；②如图4所示：OE＝CE+OC＝2+3＝5，在Rt△BOE中，由勾股定理得：DG＝BE＝＝；综上所述，若A、C、E三点共线，DG的长为或．4．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点D从点C出发，沿CA方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，动点E从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．设点D，E运动的时间是t（s）（0＜t＜5）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）t为何值时，DE⊥AC？（2）设四边形AEFC的面积为S，试求出S与t之间的关系式；（3）是否存在某一时刻t，使得S四边形AEFC：S△ABC＝17：24，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）当t为何值时，∠ADE＝45°？解：（1）∵∠B＝90o，AB＝6 cm，BC＝8 cm，∴AC＝＝＝10（cm），若DE⊥AC，∴∠EDA＝90°，∴∠EDA＝∠B，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴＝，即：＝，∴t＝，∴当t＝s时，DE⊥AC；（2）∵DF⊥BC，∴∠DFC＝90°，∴∠DFC＝∠B，∵∠C＝∠C，∴△CDF∽△CAB，∴＝，即＝，∴CF＝，∴BF＝8﹣，BE＝AB﹣AE＝6﹣t，∴S＝S△ABC﹣S△BEF＝×AB•BC﹣×BF•BE＝×6×8﹣×（8﹣t）×（6﹣t）＝﹣t2+t；（3）若存在某一时刻t，使得S四边形AEFC：S△ABC＝17：24，根据题意得：﹣t2+t＝××6×8，解得：t1＝，t2＝（不合题意舍去），∴当t＝s时，S四边形AEFC：S△ABC＝17：24；（4）过点E作EM⊥AC与点M，如图所示：则∠EMA＝∠B＝90°，∵∠A＝∠A，∴△AEM∽△ACB，∴＝＝，即＝＝，∴EM＝t，AM＝t，∴DM＝10﹣2t﹣t＝10﹣t，在Rt△DEM中，当DM＝ME时，∠ADE＝45°，∴10﹣t＝t，∴t＝∴当t＝s时，∠ADE＝45°．5．我们定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且项角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”．例如，如图（1），△ABC与△ADE都是等腰三角形，其中∠BAC＝∠DAE，则△ABD≌△ACE（SAS）（1）熟悉模型：如图（2），已知△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，求证：BD＝CE；（2）运用模型：如图（3），P为等边△ABC内一点，且PA：PB：PC＝3：4：5，求∠APB 的度数．小明在解决此问题时，根据前面的“手拉手全等模型”，以BP为边构造等边△BPM，这样就有两个等边三角形共顶点B，然后连结CM，通过转化的思想求出了∠APB的度数，则∠APB的度数为150 度；（3）深化模型：如图（4），在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC ＝45°，求BD的长．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；（2）解：以BP为边构造等边△BPM，连接CM，如图（3）所示：∵△ABC与△BPM都是等边三角形，∴AB＝BC，BP＝BM＝PM，∠ABC＝∠PBM＝∠BMP＝60°，∴∠ABC﹣∠PBC＝∠PBM﹣∠PBC，即∠ABP＝∠CBM，在△ABP和△CBM中，，∴△ABP≌△CBM（SAS），∴AP＝CM，∠APB＝∠CMB，∵PA：PB：PC＝3：4：5，∴CM：PM：PC＝3：4：5，∴PC2＝CM2+PM2，∴△CMP是直角三角形，∴∠PMC＝90°，∴∠CMB＝∠BMP+∠PMC＝60°+90°＝150°，∴∠APB＝150°，故答案为：150；（3）解：过点A作EA⊥AD，且AE＝AD，连接CE，DE，如图（4）所示：则△ADE是等腰直角三角形，∠EAD＝90°，∴DE＝AD＝4，∠EDA＝45°，∵∠ADC＝45°，∴∠EDC＝45°+45°＝90°，在Rt△DCE中，CE＝＝＝，∵∠ACB＝∠ABC＝45°，∴∠BAC＝90°，AB＝AC，∵∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE＝．6．（1）某学校“学习落实”数学兴趣小组遇到这样一个题目如图，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝，BO：CO ＝2：1，求AB的长经过数学小组成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）请回答：∠ADB＝75 °，AB＝3（2）请参考以上解决思路，解决问题：如图3在四边形ABCD中对角线AC与BD相交于点0，AC⊥AD，AO＝，∠ABC＝∠ACB ＝75°，BO：OD＝2：1，求DC的长解：（1）如图2中，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，∵BD∥AC，∴∠ADB＝∠OAC＝75°．∵∠BOD＝∠COA，∴△BOD∽△COA，∴＝＝2，．又∵AO＝，∴OD＝2AO＝2，∴AD＝AO+OD＝3．∵∠BAD＝30°，∠ADB＝75°，∴∠ABD＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝75°＝∠ADB，∴AB＝AD＝3；故答案为75，3．（2）如图3中，过点B作BE∥AD交AC于点E．∵AC⊥AD，BE∥AD，∴∠DAC＝∠BEA＝90°．∵∠AOD＝∠EOB，∴△AOD∽△EOB，∴＝＝＝2．∵BO：OD＝1：3，∵AO＝，∴EO＝2，∴AE＝3．∵∠ABC＝∠ACB＝75°，∴∠BAC＝30°，AB＝AC，∴AB＝2BE．在Rt△AEB中，BE2+AE2＝AB2，即（4BE2）2+BE2＝（2BE）2，解得：BE＝3，∴AB＝AC＝6，AD＝在Rt△CAD中，AC2+AD2＝CD2，即62+（）2＝CD2，解得：CD＝（负根已经舍弃）．7．正方形ABCD中，AB＝4，点E、F分别在AB、BC边上（不与点A、B重合）．（1）如图1，连接CE，作DM⊥CE，交CB于点M．若BE＝3，则DM＝ 5 ；（2）如图2，连接EF，将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；再将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；依此操作下去…，①如图3，线段EF经过两次操作后拼得△EFD，其形状为等边三角形，在此条件下，求证：AE＝CF；②若线段EF经过三次操作恰好拼成四边形EFGH，（3）请判断四边形EFGH的形状为正方形，此时AE与BF的数量关系是AE＝BF；（4）以1中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围．解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠DCM＝90°，∵BE＝3，BC＝4，∴CE＝＝＝5，∵DM⊥EC，∴∠DMC+∠MCE＝90°，∠MCE+∠CEB＝90°，∴∠DMC＝∠CEB，∵BC＝CD，∴△BCE≌△CDM（AAS），∴DM＝EC＝5．故答案为5．（2）如题图3，由旋转性质可知EF＝DF＝DE，则△DEF为等边三角形．故答案为等边三角形．（2）①四边形EFGH的形状为正方形，此时AE＝BF．理由如下：依题意画出图形，如答图1所示：连接EG、FH，作HN⊥BC于N，GM⊥AB于M．由旋转性质可知，EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGH是菱形，由△EGM≌△FHN，可知EG＝FH，∴四边形EFGH的形状为正方形．∴∠HEF＝90°∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3．∵∠3+∠4＝90°，∠2+∠3＝90°，∴∠2＝∠4．在△AEH与△BFE中，，∴△AEH≌△BFE（ASA）∴AE＝BF．故答案为正方形，AE＝BF．（4）利用①中结论，易证△AEH、△BFE、△CGF、△DHG均为全等三角形，∴BF＝CG＝DH＝AE＝x，AH＝BE＝CF＝DG＝4﹣x．∴y＝S正方形ABCD﹣4S△AEH＝4×4﹣4×x（4﹣x）＝2x2﹣8x+16．∴y＝2x2﹣8x+16（0＜x＜4）∵y＝2x2﹣8x+16＝2（x﹣2）2+8，∴当x＝2时，y取得最小值8；当x＝0时，y＝16，∴y的取值范围为：8≤y＜16．8．已知：如图1，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点B的坐标是（6，4）．（1）直接写出A点坐标（ 6 ，0 ），C点坐标（0 ， 4 ）；（2）如图2，D为OC中点．连接BD，AD，如果在第二象限内有一点P（m，1），且四边形OADP的面积是△ABC面积的2倍，求满足条件的点P的坐标；（3）如图3，动点M从点C出发，以每钞1个单位的速度沿线段CB运动，同时动点N 从点A出发．以每秒2个单位的速度沿线段AO运动，当N到达O点时，M，N同时停止运动，运动时间是t秒（t＞0），在M，N运动过程中．当MN＝5时，直接写出时间t的值．解：（1）∵四边形OABC是长方形，∴AB∥OC，BC∥OA，∵B（6，4），∴A（6，0），C（0，4），故答案为：6，0，0，4；（2）如图2，由（1）知，A（6，0），C（0，4），∴OA＝6，OC＝4，∵四边形OABC是长方形，∴S长方形OABC＝OA•OC＝6×4＝24，连接AC，∵AC是长方形OABC的对角线，∴S△OAC＝S△ABC＝S长方形OABC＝12，∵点D是OC的中点，∴S△OAD＝S△OAC＝6，∵四边形OADP的面积是△ABC面积的2倍，∴S四边形OADP＝2S△ABC＝24，∵S四边形OADP＝S△OAD+S△ODP＝6+S△ODP＝24，∴S△ODP＝18，∵点D是OC的中点，且OC＝4，∴OD＝OC＝2，∵P（m，1），∴S△ODP＝OD•|m|＝×2|m|＝18，∴m＝18（由于点P在第二象限，所以，m小于0，舍去）或m＝﹣18，∴P（﹣18，1）；（3）如图3，由（2）知，OA＝6，OC＝4，∵四边形OABC是长方形，∴∠AOC＝∠OCB＝90°，BC＝6，由运动知，CM＝t，AN＝2t，∴ON＝OA﹣AN＝6﹣2t，过点M作MH⊥OA于H，∴∠OHM＝90°＝∠AOC＝∠OCB，∴四边形OCMH是长方形，∴MH＝OC＝4，OH＝CM＝t，∴HN＝|ON﹣CM|＝6﹣2t﹣t|＝|6﹣3t|，在Rt△MHN中，MN＝5，根据勾股定理得，HN2＝MN2﹣MH2，∴|6﹣3t|2＝52﹣42＝9，∴t＝1或t＝3，即：t的值为1或3．9．综合与实践问题情境数学课上，李老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，PA＝1，PB ＝2，PC＝3．你能求出∠APB的度数吗？（1）小敏与同桌小聪通过观察、思考、讨论后，得出了如下思路：思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A，连接PP'，求出∠APB的度数；思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP'B，连接PP'，求出∠APB的度数．请参考以上思路，任选一种写出完整的解答过程．类比探究（2）如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA＝3，PB＝1，，求∠APB的度数．拓展应用（3）如图3，在边长为的等边三角形ABC内有一点O，∠AOC＝90°，∠BOC＝120°，则△AOC的面积是．解：（1）思路一，如图1，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A，连接PP'，则△ABP'≌△CBP，AP'＝CP＝3，BP'＝BP＝2，∠PBP'＝90°∴∠BPP'＝45°，根据勾股定理得，，∵AP＝1，∴AP2+P'P2＝1+8＝9，又∵P'A2＝32＝9，∴AP2+P'P2＝P'A2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'＝90°，∴∠APB＝∠APP'+∠BPP'＝90°+45°＝135°．思路二、同思路一的方法．（2）如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A，连接PP'．则△ABP'≌△CBP，，BP'＝BP＝1，∠PBP'＝90°∴∠BPP'＝45°，根据勾股定理得，，∵AP＝3，∴AP2+P'P2＝9+2＝11，又∵，∴AP2+P'P2＝P'A2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'＝90°，∴∠APB＝∠APP'﹣∠BPP'＝90°﹣45°＝45°．（3）如图，将△ABO绕点B顺时针旋转60°，得到△BCE，连接OE．则△BAO≌△BCE，∠AOB＝∠BEC＝360°﹣90°﹣120°＝150°，∵△BOE是等边三角形，∴∠BEO＝∠BOE＝60°，∴∠OEC＝90°，∠OEC＝120°﹣60°＝60°，∴sin60°＝＝，设EC＝k，OC＝2k，则OA＝EC＝k，∵∠AOC＝90°，∴OA2+OC2＝AC2，∴3k2+4k2＝7，∴k＝1或﹣1（舍弃），∴OA＝，OC＝2，∴S△AOC＝•OA•OC＝××2＝．故答案为．10．如图1，在矩形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP交对角线BD于点E，BP＝BE．作线段AP的中垂线MN分别交线段DC，DB，AP，AB于点M，G，F，N．（1）求证：∠BAP＝∠BGN；（2）若AB＝6，BC＝8，求；（3）如图2，在（2）的条件下，连接CF，求tan∠CFM的值．（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠BAP＝∠APB＝90°∵BP＝BE，∴∠APB∠BEP＝∠GEF，∵MN垂直平分线段AP，∴∠GFE＝90°，∴∠BGN+∠GEF＝90°，∴∠BAP＝∠BGN．（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABP＝90°，AD∥BC，AD＝BC＝8，∴BD＝＝＝10，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠APB，∵∠APB＝∠BEP＝∠DEA，∴∠DAE＝∠DEA，∴DA＝DE＝8，∴BE＝BP＝BD﹣DE＝10﹣8＝2，∴PA＝＝＝2，∵MN垂直平分线段AP，∴AF＝PF＝，∵PB∥AD，∴＝＝＝，∴PE＝PA＝，∴EF＝PF﹣PE＝﹣＝，∴＝＝．（3）解：如图3中，连接AM，MP．设CM＝x．∵四边形AB CD是矩形，∴∠ADM＝∠MCP＝90°，AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∵MN垂直平分线段AP，∴MA＝MP，∴AD2+DM2＝PC2+CM2，∴82+（6﹣x）2＝62+x2，∴x＝，∵∠PFM＝∠PCM＝90°，∴P，F，M，C四点共圆，∴∠CFM＝∠CPM，∴tan∠CFM＝tan∠CFM＝＝＝．11．在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中线的方法，例如：在△ABC中，AB＝8，AC＝6，点D是BC边上的中点，怎样求AD的取值范围呢？我们可以延长AD到点E，使AD＝DE，然后连接BE（如图①），这样，在△ADC和△EDB中，由于，∴△ADC≌△EDB，∴AC＝EB，接下来，在△ABE中通过AE的长可求出AD的取值范围．请你回答：（1）在图①中，中线AD的取值范围是1＜AD＜7 ．（2）应用上述方法，解决下面问题①如图②，在△ABC中，点D是BC边上的中点，点E是AB边上的一点，作DF⊥DE交AC边于点F，连接EF，若BE＝4，CF＝2，请直接写出EF的取值范围．②如图③，在四边形ABCD中，∠BCD＝150°，∠ADC＝30°，点E是AB中点，点F在DC上，且满足BC＝CF，DF＝AD，连接CE、ED，请判断CE与ED的位置关系，并证明你的结论．解：（1）延长AD到点E，使AD＝DE，连接BE，如图①所示：∵点D是BC边上的中点，∴BD＝CD，在△A DC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC＝EB＝6，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴8﹣6＜AE＜8+6，即2＜AE＜14，∴1＜AD＜7，故答案为：1＜AD＜7；（2）①延长ED到点N，使ED＝DN，连接CN、FN，如图②所示：∵点D是BC边上的中点，∴BD＝CD，在△NDC和△EDB中，中，，∴△NDC≌△EDB（SAS），∴BE＝CN＝4，∵DF⊥DE，ED＝DN，∴EF＝FN，在△CFN中，CN﹣CF＜FN＜CN+CF，∴4﹣2＜FN＜4+2，即2＜FN＜6，∴2＜EF＜6；②CE⊥ED；理由如下：延长CE与DA的延长线交于点G，如图③所示：∵点E是AB中点，∴BE＝AE，∵∠BCD＝150°，∠ADC＝30°，∴DG∥BC，∴∠GAE＝∠CBE，在△GAE和△CBE中，，∴△GAE≌△CBE（ASA），∴GE＝CE，AG＝BC，∵BC＝CF，DF＝AD，∴CF+DF＝BC+AD＝AG+AD，即：CD＝GD，∵GE＝CE，12．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，对角线AC、BD相交于点O，将直线AC绕点O 顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC、AD于点E、F，已知AB＝1，，连接BF．（1）如图①，在旋转的过程中，请写出线段AF与EC的数量关系，并证明；（2）如图②，当α＝45°时，请写出线段BF与DF的数量关系，并证明；（3）如图③，当α＝90°时，求△BOF的面积．解：（1）AF＝CE；理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AO＝CO，∴∠FAO＝∠ECO，∴在△AFO与△CEO中，，∴△AFO≌△CEO（ASA），（2）BF＝DF；理由如下：∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴AC＝＝＝2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，AO＝CO＝AC＝1，∴AB＝AO，又∵AB⊥AC，∴∠AOB＝45°，∵α＝45°，∠AOF＝45°，∴∠BOF＝∠AOB+∠AOF＝45°+45°＝90°，∴EF⊥BD，∵BO＝DO，∴BF＝DF；（3）∵AB⊥AC，∴∠CAB＝90°，∴∠CAB＝∠AOF＝α＝90°，∴AB∥EF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∴AB＝EF＝1，由（1）得：△AFO≌△CEO，∴OF＝OE＝EF＝，由（2）得：AO＝1，∵AB∥EF，AO⊥EF，∴S△BOF＝S△AOF＝AO•OF＝×1×＝．13．综合与实践（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．请写出∠AEB的度数及线段AD，BE之间的数量关系，并说明理由．（2）类比探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．填空：①∠AEB的度数为90°；②线段CM，AE，BE之间的数量关系为AE＝BE+2CM．（3）拓展延伸在（2）的条件下，若BE＝4，CM＝3，则四边形ABEC的面积为35 ．解：（1）∠AEB＝60°，AD＝BE，理由如下：∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°．∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴∠ADC＝∠BEC．AD＝BE，∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝120°．∴∠BEC＝120°．∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°．（2）猜想：①∠AEB＝90°，②AE＝BE+2CM．理由如下：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝135°．∴∠BEC＝135°．∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°．∵CD＝CE，CM⊥DE，∴DM＝ME．∵∠DCE＝90°，∴DM＝ME＝CM．∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．故答案为：90°，AE＝BE+2CM；（3）由（2）得：∠AEB＝90°，AD＝BE＝4，∵△DCE均为等腰直角三角形，CM为△DCE中DE边上的高，∴CM⊥AE，DE＝2CM＝6，∴AE＝AD+DE＝4+6＝10，∴四边形ABEC的面积＝△ACE的面积+△ABE的面积＝AE×CM+AE×BE＝×10×3+×10×4＝35；故答案为：35．14．如图，正方形OABC的边长为8，P为OA上一点，OP＝2，Q为OC边上的一个动点，分别以OP\PQ为边在正方形OABC内部作等边三角形OPD和等边三角形PQE．（1）证明：DE＝OQ；（2）直线ED与OC交于点F，点Q在运动过程中．①∠EFC的度数是否发生改变？若不变，求出这个角的度数；若改变，说明理由；②连结AE，求AE的最小值．（1）证明：如图1中，∵△OPD和△PQE是等边三角形，∴PO＝PD，PQ＝PE，∠OPD＝∠QPE＝60°，∴∠OPQ＝∠DPE，∴△OPQ≌△DPE（SAS），∴DE＝OQ．（2）①∵△OPQ≌△DPE，∴∠EDP＝∠POQ＝90°，∵∠DOP＝∠ODP＝60°∴∠FDO＝∠FDO＝30°，∴∠EFC＝∠FOC+∠FDO＝60°．②如图2中，当点Q与点C重合时，以PQ为边作正三角形PQM．∵∠EFC＝60°为定值，点E的运动路径为线段DM，过点P作PH⊥EA，垂足为H，∴当AE⊥DE时，AE的值最小∵∠PDE＝∠DEH＝∠PHE＝90°，∴四边形PDEH是矩形，∴∠DPH＝90°，EH＝PD＝2，∴EH＝DP＝2，在△PHA中，∠AHP＝90°，∠HPA＝30°∴AH＝PA＝3，∴AE＝EH+AH＝2+3＝5．15．我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂直四边形．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂直四边形吗？请说明理由；（2）如图2，四边形ABCD是垂直四边形，求证：AD2+BC2＝AB2+CD2；（3）如图3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝4，BC＝3，求GE长．（1）解：四边形ABCD是垂直四边形；理由如下：∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂直四边形；（2）证明：设AC、BD交于点E，如图2所示：∵AC⊥BD，∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，由勾股定理得：AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2＝AE2+BE2+DE2+CE2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；（3）解：连接CG、BE，如图3所示：∵正方形ACFG和正方形ABDE，∴AG＝AC，AB＝AE，CG＝AC＝4，BE＝AB，∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，又∵∠AEC+∠CEB+∠ABE＝90°，∴∠ABG+∠CEB+∠ABE＝90°，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂直四边形，由（2）得，CG2+BE2＝BC2+GE2，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝＝5，BE＝AB＝5，∴GE2＝CG2+BE2﹣BC2＝（4）2+（5）2﹣32＝73，∴GE＝．。

中考数学复习《特殊的平行四边形》专题练习(含答案)

中考数学复习《特殊的平行四边形》专题练习(含答案)
30. (2018·江西)在正方形 中， ，连接 是正方形边上或对角线上一点.若 ，则 的长为.
三、解答题
31. (2018·湘西州)如图，在矩形 中， 是 的中点，连接 .
(1)求证: ;
(2)若 ，求 的周长.
32. (2018连云港)如图，在矩形 中， 是 的中点，延长 交于点 ，连接 .
(1)求证:四边形 是平行四边形;
A. B. C. D.
二、填空题
13. (2018·株洲)如图，矩形 的对角线 与 相交点 ， 分别为 的中点，则 的长度为.
14.(2018·成都)如图，在矩形 中，按以下步骤作图:①分别以点 和 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 和 ;②作直线 交 于点 .若 ，则矩形的对角线 的长为.
38. (2018·乌鲁木齐)如图，在四边形 中， ， 是 的中点， ， ， 于点 .
(1)求证:四边形 是菱形;
(2)若 ，求 的长.
39. (2018·广安)如图，四边形 是正方形， 为 上一点，连接 ，延长 至点 ，使得 ，过点 作 ，垂足为 ，求证: .
40. (2018·盐城)如图，在正方形 中，对角线 所在的直线上有两点 满足 ，连接 .
(2)在(1)的条件下，连接 ，求 的度数.
36.(2018·娄底)如图，在四边形 中，对角线 相交于点 ，且
，过点 作 ，分别交 于点 .
(1)求证: ;
(2)判断四边形 的形状，并说明理由.
37. (2018·南京)如图，在四边形 中， ， . 是四边形 内一点，且 .求证:
(1) ;
(2)四边形 是菱形.
9. (2018·宿迁)如图，菱形 的对角线 相交于点 ， 为边 的中点.若菱

新北师大版九年级数学上册《特殊平行四边形》试卷(附答案)

新北师大版九年级数学上册《特殊平行四边形》试卷(附答案)

新北师大版九年级数学上册《特殊平行四边形》试卷(附答案)特殊平行四边形》试卷一、填空题1、如图，将△ABC绕AC的中点O按顺时针旋转180°得到△CDA，添加一个条件使四边形ABCD为矩形．条件：AB=CD2、如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为________．四边形EFGH的面积为24.3、如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上，且DP＝1，点Q是AC上一动点，则DQ＋PQ的最小值为____________．DQ+PQ的最小值为√10.二、选择题4、矩形具有而菱形不具有的性质是() A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等答案：D5、如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC ＝6，BD＝4，则菱形ABCD的周长是()。

A．24B．16C．413D．213答案：B6、如图，将△XXX沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是() A．AB ＝XXX．∠B＝60°D．∠ACB＝60°答案：C7、如图，4×4的方格中每个小正方形的边长都是1，则S 四边形ABDC与S四边形ECDF的大小关系是() A．S四边形ABDC＝S四边形ECDFB．S四边形ABDC<S四边形ECDFC．S四边形ABDC＝S四边形ECDF＋1D．S四边形ABDC＝S四边形ECDF＋2答案：A8、如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC 为边长的正方形ACEF的周长为() A．14B．15C．16D．17答案：C9、如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD 边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD 的面积是() A．12B．24C．123D．163答案：B三、XXX10、如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F。

初三数学专题复习之三角形与特殊四边形(含答案)

初三数学专题复习之三角形与特殊四边形(含答案)

初三数学专题之三角形与特殊四边形（含答案)一．选择题（共20小题）1．关于▱ABCD的叙述，正确的是（）A．若AB⊥BC,则▱ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C．若AC=BD，则▱ABCD是矩形D．若AB=AD，则▱ABCD是正方形2．下列说法中正确的是（）A．对角线相等的平行四边形是菱形B．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形C．对角线垂直的四边形是菱形D．有一个角是直角的四边形是矩形3．如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B 为（)A．66°B．104°C．114° D．124°4．如图,O是▱ABCD的对角线交点，E为AB中点，DE交AC于点F，若S▱ABCD=16．则S△DOE的值为（）A．1 B．C．2 D．5．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：（1），（2）；（3）∠A=∠A′;（4）∠C=∠C′，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有(）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组6．如图，P是Rt△ABC斜边AB上任意一点（A，B两点除外），过P点作一直线，使截得的三角形与Rt△ABC相似，这样的直线可以作(）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条7．如图,每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分）与左图中△ABC相似的是（）A．B．C．D．8．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2,BE=CD，则△ADE的形状是()A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．不能确定形状9．如图，AB∥EF,CD⊥EF，∠BAC=50°，则∠ACD=（）A．120°B．130°C．140° D．150°10．在给定的条件中,能画出平行四边形的是（）A．以60cm为一条对角线，20cm,34cm为两条邻边B．以6cm，10cm为两条对角线，8cm为一边C．以20cm，36cm为两条对角线，22cm为一边D．以6cm为一条对角线，3cm，10cm为两条邻边11．用尺规作图，不能作出唯一直角三角形的是（）A．已知两条直角边B．已知两个锐角C．已知一直角边和直角边所对的一锐角D．已知斜边和一直角边12．如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,OE∥DC交BC于点E，AD=6cm，则OE的长为（）A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm13．已知：线段AB，BC，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD．以下是甲、乙两同学的作业：甲：1．以点C为圆心,AB长为半径画弧；2．以点A为圆心,BC长为半径画弧；3．两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求(如图1）．乙：1．连接AC,作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；2．连接BM并延长，在延长线上取一点D，使MD=MB，连接AD，CD,四边形ABCD 即为所求（如图2)．对于两人的作业，下列说法正确的是(）A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对14．下列命题是假命题的是（)A．不在同一直线上的三点确定一个圆B．角平分线上的点到角两边的距离相等C．正六边形的内角和是720°D．角的边越大,角就越大15．如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“弘”字一面的相对面上的字是()A．传B．统C．文D．化16．如图是正方体的平面展开图,每个面都标注了数字，如果5在正方体的右面，4在下面，那么后面的数字是（）A．3 B．4 C．5 D．617．一个正方体的表面展开图如图所示,每个面内都标注了字母,如果从正方体的右面看是面D，面C在后面，则正方体的上面是()A．面E B．面F C．面A D．面B18．如图所示，已知AB∥CD，下列结论正确的是（）A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠1=∠4 D．∠3=∠419．如图,点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是（）A．∠A=∠C B．∠D=∠B C．AD∥BC D．DF∥BE20．如图，已知E是菱形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80°，那么∠CDE 的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°二．填空题（共8小题）21．如图，A，B两点被池塘隔开，不能直接测量其距离．于是，小明在岸边选一点C，连接CA，CB，分别延长到点M，N,使AM=AC，BN=BC，测得MN=200m,则A，B间的距离为m．22．如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α=°．23．如图，四边形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上,将△BMN沿MN翻折，得△FMN,若MF∥AD，FN∥DC，则∠B=°．24．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是．25．将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为．26．如图,在菱形ABCD中,∠DAB=60°，AB=2，则菱形ABCD的面积为．27．如图，四边形ABCD是菱形，AC=24，BD=10,DH⊥AB于点H，则线段BH的长为．28．矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O,请你添加一个适当的条件，使其成为正方形（只填一个即可)三．解答题（共7小题)29．如图，点B，F，C，E在直线l上（F,C之间不能直接测量)，点A，D在l异侧,测得AB=DE,AC=DF,BF=EC．（1)求证：△ABC≌△DEF;（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由．30．嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图1的四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证．已知：如图1，在四边形ABCD中，BC=AD,AB=求证：四边形ABCD是四边形．（1）填空，补全已知和求证;（2)按嘉淇的想法写出证明；(3）用文字叙述所证命题的逆命题为．31．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°．得到△ADE．连接BD，CE交于点F．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2)求∠ACE的度数；（3）求证：四边形ABFE是菱形．32．如图,已知点A、F、E、C在同一直线上,AB∥CD，∠ABE=∠CDF，AF=CE．（1)从图中任找两组全等三角形；（2）从（1)中任选一组进行证明．33．如图，△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°,点E在AB 上．求证:△CDA≌△CEB．34．如图,在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE．(1）求证：△AGE≌△BGF；(2)试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．35．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE,BE=FC．（1)求证：△ABC≌△DFE;（2）连接AF、BD，求证:四边形ABDF是平行四边形．2018年05月07日橙子的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．关于▱ABCD的叙述,正确的是(）A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C．若AC=BD，则▱ABCD是矩形D．若AB=AD，则▱ABCD是正方形【分析】由菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法得出选项A、B、D错误，C正确；即可得出结论．【解答】解：∵▱ABCD中，AB⊥BC，∴四边形ABCD是矩形,不一定是菱形，选项A错误；∵▱ABCD中,AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，选项B错误；∵▱ABCD中，AC=BD，∴四边形ABCD是矩形,选项C正确；∵▱ABCD中，AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，选项D错误．故选:C．【点评】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法；熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定方法是解决问题的关键．2．下列说法中正确的是（）A．对角线相等的平行四边形是菱形B．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形C．对角线垂直的四边形是菱形D．有一个角是直角的四边形是矩形【分析】利用矩形的判定、菱形的判定及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故错误；B、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形,正确;C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故错误，故选:B．【点评】本题考查了命题与定理的知识,解题的关键是能够了解矩形的判定、菱形的判定及正方形的判定方法,难度不大．3．如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处,若∠1=∠2=44°，则∠B 为（）A．66°B．104°C．114° D．124°【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠ACD=∠BAC=∠B′AC，由三角形的外角性质求出∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°，再由三角形内角和定理求出∠B即可．【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC,∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°，∴∠B=180°﹣∠2﹣∠BAC=180°﹣44°﹣22°=114°；故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理;熟练掌握平行四边形的性质,求出∠BAC的度数是解决问题的关键．4．如图，O是▱ABCD的对角线交点，E为AB中点，DE交AC于点F，若S▱ABCD=16．则S△DOE的值为（）A．1 B．C．2 D．【分析】由平行四边形的面积，找到三角形底边和高与平行四边形底边和高的关系，利用面积公式以及线段间的关系求解．分别作△OED和△AOD的高,利用平行线的性质,得出高的关系，进而求解．【解答】解：如图，过A、E两点分别作AN⊥BD、EM⊥BD，垂足分别为M、N，则EM∥AN,∴，∴EM=AN，由题意S ABCD=16∴2××AN×BD=16，∴S OED=×OD×EM===2．故选：C．【点评】本题考查平行四边形的性质,综合了平行线的性质以及面积公式．已知一个三角形的面积求另一个三角形的面积有以下几种做法：①面积比是边长比的平方比;②分别找到底和高的比．5．在△ABC与△A′B′C′中,有下列条件：(1)，（2)；（3）∠A=∠A′；（4）∠C=∠C′，如果从中任取两个条件组成一组,那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有（)A．1组 B．2组 C．3组 D．4组【分析】根据相似三角形的判定方法对各个条件进行分析，从而得到答案．【解答】解：共有3组，其组合分别是（1）和（2）三边对应成比例的两个三角形相似；(2）和（4）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）和（4）两角对应相等的两个三角形相似．故选:C．【点评】考查相似三角形的判定定理：(1）两角对应相等的两个三角形相似．（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．(3)三边对应成比例的两个三角形相似．（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．如图，P是Rt△ABC斜边AB上任意一点(A，B两点除外)，过P点作一直线，使截得的三角形与Rt△ABC相似，这样的直线可以作（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【分析】本题要根据相似三角形的判定方法进行求解．【解答】解:过点P可作PE∥BC或PE∥AC，可得相似三角形;过点P还可作PE⊥AB，可得:∠EPA=∠C=90°,∠A=∠A，∴△APE∽△ACB;所以共有3条．故选：C．【点评】此题考查了相似三角形的判定:①有两个对应角相等的三角形相似;②有两个对应边的比相等,且其夹角相等,则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．7．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是()A．B．C．D．【分析】本题主要应用两三角形相似判定定理，三边对应成比例，分别对各选项进行分析即可得出答案．【解答】解:已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．故选：B．【点评】此题考查三角形相似判定定理的应用．8．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2,BE=CD，则△ADE的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．不能确定形状【分析】先证得△ABE≌△ACD,可得AE=AD，∠BAE=∠CAD=60°，即可证明△ADE 是等边三角形．【解答】解:∵△ABC为等边三角形∴AB=AC∵∠1=∠2，BE=CD∴△ABE≌△ACD∴AE=AD,∠BAE=∠CAD=60°∴△ADE是等边三角形．故选：B．【点评】此题主要考查学生对等边三角形的判定及三角形的全等等知识点的掌握．9．如图，AB∥EF，CD⊥EF,∠BAC=50°，则∠ACD=（）A．120°B．130°C．140° D．150°【分析】如图，作辅助线；首先运用平行线的性质求出∠DGC的度数，借助三角形外角的性质求出∠ACD即可解决问题．【解答】解：如图，延长AC交EF于点G；∵AB∥EF，∴∠DGC=∠BAC=50°；∵CD⊥EF，∴∠CDG=90°，∴∠ACD=90°+50°=140°，故选:C．【点评】该题主要考查了垂线的定义、平行线的性质、三角形的外角性质等几何知识点及其应用问题;解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用平行线的性质、三角形的外角性质等几何知识点来分析、判断、解答．10．在给定的条件中，能画出平行四边形的是（）A．以60cm为一条对角线，20cm，34cm为两条邻边B．以6cm，10cm为两条对角线,8cm为一边C．以20cm,36cm为两条对角线,22cm为一边D．以6cm为一条对角线,3cm，10cm为两条邻边【分析】能画出平行四边形，首先要能画出三角形：两条对角线的一半和平行四边形的一边构成三角形;平行四边形的两条边和一条对角线构成三角形．【解答】解：A、20+34不大于60，不能构成三角形,故A选项错误；B、3+5不大于8，不能构成三角形，故B选项错误;C、10+18＞22，能构成三角形,故C选项正确；D、3+6不大于10,不能构成三角形，故D选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查平行四边形的作图，综合考查了平行四边形的性质和三角形三边之间的关系．11．用尺规作图,不能作出唯一直角三角形的是（）A．已知两条直角边B．已知两个锐角C．已知一直角边和直角边所对的一锐角D．已知斜边和一直角边【分析】能不能作出唯一直角三角形要看所给条件是否满足全等三角形的判定条件，然后利用三角形全等的判定方法对各选项进行判定．【解答】解：A、已知两条直角边和直角，可根据“SAS”作出唯一直角三角形，所以A选项错误；B、已知两个锐角，不能出唯一的直角三角形,所以B选项之前；C、已知一直角边和直角边所对的一锐角，可根据“AAS”或“ASA”作出唯一直角三角形,所以B选项错误;D、已知斜边和一直角边,可根据“HL”作出唯一直角三角形，所以D选项错误．故选：B．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作．解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．12．如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC交BC 于点E，AD=6cm，则OE的长为()A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm【分析】利用菱形的四边都相等的性质结合三角形相似求解．【解答】解:∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD=6cm，OC=OA=AC．∵OE∥DC，∴△ABC∽△OEC，则===，∴OE=3（cm）．故选：C．【点评】本题根据三角形相似及菱形的性质解答．13．已知：线段AB，BC，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD．以下是甲、乙两同学的作业：甲：1．以点C为圆心，AB长为半径画弧；2．以点A为圆心,BC长为半径画弧;3．两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD,四边形ABCD即为所求（如图1）．乙：1．连接AC,作线段AC的垂直平分线,交AC于点M；2．连接BM并延长，在延长线上取一点D，使MD=MB，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求（如图2）．对于两人的作业，下列说法正确的是（）A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对,乙对【分析】先由两组对边分别相等的四边形是平行四边形得出四边形ABCD是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断甲的作业正确；先由对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形ABCD是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断乙的作业也正确．【解答】解:由甲同学的作业可知,CD=AB，AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠ABC=90°,∴▱ABCD是矩形．所以甲的作业正确；由乙同学的作业可知,CM=AM，MD=MB，∴四边形ABCD是平行四边形,又∵∠ABC=90°,∴▱ABCD是矩形．所以乙的作业正确；故选：A．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图的应用及矩形的判定，从两位同学的作图语句中获取正确信息及熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．14．下列命题是假命题的是(）A．不在同一直线上的三点确定一个圆B．角平分线上的点到角两边的距离相等C．正六边形的内角和是720°D．角的边越大,角就越大【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，真命题；B、角平分线上的点到角两边的距离相等，真命题；C、正六边形的内角和是720°，真命题；D、角的边越大，角就越大是假命题，因为角的大小与边的长短无关．故选：D．【点评】主要考查命题的真假判断,正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．15．如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后,有“弘”字一面的相对面上的字是（）A．传B．统C．文D．化【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“扬"与“统”相对，面“弘”与面“文”相对，“传"与面“化”相对．故选：C．【点评】本题考查了正方体的展开图得知识,注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．16．如图是正方体的平面展开图，每个面都标注了数字,如果5在正方体的右面，4在下面，那么后面的数字是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】利用正方体及其表面展开图的特点以及题意解题，把“4”作为正方体的底面，然后把平面展开图折成正方体，然后根据5在正方体的右面，4在下面，判断出正方体后面的数．【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“5”与面“2”相对，面“4”与面“6”相对，“1”与面“3"相对．所以后面的数字是3．故选：A．【点评】注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．17．一个正方体的表面展开图如图所示,每个面内都标注了字母,如果从正方体的右面看是面D,面C在后面,则正方体的上面是（）A．面E B．面F C．面A D．面B【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．这是一个正方体的平面展开图，共有六个面,其中面“B”与面“D”相对，面“E”与面“A"相对，“F”与面“C"相对．因为右面看是面D，面C在后面，则正方体的上面是A．【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面,其中面“B"与面“D”相对,面“E"与面“A”相对，“F"与面“C”相对．因为右面看是面D，面C在后面，则正方体的上面是A．故选：C．【点评】注意正方体的空间图形，从相对面入手,分析及解答问题．18．如图所示，已知AB∥CD，下列结论正确的是()A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠1=∠4 D．∠3=∠4【分析】根据平行线的性质即可得到结论．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠1=∠4,故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．19．如图，点E,F在AC上，AD=BC,DF=BE，要使△ADF≌△CBE,还需要添加的一个条件是（）A．∠A=∠C B．∠D=∠B C．AD∥BC D．DF∥BE【分析】利用全等三角形的判定与性质进而得出当∠D=∠B时，△ADF≌△CBE．【解答】解：当∠D=∠B时，在△ADF和△CBE中∵，∴△ADF≌△CBE（SAS),故选：B．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．20．如图，已知E是菱形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80°，那么∠CDE 的度数为（)A．20°B．25°C．30°D．35°【分析】依题意得出AE=AB=AD,∠ADE=50°，又因为∠B=80°故可推出∠ADC=80°，∠CDE=∠ADC﹣∠ADE，从而求解．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠AEB=∠DAE=∠B=80°，∴AE=AB=AD，在三角形AED中，AE=AD,∠DAE=80°,∴∠ADE=50°,又∵∠B=80°，∴∠ADC=80°，∴∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=30°．故选:C．【点评】本题是简单的推理证明题,主要考查菱形的边的性质，同时综合利用三角形的内角和及等腰三角形的性质．二．填空题（共8小题）21．如图，A，B两点被池塘隔开，不能直接测量其距离．于是，小明在岸边选一点C，连接CA，CB,分别延长到点M，N，使AM=AC，BN=BC，测得MN=200m，则A,B间的距离为100m．【分析】根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵AM=AC，BN=BC，∴AB是△CMN的中位线，∴AB=MN=100m，故答案为：100．【点评】本题考查的是三角形的中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．22．如图，依据尺规作图的痕迹,计算∠α=56°．【分析】先根据矩形的性质得出AD∥BC，故可得出∠DAC的度数,由角平分线的定义求出∠EAF的度数，再由EF是线段AC的垂直平分线得出∠AEF的度数，根据三角形内角和定理得出∠AFE的度数，进而可得出结论．【解答】解:∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=68°．∵由作法可知，AF是∠DAC的平分线，∴∠EAF=∠DAC=34°．∵由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，∴∠AEF=90°，∴∠AFE=90°﹣34°=56°，∴∠α=56°．故答案为：56．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线及线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．23．如图，四边形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD,FN∥DC，则∠B=95°．【分析】根据两直线平行，同位角相等求出∠BMF、∠BNF,再根据翻折的性质求出∠BMN和∠BNM，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【解答】解：∵MF∥AD,FN∥DC,∴∠BMF=∠A=100°，∠BNF=∠C=70°，∵△BMN沿MN翻折得△FMN,∴∠BMN=∠BMF=×100°=50°，∠BNM=∠BNF=×70°=35°，在△BMN中，∠B=180°﹣（∠BMN+∠BNM）=180°﹣（50°+35°）=180°﹣85°=95°．故答案为：95．【点评】本题考查了两直线平行，同位角相等的性质，翻折变换的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．24．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，请你添加一个条件(不添加字母和辅助线），使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是AB=DC．【分析】根据：斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，使Rt△ABC≌Rt △DCB,添加的条件是：AB=DC．【解答】解：∵斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，∴在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，使Rt△ABC≌Rt△DCB，添加的条件是：AB=DC．故答案为：AB=DC．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质的应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确：①判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．②判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．③判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．④判定定理4:AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．⑤判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．25．将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为15°．【分析】根据三角形的外角的性质计算即可．【解答】解：由三角形的外角的性质可知,∠α=60°﹣45°=15°，故答案为：15°．【点评】本题考查的是三角形的外角的性质,掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．26．如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2,则菱形ABCD的面积为2．【分析】由菱形ABCD，得到邻边相等，且对角线互相平分，再由一个角为60°的等腰三角形为等边三角形得到三角形ABD为等边三角形，求出BD的长,再由菱形的对角线垂直求出AC的长，即可求出菱形的面积．【解答】解：∵菱形ABCD，∴AD=AB，OD=OB,OA=OC，∵∠DAB=60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD=AB=2，∴OD=1,在Rt△AOD中，根据勾股定理得:AO==，∴AC=2，=AC•BD=2，则S菱形ABCD故答案为:2【点评】此题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解本题的关键．27．如图，四边形ABCD是菱形，AC=24，BD=10,DH⊥AB于点H，则线段BH的长为．【分析】直接利用菱形的性质得出AO，DO的长，再利用三角形面积以及勾股定理得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=24，BD=10，∴AO=12，OD=5，AC⊥BD，∴AD=AB==13,∵DH⊥AB,∴AO×BD=DH×AB，∴12×10=13×DH，∴DH=，∴BH==．故答案为：．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确得出DH的长是解题关键．28．矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，请你添加一个适当的条件AB=BC （答案不唯一）,使其成为正方形（只填一个即可)【分析】此题是一道开放型的题目答案不唯一,证出四边形ABCD是菱形，由正方形的判定方法即可得出结论．【解答】解：添加条件：AB=BC，理由如下：∵四边形ABCD是矩形,AB=BC，∴四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是正方形，故答案为:AB=BC（答案不唯一）．【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定,正方形的判定的应用，能熟记正方形的判定定理是解此题的关键,注意：有一组邻边相等的矩形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形．三．解答题(共7小题）29．如图,点B，F,C,E在直线l上（F，C之间不能直接测量)，点A，D在l异侧,测得AB=DE，AC=DF，BF=EC．（1)求证：△ABC≌△DEF；(2)指出图中所有平行的线段,并说明理由．【分析】（1）先证明BC=EF，再根据SSS即可证明．（2）结论AB∥DE，AC∥DF，根据全等三角形的性质即可证明．【解答】（1）证明：∵BF=CE,∴BF+FC=FC+CE，即BC=EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）．（2）结论:AB∥DE，AC∥DF．理由:∵△ABC≌△DEF，∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，∴AB∥DE，AC∥DF．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，记住平行线的判定方法,属于基础题，中考常考题型．30．嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图1的四边形ABCD,并写出了如下不完整的已知和求证．已知：如图1，在四边形ABCD中,BC=AD，AB=CD求证：四边形ABCD是平行四边形．（1）填空，补全已知和求证；(2）按嘉淇的想法写出证明；（3）用文字叙述所证命题的逆命题为平行四边形两组对边分别相等．【分析】（1）命题的题设为“两组对边分别相等的四边形”，结论是“是平行四边形”,根据题设可得已知：在四边形ABCD中，BC=AD，AB=CD，求证：四边形ABCD 是平行四边形；（2）连接BD，利用SSS定理证明△ABD≌△CDB可得∠ADB=∠DBC,∠ABD=∠CDB,进而可得AB∥CD，AD∥CB，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形；（3）把命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的题设和结论对换可得平行四边形两组对边分别相等．【解答】解：（1)已知：如图1，在四边形ABCD中，BC=AD,AB=CD求证：四边形ABCD是平行四边形．(2)证明：连接BD，在△ABD和△CDB中,，∴△ABD≌△CDB(SSS）,∴∠ADB=∠DBC，∠ABD=∠CDB，∴AB∥CD，AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形；（3）用文字叙述所证命题的逆命题为：平行四边形两组对边分别相等．。

初三数学同步练习：特殊四边形试卷

初三数学同步练习：特殊四边形试卷

初三数学同步练习：特殊四边形试卷一、选择题(每小题3分，共36分)1.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是( )A.一组对角相等B.对角线互相平分C.一组对边相等D.对角线互相垂直2.如图，是我国古代数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中所画的图形，它是由四个相同的直角三角形拼成的，下面关于此图形的说法正确的是( )A.它是轴对称图形，但不是中心对称图形B.它是中心对称图形，但不是轴对称图形C.它既是轴对称图形，又是中心对称图形D.它既不是轴对称图形，又不是中心对称图形3.有下列四个命题:(1)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形;(2)两条对角线相等的四边形是菱形;(3)两条对角线互相垂直的四边形是正方形;(4)两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形.其中正确的个数为( )A.4B.3C.2D.14.下列说法中，正确的是( )A.等腰梯形既是中心对称图形又是轴对称图形B.正方形的对角线互相垂直平分且相等C.矩形是轴对称图形且有四条对称轴D.菱形的对角线相等5.已知三角形的三个顶点坐标，求三角形面积通常有以下三种方法：方法1：直截了当法：运算三角形一边的长，并求出该边上的高;方法2：补形法：将三角形面积转化成若干个专门的四边形和三角形的面积的和与差;方法3：分割法：选择一条恰当的直线，将三角形分割成两个便于运算面积的三角形.现给出三点坐标：(-1，4)，(2，2)，(4，-1)，请你选择一种方法运算△的面积，你的答案是( )A. B. C. D.6.如图，在菱形中，，，则对角线等于( )A.20B.15C.10D.57.如图，小亮用六块形状、大小完全相同的等腰梯形拼成一个四边形，则图中的度数是( )A. B. C. D.8.矩形、菱形、正方形都具有的性质是()A.每一条对角线平分一组对角B.对角线相等C.对角线互相平分D.对角线互相垂直9.如图，将一个长为，宽为的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下，再打开，得到的菱形的面积为( )A. B. C. D.10.如图,是一张矩形纸片，，若将纸片沿折叠，使落在上，点的对应点为点，若，则( )A. B. C. .11.如图,在△中，= 90 =30, 是中位线，沿裁剪将△分为两块后拼接成专门的四边形,则不能拼成的图形是( )A.正方形B.矩形C.菱形D.等腰梯形12.有下列命题：(1)等边三角形是专门的等腰三角形;(2)邻边相等的矩形一定是正方形;(3)对角线相等的四边形是矩形;(4)三角形中至少有两个角是锐角;(5)菱形对角线长的平方和等于边长平方的4倍.其中正确命题的个数为()A.2B.3C.4D.5二、填空题(每小题3分，共15分)13.如图所示，在四边形中，、、、分别是、、、的中点，请添加一个与四边形对角线有关的条件为，使四边形是专门的平行四边形，为形.14.已知在四边形ABCD中，，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，则那个条件能够是__________.15.如图，在菱形中，对角线相交于点，若再补充一个条件能使菱形成为正方形，则那个条件是(只填一个条件即可).16.如图，在等腰梯形中，∥，= ，，，，则上底的长是____ ___ .17. 如图，矩形的对角线，，则图中五个小矩形的周长之和为_______ .三、解答题(共69分)18. (9分)如图，是△的一条角平分线，DK∥AB交BC于点E，且D K=BC，连接BK，CK，得到四边形DCKB，请判定四边形DCKB是哪种专门四边形，并说明理由.19.(9分)如图，在四边形中，∥，，,求四边形的周长.20.(10分)如图，在平行四边形中，对角线相交于点，过点分别交于点求证：.21.(10分)如图，在平行四边形ABCD中，、是对角线上的两点，且求证：22.(10分)如图，在△和△中，与交于点.(1)求证：△≌△;(2)过点作∥，过点作∥，与交于点，试判定线段与的数量关系，并证明你的结论.23.(10分) 如图，在梯形中，，过对角线的中点作，分别交边于点，连接.(1)求证：四边形是菱形;(2)若，，求四边形的面积.24.(11分)如图，点是正方形内一点，△是等边三角形，连接，延长交边于点.(1)求证：△≌△;(2)求的度数.第2章专门四边形检测题参考答案1.B 解析：由平行四边形的判定定理知选项B正确.2.B 解析：依照轴对称图形、中心对称图形的定义解题.3.D 解析：只有(1)正确，(2)(3)(4)错误.4.B 解析：A.等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形;C.矩形是轴对称图形，但对称轴有两条;D.菱形的对角线互相垂直，但不一定相等.5.B 解析：选择方法2.过点A向轴引垂线，过点B向轴引垂线，两垂线相交于点D，连接CD，则△ABC的面积= ，直截了当运算即可.即△ABC的面积.故选B.点拨：补形法是常用的方法，关键是得到若干个专门的四边形和三角形的面积的和与差.易错点在于准确找到各三角形相应的底与高.6.D 解析：在菱形中，由= ，得.又∵，△是等边三角形，.7.A 解析：观看图形，在等腰梯形的一个上底角顶点处有三个上底角，因而等腰梯形上底角等于，因此.8.C 解析：依照矩形、菱形、正方形的性质解题.9.A 解析：由题意知4 ，5 ，.10.A 解析：由折叠的性质知，四边形为正方形，11. A 解析：第一拼出各种类型的图形(如图)，再依照专门四边形的判定判定是不是正方形、菱形、等腰梯形、矩形即可.选项A，不论如何放置都不能判定所得的四边形是正方形，故本选项符合选择条件.选项B，如图(1)，所得的四边形是矩形，故本选项不符合选择条件.选项C，如图(2)，所得的四边形是平行四边形，因为垂直平分，因此.又=60，因此△是等边三角形，因此，即平行四边形是菱形，故本选项不符合选择条件.选项D，如图(3)，所得的四边形是等腰梯形，故本选项不符合选择条件.故选A.点拨：本题要紧考查了三角形的中位线定理、平行四边形的性质和判定、菱形的判定、正方形的判定、等腰梯形的判定等知识点，解此题的关键是正确拼出各种类型的图形.12. C 解析：分别依照等腰三角形的性质、正方形的判定、矩形的判定、三角形内角和定理以及菱形的性质判定即可得出答案.(1)等边三角形是专门的等腰三角形，依照等腰三角形的性质得出此命题正确.(2)邻边相等的矩形一定是正方形，依照正方形的判定得出此命题正确.(3)对角线相等的四边形也可能是等腰梯形，故此命题错误.(4)三角形中至少有两个角是锐角，依照三角形内角和定理得出此命题正确.(5)如图所示，∵菱形的对角线互相垂直，.菱形对角线长的平方和等于边长平方的4倍，故此命题正确.因此正确的有4个，故选C.13.对角线相等菱解析：如图，连接，∵分别是的中点，，四边形是平行四边形.平行四边形是菱形.家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，小孩一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。

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专题集训13 特殊四边形探究
一、选择题
1．抛物线y ＝x 2
＋x －2与x 轴交于A ，B 两点，A 点在B 点左侧，与y 轴交于点C ，若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上，且以A ，C ，E ，P 为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点E 有( D )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝60°，AB ＝AD ＝BO ＝4，OC ＝8，点P 从B 点出发，沿四边形ABCD 的边BA →AD →DC 以每分钟一个单位长度的速度匀速运动，若运动的时间为t ，△POD 的面积为S ，则S 与t 的函数图象大致为( D )
【解析】当P 在AB 上时，△POD 中，将OD 看作底边．AB ∥OD ，故高不变，S △POD 不变；当P 在AD 上时，P 逐渐靠近D ，将PD 看作底边，S △POD 逐渐减小；同理P 在DC 上时，S △POD 逐渐增大，当t ＝16时，P 与C 重合，S △POD ＝8 3.故选D.
二、填空题
3．如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4.点E 在边AB 上，点F 在边CD 上，点G ，H 在对角线AC 上．若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长为__5__．
【解析】如图，在Rt △ABC 中，AB ＝8，BC ＝4，所以AC ＝4 5.由cos ∠BAC ＝AB AC ＝AO AE ，得8
45＝25AE
，所以AE ＝5. 4．已知平行四边形ABCD 的顶点A 在第三象限，对角线AC 的中点在坐标原点，一边AB 与x 轴平行且AB ＝2，若点A 的坐标为(a ，b )，则点D 的坐标为__(－2－a ，－b )(2－a ，－。

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