中考数学——平行四边形的综合压轴题专题复习及答案解析

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为（4，0），（4，3），动点M，N分别从O，B同时出发．以每秒1个单位的速度运动．其中，点M 沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点M作MP⊥OA，交AC于P，连接NP，已知动点运动了x秒．

（1）P点的坐标为多少（用含x的代数式表示）；

（2）试求△NPC面积S的表达式，并求出面积S的最大值及相应的x值；

（3）当x为何值时，△NPC是一个等腰三角形？简要说明理由．

【答案】（1）P点坐标为（x，3﹣x）．

（2）S的最大值为，此时x=2．

（3）x=，或x=，或x=．

【解析】

试题分析：（1）求P点的坐标，也就是求OM和PM的长，已知了OM的长为x，关键是求出PM的长，方法不唯一，①可通过PM∥OC得出的对应成比例线段来求；

②也可延长MP交BC于Q，先在直角三角形CPQ中根据CQ的长和∠ACB的正切值求出PQ的长，然后根据PM=AB﹣PQ来求出PM的长．得出OM和PM的长，即可求出P点的坐标．

（2）可按（1）②中的方法经求出PQ的长，而CN的长可根据CN=BC﹣BN来求得，因此根据三角形的面积计算公式即可得出S，x的函数关系式．

（3）本题要分类讨论：

①当CP=CN时，可在直角三角形CPQ中，用CQ的长即x和∠ABC的余弦值求出CP的表达式，然后联立CN的表达式即可求出x的值；

②当CP=PN时，那么CQ=QN，先在直角三角形CPQ中求出CQ的长，然后根据QN=CN﹣CQ求出QN的表达式，根据题设的等量条件即可得出x的值．

③当CN=PN时，先求出QP和QN的长，然后在直角三角形PNQ中，用勾股定理求出PN 的长，联立CN的表达式即可求出x的值．

试题解析：（1）过点P作PQ⊥BC于点Q，

有题意可得：PQ∥AB，

∴△CQP∽△CBA，

∴

∴

解得：QP=x，

∴PM=3﹣x，

由题意可知，C（0，3），M（x，0），N（4﹣x，3），P点坐标为（x，3﹣x）．

（2）设△NPC的面积为S，在△NPC中，NC=4﹣x，NC边上的高为，其中，0≤x≤4．

∴S=（4﹣x）×x=（﹣x2+4x）

=﹣（x﹣2）2+．

∴S的最大值为，此时x=2．

（3）延长MP交CB于Q，则有PQ⊥BC．

①若NP=CP，

∵PQ⊥BC，

∴NQ=CQ=x．

∴3x=4，

∴x=．

②若CP=CN，则CN=4﹣x，PQ=x，CP=x，4﹣x=x，∴x=；

③若CN=NP，则CN=4﹣x．

∵PQ=x，NQ=4﹣2x，

∵在Rt△PNQ中，PN2=NQ2+PQ2，

∴（4﹣x）2=（4﹣2x）2+（x）2，

∴x=．

综上所述，x=，或x=，或x=．

考点：二次函数综合题．

2．如图①，在等腰Rt ABC 中，90BAC ∠=，点E 在AC 上(且不与点A 、C 重合)，在ABC △的外部作等腰Rt CED △，使90CED ∠=，连接AD ，分别以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABFD ，连接AF ．

()1请直接写出线段AF ，AE 的数量关系；

()2①将CED 绕点C 逆时针旋转，当点E 在线段BC 上时，如图②，连接AE ，请判断线段AF ，AE 的数量关系，并证明你的结论；

②若25AB =，2CE =，在图②的基础上将CED 绕点C 继续逆时针旋转一周的过程中，当平行四边形ABFD 为菱形时，直接写出线段AE 的长度．

【答案】（1）证明见解析；（2）①AF 2AE =

②4222

【解析】

【分析】 ()1如图①中，结论：AF 2AE =，只要证明AEF 是等腰直角三角形即可； ()2①如图②中，结论：AF 2AE =，连接EF ，DF 交BC 于K ，先证明

EKF ≌EDA 再证明AEF 是等腰直角三角形即可；

②分两种情形a 、如图③中，当AD AC =时，四边形ABFD 是菱形.b 、如图④中当AD AC =时，四边形ABFD 是菱形.分别求解即可.

【详解】

()1如图①中，结论：AF 2AE =．

理由：四边形ABFD 是平行四边形，

AB DF ∴=，

AB AC =，

AC DF ∴=，

DE EC =，

AE EF ∴=，

DEC AEF 90∠∠==，

AEF ∴是等腰直角三角形，

AF 2AE ∴=．

故答案为AF 2AE =．

()2①如图②中，结论：AF 2AE =．

理由：连接EF ，DF 交BC 于K ．

四边形ABFD 是平行四边形，

AB//DF ∴，

DKE ABC 45∠∠∴==，

EKF 180DKE 135∠∠∴=-=，EK ED =，

ADE 180EDC 18045135∠∠=-=-=，

EKF ADE ∠∠∴=，

DKC C ∠∠=，

DK DC ∴=，

DF AB AC ==，

KF AD ∴=，

在EKF 和EDA 中，

EK ED EKF ADE KF AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

，

EKF ∴≌EDA ，

EF EA ∴=，KEF AED ∠∠=，

FEA BED 90∠∠∴==，

AEF ∴是等腰直角三角形，

AF 2AE ∴=．

②如图③中，当AD AC =时，四边形ABFD 是菱形，设AE 交CD 于H ，易知EH DH CH 2===，22AH (25)(2)32=-=，AE AH EH 42=+=，

如图④中当AD AC =时，四边形ABFD 是菱形，易知

AE AH EH 32222=-=-=，

综上所述，满足条件的AE 的长为4222