考研数学极限知识点全解
2020年考研高数知识点：极限中的“极限”
2020年考研高数知识点：极限中的“极限”说到极限应该是我们三大计算中的第一大计算，每年考研真题必出，无论是数一数二数三还是经济类数学，能够出选择题也能够出填空题，更能够出解答题，题目类型不同，分值也不同，4分或者10分，极限的思想也就更是重要之重了，原因就是后来所有的概念都是以极限的形式给出的。
第一，极限的定义。
理解数列极限和函数极限的定义，记住其定义。
第二，极限的性质。
性，有界性，保号性和保不等式性要理解，重点理解保号性和保不等式性，在考研真题里面经常考查，而性质的本身并不难理解，关键是在做题目的时候怎么能想到，所以同学们在做题目的时候能够看看什么情况下利用了极限的保号性，例如：题目中有一点的导数大于零或者小于零，或者给定义数值，能够根据这个数值大于零或小于零，像这样的情况，就能够写出这个点的导数定义，利用极限的保号性，得出相对应的结论，切记要根据题目要求来判断是否需要，但首先要有这样的思路，希望同学们在做题时多去总结。
第三，极限的计算。
这个部分是重中之重，这也是三大计算中的第一大计算，每年必考的题目，所以需要同学们能够熟练地掌握并会计算不同类型的极限计算。
首先要知道基本的极限的计算方法，比如：四则运算、等价无穷小替换、洛必达法则、重要极限、单侧极限、夹逼定理、单调有界收敛定理，除此之外还要泰勒展开，利用定积分定义求极限。
其次还要掌握每一种极限计算的注意事项及拓展，比如：四则运算中掌握“抓大头”思想(两个多项式商的极限，是无穷比无穷形式的，分别抓分子和分母的次计算结果即可)，等价无穷小替换中要掌握等价无穷小替换只能在乘除法中直接应用，加减法中不能直接应用，如需应用必须加附加条件，计算中要掌握基本的等价无穷小替换公式和其推广及凑形式，进一步说就是第一要熟练掌握基本公式，第二要知道怎么推广，也就是将等价无穷小替换公式中的x用f(x)来替换，并且要验证在x趋于某一变化过程中f(x)会否趋近于零，满足则能够利用推广后的等价无穷替换公式，否则不能。
考研数学的知识点整理：1.极限
考研数学的知识点整理：1.极限差不多学习了⼀年，离考试也不远了，考前抽⼀天时间整理⼀下所有的知识点和题型，也就相当于复习了。
第⼀章：极限 极限，简单地来说就是⽆限地趋近⼀个值（但并不是真的等于这个值），⽽永远处在接近这个值的趋势上，永远靠近，永不停⽌。
从书上的定义看，如果对任何ε>0，总存在⾃然数N，使得当n>N时，不等式|xn-x|<ε恒成⽴。
这个定义在实际中也会出题考察。
lim(x->1) x2-1/x-1 =2。
这个函数在x=1处不存在，但x->1时极限存在，并且为2。
直接算当然算不了，但是可以转化为x+1，也就是2. 判定极限存在的充要条件：左右极限各⾃存在且相等。
在很多时候，两侧极限的计算⽅法是不⼀样的，因此左右相等是有意义的。
极限不存在：左右极限不存在/不相等，或者极限⽆穷⼤。
极限的⼀些性质： 1.唯⼀性。
如果⼀个数列的极限存在，那么它的极限值唯⼀，⽽且他的⼦串也都是这个极限值。
2.保号性。
在这⾥先引⼊⼀个去⼼邻域的概念：去⼼领域，就是去掉了中⼼点，但包含其左右的⼀个范围。
保号性的含义，就是指⾃变量在趋近⼀个值时，肯定能找到⼀个去⼼邻域，在这个范围内的值同号。
这⾥放⼀个例题：f'(0)=1, lim(x->1) f'(x)/(x-1)3=2，求x=1？ 解： 在这道题中， f'(x)/(x-1)3=2)>0. 所以，存在某个值ξ>0,使得 0<|x-1|<ξ，即在这个去⼼领域内时，f'(x)/(x-1)3也是⼤于0的。
当x在(1-ξ,1)时即左半邻域时，x-1<0,分母⼩于0，那么分⼦f'(x)<0。
同样，x在右半邻域时，f'(x)>0。
因此，f(x)在x=1处取到了最⼩值。
保号性的更深层的理解:不管是数列极限还是函数极限。
假设lim(x->x0)=A. 要注意函数和极限⼆者的对应关系。
考研数学解题技巧之极限与连续性
考研数学解题技巧之极限与连续性在考研数学中，极限与连续性是一个十分重要的概念和技巧。
掌握了极限与连续性的相关理论和方法，能够解决很多数学问题，提高解题的效率和准确性。
下面我们将介绍一些关于极限与连续性的基本概念、性质和解题技巧。
一、极限的概念与性质1. 极限的定义极限是数学中一个基本的概念，它描述了函数或数列在无穷接近某个数的过程。
给定一个函数或数列，如果对于任意给定的正数ε，存在一个正数δ，使得当自变量趋近某一点时，函数值或数列的项与该点的差的绝对值小于ε，那么我们称该函数或数列的极限存在，并称其极限为该点。
2. 极限的性质对于函数极限的运算性质，有以下几点：- 唯一性：函数的极限只能是唯一确定的；- 有界性：函数极限存在时，函数在某个足够大或足够小的自变量范围内有界；- 保号性：函数极限存在时，函数在某个足够大或足够小的自变量范围内保持和极限同号。
二、连续性的概念与性质1. 函数的连续性函数的连续性是指函数在定义域上没有跳跃的突变，即函数的定义域内无间断点。
具体而言，函数在某一点连续是指函数在该点的极限等于函数在该点的函数值。
对于连续函数的性质，有以下几点：- 初等函数的连续性：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等所有的初等函数在其定义域上都是连续的；- 连续函数的运算性质：连续函数的和、差、积、商（除数非零）仍然是连续函数。
2. 极限与连续性的关系函数在某一点处连续的充分必要条件是函数在该点的极限存在且等于函数在该点的函数值。
换句话说，函数在某点连续，要求极限存在，且函数值与极限值相等。
三、解题技巧1. 使用极限的代数运算性质在解决复杂的数学题目中，可以灵活运用极限的代数运算性质，通过对复杂的函数进行代数变换，简化问题的求解过程。
比如使用极限的乘法、除法、和差的性质，可以将问题转化为更容易求解的形式。
2. 运用夹逼准则夹逼准则是解决极限问题的常用方法之一。
当需要求解一个难以计算的极限时，可以找到两个较为容易求解的函数，它们夹住待求极限的函数，然后通过比较两个夹逼函数的极限来求解。
考研数学：对数求极限法
u x 0 的函数叫作
u x 0 ， 取 对 数 后 ， 便 得 到 ln y v x ln u x , 即
y e v x ln u x ，便可以得到幂指函数的极限 limuxvx limevxlnux elimvxlnux 。
为 型，这样利用洛必达法则即可求解。
以上内容即为考研数学考试对该方法的要求，以及考生应该达到的学习的程度。
x 0
lim x lim e
x 0 0
lim x ln x
e
ln x x 0 1 x lim
e
x 0
lim
1 x 1 x2
e x 0
0
lim x
e 0 1.
解析：由题可以很容易判断出为幂指函数求极限中 0 型，之后经对数恒等式可以转化
x
一般地，形如函数 y x 叫作幂函数，其中 x 是自变量； 设 u x 、vx 是定义在区域 D 上的两个函数， 形如 y u x 区域 D 上的幂指函数。 2、对数法求幂指函数 在对幂指函数求解极限的过程中，一般第一步我们需要对幂指函数进行变形，这一步 变形我们称为对数恒等式变换，经过这一步，就可以简化幂指函数求极限的运算过程，具 体如下。 对 幂 指 函 数 y u x
一般选择利用重要极限 x 0
lim 1 x x e
1
推导出来的式子：
lim u x
。
vx
lim e v x ln u x e lim v x ln u x e lim v x ln 1 u x 1 e lim v x u x 1
考研数学单侧极限和夹逼定理的知识点
考研数学单侧极限和夹逼定理的知识点考研数学单侧极限和夹逼定理的知识点1为什么会有单侧极限这种极限计算方法，是因为在x→∞，x→a包括x→+∞和x→-∞，x→a+和x→a-，而不同的趋近，极限趋近值也不相同，因此需要分别计算左右极限，根据极限的充要条件来判断极限是否存在，那么在极限计算中出现哪些“信号”是要分左右极限计算呢?第一：e∞,arctan∞,因为x趋近于+∞，e∞→+∞，arctan∞→π/2，x趋近于-∞，e∞→0，arctan∞→-π/2;第二：绝对值;第三：分段函数在分段点处的极限。
有个这几条我们就可以在计算极限时知道什么情况下分左右极限计算，什么时候正常计算。
夹逼定理分为函数极限的夹逼定理和数列极限的夹逼定理。
要明确夹逼定理是将极限计算出来的方法，而不是用来判断极限是不是存在，以数列极限为例，即n→∞，yn→?，若存在n>0，当n>n时，找到xn，zn，且xn→a，zn→b，a≠b，则不能说明yn极限不存在，函数极限也是一样的。
这一点一定要注意，防止理解偏差。
单调有界收敛定理主要应用是解决数列极限计算问题，一般情况下，题目的类型是固定的，例如：已知x1=a,xn=f(xn-1)，n=1,2,.....，求数列{xn}的极限。
当看到这种类型的题目，我们要先知道可以应用于单调有界收敛定理来证明，也就是要证明两点，第一：证明数列有界;第二：证明数列单调。
综合以上两点就可以依据该定理证明数列极限存在，再将xn=f(xn-1)两边同时取极限，即可以得到数列极限的值。
上述几种方法原理比较简单，但是需要同学们在做题目中多去总结，掌握其具体的解题思路，也要将知识点和不同类型的题目建立联系，拓宽自己的解题能力。
很多同学都会有这样的感觉，为什么我就是想不到这样解题呢?像这样的'问题在现阶段出现是正常的，因为我们要通过复习来解决问题，所以我们只要认真对待就可以了，首先接受这种方法，然后理解这种方法，最后看看这个解题思路跟题目中的哪个条件是紧密联系在一起的，弄清楚并记住，下次如果做题时遇到了这个条件，我们是不是就可以尝试的做做，时间久了自然而然的就有了自己的解题思路。
考研数学高数公式：函数与极限解读
考研数学高数公式:函数与极限第一章:函数与极限第一节:函数函数属于初等数学的预备知识,在高数的学习中起到铺垫作用,直接考察的内容比较少,但是如果这章节有所缺陷对以后的学习都会有所影响。
基础阶段:1.理解函数的概念,能在实际问题的背景下建立函数关系;2.掌握并会计算函数的定义域、值域和解析式;3.了解并会判断函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性等性质;4.理解复合函数和反函数的概念,并会应用它们解决相关的问题;强化阶段:1.了解函数的不同表现形式:显式表示,隐式表示,参数式,分段表示;2.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念。
冲刺阶段:1.综合应用函数解决相关的问题;2.掌握特殊形式的函数(含极限的函数,导函数,变上限积分,并会讨论它们的相关性质。
第二节:极限极限可以说是高等数学的基础,极限的计算也是高等数学中最基本的运算。
在考试大纲中明确要求考生熟练掌握的基本技能之一。
虽在考试中站的分值不大。
但是在其他的试题中得到广泛应用。
因此这部分学习直接营销到整个学科的复习结果基础阶段1.了解极限的概念及其主要的性质。
2.会计算一些简单的极限。
3.了解无穷大量与无穷小量的关系,了解无穷小量的比较方法,记住常见的等价无穷小量。
强化阶段:1.理解极限的概念,理解函数左右极限的概念及其与极限的关系(数一数二/了解数列极限和函数极限的概念(数三;▲2.掌握计算极限的常用方法及理论(极限的性质,极限的四则运算法则,极限存在的两个准则,两个重要极限,等价无穷小替换,洛必达法则,泰勒公式;3.会解决与极限的计算相关的问题(确定极限中的参数;4.理解无穷大量和无穷小量的概念及相互关系,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用(数一数二/理解无穷小量的概念,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用,了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系(数三。
冲刺阶段:深入理解极限理论在微积分中的中心地位,理解高等数学中其它运算(求导,求积分与极限之间的关系,建立完整的理论体系。
考研数学：两个重要极限
n n 1 (n n 1) 1 n 1 n n 1 1 1+ 2 n 1! n 2! n n! n n n 1 1 n n 1 (n n 1) 1 2 n; 2! n n! n 11
1+1 1 xn 1 1 n 1
版权所有
翻印究
考研数学：两个重要极限
高等数学中两个重要极限指的是：
1 sin x lim 1 lim 1 e x x 0 x x 和 .
对于其重要性在这里不多加累述,这篇文章主要介绍两个重要极限的证明.
x
sin x 1 首先证明 x 0 x . lim
分析： 求极限的主体思想代入不能用,四则运算也不适用,只能运用求极限的另一个重要 方法夹逼准则.
显然数列
xn 有界，根据单调有界数列必有极限，可证得数列 xn 的极限存在，令
n
1 lim 1 e. n n 极限 1 1 1 1 1 1 n 1 x 1 n 又可设 n x n 1 ，易得
1 lim 1 e. n n
版权所有 再令 x (t 1) ，可知 x 时，t , 从而
翻印必究
1 1 lim 1 lim 1 x t x t 1
x
( t 1)
/
x x
版权所有 翻印必究 有界数列必有极限）来证明极限存在,再利用夹逼准则来求出极限. 证 首先考虑 x 取正整数 n 即趋于 的情形.
n
1 xn 1 n ，则 设 1 xn 1 n
n 二项式定理
考研数学：求极限的16种方法1500字
考研数学：求极限的16种方法1500字极限是数学中的重要概念，是解析数学中很多问题的基础。
求极限的方法有很多种，下面就介绍一下求极限的16种常用方法。
1. 直接代入法：对于某个函数在某个点的极限，如果可以直接将极限点代入函数中计算出极限值，则可以使用直接代入法。
2. 连续性法则：如果一个函数在某个点处连续，那么该点的极限值就是函数在该点的函数值。
3. 无穷小量的性质：利用无穷小量的性质对极限进行求解，例如利用已知的极限，对函数进行分子分母的化简、展开等操作。
4. 夹逼法：当一个函数夹在两个函数之间时，利用两个函数的极限值可以求出该函数的极限值。
5. 单调有界原理：对于单调有界的函数，可以通过证明上下确界得到极限值。
6. 极限的四则运算法则：对于两个函数的极限，可以利用四则运算法则求出其和、差、积、商的极限。
7. 换元法：通过对函数进行变量替换，将原来的极限问题转化为更简单的问题求解。
8. 泰勒级数展开法：对于某些函数，可以利用泰勒级数展开的性质，将函数进行级数展开，然后求出极限值。
9. 符号常用极限法：对于一些特殊的函数，例如正弦函数、指数函数等，可以通过符号常用极限值来求出其极限。
10. 隐函数极限法：对于隐函数的极限问题，需要通过隐函数求导的方式来求出极限值。
11. 单调列法：对于一个递增（递减）且有上（下）界的序列，可以通过极限的单调列法求出极限。
12. Stolz定理：当一个数列为无穷大与无穷小的极限的商时，可以利用Stolz定理求出极限。
13. 递推法：对于递归定义的数列，可以通过递推的方式求出极限。
14. 分部积分法：对于一些函数的积分，可以通过分部积分法转化为极限问题求解。
15. L'Hospital法则：对于一些不定型的极限问题，可以通过L'Hospital法则来求出其极限。
16. 堪培拉法则：对于一些含有多个变量的函数，可以利用堪培拉法则求出其极限。
以上是求解极限的16种常用方法，掌握这些方法可以更好地应对极限求解问题。
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2017考研数学极限知识点全解
来源：文都图书
极限是高数中的重要知识点，也是考研数学的重要考点，我们一起来了解一下极限在考研大纲中的相关考点，及其题型等。
一、极限在考研数学中的要求
根据考研大纲，极限需要理解和掌握的是：极限的概念，函数左右极限的概念以及函数极限存在与左右极限的关系，极限的性质及四则运算法则，极限存在的两个准则，利用两个重要极限计算极限的方法，无穷小量、无穷大量的概念，无穷小的比较方法。
要求会求和了解的是：利用极限存在的两个准则求极限，用等价无穷小量求极限。
二、极限是高等数学的基础
1、极限是高数三大基本工具(极限、微分、积分)中最基本的工具，也是微分与积分的基础。
另外高等数学中很多概念都是通过极限来定义的，如连续的概念，导数的概念，定积分的概念以及级数的概念都是通过极限来定义的。
考研数学虽然大多数题目是计算题，但是只记住计算步骤，死记硬背，是万万不行的。
要想考高分，需要对基本概念的理解到位，否则你学的知识就如同浮光掠影，很难取得好成绩。
因此，我们从最基础的极限开始就要学习到位，基本概念理解好，极限计算要熟练，为以下各章节的学习打好基础。
2、考研中的很多题目也间接与极限有联系，尤其是极限的计算一定要过关，因为很多题目的计算都会用到极限的计算。
如判断函数的连续性，找函数的间断点的类型，求渐近线，求函数一点数的导数，级数的敛散性的判别，求幂级数的收敛半径和收敛域，这些问题都会用到极限，如果极限不会求这些题目就无法做出来。
所以考生在复习极限这章的时候一定要到位，计算尤其要过关，否则后患无穷。
三、极限在考研数学中的常见题型
极限这部分不计间接命题，直接命题的分值一般是一道小题(4分)和一道大题(10分左右)，足见本章内容的重要性。
直接命题常见题型：
(1)考查极限的概念，常见于选择题;
(2)求极限式中的未知参数;
(3)直接计算函数的极限;
(4)考查极限的概念，常见于选择题;
(5)利用收敛准则，求数列极限，常见于数一、数二。
(6)结合无穷小的比较考查极限的计算;
上面总结归纳了考研数学极限知识点的相关知识点，并且对题型进行了分析，考生们认真学习吧，希望对你们的备考有帮助，汤家凤编写的《2017考研数学硕士研究生入学考试高等数学辅导讲义》这本书按照考研大纲所编写，并且附有相关练习题，基础、强化、巩固一体，可以好好利用哦，加油。