贵州省黔东南州2018届高考第一次模拟考试数学(理)试题含答案
【试题】贵州省黔东南州2018届高三第一次模拟考试数学文试题含Word版含解析
【关键字】试题黔东南州2018届高三第一次模拟考试文科数学试卷第Ⅰ卷选择题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，所以，故选B。
2. 已知复数满足，则的共轭复数的虚部是（）A. B. -1 C. D. 1【答案】D【解析】，所以，虚部为1.故选D。
3. 经过中央电视台《魅力中国城》栏目的三轮角逐，黔东南州以三轮竞演总分排名第一名问鼎“最具人气魅力城市”.如图统计了黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数（万人次）的变化情况，从一个侧面展示了大美黔东南的魅力所在.根据这个图表，在下列给出的黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数的四个判断中，错误的是（）A. 旅游总人数逐年增加B. 2017年旅游总人数超过2015、2016两年的旅游总人数的和C. 年份数与旅游总人数成正相关D. 从2014年起旅游总人数增长加快【答案】B【解析】从图表中看出，旅游的总人数逐年增加时正确的；年份数与旅游总人数成正相关，是正确的；从2014年起旅游总人数增长加快是正确的；其中选项明显错误，故选B．4. 在等差数列中，若，，则（）A. 8B. 16C. 20D. 28【答案】C【解析】因为为等差数列，则也成等差数列，所以。
故选C。
5. 某正三棱锥正视图如图所示，则侧视图的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】有正视图可知，侧视图底边为，高为，所以面积为。
故选A。
6. 我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”.意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是（）A. 3步B. 6步C. 4步D. 8步【答案】B【解析】由于该直角三角形的两直角边长分别是和，则得其斜边长为，设其内切圆半径为，则有(等积法)，解得，故其直径为(步)，故选B．7. 等比数列的前项和为，若公比，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意，，所以，则B、D错误，又，所以，则A错误，C正确。
(全优试卷)贵州省黔东南州高三第一次模拟考试数学(理)试题Word版含答案
黔东南州2018届高三第一次模拟考试理科数学试卷第Ⅰ卷选择题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.）A2.）A．0 B．2 C．-2 D．-13.经过中央电视台《魅力中国城》栏目的三轮角逐，黔东南州以三轮竞演总分排名第一名问鼎“最具人气魅力城市”.如图统计了黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数（万人次）的变化情况，从一个侧面展示了大美黔东南的魅力所在.根据这个图表，在下列给出的黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数的四个判断中，错误．．的是（）A．旅游总人数逐年增加B．2017年旅游总人数超过2015、2016两年的旅游总人数的和C．年份数与旅游总人数成正相关D．从2014年起旅游总人数增长加快4.）A．9 B．8 C．6 D．35.某正三棱锥正视图如图所示，则俯视图的面积为（）A6.我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”.意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是（）A．3步 B．6步 C．4步 D．8步7.）A．2017 B．2018 C．2019 D．20208.）A．355 B．354 C．353 D．3529.）A10.25，则）A．40 B．30 C．25 D．2011.“和谐函数”.下面四个函数中，“和谐函数”的是（）AC12.）A第Ⅱ卷非选择题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.的最大值是．14.取值范围是 ．15.2小值是 ．16.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.18.为提高黔东南州的整体旅游服务质量，州旅游局举办了黔东南州旅游知识竞赛，参赛单位为本州内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游3名，其中高级导游2名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游3名.从这8名导游中随机选择4人参加比赛.4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”.4.19..20.动直线.值范围.21..请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修4-4：坐标系与参数方程参数）.选择相同的单位长度建立极坐标系，.23.选修4-5：不等式选讲.黔东南州2018届高三第一次模拟考试理科数学参考答案一、选择题1-5: CCBAD 6-10: BCBBA 11、12：DA1.{|B x ={|0x x <2.．3.4.5.解：由正视图知，该正三棱锥的底边长为6，高为46.17，设其内切圆半径等积法)步)．7.8.9.10.解：由抛物线的性质知，准距离依题意得，11.12.18二、填空题13.14.15.16.．三、解答题17.解：(Ⅰ)(Ⅱ)由(Ⅰ)18.解：(Ⅰ)(Ⅱ)1，2，3，4．所以,．19.(Ⅰ)CD C=(Ⅱ) 由(Ⅰ)AC⊥平面20.解：(Ⅰ) 因为直线:l x my-又12AF F∆是等腰直角三角形，所以(Ⅱ)21. 解：(Ⅰ(Ⅱ)由(Ⅰ)(Ⅲ)由(Ⅱ)…（1122.，) .23. 解：(Ⅰ(Ⅱ) 由(Ⅰ)及一次函数的性质知：黔东南州2018届高三第一次模拟考试理科数学参考答案一、选择题1． {|B x ={|0x x <2． ．3．4．5． 解：由正视图知，该正三棱锥的底边长为6，高为46． 17，设其内切圆半等积法)步)．7．8．9．10．解：由抛物线的性质知，准距离依题意得又准距离，则有11．解：“和谐数的导函数的性质，经检验知，12．解22a b+=，由222a b c+<⇒有二、填空题13．解14．解15．解16．解．三、解答题17．解：(Ⅰ)…………………………………………………（2分）……………（4分）…………………………………………………（6分） (Ⅱ)由(Ⅰ)，……（8………（10分）…………（12分） 18． 解：(Ⅰ)……………（2分）……（6分）(Ⅱ)1，2，3，4． ……………………………（7分）………………（11分）所以,．……（12分） 19． (Ⅰ)CD C=……………（6分）(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，7分）如图建立空间直角坐标系，因为AC⊥平面9分）…………………………………………（11分）………………（12分）20．解：(Ⅰ)……………………………………………（5分）(Ⅱ)………（8分）12分）21. 解：(Ⅰ…………………………………………………（1分）………………………………（2分）…………………………………………………（4分）(Ⅱ)由(Ⅰ)8分）(Ⅲ)9分）由(Ⅱ)…（11…（12分）22.……（5分）)（10分）23. 解：(Ⅰ……………………………………………（5分） (Ⅱ) 由(Ⅰ)及一次函数的性质知：…………………………………………………（10分）。
贵州省黔东南州2018届高三第一次模拟考试理科数学(含解析)
故 an a1qn1 3 3n1 3n ． (Ⅱ)由(Ⅰ)得 S n 则 Tn
„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（6 分） „„（8 分）则 cn
a 2 b2 1 c2
，
又
1 1 a 2 b 2 (a b) 2c 2 2
2 2 a 1 2 b 2 c 2
，
则
有
18
9
5 1 2 1 ，故选 A ． 36 9
11
(2,5)
3 1
2
13． 解：本题考查线性规划，答案为 11 ． 14． 解：因为 f ( x ) 在 0, 上单调递增，所以 f (1) f (2) 0 2 m 5 ． 15． 解：依题意知，该正方体的内切球半径为 1 ，外接球的半径为 3 ，且这两个球同心，则线段 PQ 长度 的最小值是 3 1 ． 16． 解：由已知得 tan
8r 15r 17 r 1 8 15 (等积法)，解得 r 3 ，故其直径为 6 (步)． 2 2 2 2 1 r r nr r n r r n 3r 7． 解：通项 Tr 1 Cn (2 x) ( 2 ) ( 1) 2 Cn x ， x 依题意得 n 3r 0 n 3r ．故 n 是 3 的倍数，只有选项 C 符合要求． 8． 解：① n 351 ，则 k 351 ， m 0 ，
黔东南州 2018 届高三第一次模拟考试 理科数学参考答案
一、选择题 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C
C
B
A
D
B
C
B
B
A
D
A
1． 解：由 x 2 2 x 0 0 x 2 ，故 ð U A B {x | x 1} {x | 0 x 2} (0,1] ．
2018全国贵州高考数学(理)试题高考真题及答案解析
2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 2018.11.14注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）(31)-， （B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--， （2）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m =（A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-= 的距离为1，则a= （A ）43-（B ）34-（C ）3（D ）2 （5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π（7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为 （A ）x =k π2–π6 (k ∈Z ) （B ）x =k π2+π6 (k ∈Z ) （C ）x =k π2–π12 (k ∈Z ) （D ）x =k π2+π12(k ∈Z ) （8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x =2，n =2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34（9）若cos(π4–α)=35，则sin 2α= （A ）725 （B ）15 （C ）–15 （D ）–725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2mn（11）已知F 1，F 2是双曲线E 22221x y a b -=的左，右焦点，点M 在E 上，M F 1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=,则E 的离心率为（A ）2 （B ）32（C ）3 （D ）2（12）已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A =45，cos C =513，a =1，则b =. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β.（2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n .（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β.（4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。
2018年贵州省黔东南州高考第一次模拟考试理科数学试题word版含答案
秘密★启用前2018年贵州省黔东南州高考第一次模拟考试理科数学试题注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
满分150分，考试时间120分钟。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.） 1.已知集合2{|230},{|24}A x x x B x x =-->=<<，则集合B A ⋂=（ ） A ．()4,1 B ．()4,2 C ．()3,2D ．()4,32. 若复数,215iiz -=则z 的共轭复数对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D. 第四象限 3. 某几何体三视图如右图所示，图中三个等腰直角三角形的直角边长都是2， 该几何体的体积为 ( )A ．43 B. 83 C.4 D. 1634.下列命题中正确的是（ ） A.cos 0α≠是2()2k k Z παπ≠+∈的充分必要条件B.函数x x f ln 3)(=的零点是(1,0)和(1,0)-C.设随机变量ζ服从正态分布(0,1)N ,若(1)P p ζ>=，则1(10)2P p ζ-<<=- D.若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后,则样本的方差会改变5．若{}n a 是等差数列，公差632,,,0a a a d ≠成等比数列，则该等比数列的 公比为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 46．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．67.变量,x y 满足条件1011x y y x -+≤⎧⎪≤⎨⎪>-⎩，则22(2)x y -+的最小值为（ ）正视图俯视图侧视图92 D. 58.在平行四边形ABCD 中，0AC CB ⋅=, 1,2==BC AC ,若将其沿AC 折成直二面角D AC B --,则AC 与BD 所成的角的余弦值为（ ）A ．21 B. 22 C. 23 D. 339.过点(－2,0)的直线l 与圆x 2＋y 2＝5相交于M 、N 两点，且线段MN=23，则直线l 的斜率为( )A ．3±B ．33±C ．1±D ．23± 10. 设不等式组0301x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一点，则此点到坐标原点的距离小于2的概率是（ ） A.218πB. 36π-C. 312πD. 4π11. 如图，21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点，B A ,分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点。
2018届贵州省黔东南州高三第一次模拟考试(套题)数学(理)试题(解析版)
黔东南州2018届高三第一次模拟考试理科数学试卷第Ⅰ卷选择题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，故，故选C．2. 对于复数，若，则（）A. 0B. 2C. -2D. -1【答案】C【解析】由得，解得，故选C．3. 经过中央电视台《魅力中国城》栏目的三轮角逐，黔东南州以三轮竞演总分排名第一名问鼎“最具人气魅力城市”.如图统计了黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数（万人次）的变化情况，从一个侧面展示了大美黔东南的魅力所在.根据这个图表，在下列给出的黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数的四个判断中，错误．．的是（）A. 旅游总人数逐年增加B. 2017年旅游总人数超过2015、2016两年的旅游总人数的和C. 年份数与旅游总人数成正相关D. 从2014年起旅游总人数增长加快【答案】B【解析】从图表中看出，旅游的总人数逐年增加时正确的；年份数与旅游总人数成正相关，是正确的；从2014年起旅游总人数增长加快是正确的；其中选项明显错误，故选B．4. 在等差数列中，若，则（）A. 9B. 8C. 6D. 3【答案】A【解析】设的公差为，由得，所以，则，故选A．5. 某正三棱锥正视图如图所示，则俯视图的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由正视图知，该正三棱锥的底边长为，高为，则侧视图是一个底边长为，高为的三角形，其面积为，故选D．6. 我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”.意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是（）A. 3步B. 6步C. 4步D. 8步【答案】B【解析】由于该直角三角形的两直角边长分别是和，则得其斜边长为，设其内切圆半径为，则有 (等积法)，解得，故其直径为 (步)，故选B．7. 在展开式中存在常数项，则正整数可以是（）A. 2017B. 2018C. 2019D. 2020【答案】C【解析】由通项，依题意得，解得，故是的倍数，只有选项符合要求，故选C．8. 执行如图的程序框图，当输入的时，输出的（）A. 355B. 354C. 353D. 352【答案】B【解析】由题意，①，则，，成立，，；②成立，，；③成立，，；④不成立，所以输出，故选．9. 给出函数，点，是其一条对称轴上距离为的两点，函数的图象关于点对称，则的面积的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由是其一条对称轴上距离的零点，所以函数的最小正周期为，则点到直线距离的最小值为，从而得到面积的最小值为，故选B．10. 过抛物线：的焦点的直线交抛物线于、两点，以线段为直径的圆的圆心为，半径为.点到的准线的距离与之积为25，则（）A. 40B. 30C. 25D. 20【答案】A【解析】由抛物线的性质知，点到的准线的距离为，依题意得，又点到的准线的距离为，... ... ... ... ... ...则有，故，故选A．11. 已知、，如果函数的图象上存在点，使，则称是线段的“和谐函数”.下面四个函数中，是线段的“和谐函数”的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由于线段的垂直平分线方程为，则函数是线段的“和谐函数”则与直线有公共点，即函数有零点．利用导函数的性质，经检验知，只有函数的图像上存在点满足上上述条件，故选D．点睛：本题主要考查了函数的新定理的理解与应用问题，其中解答中正确理解函数的新定义，把线段的“和谐函数”，转化为函数与直线有公共点，得到函数有零点是解答点关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题．12. 在中，角、、所对的边分别为、、.、是线段上满足条件，的点，若，则当角为钝角时，的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意知分别是线段上的两个三等分点，则有，，则，而，则，得，由为钝角知，又，则有，故选．点睛：本题主要考查了向量的数量积的运算和三角形中正、余弦定理的应用，对于平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．第Ⅱ卷非选择题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. 若实数，满足，则的最大值是__________．【答案】11【解析】作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，把目标函数化为，由，解得，当目标函数经过点时，取得最大值，此时最大值为．14. 已知函数有唯一零点，如果它的零点在区间内，则实数的取值范围是_______．【答案】【解析】因为在上单调递增，因为函数的零点在区间内，所以，即，解得，所以实数的取值范围是．15. 已知、分别是棱长为2的正方体的内切球和外接球上的动点，则线段长度的最小值是________．【答案】【解析】依题意知，该正方体的内切球半径为，外接球的半径为，且这两个球同心，则线段长度的最小值是．点睛：本题考查了空间几何体的结构特征以及组合体的结构问题，着重考查了空间想象能力和转化与化归思想的应用，对于多面体的外接球问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.16. 已知点是双曲线：右支上一点，的左、右顶点分别为、，的右焦点为，记，，当，且时，双曲线的离心率__________．【答案】【解析】由已知得，，则又，则有或（舍）．点睛：本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程式解得关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 各项均为正数的等比数列的前项和为.已知，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列满足，求数列的前项和.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：(Ⅰ)设的公比为，由，，解得，即可求解数列的通项公式；(Ⅱ)由(Ⅰ)得，可得，利用等比数列的求和公式，即可求解数列的前项和．试题解析：(Ⅰ)设的公比为，由，得，于是，解得（不符合题意，舍去）故．(Ⅱ)由(Ⅰ)得，则，则…．18. 为提高黔东南州的整体旅游服务质量，州旅游局举办了黔东南州旅游知识竞赛，参赛单位为本州内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游3名，其中高级导游2名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游3名.从这8名导游中随机选择4人参加比赛.（Ⅰ）设为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件发生的概率.（Ⅱ）设为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量的分布列和数学期望.【答案】(1);(2)见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)由已知条件知，当两名高级导游来自甲旅游协会时，有种不同选法，当两名高级导游来自乙旅游协会时，有种不同选法，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解事件发生的概率；(Ⅱ)由题意，得随机变量的所有可能取值为，求得随便取每个值的概率，列出分布列，利用公式求解随机变量的期望．试题解析：(Ⅰ)由已知条件知，当两名高级导游来自甲旅游协会时，有种不同选法；当两名高级导游来自乙旅游协会时，有种不同选法，则，所以事件发生的概率为.(Ⅱ)随机变量的所有可能取值为1，2，3，4．，，，．所以,随机变量的分布列为则随机变量的数学期望（人）．19. 如图所示，在三棱锥中，平面，，，、分别为线段、上的点，且，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：(Ⅰ)由平面，证得，再由为等腰直角三角形，得到，即可利用线面垂直的判定定理，证得平面．(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，求得平面的法向量为，又平面的法向量可取，利用向量的夹角公式，即可求解二面角的余弦值．试题解析：(Ⅰ)证明：由平面，平面，故由，得为等腰直角三角形，故又，故平面．(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，为等腰直角三角形，过作垂直于，易知又已知，故以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则则有，．设平面的法向量为，则有，可取；因为平面，所以平面的法向量可取．则．而二面角为锐二面角，故其余弦值为．20. 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，上顶点为.动直线：经过点，且是等腰直角三角形.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线交于、两点，若点在以线段为直径的圆外，求实数的取值范围.【答案】（1）椭圆的标准方程为；（2）实数的取值范围是.【解析】试题分析：(Ⅰ) 由题意德，在等腰直角和关系式，求得的值，即可得到椭圆的方程；(Ⅱ) 设，，联立方程组，求得，又点在以线段为直径的圆外等价于，列出关于的不等式，求得实数的范围．试题解析：(Ⅰ) 因为直线经过点，所以，又是等腰直角三角形，所以所以故椭圆的标准方程为．(Ⅱ) 设，，将与联立消得．，点在以线段为直径的圆外等价于，，解得故实数的取值范围是．点睛：本题主要考查椭圆的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数的性质求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．21. 函数在点处的切线方程为.（Ⅰ）求实数，的值；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ），成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）函数的减区间是，增区间是；（3）的取值范围是．. 【解析】试题分析：(Ⅰ)求得，分别令，，即可求得的值；(Ⅱ)由(Ⅰ)得和，由于在区间上为增函数，且，进而得到函数的单调区间；(Ⅲ)构造函数，由成立，等价于，再由(Ⅱ)知当时，，即（当且仅当时取等号），即可求解实数的取值范围．试题解析：(Ⅰ)，依题意得，，则有．(Ⅱ)由(Ⅰ)得，，由于在区间上为增函数，且，则当时，；当时，，故函数的减区间是，增区间是．(Ⅲ) 因为，于是构造函数，，成立，等价于，由(Ⅱ)知当时，，即对恒成立．即（当且仅当时取等号）所以函数，又时，，所以．故的取值范围是．点睛：本题主要考查导数、函数的性质,考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题； (4)考查数形结合思想的应用．22. 在直角坐标系中，点的坐标为，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，选择相同的单位长度建立极坐标系，圆极坐标方程为.（Ⅰ）当时，求直线的普通方程和圆的直角坐标方程；（Ⅱ）直线与圆的交点为、，证明：是与无关的定值.【答案】（1）直线的普通方程为，圆的直角坐标方程为；（2）见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)当时，消去得到直线的普通方程，由圆极坐标方程，根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可得到原的直角坐标方程．(Ⅱ)将直线的参数方程代入圆的方程，，得，由的几何意义可求得的值．试题解析：(Ⅰ)当时，的参数方程为（为参数），消去得．由圆极坐标方程为，得．故直线的普通方程为圆的直角坐标方程为．(Ⅱ)将代入得，．设其两根分别为，则．由的几何意义知．故为定值(与无关) .23. 设.（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ），，求实数的取值范围.【答案】（1）解集为；（2）实数的取值范围是.【解析】试题分析：(Ⅰ)去掉绝对值，得到分段函数，由，即可取得不等式的解集；(Ⅱ) 由(Ⅰ)及一次函数的性质，求得区间上，的值，进而求得实数的取值范围．试题解析：(Ⅰ)，由解得，故不等式的解集为．(Ⅱ) 由(Ⅰ)及一次函数的性质知：在区间为减函数，在区间上为增函数，而，故在区间上，，．由．所以且，于是且，故实数的取值范围是．。
2018年贵州省贵阳市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2018年贵州省贵阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设A＝{x|2x＞}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1}，则A∩B＝（）A．∅B．{﹣3，﹣2，﹣1}C．{﹣2，﹣1}D．{x|x＞﹣3}2．（5分）设是复数z的共轭复数，满足＝，则|z|＝（）A．2B．2C．D．3．（5分）贵阳地铁1号线12月28日开通运营，某机车某时刻从下麦西站驶往贵阳北站的过程中，10个车站上车的人数统计如下：70、60、60、50、60、40、40、30、30、10，则这组数据的众数、中位数、平均数的和为（）A．170B．165C．160D．1504．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最大值为（）A．3B．6C．10D．125．（5分）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则整数a的值为（）A．6B．7C．8D．96．（5分）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，文各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．在这个问题中，丙所得为（）A．钱B．钱C．钱D．1钱7．（5分）把函数y＝sin（x+）+1图象上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．x＝B．C．D．8．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝，a2a6＝8（a4﹣2），则S2018＝（）A．22017﹣B．1﹣（）2017C．22018﹣D．1﹣（）20189．（5分）已知奇函数f（x）在R上是减函数，且a＝﹣f（log3），b＝f（log39.1），c＝f（20.8），则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．c＞a＞b 10．（5分）如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的四个面的面积中最大与最小之和是（）A．8+4B．12C．8+4D．1011．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2＝2px（p＞0）的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为，△AOB的面积为2，则p＝（）A．2B．1C．2D．312．（5分）已知函数f（x）＝的图象上有两对关于y轴对称的点，则实数k的取值范围是（）A．（0，e）B．（0，e﹣2）C．（0，2e2）D．（0，e﹣2）二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若向量＝（x，1）与向量＝（1，﹣2）垂直，则|+|＝．14．（5分）某校选定4名教师去3个边远地区支教（每地至少1人），则甲、乙两人不在同一边远地区的概率是．15．（5分）若直线l：ax﹣3y+12＝0（a∈R）与圆M：x2+y2﹣4y＝0相交于A、B 两点，若∠ABM的平分线过线段MA的中点，则实数a＝．16．（5分）已知底面是正六边形的六棱锥P﹣ABCDEF的七个顶点均在球O的表面上，底面正六边形的边长为1，若该六棱锥体积的最大值为，则球O 的表面积为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，AB边上的高h＝c．（Ⅰ）若△ABC为锐角三角形，且cos A＝，求角C的正弦值；（Ⅱ）若∠C＝，M＝，求M的值．18．（12分）某高校通过自主招生方式在贵阳招收一名优秀的高三毕业生，经过层层筛选，甲、乙两名学生进入最后测试，该校设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从6个问题中随机抽3个问题．已知这6道问题中，学生甲能正确回答其中的4个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两名学生对每个问题的回答都是相互独立、互不影响的．（Ⅰ）求甲、乙两名学生共答对2个问题的概率．（Ⅱ）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两名学生哪位被录取的可能性更大？19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中．底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面P AD⊥底面ABCD．Q为AD的中点，M是棱PC上的点，P A＝PD＝2．BC＝AD＝1，CD＝．（I）求证：平面PBC⊥平面PQB；（Ⅱ）若平面QMB与平面PDC所成的锐二面角的大小为60°，求PM的长．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M为短轴的上端点，•＝0，过F2垂直于x轴的直线交椭圆C 于A，B两点，且|AB|＝．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设经过点（2，﹣1）且不经过点M的直线l与C相交于G，H两点．若k1，k2分别为直线MH，MG的斜率，求k1+k2的值．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx+x2﹣ax+a（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）在x＝x1和x＝x2处取得极值，且x2≥x1（e为自然对数的底数），求f（x2）﹣f（x1）的最大值．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框涂黑.[选修坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C：（α为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝﹣1．（Ⅰ）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）过点M（﹣1，0）且与直线l平行的直线l1交曲线C于A，B两点，求点M到A，B两点的距离之和．[选修不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|﹣|x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞﹣x；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤a2﹣2a的解集为R，求实数a的取值范围．2018年贵州省贵阳市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设A＝{x|2x＞}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1}，则A∩B＝（）A．∅B．{﹣3，﹣2，﹣1}C．{﹣2，﹣1}D．{x|x＞﹣3}【解答】解：A＝{x|2x＞}＝{x|x＞﹣3}B＝{﹣3，﹣2，﹣1}，则A∩B＝{﹣2，﹣1}，故选：C．2．（5分）设是复数z的共轭复数，满足＝，则|z|＝（）A．2B．2C．D．【解答】解：∵＝＝，∴|z|＝||＝．故选：B．3．（5分）贵阳地铁1号线12月28日开通运营，某机车某时刻从下麦西站驶往贵阳北站的过程中，10个车站上车的人数统计如下：70、60、60、50、60、40、40、30、30、10，则这组数据的众数、中位数、平均数的和为（）A．170B．165C．160D．150【解答】解：数据70、60、60、50、60、40、40、30、30、10的众数是60、中位数是45、平均数是45，故众数、中位数、平均数的和为150，故选：D．4．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最大值为（）A．3B．6C．10D．12【解答】解：实数x，y满足约束条件的可行域如图所示：联立，解得A（3，﹣4）．化目标函数z＝2x﹣y为y＝2x﹣z，由图可知，当直线y＝2x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2×3+4＝10．故选：C．5．（5分）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则整数a的值为（）A．6B．7C．8D．9【解答】解：当S＝1，k＝1时，应不满足退出循环的条件，故S＝，k＝2；当S＝，k＝2时，应不满足退出循环的条件，故S＝，k＝3；当S＝，k＝3时，应不满足退出循环的条件，故S＝，k＝4；当S＝，k＝4时，应不满足退出循环的条件，故S＝，k＝5；当S＝，k＝5时，应不满足退出循环的条件，故S＝，k＝6；当S＝，k＝6时，应不满足退出循环的条件，故S＝，k＝7；当S＝，k＝7时，应满足退出循环的条件，故整数a的值为6，故选：A．6．（5分）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，文各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．在这个问题中，丙所得为（）A．钱B．钱C．钱D．1钱【解答】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，则由题意可知，a﹣2d+a﹣d＝a+a+d+a+2d，即a＝﹣6d，又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝5，∴a＝1，∴在这个问题中，丙所得为1钱．故选：D．7．（5分）把函数y＝sin（x+）+1图象上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．x＝B．C．D．【解答】解：函数y＝sin（x+）+1图象上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），可得：y＝sin（2x+）+1．令2x+＝，k∈Z．可得：x＝，令k＝0，可得图象的一条对称轴方程为x＝．故选：D．8．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝，a2a6＝8（a4﹣2），则S2018＝（）A．22017﹣B．1﹣（）2017C．22018﹣D．1﹣（）2018【解答】解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，若a2a6＝8（a4﹣2），则有（a4）2＝8（a4﹣2），即a42﹣8a4+16＝0，解可得a4＝4，则q3＝＝＝8，则q＝2，则S2018＝＝22017﹣，故选：A．9．（5分）已知奇函数f（x）在R上是减函数，且a＝﹣f（log3），b＝f（log39.1），c＝f（20.8），则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．c＞a＞b【解答】解：∵奇函数f（x）在R上是减函数，且a＝﹣f（log3），b＝f（log39.1），c＝f（20.8），∴a＝﹣f（log3）＝f（log310）＜b＝f（log39.1）＜c＝f（20.8），则a，b，c的大小关系为a＜b＜c．故选：B．10．（5分）如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的四个面的面积中最大与最小之和是（）A．8+4B．12C．8+4D．10【解答】解：三视图可知三棱锥是从长方体中截出来的P﹣ABC，数据如图：S P AB＝×4×4＝8，S△P AC＝×2 ×4＝4 ．S△ABC＝×4×2＝4，S△PBC＝×2 ×2 ＝4 ．则该三棱锥的四个面的面积中最大的是：8．面积的最小值为4．所以则该三棱锥的四个面的面积中最大与最小之和是：12，故选：B．11．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2＝2px（p＞0）的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为，△AOB的面积为2，则p＝（）A．2B．1C．2D．3【解答】解：双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率e＝，∴e2＝＝＝1+＝5，∴＝4，∴＝2，∴双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为y＝±2x，∵抛物线y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝﹣，∴或，解得，或，∴|AB|＝p﹣（﹣p）＝2p，点O到AB的距离为d＝，＝|AB|×d＝＝2，∴S△AOB解得p＝2，故选：A．12．（5分）已知函数f（x）＝的图象上有两对关于y轴对称的点，则实数k的取值范围是（）A．（0，e）B．（0，e﹣2）C．（0，2e2）D．（0，e﹣2）【解答】解：当x＜0时，f（x）＝ln（﹣2x），则此时函数f（x）关于y轴对称的函数为y＝ln2x，x＞0，若函数f（x）＝的图象上有两对关于y轴对称的点，等价为当x≥0时，函数f（x）＝kx﹣3与函数g（x）＝ln2x，x＞0有两个交点即可，由题意可得g（x）的图象和y＝kx﹣3（x＞0）的图象有两个交点．设直线y＝kx﹣3与y＝g（x）相切的切点为（m，ln2m）由g（x）的导数为g′（x）＝＝，即有切线的斜率为＝k，又ln2m＝km﹣3，即ln2m＝•m﹣3＝1﹣3＝﹣2，解得m＝e﹣2，k＝2e2，由图象可得0＜k＜2e2时，有两个交点，故选：C．二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若向量＝（x，1）与向量＝（1，﹣2）垂直，则|+|＝．【解答】解：根据题意，向量＝（x，1）与向量＝（1，﹣2）垂直，则有•＝x﹣2＝0，则x＝2；则向量＝（2，1），则+＝（3，﹣1），则|+|＝＝；故答案为：14．（5分）某校选定4名教师去3个边远地区支教（每地至少1人），则甲、乙两人不在同一边远地区的概率是．【解答】解：某校选定4名教师去3个边远地区支教（每地至少1人），基本事件总数n＝•＝36，甲、乙两人在同一边远地区包含的基本事件个数m＝＝6，∴甲、乙两人不在同一边远地区的概率是p＝1﹣＝1﹣＝．故答案为：．15．（5分）若直线l：ax﹣3y+12＝0（a∈R）与圆M：x2+y2﹣4y＝0相交于A、B两点，若∠ABM的平分线过线段MA的中点，则实数a＝．【解答】解：如图，由圆M：x2+y2﹣4y＝0，得x2+（y﹣2）2＝4，圆心M（0，2），半径为2，直线l：ax﹣3y+12＝0（a∈R）过定点A（0，4），要使∠ABM的平分线过线段MA的中点，则AM＝BM，∴B为（，3）或（，3），∴，即a＝．故答案为：．16．（5分）已知底面是正六边形的六棱锥P﹣ABCDEF的七个顶点均在球O的表面上，底面正六边形的边长为1，若该六棱锥体积的最大值为，则球O的表面积为．【解答】解：当六棱锥P﹣ABCDEF为正六棱锥时，体积最大，由于底面正六边形的边长为1，故底面外接圆半径r＝1，底面面积S＝＝，设高为h，则V＝＝，解得：h＝2，设此时外接球半径为R，则球心到底面的距离d＝|h﹣R|＝|2﹣R|，由R2＝d2+r2得：R2＝（2﹣R）2+1，解得：R＝，故球O的表面积为4πR2＝，故答案为：三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，AB边上的高h＝c．（Ⅰ）若△ABC为锐角三角形，且cos A＝，求角C的正弦值；（Ⅱ）若∠C＝，M＝，求M的值．【解答】解：（Ⅰ）作CD⊥AB与D，∵△ABC为锐角三角形，且cos A＝，∴sin A＝＝．⇒AD＝cot A•CD＝．，∴＝．由正弦定理得＝．（Ⅱ）∵S＝．△ABC∴．由余弦定理得．∴M＝＝．18．（12分）某高校通过自主招生方式在贵阳招收一名优秀的高三毕业生，经过层层筛选，甲、乙两名学生进入最后测试，该校设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从6个问题中随机抽3个问题．已知这6道问题中，学生甲能正确回答其中的4个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两名学生对每个问题的回答都是相互独立、互不影响的．（Ⅰ）求甲、乙两名学生共答对2个问题的概率．（Ⅱ）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两名学生哪位被录取的可能性更大？【解答】解：（Ⅰ）由题意得甲、乙两名学生共答对2个问题的概率：P＝×+＝．（Ⅱ）设学生甲答对的题数为X，则X的所有可能取值为1，2，3，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，E（X）＝＝2，D（X）＝（1﹣2）2×+（2﹣2）2×+（3﹣2）2×＝，设学生乙答对题数为Y，则Y所有可能的取值为0，1，2，3，由题意知Y～B（3，），E（Y）＝3×＝2，D（Y）＝＝，E（X）＝E（Y），D（X）＜D（Y），∴甲被录取的可能性更大．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中．底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面P AD⊥底面ABCD．Q为AD的中点，M是棱PC上的点，P A＝PD＝2．BC＝AD＝1，CD＝．（I）求证：平面PBC⊥平面PQB；（Ⅱ）若平面QMB与平面PDC所成的锐二面角的大小为60°，求PM的长．【解答】（I）证明：∵P A＝PD，Q是AD的中点，∴PQ⊥AD，又平面P AD⊥底面ABCD，平面P AD∩底面ABCD＝AD，PQ⊂平面P AD，∴PQ⊥平面ABCD，∴BC⊥PQ，∵BC＝AD＝DQ，BC∥AD，∠ADC＝90°，∴四边形BCDQ是矩形，∴BC⊥BQ，又PQ∩BQ＝Q，∴BC⊥平面PBQ，又BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PQB．（II）过M作MN∥CD交PD与N，则平面BMQ∩平面PCD＝MN，∵平面P AD⊥底面ABCD，平面P AD∩底面ABCD＝AD，BQ⊥AD，BQ⊂平面P AD，∴BQ⊥平面P AD，又BQ∥CD∥MN，∴MN⊥平面P AD，∴MN⊥NQ，MN⊥PD，∴∠DNQ为平面BMQ与平面PCD所成角，即∠DNQ＝60°，∵PD＝P A＝2，AD＝2BC＝2，∴∠PDO＝60°，∴△DNQ是等比三角形，∴DN＝DQ＝1，即N是PD的中点，∴M是PC的中点，∵PD＝2，CD＝，∴PC＝，∴PM＝＝．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M为短轴的上端点，•＝0，过F2垂直于x轴的直线交椭圆C 于A，B两点，且|AB|＝．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设经过点（2，﹣1）且不经过点M的直线l与C相交于G，H两点．若k1，k2分别为直线MH，MG的斜率，求k1+k2的值．【解答】解：（Ⅰ）由•＝0，可得b＝c，∵过F2垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝，∴＝，由，解得a2＝2，b2＝1，∴椭圆C的方程为+y2＝1（Ⅱ）经过点（2，﹣1）且不经过点M的直线l的方程为y+1＝k（x﹣2），即y ＝kx﹣2k﹣1，代入椭圆程+y2＝1可得（2k2+1）x2﹣4k（1+2k）x+（8k2+8k）＝0，△＝﹣16k（k+2）＞0，设G（x1，y1），H（x2，y2）．则x1+x2＝，x1x2＝，∴k1+k2＝+＝+＝2k﹣＝2k﹣（2k+1）＝﹣1，即k1+k2＝﹣121．（12分）已知函数f（x）＝lnx+x2﹣ax+a（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）在x＝x1和x＝x2处取得极值，且x2≥x1（e为自然对数的底数），求f（x2）﹣f（x1）的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）＝+x﹣a，（x＞0），又f（x）在（0，+∞）递增，故恒有f′（x）≥0，即+x﹣a≥0（x＞0）恒成立，a≤（x+）min，而x+≥2＝2，当且仅当x＝1时取“＝”，故a≤2，即函数f（x）在（0，+∞）递增时a的范围是（﹣∞，2]；（Ⅱ）f（x2）﹣f（x1）＝ln+（﹣）﹣a（x2﹣x1），又f′（x）＝（x＞0），故x1，x2是方程x2﹣ax+1＝0的2个根，由韦达定理得：x1+x2＝a，x1x2＝1，故f（x2）﹣f（x1）＝ln+（﹣）﹣a（x2﹣x1），＝ln﹣（﹣），设t＝（t≥），令h（t）＝lnt﹣（t﹣），（t≥），h′（t）＝＜0，∴h（t）在[，+∞）递减，h（t）≤h（）＝（1﹣+），故f（x2）﹣f（x1）的最大值是（1﹣+）．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框涂黑.[选修坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C：（α为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝﹣1．（Ⅰ）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）过点M（﹣1，0）且与直线l平行的直线l1交曲线C于A，B两点，求点M到A，B两点的距离之和．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C：（α为参数），∴曲线C化为普通方程得：+y2＝1，∵直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝﹣1．∴ρcosθ﹣ρsinθ＝﹣2，∴直线l的直角坐标方程为x﹣y+2＝0．（Ⅱ）直线l1的参数方程为（t为参数），代入＝1，化简，得：，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2＝，t1t2＝﹣1，∴点M到A，B两点的距离之和：|MA|+|MB|＝|t1|+|t2|＝|t1﹣t2|＝＝＝．[选修不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|﹣|x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞﹣x；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤a2﹣2a的解集为R，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）＞﹣x，即为|x﹣2|﹣|x+1|＞﹣x，当x≥2时，x﹣2﹣x﹣1＞﹣x，可得x＞3，即x＞3；当x≤﹣1时，2﹣x+x+1＞﹣x，解得x＞﹣3，即﹣3＜x≤﹣1；当﹣1＜x＜2时，2﹣x﹣x﹣1＞﹣x，解得x＜1，即﹣1＜x＜1，综上可得原不等式的解集为{x|x＞3或﹣3＜x＜1}；（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≤a2﹣2a的解集为R，即有a2﹣2a≥f（x）的最大值，由|x﹣2|﹣|x+1|≤|x﹣2﹣x﹣1|＝3，当且仅当x≤﹣1时，等号成立，可得a2﹣2a≥3，解得a≥3或a≤﹣1．第21页（共21页）。
贵州省黔东南州2018届高考第一次模拟考试数学(理)试题含答案
贵州省黔东南州2018届高考第一次模拟考试数学（理）试题含答案黔东南州2018届高三第一次模拟考试理科数学试卷第Ⅰ卷选择题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R =，集合{|1}A x x =>，2{|20}B x x x =-<，则()U C A B = （）A．(1,2)B．(0,)+∞C．(0,1]D．(,2)-∞2.对于复数(,)z a bi a b R =+∈，若212iz i i-+=+，则b =（）A．0B．2C．-2D．-13.经过中央电视台《魅力中国城》栏目的三轮角逐，黔东南州以三轮竞演总分排名第一名问鼎“最具人气魅力城市”.如图统计了黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数（万人次）的变化情况，从一个侧面展示了大美黔东南的魅力所在.根据这个图表，在下列给出的黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数的四个判断中，错误．．的是（）A．旅游总人数逐年增加B．2017年旅游总人数超过2015、2016两年的旅游总人数的和C．年份数与旅游总人数成正相关D．从2014年起旅游总人数增长加快4.在等差数列{}n a 中，若1232318a a a ++=，则152a a +=（）A．9B．8C．6D．35.某正三棱锥正视图如图所示，则俯视图的面积为（）A．122B．123C．62D．36.我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”.意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是（）A．3步B．6步C．4步D．8步7.在21(2nx x-展开式中存在常数项，则正整数n 可以是（）A．2017B．2018C．2019D．20208.执行如图的程序框图，当输入的351n =时，输出的k =（）A．355B．354C．353D．3529.给出函数()2sin cos f x x x =22cos 1x +-，点A ，B 是其一条对称轴上距离为5π的两点，函数()f x 的图象关于点C 对称，则ABC ∆的面积的最小值为（）A．5B．58C．54D．5210.过抛物线C ：24y x =的焦点F 的直线交抛物线C 于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，以线段AB 为直径的圆的圆心为1O ，半径为r .点1O 到C 的准线l 的距离与r 之积为25，则12()r x x +=（）A．40B．30C．25D．2011.已知(0,3)A 、(2,1)B ，如果函数()y f x =的图象上存在点P ，使PA PB =，则称()y f x =是线段AB 的“和谐函数”.下面四个函数中，是线段AB 的“和谐函数”的是（）A．ln 2ey x =+B．1x y e e=+C．ln xy x=D．11x y e-=+12.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .D 、E 是线段AB 上满足条件1()2CD CB CE =+ ，1()2CE CA CD =+ 的点，若2CD CE c λ⋅= ，则当角C 为钝角时，λ的取值范围是（）A．12(,)369-B．12(,)189-C．11(,)369-D．11(,)189-第Ⅱ卷非选择题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.若实数x ，y 满足116x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =+的最大值是．14.已知函数2()log 2x f x x m =+-有唯一零点，如果它的零点在区间(1,2)内，则实数m 的取值范围是．15.已知P 、Q 分别是棱长为2的正方体的内切球和外接球上的动点，则线段PQ 长度的最小值是．16.已知点P 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上一点，C 的左、右顶点分别为A 、B ，C 的右焦点为F ，记PAF α∠=，PBF β∠=，当cos()5αβ+=-，且0PF AB ⋅= 时，双曲线C 的离心率e =．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S .已知13a =，339S =.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足nn nS c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T .18.为提高黔东南州的整体旅游服务质量，州旅游局举办了黔东南州旅游知识竞赛，参赛单位为本州内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游3名，其中高级导游2名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游3名.从这8名导游中随机选择4人参加比赛.（Ⅰ）设A 为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件A 发生的概率.（Ⅱ）设ξ为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望.19.如图所示，在三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，3PC =，2ACB π∠=，D 、E 分别为线段AB 、BC上的点，且CD DE ==，22CE EB ==.（Ⅰ）求证：DE ⊥平面PCD ；（Ⅱ）求二面角D PE C --的余弦值.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为A .动直线l ：10()x my m R --=∈经过点2F ，且12AF F ∆是等腰直角三角形.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线l 交C 于M 、N 两点，若点A 在以线段MN 为直径的圆外，求实数m 的取值范围.21.函数()ln xf x e a x b =--在点(1,(1))P f 处的切线方程为0y =.（Ⅰ）求实数a ，b 的值；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）1x ∀≥，22ln (ln )xxex x ke e+≤成立，求实数k 的取值范围.请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为(1,0)-，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，选择相同的单位长度建立极坐标系，圆C 极坐标方程为2ρ=.（Ⅰ）当3πα=时，求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l 与圆C 的交点为A 、B ，证明：PA PB ⋅是与α无关的定值.23.选修4-5：不等式选讲设()221f x x x =-++.（Ⅰ）求不等式()6f x ≤的解集；（Ⅱ）[2,1]x ∀∈-，()2f x m -≤，求实数m 的取值范围.黔东南州2018届高三第一次模拟考试理科数学参考答案一、选择题1-5:CCBAD6-10:BCBBA11、12：DA1.解：由22002x x x -<⇒<<，故()U A ð{|B x =1}{|02}(0,1]x x x ≤<<= ．2.解：由212iz i i-+=+得22z i b =-⇒=-．3.解：从图表中看出，选项B 明显错误．4.解：设{}n a 的公差为d ，由1232318a a a ++=得116818349a d a d +=⇒+=，则1512349a a a d +=+=．5.解：由正视图知，该正三棱锥的底边长为6，高为4，则侧视图是一个底边长为4的三角形，其面积为6.解：由于该直角三角形的两直角边长分别是8和15，则得其斜边长为17，设其内切圆半径为r ，则有8151718152222r r r ++=⨯⨯(等积法)，解得3r =，故其直径为6(步)．7.解：通项3121(2)((1)2r n r r r n r r n rr n n T C x C x x---+=-=-，依题意得303n r n r -=⇒=．故n 是3的倍数，只有选项C 符合要求．8.解：①351=n ，则351=k ，0=m ，20000≤=m 成立，3521351=+=k ，02352704m =+⨯=；②7042000m =≤成立，3531352=+=k ，70423531410m =+⨯=；③14102000m =≤成立，3541353=+=k ，141023542118m =+⨯=；④21182000m =≤不成立，所以输出354=k .故选B ．9.解：本题抓住一个主要结论——函数()f x 的最小正周期为π，则C 点到直线AB 距离的最小值为4π，从而得到ABC ∆面积的最小值为58，故选B ．10.解：由抛物线的性质知，点1O 到C 的准线l 的距离为1||2AB r =，依题意得2255r r =⇒=，又点1O 到C 的准线l 的距离为121(2)52x x r ++==，则有128x x +=，故12()r x x +=40．11.解：由于线段AB 的垂直平分线方程为1y x =+，则函数()y f x =是线段AB 的“和谐函数”()y f x ⇔=与直线1y x =+有公共点()1y f x x ⇔=--函数有零点．利用函数的导函数的性质，经检验知，只有函数11x y e-=+的图像上存在点(1,2)P 满足上上述条件，故选D ．12.解：依题意知D 、E 分别是线段AB 上的两个三等分点，则有2133CD CB CA =+，1233CE CB CA =+ ，则22225999a b CD CE CB CA =++⋅⋅ ，而2222a b c CB CA +-=⋅ ，则222222225()9918a b CD CE a b c c λ=+++-=⋅ ，得2221859a b cλ++=，由C 为钝角知2222221a b a b c c ++<⇒<，又222211()22a b a b c +≥+>⇒22212a b c +>，则有1185129λ+<<⇒12λ-<<，故选A ．二、填空题13.解：本题考查线性规划，答案为11．14.解：因为()f x 在()0,+∞上单调递增，所以(1)(2)025f f m <⇒<<．15.解：依题意知，该正方体的内切球半径为1，且这两个球同心，则线段PQ 长度的最小值是1-．16.解：由已知得2tan 1()b e a c a α==-+，2tan 1()b e ac a β==+-，则22tan()2e e αβ+=-又cos()tan()25αβαβ+=-⇒+=-，则有22222ee e =-⇒=-或1e =-（舍）．三、解答题17.解：(Ⅰ)设{}n a 的公比为q ，由13a =，339S =得12111=3 39a a a q a q ⎧⎨++=⎩，于是2120q q +-=，解得3q =（4q =-不符合题意，舍去）故111333n n n n a a q --==⨯=．(Ⅱ)由(Ⅰ)得3(31)2n n S =-，则331223n n n n S c a ==-⨯，则23311(2233n T n =-++ (1)3n +111(1)333133312224341n n n n --=-⨯=+-⨯-．18.解：(Ⅰ)由已知条件知，当两名高级导游来自甲旅游协会时，有22233C C =种不同选法；当两名高级导游来自乙旅游协会时，有22339C C =种不同选法，则22222333486()35C C C C P A C +==，所以事件A 发生的概率为635.(Ⅱ)随机变量ξ的所有可能取值为1，2，3，4．1353481(1)14C C P C ξ===，2253483(2)7C C P C ξ===，3153483(3)7C C P C ξ===，4053481(4)14C C P C ξ===．所以,随机变量ξ的分布列为ξ1234p1143737114则随机变量ξ的数学期望1331512341477142E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=（人）．19.(Ⅰ)证明：由PC ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，故.PC DE ⊥由2,CE CD DE ===，得CDE ∆为等腰直角三角形，故.CD DE ⊥又PC CD C = ，故DE ⊥平面PCD ．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，CDE ∆为等腰直角三角形，,4DCE π∠=过D 作DF 垂直CE 于F ，易知1,DF FC FE ===又已知1EB =，故 2.FB =以C 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(0,0,3),(0,2,0),(1,1,0),C P ED 则有(1,1,0)DE =- ，(1,1,3)DP =--．设平面PDE 的法向量为(,,)x y z =m ，则有00300DE x y x y z DP ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨--+=⋅=⎩⎪⎩m m ，可取(3,3,2)=m ；因为AC ⊥平面PCE ，所以平面PCE 的法向量可取(1,0,0)=n ．则cos ,22⋅<>==m n m n |m ||n |．而二面角D PE C --为锐二面角，故其余弦值为322．20.解：(Ⅰ)因为直线:10l x my --=经过点2F ，所以1c =，又12AF F ∆是等腰直角三角形，所以()222222a a c a +=⇒=所以2221b ac =-=故椭圆C 的标准方程为2212x y +=．(Ⅱ)设11(1,)M my y +，22(1,)N my y +，将:10l x my --=与2212x y +=联立消x 得22(2)210m y my ++-=．12122221,22m y y y y m m +=-=-++，点A 在以线段MN 为直径的圆外等价于0AM AN >⋅，()()()21212112AM AN m y y m y y =++-++⋅()()22212112022m m m m m ⎛⎫⎛⎫=+-+--+> ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭2230m m ⇒--<，解得13m -<<故实数m 的取值范围是(1,3)-．21.解：(Ⅰ)()x af x e x'=-，依题意得(1)0f =，(1)0f '=，则有00e b a ee a b e ⎧-==⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩．(Ⅱ)由(Ⅰ)得()ln xf x e e x e =--，()x ef x e x'=-，由于()f x '在区间(0,)+∞上为增函数，且(1)0f '=，则当01x <<时，()(1)0f x f '<'=；当1x >时，()(1)0f x f '>'=，故函数()f x 的减区间是(0,1)，增区间是(1,)+∞．(Ⅲ)因为2222221ln ln 2ln 1ln ln x x xx x x x ex e e e ++++⎛⎫== ⎪⎝⎭，于是构造函数1ln (),1xxh x x +=≥，1x ∀≥，22ln (ln )x x ex x ke e+≤成立，等价于2max ()k h x ⎡⎤≥⎣⎦，由(Ⅱ)知当1x ≥时，()(1)0f x f ≥=，即(ln 1)xe e x ≥+对1x ≥恒成立．即ln 11x x e e+≤（当且仅当1x =时取等号）所以函数max 1()(1)h x h e==，又1x ≥时，()0h x >，所以222max1()(1)h x h e ⎡⎤==⎣⎦．…（11分）故k 的取值范围是21[,)e +∞．22.解：(Ⅰ)当3πα=时，l的参数方程为1122x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），消去t得y =．由圆C 极坐标方程为2ρ=，得224x y +=．故直线l的普通方程为1)y x =+圆C 的直角坐标方程为224x y +=．(Ⅱ)将1cos sinx t y t αα=-+⎧⎨=⎩代入224x y +=得，22cos 30t t α--=．设其两根分别为12,t t ，则123t t =-．由t 的几何意义知||||PA PB ⋅12||||3t t =⋅=．故||||PA PB ⋅为定值3(与α无关).23.解：(Ⅰ)3, (1)()4, (12)3, (2)x x f x x x x x -≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪≥⎩，由()6f x ≤解得22x -≤≤，故不等式()6f x ≤的解集为[2,2]-．(Ⅱ)由(Ⅰ)及一次函数的性质知：()f x 在区间[2,1]--为减函数，在区间[1,1]-上为增函数，而(2)6(1)5f f -=>=，故在区间[2,1]-上，min ()(1)3f x f =-=，max ()(2)6f x f =-=．由|()|22()2f x m m f x m -≤⇒-≤≤+．所以max 2()m f x +≥且min 2()m f x -≤，于是26m +≥且23m -≤，故实数m 的取值范围是[4,5]．黔东南州2018届高三第一次模拟考试理科数学参考答案一、选择题题号123456789101112答案C C B AD B C B B A D A1．解：由22002x x x -<⇒<<，故()U A ð{|B x =1}{|02}(0,1]x x x ≤<<= ．2．解：由212iz i i-+=+得22z i b =-⇒=-．3．解：从图表中看出，选项B 明显错误．4．解：设{}n a 的公差为d ，由1232318a a a ++=得116818349a d a d +=⇒+=，则1512349a a a d +=+=．5．解：由正视图知，该正三棱锥的底边长为6，高为4，则侧视图是一个底边长为为4的三角形，其面积为．6．解：由于该直角三角形的两直角边长分别是8和15，则得其斜边长为17，设其内切圆半径为r ，则有8151718152222r r r ++=⨯⨯(等积法)，解得3r =，故其直径为6(步)．7．解：通项3121(2)((1)2r n r r r n r r n rr n n T C x C x x---+=-=-，依题意得303n r n r -=⇒=．故n 是3的倍数，只有选项C 符合要求．8．解：①351=n ，则351=k ，0=m ，20000≤=m 成立，3521351=+=k ，02352704m =+⨯=；②7042000m =≤成立，3531352=+=k ，70423531410m =+⨯=；③14102000m =≤成立，3541353=+=k ，141023542118m =+⨯=；④21182000m =≤不成立，所以输出354=k .故选B ．9．解：本题抓住一个主要结论——函数()f x 的最小正周期为π，则C 点到直线AB 距离的最小值为4π，从而得到ABC ∆面积的最小值为58，故选B ．10．解：由抛物线的性质知，点1O 到C 的准线l 的距离为1||2AB r =，依题意得2255r r =⇒=，又点1O 到C 的准线l 的距离为121(2)52x x r ++==，则有128x x +=，故12()r x x +=40．11．解：由于线段AB 的垂直平分线方程为1y x =+，则函数()y f x =是线段AB 的“和谐函数”()y f x ⇔=与直线1y x =+有公共点()1y f x x ⇔=--函数有零点．利用函数的导函数的性质，经检验知，只有函数11x y e-=+的图像上存在点(1,2)P 满足上上述条件，故选D ．12．解：依题意知D 、E 分别是线段AB 上的两个三等分点，则有2133CD CB CA =+，1233CE CB CA =+ ，则22225999a b CD CE CB CA =++⋅⋅ ，而2222a b c CB CA +-=⋅ ，则222222225()9918a b CD CE a b c c λ=+++-=⋅ ，得2221859a b c λ++=，由C 为钝角知2222221a b a b c c ++<⇒<，又222211()22a b a b c +≥+>⇒22212a b c +>，则有1185129λ+<<⇒12λ-<<，故选A ．二、填空题13．解：本题考查线性规划，答案为．14．解：因为()f x在()0,+∞上单调递增，所以(1)(2)025f f m <⇒<<．15．解：依题意知，该正方体的内切球半径为1，且这两个球同心，则线段PQ 1．16．解：由已知得2tan 1()b e a c a α==-+，2tan 1()b e a ca β==+-，则22tan()2e e αβ+=-又cos()tan()25αβαβ+=-⇒+=-，则有22222ee e=-⇒=-或1e =-（舍）．三、解答题17．解：(Ⅰ)设{}n a 的公比为q ，由13a =，339S =得12111=339a a a q a q ⎧⎨++=⎩，…………………………………………………（2分）于是2120q q +-=，解得3q =（4q =-不符合题意，舍去）……………（4分）故111333n n n n a a q --==⨯=．…………………………………………………（6分）(Ⅱ)由(Ⅰ)得3(31)2nn S =-，……（8分）则331223n n n n S c a ==-⨯，则23311(2233n T n =-++ (1))3n +………（10分）111(1)3331333122243413n n n n --=-⨯=+-⨯-．…………（12分）18．解：(Ⅰ)由已知条件知，当两名高级导游来自甲旅游协会时，有22233C C =种不同选法；当两名高级导游来自乙旅游协会时，有22339C C =种不同选法，则……………（2分）22222333486()35C C C C P A C +==，所以事件A 发生的概率为635.……（6分）(Ⅱ)随机变量ξ的所有可能取值为1，2，3，4．……………………………（7分）1353481(1)14C C P C ξ===，2253483(2)7C C P C ξ===，3153483(3)7C C P C ξ===，4053481(4)14C C P C ξ===．………………（11分）所以,随机变量ξ的分布列为ξ1234p1143737114则随机变量ξ的数学期望1331512341477142E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=（人）．……（12分）19．(Ⅰ)证明：由PC ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，故.PC DE ⊥由2,2CE CD DE ===，得CDE ∆为等腰直角三角形，故.CD DE ⊥又PC CD C = ，故DE ⊥平面PCD ．……………（6分）(Ⅱ)由(Ⅰ)知，CDE ∆为等腰直角三角形，,4DCE π∠=过D 作DF 垂直CE 于F ，易知1,DF FC FE ===又已知1EB =，故 2.FB =（7分）以C 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(0,0,3),(0,2,0),(1,1,0),C P ED 则有(1,1,0)DE =- ，(1,1,3)DP =--．设平面PDE 的法向量为(,,)x y z =m ，则有00300DE x y x y z DP ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨--+=⋅=⎩⎪⎩m m ，可取(3,3,2)=m ；因为AC ⊥平面PCE ，所以平面PCE 的法向量可取(1,0,0)=n ．…………（9分）则cos ,22⋅<>==m n m n |m ||n |．…………………………………………（11分）而二面角D PE C --为锐二面角，故其余弦值为22．………………（12分）20．解：(Ⅰ)因为直线:10l x my --=经过点2F ，所以1c =，又12AF F ∆是等腰直角三角形，所以()222222a a c a +=⇒=所以2221b ac =-=故椭圆C 的标准方程为2212x y +=．……………………………………………（5分）(Ⅱ)设11(1,)M my y +，22(1,)N my y +，将:10l x my --=与2212x y +=联立消x 得22(2)210m y my ++-=．12122221,22m y y y y m m +=-=-++………（8分）点A 在以线段MN 为直径的圆外等价于0AM AN >⋅，()()()21212112AM AN m y y m y y =++-++⋅()()22212112022m m m m m ⎛⎫⎛⎫=+-+--+> ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭2230m m ⇒--<，解得13m -<<故实数m 的取值范围是(1,3)-．…（12分）21.解：(Ⅰ)()x a f x e '=-，…………………………………………………（1分）依题意得(1)0f =，(1)0f '=，则有………………………………（2分）00e b a ee a b e ⎧-==⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩．…………………………………………………（4分）(Ⅱ)由(Ⅰ)得()ln xf x e e x e =--，()x ef x e x'=-，由于()f x '在区间(0,)+∞上为增函数，且(1)0f '=，则当01x <<时，()(1)0f x f '<'=；当1x >时，()(1)0f x f '>'=，故函数()f x 的减区间是(0,1)，增区间是(1,)+∞．……………………………（8分）(Ⅲ)因为2222221ln ln 2ln 1ln ln x x xx x x x ex e e e ++++⎛⎫== ⎪⎝⎭，于是构造函数1ln (),1xxh x x e +=≥，1x ∀≥，22ln (ln )x x ex x ke e+≤成立，等价于2max ()k h x ⎡⎤≥⎣⎦………………（9分）由(Ⅱ)知当1x ≥时，()(1)0f x f ≥=，即(ln 1)xe e x ≥+对1x ≥恒成立．即ln 11x x e e+≤（当且仅当1x =时取等号）所以函数max 1()(1)h x h e ==，又1x ≥时，()0h x >，所以222max1()(1)h x h e ⎡⎤==⎣⎦．…（11分）故k 的取值范围是21[,)e+∞．…（12分）22.解：(Ⅰ)当3πα=时，l 的参数方程为11232x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）消去t得y =+C 极坐标方程为2ρ=，得224x y +=．故直线l的普通方程为1)y x =+圆C 的直角坐标方程为224x y +=．……（5分）(Ⅱ)将1cos sinx t y t αα=-+⎧⎨=⎩代入224x y +=得，22cos 30t t α--=．设其两根分别为12,t t ，则123t t =-．由t 的几何意义知||||PA PB ⋅12||||3t t =⋅=．故||||PA PB ⋅为定值3(与α无关)（10分）23.解：(Ⅰ)3, (1)()4, (12)3, (2)x x f x x x x x -≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪≥⎩，由()6f x ≤解得22x -≤≤，故不等式()6f x ≤的解集为[2,2]-．……………………………………………（5分）(Ⅱ)由(Ⅰ)及一次函数的性质知：()f x 在区间[2,1]--为减函数，在区间[1,1]-上为增函数，而(2)6(1)5f f -=>=，故在区间[2,1]-上，min ()(1)3f x f =-=，max ()(2)6f x f =-=．由|()|22()2f x m m f x m -≤⇒-≤≤+．所以max 2()m f x +≥且min 2()m f x -≤，于是26m +≥且23m -≤，故实数m 的取值范围是[4,5]．…………………………………………………（10分）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2
2
xy
20. 已知椭圆 C ： 2
2 1( a b 0 ) 的左、 右焦点分别为 F 1 、 F 2 ，上顶点为 A . 动直线 l ：
ab
x m y 1 0 ( m R ) 经过点 F 2 ，且 A F1 F 2 是等腰直角三角形 .
B
． ( 0, ) C ． ( 0 ,1]
D ． ( , 2)
2. 对于复数 z a
A． 0
B
b i ( a , b R ) ，若 z i
．2
C
2i
，则 b （
1 2i
． -2
D
） ． -1
3. 经过中央电视台《魅力中国城》栏目的三轮角逐，黔东南州以三轮竞演总分排名第一名问
鼎“最具人气魅力城市” . 如图统计了黔东南州从 2010 年到 2017 年的旅游总人数（万人次）
ab
B ，C 的右焦点为 F ，记 P A F
， PBF
，当 cos(
)
5
，且 PF AB 0
5
时，双曲线 C 的离心率 e
．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
.
17. 各项均为正数的等比数列 { a n } 的前 n 项和为 Sn . 已知 a 1 3 ， S3 3 9 .
（Ⅰ）求数列 { a n } 的通项公式；
4. 在等差数列 { a n } 中，若 a1 2 a 2 3 a 3 1 8 ，则 2 a1 a 5 （ ）
A． 9
B
．8
C
．6
5. 某正三棱锥正视图如图所示，则俯视图的面积为（
D
．3
）
A． 1 2 2
B
．12 3
C ．6 2
D
．6 3
6. 我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题：
．8 步 ） ． 2020
8. 执行如图的程序框图，当输入的 n 3 5 1 时，输出的 k （ ）
A． 355
B
． 354
C
． 353
D
． 352
9. 给出函数 f ( x )
2 sin x co s x
2
2cos x
1 ，点 A ， B 是其一条对称轴上距离为
5 的两点，
函数 f ( x ) 的图象关于点 C 对称，则 A B C 的面积的最小值为（
12
A． (
,)
36 9
12
11
11
B
．(
,)
C
．(
, ) D ．(
,)
18 9
36 9
18 9
第Ⅱ卷 非选择题
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 .
x1
13. 若实数 x ， y 满足 y 1 ，则 z 2 x y 的最大值是
．
x y6
14. 已知函数 f ( x )
lo g x 2 x 2
（Ⅱ）设 为选出的 4 人中高级导游的人数，求随机变量
的分布列和数学期望 .
19. 如图所示，在三棱锥 P A B C 中， P C 平面 A B C ， P C 3 ， A C B
，D 、E 分
别为线段 A B 、 B C 上的点，且 C D D E
2 ， CE 2EB 2 .
（Ⅰ）求证： D E 平面 PC D ； （Ⅱ）求二面角 D P E C 的余弦值 .
（Ⅱ）设数列 { c n } 满足 c n
S
n ，求数列 { c n } 的前 n 项和 T n .
an
18. 为提高黔东南州的整体旅游服务质量，州旅游局举办了黔东南州旅游知识竞赛，参赛单位 为本州内各旅游协会，参赛选手为持证导游 . 现有来自甲旅游协会的导游 3 名，其中高级导游 2 名；乙旅游协会的导游 5 名，其中高级导游 3 名 . 从这 8 名导游中随机选择 4 人 参加比赛 . （Ⅰ）设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名高级导游，且这 2 名高级导游来自同一个旅游协 会”，求事件 A 发生的概率 .
黔东南州 2018 届高三第一次模拟考试
理科数学试卷 第Ⅰ卷 选择题
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的 .
1. 已知全集 U
R ，集合 A
{ x | x 1} ， B
2
{ x |x
2x
0} ，则 ( C U A )
B
（
）
A． (1, 2 )
）
5
A．
B
16
10. 过抛物线
C
：
2
y
5
．
8
5
C
．
4
5
D
．
2
4 x 的焦点 F 的直线交抛物线 C 于 A( x1 , y 1 ) 、 B ( x2 , y 2 ) 两点，以线段
A B 为直径的圆的圆心为 O 1 ，半径为 r . 点 O 1 到 C 的准线 l 的距离与 r 之积为 25，则
r (x1 x2 ) （ ）
的变化情况，从一个侧面展示了大美黔东南的魅力所在
. 根据这个图表，在下列给出的黔东南
州从 2010 年到 2017 年的旅游总人数的四个判断中，错误．．的是（ ）
A．旅游总人数逐年增加 B． 2017 年旅游总人数超过 2015、 2016 两年的旅游总人数的和 C．年份数与旅游总人数成正相关 D．从 2014 年起旅游总人数增长加快
“今有勾八步，股十五
步，勾中容圆，问径几何？” . 意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是
8 步和 15
步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是（
）
A． 3 步
B
．6 步
C
．4 步
D
7. 在 ( 2 x A． 2017
1n
)
2
展开式中存在常数项，则正整数
x
n 可以是（
B
． 2018
C
． 2019 D
A． 40
B
． 30
C
． 25
D
．20
11. 已知 A (0, 3) 、 B ( 2 ,1) ，如果函数 y f ( x ) 的图象上存在点 P ，使 P A P B ，则称
y f ( x ) 是线段 A B 的“和谐函数” . 下面四个函数中， 是线段 A B 的“和谐函数” 的是（ ）
A． y e ln x
B
2
ln x
C． y
D
x
x1
．y e
e
x1
．y e
1
12. 在 A B C 中，角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c . D 、 E 是线段 A B 上满足条件
1
CD
(CB
2
取值范围是（
C E ) ，C E ）
1
( C A C D ) 的点，若 C D C E
2
2
c ，则当角 C 为钝角时， 的
m 有唯一零点，如果它的零点在区间
(1, 2 ) 内，则实数 m 的
取值范围是
．
15. 已知 P 、 Q 分别是棱长为 2 的正方体的内切球和外接球上的动点，则线段
P Q 长度的最小
值是
．
2
2
xy
16. 已知点 P 是双曲线 C ： 2
2 1( a 0 , b 0 ) 右支上一点， C 的左、右顶点分别为 A 、