2.1指数函数
2.1 指数函数的概念 课时一等奖创新教学设计
2.1 指数函数的概念课时一等奖创新教学设计第3课时指数函数概念课时教学设计（一）教学内容指数函数的概念.（二）教学目标通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念，发展数学抽象素养.（三）教学重点与难点教学重点：指数函数的概念.教学难点：指数函数的概念.（四）教学过程设计引导语：对于幂( >0)，我们已经把指数的范围拓展到了实数．上一章学习了函数的概念和基本性质，通过对幂函数的研究，进一步了解了研究一类函数的过程和方法．下面继续研究其他类型的基本初等函数．问题1：随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式.由于旅游人数不断增加，A,B两地景区自2001年起采取了不同的对应措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票.表4.2-1给出了A,B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量.表4.2-1时间/年A地景区B地景区人次/万次年增加量/万次人次/万次年增加量/万次2001 600 2782002 609 9 309 312003 620 11 344 352004 631 11 383 392005 641 10 427 442006 650 9 475 482007 661 11 528 532008 671 10 588 602009 681 10 655 672010 691 10 729 742011 702 11 811 822012 711 9 903 922013 721 10 1005 1022014 732 11 1118 1132015 743 11 1244 126比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？师生活动：（1）追问①：能否作出A,B两地景区游客人次变化的图象，根据图象并结合年增长量，说明两地景区游客人次的变化情况？学生独立思考、讨论交流. 教师利用Excel作出A,B两地景区游客人次变化的图象，直观感受A,B两地景区游客增长的情况.（2）追问②：用“增加量”刻画B地景区人次的变化规律不直观. 能不能换一个量来刻画？教师指出，可以用“增长率”，即从2002年起，将B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，看看能否发现什么规律？学生动手计算，教师利用Excel算出B地景区游客人次年增长率为常数.（3）追问③：能否求出两地景区游客人次随时间（经过的年数）变化的函数解析式，并根据解析式说明两地景区游客人次的变化情况.如果设经过x年后的游客人次为2001年的y倍，那么.设计意图：通过寻求A，B两地景区游客人次增加的规律，引出用函数刻画指数增长的问题，为抽象出指数函数作准备.问题2：当生物死亡后，其机体内原有的碳14含量会按确定的衰减比率（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？师生活动：追问①：生物死亡后体内碳14含量每年衰减的比例是多少？追问②：能否求出生物体内碳14含量随死亡年数变化的函数解析式？教师提出问题，并让学生类比问题1对提出的问题进行思考.通过对问题的分析，引导学生用函数刻画碳14衰减的规律.设计意图：通过描述碳14衰减的规律，引出用函数刻画指数衰减的问题，为抽象得到指数函数作准备.问题3：比较问题1,2中的两个实例：B地景区游客人次增长的函数解析式与碳14衰减的函数解析式有什么共同特征？师生活动：从解析式上来看，如果用字母代替底数1.11和，那么上述函数和就都可以表示为=的形式，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常数.从而引出指数函数的概念：一般地，函数=叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是R.设计意图：通过分析、比较两个实例，概括它们的共同本质特征，从而得到指数函数概念的本质属性，抽象出指数函数的概念，发展学生数学抽象的核心素养.例1：已知指数函数，且，求，，的值.师生活动：教师引导学生，要求出，，的值，应先求出的解析式，即先求出的值.而已知，可由此求出的值.设计意图：通过求函数解析式，并根据解析式求出不同的函数值，从指数函数的对应关系和变化规律的角度理解指数函数的概念.例2：（1）在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况.（2）在问题2中，某生物死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？师生活动：（1）教师引导学生得出A、B两地旅游收入的函数，教师利用geogebra画出图象，得出交点坐标，进而得出两地收入的变化情况.（2）利用geogebra进行计算第（2）小问.（3）教师指出：在实际问题中，经常会遇到类似于例2（1）的指数增长模型：设原有量为N，每次的增长率为，经过x次增长，该量增长到y，则=，其中表示增长率；还可以表示为=，其中表示衰减率.形如的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的函数模型.设计意图：在引入概念的两个实例基础上，利用指数函数概念进一步解决与两个实例有关的问题，从而巩固对概念的理解.问题6：回顾本节课的学习内容，并回答以下问题：（1）我们是怎样通过实例问题1，问题2得出指数函数的？（2）指数函数的定义是什么？设计意图：回顾本节课的主要知识和研究过程，巩固指数函数概念的理解.（五）目标检测设计1、课堂检测教科书第115页练习1,2,3设计意图：1 ,2题利用函数的三种表示形式，从不同角度推动学生对指数函数概念的理解，进一步明确概念，学会表示指数函数，体会指数增长或衰减；3题考查学生对指数函数概念的理解；三题均属于水平一题目.2. 课后作业教科书第118页习题4.2第1,2,4,7,8题设计意图：考查学生对指数函数概念的理解，1,2,4题属于水平一题目,7,8题属于水平二题目.（六）课后反思。
2019A新高中数学必修第一册：2.1.1 指数与指数幂的运算
1 3
);
x-
1 2
y
2 3
)(-4
x
1 4
y
2 3
);
(7)
(2
x
1 2
+
3
y-
1 6
)(2
x
1 2
-
3
y
- 16
);
(8)
4
x
1 4
(-3
x
1 4
y-
1 3
)
(-6
x
- 12
y-
2 3
).
解:
(1)
13 7
a 3a4a12
=
a
13+
3 4
+172
=
a
5 3
.
(2)
23
a3a4
5
a6
=
a
32+
43-
3. 分数指数幂
我们将下面根式变形:
10
a>0 时, 5 a10 = 5 ( a2 )5 = a2 = a 5 .
12
a>0 时, 4 a12 = 4 ( a3 )4 = a3 = a 4 .
m
规定: a n = n am (a 0, m, nN *. 且n1).
a-
m n
=
1
m
(a 0,
m,
解:
(1)
原式
=
x3
y2(-
27
1 x3
y31)
=
-
1 27 y
.
(2) 原式 = 4(- 32)a2-(-1)b-1-(-1)= -6a3.
(3)
原式
2.1指数函数的图象与性质
2.1指数函数的图象与性质一、【知识解读】1．指数幂的有关概念：(1)正整数指数幂)(*∈⋅⋅⋅⋅=N n a a a a a n n个；(2)零指数幂)0(10≠=a a ；(3)负整数指数幂()1/0,n n a a a n N -*=≠∈；(4)正分数指数幂)/0,,,1m n a a m n N n *=>∈>；(5)负分数指数幂)//1/0,,,1m n m n a a a m n N n -*==>∈>；(6)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
2．指数幂的运算性质（1）(0)rsr sa a a a +=>；（2） ()()(0)r s s r rs a a a a ==> ；（3）()(0,0)rr rab a b a b =>> 3．根式的内容（1）根式的定义：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中()*∈>N n n ,1，n a 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫被开方数。
(2)根式的性质: ①当n 是奇数，则a a nn =；当n 是偶数，则⎩⎨⎧<-≥==00a aa a a a n n ；②na =；③负数没有偶次方根；④零的任何次方根都是零。
4y =a x (a ＞0，且a ≠1)的图象与性质（1）指数函数：①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x且称指数函数，1）函数的定义域为R ；2）函数的值域为),0(+∞；3）当10<<a 时为减函数，当1>a 时为增函数。
②函数图像：1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；2）图象都以x 轴为渐近线（当10<<a 时，向右无限接近x 轴，当1>a 时，图象向左无限接近x 轴）；3）对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数xx a y a y -==与的图象关于y 轴对称。
高一数学必修一第二章基本初等函数知识点总结
在 R 上是减函数
函数值的 变化情况
a 变化对
图象的影 响
y＞1(x ＞ 0), y=1(x=0), 0 ＜ y＜1(x ＜ 0)
y＞ 1(x ＜ 0), y=1(x=0), 0 ＜ y＜ 1(x ＞ 0)
在第一象限内， a 越大图象越高，越靠近 y 轴； 在第一象限内， a 越小图象越高，越靠近 y 轴； 在第二象限内， a 越大图象越低，越靠近 x 轴． 在第二象限内， a 越小图象越低，越靠近 x 轴．
y
f ( x) 中反解出 x
1
f ( y) ；
③将 x f 1( y ) 改写成 y f 1 ( x) ，并注明反函数的定义域．
（ 8）反函数的性质
①原函数 y
f (x) 与反函数 y
1
f ( x) 的图象关于直线 y
x 对称．
②函数 y f ( x) 的定义域、值域分别是其反函数 y f 1 (x ) 的值域、定义域． ③若 P(a,b) 在原函数 y f (x ) 的图象上，则 P' (b, a) 在反函数 y f 1(x ) 的图象上．
③根式的性质： (n a )n a ；当 n 为奇数时， n an
a ；当 n 为偶数时， n an | a |
a (a 0)
．
a (a 0)
（ 2）分数指数幂的概念
m
①正数的正分数指数幂的意义是： a n n a m (a 0, m, n N , 且 n 1) ． 0 的正分数指数幂等于 0．②正数的负分数
设一元二次方程 ax 2 bx c 0( a 0) 的两实根为 x1, x2 ，且 x1 x2 ．令 f ( x) ax 2 bx c ，从以下四个方
面来分析此类问题：①开口方向： a ②对称轴位置： x
2.1 指数函数
2.1 指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 当n 是偶数时，正数a 的正的n 示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当n 为奇数时，a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数当堂训练[基础训练A组]一、选择题1．计算122[(]-的结果是（）．A． D．-2．对任意实数x，下列等式恒成立的是（）．A．211332()x x= B．211332()x x= C．311535()x x= D．131355()x x--= 3．化简(21)(21)2222k k k-+----+等于（）．A．22k- B．(21)2k-- C．(21)2k-+- D．24．下列函数中指数函数的个数是（）．①23xy=⋅②13xy+=③3xy=④3y x=A．0 B．1 C．2 D．35．方程135108x x x-⋅=的解集是（）．A．{}1,4 B．14⎧⎫⎨⎬⎩⎭C．11,4⎧⎫⎨⎬⎩⎭D144⎧⎫⎨⎬⎩⎭，6．函数()(0,1)xf x a a a=>≠且对任意正实数,x y都有（）．A．()()()f xy f x f y= B．()()()f xy f x f y=+C ．()()()f x y f x f y +=D ．()()()f x y f x f y +=+ 二、填空题1．化简：1114424111244()a b ba ab --=- ． 2．计算：120.750311(0.064)(16()23---÷÷-= ．3．若239x=，3x-= ．4．985316,8,4,2,2从小到大的排列顺序是 ． 5．若函数()11x mf x a =+-是奇函数，则m 为 ． 三、解答题1．化简下列各式： （1）11122()()x x x x x --++-；（2）222222223333x y x y xyxy--------+--+-；（3）3333441()()[(1)()]a a a a a a a a ----+-÷++-．2．计算下列各式：（1）1020.5231(2)2(2)(0.01)54--+⋅-；（2）20.520371037(2)0.1(2)392748π--++-+．3．已知2212213333334,3,3a b x a a b y b a b +==+=+，求2233()()x y x y ++-的值．4. 比较下列各组数的大小:(1)0.1()4-和 0.2-； (2)163()4和154()3-； (3)2(0.8)-和125()3- ．5．家用电器（如冰箱等）使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，臭氧含量Q 呈指数函数型变化，满足关系式0.00250t Q Q e -=，其中0Q 是臭氧的初始量． （1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？ （2）多少年以后将会有一半的臭氧消失？[基础训练B 组] 一、选择题1．设全集为R ，且22{|0},{|1010}x x A x B x -=≤==，则()R A B ð为（ ）． A ．{2} B ．{1}- C ．{|2}x x ≤ D ．∅2．函数y x =3与y x =--3的图像关于下列那种图形对称（ ）． A ．x 轴 B ．y 轴 C ．直线y x = D ．原点中心对称3．函数11x x e y e -=+的值域是（ ）．A ．(1,1)-B ．[1,1]-C ．(0,1)D ．(,)e e - 4．已知集合{}11M =-，，11242x N x x +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭Z ，，则M N = （ ）． A ．{}11-，B ．{}1-C ．{}0D ．{}10,1-，5．函数11()()3x f x -=在区间[2,1]--上的最大值是（ ）A ．1B ．3C ．9D ．276．设1x ，2x 是函数()(1)x f x a a =>定义域内的两个变量，且12x x <，设121()2m x x =+．那么下列不等式恒成立的是（ ）． A ．12|()()||()()|f m f x f x f m ->-B ．12|()()||()()|f m f x f x f m -<-C ．12|()()||()()|f m f x f x f m -=-D ．212()()()f x f x f m > 二、填空题1．若集合{11|,|x A y y B x y -⎧⎫====⎨⎬⎩⎭，则集合A B = _________．2．方程33131=++-xx的解是_____________． 3．若1122a a-+=1114421124___________1111aaaa+++=+-++． 4．化简11410104848++的值等于__________． 5．若关于x 的方程12220x x a -++=有两个实数解，则实数 的取值范围是_______． 6．对于函数f （x ）定义域中任意的x 1，x 2（x 1≠x 2），有如下结论：①)()()(2121x f x f x x f ⋅=+； ②)()()(2121x f x f x x f +=⋅；③0)]()([)(2121<-⋅-x f x f x x ； ④2)()()2(2121x f x f x x f +<+ 当xx f -=2)(时，上述结论正确结论的序号是 .（写出全部正确结论的序号） 三、解答题1．求函数11()()142xxy =-+在[]3,2x ∈-上的值域．2．求函数241(),[0,5)3x xy x -=∈的值域．3．解方程：（1）192327xx ---⋅= （2）649x x x +=．4．已知11()(),(0)212x f x x x =+≠-， （1）判断()f x 的奇偶性； （2）证明()0f x >．5．在工程技术中经常用到一类所谓的双曲函数，定义如下：双曲正弦，2x xe e shx --=；双曲余弦，2x x e e chx -+=；双曲正切，x xx xe e thx e e---=+，请证明： （1）()sh x y shxchy chxshy +=+；（2）()1thx thyth x y thxthy++=+．同步提升一、选择题（12*5分） 1．（369a ）4（639a ）4等于（ ）（A ）a 16 （B ）a 8（C ）a 4（D ）a 22．函数f （x ）=(a 2-1)x在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ） （A ）1>a （B ）2<a （C ）a<2 （D ）1<2<a3.下列函数式中，满足f(x+1)=21f(x)的是( ) (A)21(x+1) (B)x+41 (C)2x (D)2-x4．已知a>b,ab 0≠下列不等式（1）a 2>b 2,(2)2a>2b,(3)ba 11<,(4)a 31>b 31,(5)(31)a <(31)b 中恒成立的有（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个5．函数y=121-x 的值域是（ ） （A ）（-1,∞） （B ）（-,∞0）⋃（0，+∞） （C ）（-1，+∞） （D ）（-∞，-1）⋃（0，+∞） 6．下列函数中，定义域为R 的是（ ） （A ）y=5x-21 （B ）y=(31)1-x（C ）y=1)21(-x（D ）y=x 21- 7．下列关系中正确的是（ ）（A ）（21）32<（51）32<（21）31 （B ）（21）31<（21）32<（51）32（C ）（51）32<（21）31<（21）32 （D ）（51）32<（21）32<（21）318．若函数y=3·2x-1的反函数的图像经过P 点，则P 点坐标是（ ）（A ）（2，5） （B ）（1，3） （C ）（5，2） （D ）（3，1）9．函数f(x)=3x +5,则f -1(x)的定义域是（ ） （A ）（０，＋∞） （B ）（５，＋∞） （C ）（６，＋∞） （D ）（－∞，＋∞）10．已知函数f(x)=a x+k,它的图像经过点（1，7），又知其反函数的图像经过点（4，0），则函数f(x)的表达式是（ ）(A)f(x)=2x +5 (B)f(x)=5x +3 (C)f(x)=3x +4 (D)f(x)=4x+311．已知0<a<1,b<-1,则函数y=a x+b 的图像必定不经过（ ） (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限12．一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n 年后这批设备的价值为（ ）（A ）na(1-b%) （B ）a(1-nb%) （C ）a(1-(b%)n ) （D ）a(1-b%)n二、填空题（4*4分） 13．若a 23<a2,则a 的取值范围是 。
4.2.2.1 指数函数的图象和性质
课堂检测·素养达标
1.函数y=10x-1的图象大致是 ( )
【解析】选C.函数y=10x-1的图象可以看作函数y=10x的图象向下平移1个单位 长度得到的，结合指数函数的图象与性质，即可得出函数的大致图象是C选项.
2.函数f(x)=3-ax+1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点
第1课时 指数函数的图象和性质
必备知识·自主学习
导 思
1.怎样作出指数函数的图象？不同底数的 指数函数有何特征？ 2.指数函数有哪些性质？
指数函数的图象和性质 (1)图象和性质
图象 定义域 值域 性质
0<a<1
a>1
R _(_0_，__+_∞__)_ 过定点_(_0_，__1_)_
在R上是减函数
【解题策略】
与指数函数相关的图象问题
(1)定点问题：令函数解析式中的指数为0，即可求出横坐标，再求纵坐标即可.
(2)平移问题：对于横坐标x满足“加左减右”.
(3)底数大小：对于y=
a1x
，y=
a
x 2
，y=
a
x 3
，y=
a
x 4
，如图，0<a4<a3<1<a2<a1.
【跟踪训练】(2020·榆林高一检测)函数y= xax(a>1)的图象的大致形状是 ( )
关键能力·合作学习
类型一 与指数函数相关的定义域问题(数学抽象)
【题组训练】
求下列函数的定义域
(1)y= (3)y=
1 .(2)y=
2 . x2－x－6
2x1 8. .
(1) . x22x－8 3
【解析】(1)函数有意义当且仅当x2-x-6≠0，解得x≠-2且x≠3，所以函数的 定义域为{x|x∈R，x≠-2且x≠3}. (2)函数有意义当且仅当x2+2x-8≥0，解得x≤-4或x≥2，所以函数的定义域为 {x|x≤-4或x≥2}. (3)函数有意义当且仅当2x-1-8≥0，即2x-1≥8，解得x≥4，所以函数的定义域 为[4，+∞).
第二章 2.1 2.1.2(一)指数函数
2.1.2指数函数及其性质(一)学习目标 1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.2.掌握指数函数图象的性质.3.会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域．知识点一指数函数思考细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？这个函数式与y＝x2有什么不同？梳理一般地，叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是. 特别提醒：(1)规定y＝a x中a>0，且a≠1的理由：①当a<0时，；②当a=0时，；③当a>0时，x可以取；④当a＝1时，a x＝1 (x∈R)，无研究价值．因此规定y＝a x中a>0，且a≠1.(2)要注意指数函数的解析式：①底数．②指数函数的自变量必须位于的位置上．③a x的系数必须为.④指数函数等号右边不能是多项式，如y＝2x＋1不是指数函数．知识点二指数函数的图象和性质指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：1．y ＝x x (x >0)是指数函数．( × )2．y ＝a x ＋2(a >0且a ≠1)是指数函数．( × )3．因为a 0＝1(a >0且a ≠1)，所以y ＝a x 恒过点(0,1)．( √ ) 4．y ＝a x (a >0且a ≠1)的最小值为0.( × )类型一 求指数函数的解析式例1 已知指数函数f (x )的图象过点(3，π)，求函数f (x )的解析式．跟踪训练1 已知指数函数y ＝(2b －3)a x 经过点(1,2)，求a ，b 的值．类型二 求指数函数与其他函数复合所得函数的定义域、值域 命题角度1 f (a x )型例2 求下列函数的定义域、值域． (1)y ＝3x 1＋3x ；(2)y ＝4x －2x＋1. 跟踪训练2 求下列函数的定义域与值域． (1)y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x；(2)y ＝a x －1a x ＋1(a >0，且a ≠1)．命题角度2 a f (x )型 例3 求函数y ＝32x －1－19的定义域、值域．反思与感悟 y ＝a f (x )的定义域即 的定义域，求y ＝a f (x )的值域可先求 的值域，再利用y ＝a t 的单调性结合t ＝f (x )的范围求y ＝a t 的范围． 跟踪训练3 求下列函数的定义域、值域：11(1)0.3;x y -=(2)y =类型三 指数函数图象的应用 命题角度1 指数函数整体图象例4 在如图所示的图象中，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与函数y ＝⎝⎛⎭⎫b a x的图象可能是( )反思与感悟 函数y ＝a x 的图象主要取决于 .但前提是a >0且a ≠1. 跟踪训练4 已知函数f (x )＝4＋a x＋1的图象经过定点P ，则点P 的坐标是( )A ．(－1,5)B ．(－1,4)C ．(0,4)D ．(4,0) 命题角度2 指数函数局部图象例5 若直线y ＝2a 与函数y ＝|2x －1|的图象有两个公共点，求实数a 的取值范围． 反思与感悟 指数函数是一种基本函数，与其他函数一道可以衍生出很多函数，本例就体现了指数函数图象的“原料”作用．跟踪训练5 函数y ＝a |x |(a >1)的图象是( )1．下列各函数中，是指数函数的是( ) A ．y ＝(－3)x B ．y ＝－3x C ．y ＝3x －1D ．y ＝⎝⎛⎭⎫13x2．若函数y ＝(2a －1)x (x 是自变量)是指数函数，则a 的取值范围是( )A ．a >0且a ≠1B ．a ≥0且a ≠1C ．a >12且a ≠1D ．a ≥123.函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a ，b 均为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <04．函数23x y －＝的值域是________． 5．函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为________．1．判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)这一结构形式，即a x 的系数是1，指数是x 且系数为1.2．指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的性质分底数a ＞1,0＜a ＜1两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的．3．由于指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的定义域为R ，即x ∈R ，所以函数y ＝a f (x )(a ＞0，且a ≠1)与函数f (x )的定义域相同．4．求函数y ＝a f (x )(a ＞0，且a ≠1)的值域的方法如下： (1)换元，令t ＝f (x )，并求出函数t ＝f (x )的定义域； (2)求t ＝f (x )的值域t ∈M ；(3)利用y ＝a t 的单调性求y ＝a t 在t ∈M 上的值域．一、选择题1．若函数f (x )＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，则( ) A ．a ＝1或a ＝2 B ．a ＝1 C ．a ＝2D ．a >0且a ≠12．函数y ＝a x －a (a >0且a ≠1)的大致图象可能是( )3．设指数函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，则下列等式中不正确的是( ) A ．f (x ＋y )＝f (x )f (y ) B ．f (x －y )＝f (x )f (y )C ．f (nx )＝[f (x )]n (n ∈Q )D ．[f (xy )]n ＝[f (x )]n [f (y )]n (n ∈N *)4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，2x ，x ≥0，若方程f (x )＝a (a 为实常数)有2个根，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)5．函数y ＝3x 与y ＝3－x 的图象关于下列哪条直线对称( ) A ．x 轴 B ．y 轴 C ．直线y ＝xD ．直线y ＝－x6．已知函数f (x )＝(a 2－1)x ，若x >0时总有f (x )>1，则实数a 的取值范围是( ) A ．1<|a |<2 B ．|a |<2 C ．|a |>1D ．|a |> 27．若函数f (x )＝12x ＋1，则此函数在(－∞，＋∞)上( )A ．单调递减且无最小值B ．单调递减且有最小值C ．单调递增且无最大值D ．单调递增且有最大值8.如图所示，面积为8的平行四边形OABC 的对角线AC ⊥CO ，AC 与BO 交于点E .若指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象经过点E ，B ，则a 等于( )A. 2B.3 C ．2 D ．3 二、填空题9．函数y ＝32－2x 的定义域是________．10．已知5a ＝0.3,0.7b ＝0.8，则ab 与0的大小关系是________．11．给出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥3，f (x ＋1)，x <3，则f (x )的值域为________．三、解答题12．求下列函数的定义域和值域．(1)y ＝(2)y ＝5-x －1.13．已知x ∈[－3,2]，求f (x )＝14x －12x ＋1的最小值与最大值．四、探究与拓展14．若函数f (x )＝a x ＋b －1(a >0，且a ≠1)的图象经过第一、三、四象限，则一定有(a －1) b ____0.(填“>”“<”“＝”) 15．已知函数y ＝131-⎪⎭⎫ ⎝⎛x(1)画出函数的图象(简图)； (2)由图象指出函数的单调区间；(3)由图象指出当x 取何值时函数有最值，并求出最值．。
2.1指数函数
设x年后我国的GDP为2000年的y倍，那么
y (1 7.3%) 1.073 ( x N , x 20)
x x *
即从2000年起，x年后我国的GDP为2000年的1.073x倍。
想一想，正整数指数幂1.073x的含义是什么？它 具有哪些运算性质？
问题2 当生物死亡后，它机体内原有的碳14会 按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来 的一半，这个时间称为“半衰期”. 根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t之间的关系
5
的近似值 9.518269694 9.672669973
2
9.735171039 9.738305174 9.738461907 9.738508928 9.738516765 9.738517705 9.738517736 …
然后通过计算器完成下表：
5
的近似值 11.18033989 9.829635328
2.1.1
指数与指数幂的运算 ——无理指数幂
课堂练习
1. 计算下列各式：
36 (1) ; 49
1 2 1 4 1 8
3 2
(2)2 3 1.5 12;
3 6
1 3 1 3 2 3
1 ( 3)a a a ; (4)2 x ( x 2 x ). 2
课本第54页练习第3题，解题过程可见参考书.
25=32，那么2是32的5次方根，记作 5 32 2 ； 35=243，那么3是243的5次方根，记作 5 243 3 ； 24=16，那么2是16的4次方根，记作 4 16 2 ；
4 4 3 =81，那么3是81的4次方根，记作
81 3 ；
(-2)5=-32，那么2是-32的5次方根，记作 5 32 2 ； (-2)2=16，那么2也是16的4次方根，记作 4 16 2 .源自0的任何次方根都是0，记作
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例3 比较下列各题中两个值的大小 （1）1.7 2.5 ＜
1.7
2.5
3
解： ∵函数 y 1.7 x在R上是增函数， 而指数2.5<3． ∴
1.7 < 1.7
3
5 4.5
4
3.5
fx = 1.7x
2.5 2 1.5 1
3
0.5
-2
-1
1
2
3
4
5
6
-0.5
例3 比较下列各题中两个值的大小
0.1 0.2 （ 2） 0.8 ＜ 0.8
C. y 2
x
）
D. y 3 2
x
2. 比较下列各题中两个值的大小： （1）3 0.8 与 3 0.7 ; ( 2 ) 0.75 -0.1 与 0.75 0.1
点滴收获： 1. 本节课学习了那些知识? 指数函数的定义 指数函数的图象及性质
2.如何记忆函数的性质?
数形结合的方法记忆
y
y 2x
0.4
0.2
0.2
-2
-1.5
-1
-0.5 -0.2
0.5
1
1.5
2
2.5
-0.5 -0.2
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
-0.4
-0.4
比较两个指数幂大小的方法:
1.同底：构造1个指数函数，借助单调性
2.不同底：借助中间值1
练习2
1.下列函数中一定是指数函数的是（ A. y 2 x 1 B. y x 3
x
2
x
…
…
1 8
1 4
1 2
1 1
2
1 2
4
1 4
8
1 8
…
1 x ( ) 2
…
8
4
2
1 y ( )x 2
y 2x
探求图象
y 2x
1 x y ( ) 2
1 y 5
x
y
y 5
x
y 3x
1 x y ( ) 3
1
0
1
x
探求图象
1 y 3
2
3.记住两个基本图形:
1 x y( ) 2
1
Байду номын сангаас
y=1
2
-2
-1
o1
x
课后作业
习题2.1 A组 （写在练习本上）
引例2：《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰， 日取其半，万世不竭。”请你写出截取x次后，木 棰剩余量 y 关于 x 的函数关系式？
截取 次数 1次 2次 3次 4次 x次
1 x * y ( ) , xN 2
木棰 剩余
1 2
1 2
2
1 2
3
1 2
四. 典例分析、巩固训练
x f ( x ) a (a 0且a 1） 例1、已知指数函数 的图像经过
点（3，π）求 f(0), f(1), f(-3)的值。
解：因为 f ( x) a x 的图像过点 (3, ), 所以
f (3) ,
即 a , 解得 a , 于是
解： ∵函数 y 0.8 x在R上是减函数， 而－0.1>－0.2
0.1 0.2 0 . 8 0 . 8 ∴
1.8
fx = 0.8x
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
例3 比较下列各题中两个值的大小
（3）1.7 0.3
0.9
3.1
解：根据指数函数的性质，得：
x
y
y 0.2 x
y 5x
y 3x
y 2x
1 y 2
x
1
0
1
x
二.指数函数的图象与性质
y=ax(a>1）
图
象
y
y=ax (0<a<1)
y
(0,1)
y=ax
(0,1)
o x (1)定义域: R (2)值域：(0,+∞)
o
x
性 (3)图象过定点:(0,1) ，即x=0 时,y=1.
4
1 2
x
两个关系式的共同特征是什么？
y2
x x
它们都是函数
1 y 2
a
x
x
形如 y a 的函数叫做指数函数.其 中x是自变量,函数的定义域是R
形成概念
一般地：形如y = ax(a>0且a≠1) 的函数叫做指数函数.其中x是自变量, 函数的定义域是R
观察指数函数的特点:
y 1 a
系数为1
x
指数只有x
底数为正数且不为1
练习1：判断下列函数是否是指数函数？
(1) y x
3 x
(2) y 3 (4) y 3
x
(3) y (3)
x
1 x ( ) 3
1 x y ( ) x R 的图象. 用描点法来作出函数 y 2 和 2 … … -3 -2 -1 x 0 1 2 3
3
1 3
f ( x) .
所以，f (0) 1, f (1) , f (3) .
0 3 1 1 3
x 3
1
例 2 求下列函数的定义域： （1） y 3
x2
1 x ； （2） y ( ) 2
1
解： （1）要使函数有意义，则 x 2 0 ，解得 x 2 ， 原函数的定义域是{x x 2} . （2）要使函数有意义，则 x 0 ， 原函数的定义域是{x x 0} .
给我一个支点， 我就可以撬动地球.
阿基米德
引例1: 给我一张纸，我就可以使它的厚度超过珠穆朗 玛峰！ 若纸的厚度为1mm，对折x次后厚度y为多少？
折纸次数
1次 2次 3次
纸张厚（mm）
2 2
1
42 3 8 2
2
……
x次
……
y2
x
一张1毫米的纸，对折23次后可以达到 珠穆朗玛峰的8848米的高度。 这个答案违变了实验事实，有人做过 实验，纸折到7次以上就很难再折动了，与 纸张大小无关。
在R上是减函数 (4)在R上是增函数 (5)非奇非偶函数 x的图象关于y轴对称 (6)函数y=ax与y=( 1 ) a (7)当x>0时，y>1. 当x<0时，0<y<1. 当x>0时，0<y<1, 当x<0时，y>1.
质
三. 深化理解
左右无限上冲天,
永与横轴不沾边.
大一增，小一减，
图象恒过(0,1)点.
1.70.3 1.70 1， 0.93.1 0.90 1
从而有
3.2
3.2
1.7
0.3
0.9
3.1
3
3
2.8
2.8
2.6
2.6
2.4
2.4
2.2
2.2
2
2
1.8
fx = 1.7x
1.8
fx = 0.9x
1.6
1.6
1.4
1.4
1.2
1.2
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4