原子弹爆炸的能量估计
量纲分析法建模案例
1、问题的提出 1945年7月16日，美国科学家在墨西哥州阿拉 莫戈多沙漠进行了“三位一体实验”，试爆了全球 第一颗原子弹。人们想了解这次爆炸的威力究竟有 多大。英国物理学家Taylor(1886-1975)通过研究 爆炸时的录像带，建立数学模型对这次爆炸所释放 的能量进行了估计，得到的结果为19.2千吨。这次 爆炸所释放的实际能量为21千吨。 那么，Taylor是如何对原子弹爆炸的能量进行 估计的呢？
r (t , E, , p)
记作更一般的形式
(1)
f (r, t , E, , p) 0
(2)
取3个基本量纲：长度L，质量M和时间T，（2） 中各个物理量的量纲分别是
[r ] L,[t ] T ,[ E] L2 MT 2 ,[ ] L3M ,[ P] L1MT 2
边取对数作线性最小二乘拟合，取＝1.25kg/m3 , 有 5 1 E log10 r log10 t log10 ( ) (9) 2 2
x
c
5 1 E y c, y log10 r x, x log10 t , c log10 ( ) 2 2
c 6.9038
t E 6 5 t P 1/ 5 6 / 5 2 / 5 3/ 5 2 r E P ( 2 3 ) E 且存在某个函数F使得
1 rt
2 / 5
E
1/ 5
1/ 5
r(
2
)1/ 5
（3）
（4）
F( 1 , 2 )=0 由（3）（4）有
（5）
与（2）等价。取（5）的特殊形式 1 =( 2 )，
(10)
由c和容易算出E 8.0276 1013 焦耳
tnt当量
tnt当量
TNT当量：计算爆炸威力的标准
用释放相同能量的TNT炸药的质量表示核爆炸释放能量的一种习惯计量。
又写成TNT当量。
也可用于表示非核爆炸释放的能量。
核弹爆炸释放的能量，即其威力大小，通常用“吨TNT当量”。
做计量单位，表示为“t TNT”。
1吨TNT炸药爆炸时释放的能量约为4.19兆焦。
1千克铀-235全部裂变时释放的能量约为81.9太焦，1千克钚-239全部裂变时释放的能量约为83.3太焦，都接近2万吨TNT当量。
1千克氘化锂-6完全聚变释放的能量约为260太焦，相当于约6万吨TNT当量。
所谓TNT当量是指核爆炸时所释放的能量相当于多少吨(t)TNT炸药爆炸所释放的能量。
三硝基甲苯(Trinitrotoluene, TNT, 2,4,6-trinitromethylbenzene)是一种带苯环的有机化合物，熔点为81摄氏度。
它带有爆炸性，常用来制造炸药。
它经由甲苯的硝化作用而制成。
TNT炸药的数量又被使用作为能量单位，每公斤可产生4184000焦耳的能量，1吨TNT相等于4184000000焦耳。
通常也作为核武器爆炸当量的单位来使用，比如一枚核武器的当量为200万吨TNT就是指爆炸威力等于200万吨TNT炸药爆炸的威力。
原子弹爆炸威力计量单位
原子弹爆炸威力计量单位
原子弹爆炸的威力计量单位是“庞特·布洛赫”（Pound of TNT）。
一公斤TNT的爆炸威力约为4.184千焦耳。
这些单位用来确定爆炸物品的能量，它说明了不同物品爆炸时发生的效果有多大。
一公斤TNT爆炸释放出来的能量大概相当于火药0.6公斤，2.2千米的水泥砖200块，或者汽油4.4升。
因此，1庞特·布洛赫（Pound of TNT）就分别等于1磅火药、200重汽油、或9800重水泥砖。
一个原子弹的威力可以是按TNT计算的100万到1亿千克左右（说明： 1百万到1亿千克TNT = 100块到1000块庞特·布洛赫）。
因此，一枚原子弹的威力比传统武器的威力要强大的多。
着名的1945年爆炸在日本广岛和长崎的原子弹，其比标准TNT爆炸威力大约为18万千克。
这些原子弹是人类历史上最大而又最昂贵的武器。
原子弹的威力也在大流行中被广泛使用。
一般来说，这些原子弹的威力被衡量为TNT的千克数，而不是庞特·布洛赫。
这种衡量方式的好处是，允许比较和汇总不同爆炸源的数据，例如火药、水泥、和汽油等，以便比较和汇总不同爆炸源的爆炸能量数据。
考虑到原子弹的威力和危害性，人们一直在努力发展武器来抵
抗它，包括反导弹系统、空气动力屏障，以及恒温屏障。
这些系统都可以阻止原子弹接近地面，所以使得原子弹的威力最终受到了限制。
尽管原子弹的威力可以被衡量，但现实情况是，它的威力非常的强大，对人类有着极其严重的危害性。
因此，世界各国一直在努力限制和控制武器，改善人类社会的安全和福祉。
核爆炸冲击力计算
核爆炸冲击力计算核爆炸是一种巨大的能量释放现象，会产生巨大的冲击力，对周围的建筑物、人类和环境产生破坏。
因此，对核爆炸的冲击力进行准确的计算和预测是非常重要的。
本文将介绍核爆炸冲击力的计算方法，并讨论其对人类和建筑物的影响。
1. 核爆炸的冲击力核爆炸是指核武器释放的能量在极短的时间内达到极高的温度和压力，从而产生巨大的冲击波。
这种冲击波会对周围的建筑物和人类产生破坏，是核爆炸造成的主要破坏力量之一。
核爆炸的冲击力可以通过不同的方法进行计算。
其中，最常用的方法是使用爆炸冲击波的压力和距离的关系进行计算。
通常情况下，核爆炸的冲击波会以球形扩散，其压力随着距离的增加而减小。
因此，我们可以通过核爆炸的能量和距离来计算冲击波的压力。
2. 核爆炸冲击力的计算方法核爆炸冲击力的计算方法可以分为两种，分别是理论计算和实地试验。
理论计算是通过核爆炸的能量、距离和环境参数来计算冲击力的大小。
实地试验是通过在实验场上进行核爆炸试验，然后对试验结果进行分析和计算。
理论计算的方法是通过核爆炸的能量来估计核爆炸冲击力的大小。
核爆炸的能量可以通过核武器的当量来表示，当量是指核武器释放的能量与相同质量的TNT炸药释放的能量相等的质量。
通过核武器的当量和距离，我们可以估算核爆炸的冲击波的压力，从而得到核爆炸冲击力的大小。
实地试验的方法是通过在实验场上进行核爆炸试验，然后对试验结果进行分析和计算。
在试验中，可以通过在不同距离处测量冲击波的压力和持续时间，从而得到核爆炸的冲击力的大小。
然后可以通过试验结果来验证理论计算的方法的准确性。
3. 核爆炸冲击力的影响核爆炸的冲击力对周围的建筑物、人类和环境都会产生严重的影响。
对建筑物来说，核爆炸的冲击力会导致建筑物的结构受到严重损坏，甚至垮塌。
对人类来说，核爆炸的冲击力会导致人员受伤甚至死亡。
对环境来说，核爆炸的冲击力会导致环境的污染和破坏。
因此，对核爆炸的冲击力进行准确的计算和预测是非常重要的。
为什么核武器的威力大
为什么核武器的威力大核武器是一种极为致命的武器，其威力远大于其他类别的武器。
在正常的情况下，核武器的使用是不被允许的，但是这并不影响人们对于核武器威力的想象和探究。
本文将从多个角度探讨为什么核武器的威力大。
1. 能量释放核武器的核心原理是核能释放。
当核武器引爆时，绝大部分的核能都被释放出来，轰然巨响。
一枚核弹的能量释放量可以达到数百万甚至数千万吨的TNT当量。
以美国在日本广島投掷的“小男孩”原子弹为例，其能量释放量约等于1.5万吨的TNT当量。
这样的威力足以毁灭整个城市，造成数十万人员的死亡和伤亡。
2. 非常规杀伤核武器的爆炸不仅能释放巨大的能量，还会产生强烈的辐射。
高能量的γ射线、α粒子和β粒子会对人体产生不可逆的损伤，导致死亡、致残、癌症等严重后果。
核武器爆炸还可能引起火灾、地震、飓风、洪水等非常规杀伤。
3. 全球性威胁核武器是全球性的威胁，一旦使用，不仅会对爆炸地区造成灾难性的影响，还会对人类的生存环境产生严重的影响，进而影响到全球的稳定和发展。
从历史上看，核武器的使用往往会引起全球性的担忧和恐慌，国际社会也一直在努力限制核武器的扩散和使用。
4. 可逆性非常小核武器的使用具有极高的不可逆性。
一旦使用，就意味着有大量的生命、财产损失，也意味着可能对整个地球的生态环境产生不可逆转的影响。
而且，随着现代科技的飞速发展，核武器的杀伤范围和威力正在不断提升，这也使得核武器的使用变得越来越危险和不可逆转。
5. 意识形态上的影响去年12月，美国总统特朗普宣布，美国将退出《中导条约》。
这一决定在国际上引发了广泛的担忧和批评。
核武器的威力不仅体现在武器本身，更在于其象征物质上的影响。
核武器是核大国权力和地位的象征，也是大国之间意识形态斗争的重要手段。
正因为这样，核武器的威力不仅局限于实际情况，还深深影响着国际关系。
综上所述，核武器的威力大是不言而喻的。
战争不仅会带来短期的痛苦，还会影响到整个世界的未来。
因此，我们应该珍惜和平，努力为实现全球和平作出努力，减少甚至消除核武器，维护人类的美好未来。
6.3原子弹爆炸的能量估计与量纲分析
t(ms) 0.10
r(m) 106.5
0.24
0.38 0.52 0.66
19.9
25.4 28.8 31.9
0.94
1.08 1.22 1.36
2 2
[ ] L M ;
3
[ P ] L1MT 2
L M T
ρ
P
原子弹爆炸能量估计的量纲分析方法建模
Rank A 3
Ay 0, y ( y1, y2 , y3 , y4 , y5 )T 有2个基本解
r 2 t E
当时资料是保密的, 无法准确估计爆炸的威力 . 英国物理学家泰勒研究了两年后美国公开的录像带, 利用数学模型估计这次爆炸释放的能量为19.2×103t.
原子弹爆炸的能量估计
爆炸产生的冲击波以爆炸点为中心呈球面向四周传播, 爆炸的能量越大，在一定时刻冲击波传播得越远. 冲击波由爆炸形成的“蘑菇云”反映出来. 泰勒测量： 时刻t 所对应的“蘑菇云”的半 径r
基本量纲个数n; 选哪些基本量纲.
• 基本解的构造 有目的地构造 Ay=0 的基本解. • 方法的普适性 • 结果的局限性 不需要特定的专业知识. 函数F和无量纲量未定.
p= f(x,y,z)的形式为
f ( x, y, z ) x y z
单摆运动中 t, m, l, g 的一般表达式
y1 y2 y3 y4
f (t , m, l , g ) 0
y1~y4 为待定常数, 为无量纲量 t m l g 0 0 1 [ t ] L M T ( L0 M 0T 1 ) y ( L0 M 1T 0 ) y ( L1 M 0T 0 ) y 0 1 0 [ m ] L M T 1 0 2 y 0 0 0 (L M T ) L M T 1 0 0 [l ] L M T y3 y4 y2 y1 2 y4 0 0 0 1 0 2 L M T L M T [ g ] L M T
数学建模——原子弹爆炸的能量估计(医学参照)
数学建模——原子弹爆炸的能量估计（医学参照）原子弹爆炸所释放的能量是巨大的，而对于医学来说，我们需要关注的是此次爆炸对健康的影响。
因此，在进行能量估计时，我们需要考虑的不仅是爆炸造成的破坏，还要考虑辐射对人体的影响。
首先，我们可以利用质能方程E=mc²来估算原子弹爆炸所释放的能量。
其中E为能量，m为失重的质量，c为光速（3×10^8 m/s）。
以1945年美国在广岛投下的“小男孩”原子弹为例，其质量为64 kg，如果它完全失重了，那么释放的能量为：E = 64 ×（3 × 10^8）² = 5.76 × 10^17 J这个数字太大了，难以想象。
我们可以将其与医学中用的单位——格雷（Gy）进行比较。
格雷是一种测量辐射剂量的单位，表示每公斤物质所吸收的辐射剂量。
经过计算，我们可以估计出广岛原子弹爆炸后周围瞬时释放的电离辐射剂量为3.4 × 10^15 Gy，随着时间的推移，这个剂量会不断下降。
这个数字很大，但并不能直接表明辐射对人体的影响。
不同的组织对辐射的敏感程度不同，因此我们还需要进行更详细的计算。
辐射对人体的影响主要包括两个方面：急性病理反应和慢性病理反应。
急性病理反应是指在短时间内接受高剂量辐射后，人体出现的一系列急性症状，可导致死亡。
而慢性病理反应则可能在长时间内造成慢性疾病，如癌症。
对于辐射剂量不同的组织，它们所受损害的也有所不同。
例如，免疫系统和骨髓对辐射的敏感程度较高，而肝脏和肺部的敏感程度较低。
因此，在评估辐射对人体的影响时，需要针对不同的组织进行分析。
另外，辐射的类型也会影响其对人体的影响。
电离辐射分为α、β、γ三种类型，其中α辐射对组织的影响最大，因为它的能量很高，穿透力很弱，很容易被身体内的组织吸收。
而γ辐射穿透力很强，对人体内部的所有组织都有影响。
总之，原子弹爆炸所释放的能量及其对人体的影响是一个十分复杂的问题，需要考虑多个因素。
核弹的杀伤范围有多大
核弹的杀伤范围有多大普通原子弹空中爆炸时释放的能量大致是以下面的比例转化成杀伤力的：冲击波占50%、光辐射35%、贯穿核辐射5%、放射性沾染10%。
不同量级的核弹空爆时各种因素对地面暴露人员的杀伤（指立即死亡或丧失战斗力）半径表（单位是公里）：核冲击波光辐射贯穿核辐射1千吨级：0.18 0.16 0.711万吨级：0.45 0.57 1.00十万吨级：1.15 1.87 1.48百万吨级：2.87 5.60 1.98经测算实验，一枚百万吨级核弹地面爆炸时冲击波对地下设施破坏半径为4．8千米。
由此可见，小当量核弹的贯穿核辐射杀伤力最大，而大当量核弹的光辐射最厉害。
上述不同杀伤作用是同时作用于人体的，所以核弹的综合性杀伤半径要比上表所列大一些。
大家最关心的不同当量核弹对不同状态人员的杀伤半径数据如下(单位是公里)：1千吨级：0.85；1万吨级：1.5；十万吨级：3.1；百万吨级：6.3；千万吨级：12核弹的威力与杀伤半径不是呈正比增长的。
可从上表中发现核弹威力增长的规律，大致上每增加一个数量级（X10），杀伤半径才增加一倍。
也就是说，1000万吨的巨型核弹的杀伤半径只是10万吨级核弹的4倍，杀伤面积也不过是它的16倍。
一、百万吨级的核弹威力是个什么概念?核冲击波光辐射贯穿核辐射百万吨级：2.87 公里5.60公里1.98公里对人员的杀伤半径为6.3公里：以100万吨级核弹为例，它对不同隐蔽物后的人员的杀伤半径如下（单位公里）：暴露人员：6.3堑壕内人员：3.6坦克内人员：2.8避弹所内人员：1.2永备工事内人员：0.76因而在城市里，百万吨级的核弹空爆后，正好在坚固建筑后的人员在4公里外不会送命，而地铁内人员只要在8—900米外就能躲过一劫。
百万吨级的核武器空爆发生在超大级的现代化大都市会是个什么情景：最初几秒的强烈光辐射和贯穿核幅射让6.3公里内与炸点直视范围内的暴露人群立即死亡，五光十色的镜面玻璃墙围的反射作用会让躲藏在大楼背面的人们在光辐射下暴露无余，无数建筑在高温下开始起火燃烧；接踵而至的冲击波将所有玻璃幕墙会化为无数的玻璃霰弹横扫大街小巷，满载汽油的上百万辆汽车带着烈焰飞到数个街区外传播火种。
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优化建模
6.95
6.9
6.85 5/2*log10(r)-log10(t)
6.8
6.75
6.76.65ຫໍສະໝຸດ 6.6 -4-3.5
-3
经计算得到c=6.9038，e=8.0276 ×1013 焦耳（国际标准单位) =4.184 × 1012 焦耳 ，由此得到 查表知1千吨TNT的核子能量 原子弹爆炸的能量是19.1863千吨，与实际值21千吨相差不大。
本例可看出，Taylor采用量纲分析法获得巨大成功。
-2.5 log10(t)
-2
-1.5
-1
优化建模
3.直接估计 直接由（*）作拟合，
e=
ρr5
t2
对它进行最小二乘拟合，相当于取上式右端平均值, e1=rou0*mean(r.^5./t.^2)*1e6 kiloton=e1/4.184e12
得到e = 8.2825 × 10 焦耳，爆炸的
13
能量是19.7957千吨。
记爆炸能量e， 将“蘑菇云”看成球状， “蘑菇云”的 半径r，空气密度ρ，大气压强P。于是要建立的数学模型 可设为 f (r，e，ρ，P，t）=0 (r e ρ P t =0
优化建模
模型假设
（1）爆炸是在一点突然发生，在压强为p的空气中传播。 （2）同一时间只有一点发生爆炸，传播的空间没有大型 障碍物阻止。 （3）爆炸开始的时间定位在t=0,爆炸的能量完全释放。
优化建模
原子弹爆炸的 能量估计
优化建模
一、问题背景： 问题背景：
1945年7月16日 美 __________________,____国试爆第一颗原子弹
1945年7月16日上午5时24分，美国科学家 在新墨西哥州阿拉莫戈夫的“三一”试验场内的 一个30米高的铁塔上进行试验， 试爆了全球第一颗原子弹。 两年以后，美国政府首次公开了这次爆炸的录影带，没有发 布任何有关的数据。如何对原子弹爆炸的能量进行估计？ Taylor通过研究这次爆炸的录影带，建立数学模型对这次爆 炸所释放的能量进行了估计。
是与量纲单位选取无关的物理定律。 1 , X 2 , ⋯⋯, X n 是基本 X 量纲,n≤m,
q1 , q 2 ,⋯ ⋯ , q m
的量纲可表为:
矩阵A=
{a }
ij
n× m
称为量纲矩阵
优化建模
若A的秩为Rank(A)=r,设齐次线性方程组Ay=0的 m - r个基本解为：
为m－r个相互独立的量纲为1的量，且 与 等价。
优化建模
为了利用表（1）数据，必须先估计 φ (π 2 )
Taylor认为，对于原子弹爆炸来说，经历时间非常短， 所释放的能量非常大,
t 6 P5 π2 = 2 3 ≈ 0 e ρ Taylor根据一些小型爆炸实验数据，最终建议 φ (π 2 ) ≈ 1
因此
t e r = ρ
5 1 e log10 r = log10 t + log10 ( ) 2 2 ρ
5 1 e 可化为y=c,y= log10 r − x, x = log10 t , c = log10 ( ) 2 2 ρ
由表1数据算出y，拟合系数c,从而得到能量e,
优化建模
检验程序
x=log10(t*1e-3); y=5/2*log10(r)-x; plot(x,y,'+') xlabel('log10(t)'); ylabel('5/2*log10(r)-log10(t)'); c=mean(y) hold on; plot(x,c,'.-'); hold off; rou0=1.25; e=rou0*10^(2*c) kiloton=e/4.184e12
利用 左图 及其 他知 识估 计爆 炸能 量
优化建模 Taylor建立计算爆炸能量的数学模型所产用的是量纲分析法。
二、量纲分析
数学建模涉及变量、参数和常数，它们大部分都是带有 单位的物理量。 例如：某人的跑速是6米/秒，圆管的周长是10厘米等。 物理量当中有些称为基本的，它们相互独立并可以通过自然规 律的各种定律构成其它的物理量。现在公认的科学单位制是国际 单位制，它由七个单位组成，如下图。
模型建立与求解
这是一个力学问题,基本量纲选作长度L，质量M，时间 T。上述涉及到的物理量的量纲可表为：
优化建模
[r]=L，[e]= L MT
2
−2
−2 L−1 MT ， ，[ρ]= L M，[P]=
−3
[t]=T 且基本量纲数n=3<问题物理量数m=5。 可写出量纲矩阵A=
Rank(A)=3 解齐次线性方程组 Ay=0
优化建模
模型准备
Taylor知道，爆炸是能量的释放过程，在一点上突 然释放大量的能量，爆炸的表面形成一个球面， 以冲击波的形式在空气中向外传播。冲击波通过 爆炸形成的“蘑菇云”反映出来。 Taylor研究录影带，测量出从爆炸开始，不同 时刻爆炸所产生的“蘑菇云”的半径。
t 0.10 0.24 0.38 0.52 r(t) 11.1 19.9 25.4 28.8 t r(t) t r(t) t 0.80 34.2 0.94 36.3 1.08 38.9 1.22 41.0 1.36 42.8 1.50 44.4 1.65 46.0 1.79 46.9 1.93 3.26
优化建模
250
200
150
100
50
0
0
10
20
30
40
50
60
70
经计算得到b=0.4058，与量纲分析得到的结果非常接近。 上图给出了与实际数据拟合的情况。
优化建模
2.数据估计 为了由（*）和表1数据估计能量e，对（*）两边取对数， 作线性最小二乘拟合， 这里取ρ =1.25 kg / m3 ) （
2 1 5
(*)
e, ρ一定时，r与t 2 / 5 结果表明：半径与大气压强无关，当
成正比。
优化建模
三、数值计算
1.数据检验 设 r = at b 对上式取对数后用线性最小二乘拟合，用表1数据去定 t , r
优化建模
检验程序
data=[ 0.10 11.1 0.80 34.2 1.5 44.4 3.53 61.1 15.0 106.5 0.24 19.9 0.94 36.3 1.65 46.0 3.80 62.9 25.0 130.0 0.38 25.4 1.08 38.9 1.79 46.9 4.07 64.3 34.0 145.0 0.52 28.8 1.22 41.0 1.93 48.7 4.34 65.6 53.0 175.0 0.66 31.9 1.36 42.8 3.26 59.0 4.61 67.3 62.0 185.0 ]; t=[];r=[]; for i=1:5 t=[t;data(:,2*i-1)]; r=[r;data(:,2*i)]; end r1=log(r);t1=log(t); s=polyfit(t1,r1,1);b=s(1);a=s(2); tt=0:0.1:70;rr=exp(a)*tt.^b; plot(tt,rr,t,r,'+')
优化建模
方程组有m－r=5－3=2个基本解，可取
上式给出了两个相互独立的无量纲量
即 由上得
这就是用量纲分析法 确定的 r 的表达式
优化建模
将上面的推导过程一般化，就是著名的Buckingham Pi定理: 设有m个物理量
q 1 , q 2 , ⋯ ⋯ , q m , 且 f (q 1 , q 2 , ⋯ ⋯ , q m ) = 0
优化建模
量的名称 长度 L 质量 M 时间 T 电流强度 I 热力学温度Θ 发光强度 J 物质的量 N
单位名称 米 千克 秒 安培 开尔文 坎德拉 摩尔
单位符号 m Kg S A K Cd mol
物理量的单位是这七个单位的复合。一个物理量Q一般可以 表示为基本量的乘幂之积，表达式为 [Q]=
α M β T γ I δ Θε J ζ Nη L
表（1）
·
r (m)
r(t)
单位：t (ms),
r(t) t
3.53 61.1 3.80 62.9 4.07 64.3 4.34 65.6 4.61 67.3
15.0 106.5 25.0 130.0 34.0 145.0 53.0 175.0 62.0 185.0
48.7 59.0
0.66 31.9
优化建模
1、在力学中，基本单位取作长度(L) 质量(M) 时间 (T)。则速度的量纲 [v] = LM0T −1 [a]= LM 0T −2 2、量纲齐次性原则 任一有意义的方程必定是量纲一致的，即方程两 边的量纲的一致性。 量纲分析就是利用量纲齐次原则来寻求物理 量之 间的关系。 加速度的量纲
优化建模