08-09高数(下)(A)试卷及答案

08-09 高等数学(下) A 考试方式： 闭卷 完成时限： 120分钟 一、填空（每小题3分，满分15分）：1. 与两平面34=-z x 和152=--z y x 的交线平行,且过点)5,2,3(-的直线方程_______________.2. 函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点)1,1(-处取得极值,则常数 =a _______________.3. 若积分区域D 为x y x 222≤+,则二重积分⎰⎰σDd y x f ),(化为极坐标下的二次积分为_____________.4. 设)ln(222z y x u ++=则=)(u grad _______________.5.若级数∑∞=0n n nx a在5-=x 处条件收敛,则该级数的收敛半径为._______. 二、单项选择（每小题3分，满分15分）：1. ()00,y x f x 和()00,y x f y 存在是函数()y x f ,在点()00,y x 连续的( )A. 必要非充分条件;B. 充分非必要条件;C. 充分且必要条件;D. 既非充分又非必要条件2. 已知 dy y x dx ay x )43()(+++为某一函数的全微分,则=a ( )A. 0 ;B. 1 ;C. 3 ;D. 4.3. 二次积分dx y x f dy y y⎰⎰22),(交换积分次序后为( )A. ⎰⎰⎰⎰+221210),(),(xxxdy y x f dx dy y x f dx;B.dy y x f dx x ⎰⎰22),( ;C.⎰⎰22),(xxdy y x f dx; D.⎰⎰⎰⎰+21221),(),(xxxdy y x f dx dy y x f dx .4. 22y x z +=在点(1,2)处沿着从点(1,2)到点)32,2(+的方向的方向导数为( )A. 32+ ;B. 321+ ;C. 342+;D. 34+ .5. 下列级数中条件收敛的是( )A.∑∞=-1)1(n nnB. ∑∞=-13)1(n nnC. ∑∞=--22)1(n n nn nD. ∑∞=-12)1(n nn 三、计算下列各题（每小题7分，满分49分）： 1. 求直线⎩⎨⎧=--+=++-0101z y x z y x 在平面0=++z y x 上的投影直线的方程.2. 设⎩⎨⎧=+=-10xv yu yv xu ，求y vx u ∂∂α∂ ,.3. 求曲线⎩⎨⎧=+-++=0253222z y x y x z 上点)9,2,1(-处的切线方程和法平面方程.4. 计算dy yye dx x y ⎰⎰-121 .5. 设Ω是由z y x 222=+和2=z 所围在的区域，求⎰⎰⎰Ω+dv y x z )(22. 6. 求幂级数nn n nx n ∑∞=-12)1(的收敛域.7. 设⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0 , 10 , arctan 1)(2x x x x x x f ,求)(x f 展开成x 的幂级数,并求级数∑+∞=--1241)1(n n n 的和. 四、应用题（每小题8分，满分16分）： 1.设长方体的三个面在坐标面上,其一顶点在平面1=++czb y a x 上,且.0,0,0>>>c b a 试问长方体的高z 取什么值时,其体积最大.2. 求球体2222R z y x ≤++与球体Rz z y x 2222≤++的公共部分的体积. 五、证明题（5分）设),2,1(,⋅⋅⋅=≤≤n b c a n n n ,并设级数∑∞=1n na和∑∞=1n nb均收敛,试证明∑∞=1n nc也收敛.08-09高数(下)A 参考答案一、填空题（每小题3分，共15分） 1153243-=-=+z y x ， 2 -5 3 ⎰⎰-θππρρθρθρθcos )sin ,cos (2022d f d4 )2,2,2(222222222zy x zz y x y z y x x ++++++ 5 5. 二、选择题（每小题3分，共15分） 1.D 2.C 3.A 4.B 5.A三、计算题（每小题7分，共49分）1.解: 现求过直线和平面垂直的平面方程有1=-z y (5)那么所求直线方程为⎩⎨⎧=++=-01z y x z y (7)2.解: 方程两边求微分，得⎩⎨⎧=+++=--+00vdx xdv udy ydu vdy ydv udx xdu …………………………………………………………(3) 22y x yvxu x u ++-=∂∂，……………………………………………………………………（5） 22yx yvxu y v ++-=∂∂……………………………………………………………………（7） 3. 解 ⎩⎨⎧='-'+'+='05342x x xx z y y y x z ，在点)9,2,1(-处，解得334,35='='xx z y ,…………..(3) 所以在点)9,2,1(-处的切向量为 {}34 ,5 ,3,……………………………………………..(5) 因此切线方程3495231-=-=+z y x ,.....................................................(6) 法平面方程 3133453=++z y x (7)4.解:交换积分次序,1d e d d 1e 1110==-=⎰⎰⎰y y x y yy I y yy (7)5.解: 采用柱面坐标，⎰⎰⎰=22320202d d d r z z r r I πθππ8d )44(2122043=-⋅=⎰r r r (7)6.解:收敛半径为 2121lim lim1=+==∞→+∞→n n a a R n n n n , (4)当21-=x 时,级数为∑∞=-11n n,发散； (5)当21=x 时,级数为∑∞=--11)1(n n n ,收敛， (6)所以收敛区间为 ]21,21(-； (7)7.解: 211x + ,)1(02∑∞=-=n n n x )1,1(-∈x ………………………………………….(1) x a r c t a n ∴ ⎰+=xx x 02d 11 ,12)1(012∑∞=++-=n n n x n ]1,1[-∈x ……………………(3) 于是)(x f ∑∞=+-+=1212)1(1n n n x n ∑∞=++-+02212)1(n n n xn ………………………………..…..(4) ∑∞=+-+=1212)1(1n n n x n ∑∞=---+12112)1(n nn x n (5)∑∞=⎥⎦⎤--+⎢⎣⎡-+=12121121)1(1n nn x n n ,41)1(21122∑∞=--+=n nn x n ]1,1[-∈x ……………………………………….(6) ∑∞=--∴1241)1(n nn]1)1([21-=f 214-=π (7)四、应用题（每小题8分，共16分）1.解: 1. 目标函数 xyz V =， 约束条件1=++c zb y a x ，………………………….(2) 设拉格朗日函数 )1(-+++=czb y a x xyz L λ， (4)令 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++=+='=+='=+='1000cz b y a x c xy L b xz L a yz L z y x λλλ， 解得唯一驻点 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===333c z b y a x ， (7)由实际问题，当高3cz =时，其体积最大 (8)2.解: 可用三重积分⎰⎰⎰Ωdv ……计算, 也可用二重积分⎰⎰σ-Dd )(底顶…计算.⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰σ+σ==Ω)(2)(221z D RR z D R d dz d dzdv V (4)⎰⎰-π+-π=RR R dz z R dz z Rz 22222)()2( (6)=3125R π (8)五、证明题（每小题5分，共5分）证明：由条件知，n n n n a b a c -≤-≤0,),2,1( =n ,由题设∑∞=1n n a 和∑∞=1n n b 均收敛，故正项级数∑∞=-1)(n n n a b 收敛，由比较判别法知正项级数∑∞=-1)(n n na c也收敛，而n n n n a a c c +-=)(,),2,1( =n ，再由∑∞=1n n a 的收敛性，证明了∑∞=1n n c 收敛. (5分)。