2019届高考数学一轮复习课时跟踪检测(四十八)圆的方程理(重点高中)

课时跟踪检测（四十八） 圆的方程(二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1．以M (1,0)为圆心，且与直线x －y ＋3＝0相切的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋y 2＝8 B ．(x ＋1)2＋y 2＝8 C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．(x ＋1)2＋y 2＝16解析：选A 因为所求圆与直线x －y ＋3＝0相切，所以圆心M (1,0)到直线x －y ＋3＝0的距离即为该圆的半径r ，即r ＝|1－0＋3|2＝2 2.所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝8.2．若圆C 的半径为1，圆心C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C 的标准方程为( ) A ．x 2＋y 2＝1 B ．(x －3)2＋y 2＝1 C ．(x －1)2＋y 2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1解析：选A 因为圆心C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C (0,0)，所以所求圆的标准方程为x 2＋y 2＝1.3．(2018·兰州模拟)若直线ax ＋by ＋1＝0(a >0，b >0)把圆(x ＋4)2＋(y ＋1)2＝16分成面积相等的两部分，则12a ＋2b的最小值为( )A ．10B ．8C ．5D ．4解析：选B ∵圆(x ＋4)2＋(y ＋1)2＝16的圆心坐标为(－4，－1)，直线ax ＋by ＋1＝0把圆分成面积相等的两部分，∴该直线过点(－4，－1)，∴－4a －b ＋1＝0，即4a ＋b ＝1，∴12a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2b (4a ＋b )＝4＋8a b ＋b2a≥4＋28a b ×b 2a ＝8，当且仅当a ＝18，b ＝12时取“＝”，故选B.4．(2018·湖北七市(州)联考)关于曲线C ：x 2＋y 4＝1，给出下列四个命题： ①曲线C 有两条对称轴，一个对称中心； ②曲线C 上的点到原点距离的最小值为1； ③曲线C 的长度l 满足l >42；④曲线C 所围成图形的面积S 满足π<S <4. 上述命题中，真命题的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：选A ①将(x ，－y )，(－x ，y )，(－x ，－y )代入，方程不变，确定曲线C 关于x 轴，y 轴对称，关于原点对称，故①正确．②x 2＋y 4＝1⇒0≤x 2≤1,0≤y 4≤1，故x 2＋y 2≥x 2＋y 2·y 2＝x 2＋y 4＝1，即曲线C 上的点到原点的距离为x 2＋y 2≥1，故②正确；③由②知，x 2＋y 4＝1的图象位于单位圆x 2＋y 2＝1和边长为2的正方形之间，如图所示，其每一段弧长均大于2，所以l >42，故③正确；④由③知，π×12<S <2×2，即π<S <4，故④正确．选A.5．已知圆C 与直线y ＝x 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线y ＝－x 上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2解析：选D 由题意知x －y ＝0 和x －y －4＝0平行，且它们之间的距离为|4|2＝22，所以r ＝ 2.又因为x ＋y ＝0与x －y ＝0，x －y －4＝0均垂直，所以由x ＋y ＝0和x －y ＝0联立得交点坐标为(0,0)，由x ＋y ＝0和x －y －4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.6．圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是________． 解析：圆与圆关于直线对称，则圆的半径相同，只需圆心关于直线对称即可．设所求圆的圆心坐标为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b －0a －2×33＝－1，b ＋02＝33×a ＋22，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(1，3)，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4. 答案：(x －1)2＋(y －3)2＝47．在平面直角坐标系内，若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a 的取值范围为________．解析：圆C 的标准方程为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，所以圆心为(－a,2a )，半径r ＝2，故由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，|－a |>2，|2a |>2，解得a <－2，故实数a 的取值范围为(－∞，－2)．答案：(－∞，－2)8．已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为____________________．解析：由题意知，此平面区域表示的是以O (0,0)，P (4,0)，Q (0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．∵△OPQ 为直角三角形，∴圆心为斜边PQ 的中点(2,1)，半径r ＝|PQ |2＝5，因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5. 答案：(x －2)2＋(y －1)2＝59．已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B . (1)求圆C 1的圆心坐标．(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．解：(1)把圆C 1的方程化为标准方程得(x －3)2＋y 2＝4， ∴圆C 1的圆心坐标为C 1(3,0)．(2)设M (x ，y )，∵A ，B 为过原点的直线l 与圆C 1的交点，且M 为AB 的中点， ∴由圆的性质知：MC 1⊥MO ，∴MC 1―→·MO ―→＝0. 又∵MC 1―→＝(3－x ，－y )，MO ―→＝(－x ，－y )， ∴x 2－3x ＋y 2＝0. 易知直线l 的斜率存在， 故设直线l 的方程为y ＝mx ， 当直线l 与圆C 1相切时，圆心到直线l 的距离d ＝|3m －0|m 2＋1＝2，解得m ＝±255.把相切时直线l 的方程代入圆C 1的方程化简得 9x 2－30x ＋25＝0，解得x ＝53.当直线l 经过圆C 1的圆心时，M 的坐标为(3,0)． 又∵直线l 与圆C 1交于A ，B 两点，M 为AB 的中点， ∴53<x ≤3.∴点M 的轨迹C 的方程为x 2－3x ＋y 2＝0，其中53<x ≤3，其轨迹为一段圆弧．10．已知M (m ，n )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点． (1)求m ＋2n 的最大值； (2)求n －3m ＋2的最大值和最小值． 解：(1)因为x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0的圆心C (2,7)，半径r ＝22，设m ＋2n ＝t ，将m ＋2n ＝t 看成直线方程，因为该直线与圆有公共点， 所以圆心到直线的距离d ＝|2＋2×7－t |12＋22≤22， 解得16－210≤t ≤16＋210， 所以m ＋2n 的最大值为16＋210. (2)记点Q (－2,3)， 因为n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率k ， 所以直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0. 由直线MQ 与圆C 有公共点， 得|2k －7＋2k ＋3|1＋k2≤2 2. 可得2－3≤k ≤2＋3， 所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3. B 级——拔高题目稳做准做1．(2018·银川模拟)方程|y |－1＝1－x －2表示的曲线是( )A ．一个椭圆B ．一个圆C ．两个圆D ．两个半圆解析：选D 由题意知|y |－1≥0，则y ≥1或y ≤－1，当y ≥1时，原方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1(y ≥1)，其表示以(1，1)为圆心、1为半径、直线y ＝1上方的半圆；当y ≤－1时，原方程可化为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1(y ≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心、1为半径、直线y ＝－1下方的半圆．所以方程|y |－1＝1－x －2表示的曲线是两个半圆，选D.2．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C 的方程为 ________________.解析：由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，a ), 半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ±332＝43. 答案：x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝433．当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝________.解析：由题意可知，圆的半径r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2≤1，当半径r 取最大值时，圆的面积最大，此时k ＝0，r ＝1，所以直线方程为y ＝－x ＋2，则有tan α＝－1，又α∈[0，π)，故α＝3π4.答案：3π44．已知圆C 和直线x －6y －10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9,6)，则圆C 的方程为________________．解析：因为圆C 和直线x －6y －10＝0相切于点(4，－1)， 所以过点(4，－1)的直径所在直线的斜率为－6， 其方程为y ＋1＝－6(x －4)， 即y ＝－6x ＋23.又因为圆心在以(4，－1)，(9,6)两点为端点的线段的中垂线y －52＝－57⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132上，即5x ＋7y －50＝0上，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－6x ＋23，5x ＋7y －50＝0解得圆心坐标为(3,5)，所以半径为－2＋－2＝37，故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －5)2＝37. 答案：(x －3)2＋(y －5)2＝375．已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ ―→·MQ ―→的最小值．解：(1)设圆心C (a ，b )，由已知得M (－2，－2)，则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2，故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2. (2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2，PQ ―→·MQ ―→＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2) ＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2. 令x ＝2cos θ，y ＝2sin θ， 所以PQ ―→·MQ ―→＝x ＋y －2 ＝2(sin θ＋cos θ)－2 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－2， 又⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4min ＝－1， 所以PQ ―→·MQ ―→的最小值为－4.6．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为2 2 的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)试探求C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F (4,0) 的距离等于线段OF 的长？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆C 的圆心为C (a ，b )， 则圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝8. 因为直线y ＝x 与圆C 相切于原点O ， 所以O 点在圆C 上，且OC 垂直于直线y ＝x ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝8，ba＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2.由于点C (a ，b )在第二象限，故a <0，b >0， 所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8. (2)假设存在点Q 符合要求，设Q (x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋y 2＝16，x ＋2＋y －2＝8，解得x ＝45或x ＝0(舍去)．所以存在点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，125，使Q 到定点F (4,0)的距离等于线段OF 的长．。