人教A版4-4 综合训练含答案7

学业分层测评(七)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．曲线C ：⎩⎨⎧
x ＝3cos φ，
y ＝5sin φ(φ为参数)的离心率为( )
A.2
3 B.35 C.32
D.53
【解析】 由题设，得x 29＋y 2
5＝1， ∴a 2＝9，b 2＝5，c 2＝4， 因此e ＝c a ＝2
3. 【答案】 A
2．已知曲线⎩⎨⎧
x ＝3cos θy ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角为π
4，则
P 点坐标是( )
A ．(3,4) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫322，22 C ．(－3，－4)
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫125，125 【解析】 因为y －0x －0＝43tan θ＝tan π4＝1，所以tan θ＝34，所以cos θ＝45，sin θ＝3
5，代入得P 点
坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
125，125.
【答案】 D
3．参数方程⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝sin α2＋cos α2，
y ＝2＋sin α(α为参数)的普通方程是( )
A ．y 2－x 2＝1
B ．x 2－y 2＝1
C ．y 2－x 2＝1(1≤y ≤3)
D ．y 2－x 2＝1(|x |≤2) 【解析】 因为x 2＝1＋sin α， 所以sin α＝x 2－1.
又因为y 2＝2＋sin α＝2＋(x 2－1)， 所以y 2－x 2＝1.
∵－1≤sin α≤1，y ＝2＋sin α， ∴1≤y ≤3，
∴普通方程为y 2－x 2＝1，y ∈[1，3]． 【答案】 C
4．点P (1,0)到曲线⎩
⎨⎧
x ＝t
2
y ＝2t (参数t ∈R )上的点的最短距离为( )
A ．0
B ．1 C. 2
D ．2
【解析】 d 2＝(x －1)2＋y 2＝(t 2－1)2＋4t 2＝(t 2＋1)2， 由t 2≥0得d 2≥1，故d min ＝1. 【答案】 B
5．方程⎩⎨⎧
x ＝2t －2
－
t
y ＝2t
＋2
－t (t 为参数)表示的曲线是( ) 【导学号：91060023】
A ．双曲线
B ．双曲线的上支
C ．双曲线的下支
D ．圆
【解析】 将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，得： x 2－y 2＝(2t －2－t )2－(2t ＋2－t )2＝－4， 即y 2－x 2＝4.
又注意到2t ＞0,2t ＋2－t ≥22t ·2－t ＝2，得y ≥2. 可见与以上参数方程等价的普通方程为： y 2－x 2＝4(y ≥2)．
显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支． 【答案】 B 二、填空题
6．已知椭圆的参数方程⎩⎨⎧
x ＝2cos t y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π
3，点O 为原点，
则直线OM 的斜率为________．
【解析】
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos π
3＝1，y ＝4sin π
3＝23，
得点M 的坐标为(1,23) 直线OM 的斜率k ＝23
1＝2 3. 【答案】 2 3
7．设曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝t ，
y ＝t 2
(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．
【解析】 ⎩⎨⎧
x ＝t ，
y ＝t 2
化为普通方程为y ＝x 2，由于ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，所以化为极坐标方程为ρsin θ＝ρ2cos 2θ，即ρcos 2θ－sin θ＝0.
【答案】 ρcos 2θ－sin θ＝0
8．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧
x ＝t ，
y ＝t (t 为参数)和
⎩⎨⎧
x ＝2cos θ，
y ＝2sin θ
(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________． 【解析】 由⎩⎨⎧ x ＝t ，
y ＝t ，得y ＝x ，又由⎩⎨⎧
x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，得x 2＋y 2＝2.
由⎩⎨⎧ y ＝x ，x 2＋y 2＝2，得⎩⎨⎧
x ＝1，
y ＝1，
即曲线C 1与C 2的交点坐标为(1,1)． 【答案】 (1,1) 三、解答题
9．如图2-2-2所示，连接原点O 和抛物线y ＝1
2x 2上的动点M ，延长OM 到点P ，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹方程，并说明是什么曲线？
图2-2-2
【解】 抛物线标准方程为x 2
＝2y ，其参数方程为⎩⎨⎧
x ＝2t ，
y ＝2t 2
，
得M (2t,2t 2)． 设P (x ，y )，则M 是OP 中点． ∴⎩⎪⎨
⎪⎧
2t ＝x ＋02，2t 2＝y ＋02，
∴⎩⎨⎧
x ＝4t y ＝4t
2(t 为参数)， 消去t 得y ＝1
4x 2，是以y 轴对称轴，焦点为(0,1)的抛物线．
10．已知直线l 的极坐标方程是ρcos θ＋ρsin θ－1＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，椭圆C 的参数方程是⎩⎨⎧
x ＝2cos θ
y ＝sin θ(θ为参数)，求直线l 和
椭圆C 相交所成弦的弦长．
【解】 由题意知直线和椭圆方程可化为： x ＋y －1＝0，① x 24＋y 2
＝1，②
①②联立，消去y 得：5x 2－8x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝8
5.
设直线与椭圆交于A 、B 两点，
则A 、B 两点直角坐标分别为(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫8
5，－35，
则|AB |＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－12
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫852
＝
82
5， 故所求的弦长为82
5.
[能力提升]
1．P 为双曲线⎩⎨⎧
x ＝4sec θ，
y ＝3tan θ(θ为参数)上任意一点，F 1，F 2为其两个焦点，则△F 1PF 2重心的
轨迹方程是( )
A ．9x 2－16y 2＝16(y ≠0)
B ．9x 2＋16y 2＝16(y ≠0)
C ．9x 2－16y 2＝1(y ≠0)
D ．9x 2＋16y 2＝1(y ≠0)
【解析】 由题意知a ＝4，b ＝3，可得c ＝5， 故F 1(－5,0)，F 2(5,0)，
设P (4sec θ，3tan θ)，重心M (x ，y )，则 x ＝
－5＋5＋4sec θ3＝43sec θ，y ＝0＋0＋3tan θ3
＝tan θ.
从而有9x 2－16y 2＝16(y ≠0)． 【答案】 A
2．若曲线⎩⎨⎧
x ＝sin 2
θ，
y ＝cos θ－1
(θ为参数)与直线x ＝m 相交于不同两点，则m 的取值范围是( )
A ．R
B ．(0，＋∞)
C ．(0,1)
D ．[0,1)
【解析】 将曲线⎩
⎨⎧
x ＝sin 2
θ，
y ＝cos θ－1
化为普通方程得(y ＋1)2＝－(x －1)(0≤x ≤1)．它是抛物线的一部分，如图所示，由数形结合知0≤m <1.
【答案】 D
3．对任意实数，直线y ＝x ＋b 与椭圆⎩⎨⎧
x ＝2cos θ
y ＝4sin θ(0≤θ≤2π)，恒有公共点，则b 的取值范围
是________．
【解析】 将(2cos θ，4sin θ)代入y ＝x ＋b 得：
4sin θ＝2cos θ＋b .
∵恒有公共点，∴以上方程有解．
令f (θ)＝4sin θ－2cos θ＝25sin(θ＋φ)⎝ ⎛
⎭⎪⎫tan φ＝12， ∴－25≤f (θ)≤25， ∴－25≤b ≤2 5. 【答案】 [－25，25]
4．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝3cos α
y ＝sin α (α
为参数)．
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为
⎝ ⎛⎭
⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系； (2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．
【解】 (1)把极坐标系下的点P ⎝ ⎛
⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标，得点(0,4)．因为点P 的直角坐标(0,4)
满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上．
(2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)，从而点Q 到直线l 的距离为 d ＝|3cos α－sin α＋4|
2
＝2cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π6＋4
2
＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋22，由此得，当cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.。