【中考12年】福建省福州市2002-中考数学试题分类解析 专题08 平面几何基础
【2013版中考12年】福建省福州市2002-2013年中考数学试题分类解析 专题02 代数式和因式
【2013版中考12年】某某省某某市2002-2013年中考数学试题分类解析专题02 代数式和因式分解一、选择题1.（2002年某某某某4分）下列运算不正确的是【】（A）（a5）2＝a10（B）2a2·（－3a3）＝－6a5（C）b·b3＝b4（D）b5·b5＝b252.（2002年某某某某4分）下列二次根式中，属于最简二次根式的是【】（A）x2（B）8（C）2x（D）2x1+x12x228=222x=x2x1+2x1+D。
3.（2003年某某某某4分）下列运算中，正确的是【 】（A ）1052a a a ÷= （B ） 347(a )a = （C ） 222(x y)x y -=- （D ）3364a (3a )12a ⋅-=-4.（2003年某某某某4分）下列各式中属于最简二次根式的是【 】（A ）2x 1+ （B ）25x y （C ）12 （D ）5.0 5.（2004年某某某某4分）下列计算正确的是【 】A 、2x 2﹣x 2=x 2B 、x 2•x 3=x 6C 、x 3÷x=x 3D 、（x 3y 2）2=x 9y 4【答案】A 。
6.（2005年某某某某大纲卷3分）小马虎在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是【 】A 、()222a b a b -=-B 、()2362a 4a -=C 、325a a 2a +=D 、()a 1a 1--=--7.（2005年某某某某大纲卷3分）如果代数式 x x 1-有意义，那么x 的取值X 围是【 】 A ．x≥0 B．x≠1 C．x ＞0 D ．x≥0且x≠18.（2005年某某某某课标卷3分）小马虎在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是【 】A 、()222a b a b -=-B 、()2362a 4a -=C 、325a a 2a +=D 、()a 1a 1--=--9.（2005年某某某某课标卷3分）如果x2+x﹣1=0，那么代数式x3+2x2﹣7的值为【】A、6B、8C、﹣6D、﹣810.（2006年某某某某大纲卷3分）下列运算中，正确的是【】3＋x2=x5 B. x3－x2=x C.(x3)3=x63·x2=x511.（2006年某某某某课标卷3分）下列运算中，正确的是【】3＋x2=x5 B. x3－x2=x C.(x3)3=x63·x2=x512.（2007年某某某某3分）下列运算中，结果正确的是【】A ．444a a a +=B ．325a a a =C ．824a a a ÷=D ．236(2a )6a -=-13.（2008年某某某某4分）下列计算正确的是【 】A ．246x +x x =B ．2x 3y 5xy +=C ．326(x )x =D ．632x x x ÷=14.（2009年某某某某4分）下列运算中，正确的是【 】.A.x+x=2xB. 2x －x=1C.(x 3)3=x 6D. x 8÷x 2=x 4D 、应为826x x x ÷=，故本选项错误。
福建省各市2012年中考数学试题分类解析汇编 专题8 平面几何基础
福建省各市2012年中考数学试题分类解析汇编专题8：平面几何基础一、选择题1. （2012福建龙岩4分）下列命题中，为真命题的是【 】A ．对顶角相等B ．同位角相等C ．若22=a b ，则=a bD ．若a >b ，则22a >b -- 【答案】A 。
【考点】真命题，对顶角的性质，同位角的定义，平方根的意义，不等式的性质。
【分析】根据对顶角的性质，同位角的定义，平方根的意义，不等式的性质分别作出判断：A ．对顶角相等，命题正确，是真命题；B ．两平行线被第三条直线所截，同位角才相等，命题不正确，不是真命题；C ．若22=a b ，则=a b ±，命题不正确，不是真命题；D ．若a >b ，则22a <b --，命题不正确，不是真命题。
故选A 。
2. （2012福建龙岩4分）下列几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是【 】A ．等边三角形B ．矩形C ． 平行四边形D ．等腰梯形【答案】B 。
【考点】轴对称图形和中心对称图形。
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。
因此，只有矩形既是轴对称图形又是中心对称图形。
故选B 。
3. （2012福建南平4分）正多边形的一个外角等于30°．则这个多边形的边数为【 】A ．6B ．9C ．12D ．15【答案】C 。
【考点】多边形的外角性质。
【分析】正多边形的一个外角等于30°，而多边形的外角和为360°，则：多边形边数=多边形外角和÷一个外角度数=360°÷30°=12。
故选C 。
4. （2012福建宁德4分）下列两个电子数字成中心对称的是【 】【答案】A 。
【考点】中心对称图形。
【分析】根据轴中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。
【2013版中考12年】福建省福州市2002-2013年中考数学试题分类解析 专题01 实数
【2013版中考12年】福建省福州市2002-2013年中考数学试题分类解析专题01 实数一、选择题1. （2003年福建福州4分）据《人民日报》2003年6月11日报道，今年1～4月福州市完成工业总产值550亿元，比去年同期工业总产值增长21.46%。
请估计去年同期工业总产值在【】A.380～400（亿元） B．400～420（亿元） C.420～440（亿元） D.440～460（亿元）2.（2005年福建福州大纲卷3分）23表示【】A、2×2×2B、2×3C、3×3D、2+2+23.（2005年福建福州大纲卷3分）接《法制日报》2005年6月8日报道，1996年至2004年8年全国耕地面积共减少114 000 000亩，用科学记数法表示为【】A、1.14×106B、1.14×107C、1.14×108D、0.114×1094.（2005年福建福州大纲卷3分）】A5.（2005年福建福州课标卷3分）23表示【】A、2×2×2B、2×3C、3×3D、2+2+26.（2005年福建福州课标卷3分）接《法制日报》2005年6月8日报道，1996年至2004年8年全国耕地面积共减少114 000 000亩，用科学记数法表示为【】A、1.14×106B、1.14×107C、1.14×108D、0.114×1097.（2006年福建福州大纲卷3分）－2的相反数是【】A．2 B．－2 C．12D．128.（2006年福建福州大纲卷3分）用科学记数法表示180 000的结果是【 】A ．18×104B ．1.8×105C ．0.18×106D ．1.8×1069.（2006年福建福州课标卷3分）－2的相反数是【 】A ．2B ．－2C ．12D ．12-10.（2006年福建福州课标卷3分）用科学记数法表示180 000的结果是【 】A ．18×104B ．1.8×105C ．0.18×106D ．1.8×10611.（2007年福建福州3分）3-的相反数是【 】A ．3B ．3-C ．3±D ．13-12.（2007年福建福州3分）第九届海峡交易会5月18日在榕城开幕，推出的重点招商项目总投资约450亿元人民币．将450亿元用科学记数法表示为【 】A ．110.4510⨯元B ．94.5010⨯元C ．104.5010⨯元D ．845010⨯元13.（2008年福建福州4分）5-的相反数是【 】A ．5B ．5-C ．15D ．15-14.（2008年福建福州4分）2008北京奥运会主会场“鸟巢”的座席数是91000个，这个数用科学记数法表示为【 】A ．50.9110⨯B ．49.110⨯C ．39110⨯D ．39.110⨯于1时，n 为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n 为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）。
【2013版中考12年】福建省福州市2002-2013年中考数学试题分类解析 专题10 四边形
【2013版中考12年】福建省福州市2002-2013年中考数学试题分类解析专题10 四边形一、选择题1.（2002年福建福州4分）下列四个命题中错误的是【】（A）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形（B）两条对角线相等的四边形是矩形（C）两条对角线互相垂直的矩形是正方形（D）两条对角线相等的菱形是正方形2.（2004年福建福州4分）下列命题是假命题的是【】A、平行四边形的对边相等B、等腰梯形的对角线相等C、两条对角线相等的平行四边形是矩形D、对角线互相垂直的四边形是菱形D、对角线互相垂直平分的四边形才是菱形，不正确。
故选D。
3.（2005年福建福州大纲卷3分）如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的【】A、15B、14C、13D、310二、填空题1. （2006年福建福州大纲卷4分）顺次连接四边形各边中点所得的四边形是▲2. （2006年福建福州课标卷4分）顺次连接四边形各边中点所得的四边形是▲【答案】平行四边形。
【考点】平行四边形的判定，三角形中位线定理。
【分析】如图，根据中位线定理可得：GF=12BD且GF∥BD，EH=12BD且EH∥BD，∴EH=FG，EH∥FG。
∴四边形EFGH是平行四边形。
3. （2010年福建福州4分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC=14，BD=8，AB=10，则△OAB的周长为▲ ．4. （2011年福建福州4分）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，则∠A+∠B+∠C=▲ 度．5.（2013福建福州4分）矩形的外角和等于▲ 度。
三、解答题1.（2002年福建福州7分）如图：已知 ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E F过点O，且与BC、AD分别相交于点E、F，求证OE＝OF．2.（2005年福建福州大纲卷10分）同学们对公园的滑梯很熟悉吧！如图是某公园（六•一）前新增设的一台滑梯，该滑梯高度AC=2m，滑梯着地点B与梯架之间的距离BC=4m．（1）求滑梯AB的长（精确到0.1m）；（2）若规定滑梯的倾斜角（∠ABC）不超过45°属于安全范围．请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否要求．【分析】（1）Rt△ABC中，已知了两条直角边AC，BC的长，根据勾股定理，可得出AB的长．（2）根据Rt△AB C中已知的两条直角边，可在BC上取CD=AC，根据三角形的外角等于和它不相邻的内角性质进行判断。
2012年福建省福州市中考题及答案
二○一二年福州市初中毕业会考、高级中等学校招生考试数学试卷答案解析一、选择题(共10小题，每题4分，满分40分；每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂)1．3的相反数是（ ）A ．－3B ．13C ．3D ．－132．今年参观“5·18”海交会的总人数约为489000人，将489000用科学记数法表示为（ ）A ．48.9×104B ．4.89×105C ．4.89×104D ．0.489×1063．如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其主视图是（ ）4．如图，直线a∥b ，∠1＝70°，那么∠2的度数是（） A ．50° B ．60° C ．70° D ．80° 5．下列计算正确的是（）A ．a ＋a ＝2aB ．b 3·b 3＝2b 3C ．a 3÷a ＝a 3D ．(a 5)2＝a 76．式子x －1在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x ＜1B ．x ≤1C ．x ＞1D ．x ≥17．某射击运动员在一次射击练习中，成绩(单位：环)记录如下：8，9，8，7，10．这组数据的平均数和中位数分别是（ ）A ．8，8B ．8.4，8C ．8.4，8.4D ．8，8.48．⊙O 1和⊙O 2的半径分别是3cm 和4cm ，如果O 1O 2＝7cm ，则这两圆的位置关系是（ ） A ．内含 B ．相交 C ．外切 D ．外离 9．如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点煌距离是（ ） A ．200米 B ．2003米 C ．2203米 D ．100(3＋1)米10．如图，过点C (1，2)分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线y ＝－x ＋6于A 、B 两点，若反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图像与△ABC 有公共点，则k 的取值范围是（ ）A ．2≤k ≤9B ．2≤k ≤8C ．2≤k ≤5D ．5≤k ≤8第3题图 A B C D 第9题图 A B CD 30° 45° a 第4题图 1 2 b二、填空题(共5小题，每题4分，满分20分；请将正确答案填在答题卡相应位置) 11．分解因式：x 2－16＝_________________．12．一个袋子中装有3个红球和2个绿球，这些球除了颜色外都相同，从袋子中随机摸出一个球，则摸到红球的概率为__________________． 13．若20n 是整数，则正整数n 的最小值为________________． 14．计算：x －1x ＋1x＝______________．15．如图，已知△ABC ，AB ＝AC ＝1，∠A ＝36°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，则AD 的长是______，cos A 的值是______________．(结果保留根号)三、解答题(满分90分；请将正确答案及解答过程填在答题卡相应位置．作图或添辅助线用铅笔画完，再用黑色签字笔描黑) 16．(每小题7分，共14分) (1) 计算：|－3|＋(π＋1)0－4． (2) 化简：a (1－a )＋(a ＋1)2－1．17．(每小题7分，共14分)(1) 如图，点E 、F 在AC 上，AB ∥CD ，AB ＝CD ，AE ＝CF ．求证：△ABF ≌△CDE ． (2) 如图，方格纸中的每个小方格是边长为1个单位长度的正方形． ① 画出将Rt △ABC 向右平移5个单位长度后的Rt △A 1B 1C 1； ② 再将Rt △A 1B 1C 1绕点C 1顺时针旋转90°，画出旋转后的Rt △A 2B 2C 1，并求出旋转过程中线段A 1C 1所扫过的面积(结果保留π)．D A B C D EF第17(1)题图 第17(2)题图A B C AB C第15题图18．(满分12分)省教育厅决定在全省中小学开展“关注校车、关爱学生”为主题的交通安全教育宣传周活动．某中学为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查了部分学生，将收集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图(如图所示)，请根据图中提供的信息，解答下列问题．(1) m ＝_______%，这次共抽取__________名学生进行调查；并补全条形图； (2) 在这次抽样调查中，采用哪种上学方式的人最多？(3) 如果该校共有1500名学生，请你估计该校骑自行车上学的学生约有多少名？19．(满分11分)某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣3分．(1) 小明考了68分，那么小明答对了多少道题？(2) 小亮获得二等奖(70～90分)，请你算算小亮答对了几道题？学生上学方式扇形统计图学生上学方式条形统计图步行 其他 乘公交车 骑自行车 上学方式20．(满分12分)如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ，AD 交⊙O 于点E ．(1) 求证：AC 平分∠DAB ；(2) 若∠B ＝60º，CD ＝23，求AE 的长．21．(满分13分)如图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90º，AC ＝6，BC ＝8，动点P 从点A 开始沿边AC 向点C 以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以每秒2个单位长度的速度运动，过点P 作PD ∥BC ，交AB 于点D ，连接PQ ．点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒(t ≥0)．(1) 直接用含t 的代数式分别表示：QB ＝______，PD ＝______．(2) 是否存在t 的值，使四边形PDBQ 为菱形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变点Q 的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度；(3) 如图②，在整个运动过程中，求出线段PQ 中点M 所经过的路径长．第21题图① BC D P Q第21题图②C PA 第20题图22．(满分14分)如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过A(3，0)、B(4，4)两点．(1) 求抛物线的解析式；(2) 将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；(3) 如图②，若点N在抛物线上，且∠NBO＝∠A BO，则在(2)的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应)．第22题图①第22题图②2012年福州市初中毕业会考、高级中等学校招生考试数学试卷答案一、1.A 2.B 3.C 4.C 5.A 6.D 7.B 8.C 9.D 10.A 二、11. (x ＋4)(x －4) 12. 35 13. 5 14. 1 15. 5－12；5＋14三、16. 解：(1) |－3|＋(π＋1)0－4＝3＋1－2＝2．(2) a (1－a )＋(a ＋1)2－1＝a －a 2＋a 2＋2a ＋1－1＝3a ． 17. 证明：∵ AB ∥CD ， ∴ ∠A ＝∠C ． ∵ AE ＝CF ，∴ AE ＋EF ＝CF ＋EF ，即 AF ＝CE ． 又∵ AB ＝CD ，∴ △ABF ≌△CDE ． (2) 解：① 如图所示； ② 如图所示；在旋转过程中，线段A 1C 1所扫过的面积等于90·π·42360＝4π．18. 解：(1) 1－14%－20%－40%＝26%；20÷40%＝50；条形图如图所示； (2) 采用乘公交车上学的人数最多；(3) 该校骑自行车上学的人数约为：150×20%＝300(人)．19. 解：(1) 设小明答对了x 道题，依题意得：5x －3(20－x )＝68．解得：x ＝16． 答：小明答对了16道题．(2) 设小亮答对了y 道题，依题意得：⎩⎨⎧5y －3(20－y )≥705y －3(20－y )≤90．因此不等式组的解集为1614≤y ≤1834．∵ y 是正整数，∴ y ＝17或18．答：小亮答对了17道题或18道题． 20. 证明： (1)连接OC ， ∵ CD 为⊙O 的切线， ∴ OC ⊥CD ， ∴ ∠OCD ＝90°． ∵ AD ⊥CD ， ∴ ∠ADC ＝90°．∴ ∠OCD ＋∠ADC ＝180°， ∴ AD ∥OC ， ∴ ∠1＝∠2， ∵ OA ＝OC ， ∴ ∠2＝∠3，∴ ∠1＝∠3，即AC 平分∠DAB ． (2)如图，∵ AB 为⊙O 的直径， ∴ ∠ACB ＝90°．又∵ ∠B ＝60°， ∴ ∠1＝∠3＝30°． 在Rt △ACD 中，CD ＝23， ∴ AC ＝2CD ＝43．在Rt △ABC 中，AC ＝43， ∴ AB ＝AC cos ∠CAB ＝43cos30°＝8．连接OE ，∵ ∠EAO ＝2∠3＝60°，OA ＝OE ， ∴ △AOE 是等边三角形， ∴ AE ＝OA ＝12AB ＝4．21. 解：(1) QB ＝8－2t ，PD ＝43t ．(2) 不存在．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8， ∴ AB ＝10． ∵ PD ∥BC ，∴ △APD ∽△ACB ， ∴ AD AB ＝AP AC ，即：AD 10＝t 6，∴ AD ＝53t ，∴ BD ＝AB －AD ＝10－53t ．∵ BQ ∥DP ，∴ 当BQ ＝DP 时，四边形PDBQ 是平行四边形，即8－2t ＝43t ，解得：t ＝125．当t ＝125时，PD ＝43×125＝165，BD ＝10－53×125＝6，∴ DP ≠BD ，∴ □PDBQ 不能为菱形．设点Q 的速度为每秒v 个单位长度，则BQ ＝8－vt ，PD ＝43t ，BD ＝10－53t ．要使四边形PDBQ 为菱形，则PD ＝BD ＝BQ ，当PD ＝BD 时，即43t ＝10－53t ，解得：t ＝103．当PD ＝BQ 时，t ＝103时，即43×103＝8－103v ，解得：v ＝1615．(3)如图2，以C 为原点，以AC 所在直线为x 依题意，可知0≤t ≤4，当t ＝0时，点M 1的坐标为(3，0)； 当t ＝4时，点M 2的坐标为(1，4)．设直线M 1M 2的解析式为y ＝kx ＋b ，∴ ⎩⎨⎧3k ＋b ＝0k ＋b ＝4，解得：⎩⎨⎧k ＝－2b ＝6．∴ 直线M 1M 2的解析式为y ＝－2x ＋6．∵ 点Q (0，2t )，P (6－t ，0)，图1BCDPQ∴ 在运动过程中，线段PQ 中点M 3的坐标为(6－t2，t )．把x ＝6－t 2，代入y ＝－2x ＋6，得y ＝－2×6－t 2＋6＝t ．∴ 点M 3在直线M 1M 2上．过点M 2作M 2N ⊥x 轴于点N ，则M 2N ＝4，M 1N ＝2．∴ M 1M 2＝25．∴ 线段PQ 中点M 所经过的路径长为25单位长度．22. 解：(1) ∵ 抛物线y ＝ax 2＋bx (a ≠0)经过点A (3，0)、B (4，4)．∴ ⎩⎨⎧9a ＋3b ＝016a ＋4b ＝4，解得⎩⎨⎧a ＝1b ＝－3． ∴ 抛物线的解析式是y ＝x 2－3x ．(2) 设直线OB 的解析式为y ＝k 1x ，由点B (4，4)，得：4＝4k 1，解得k 1＝1． ∴ 直线OB 的解析式为y ＝x ．∴ 直线OB 向下平移m 个单位长度后的解析式为：y ＝x －m ． ∵ 点D 在抛物线y ＝x 2－3x 上． ∴ 可设D (x ，x 2－3x )．又点D 在直线y ＝x －m 上，∴ x 2－3x ＝x －m ，即x 2－4x ＋m ＝0． ∵ 抛物线与直线只有一个公共点，∴ △＝16－4m ＝0，解得：m ＝4． 此时x 1＝x 2＝2，y ＝x 2－3x ＝－2，∴ D 点坐标为(2，－2)． (3) ∵ 直线OB 的解析式为y ＝x ，且A (3，0)， ∴ 点A 关于直线OB 的对称点A'的坐标是(0，3)．设直线A'B 的解析式为y ＝k 2x ＋3，过点B (4，4)，∴ 4k 2＋3＝4，解得：k 2＝14．∴ 直线A'B 的解析式是y ＝14x ＋3．∵ ∠NBO ＝∠ABO ， ∴ 点N 在直线A'B 上，∴ 设点N (n ，14n ＋3)，又点N 在抛物线y ＝x 2－3x 上，∴ 14n ＋3＝n 2－3n ，解得：n 1＝－34，n 2＝4(不合题意，会去)， ∴ 点N 的坐标为(－34，4516)．如图，将△NOB 沿x 轴翻折，得到△N 1OB 1，则N 1(－34，－4516)，B 1(4，－4)，∴ O 、D 、B 1都在直线y ＝－x 上． ∵ △P 1OD ∽△NOB ， ∴ △P 1OD ∽△N 1OB 1， ∴OP 1ON 1＝OD OB 1＝12， ∴ 点P 1的坐标为(－38，－4532)．英格教育文化有限公司 全新课标理念，优质课程资源将△OP 1D 沿直线y ＝－x 翻折，可得另一个满足条件的点P 2(4532，38)．综上所述，点P 的坐标是(－38，－4532)或(4532，38)．。
专题08 平面解析几何(解答题)
专题08 平面解析几何（解答题）1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │=4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2=0相切．（1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │−│MP │为定值？并说明理由． 【答案】（1）M e 的半径=2r 或=6r ；（2）存在，理由见解析.【解析】（1）因为M e 过点,A B ，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上.由已知A 在直线+=0x y 上，且,A B 关于坐标原点O 对称，所以M 在直线y x =上，故可设(, )M a a .因为M e 与直线x +2=0相切，所以M e 的半径为|2|r a =+.由已知得||=2AO ，又MO AO ⊥u u u u r u u u r，故可得2224(2)a a +=+，解得=0a 或=4a . 故M e 的半径=2r 或=6r .（2）存在定点(1,0)P ，使得||||MA MP -为定值. 理由如下：设(, )M x y ，由已知得M e 的半径为=|+2|,||=2r x AO .由于MO AO ⊥u u u u r u u u r ，故可得2224(2)x y x ++=+，化简得M 的轨迹方程为24y x =.因为曲线2:4C y x =是以点(1,0)P 为焦点，以直线1x =-为准线的抛物线，所以||=+1MP x . 因为||||=||=+2(+1)=1MA MP r MP x x ---，所以存在满足条件的定点P .【名师点睛】本题考查圆的方程的求解问题、圆锥曲线中的定点定值类问题.解决定点定值问题的关键是能够根据圆的性质得到动点所满足的轨迹方程，进而根据抛物线的定义得到定值，验证定值符合所有情况，使得问题得解.2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．（1）若2POF △为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．【答案】（1）31-；（2）4b =，a 的取值范围为[42,)+∞.【解析】（1）连结1PF ，由2POF △为等边三角形可知在12F PF △中，1290F PF ∠=︒，2PF c =，13PF c =，于是122(31)a PF PF c =+=+，故C 的离心率是31ce a==-. （2）由题意可知，满足条件的点(,)P x y 存在．当且仅当1||2162y c ⋅=，1y yx c x c⋅=-+-，22221x y a b +=，即||16c y =，① 222x y c +=，②22221x y a b+=，③ 由②③及222a b c =+得422b y c =，又由①知22216y c=，故4b =．由②③得()22222a x c b c=-，所以22c b ≥，从而2222232,a b c b =+≥=故42a ≥.当4b =，42a ≥时，存在满足条件的点P ． 所以4b =，a 的取值范围为[42,)+∞．【名师点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，以及椭圆中存在定点满足题中条件的问题，熟记椭圆的简单性质即可求解，考查计算能力，属于中档试题.3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）证明：直线AB 过定点； （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程． 【答案】（1）见解析；（2）22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭或22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 【解析】（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫-⎪⎝⎭，则2112x y =．由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=-．整理得112 2 +1=0. tx y -设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -． 故直线AB 的方程为2210tx y -+=． 所以直线AB 过定点1(0,)2．（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+． 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=． 于是()21212122,121x x t y y t x x t +=+=++=+.设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭． 由于EM AB ⊥u u u u r u u u r ，而()2,2EM t t =-u u u u r ，AB u u u r 与向量(1, )t 平行，所以()220t t t +-=．解得t =0或1t =±．当t =0时，||EM u u u u r =2，所求圆的方程为22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；当1t =±时，||2EM =u u u u r ，所求圆的方程为22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求圆的方程，属于常规题型，按部就班地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小.4．【2019年高考北京卷文数】已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点．【答案】（1）2212x y +=；（2）见解析. 【解析】（1）由题意得，b 2=1，c =1． 所以a 2=b 2+c 2=2．所以椭圆C 的方程为2212x y +=．（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 则直线AP 的方程为1111y y x x -=+． 令y =0，得点M 的横坐标111M x x y =--． 又11y kx t =+，从而11||||1M x OM x kx t ==+-．同理，22||||1x ON kx t =+-．由22,12y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(12)4220k x ktx t +++-=． 则122412kt x x k +=-+，21222212t x x k-=+． 所以1212||||||||11x x OM ON kx t kx t ⋅=⋅+-+-()12221212||(1)(1)x x k x x k t x x t =+-++-22222222212||224(1)()(1)1212t k t kt k k t t k k-+=-⋅+-⋅-+-++12||1t t+=-． 又||||2OM ON ⋅=，所以12||21tt+=-． 解得t =0，所以直线l 经过定点（0，0）．【名师点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．5．【2019年高考天津卷文数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .已知3||2||OA OB =（O 为原点）.（1）求椭圆的离心率； （2）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线x =4上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.【答案】（1）12；（2）2211612x y +=.【解析】（1）设椭圆的半焦距为c ，由已知有32a b =，又由222a b c =+，消去b 得22232a a c ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，解得12c a =. 所以，椭圆的离心率为12. （2）由（1）知，2,3a c b c ==，故椭圆方程为2222143x y c c+=.由题意，(, 0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+， 点P 的坐标满足22221,433(),4x y c cy x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7c x c x ==-. 代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-.因为点P在x轴上方，所以3,2P c c ⎛⎫⎪⎝⎭.由圆心C在直线4x=上，可设(4, )C t.因为OC AP∥，且由（1）知( 2 , 0)A c-，故3242ctc c=+，解得2t=.因为圆C与x轴相切，所以圆的半径长为2，又由圆C与l相切，得23(4)242314c+-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，可得=2c.所以，椭圆的方程为2211612x y+=.【名师点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力. 6．【2019年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:22221(0)x ya ba b+=>>的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:222(1)4x y a-+=交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1=52．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．【答案】（1）22143x y+=；（2）3(1,)2E--.【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(−1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1. 又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴， 所以DF 2=222211253()222DF F F -=-=， 因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2. 由b 2=a 2−c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2，因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1. 将x =1代入圆F 2的方程(x −1) 2+y 2=16，解得y =±4. 因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4). 又F 1(−1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩，得256110x x +-=， 解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+，得 125y =-， 因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-.由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-. 因此3(1,)2E --.解法二：由（1）知，椭圆C：221 43x y+=.如图，连结EF1.因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，从而∠BF1E=∠B.因为F2A=F2B，所以∠A=∠B，所以∠A=∠BF1E，从而EF1∥F2A.因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴.因为F1(−1，0)，由221431xx y⎧⎪⎨+==-⎪⎩，得32y=±.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以32y=-.因此3(1,)2E--.【名师点睛】本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.7．【2019年高考浙江卷】如图，已知点(10)F，为抛物线22(0)y px p=>的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得ABC△的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ． （1）求p 的值及抛物线的准线方程；（2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标．【答案】（1）p =2，准线方程为x =−1；（2）最小值为312+，此时G （2，0）． 【解析】（1）由题意得12p=，即p =2. 所以，抛物线的准线方程为x =−1.（2）设()()(),,,,,A A B B c c A x y B x y C x y ，重心(),G G G x y .令2,0A y t t =≠，则2A x t =.由于直线AB 过F ，故直线AB 方程为2112t x y t-=+，代入24y x =，得()222140t y y t---=，故24B ty =-，即2B y t =-，所以212,B tt ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又由于()()11,33G A B c G A B c x x x x y y y y =++=++及重心G 在x 轴上，故220c t y t-+=，得242211222,2,,03t t C t t G t t t ⎛⎫⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以，直线AC 方程为()222y t t x t-=-，得()21,0Q t-.由于Q 在焦点F 的右侧，故22t >.从而4224221244242222211|2|||322221222211|||1||2|23A ct t t FG y t S t t t t t S t t QG y t t t t-+-⋅⋅--====--+--⋅--⋅-.令22m t =-，则m >0，122113222134323424S m S m m m m m m=-=--=+++++⋅+…. 当3m =时，12S S 取得最小值312+，此时G （2，0）． 【名师点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.8．【2018年高考全国Ⅰ文数】设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN =∠∠． 【答案】（1）y =112x +或112y x =--；（2）见解析. 【解析】（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x =2，可得M 的坐标为（2，2）或（2，–2）． 所以直线BM 的方程为y =112x +或112y x =--． （2）当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM =∠ABN ．当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1>0，x 2>0．由2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩，得ky 2–2y –4k =0，可知y 1+y 2=2k ，y 1y 2=–4．直线BM ，BN 的斜率之和为1221121212122()22(2)(2)BM BN y y x y x y y y k k x x x x ++++=+=++++．① 将112y x k =+，222yx k=+及y 1+y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得121221121224()882()0y y k y y x y x y y y k k++-++++===．所以k BM +k BN =0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM =∠ABN ． 综上，∠ABM =∠ABN ．【名师点睛】本题主要考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与抛物线的位置关系，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象与数学运算.在设直线的方程时，一定要注意所设方程的适用范围，如用点斜式时，要考虑到直线的斜率不存在的情况，以免解答不严密或漏解.（1）求出直线l 与抛物线的交点，利用两点式写出直线BM 的方程;（2）由（1）知，当直线l 与x 轴垂直时，结论显然成立，当直线l 与x 轴不垂直时，设出斜率k ，联立直线l 与C 的方程，求出M ，N 两点坐标之间的关系，再表示出BM 与BN 的斜率，得其和为0，从而说明BM 与BN 两条直线的斜率互为相反数，进而可知两角相等.9．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．【答案】（1）y =x –1；（2）22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=． 【解析】（1）由题意得F （1，0），l 的方程为y =k （x –1）（k >0）． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=． 216160k ∆=+=，故212224k x x k++=． 所以212244(1)(1)k AB AF BF x x k+=+=+++=． 由题设知22448k k +=，解得k =–1（舍去），k =1． 因此l 的方程为y =x –1．（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则00220005(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得0032x y =⎧⎨=⎩，或00116.x y =⎧⎨=-⎩， 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．【名师点睛】本题主要考查抛物线与直线和圆的综合，考查考生的数形结合能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.（1）利用点斜式写出直线l 的方程，代入抛物线方程，得到关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系以及抛物线的定义加以求解;（2）由题意写出线段AB 的垂直平分线所在直线的方程，设出圆心的坐标，由题意列出方程组，解得圆心的坐标，即可求解.10．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB的中点为(1,)(0)M m m >． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r ．证明：2||||||FP FA FB =+u u u r u u u r u u u r． 【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，则2211143x y +=，2222143x y +=．两式相减，并由1212=y y k x x --得1212043x x y y k +++⋅=．由题设知1212x x +=，122y y m +=，于是34k m=-． 由题设得302m <<，故12k <-．（2）由题意得F （1，0）．设33()P x y ，，则331122(1)(1)(1)(00)x y x y x y -+-+-=，，，，．由（1）及题设得3123()1x x x =-+=，312()20y y y m =-+=-<．又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1)2P -，，3||=2FP u u u r ． 于是222211111||(1)(1)3(1)242x x FA x y x =-+=-+-=-u u u r ．同理2||=22x FB -u u u r ．所以1214()32FA FB x x +=-+=u u u r u u u r ．故2||=||+||FP FA FB u u u r u u u r u u u r ．【名师点睛】本题主要考查椭圆的方程及简单几何性质、直线的斜率公式、直线与椭圆的位置关系、向量的坐标运算与向量的模等，考查运算求解能力、数形结合思想，考查的数学核心素养是数学抽象、数学运算.圆维曲线中与中点弦有关的问题常用点差法，建立弦所在直线的斜率与中点坐标间的关系，也可以通过联立直线方程与圆锥曲线方程，消元，根据根与系数的关系求解.11．【2018年高考北京卷文数】已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为63，焦距为22.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B . （1）求椭圆M 的方程；（2）若1k =，求||AB 的最大值；（3）设(2,0)P -，直线P A 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ,D 和点71(,)44Q -共线，求k .【答案】（1）2213x y +=；（2）6；（3）1. 【解析】（1）由题意得222c =，所以2c =，又63c e a ==，所以3a =， 所以2221b a c =-=，所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（2）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则2223644(33)48120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则222212121264||1||1()42m AB k x x k x x x x ⨯-=+-=+⋅+-=，易得当20m =时，max ||6AB =，故||AB 的最大值为6． （3）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，则221133x y += ①，222233x y += ②，又(2,0)P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为1(2)y k x =+， 由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2222111(13)121230k x k x k +++-=， 则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+， 又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+， 所以1111712(,)4747x y C x x --++，同理可得2222712(,)4747x y D x x --++．故3371(,)44QC x y =+-u u u r ，4471(,)44QD x y =+-u u u r ，因为,,Q C D 三点共线，所以34437171()()()()04444x y x y +--+-=，将点,C D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-，即1k =． 【名师点睛】本题主要考查椭圆的方程及几何性质、直线与椭圆的位置关系，考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查数形结合思想，考查的数学核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算.解决椭圆的方程问题，常用基本量法，同时注意椭圆的几何量的关系；弦长的计算，通常要将直线与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求解.12．【2018年高考天津卷文数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为53，||13AB =． （1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值．【答案】（1）22194x y +=；（2）12-． 【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．满分14分．（1）设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a =，又由222a b c =+，可得23a b =．由22||13AB a b =+=，从而3,2a b ==．所以，椭圆的方程为22194x y +=．（2）设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>， 点Q 的坐标为11(,)x y --．由BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，可得||=2||PM PQ ，从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =． 易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩消去y ，可得2632x k =+．由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y ，可得12694x k =+． 由215x x =，可得2945(32)k k +=+，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得89k =-，或12k =-．当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去；当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意．所以，k 的值为12-．【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系，涉及轨迹方程问题、定值问题、最值问题、参数的取值或取值范围问题等，其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线，解决此类问题要重视化归与转化思想及设而不求法的应用.13．【2018年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1(3,)2，焦点12(3,0),(3,0)F F -，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △的面积为267，求直线l 的方程．【答案】（1）椭圆C的方程为2214xy+=，圆O的方程为223x y+=；（2）①(2,1)；②532y x=-+．【解析】（1）因为椭圆C的焦点为12()3,0,(3,0)F F-，可设椭圆C的方程为22221(0)x ya ba b+=>>．又点1(3,)2在椭圆C上，所以2222311,43,a ba b⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,ab⎧=⎪⎨=⎪⎩因此椭圆C的方程为2214xy+=．因为圆O的直径为12F F，所以其方程为223x y+=．（2）①设直线l与圆O相切于0000(),,(00)P x y x y>>，则22003x y+=，所以直线l的方程为000()xy x x yy=--+，即0003xy xy y=-+．由22001,43,xyxy xy y⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y，得222200004243640()x y x x x y+-+-=．（*）因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x∆=--+-=-=．因为00,0x y>，所以002,1x y==．因此点P的坐标为(2,1)．②因为三角形OAB的面积为267，所以21267AB OP⋅=，从而427AB=．设1122,,()(),A x y B x y ，由（*）得2200022001,22448(2)2(4)x y x x x y ±-=+，所以2222121()()x B y y x A =-+-222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+．因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=， 解得22005(202x x ==舍去），则2012y =， 因此P 的坐标为102(,)22． 综上，直线l 的方程为532y x =-+．【名师点睛】本题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力. （1）利用椭圆的几何性质求圆的方程和椭圆的方程. （2）①利用直线与圆、椭圆的位置关系建立方程求解； ②结合①，利用弦长公式、三角形的面积公式求解.14．【2018年高考浙江卷】如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上．PMBAOyx（1）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（2）若P 是半椭圆x 2+24y =1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）1510[62,]4． 【解析】本题主要考查椭圆、抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.满分15分. （1）设00(,)P x y ，2111(,)4A y y ，2221(,)4B y y ． 因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程202014()422y x y y ++=⋅即22000280y y y x y -+-=的两个不同的实数根． 所以1202y y y +=． 因此，PM 垂直于y 轴． （2）由（1）可知120212002,8,y y y y y x y +=⎧⎪⎨=-⎪⎩ 所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-， 21200||22(4)y y y x -=-．因此，PAB △的面积3221200132||||(4)24PABS PM y y y x =⋅-=-△． 因为220001(0)4y x x +=<，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈．因此，PAB △面积的取值范围是1510[62,]4． 【名师点睛】圆锥曲线问题是高考重点考查内容之一，也是难点之一.椭圆、抛物线是其中常考内容，需要熟练地掌握椭圆和拋物线的定义、基本性质、标准方程等，对于处理有关问题有很大的帮助.同时还要注意运算能力的培养和提高.15．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】设A ，B 为曲线C ：y =24x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程． 【答案】（1）1；（2）7y x =+．【解析】（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则12x x ≠，2114x y =，2224x y =，x 1+x 2=4，于是直线AB 的斜率12121214y y x x k x x -+===-．（2）由24x y =，得2x y'=．设M （x 3，y 3），由题设知312x =，解得32x =，于是M （2，1）． 设直线AB 的方程为y x m =+，故线段AB 的中点为N （2，2+m ），|MN |=|m +1|．将y x m =+代入24xy =得2440x x m --=．当16(1)0m ∆=+>，即1m >-时，1,2221x m =±+． 从而12||=2||42(1)AB x x m -=+．由题设知||2||AB MN =，即42(1)2(1)m m +=+，解得7m =． 所以直线AB 的方程为7y x =+．【名师点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，主要利用根与系数的关系：因为直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用根与系数的关系及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用根与系数的关系直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用． （1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由两点斜率公式求AB 的斜率；（2）联立直线与抛物线方程，消y ，得12||=2||42(1)AB x x m -=+，解出m 即可．16．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =u u u ru u u u r.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=u u u r u u u r.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .【答案】（1）222x y +=；（2）见解析.【解析】（1）设P （x ，y ），M （00,x y ），则N （0,0x ），00(,),(0,)NP x x y NM y =-=u u u r u u u u r ，由2NP NM =u u u ru u u u r 得0022x x y y ==，. 因为M （00,x y ）在C 上，所以22122x y +=.因此点P 的轨迹方程为222x y +=.（2）由题意知F （−1,0），设Q （−3，t ），P （m ，n ），则(3,),(1,),33OQ t PF m n OQ PF m tn =-=---⋅=+-u u u r u u u r u u u r u u u r， (,),(3,)OP m n PQ m t n ==---u u u r u u u r.由1OP PQ ⋅=u u u r u u u r得2231m m tn n --+-=，又由（1）知222m n +=，故330m tn +-=.所以0OQ PF ⋅=u u u r u u u r ，即OQ PF ⊥u u u r u u u r.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .【名师点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒成立的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.（1）转移法求轨迹：设所求动点坐标及相应已知动点坐标，利用条件列两种坐标关系，最后代入已知动点轨迹方程，化简可得所求轨迹方程；（2）证明直线过定点问题，一般方法是以算代证：即证0OQ PF ⋅=u u u r u u u r，先设 P （m ，n ），则需证330m tn +-=，即根据条件1OP PQ ⋅=u u u r u u u r可得2231m m tn n --+-=，而222m n +=，代入即得330m tn +-=.17．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题： （1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 【答案】（1）不会，理由见解析；（2）见解析 【解析】（1）不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设1(,0)A x ，2(,0)B x ，则12x x ，满足220x mx +-=，所以122x x =-. 又C 的坐标为（0，1），故AC 的斜率与BC 的斜率之积为121112x x --⋅=-， 所以不能出现AC ⊥BC 的情况.（2）BC 的中点坐标为（2122x ，），可得BC 的中垂线方程为221()22x y x x -=-. 由（1）可得12x x m +=-，所以AB 的中垂线方程为2mx =-.联立22(21)22m x x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，，又22220x mx +-=，可得212m x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，所以过A 、B 、C 三点的圆的圆心坐标为（122m --，），半径292m r +=，故圆在y 轴上截得的弦长为22232m r -=（），即过A 、B 、C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 【名师点睛】解答本题时，设()()12,0,,0A x B x ，由AC ⊥BC 得1210x x +=，由根与系数的关系得122x x =-，矛盾，所以不存在；求出过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标和半径，即可得圆的方程，再利用垂径定理求弦长.直线与圆综合问题的常见类型及解题策略：（1）处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：222121212||1||1()4AB k x x k x x x x =+-=++-； （2）圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题． 18．【2017年高考北京卷文数】已知椭圆C 的两个顶点分别为A (−2,0)，B (2,0)，焦点在x 轴上，离心率为32． （1）求椭圆C 的方程；（2）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4:5．【答案】（1）2214x y +=；（2）见解析.【解析】（1）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>.由题意得2,3,2a c a=⎧⎪⎨=⎪⎩解得3c =.所以2221b a c =-=.所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）设(,)M m n ，则(,0),(,)D m N m n -. 由题设知2m ≠±，且0n ≠.直线AM 的斜率2AM n k m =+，故直线DE 的斜率2DE m k n+=-. 所以直线DE 的方程为2()m y x m n +=--. 直线BN 的方程为(2)2ny x m=--. 联立2(),(2),2m y x m n n y x m +⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩解得点E 的纵坐标222(4)4E n m y m n -=--+. 由点M 在椭圆C 上，得2244m n -=.所以45E y n =-. 又12||||||||25BDE E S BD y BD n =⋅=⋅△，1||||2BDN S BD n =⋅△，所以BDE △与BDN △的面积之比为4:5.【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，重点考查了计算能力，以及转化与化归的能力，解答此类题目，主要利用,,,a b c e 的关系，确定椭圆方程是基础，本题易错点是对复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题与解决问题的能力等. （1）根据条件可知32,2c a a ==，以及222b a c =-，从而求得椭圆方程；（2）设(,)M m n ，则(,0),(,)D m N m n -，根据条件求直线DE 的方程，并且表示出直线BN 的方程，并求得两条直线的交点纵坐标，根据1212E BDE BDNN BD y S S BD y ⋅⋅=⋅⋅△△即可求出面积比值. 19．【2017年高考天津卷文数】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为,()0F c -，右顶点为A ，点E的坐标为(0,)c ，EFA △的面积为22b ．（1）求椭圆的离心率；（2）设点Q 在线段AE 上，3||2FQ c =，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM QN ∥，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c ．（i ）求直线FP 的斜率； （ii ）求椭圆的方程．【答案】（1）12；（2）（ⅰ）34；（ⅱ）2211612x y +=．【解析】（1）设椭圆的离心率为e ．由已知，可得21()22b c a c +=．又由222b a c =-，可得2220c ac a +-=，即2210e e +-=． 又因为01e <<，解得12e =． 所以，椭圆的离心率为12． （2）（ⅰ）依题意，设直线FP 的方程为(0)x my c m =->，则直线FP 的斜率为1m． 由（1）知2a c =，可得直线AE 的方程为12x yc c +=，即220x y c +-=， 与直线FP 的方程联立，可解得(22)3,22m c c x y m m -==++，即点Q 的坐标为(22)3(,)22m c cm m -++． 由已知|FQ |=32c ，有222(22)33[]()()222m c c c c m m -++=++，整理得2340m m -=，所以43m =， 故直线FP 的斜率为34．（ii ）由2a c =，可得3b c =，故椭圆方程可以表示为2222143x y c c+=．由（i ）得直线FP 的方程为3430x y c -+=，与椭圆方程联立22223430,1,43x y c x y c c -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，整理得2276130x cx c +-=，解得137cx =-（舍去），或x c =． 因此可得点3(,)2c P c ，进而可得2235|()()22|c c FP c c =++=， 所以53||||||22c cFP FQ Q c P -=-==． 由已知，线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离， 故直线PM 和QN 都垂直于直线FP ．因为QN FP ⊥，所以339||||tan 248c c QN FQ QFN =⋅∠=⨯=， 所以FQN △的面积为2127||||232c FQ QN =，同理FPM △的面积等于27532c ，由四边形PQNM 的面积为3c ，得22752733232c c c -=，整理得22c c =，又由0c >，得2c =．所以，椭圆的方程为2211612x y +=．【名师点睛】圆锥曲线问题在历年高考中都是较有难度的压轴题，本题对考生的计算能力要求较高，是一道难题，重点考查了运算求解能力以及转化与化归的能力．求解此类问题时，利用,,,a b c e 的关系，确定椭圆离心率是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）的方程，根据根与系数的关系进行解题，但本题需求解交点坐标，在求解过程要善于发现四边形PQNM 中的几何关系，从而易求其面积，进而使问题获解．（1）先根据题意得出21()22b c a c +=，然后结合222b a c =-，即可求得离心率；（2）（ⅰ）首先设直线FP 的方程为x my c =-，再写出直线AE 的方程，两方程联立得到点Q 的坐标，根据32FQ c =求得m 的值，即得直线FP 的斜率；（ⅱ）将直线FP 的方程和椭圆方程联立，可得点P 的坐标，再求,FP FQ ，确定直线PM 和QN 都垂直于直线FP ，根据平面几何关系求面积，从而可求得c 的值，进而得椭圆的方程．20．【2017年高考山东卷文数】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C :22221x y a b +=(a >b >0)的离心率为22，椭圆C 截直线y =1所得线段的长度为22. （1）求椭圆C 的方程；（2）动直线l :y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点，⊙N 的半径为|NO |.设D 为AB 的中点，DE ，DF 与⊙N 分别相切于点E ，F ，求∠EDF 的最小值.【答案】（1）22142x y +=；（2）EDF ∠的最小值为π3. 【解析】（1）由椭圆的离心率为22，得2222()a a b =-， 又当1y =时，2222a x a b =-，得2222a a b-=，所以224,2a b ==，因此椭圆方程为22142x y +=.（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，联立方程2224y kx mx y =+⎧⎨+=⎩， 得222(21)4240k x kmx m +++-=， 由0∆>得2242m k <+.（*）且122421kmx x k +=+， 因此122221my y k +=+，所以222(,)2121km mD k k -++， 又(0,)N m -， 所以222222()()2121km m ND m k k =-++++ 整理得2242224(13)(21)m k k ND k ++=+ ， 因为NF m =，所以2422222224(31)831(21)(21)ND k k k k k NF+++==+++.令283,3t k t =+≥， 故21214t k ++=， 所以2221616111(1)2NDt t NFt t=+=++++ . 令1y t t=+，所以211y t'=-. 当3t ≥时，0y '>,从而1y t t =+在[3,)+∞上单调递增，因此1103t t +≥，等号当且仅当3t =时成立，此时0k =，所以22134ND NF≤+=，由（*）得 22m -<< 且0m ≠.故12NF ND ≥， 设2EDF θ∠=， 则1sin 2NF ND θ=≥ ， 所以θ的最小值为π6， 从而EDF ∠的最小值为π3，此时直线l 的斜率是0. 综上所述：当0k =，(2,0)(0,2)m ∈-U 时，EDF ∠取到最小值π3. 【名师点睛】圆锥曲线中的两类最值问题：①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题； ②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．常见解法：①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决； ②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解． 解答本题时，（1）由22c a =得2a b =，由椭圆C 截直线y =1所得线段的长度为22，得2222a a b -=，求得椭圆的方程为22142x y +=；（2）由2224x y y kx m⎧+=⎨=+⎩，解得22(21)4k x kmx +++ 2240m -=，确定222(,)2121km m D k k -++，4222||3221m DN k k k =+++，结合22ND NF的单调性求EDF ∠的最小值.21．【2017年高考浙江卷】如图，已知抛物线2x y =，点A 11()24-，，39()24B ，，抛物线上的点13(,)()22P x y x -<<．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．（1）求直线AP 斜率的取值范围； （2）求||||PA PQ ⋅的最大值． 【答案】（1）(1,1)-；（2）2716. 【解析】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.满分15分. （1）设直线AP 的斜率为k ，2114122x k x x -==-+， 因为1322x -<<，所以直线AP 斜率的取值范围是(1,1)-． （2）联立直线AP 与BQ 的方程110,24930,42kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩ 解得点Q 的横坐标是22432(1)Q k k x k -++=+． 因为|P A |=211()2k x ++=21(1)k k ++， |PQ |=222(1)(1)1()1Q k k k x x k -++-=-+，所以3(1)(1)k k PA PQ ⋅--+=．令3()(1)(1)f k k k =--+，因为2()(42)(1)f k k k '=--+，所以 f (k )在区间1(1,)2-上单调递增，1(,1)2上单调递减， 因此当k =12时，||||PA PQ ⋅取得最大值2716． 【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.（1）由斜率公式可得AP 的斜率为12x -，再由1322x -<<，得直线AP 的斜率的取值范围；（2）联立直线AP 与BQ 的方程，得Q 的横坐标，进而通过表达||PA 与||PQ 的长度，利用函数3()(1)(1)f k k k =--+的单调性求解||||PA PQ ⋅的最大值．22．【2017年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线1l ，2l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．【答案】（1）22143x y +=；（2）4737(,)77．【解析】（1）设椭圆的半焦距为c ．因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以12c a =，228a c=，。
2002福州市数学中考试题及答案
福建省福州市2002年初中毕业会考、高级中等学校招生考试数学试卷（满分：150分；考试时间：120分钟）一、填空题（每小题3分，满分36分） 1．－5的相反数是__________． 2．分解因式：a 3－ab 2＝__________． 3．在函数xy 1=中，自变量x 的取值范围是__________．4．计算：21121⎪⎭⎫⎝⎛--＝__________． 5．六边形的内角和等于__________度．6．如图为某地的等高线示意图，图中a 、b 、c 为等高线，海拔最低的一条为60米，等高距为10米，结合地理知识写出等高线a 为_____米，b 为_____米，c 为______米．7．已知：线段a ＝4cm ，b ＝9cm ，则线段a 、b 的比例中项c 为__________cm ． 8．用换元法解分式方程：3122=+++xx x x ，设y ＝x 2＋x ，那么原方程化为y 的一元二次方程的一般形式为__________．9．在⊙O 中，直径AB ＝4cm ，弦CD ⊥AB 于E ，OE ＝3，则弦CD 的长为_____cm ． 10．若圆锥底面的直径为6cm ，母线长为5cm ，则它的侧面积为________cm 3（结果保留π）．11．已知：x 2－x －1＝0，则－x 3＋2x 2＋2002的值为__________．12．如图：四边形 ABCD 是正方形，曲线DA 1B 1C 1D 1…叫做“正方形的渐开线”，其中、、、、…的圆心依次按A 、B 、C 、D 循环，它依次连接．取AB ＝1，则曲线DA 1B 1…C 2D 2的长是__________（结果保留π）．二、选择题（每小题4分．满分32分，每小题都有（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个选项，其中只有一个选项是正确的，请把正确选项的代号写在题末的括号内） 13．下列运算不正确的是 （ ） （A ）（a 5）2＝a 10（B ）2a 2²（－3a 3）＝－6a 5（C ）b ²b 3＝b 4（D ）b 5²b 5＝b 2514．如果反比例函数xk y =的图象经过点（－2，－1），那么k 的值为 （ ）（A ）21 （B ）－21 （C ）2 （D ）－215．下列二次根式中，属于最简二次根式的是 （ ） （A ）2x （B ）8 （C ）2x（D ）12+x16．等腰三角形的两边长分别为2和7，则它的周长是 （ ） （A ）9（B ）11（C ）16（D ）11或1617．如图：PA 切⊙O 于点A ，PBC 是⊙O 的一条割线，且PA ＝23，PB ＝BC ，那么BC 的长是 （ ）（A ）3（B ）23（C ）3（D ）2318．下列四个命题中错误的是 （ ）（A ）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形（B ）两条对角线相等的四边形是矩形 （C ）两条对角线互相垂直的矩形是正方形 （D ）两条对角线相等的菱形是正方形19．某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要 （ ）（A ）450a 元（B ）225a 元（C ）150a 元 （D ）300a 元20．已知：二次函数y ＝x 2+bx +c 与x 轴相交于A （x 1，0）、B （x 2，0）两点，其顶点坐标为P （2b -，442b c -），AB ＝︱x 1－x 2︱，若S △APB ＝1，则b 与c 的关系式是（ ）（A ）b 2－4c ＋1＝0 （B ）b 2－4c －1＝0 （C ）b 2－4c ＋4＝0（D ）b 2－4c －4＝0三、（每小题7分，满分28分） 21．解不等式组()()⎩⎨⎧+<+-≤-7513412x x x x 并把它的解集在数轴上表示出来．22．如图：已知□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，EF 过点O ，且与BC 、AD 分别相交于点E 、F ，求证OE ＝OF ．23．已知：图A 、图B 分别是6³6正方形网格上的两个轴对称图形（阴影部分），其面积分别为S A 、S B （网格中最小的正方形面积为一个平方单位），请观察图形并解答下列问题．（1）填空：SA ︰SB的值是___________；（2）请在图C的网格上画出一个面积为8个平方单位的中心对称图形；图A图B 图C 24．随机抽取某城市一年（以365天计）中的30天的日平均气温状况统计如下：请根据上述数据填空：（1）该组数据的中位数是_______℃；（2）该城市一年中日平均气温为26℃的约有_______天；（3）若日平均气温在17℃～23℃为市民“满意温度”，则该城市一年中达到市民“满意温度”的约有_______天．四、（满分10分）25．为落实“珍惜和合理利用每一寸土地”的基本国策．某地区计划经过若干年开发“改造后可利用土地”360平方千米，实际施工中，每年比原计划多开发2平方千米，按此进行预计可提前6年完成开发任务，问实际每年可开发多少平方千米？五、（满分10分）26．已知：二次函数y＝x2＋bx＋c（b、c为常数）．（1）若二次函数的图象经过A（－2，－3）和B（2，5）两点，求此二次函数的解析式；（2）若（1）中的二次函数的图象过点P（m＋1，n2＋4n），且m≠n，求m＋n的值．六、（满分10分）27．已知：半径不等⊙O 1与⊙O 2相切于点P ，直线AB 、CD 都经过切点P ，并且AB 分别交⊙O 1、⊙O 2于A 、B 两点，CD 分别交⊙O 1、⊙O 2于C 、D 两点（点A 、B 、C 、D 、P 互不重合），连结AC 和BD ．（1）请根据题意画出图形；（2）根据你所画的图形，写出一个与题设有关的正确结论，并证明这个结论（结论中不能出现题设以外的其他字母）．七、（满分12分）28．如图：已知△ABC 中，AB ＝4，D 在AB 边上移动（不与A 、B 重合），DE ∥BC 交AC 与E ，连结CD ．设S △ABC ＝S ，S △DEC ＝S 1． （1）当D 为AB 中点时，求S 1∶S 的值； （2）若AD ＝x ，y SS 1，求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（3）是否存在点D ，使得S 1＞41S 成立？若存在，求出D 点位置；若不存在，请说明理由．八、（满分12分）29．已知：矩形ABCD 在平面直角坐标系中，顶点A 、B 、D 的坐标分别为A （0，0），B （m ，0），D （0，4），其中m ≠0．（1）写出顶点C的坐标和矩形ABCD的中心P点的坐标（用含m的代数式表示）；（2）若一次函数y＝kx－1的图象l把矩形ABCD分成面积相等的两部分，求此一次函数的解析式（用含m的代数式表示）；（3）在（2）的前提下，l又与半径为1的⊙M相切，且点M（0，1），求此时矩形ABCD 的中心P的坐标．福建省福州市2002年初中毕业会考、高级中等学校招生考试数学试卷评分标准及参考答案一、（每小题3分，共36分）（1）5 （2）a（a＋b）（a－b）（3）x＞0 （4）2（5）720 （6）60，70，80 （7）6 （8）y2－3y＋1＝0（9）2 （10）15π（11）2003 （12）18π二、（每小题4分，共28分）（13）D（14）C（15）D（16）C（17）A（18）B（19）C（20）D三、（每小题7分，共28分）21．解不等式（1）得：x≤2（3分）解不等式（2）得：x＞－2（5分）∴原不等式组的解集是：－2＜x≤2（6分）原不等式组解集在数轴上表示如下：22．证法一：∵□ABCD，（7分）∴AD∥BC OA＝OC．（2分）且∠CAD＝∠ACB（或∠AFO＝∠CEO）又∵∠AOF＝∠COE（写出满足全等的条件得4分）∴△AOF≌△COE（6分）∴ OE ＝OF （7分） 证法二： ∵ □ABCD∴ AD ∥BC OA ＝OC （2分）∴OEOF OCOA = （6分）∴ OE ＝OF （7分） 23．①S A ：S B ＝119 （3分）②画出图形具有中心对称得2分，面积为8个平方单位得2分 （参考答案见第4页） 24．（1）22（3分）（2）73 （2分） （3）146 （2分） 四．（本题10分）25．解：设实际每年可开发x 平方千米 （1分） 则依题意得：xx 3602360－－＝6 （6分）整理得x 2－2x －120＝0 （7分） 解得：∴x 1＝12，x 2＝－10经检验：x 1＝12，x 2＝－10都是原方程的解， 但x 2＝－10不合题意舍去，所以只取x ＝12答：实际每年可开发12平方千米． （10分） 注：检验与答案缺一个或二个都只扣1分．五、（本题第（1）小题6分，第（2）小题4分，共10分）26．解：①依题意得()⎪⎩⎪⎨⎧cb cb ＋＋＝＋－－＝－22522322（2分）解得：⎩⎨⎧32＝－＝c b （5分）∴ 所求二次函数的解析式是：y ＝x 2＋2x －3 （6分） 解②∵ 二次函数图象过点P （m ＋1，n 2＋4n ）∴ n 2＋4n ＝（m ＋1）2＋2（m ＋1）－3 （7分） n 2＋4n ＝m 2＋4m （8分）（n－m）（n＋m＋4）＝0（9分）∵m≠n，∴n＋m＋4＝0．即n＋m＝－4（10分）六、（本题第（1）小题4分，第（2）小题6分，共10分）27．（1）正确画出每个图形各得2分．（2）解答：（以两圆外切为例，内切评分标准与外切对应得分）第一种结论：AC∥BD（6分）证明：过P作两圆的公切线MN（7分）∴∠MPA＝∠C∠NPB＝∠D（8分）∵∠APM＝∠NPB∴∠C＝∠D（9分）∴AC∥BD（10分）第二种结论：△APC∽△BPD（6分）证明：过P作两圆公切线MN（7分）∴∠MPA＝∠C，∠NPB＝∠D（8分）∵∠APM＝∠NPB，∴∠C＝∠D．（9分）又∵∠APC＝∠BPD，∴△APC∽△BPC．（10分）第三种结论：O1、P、O2三点共线（或连心线O1O2必过切点P）（6分）证明：∵①圆是轴对称图形②相切的两圆也组成一个轴对称图形③连心线O1、O2是两圆的对称轴∴O1、P、O2三点共线（或连心线O1O2必过切点P）（10分）注：（每写一点各得1分）七．（本题第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分，共12分）28．解（1）∵ DC ∥BC ，D 为AB 的中点 ∴ △ADE ∽△ABC ，21＝＝ACAE ABAD （1分）∴412＝＝⎪⎭⎫⎝⎛∆AB AD SS ADE（2分）∵121＝＝⎪⎭⎫⎝⎛∆EC AE S S ADE ∴411＝SS （3分）解（2）∵ AD ＝x ，y SS ＝1∴xx ADDB AEEC S S ADE-41＝＝＝△ （4分）又∵1622x AB AD S S ADE＝＝△⎪⎭⎫⎝⎛ ∴ S △ADE =162x²S （4分）∴ S 1＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 4162xS∴16421xx SS +-=即y ＝－162x＋x 41 （6分）自变量x 的取值范围是：0＜x ＜4 （7分） 解（3）不存在点D ，使得S 1＞41S 成立 （8分）理由：假设存在点D ，使得S 1＞41S 成立那么：411＞S S 即∴ y ＞41∴ 4141162＞＋－x x（9分）（x －2）2＜0 （10分） ∵ （x －2）2≥0 ∴ x 不存在即不存在点D ，使得S 1＞41S 成立 （12分）29．（本题第（1）小题3分，每（2）小题4分，第（3）小题5分，共12分）解：（1）C 点坐标为（m ，4） （1分） P 点坐标为（2m ，2） （3分）（2）∵ 直线l 把矩形ABCD 分成面积相等两部分： ∴ l 必过中心点P （2m ，2） （4分）∴ 4＝km －2 （5分） ∵ m ≠0， ∴ k ＝m6 （6分）∴ y ＝m6x －1 （7分）（3）设直线l 与y 轴相交于点F ∴ F 点坐标为（0，－1） ∴ ⊙M 的半径为1， ∴ sin ∠EFD ＝MFME ＝21∴ ∠EFD ＝30° （8分） 过P 作PG ⊥y 轴于G ∴FGPG ＝tan ∠EFD ＝tan30°＝33∴PG ＝33FG ＝3 ∴│2m │＝3 m ＝±3 （10分） ∴P 点坐标为（3，2） 或（－3，2） （12分） （m 值与P 点缺一各扣1分）。
2012年福建省福州市中考数学试题(含解析)
二○一二年福州市初中毕业会考、高级中等学校招生考试数学试卷答案解读一、选择题(共小题，每题分，满分分；每小题只有一个正确地选项，请在答题卡地相应位置填涂> ．地相反数是．－ ． ． ．－考点：相反数．专题：存在型．分析：根据相反数地定义进行解答．解答：解：由相反数地定义可知，地相反数是－．故选．点评：本题考查地是相反数地定义，即只有符号不同地两个数叫做互为相反数．．今年参观“·”海交会地总人数约为人，将用科学记数法表示为．× ．× ．× ．×考点：科学记数法—表示较大地数．分析：科学记数法地表示形式为×地形式，其中≤＜，为整数．确定地值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，地绝对值与小数点移动地位数相同．当原数绝对值＞时，是正数；当原数地绝对值＜时，是负数．解答：解：＝×．故选．点评：此题考查科学记数法地表示方法．科学记数法地表示形式为×地形式，其中≤＜，为整数，表示时关键要正确确定地值以及地值．．如图是由个大小相同地正方体组合而成地几何体，其主视图是简单组合体地三视图．从正面看到地图叫做主视图，从左面看到地图叫做左视图，从上面看到地图叫做俯视图．根据图中正方体摆放地位置判定则可．解：从正面看，下面一行是横放个正方体，上面一行中间是一个正方体． 故选． 点评：本题考查了三种视图中地主视图，比较简单． ．如图，直线∥，∠＝°，那么∠地度数是．° ．° ．° ．° 考点：平行线地性质．分析：根据两角地位置关系可知两角是同位角，利用两直线平行同位角相等即可求得结果．解答：解：∵ ∥，∴ ∠＝∠，∵ ∠＝°，∴ ∠＝°．故选．点评：本题考查了平行线地性质，根据两直线平行同位角相等即可得到答案，比较简单，属于基础题． ．下列计算正确地是．＋＝ ．·＝ ．÷＝ ．(>＝考点：同底数幂地除法；合并同类项；同底数幂地乘法；幂地乘方与积地乘方．专题：计算题．分析：分别根据合并同类项、同底数幂地除法与乘法、幂地乘方与积地乘方法则对各选项进行逐一计算即可．解答：解：、＋＝，故本选项正确；、•＝，故本选项错误；、÷＝，故本选项错误；、(>＝，故本选项错误．故选．点评：本题考查地是合并同类项、同底数幂地除法与乘法、幂地乘方与积地乘方法则，熟知以上知识是解答此题地关键．．式子在实数范围内有意义，则地取值范围是．＜ ．≤ ．＞ ．≥考点：二次根式有意义地条件．分析：根据二次根式有意义地条件列出关于地不等式，求出地取值范围即可．解答：解：∵ 式子在实数范围内有意义，∴ －≥，解得≥．第题图 第题图故选．点评：本题考查地是二次根式有意义地条件，即被开方数大于等于．．某射击运动员在一次射击练习中，成绩(单位：环>记录如下：，，，，．这组数据地平均数和中位数分别是 ．， ．， ．， ．，考点：中位数；算术平均数．分析：根据平均数公式求解即可，即用所有数据地和除以即可；个数据地中位数是排序后地第三个数． 解答：解：，，，，地平均数为：×(＋＋＋＋>＝．，，，，排序后为，，，，，故中位数为．故选．点评：本题考查了中位数及算术平均数地求法，特别是中位数，首先应该排序，然后再根据数据地个数确定中位数．．⊙和⊙地半径分别是和，如果＝，则这两圆地位置关系是．内含 ．相交 ．外切 ．外离考点：圆与圆地位置关系．分析：由⊙、⊙地半径分别是、，若＝，根据两圆位置关系与圆心距，两圆半径，地数量关系间地联系即可得出⊙和⊙地位置关系．解答：解：∵ ⊙、⊙地半径分别是、，＝，又∵ ＋＝，∴⊙和⊙地位置关系是外切．故选．点评：此题考查了圆与圆地位置关系．解题地关键是掌握两圆位置关系与圆心距，两圆半径，地数量关系间地联系．圆和圆地位置与两圆地圆心距、半径地数量之间地关系：① 两圆外离⇔＞＋；② 两圆外切⇔＝＋；③ 两圆相交⇔－＜＜＋(≥>；④ 两圆内切⇔＝－(＞>；⑤ 两圆内含⇔＜－(＞>．．如图，从热气球处测得地面、两点地俯角分别为°、°，如果此时热气球处地高度为，点、、在同一直线上，则两点煌距离是 ． ． ． ．(＋>考点：解直角三角形地应用－仰角俯角问题．分析：图中两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可．解答：解：由已知，得∠＝°，∠＝°，＝，∵ ⊥于点．∴ 在△中，∠＝°，＝，∴ ＝＝＝在△中，∠＝°，∠＝°，∴ ＝＝，∴ ＝＋＝＋＝(＋>．故选．点评：本题考查了解直角三角形地应用，解决本题地关键是利用为直角△斜边上地高，将三角形分成两个三角形，然后求解．分别在两三角形中求出与地长．．如图，过点(，>分别作轴、轴地平行线，交直线＝－＋于、两点，若反比例函数＝(＞>地图像与△有公共点，则地取值范围是 ．≤≤ ．≤≤ ．≤≤ ．≤≤ 考点：反比例函数综合题． 专题：综合题． 分析：先求出点、地坐标，根据反比例函数系数地几何意义可知，当反比例函数图象与△相交于点时地取值最小，当与线段相交时，能取到最大值，根据直线＝－＋，设交点为(，－＋>时值最大，然后列式利用二次函数地最值问题解答即可得解．解答：解：∵ 点(，>，∥轴，∥轴，∴ 当＝时，＝－＋＝，当＝时，－＋＝，解得＝，∴ 点、地坐标分别为(，>，(，>，根据反比例函数系数地几何意义，当反比例函数与点相交时，＝×＝最小，设与线段相交于点(，－＋>时值最大，则＝(－＋>＝－＋＝－(－>＋，∵ ≤≤，∴ 当＝时，值最大，第题图 ° °此时交点坐标为(，>，因此，地取值范围是≤≤．故选．点评：本题考查了反比例函数系数地几何意义，二次函数地最值问题，本题看似简单但不容易入手解答，判断出最大最小值地取值情况并考虑到用二次函数地最值问题解答是解题地关键．二、填空题(共小题，每题分，满分分；请将正确答案填在答题卡相应位置>．分解因式：－＝．考点：因式分解——运用公式法．分析：运用平方差公式分解因式地式子特点：两项平方项，符号相反．直接运用平方差公式分解即可．－＝(＋>(－>．解答：解：－＝(＋>(－>．点评：本题考查因式分解．当被分解地式子只有两项平方项；符号相反，且没有公因式时，应首要考虑用平方差公式进行分解．．一个袋子中装有个红球和个绿球，这些球除了颜色外都相同，从袋子中随机摸出一个球，则摸到红球地概率为．考点：概率公式．分析：根据概率地求法，找准两点：①全部情况地总数；②符合条件地情况数目；二者地比值就是其发生地概率．解答：解；布袋中球地总数为：＋＝，取到黄球地概率为：．故答案为：．点评：此题主要考查了概率地求法，如果一个事件有种可能，而且这些事件地可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件地概率(>＝．．若是整数，则正整数地最小值为．考点：二次根式地定义．专题：存在型．分析：是正整数，则一定是一个完全平方数，首先把分解因数，确定是完全平方数时，地最小值即可．解答：解：∵＝×．∴整数地最小值为．故答案是：．点评：本题考查了二次根式地定义，理解是正整数地条件是解题地关键．．计算：＋＝．考点：分式地加减法．专题：计算题．分析：直接根据同分母地分数相加减进行计算即可．解答：解：原式＝＝．故答案为：．点评：本题考查地是分式地加减法，同分母地分式相加减，分母不变，把分子相加减．．如图，已知△，＝＝，∠＝°，∠地平分线交于点，则地长是，地值是．(结果保留根号>考点：黄金分割；相似三角形地判定与性质；锐角三角函数地定义．分析：可以证明△∽△，设＝，根据相似三角形地对应边地比相等，即可列出方程，求得地值；过点作⊥于点，则为中点，由余弦定义可求出地值．解答：解：∵△，＝＝，∠＝°，∴∠＝∠＝＝°．∵是∠地平分线，∴∠＝∠＝∠＝°．∴∠＝∠＝°，又∵∠＝∠，∴△∽△，∴＝，设＝，则＝＝．则＝，解得：＝(舍去>或．第题图故＝．如右图，过点作⊥于点，∵＝，∴为中点，即＝＝．在△中，＝＝＝．故答案是：；．点评：△、△均为黄金三角形，利用相似关系可以求出线段之间地数量关系；在求时，注意构造直角三角形，从而可以利用三角函数定义求解．三、解答题(满分分；请将正确答案及解答过程填在答题卡相应位置．作图或添辅助线用铅笔画完，再用黑色签字笔描黑>．(每小题分，共分>(> 计算：－＋(π＋>－．(> 化简：(－>＋(＋>－．考点：整式地混合运算；实数地运算；零指数幂．专题：计算题．分析：(>原式第一项根据绝对值地代数意义：负数地绝对值等于它地相反数进行化简，第二项利用零指数公式化简，第三项利用＝化简，合并后即可得到结果；(>利用乘法分配律将原式第一项括号外边地乘到括号里边，第二项利用完全平方数展开，合并同类项后即可得到结果．解答：解：(> 解：－＋(π＋>－＝＋－＝．(> 解：(－>＋(＋>－＝－＋＋＋－＝．点评：此题考查了整式地混合运算，以及实数地运算，涉及地知识有：绝对值地代数意义，零指数公式，二次根式地化简，完全平方公式，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题地关键．．(每小题分，共分>(> 如图，点、在上，∥，＝，＝．求证：△≌△．(> 如图，方格纸中地每个小方格是边长为个单位长度地正方形．① 画出将△向右平移个单位长度后地△；② 再将△绕点顺时针旋转°，画出旋转后地△，并求出旋转过程中线段所扫过地面积(结果保留π>．考点：作图——旋转变换；全等三角形地判定；扇形面积地计算；作图——平移变换．分析：(> 由∥可知∠＝∠，再根据＝可得出＝，由＝即可判断出△≌； (> 根据图形平移地性质画出平移后地图形，再根据在旋转过程中，线段所扫过地面积等于以点为圆心，以为半径，圆心角为度地扇形地面积，再根据扇形地面积公式进行解答即可．解答：证明：∵ ∥， ∴ ∠＝∠．∵ ＝， ∴ ＋＝＋，即 ＝．又∵ ＝， ∴ △≌△．(> 解：① 如图所示；② 如图所示；在旋转过程中，线段所扫过地面积等于＝π．点评：本题考查地是作图－旋转变换、全等三角形地判定及扇形面积地计算，熟知图形平移及旋转不变性地性质是解答此题地关键．．(满分分>省教育厅决定在全省中小学开展“关注校车、关爱学生”为主题地交通安全教育宣传周活动．某中学为了了解本校学生地上学方式，在全校范围内随机抽查了部分学生，将收集地数据绘制成如下两幅不完整地统计图(如图所示>，请根据图中提供地信息，解答下列问题．(>(> (> 考点：分析：(> 解答：÷＝； 条形图如图所示； (> (> 第(>题图第(>题图 学生上学方式扇形统计图 学生上学方式条形统计图×＝(人>．点评：本题考查了条形统计图、扇形统计图及用样本估计总数地知识，解题地关键是从统计图中整理出进一步解题地信息．．(满分分>某次知识竞赛共有道题，每一题答对得分，答错或不答都扣分．(> 小明考了分，那么小明答对了多少道题？(> 小亮获得二等奖(～分>，请你算算小亮答对了几道题？考点：一元一次不等式组地应用；一元一次方程地应用．分析：(>设小明答对了道题，则有－道题答错或不答，根据答对题目地得分减去答错或不答题目地扣分是分，即可得到一个关于地方程，解方程即可求解；(>小明答对了道题，则有－道题答错或不答，根据答对题目地得分减去答错或不答题目地扣分，就是最后地得分，得分满足大于或等于小于或等于，据此即可得到关于地不等式组，从而求得地范围，再根据是非负整数即可求解．解答：解：(> 设小明答对了道题，依题意得：－(－>＝．解得：＝．答：小明答对了道题． (> 设小亮答对了道题，依题意得：．因此不等式组地解集为≤≤．∵ 是正整数， ∴ ＝或． 答：小亮答对了道题或道题．点评：本题考查了列方程解应用题，以及列一元一次不等式解决问题，正确列式表示出最后地得分是关键．．(满分分>如图，为⊙地直径，为⊙上一点，和过点地切线互相垂直，垂足为，交⊙于点．(> 求证：平分∠；(> 若∠＝º，＝，求地长．考点：切线地性质；圆周角定理；相似三角形地判定与性质；解直角三角形．专题：几何综合题．分析：(>连接，由为⊙地切线，根据切线地性质得到垂直于，由垂直于，可得出平行于，根据两直线平行内错角相等可得出∠＝∠，再由＝，利用等边对等角得到∠＝∠，等量代换可得出∠＝∠，即为角平分线；(>法：由为圆地直径，根据直径所对地圆周角为直角可得出∠为直角，在直角三角形中，由∠地度数求出∠地度数为°，可得出∠地度数为°，在直角三角形中，根据°角所对地直角边等于斜边地一半，由地长求出地长，在直角三角形中，根据°及地长，利用锐角三角函数定义求出地长，进而得出半径地长，由∠为°，及＝，得到三角形为等边三角形，可得出＝＝，即可确定出地长；法：连接，由为圆地直径，根据直径所对地圆周角为直角可得出∠为直角，在直角三角形中，由∠地度数求出∠地度数为°，可得出∠地度数为°，在直角三角形中，由及°，利用锐角三角函数定义求出地长，由∠为圆内接四边形地外角，利用圆内接四边形地外角等于它地内对角，得到∠＝∠，由∠地度数求出∠地度数为°，在直角三角形中，由°及地长，求出地长，最后由－即可求出地长．解答：(> 证明：如图，连接，∵ 为⊙地切线，∴ ⊥，∴ ∠＝°．∵ ⊥，∴ ∠＝°．∴ ∠＋∠＝°，∴ ∥，∴ ∠＝∠，∵ ＝，∴ ∠＝∠，∴ ∠＝∠，即平分∠．第题图(> 解法一：如图，∵ 为⊙地直径， ∴ ∠＝°． 又∵ ∠＝°，∴ ∠＝∠＝°． 在△中，＝， ∴ ＝＝．在△中，＝，∴ ＝＝＝．连接，∵ ∠＝∠＝°，＝，∴ △是等边三角形，∴ ＝＝＝．解法二：如图，连接∵ 为⊙地直径，∴ ∠＝°．又∵ ∠＝°， ∴ ∠＝∠＝°． 在△中，＝， ∴ ＝＝＝．∵ 四边形是⊙地内接四边形，∴ ∠＋∠＝°．又∵ ∠＋∠＝°， ∴ ∠＝∠＝°．在△中，＝，∴ ＝＝＝．∴ ＝－＝．点评：此题考查了切线地性质，平行线地性质，等边三角形地判定与性质，锐角三角函数定义，圆内接四边形地性质，以及圆周角定理，利用了转化及数形结合地思想，遇到直线与圆相切，常常连接圆心与切点，利用切线地性质得到垂直，利用直角三角形地性质来解决问题．．(满分分>如图①，在△中，∠＝º，＝，＝，动点从点开始沿边向点以每秒个单位长度地速度运动，动点从点开始沿边向点以每秒个单位长度地速度运动，过点作∥，交于点，连接．点、分别从点、同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒(≥>．(> 直接用含地代数式分别表示：＝，＝．(>是否存在地值，使四边形为菱形？若存在，求出地值；若不存在，说明理由．并探究如何改变点地速度(匀速运动>，使四边形在某一时刻为菱形，求点地速度；(> 如图②，在整个运动过程中，求出线段中点所经过地路径长．考点：专题：分析：(> ＝＝，则可求得与地值；(> ，由(> 相似三角形地对应边成比例，即可求得答案．解答：解：(> ＝－，＝．(> 不存在．在△中，∠＝°，＝，＝， ∴ ＝．∵ ∥，第题图①第题图② 图 图∴ △∽△，∴ ＝，即：＝，∴ ＝，∴ ＝－＝－．∵ ∥，∴ 当＝时，四边形是平行四边形，即－＝，解得：＝．当＝时，＝×＝，＝－×＝，∴ ≠，∴ □不能为菱形．设点地速度为每秒个单位长度，则＝－，＝，＝－．要使四边形为菱形，则＝＝，当＝时，即＝－，解得：＝．当＝时，＝时，即×＝－，解得：＝． (> 解法一：如图，以为原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系．依题意，可知≤≤，当＝时，点地坐标为(，>；当＝时，点地坐标为(，>． 设直线地解读式为＝＋，∴ ，解得：．∴ 直线地解读式为＝－＋．∵ 点(，>，(－，>，∴ 在运动过程中，线段中点地坐标为(，>． 把＝，代入＝－＋，得＝－×＋＝．∴ 点在直线上．过点作⊥轴于点，则＝，＝．∴ ＝． ∴ 线段中点所经过地路径长为单位长度． 解法二：如图，设是地中点，连接．当＝时，点与点重合，运动停止．设此时地中点为，连接． 过点作⊥，垂足为，则∥．∴ △∽△．∴ ＝＝，即：＝＝．∴ ＝，＝－， ∴ ＝－＝(－>－(－>＝－．∴ ＝－＝－(－>＝ ．∴ ∠＝＝．∵ ∠地值不变，∴ 点在直线上．过作⊥，垂足为．则＝，＝．∴ ＝．∵ 当＝时，点与点重合；当＝时，点与点重合，∴ 线段中点所经过地路径长为单位长度．点评：此题考查了相似三角形地判定与性质、平行四边形地判定与性质、菱形地判定与性质以及一次函数地应用．此题综合性很强，难度较大，解题地关键是注意数形结合思想地应用．．(满分分>如图①，已知抛物线＝＋(≠>经过(，>、(，>两点．(> 求抛物线地解读式；(> 将直线向下平移个单位长度后，得到地直线与抛物线只有一个公共点，求地值及点地坐标；(> 如图②，若点在抛物线上，且∠＝∠，则在(>地条件下，求出所有满足△∽△地点地坐标(点、、分别与点、、对应>．考点：二次函数综合题．分析：(> 利用待定系数法求出二次函数解读式即可；(>根据已知条件可求出地解读式为＝，则向下平移个单位长度后地解读式为：＝－．由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解读式后得到地一元二次方程，其根地判别式等于，由此可求图图出地值和点坐标；(> 综合利用几何变换和相似关系求解．方法一：翻折变换，将△沿轴翻折；方法二：旋转变换，将△绕原点顺时针旋转°．特别注意求出点坐标之后，该点关于直线＝－地对称点也满足题意，即满足题意地点有两个，避免漏解．解答：解：(> ∵． ∴∴ (> ∴ ∴∵ ∴ ∴ － ∵ 抛物线与直线只有一个公共点，∴ △＝－＝，解得：＝．此时＝＝，＝－＝－，∴ 点坐标为(，－>．(> ∵ 直线地解读式为＝，且(，>，∴ 点关于直线地对称点'地坐标是(，>．设直线'地解读式为＝＋，过点(，>，∴ ＋＝，解得：＝．∴ 直线'地解读式是＝＋．∵ ∠＝∠，∴ 点在直线'上，∴ 设点(，＋>，又点在抛物线＝－上，∴ ＋＝－，解得：＝－，＝(不合题意，会去>， ∴ 点地坐标为(－，>． 方法一：如图，将△沿轴翻折，得到△，则(－，－>，(，－>， ∴ 、、都在直线＝－上． ∵ △∽△， ∴ △∽△， ∴ ＝＝，∴ 点地坐标为(－，－>． 将△沿直线＝－翻折，可得另一个满足条件地点(，>．综上所述，点地坐标是(－，－>或(，>．方法二：如图，将△绕原点顺时针旋转°，得到△， 则(，>，(，－>， ∴ 、、都在直线＝－上． ∵ △∽△， ∴ △∽△， ∴ ＝＝，∴ 点地坐标为(，>． 将△沿直线＝－翻折，可得另一个满足条件地点(－，－>．综上所述，点地坐标是(－，－>或(，>．点评：>段重点代数、几何知识熔于一炉，难度很大，对学生能力要求极高，具有良好地区分度，是一道非常好地中考压轴题．第题图① 第题图②申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途.。
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【2013版中考12年】福建省福州市2002-2013年中考数学试题分类解析专题
08 平面几何基础
一、选择题
1. （2002年福建福州4分）某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要【】
（A）450a元（B）225a元（C）150a元（D）300a元
2. （2003年福建福州4分）下列命题中，真命题的是【】
（A）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
（B）两条对角线相等的四边形是矩形
（C）线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
（D）如果两个圆相交，那么这两个圆有三条公切线
（D）如果两个圆相交，那么这两个圆有两条公切线，命题错误。
故选C。
3. （2005年福建福州大纲卷3分）下列命题正确的是【】
A．用正六边形能镶嵌成一个平面
B．有一组对边平行的四边形是平行四边形
C．正五角星是中心对称图形
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
4. （2005年福建福州课标卷3分）如图，射线OC的端点O在直线AB上，∠AOC的度数比∠BOC的2倍多10度．设∠AOC和∠BOC的度数分别为x，y，则下列正确的方程组为【】
A、
x+y=180
x=y+10
⎧
⎨
⎩
B、
x+y=180
x=2y+10
⎧
⎨
⎩
C、
x+y=180
x=102y
⎧
⎨
-
⎩
D、
x+y=90
y=2x10
⎧
⎨
-
⎩
5. （2006年福建福州课标卷3分）如图，射线BA、CA交于点A，连接BC，已知AB=AC，∠B＝40°，那么x的值是【】
A．80 B．60 C．40 D．100
6. （2007年福建福州3分）下列命题中，错误的是【】
A．矩形的对角线互相平分且相等
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．等腰梯形的两条对角线相等
D．等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等
【答案】B。
【考点】命题和定理，矩形、等腰梯形、等腰三角形的性质，菱形的判定。
【分析】根据矩形、等腰梯形、等腰三角形的性质，菱形的判定则逐一计算作出判断：
A．矩形的对角线互相平分且相等，正确；
B．对角线互相垂直平分的四边形才是菱形，错误；
C．等腰梯形的两条对角线相等，正确；
D．等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等，正确。
故选B。
7. （2008年福建福州4分）已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是【】
A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm
8. （2008年福建福州4分）如图，已知直线AB ，CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC，∠EOC=100°，则 ∠BOD 的度数是【 】
A ．020
B ．040
C ．050
D ．080
9. （2009年福建福州3分）已知∠1=30°，则∠1的余角度数是【 】
A ．160°
B ．150°
C ．70° D．60° 【答案】
D 。
【考点】余角定义。
【分析】根据两角之和等于900
，两角互余的定义，直接得出∠1的余角=900
－∠1=900
－30°=600。
故选D 。
10. （2010年福建福州4分）下面四个图形中，能判断∠1＞∠2的是【 】
A ．
B ．
C ．
D ．
11. （2010年福建福州4分）下面四个中文艺术字中，不是轴对称图形的是【】
A． B．C． D．
12. （2011年福建福州4分）下列四个角中，最有可能与70°角互补的角是【】
A、B、C、D、
【答案】D。
【考点】补角。
【分析】根据互补的性质，与70°角互补的角等于180°﹣70°=110°，是个钝角，而选项D是钝角。
故选D。
13. （2012年福建福州4分）如图，直线a∥b，∠1＝70°，那么∠2的度数是【】
A．50° B．60° C．70° D．80°
14.（2013福建福州4分）如图，OA⊥OB，若∠1=400，则∠2的度数是【】
A．200 B．400 C．500 D．600
15.（2013福建福州4分）如图，已知△ABC，以点B为圆心，AC长为半径画弧；以点C为圆心，AB长为
半径画弧，两弧交于点D，且点A、点D在BC异侧
．．，连接AD，量一量线段AD的长，约为【】
A．2.5cm B．3.0cm C．3.5cm D．4.0cm
二、填空题
1.（2002年福建福州3分）六边形的内角和等于▲ 度．
2.（2002年福建福州3分）已知：线段a＝4cm，b＝9cm，则线段a、b的比例中项c为▲ cm．
3.（2003年福建福州3分）如图，直线a、b被直线c所截，且a∥b，如果∠1=60°，那么∠2
= ▲ 度.
4.（2004年福建福州3分）如图，两条直线a ，b 被第三条直线c 所截，如果a∥b，∠1=70°，那么∠2= ▲ 度．
【答案】110。
【考点】平行线的性质。
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补得：
已知a∥b，∠1=70°，则∠2=180°－∠1=110°。
5.（2005年福建福州大纲卷4分）如图，体育兴趣小组选一名身高1.6m 的同学直立于旗杆影子的顶端处，其他人分为两部分，一部分同学测得该同学的影长为1.2m ，另一部分同学测得同一时刻旗杆影长为9m ，那么旗杆的高度是 ▲ m ．
【答案】12。
【考点】平行线分线段成比例。
三、解答题
1.（2002年福建福州7分）已知：图A 、图B 分别是6×6正方形网格上的两个轴对称图形（阴影部分），其面积分别为S A 、S B （网格中最小的正方形面积为一个平方单位），请观察图形并解答下列问题．
（1）填空：S A ︰S B 的值是___________；
（2）请在图C 的网格上画出一个面积为8个平方单位的中心对称图形；
【答案】解：（1）9：11。
（2）作图如下：
【考点】网格型，开放型，利用中心对称设计图案。
2.（2003年福建福州6分）用若干根火柴棒可以摆出一些优美的图案。
如：下图是用火柴棒摆出的一个图案，此图案表示的含义可以是：天平（或公正）.
请你用5根或5根以上火柴棒摆成一个轴对称图案，并说明你画出的图案的含义. 图案：
含义：
3.（2004年福建福州7分）如图是一个在19×16的点阵图上画出的“中国结”，点阵的每行及每列之间的距离都是1，请你画出“中国结”的对称轴，并直接写出图中阴影部分的面积．
【答案】解：“中国结”的对称轴如下，图中阴影部分的面积为64。
4.（2007年福建福州8分）为创建绿色校园，学校决定对一块正方形的空地进行种植花草，现向学生征集设计图案．图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的图弧构成的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形．种植花草部分用阴影表示．请你在图③、图④、图⑤中画出三种不同的的设计图案．提示：在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：图①、图②只能算一种．
【答案】解：设计如下：
【考点】利用轴对称和中心对称设计图案。
【分析】根据轴对称和中心对称的性质设计图案。
答案不唯一，如还可有：。