2021版新高考数学一轮复习讲义：第五章第一讲 数列的概念与简单表示法 (含解析)
2021高考数学(苏教,理科)复习课件：第五章 数列第一节 数列的概念与简单表示法.ppt
(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数 项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式an＝(－1)n×nn1＋1. (3)这是一个摆动数列，奇数项是a，偶数项是b，所以此数列的一个通项 公式an＝ab，，nn为为奇偶数数，. (4)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1 000－1，10 000－1， 所以它的一个通项公式an＝10n－1.
数学
第一节 数列的概念与简单表示法
[类题通法] 用观察法求数列的通项公式的技巧
(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每 一项的特点，观察出项与 n 之间的关系、规律，可使用添项、 通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对 于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n＋1 来调整．
数学
第一节 数列的概念与简单表示法
2．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式： (1)4,6,8,10，…； (2)－1×1 2，2×1 3，－3×1 4，4×1 5，…； (3)a，b，a，b，a，b，…(其中 a，b 为实数)； (4)9,99,999,9 999，….
数学
第一节 数列的概念与简单表示法
数学
第一节 数列的概念与简单表示法
1．数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与 构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．
2．易混项与项数两个不同的概念，数列的项是指数列中某 一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．
数学
第一节 数列的概念与简单表示法
[试一试] 1．已知数列{an}的前 4 项为 1,3,7,15，写出数列{an}的一个通项
高考数学一轮复习 第5篇 第1节 数列的概念与简单表示法课件 文 新人教版(1)
n
1 2 3 4
(3)奇数项为负,偶数项为正,故第 n 项的符号为(-1) ;各 项绝对值的分母组成数列 1,2,3,4,…;而各项绝对值的 分子组成的数列中,奇数项为 1,偶数项为 3,即奇数项为 2-1,偶数项为 2+1, 所以 an=(-1) ·
n
n
2 1 n
2
3
4
反思归纳
时主要观察:
(1)已知数列的前几项,归纳通项公式
①分式中分子、分母的特征,②相邻项的变化特征, ③拆项后的特征,④各项符号特征,并对此进行归 纳、猜想. (2)对于正、 负符号的变化,用(-1) 或(-1) 来调整.
n n+1
即时突破 1 根据数列的前几项,写出数列的一个通
项公式:
D )
3.(2013 广东六校高三第二次质检)数列{an}满足
1 2an ,0 an , 3 2 an+1= 若 a1= ,则数列的第 2013 项为( 5 2a 1, 1 a 1, n n 2
C
)
1 (A) 5
2 (B) 5
3 (C) 5
4 (D) 5
n
,也可写为
1 , n为正奇数， n an= 3 , n为正偶数. n
9 99 999 9999 (4)将数列各项改写为: , , , ,…,分母 3 3 3 3
都是 3,而分子分别是 10-1,10 -1,10 -1,10 -1,….
1 所以 an= (10n-1). 3
5 n 1 , ∴an= n 1 2 n 2 . 5 n 1 答案: n 1 2 n 2
高考数学一轮复习第5章数列第1节数列的概念与简单表示法课件
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋1－3n－1－1＝2·3n－1.
显然当n＝1时，不满足上式．
∴an＝42， ·3nn－＝1，1n，≥2.
(2)依题意得Sn＋1＝2an＋1＋1，Sn＝2an＋1，两式相减得Sn＋1－Sn＝2an＋1－ 2an，即an＋1＝2an，又S1＝2a1＋1＝a1，因此a1＝－1，所以数列{an}是以a1＝－1 为首项、2为公比的等比数列，an＝－2n－1.]
nn－1
＝2 2 .
nn－1
又 a1＝1 适合上式，故 an＝2 2 .
►考法3 形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an. 【例4】 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公 式．
[解] ∵an＋1＝3an＋2， ∴an＋1＋1＝3(an＋1)， 又a1＝1，∴a1＋1＝2， 故数列{an＋1}是首项为2，公比为3的等比数列， ∴an＋1＝2·3n－1，因此an＝2·3n－1－1.
分类标准 类型
满足条件
项数
有穷数列 无穷数列
项数_有__限__ 项数__无__限__
单调性
递增数列 递减数列
常数列
摆动数列
an＋1_>__an an＋1_<__an
其中n∈N*
an＋1＝an
从第2项起，有些项大于它的前一
项，有些项小于它的前一项的数列
3.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是_列__表__法___、_图__象__法__和__通__项_公__式__法__． 4．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与__序__号__n__之间的关系可以用一个式子来表示，那么 这个公式叫做这个数列的通项公式．
即aan1＝n＋1 1×1n×2×1，所以an＝nn1＋1. 当n＝1时，a1＝1×1 2＝12，与已知a1＝12相符， 所以数列{an}的通项公式为an＝nn1＋1. (3)由an＋1＝2an＋3得an＋1＋3＝2(an＋3)． 又a1＝1，∴a1＋3＝4. 故数列{an＋3}是首项为4，公比为2的等比数列， ∴an＋3＝4·2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3.
2021年高考数学第一轮复习 第五篇 数列细致讲解练 理 新人教A版
年高考数学第一轮复习第五篇数列细致讲解练理新人教A版第1讲数列的概念与简单表示法[最新考纲]1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2．了解数列是自变量为正整数的一类函数.知识梳理1．数列的概念(1)数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为这个数列的第1项，通常也叫做首项．(2)数列的通项公式如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(3)数列的前n项和在数列{a n}中，S n＝a1＋a2＋…＋a n叫做数列的前n项和．2．数列的表示方法(1)表示方法列表法列表格表达n与f(n)的对应关系图象法把点(n，f(n))画在平面直角坐标系中定义域为正整数集(或它的有限子集{1,2，…，n}的函数a n＝f(n))当自变量由小到大依次取值时所对应的一列函数值．*3．数列的分类4.a n 与S n 的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.辨 析 感 悟1．对数列概念的认识(1)数列1,2,3,4,5,6与数列6,5,4,3,2,1表示同一数列．(×) (2)1,1,1,1，…不能构成一个数列．(×) 2．对数列的性质及表示法的理解(3)(教材练习改编)数列1,0,1,0,1,0，…的通项公式，只能是a n ＝1＋－1n ＋12.(×)(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(×) (5)(xx·开封模拟改编)已知S n ＝3n＋1，则a n ＝2·3n －1.(×)[感悟·提升]1．一个区别 “数列”与“数集”数列与数集都是具有某种属性的数的全体，数列中的数是有序的，而数集中的元素是无序的，同一个数在数列中可以重复出现，而数集中的元素是互异的，如(1)、(2)．2．三个防范 一是注意数列不仅有递增、递减数列，还有常数列、摆动数列，如(4)．二是数列的通项公式不唯一，如(3)中还可以表示为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 为奇数，0，n 为偶数.三是已知S n 求a n 时，一定要验证n ＝1的特殊情形，如(5).学生用书第79页考点一 由数列的前几项求数列的通项【例1】 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)－1,7，－13,19，…； (2)23，415，635，863，1099，…； (3)12，2，92，8，252，…； (4)5,55,555,5 555，….解 (1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n(6n －5)． (2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积．知所求数列的一个通项公式为a n ＝2n 2n －12n ＋1.(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即12，42，92，162，252，…，从而可得数列的一个通项公式为a n ＝n 22. (4)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9,99,999，…的通项为10n－1，故所求的数列的一个通项公式为a n ＝59(10n－1)．规律方法 根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的变化特征；拆项后的各部分特征；符号特征．应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．【训练1】 根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)12，14，－58，1316，－2932，6164，…； (2)32，1，710，917，…. 解 (1)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，因此可得数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n·2n－32n .(2)将数列统一为32，55，7，10，917，…，对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n 2}，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1，因此可得数列的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1.考点二 由a n 与S n 的关系求通项a n【例2】 (xx·广东卷节选)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.(1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)依题意，2S 1＝a 2－13－1－23，又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4；(2)由题意2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，所以当n ≥2时，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)两式相减得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －13(3n 2－3n ＋1)－(2n －1)－23，整理得(n ＋1)a n －na n ＋1＝－n (n ＋1)， 即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，又a 22－a 11＝1， 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为a 11＝1，公差为1的等差数列，所以a nn＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝n 2.规律方法 给出S n 与a n 的递推关系，求a n ，常用思路是：一是利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n .【训练2】 设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)令n ＝1时，T 1＝2S 1－1， ∵T 1＝S 1＝a 1，∴a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. (2)n ≥2时，T n －1＝2S n －1－(n －1)2， 则S n ＝T n －T n －1＝2S n －n 2－[2S n －1－(n －1)2] ＝2(S n －S n －1)－2n ＋1＝2a n －2n ＋1. 因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝1也满足上式， 所以S n ＝2a n －2n ＋1(n ≥1)，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2(n －1)＋1， 两式相减得a n ＝2a n －2a n －1－2，所以a n ＝2a n －1＋2(n ≥2)，所以a n ＋2＝2(a n －1＋2)， 因为a 1＋2＝3≠0，所以数列{a n ＋2}是以3为首项，公比为2的等比数列． 所以a n ＋2＝3×2n －1，∴a n ＝3×2n －1－2，当n ＝1时也成立， 所以a n ＝3×2n －1－2.学生用书第80页考点三 由递推公式求数列的通项公式【例3】 在数列{a n }中，(1)若a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝________； (2)若a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则通项a n ＝________.审题路线 (1)变形为a n ＋1－a n ＝n ＋1⇒用累加法，即a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)⇒得出a n .(2)变形为a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)⇒再变形为a n ＋1＋1a n ＋1＝13⇒用累乘法或迭代法可求a n . 解析 (1)由题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(2＋3＋…＋n )＝2＋n －12＋n2＝n n ＋12＋1.又a 1＝2＝1×1＋12＋1，符合上式， 因此a n ＝n n ＋12＋1.(2)a n ＋1＝3a n ＋2，即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝3， 法一 a 2＋1a 1＋1＝3，a 3＋1a 2＋1＝3，a 4＋1a 3＋1＝3，…，a n ＋1＋1a n ＋1＝3.将这些等式两边分别相乘得a n ＋1＋1a 1＋1＝3n.因为a 1＝1，所以a n ＋1＋11＋1＝3n ，即a n ＋1＝2×3n －1(n ≥1)，所以a n ＝2×3n －1－1(n ≥2)，又a 1＝1也满足上式，故a n ＝2×3n －1－1.法二 由a n ＋1＋1a n ＋1＝3，即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， 当n ≥2时，a n ＋1＝3(a n －1＋1)，∴a n ＋1＝3(a n －1＋1)＝32(a n －2＋1)＝33(a n －3＋1)＝…＝3n －1(a 1＋1)＝2×3n －1，∴a n ＝2×3n －1－1；当n ＝1时，a 1＝1＝2×31－1－1也满足．∴a n ＝2×3n －1－1. 答案 (1)n n ＋12＋1 (2)2×3n －1－1规律方法 数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．【训练3】 设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，则它的通项公式a n ＝________.解析 ∵(n ＋1)a 2n ＋1＋a n ＋1·a n －na 2n ＝0， ∴(a n ＋1＋a n )[(n ＋1)a n ＋1－na n ]＝0， 又a n ＋1＋a n ＞0，∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0， 即a n ＋1a n ＝n n ＋1，∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a n a n －1＝12×23×34×45×…×n －1n ，∴a n ＝1n. 答案 1n1．求数列通项或指定项，通常用观察法(对于交错数列一般用(－1)n或(－1)n ＋1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法．2．由S n 求a n 时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1n ＝1，S n －S n －1n ≥2，注意验证a 1是否包含在后面a n 的公式中，若不符合要单独列出，一般已知条件含a n 与S n 的关系的数列题均可考虑上述公式．3．已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握．一般有三种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)“a n ＋1＝pa n ＋q ”这种形式通常转化为a n ＋1＋λ＝p (a n ＋λ)，由待定系数法求出λ，再化为等比数列；(3)利用累加、累乘法或迭代法可求数列的通项公式．思想方法4——用函数的思想解决数列问题【典例】 (xx·新课标全国Ⅱ卷)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________．解析 由题意及等差数列的性质， 知a 1＋a 10＝0，a 1＋a 15＝103.两式相减，得a 15－a 10＝103＝5d ，所以d ＝23，a 1＝－3.所以nS n ＝n ·[na 1＋n n －12d ]＝n 3－10n 23.令f (x )＝x 3－10x 23，x ＞0，则f ′(x )＝13x (3x －20)，由函数的单调性，可知函数f (x )在x ＝203时取得最小值，检验n＝6时，6S 6＝－48，而n ＝7时，7S 7＝－49，故nS n 的最小值为－49. 答案 －49[反思感悟] (1)本题求出的nS n 的表达式可以看做是一个定义在正整数集N *上的三次函数，因此可以采用导数法求解．(2)易错分析：由于n 为正整数，因而不能将203代入求最值，这是考生容易忽略而产生错误的地方． 【自主体验】1．设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( )．A.163B.133C ．4D ．0解析 ∵a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34，由二次函数性质，得当n ＝2或3时，a n 最大，最大为0.答案 D2．已知{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________．解析 设f (n )＝a n ＝n 2＋λn ，其图象的对称轴为直线n ＝－λ2，要使数列{a n }为递增数列，只需使定义在正整数上的函数f (n )为增函数，故只需满足－λ2＜32，即λ＞－3.答案 (－3，＋∞)对应学生用书P285基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(xx·深圳中学模拟)数列0，23，45，67，…的一个通项公式为( )．A ．a n ＝n －1n ＋1(n ∈N *)B ．a n ＝n －12n ＋1(n ∈N *)C ．a n ＝2n －12n －1(n ∈N *) D ．a n＝2n 2n ＋1(n ∈N *) 解析 将0写成01，观察数列中每一项的分子、分母可知，分子为偶数列，可表示为2(n －1)，n ∈N *；分母为奇数列，可表示为2n －1，n ∈N *，故选C. 答案 C2．若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝nn ＋1，则1a 5＝( )． A.56 B.65 C.130 D ．30 解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝nn ＋1－n －1n ＝1nn ＋1，∴1a 5＝5×(5＋1)＝30. 答案 D3．(xx·贵阳模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2－1，则a 3＝( )． A ．－10 B ．6 C ．10 D ．14解析 a 3＝S 3－S 2＝2×32－1－(2×22－1)＝10. 答案 C4．已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是( )． A ．2n －1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n n －1C ．n 2D ．n解析 法一 (构造法)由已知整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1， ∴a n ＋1n ＋1＝a nn ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是常数列． 且a n n ＝a 11＝1，∴a n ＝n . 法二 (累乘法)：n ≥2时，a n a n －1＝n n －1，a n －1a n －2＝n －1n －2. …a 3a 2＝32，a 2a 1＝21， 两边分别相乘得a n a 1＝n ，又因为a 1＝1，∴a n ＝n . 答案 D5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )． A ．2n －1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1D.12n －1解析 ∵S n ＝2a n ＋1，∴当n ≥2时，S n －1＝2a n ， ∴a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－2a n (n ≥2)， 即a n ＋1a n ＝32(n ≥2)， 又a 2＝12，∴a n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝1≠12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1＝13，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，12⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2，n ≥2，∴S n ＝2a n ＋1＝2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.答案 B 二、填空题6．(xx·蚌埠模拟)数列{a n }的通项公式a n ＝－n 2＋10n ＋11，则该数列前________项的和最大．解析 易知a 1＝20>0，显然要想使和最大，则应把所有的非负项求和即可，令a n ≥0，则－n 2＋10n ＋11≥0，∴－1≤n ≤11，可见，当n ＝11时，a 11＝0，故a 10是最后一个正项，a 11＝0，故前10或11项和最大． 答案 10或117．(xx·广州模拟)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，则数列{a n }的通项公式为________．解析 ∵a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，则当n ≥2时，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，两式左右两边分别相减得3n －1a n ＝13，∴a n ＝13n (n ≥2)．由题意知，a 1＝13，符合上式，∴a n ＝13n (n ∈N *)． 答案 a n ＝13n8．(xx·淄博二模)在如图所示的数阵中，第9行的第2个数为________．解析每行的第二个数构成一个数列{a n}，由题意知a2＝3，a3＝6，a4＝11，a5＝18，所以a3－a2＝3，a4－a3＝5，a5－a4＝7，…，a n－a n－1＝2(n－1)－1＝2n－3，等式两边同时相加得a n－a2＝2n－3＋3×n－22＝n2－2n，所以a n＝n2－2n＋a2＝n2－2n＋3(n≥2)，所以a9＝92－2×9＋3＝66. 答案66三、解答题9．数列{a n}的通项公式是a n＝n2－7n＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？解(1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令a n＝150，即n2－7n＋6＝150，解得n＝16或n＝－9(舍去)，即150是这个数列的第16项．(3)令a n＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍)．∴从第7项起各项都是正数．10．在数列{a n}中，a1＝1，S n为其前n项和，且a n＋1＝2S n＋n2－n＋1.(1)设b n＝a n＋1－a n，求数列{b n}的前n项和T n；(2)求数列{a n}的通项公式．解(1)∵a n＋1＝2S n＋n2－n＋1，∴a n＝2S n－1＋(n－1)2－(n－1)＋1(n≥2)，两式相减得，a n＋1－a n＝2a n＋2n－2(n≥2)．由已知可得a2＝3，∴n＝1时上式也成立．∴a n＋1－3a n＝2n－2(n∈N*)，a n－3a n－1＝2(n－1)－2(n≥2)．两式相减，得(a n＋1－a n)－3(a n－a n－1)＝2(n≥2)．∵b n＝a n＋1－a n，∴b n－3b n－1＝2(n≥2)，b n＋1＝3(b n－1＋1)(n≥2)．∵b1＋1＝3≠0，∴{b n＋1}是以3为公比，3为首项的等比数列，∴b n＋1＝3×3n－1＝3n，∴b n＝3n－1.∴T n ＝31＋32＋ (3)－n ＝12·3n ＋1－n －32.(2)由(1)知，a n ＋1－a n ＝3n－1，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋(a n －2－a n －3)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝30＋31＋32＋…＋3n －1－(n －1)＝12(3n＋1)－n .能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝411－2n ，则满足a n ＋1＜a n 的n 的取值为( )．A ．3B ．4C ．5D ．6解析 由a n ＋1＜a n ，得a n ＋1－a n ＝49－2n －411－2n ＝89－2n 11－2n ＜0，解得92＜n ＜112，又n ∈N *，∴n ＝5. 答案 C2．(xx·湖州模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－a x －3，x ≤7，ax －6，x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫94，3B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，3 C ．(1,3) D ．(2,3)解析 ∵数列{a n }是递增数列，又a n ＝f (n )(n ∈N *)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，f 8>f 7⇒2<a <3.答案 D 二、填空题3．在一个数列中，如果∀n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________.解析 依题意得数列{a n }是周期为3的数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28. 答案 28 三、解答题4．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a (a ≠3)，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *. (1)设b n ＝S n －3n，求数列{b n }的通项公式； (2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围． 解 (1)依题意，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n， 即S n ＋1＝2S n ＋3n， 由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n)，又S 1－31＝a －3(a ≠3)，故数列{S n －3n}是首项为a －3，公比为2的等比数列， 因此，所求通项公式为b n ＝S n －3n＝(a －3)2n －1，n ∈N *.(2)由(1)知S n ＝3n＋(a －3)2n －1，n ∈N *，于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n －2，当n ＝1时，a 1＝a 不适合上式，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n ＝1，2×3n －1＋a －32n －2，n ≥2.a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2＝2n －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3， 当n ≥2时，a n ＋1≥a n ⇔12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3≥0⇔a ≥－9.又a 2＝a 1＋3>a 1.综上，所求的a 的取值范围是[－9，＋∞).学生用书第81页 [最新考纲]1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题． 4．了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.知 识 梳 理1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示． 数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *)，d 为常数． 2．等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d . 若等差数列{a n }的第m 项为a m ，则其第n 项a n 可以表示为a n ＝a m ＋(n －m )d . (2)等差数列的前n 项和公式S n ＝n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －12d .(其中n ∈N *，a 1为首项，d 为公差，a n 为第n 项)3．等差数列及前n 项和的性质(1)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b2.(2)若{a n }为等差数列，当m ＋n ＝p ＋q ，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (5)S 2n －1＝(2n －1)a n .(6)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd2；若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)． 4．等差数列与函数的关系(1)等差数列与一次函数的区别与联系等差数列 一次函数解析式 a n ＝kn ＋b (n ∈N *)f (x )＝kx ＋b (k ≠0)不同点定义域为N *，图象是一系列孤立的点(在直线上)，k 为公差定义域为R ，图象是一条直线，k 为斜率相同点数列的通项公式与函数解析式都是关于自变量的一次函数．①k ≠0时，数列a n ＝kn ＋b (n ∈N *)图象所表示的点均匀分布在函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)的图象上；②k ＞0时，数列为递增数列，函数为增函数；③k ＜0时，数列为递减数列，函数为减函数(2)等差数列前n 项和公式可变形为S n ＝2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－2n ，当d ≠0时，它是关于n 的二次函数，它的图象是抛物线y ＝d2x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2x 上横坐标为正整数的均匀分布的一群孤立的点．辨 析 感 悟1．对等差数列概念的理解(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(×) (2)等差数列的公差是相邻两项的差．(×)(3)(教材习题改编)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．(×) 2．等差数列的通项公式与前n 项和(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.(√) (5)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．(√)(6)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．(×) 3．等差数列性质的活用(7)(xx·广东卷改编)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝20.(√)(8)(xx·辽宁卷改编)已知关于d ＞0的等差数列{a n }，则数列{a n }，{na n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ，{a n ＋3nd }都是递增数列．(×) [感悟·提升]一点注意 等差数列概念中的“从第2项起”与“同一个常数”的重要性，如(1)、(2)． 等差数列与函数的区别 一是当公差d ≠0时，等差数列的通项公式是n 的一次函数，当公差d ＝0时，a n 为常数，如(3)；二是公差不为0的等差数列的前n 项和公式是n 的二次函数，且常数项为0；三是等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的，如(8)中若a n ＝3n －12，则满足已知，但na n ＝3n 2－12n 并非递增；若a n ＝n ＋1，则满足已知，但a n n＝1＋1n是递减数列；设a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋m ，则a n ＋3nd ＝4dn ＋m 是递增数列.学生用书第82页考点一 等差数列的基本量的求解【例1】 在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值． 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d . 由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3.解得d ＝－2.从而，a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n . 所以S n ＝n [1＋3－2n ]2＝2n －n 2.进而由S k ＝－35可得2k －k 2＝－35.即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或－5. 又k ∈N *，故k ＝7为所求．规律方法 (1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．【训练1】 (1)(xx·浙江五校联考)已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项的和S 10＝( )．A ．85B ．135C ．95D ．23(2)(xx·新课标全国Ⅰ卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )．A ．3B ．4C ．5D ．6 解析 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋4d ＝4，2a 1＋6d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3.∴S 10＝10×(－4)＋10×92×3＝95.(2)法一 ∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3， ∴a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3， ∴公差d ＝a m ＋1－a m ＝1，由S n ＝na 1＋n n －12d ＝na 1＋n n －12，得⎩⎪⎨⎪⎧ma 1＋mm －12＝0， ①m －1a 1＋m －1m －22＝－2， ②由①得a 1＝1－m 2，代入②可得m ＝5.法二 ∵数列{a n }为等差数列，且前n 项和为S n ， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列．∴S m －1m －1＋S m ＋1m ＋1＝2S m m ，即－2m －1＋3m ＋1＝0， 解得m ＝5.经检验为原方程的解．故选C. 答案 (1)C (2)C考点二 等差数列的判定与证明【例2】 (xx·梅州调研改编)若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．审题路线 (1)利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为关于S n 与S n －1的式子⇒同除S n ·S n －1⇒利用定义证明⇒得出结论．(2)由(1)求1S n⇒再求S n ⇒再代入条件a n ＝－2S n S n －1，求a n ⇒验证n ＝1的情况⇒得出结论．(1)证明 当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)解 由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12n －1＝n －1－n 2n n －1＝－12n n －1.当n ＝1时，a 1＝12不适合上式．故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n n －1，n ≥2.规律方法 证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种：一是定义法，证明a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)；二是等差中项法，证明2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．【训练2】 已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋3n ＋1－2n.设b n ＝a n －2n3n.证明：数列{b n }为等差数列，并求{a n }的通项公式．证明 ∵b n ＋1－b n ＝a n ＋1－2n ＋13n ＋1－a n －2n 3n＝3a n ＋3n ＋1－2n －2n ＋13n ＋1－3a n －3·2n3n ＋1＝1，∴{b n }为等差数列，又b 1＝a 1－23＝0.∴b n ＝n －1，∴a n ＝(n －1)·3n＋2n.学生用书第83页考点三 等差数列的性质及应用【例3】 (1)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( )． A ．－6 B ．－4 C ．－2 D ．2(2)在等差数列{a n }中，前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则前3m 项的和为________． 解析 (1)S 8＝4a 3⇒8a 1＋a 82＝4a 3⇒a 3＋a 6＝a 3，∴a 6＝0，∴d ＝－2，∴a 9＝a 7＋2d ＝－2－4＝－6.(2)记数列{a n }的前n 项和为S n ，由等差数列前n 项和的性质知S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列，则2(S 2m －S m )＝S m ＋(S 3m －S 2m )，又S m ＝30，S 2m ＝100，S 2m －S m ＝100－30＝70，所以S 3m －S 2m ＝2(S 2m －S m )－S m ＝110，所以S 3m ＝110＋100＝210. 答案 (1)A (2)210规律方法 巧妙运用等差数列的性质，可化繁为简；若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设中间三项为a －d ，a ，a ＋d ；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．【训练3】 (1)在等差数列{a n }中．若共有n 项，且前四项之和为21，后四项之和为67，前n 项和S n ＝286，则n ＝________.(2)已知等差数列{a n }中，S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝________. 解析 (1)依题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝21，a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝67.由等差数列的性质知a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝a 4＋a n －3，∴4(a 1＋a n )＝88，∴a 1＋a n ＝22. 又S n ＝n a 1＋a n2，即286＝n ×222，∴n ＝26.(2)∵{a n }为等差数列，∴S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列， ∴2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)． ∴a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6 ＝2(S 6－S 3)－S 3 ＝2(36－9)－9＝45. 答案 (1)26 (2)451．等差数列的判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列． (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列． (4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)⇔{a n }是等差数列．2．方程思想和化归思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程(组)获得解．方法优化4——整体代入法(整体相消法)在数列解题中的应用【典例】 (1)(xx·辽宁卷)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝( )．A ．58B ．88C ．143D ．176(2)(xx·北京卷)若等比数列{a n }满足：a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________.[一般解法] (1)设数列{a n }的公差为d ，则a 4＋a 8＝16，即a 1＋3d ＋a 1＋7d ＝16，即a 1＝8－5d ，所以S 11＝11a 1＋11×102d ＝11(8－5d )＋55d ＝88－55d ＋55d ＝88.(2)由a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＋a 1q 4＝40，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 1＋q 2＝20，a 1q 21＋q 2＝40，解得q ＝2，a 1＝2，∴S n ＝a 11－q n 1－q ＝21－2n1－2＝2n ＋1－2.[优美解法] (1)由a 1＋a 11＝a 4＋a 8＝16，得S 11＝11a 1＋a 112＝11a 4＋a 82＝11×162＝88.(2)由已知，得a 3＋a 5a 2＋a 4＝q a 2＋a 4a 2＋a 4＝q ＝2， 又a 1＝2，所以S n ＝a 11－q n 1－q＝2n ＋1－2.[反思感悟] 整体代入法是一种重要的解题方法和技巧，简化了解题过程，节省了时间，这就要求学生要掌握公式，理解其结构特征． 【自主体验】在等差数列{a n }中，已知S n ＝m ，S m ＝n (m ≠n )，则S m ＋n ＝________. 解析 设{a n }的公差为d ，则由S n ＝m ，S m ＝n ，得⎩⎪⎨⎪⎧S n ＝na 1＋n n －12d ＝m ，S m＝ma 1＋mm －12d ＝n .①②②－①得(m －n )a 1＋m －nm ＋n －12·d ＝n －m ，∵m ≠n ，∴a 1＋m ＋n －12d ＝－1.∴S m ＋n ＝(m ＋n )a 1＋m ＋nm ＋n －12d＝(m ＋n )⎝⎛⎭⎪⎫a 1＋m ＋n －12d ＝－(m ＋n )．答案 －(m ＋n )对应学生用书P287基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(xx·温州二模)记S n 为等差数列{a n }前n 项和，若S 33－S 22＝1，则其公差d ＝( )．A.12 B ．2 C ．3 D ．4 解析 由S 33－S 22＝1，得a 1＋a 2＋a 33－a 1＋a 22＝1，即a 1＋d －⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋d 2＝1，∴d ＝2.答案 B2．(xx·潍坊期末考试)在等差数列{a n }中，a 5＋a 6＋a 7＝15，那么a 3＋a 4＋…＋a 9等于( )． A ．21 B ．30 C ．35 D ．40解析 由题意得3a 6＝15，a 6＝5.所以a 3＋a 4＋…＋a 9＝7a 6＝7×5＝35.答案 C3．(xx·揭阳二模)在等差数列{a n }中，首项a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为( )．A ．37B ．36C ．20D ．19解析 由a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，得(m －1)d ＝9a 5＝36d ⇒m ＝37. 答案 A4．(xx·郑州模拟){a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，已知a 7＝5，S 7＝21，则S 10＝( )． A ．40 B ．35 C ．30 D ．28解析 设公差为d ，则由已知得S 7＝7a 1＋a 72，即21＝7a 1＋52，解得a 1＝1，所以a 7＝a 1＋6d ，所以d ＝23.所以S 10＝10a 1＋10×92d ＝10＋10×92×23＝40.答案 A5．(xx·淄博二模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 13＝S 13＝13，则a 1＝( )． A ．－14 B ．－13 C ．－12 D ．－11 解析 在等差数列中，S 13＝13a 1＋a 132＝13，所以a 1＋a 13＝2，即a 1＝2－a 13＝2－13＝－11. 答案 D 二、填空题6．(xx·肇庆二模)在等差数列{a n }中，a 15＝33，a 25＝66，则a 35＝________. 解析 a 25－a 15＝10d ＝66－33＝33，∴a 35＝a 25＋10d ＝66＋33＝99. 答案 997．(xx·成都模拟)已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，前三项之和S 3＝9，则{a n }的通项a n ＝________.解析 由a 1＝1，S 3＝9，得a 1＋a 2＋a 3＝9，即3a 1＋3d ＝9，解得d ＝2，∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. 答案 2n －18．(xx·浙江五校联考)若等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，若a 2∶a 3＝5∶2，则S 3∶S 5＝________.解析S 3S 5＝3a 1＋a 35a 1＋a 5＝3a 25a 3＝35×52＝32. 答案 3∶2 三、解答题9．已知等差数列{a n }的公差d ＝1，前n 项和为S n . (1)若1，a 1，a 3成等比数列，求a 1； (2)若S 5＞a 1a 9，求a 1的取值范围．解 (1)因为数列{a n }的公差d ＝1，且1，a 1，a 3成等比数列，所以a 21＝1×(a 1＋2)，即a 21－a 1－2＝0，解得a 1＝－1或2.(2)因为数列{a n }的公差d ＝1，且S 5＞a 1a 9，所以5a 1＋10＞a 21＋8a 1，即a 21＋3a 1－10＜0，解得－5＜a 1＜2.故a 1的取值范围是(－5,2)．10．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＝S nn＋2(n －1)(n ∈N *)． (1)求证：数列{a n }为等差数列，并求a n 与S n .(2)是否存在自然数n ，使得S 1＋S 22＋S 33＋…＋S nn －(n －1)2＝2 015？若存在，求出n 的值；若不存在，请说明理由．证明 (1)由a n ＝S n n＋2(n －1)，得S n ＝na n －2n (n －1)(n ∈N *)． 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝na n －(n －1)a n －1－4(n －1)， 即a n －a n －1＝4，故数列{a n }是以1为首项，4为公差的等差数列． 于是，a n ＝4n －3，S n ＝a 1＋a n n2＝2n 2－n (n ∈N *)．(2)由(1)，得S nn＝2n －1(n ∈N *)，又S 1＋S 22＋S 33＋…＋S nn －(n －1)2＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)－(n －1)2＝n 2－(n －1)2＝2n －1.令2n －1＝2 015，得n ＝1 008， 即存在满足条件的自然数n ＝1 008.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．(xx·咸阳模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝( )．A ．12B ．14C ．16D ．18 解析 S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30，由S n ＝n a 1＋a n2＝210，得n ＝14.答案 B2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，S 3＝S 11，当S n 最大时，n 的值是( )． A ．5 B ．6 C ．7 D ．8解析 法一 由S 3＝S 11，得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0，根据等差数列的性质，可得a 7＋a 8＝0，根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a 7＞0，a 8＜0，故n ＝7时，S n 最大． 法二 由S 3＝S 11，可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d ，把a 1＝13代入，得d ＝－2，故S n ＝13n －n (n －1)＝－n 2＋14n ，根据二次函数的性质，知当n ＝7时，S n 最大．法三 根据a 1＝13，S 3＝S 11，则这个数列的公差不等于零，且这个数列的和先是单调递增然后又单调递减，根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，得只有当n ＝3＋112＝7时，S n 取得最大值．答案 C 二、填空题3．(xx·九江一模)正项数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝2,2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N *，n ≥2)，则a 7＝________.解析 因为2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N *，n ≥2)，所以数列{a 2n }是以a 21＝1为首项，以d ＝a 22－a 21＝4－1＝3为公差的等差数列， 所以a 2n ＝1＋3(n －1)＝3n －2， 所以a n ＝3n －2，n ≥1. 所以a 7＝3×7－2＝19. 答案19三、解答题4．(xx·西安模拟)已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足b n ＝S nn ＋c，是否存在非零实数c 使得{b n }为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，且d ＞0，由等差数列的性质，得a 2＋a 5＝a 3＋a 4＝22， 所以a 3，a 4是关于x 的方程x 2－22x ＋117＝0的解，所以a 3＝9，a 4＝13，易知a 1＝1，d ＝4，故通项为a n ＝1＋(n －1)×4＝4n －3. (2)由(1)知S n ＝n 1＋4n －32＝2n 2－n ，所以b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－nn ＋c.法一 所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c(c ≠0)． 令2b 2＝b 1＋b 3，解得c ＝－12.当c ＝－12时，b n ＝2n 2－nn －12＝2n ，当n ≥2时，b n －b n －1＝2.故当c ＝－12时，数列{b n }为等差数列．法二 由b n ＝S nn ＋c＝n 1＋4n －32n ＋c＝2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12n ＋c，∵c ≠0，∴可令c ＝－12，得到b n ＝2n .∵b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2(n ∈N *)， ∴数列{b n }是公差为2的等差数列．即存在一个非零常数c ＝－12，使数列{b n }也为等差数列.学生用书第84页第3讲 等比数列及其前n 项和[最新考纲]1．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及前n 项和公式．2．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题． 3．了解等比数列与指数函数的关系.知 识 梳 理1．等比数列的有关概念 (1)等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q (q ≠0)表示． 数学语言表达式：a na n －1＝q (n ≥2)，q 为常数． (2)等比中项如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .2．等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1qn －1；若等比数列{a n }的第m 项为a m ，公比是q ，则其第n 项a n 可以表示为a n ＝a m q n －m.(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q1－q.3．等比数列及前n 项和的性质(1)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n .(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m .(3)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n.(4)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍是等比数列．辨 析 感 悟1．对等比数列概念的理解(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．(×) (2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .(×) (3)若三个数成等比数列，那么这三个数可以设为aq，a ，aq .(√) 2．通项公式与前n 项和的关系(4)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a 1－a n1－a.(×)(5)(xx·新课标全国Ⅰ卷改编)设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n＝3－2a n .(√)3．等比数列性质的活用(6)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．(×)(7)(xx·兰州模拟改编)在等比数列{a n }中，已知a 7·a 12＝5，则a 8a 9a 10a 11＝25.(√) (8)(xx·江西卷改编)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于－2或0.(×) [感悟·提升]1．一个区别 等差数列的首项和公差可以为零，且等差中项唯一；而等比数列首项和公比均不为零，等比中项可以有两个值．如(1)中的“常数”，应为“同一非零常数”；(2)中，若b 2＝ac ，则不能推出a ，b ，c 成等比数列，因为a ，b ，c 为0时，不成立．2．两个防范 一是在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1或q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误，如(4)． 二是运用等比数列的性质时，注意条件的限制，如(6)中当a n ＋1a n＝q ＜0时，ln a n ＋1－ln a n ＝ln q 无意义.学生用书第85页考点一 等比数列的判定与证明【例1】 (xx·济宁测试)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若对于任意的正整数n 都有S n ＝2a n －3n ，设b n ＝a n ＋3.求证：数列{b n }是等比数列，并求a n .证明 由S n ＝2a n －3n 对于任意的正整数都成立， 得S n ＋1＝2a n ＋1－3(n ＋1)，两式相减，得S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－3(n ＋1)－2a n ＋3n ， 所以a n ＋1＝2a n ＋1－2a n －3，即a n ＋1＝2a n ＋3， 所以a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)，即b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2对一切正整数都成立，所以数列{b n }是等比数列．由已知得：S 1＝2a 1－3，即a 1＝2a 1－3，所以a 1＝3， 所以b 1＝a 1＋3＝6，即b n ＝6·2n －1.故a n ＝6·2n －1－3＝3·2n－3.规律方法 证明数列{a n }是等比数列常用的方法：一是定义法，证明a na n －1＝q (n ≥2，q 为常数)；二是等比中项法，证明a 2n ＝a n －1·a n ＋1.若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．【训练1】 (xx·陕西卷)设{a n }是公比为q 的等比数列． (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列． 解 (1)设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1qn －1，①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n，∴S n ＝a 11－q n 1－q ，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n1－q，q ≠1.(2)假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N *， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝qk －1＋qk ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0，∴q ＝1，这与已知矛盾． ∴假设不成立，∴{a n ＋1}不是等比数列．考点二 等比数列基本量的求解【例2】 (xx·湖北卷)已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．审题路线 (1)建立关于a 1与q 的方程组可求解．(2)分两种情况，由a n ⇒1a n⇒再用等比数列求和求∑n ＝1m1a n⇒得到结论．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 31q 3＝125，|a 1q －a 1q 2|＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝53，q ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，q ＝－1.故a n ＝53·3n －1或a n ＝－5·(－1)n －1.(2)若a n ＝53·3n －1，则1a n ＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为35，公比为13的等比数列．从而∑n ＝1m1a n ＝35⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13m 1－13＝910·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13m <910<1.若a n ＝－5·(－1)n －1，则1a n ＝－15(－1)n －1，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为－15，公比为－1的等比数列，从而∑n ＝1m1a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－15，m ＝2k －1k ∈N *，0，m ＝2k k ∈N *，故∑n ＝1m1a n<1.综上，对任何正整数m ，总有∑n ＝1m1a n<1.故不存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a n≥1成立．规律方法 等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．【训练2】 (1)已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为________．(2)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝________.解析 (1)显然公比q ≠1，由题意可知91－q 31－q＝1－q61－q ，解得q ＝2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公比的等比数列，由求和公式可得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和T 5＝3116.(2)显然公比q ≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3＝1，a 11－q 31－q ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，q ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，q ＝－13(舍去)，∴S 5＝a 11－q51－q＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝314.答案 (1)3116 (2)314考点三 等比数列性质的应用【例3】 (1)(xx·新课标全国卷)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )．A ．7B ．5C ．－5D ．－7(2)等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________. 解析 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4.当a 4＝4，a 7＝－2时，易得a 1＝－8，a 10＝1，从而a 1＋a 10＝－7； 当a 4＝－2，a 7＝4时，易得a 10＝－8，a 1＝1，从而a 1＋a 10＝－7. (2)由S 10S 5＝3132，a 1＝－1知公比q ≠1，则S 10－S 5S 5＝－132. 由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，故q 5＝－132，q ＝－12.答案 (1)D (2)－12规律方法 熟练掌握等比数列的一些性质可提高解题速度，历年高考对等比数列的性质考查较多，主要是考查“等积性”，题目“小而巧”且背景不断更新．解题时要善于类比并且要。
高考数学一轮总复习 第5章 数列 第1节 数列的概念与简单表示法课件 理 新人教版
[题组练透]
1．已知 n∈N*，给出 4 个表达式：①an＝01，，nn为为奇偶数数，，
②an＝1＋2－1n，③an＝1＋c2os nπ，④an＝sin
nπ
2
.
其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通项公式的是 ()
A．①②③ C．②③④
B．①②④ D．①③④
解析：检验知①②③都是所给数列的通项公式.
考点二 由an与Sn的关系求通项an 重点保分型考点——师生共研
[典例引领]
已知下面数列{an}的前 n 项和 Sn，求{an}的通项公式： (1)Sn＝2n2－3n； (2)Sn＝3n＋b.
解析
[由题悟法]
已知 Sn 求 an 的 3 个步骤 (1)先利用 a1＝S1 求出 a1； (2)用 n－1 替换 Sn 中的 n 得到一个新的关系，利用 an＝Sn－ Sn－1(n≥2)便可求出当 n≥2 时 an 的表达式； (3)对 n＝1 时的结果进行检验，看是否符合 n≥2 时 an 的表达 式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则 应该分 n＝1 与 n≥2 两段来写．
[小题纠偏] 1．已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和，且 Sn＝n2＋1，则数列{an}
的通项公式是________． 答案：an＝22， n－n＝1，1， n≥2 2．数列{an}的通项公式为 an＝－n2＋9n，则该数列第 ________项最大．
答案：4 或 5
考点一 由数列的前几项求数列的通项公式 基础送分型考点——自主练透
[即时应用]
已知数列{an}的前 n 项和为 Sn. (1)若 Sn＝(－1)n＋1·n，求 a5＋a6 及 an； (2)若 Sn＝3n＋2n＋1，求 an.
2021届新高考版高考数学一轮复习教师用书：第五章第一讲 数列的概念与简单表示法
第五章 数 列第一讲 数列的概念与简单表示法1.下列说法中,正确的是( )A.一个数列中的数是不可以重复的B.所有数列的前n 项和都能用公式表达C.任何一个数列不是递增数列,就是递减数列D.如果数列{a n }的前n 项和为S n ,则∀n ∈N *,都有a n +1=S n +1 - S n 2.[改编题]给出下面四个结论: ①数列{n+1n}的第k 项为1+1k;②数列的项数是无限的;③数列的通项公式的表达式是唯一的; ④数列1,3,5,7可以表示为{1,3,5,7}. 其中说法正确的有 ( )A .①②④B .①C .②③④D .①②③3.[2020十堰模拟]图5 - 1 - 1是希尔宾斯基(Sie R pinski )三角形,在所给的四个三角形图案中,阴影小三角形的个数构成数列{a n }的前4项,则{a n }的通项公式可以是( )图5-1-1A .a n =3n – 1B .a n =2n – 1C .a n =3nD .a n =2n - 14.[2019武汉市武昌区高三调考]已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2 - 1,则a 1+a 3+a 5+a 7+a 9= ( ) A.40 B.44 C.45 D.495.[2019陕西榆林一中模拟]在数列{a n }中,a 1=1,a n =1+(-1)n a n -1(n ≥2),则a 5等于( )A.32 B.53 C.85 D.23 6.已知数列{a n }中,a 1=3,a 2=6,a n +2=a n +1 - a n ,则a 2 019等于 ( )A .6B . - 6C .3D . – 37.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 1=32,2S n +S n-1=3(n ≥2,n ∈N *),则S n 的最大值与最小值之和为( )A.2B.3C.52D.948.[2016浙江高考]设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4,a n +1=2S n +1,n ∈N *,则a 1= ,S 5= .考法1 利用a n 与S n 的关系求通项公式1 [2020山东菏泽模拟]设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知2S n =3n +3.则数列{a n }的通项公式为 .用n - 1替换S n 中的n 得到一个新的关系,利用公式a n ={S 1,n =1,S n -S n -1,n ≥2求出a n .由2S n =3n +3可得a 1=S 1=12×(3+3)=3, ............................................................................... (求首项)当n ≥2时,2S n - 1=3n - 1+3,结合2S n =3n +3可得a n =S n - S n - 1=12(3n +3) - 12(3n - 1+3)=3n - 1. ............................................. (求通项)而a 1=3≠31 - 1,不满足上式, ................................................................................................(检验首项a 1) 所以a n ={3,n =1,3n -1,n ≥2.2[改编题]设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1= - 1,a n +1=12S n +1S n ,则数列{a n }的通项公式为 .利用a n +1=S n +1 - S n 及a n +1=12S n +1S n 消去a n +1,得到S n +1与S n 的关系式,求出S n ,再由公式a n ={S 1,n =1,S n -S n -1,n ≥2求出a n .因为a n +1=12S n +1S n ,a n +1=S n +1 - S n ,所以S n +1 - S n =12S n +1S n , 两边同时除以S n +1·S n ,得1S n+1−1S n= - 12,又a 1=S 1= - 1,所以{1S n}是以 - 1为首项, - 12为公差的等差数列.所以1S n = - 1 - 12(n - 1)= - 12n - 12,故S n= - 2n+1.当n≥2时,a n=S n - S n - 1= - 2n+1- ( - 2n)=2n(n+1).当n=1时,a1= - 1≠21×(1+1)=1,不满足上式,所以a n={-1(n=1),2n(n+1)(n≥2).1.[2018全国卷Ⅰ]记S n为数列{a n}的前n项和.若S n=2a n+1,则S6=.考法2 数列的性质及其应用3(1)已知数列{a n}的通项公式为a n=3n+k2n,若数列{a n}为递减数列,则实数k的取值范围为A.(3,+∞)B.(2,+∞)C.(1,+∞)D.(0,+∞)(2)已知数列{a n}的通项公式为a n=9n(n+1)10n,则数列中的最大项为.(1)递减数列→→转化为含参数的不等式求解(2)(1)因为a n+1- a n=3n+3+k2n+1−3n+k2n=3-3n-k2n+1,由数列{a n}为递减数列知,对任意n∈N*,a n+1-a n=3-3n-k2n+1<0,所以k>3 - 3n对任意n∈N*恒成立,所以k∈(0,+∞).故选D.(2)解法一a n+1 - a n=9n+1(n+2)10n+1−9n(n+1)10n=9n10n·8-n10,当n<8时,a n+1 - a n>0,即a n+1>a n;当n=8时,a n+1 - a n=0,即a n+1=a n;当n>8时,a n+1 - a n<0,即a n+1<a n.则a1<a2<a3<…<a8,a8=a9,a9>a10>a11>…,故数列{a n}中的最大项为第8项和第9项,且a8=a9=98×9108=99108.解法二 设数列{a n }中的第n 项最大,则{a n ≥a n -1,a n ≥a n+1,即{9n (n+1)10n≥9n -1n10n -1,9n (n+1)10n≥9n+1(n+2)10n+1,解得8≤n ≤9.又n ∈N *,则n =8或n =9.故数列{a n }中的最大项为第8项和第9项,且a 8=a 9=99108.4[2020武汉市部分学校质量监测]在数列{a n }中,a 1= - 14,a n =1 -1a n -1(n ≥2,n ∈N*),则a 2 019的值为 A. - 14B.5C.45D.54因为在数列{a n }中,a 1= - 14,a n =1 -1a n -1(n ≥2,n ∈N *),所以a 2=1 -1−-14=5,a 3=1 - 15=45,a 4=1 - 145= - 14,所以{a n }是以3为周期的周期数列,所以a 2 019=a 673×3=a 3=45.C2.[2019浙江杭州模拟]已知数列{a n }满足a n ={(13-a)n +2,n >8,an -7,n ≤8,若对任意的n ∈N*,都有a n >a n +1,则实数a 的取值范围是 ( )A.(0,13)B.(0,12) C.[12,1)D.(13,12)考法3 已知递推关系求数列的通项公式5已知数列{a n }满足a 1=2,a n - a n - 1=n (n ≥2,n ∈N*),则a n = .利用递推公式a n - a n - 1=n (n ≥2),写出n - 1个式子并相加,再利用等差数列的前n - 1项和的公式,即可求出a n .(累加法)由题意可知,a 2 - a 1=2,a 3 - a 2=3,…,a n - a n - 1=n (n ≥2),以上式子累加,得a n - a 1=2+3+…+n. .................................................. (累加时注意开始的一项与最后一项) 因为a 1=2,所以a n =2+(2+3+…+n ) ................................................................... (用公式求2+3+…+n 时,注意项数为n - 1) =2+(n -1)(2+n)2=n 2+n+22(n ≥2).因为a 1=2满足上式,所以a n =n 2+n+22.6已知在数列{a n }中,a n +1=nn+2a n (n ∈N*),且a 1=4,则数列{a n }的通项公式a n = .利用递推公式a n +1=nn+2a n ,得a n+1a n=nn+2,写出(n - 1)个式子并相乘,即可求出a n .(累乘法)由a n +1=nn+2a n ,得a n+1a n= nn+2,故a2a 1=13,a3a 2=24,…,an a n -1=n -1n+1(n ≥2),以上式子累乘得, a n a 1=13·24·…·n -3n -1·n -2n ·n -1n+1= 2n(n+1). ............................. (累乘时注意开始的一项与最后一项) 因为a 1=4,所以a n =8n(n+1)(n ≥2). 因为a 1=4满足上式,所以a n =8 n(n+1).7已知在数列{a n }中, a 1=3,且点P n (a n ,a n +1)(n ∈N*)在直线4x - y +1=0上,则数列{a n }的通项公式为 .把点P n (a n ,a n +1)的坐标代入直线方程4x - y +1=0,得出数列{a n }的递推公式,再利用构造法构造出等比数列,即可利用等比数列的通项公式求得结果.(利用待定系数法构造)因为点P n (a n ,a n +1)(n ∈N*)在直线4x - y +1=0上,所以4a n - a n +1+1=0. ........................................................................ (将点的坐标代入直线方程得递推公式) 所以a n +1+13=4(a n +13). ................................................................. (令a n +1+λ=4(a n +λ),与4a n - a n +1+1=0对比得λ) 因为a 1=3,所以a 1+13=103.故数列{a n +13}是首项为103,公比为4的等比数列. ...................... (注意数列{a n +13}的首项不是a 1,而是a 1+13) 所以a n +13 =103×4n - 1,故数列{a n }的通项公式为a n =103×4n - 1 - 13.8已知数列{a n }满足a 1=2,a n +1=2a n 2+a n(n ∈N*),则a n = .(取倒数)因为a n +1= 2a n2+a n,所以1an+1−1a n=12. ....... (两边同时取倒数,构造出具有等差数列特征的式子)因为a 1=2,即1a 1=12,所以数列{1a n }是首项为12,公差为12的等差数列, ............................ (注意数列{1a n}的首项不是a1,而是1a1)所以1a n =12+(n - 1)×12=n2,故a n=2n.3.(1)各项均不为0的数列{a n}满足a n+1(a n+a n+2)2=a n+2a n(n∈N*),且a3=2a8=15,则数列{a n}的通项公式为.(2)已知数列{a n}中,a1=56,a n+1=13a n+(12)n+1,则a n=.(3)[2015江苏高考]设数列{a n}满足a1=1,且a n+1- a n=n+1(n∈N*),则数列{1a n}前10项的和为.1.D对于选项A,数列中的数是可以重复的,故A错误;对于选项B,不是所有的数列都有通项公式,如由质数组成的无穷数列,故B错误;对于选项C,数列还可以是常数列、摇摆数列等,故C 错误.易知D正确,选D.2.B根据数列的表示方法可知,求数列的第k项就是将k代入通项公式,经验证知①正确;数列的项数可能是有限的,也可能是无限的,并且数列的通项公式的表达式不是唯一的,故②③不正确;集合中的元素具有无序性,而数列中每一个数的位置都是确定的,故④不正确.所以只有①正确,选B .3.A 题图中的阴影小三角形的个数构成数列{a n }的前4项,分别为a 1=1,a 2=3,a 3=3×3=32,a 4=32×3=33,因此{a n }的通项公式可以是a n =3n - 1.故选A.4.B 解法一 因为S n =n 2 - 1,所以当n ≥2时,a n =S n - S n - 1=n 2 - 1 - (n - 1)2+1=2n - 1,又a 1=S 1=0,所以a n ={0,n =1,2n -1,n ≥2,所以a 1+a 3+a 5+a 7+a 9=0+5+9+13+17=44.故选B .解法二 因为S n =n 2 - 1,所以当n ≥2时,a n =S n - S n - 1=n 2 - 1 - (n - 1)2+1=2n - 1,又a 1=S 1=0,所以a n ={0,n =1,2n -1,n ≥2,所以{a n }从第二项起是等差数列,且a 2=3,公差d =2,所以a 1+a 3+a 5+a 7+a 9=0+4a 6=4×(2×6 - 1)=44,故选B . 5.D 由题可知,a 2=1+(-1)2a 1=2,a 3=1+(-1)3a 2=12,a 4=1+(-1)4a 3=3,a 5=1+(-1)5a 4=23.故选D .6.C 依次写出数列的各项:3,6,3, - 3, - 6, - 3,3,6,3, - 3,….所以数列{a n }以6为周期循环.又2 019=6×336+3,故a 2 019=a 3=3.故选C .7.D 因为2S n +S n - 1=3(n ≥2,n ∈N *),所以当n ≥3时,2S n - 1+S n - 2=3,两式相减得2a n +a n - 1=0,即a n = -12a n - 1(n ≥3).当n =2时,2S 2+S 1=3,即3a 1+2a 2=3,由a 1=32得a 2= - 34,则a 2= - 12a 1,所以数列{a n }是以32为首项, - 12为公比的等比数列,所以S n =32[1-(-12)n ]1-(-12)=1 - ( - 12)n .当n 为奇数时,S n =1+(12)n ,S n 随n 的增大而减小,则1<S n ≤S 1=32;当n 为偶数时,S n =1 - (12)n ,S n 随n 的增大而增大,则34=S 2≤S n <1.故S n 的最大值与最小值之和为32+34=94.8.1 121 由{a 1+a 2=4,a 2=2a 1+1,解得{a 1=1,a 2=3.由a n +1=S n +1 - S n =2S n +1得S n +1=3S n +1,所以S n +1+12=3(S n +12),所以{S n +12}是以32为首项,3为公比的等比数列,所以S n +12=32×3n - 1,即S n =3n -12,所以S 5=121.1. - 63 解法一 因为S n =2a n +1,所以当n =1时,a 1=S 1=2a 1+1,解得a 1= - 1; 当n =2时,a 1+a 2=S 2=2a 2+1,解得a 2= - 2;当n=3时,a1+a2+a3=S3=2a3+1,解得a3= - 4;当n=4时,a1+a2+a3+a4=S4=2a4+1,解得a4= - 8;当n=5时,a1+a2+a3+a4+a5=S5=2a5+1,解得a5= - 16;当n=6时,a1+a2+a3+a4+a5+a6=S6=2a6+1,解得a6= - 32.所以S6= - 1 - 2 - 4 - 8 - 16 - 32= - 63.解法二因为S n=2a n+1,所以当n=1时,a1=S1=2a1+1,解得a1= - 1;当n≥2时,a n=S n - S n - 1=2a n+1 - (2a n - 1+1),所以a n=2a n - 1,所以数列{a n}是以- 1为首项,2为公比的等比数列,所以a n= - 2n - 1,所以S6=-1×(1-26)1-2= - 63.2.C由题意知,对任意的n∈N*,都有a n>a n+1,所以数列{a n}为递减数列,由当n≤8时a n=a n - 7及指数函数的性质,可知0<a<1,由题意知a≠13.①若13<a<1,则当n>8时,a n=(13- a)n+2单调递减,且当n≤8时,a n=a n - 7单调递减,所以(13- a)×9+2≤a8 - 7,解得a≥12,所以12≤a<1.②若0<a<13,则当n>8时,a n=(13- a)n+2单调递增,不符合题意,舍去.综上可知,实数a的取值范围是[12,1),故选C.3.(1)a n=1n+2因为a n+1(a n+a n+2)2=a n+2a n,所以a n+1a n+a n+1a n+2=2a n+2a n.因为a n a n+1a n+2≠0,所以1a n+2+1a n=2a n+1,所以数列{1a n}为等差数列.设数列{1a n }的公差为d,则1a8=1a3+(8 - 3)d.因为a3=2a8=15,所以d=1,又1a1=1a3- 2d=3,所以数列{1a n}是以3为首项,1为公差的等差数列.所以1a n =3+(n - 1)×1=n+2,故数列{a n}的通项公式为a n=1n+2.(2)32n − 23n解法一将a n+1=13a n+(12)n+1两边同时乘以2n+1,得2n+1·a n+1=23(2n·a n)+1.令b n=2n·a n,则b n+1=23b n+1,将上式变形,得b n+1 - 3=23(b n - 3).所以数列{b n - 3}是首项为b 1 - 3=2×56 - 3= - 43,公比为23的等比数列. 所以b n - 3= - 43·(23)n - 1,即b n =3 - 2·(23)n .于是a n =b n 2n=32n − 23n . 解法二 将a n +1=13a n +(12)n +1两边同时乘以3n +1,得3n +1a n +1=3n a n +(32)n +1. 令b n =3n ·a n ,则b n +1=b n +(32)n +1,所以b n - b n - 1=(32)n ,b n - 1 - b n - 2=(32)n - 1,…,b 2 - b 1=(32)2.将以上各式累加,得b n - b 1=(32)2+…+(32)n - 1+(32)n .又b 1=3a 1=3×56=52=1+32,所以b n =1+32+(32)2+…+(32)n - 1+(32)n =1·[1-(32)n+1]1-32=2·(32)n +1 - 2,即b n =2·(32)n +1 - 2.故a n =bn 3n=32n− 23n .(3)2011由a 1=1,且a n +1 - a n =n +1(n ∈N *)得,a n =a 1+(a 2 - a 1)+(a 3 - a 2)+…+(a n - a n-1)=1+2+3+…+n =n(n+1)2,则1a n=2n(n+1)=2(1n − 1n+1),故数列{1a n}前10项的和S 10=2×(1 - 12+12 − 13+…+110 − 111)=2×(1 - 111)=2011.。
2021届高考数学一轮复习第五篇数列第1节数列的概念与简单表示法训练理新人教版20210810229
2021届高考数学一轮复习第五篇数列第1节数列的概念与简单表示法训练理新人教版202108102297【选题明细表】知识点、方法题号观看法求通项公式1,7递推公式的应用2,3,6,10a n与S n的关系5,8,12数列的单调性、最值4,11综合问题9,13,14基础巩固(时刻:30分钟)1.(2021·山西二模)现在有这么一列数:2, , , , ,,,…,按照规律,横线中的数应为( B )(A)(B)(C) (D)解析:由题意可得,分子为连续的质数,分母依次为2n-1,故横线上的数应该为.故选B.2.在数列{a n}中,a1=,a n+1=1-,则a5等于( C )(A)2 (B)3 (C)-1 (D)解析:由题意可得a2=1-2=-1,a3=1+1=2,a4=1-=,a5=1-2=-1,故选C.3.(2021·湖南永州三模)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1a n+S n=5,则a2等于( C )(A)2 (B)3 (C)4 (D)5解析:因为a1=1,a n+1a n+S n=5,因此a2·a1+a1=5,即a2+1=5,解得a2=4.故选C.4.设a n=-3n2+15n-18,则数列{a n}中的最大项的值是( D )(A)(B)(C)4 (D)0解析:因为a n=-3(n-)2+,由二次函数性质得,当n=2或3时,a n最大,现在a n=0.故选D.5.(2021·湖南岳阳一模)已知数列{a n}的前n项和为S n,且a1=1,S n=,则a2 017等于( B )(A)2 016 (B)2 017 (C)4 032 (D)4 034解析:因为a1=1,S n=,因此n≥2时,a n=S n-S n-1=-,可化为=,因此==…==1,因此a n=n,则a2 017=2 017.故选B.6.在数列{a n}中,已知a1=2,a2=7,a n+2等于a n a n+1(n∈N*)的个位数,则a2 017等于( D )(A)8 (B)6 (C)4 (D)2解析:由题意得a3=4,a4=8,a5=2,a6=6,a7=2,a8=2,a9=4,a10=8.因此数列中的项从第3项开始呈周期性显现,周期为6,故a2 017=a335×6+7=a7=2.故选D.7.已知数列{a n}:2,-6,12,-20,30,-42,….写出该数列的一个通项公式: .解析:依照题意,a1=(-1)2×1×2=2,a2=(-1)3×2×3=-6,a3=(-1)4×3×4=12,…归纳可得a n=(-1)n+1×n×(n+1)=(-1)n+1×n·(n+1).答案:a n=(-1)n+1×n·(n+1)8.(2021·渭南一模)假如数列{a n}的前n项和S n=2a n-1,则此数列的通项公式a n= . 解析:当n≥2时a n=S n-S n-1=(2a n-1)-(2a n-1-1)=2a n-2a n-1,整理得a n=2a n-1,又因为当n=1时,a1=S1=2a1-1,即a1=1,因此数列{a n}构成以1为首项,2为公比的等比数列,因此a n=1·2n-1=2n-1.答案:2n-1能力提升(时刻:15分钟)9.(2021·河北保定二模)已知数列{a n}中,前n项和为S n,且S n=a n,则的最大值为( C )(A)-3 (B)-1 (C)3 (D)1解析:因为S n=a n,因此n≥2时,a n=S n-S n-1=a n-a n-1,化为==1+,由于数列()单调递减,可得n=2时,取得最大值2.因此的最大值为3.故选C.10.若数列{a n}满足a1=2,a n+1=(n∈N*),则该数列的前2 017项的乘积是( C )(A)-2 (B)-3 (C)2 (D)-解析:因为数列{a n}满足a1=2,a n+1=(n∈N*),因此a2==-3,同理可得a3=-,a4=,a5=2,….因此a n+4=a n且a1a2a3a4=1.因此该数列的前2 017项的乘积为1504×a1=2.故选C.11.(2021·湖南永州二模)已知数列{a n}的前n项和S n=3n(λ-n)-6,若数列{a n}单调递减,则λ的取值范畴是( A )(A)(-∞,2) (B)(-∞,3)(C)(-∞,4) (D)(-∞,5)解析:因为S n=3n(λ-n)-6,①因此S n-1=3n-1(λ-n+1)-6,n>1,②①-②得数列{a n}:a n=3n-1(2λ-2n-1)(n>1,n∈N*)为单调递减数列,因此a n>a n+1,且a1>a2,又a1=S1=3(λ-1)-6=3λ-9,a2=6λ-15,因此3n-1(2λ-2n-1)>3n(2λ-2n-3),且λ<2,化为λ<n+2(n>1),且λ<2,因此λ<2,因此λ的取值范畴是(-∞,2).故选A.12.(2021·江西鹰潭二模)数列{a n}的前n项和是S n,a1=1,2S n=a n+1(n∈N+),则a n= .解析:因为a1=1,2S n=a n+1(n∈N+),①因此当n≥2时,2S n-1=a n,②①-②得2a n=a n+1-a n,因此=3(n≥2),又a2=2S1=2a1=2,因此数列{a n}从第二项起,是以2为首项,3为公比的等比数列,即a n=2·3n-2(n≥2), 因此a n=答案:13.依照下列条件,确定数列{a n}的通项公式.(1)a1=1,a n+1=3a n+2;(2)a1=1,a n+1=(n+1)a n;(3)a1=2,a n+1=a n+ln(1+).解:(1)因为a n+1=3a n+2,因此a n+1+1=3(a n+1),因此=3,因此数列{a n+1}为等比数列,公比q=3,首项a1+1=2,因此a n+1=2·3n-1,因此a n=2·3n-1-1.(2)因为a n+1=(n+1)a n,因此=n+1,因此=n,=n-1,…=3,=2,a1=1.累乘可得a n=n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1=n!.故a n=n!.(3)因为a n+1=a n+ln(1+),因此a n+1-a n=ln(1+)=ln,因此a n-a n-1=ln,a n-1-a n-2=ln,…a2-a1=ln,累加可得a n-a1=ln+ln+…+ln=ln n.又a1=2,因此a n=ln n+2.14.(2021·贵州模拟)已知数列{a n}满足a1=1,且na n+1-(n+1)a n=2n2+2n.(1)求a2,a3;(2)证明数列{}是等差数列,并求{a n}的通项公式. 解:(1)由数列{a n}满足a1=1,且na n+1-(n+1)a n=2n2+2n, 因此a2-2×1=4,解得a2=6.2a3-3×6=2×22+2×2,解得a3=15.(2)因为na n+1-(n+1)a n=2n2+2n,因此-=2,又因为=1,因此数列{}是等差数列,首项为1,公差为2,因此=1+2(n-1)=2n-1,解得a n=2n2-n.。
高考数学一轮复习 第5章 数列 第1讲 数列的概念与简单表示法课件
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考点 2 数列的分类
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考点 3 数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是
列表法、图象法和解析法
．
考点 4 数列的通项公式 如果数列{an}的第 n 项与 序号 n 之间的关系可以用 一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
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命题角度 2 形如 an＋1＝an＋f(n)，求 an
例 4 (1)[2015·江苏高考]设数列{an}满足 a1＝1，且
an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，求数
列
1
前
an
10
项的和．
解 由题意可得，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an
－
an
－
1)
＝
1
＋
解 由题意知 an＋1－an＝2n， an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1 ＋2n－2＋…＋2＋1＝11－－22n＝2n－1.
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命题角度 3 形如 an＋1＝Aan＋B(A≠0 且 A≠1)，求 an 例 5 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求 an.
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考向 由递推公式求数列的通项公式 命题角度 1 形如 an＋1＝anf(n)，求 an 例 3 在数列{an}中，a1＝4，nan＋1＝(n＋2)an，求数 列{an}的通项公式． 解 由递推关系得an＋1＝n＋2，
an n 又 a1＝4， ∴an＝aan－n 1·aann－ －12·…·aa32·aa21·a1＝nn＋ －11·n－n 2·nn－ －13·…·42·31·4＝ n＋21·211/11/·2n021·4＝2n(n＋1)(n∈N*)．
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第五章 数列第一讲数列的概念与简单表示法ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知识梳理·双基自测知识梳理知识点一 数列的有关概念 概念 含义数列 按照__一定顺序__排列的一列数数列的项 数列中的__每一个数__ 数列的通项 数列{a n }的第n 项a n通项公式 数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系能用公式__a n ＝f (n )__表达，这个公式叫做数列{a n }的通项公式前n 项和数列{a n }中，S n ＝__a 1＋a 2＋…＋a n __叫做数列{a n }的前n 项和列表法 列表格表示n 与a n 的对应关系 图象法 把点__(n ，a n )__画在平面直角坐标系中公 式 法通项 公式 把数列的通项使用__公式__表示的方法递推 公式使用初始值a 1和a n ＋1＝f (a n )或a 1，a 2和a n ＋1＝f (a n ，a n －1)等表示数列的方法n n 若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧__S 1__，n ＝1，__S n －S n －1__，n ≥2.知识点四 数列的分类重要结论1．数列与函数数列可以看作是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1,2，…，n })的函数，当自变量__从小到大__依次取值时对应的一列函数值．数列的通项公式是相应函数的解析式，它的图象是__一群孤立的点__.2．常见数列的通项公式 (1)自然数列：1,2,3,4，…，a n ＝n . (2)奇数列：1,3,5,7，…，a n ＝2n －1. (3)偶数列：2,4,6,8，…，a n ＝2n . (4)平方数列：1,4,9,16，…，a n ＝n 2. (5)2的乘方数列：2,4,8,16，…，a n ＝2n . (6)乘积数列：2,6,12,20，…，a n ＝n (n ＋1)． (7)正整数的倒数列：1，12，13，14，…，a n ＝1n .(8)重复数串列：9,99,999,9 999，…，a n ＝10n －1.(9)符号数列：－1,1，－1,1，…或1，－1,1，－1，…，a n ＝(－1)n 或a n ＝(－1)n ＋1.双基自测题组一 走出误区1．(多选题)下列命题正确的是( BD ) A ．所有数列的第n 项都可以用公式表示出来B ．依据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个C ．若a n ＋1－a n >0(n ≥2)，则函数{a n }是递增数列D ．如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对于任意n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n[解析] 对于A ，因为数列是按一定顺序排列的一列数，如我班某次数学测试成绩，按考号从小到大的顺序排列，这个数列肯定没有通项公式，所以错误．对于B ，比如数列1,0,1,0，……的通项公式为：a n ＝⎪⎪⎪⎪sin n π2或a n ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos (n －1)π2或a n ＝1－(－1)n2，所以正确． 对于C ，因为n ＝1时，a 2与a 1不确定大小关系．对于D ，由数列前n 项和的定义可知，当n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n ，所以正确．故选B 、D ．题组二 走进教材2．(必修5P 31T4改编)数列0，－75，135，－6317，…的一个通项公式是a n ＝( A )A ．(－1)n ＋1·n 3－1n 2＋1 B ．(－1)n·n 3－1n 2＋1C ．(－1)n －1·n 3－1n 2－1 D ．(－1)n·n 3－1n 2－1[解析] 奇数项符号为正，偶数项符号为负，故用(－1)n －1或(－1)n ＋1调节，135变为2610，观察发现各项分子项数的是立方数减1，分母是项数的平方数加1，故得a n ＝(－1)n ＋1·n 3－1n 2＋1.故选A ．3．(必修5P 33A 组T4改编)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋(－1)na n －1(n ≥2)，则a 5等于( D )A ．32B ．53C ．85D ．23[解析] a 2＝1＋(－1)2a 1＝2，a 3＝1＋(－1)3a 2＝12，a 4＝1＋(－1)4a 3＝3，a 5＝1＋(－1)5a 4＝23.4．(必修5P 33A 组T5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝__5n －4__.题组三 考题再现5．(2019·浙江，4分)设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝a 2n＋b ，n ∈N *，则( A ) A ．当b ＝12时，a 10>10B ．当b ＝14时，a 10>10C ．当b ＝－2时，a 10>10D ．当b ＝－4时，a 10>10[解析] 当b ＝12时，因为a n ＋1＝a 2n ＋12，所以a 2≥12，又a n ＋1＝a 2n ＋12≥2a n ，故a 9≥a 2×(2)7≥12×(2)7＝42，a 10>a 29≥32>10.当b ＝14时，a n ＋1－a n ＝(a n －12)2，故a 1＝a ＝12时，a 10＝12，所以a 10>10不成立．同理b ＝－2和b ＝－4时，均存在小于10的数x 0，只需a 1＝a＝x 0，则a 10＝x 0<10，故a 10>10不成立．所以选A ．6．(2018·全国卷Ⅰ，5分)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝__－63__.[解析] 方法一：因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1； 当n ＝2时，a 1＋a 2＝2a 2＋1，解得a 2＝－2； 当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝2a 3＋1，解得a 3＝－4； 当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2a 4＋1，解得a 4＝－8； 当n ＝5时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝2a 5＋1，解得a 5＝－16； 当n ＝6时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝2a 6＋1，解得a 6＝－32； 所以S 6＝－1－2－4－8－16－32＝－63.方法二：因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－(2a n －1＋1)，所以a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＝－2n －1，所以S 6＝－1×(1－26)1－2＝－63.KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点突破·互动探究考点一 由数列的前几项求数列的通项公式——自主练透例1 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)－1,7，－13,19，…； (2)23，415，635，863，1099，…； (3)12，2，92，8，252，…； (4)5,55,555,5555，…；(5)－1，32，－13，34，－15，36，….[解析] (1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式正负性可用(－1)n 调节，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)．(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积．故数列的一个通项公式为a n ＝2n(2n －1)(2n ＋1).(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即12，42，92，162，252，…，故数列的一个通项公式为a n ＝n 22. (4)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9,99,999，…的通项为10n －1，故数列的一个通项公式为a n ＝59(10n －1)．(5)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因式(－1)n ；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n ＝(－1)n ·2＋(－1)nn.也可写为a n＝⎩⎨⎧－1n，n 为正奇数，3n ，n 为正偶数.名师点拨 ☞由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等．(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征； ③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同．对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k 或(－1)k ＋1，k ∈N *处理．注意：并不是每个数列都有通项公式，有通项公式的数列，其通项公式也不一定唯一．考点二 由a n 与S n 的关系求通项公式——多维探究角度1 已知S n 求a n 问题例2 (1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n ，则此数列的通项公式为a n ＝__2n －11__.(2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n＋1，则此数列的通项公式为a n ＝__⎩⎪⎨⎪⎧3(n ＝1)，2n －1(n ≥2)__.[解析] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－10＝－9； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－10n －[(n －1)2－10(n －1)]＝2n －11. 当n ＝1时，2×1－11＝－9＝a 1，所以a n ＝2n －11. 故填2n －11.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝21＋1＝3； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1)－(2n －1＋1)＝2n －2n －1＝2n －1.综上有a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3(n ＝1)，2n －1(n ≥2).故填⎩⎪⎨⎪⎧3(n ＝1)，2n －1(n ≥2).角度2 S n 与a n 的关系问题例3 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝13a n ＋23，则{a n }的通项公式为a n ＝__(－12)n －1__.[解析] 当n ＝1时，a 1＝S 1＝13a 1＋23，所以a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13a n －13a n －1，所以a n a n －1＝－12，所以数列{a n }为首项a 1＝1，公比q ＝－12的等比数列，故a n ＝(－12)n －1.名师点拨 ☞S n 与a n 关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化． (1)利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为只含S n ，S n －1的关系式． (2)利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为只含a n ，a n －1的关系式，再求解．已知S n 求a n 的一般步骤(1)当n ＝1时，由a 1＝S 1，求a 1的值．(2)当n ≥2时，由a n ＝S n －S n －1，求得a n 的表达式．(3)检验a 1的值是否满足(2)中的表达式，若不满足，则分段表示a n . (4)写出a n 的完整表达式．〔变式训练1〕(1)(角度1)(2020·福建三明一中期中)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则数列{a n }的通项公式( B )A ．a n ＝2nB ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2C ．a n ＝2n －1D ．a n ＝2n ＋1(2)(角度2)(2020·辽宁部分重点高中高三联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n－1，则{a n }的通项公式为( B )A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝2n －1 C ．a n ＝2n －1D ．a n ＝2n ＋1[解析] (1)由log 2(S n ＋1)＝n ＋1，得S n ＋1＝2n ＋1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n＝S n －S n －1＝2n，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.故选B ．(2)当n ＝1时，S 1＝2a 1－1＝a 1，∴a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n－1.因此a n ＝2n －1(n ≥2)．又n ＝1时，2n －1＝1＝a 1，∴a n ＝2n －1.故选B ．考点三 由递推关系求通项公式——多维探究角度1 形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n例4 (2020·河南师大附中月考)已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋12n ，a 1＝1，则a n ＝__2－12n －1__.[解析] 由题意知a n －a n －1＝12n －1∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝12n －1＋12n －2＋…＋12＋1＝1－12n1－12＝2－12n －1.角度2 形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n例5 (2020·宁夏银川月考)在数列{a n }中，a 1＝1,3a n ＋1＝(1＋1n)2a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为( A )A ．a n ＝n 23n －1B ．a n ＝n 2＋33n ＋1C ．a n ＝4n 2＋23n ＋1D ．a n ＝n 2＋13n －1[解析] 解法一：由已知得a n ＋1a n ＝13×(n ＋1)2n 2∴a n ＝a n a n －1×a n －1a n －2×…×a 2a 1×a 1＝13×n 2(n －1)2×13×(n －1)2(n －2)2×…×13×2212×1＝n 23n －1. 解法二：由题意得a n ＋1(n ＋1)2＝13·a n n2.又n ＝1时，a n n 2＝1，故数列{a n n 2}是首项为1，公比为13的等比数列．从而a n n 2＝13n －1，即a n ＝n 23n －1.故选A ．解法三：当n ＝1时，选项A 为1，B 为1，C 为23，D 为1，否定C ，当n ＝2时，由已知得a 2＝43，选项A 为43，B 为710，D 为58，否定B ，D ，故选A ．角度3 形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)，求a n例6 (2020·西北师大附中调研)已知数列{a n }满足a 1＝－2，且a n ＋1＝3a n ＋6，则a n ＝__3n －1－3__.[解析] ∵a n ＋1＝3a n ＋6， ∴a n ＋1＋3＝3(a n ＋3)， 又a 1＝－2，∴a 1＋3＝1，∴{a n ＋3}是首项为1，公比为3的等比数列，∴a n ＋3＝3n －1，∴a n ＝3n －1－3. 名师点拨 ☞已知递推关系求通项，一般有三种常见思路(1)算出前几项，再归纳、猜想．(2)形如“a n ＋1＝pa n ＋q ”这种形式通常转化为a n ＋1＋λ＝p (a n ＋λ)，由待定系数法求出λ，再化为等比数列．(3)递推公式化简整理后，若为a n ＋1－a n ＝f (n )型，则采用累加法；若为a n ＋1a n＝f (n )型，则采用累乘法．〔变式训练2〕根据下列条件，写出数列{a n }的通项公式：(1)(角度1)若a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n －1，则a n ＝__n 2－2n ＋2__；(2)(角度2)若a 1＝1，na n －1＝(n ＋1)a n (n ≥2)，则a n ＝__2n ＋1__； (3)(角度3)若a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则a n ＝__2×3n －1－1__.[解析] (1)∵a n ＋1＝a n ＋2n －1，∴当n ≥2时，a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝2n －3，∴a n －a 1＝(1＋2n －3)(n －1)2＝(n －1)2，∴a n ＝(n －1)2＋1＝n 2－2n ＋2，又当n ＝1时，12－2×1＋2＝1，∴n ＝1时符合上式． ∴a n ＝n 2－2n ＋2.(2)∵na n －1＝(n ＋1)a n ，∴a n a n －1＝n n ＋1，又a 1＝1，∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝n n ＋1·n －1n ·n －2n －1·…·23＝2n ＋1.(3)∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，又a 1＝1， ∴a 1＋1＝2，∴{a n ＋1}是首项为2公比为3的等比数列， ∴a n ＋1＝2×3n －1，∴a n ＝2×3n －1－1.考点四 数列的函数性质——多维探究角度1 数列的单调性例7 若数列{a n }满足a n ＝n 2＋kn ＋4(n ∈N *)且{a n }是递增数列，则实数k 的取值范围为__k >－3__.[解析] 由数列是一个递增数列，得a n ＋1>a n ，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，所以(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋4>n 2＋kn ＋4，即k >－1－2n ，又n ∈N *，所以k >－3.角度2 数列的周期性例8 (2020·福建福清校际联盟期中联考)已知S n 为数列{a n }前n 项和，若a 1＝12，且a n ＋1＝22－a n(n ∉N *)，则6S 100＝( A )A ．425B ．428C ．436D ．437[分析] 由递推公式逐项求解，探求规律． [解析] 由数列的递推公式可得：a 2＝22－a 1＝43，a 3＝22－a 2＝3，a 4＝22－a 3＝－2，a 5＝22－a 4＝12＝a 1，据此可得数列{a n }是周期为4的周期数列，则：6S 100＝6×25×(12＋43＋3－2)＝425.选A ．角度3 数列的最大、小项问题例9 已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)(1011)n ，则数列{a n }中的最大项是第__9、10__项．[解析] 解法一：∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)(1011)n ＋1－(n ＋1)(1011)n ＝(1011)n ×9－n11，当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ， ∴该数列中有最大项，为第9、10项， 且a 9＝a 10＝10×(1011)9.解法二：根据题意，令⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)，即⎩⎨⎧n ×(1011)n －1≤(n ＋1)(1011)n，(n ＋1)(1011)n≥(n ＋2)(1011)n ＋1，解得9≤n ≤10.又n ∈N *，∴n ＝9或n ＝10，∴该数列中有最大项，为第9、10项， 且a 9＝a 10＝10×(1011)9.名师点拨 ☞(1)解决数列周期性问题的方法：先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．(2)判断数列单调性的方法：①作差(或商)法；②目标函数法：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去．(3)求数列中最大(小)项的方法：①根据数列的单调性判断；②利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1a n ≥a n ＋1(或⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1a n ≤a n ＋1)求出n 的值，进而求得a n 的最值． 〔变式训练3〕(1)(角度1)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋k2n ，若数列{a n }为递减数列，则实数k 的取值范围为( D )A ．(3，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)(2)(角度3)数列{a n }的通项公式a n ＝n 2＋90n ，则数列{a n }中的最小项是( C ) A ．310B ．19C ．119D ．1060(3)(角度2)已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)，则a 2 020等于__0__. [解析] (1)因为a n ＋1－a n ＝3n ＋3＋k 2n ＋1－3n ＋k 2n ＝3－3n －k 2n ＋1，由数列{a n }为递减数列知，对任意n ∈N *，a n ＋1－a n ＝3－3n －k 2n ＋1<0， 所以k >3－3n 对任意n ∈N *恒成立，所以k ∈(0，＋∞)．(2)令f (x )＝x ＋90x(x >0)，运用基本不等式得f (x )≥290，当且仅当x ＝310时等号成立．因为a n ＝n ＋90n ，所以n ＋90n≥290，由于n ∈N *，不难发现当n ＝9或n ＝10时，a n ＝19最小，故选B ．(3)由已知得a 1＝0，a 2＝－3，a 3＝3，a 4＝0，a 5＝－3，…，由此可知数列{a n }的项是以3为周期重复出现的，而2 020＝3×673＋1，因此a 2 020＝a 1＝0.MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG名师讲坛·素养提升逆推数列的通项公式的求法热点一 a n ＋1＝Aa n Ba n ＋C(A 、B 、C 为常数)型 例10 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n a n ＋2，则数列{a n }的通项公式为a n ＝__2n ＋1(n ∈N *)__.[解析] ∵a n ＋1＝2a n a n ＋2，a 1＝1，∴a n ≠0， ∴1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，又a 1＝1，则1a 1＝1，∴{1a n }是以1为首项，12为公差的等差数列， ∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋12， ∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)． [名师点拨] 形如a n ＋1＝Aa n Ba n ＋C (A ，B ，C 为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解．热点二 a n ＋1＝pa n ＋f (n )(p 为常数)型例11 在数列{a n }中，(1)若a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *，则a n ＝__4n －1＋n __.(2)若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3n ，n ∈N *，则a n ＝__3n －2n __.[分析] 观察递推式特征：a n ＋1＝pa n ＋f (n )，类似等比数列，故可尝试化为等比数列求解，以(1)为例可设a n ＋1＋λ(n ＋1)＋μ＝4(a n ＋λn ＋μ)，整理得a n ＋1＝4a n ＋3λn ＋(3μ－λ)所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3λ＝－3，3μ－λ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1μ＝0转化成功． [解析] (1)∵a n ＋1＝4a n －3n ＋1，∴a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n )，即a n ＋1－(n ＋1)a n －n＝4，又a 1＝2，∴a 1－1＝1，∴{a n －n }是首项为1，公比为4的等比数列，∴a n －n ＝4n －1.∴a n ＝4n －1＋n .(2)∵a n ＋1＝2a n ＋3n ，令a n ＋1＋λ·3n ＋1＝2(a n ＋λ·3n )比较系数得λ＝－1.∴a n ＋1－3n ＋1＝2(a n －3n )，即a n ＋1－3n ＋1a n －3n ＝2，又a 1＝1，∴a 1－3＝－2，∴{a n －3n }是首项为－2，公比为2的等比数列，∴a n －3n ＝－2n ，∴a n ＝3n －2n .另解：∵a n ＋1＝2a n ＋3n，∴a n ＋13n ＝23·a n 3n －1＋1 ∴a n ＋13n －3＝23(a n 3n －1－3)，又a 1＝1，∴{a n 3n －1－3}是首项为－2，公比为23的等比数列，∴a n 3n －1－3＝－2(23)n －1，∴a n ＝3n －2n . 名师点拨 ☞①形如a n ＋1＝Pa n ＋An ＋B (P 、A 、B 为常数)的类型，可令a n ＋1＋λ(n ＋1)＋μ＝P (a n ＋λn ＋μ)，求出λ、μ的值即可知{a n ＋λn ＋μ}为等比数列，进而可求a n .②形如a n ＋1＝Pa n ＋Aq n (P 、A 为常数)的类型．当p ≠q 时，可令a n ＋1＋λq n ＋1＝p (a n ＋λq n )，求出λ的值即可知{a n ＋λq n}是等比数列，进而可求a n ，当p ＝q 时可化为a n ＋1q n ＝a n q n －1＋A 即a n ＋1q n －a n q n －1＝A (常数)知{a n q n －1}为等差数列，进而可求a n . 〔变式训练4〕在数列{a n }中(1)a 1＝1，a n ＝a n －12a n －1＋1(n ≥2)，则a n ＝__12n －1__； (2)若a 1＝1，a n ＋1＝2a n －3n ，n ∈N *，则a n ＝__－5·2n －1＋3n ＋3__；(3)若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3·2n ，n ∈N *，则a n ＝__(3n －2)·2n －1__.[解析] (1)将a n ＝a n －12a n －1＋1两边取倒数，得1a n －1a n －1＝2，这说明{1a n }是一个等差数列，首项是1a 1＝1，公差为2，所以1a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，即a n ＝12n －1. (2)∵a n ＋1＝2a n －3n ，令a n ＋1＋λ(n ＋1)＋μ＝2(a n ＋λn ＋μ)，则⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝－3，μ－λ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝－3，μ＝－3， ∴a n ＋1－3(n ＋1)－3＝2(a n －3n －3)又a 1＝1，∴{a n －3n －3}是首项为－5，公比为2的等比数列，∴a n －3n －3＝－5·2n －1 ∴a n ＝－5·2n －1＋3n ＋3.(3)∵a n ＋1＝2a n ＋3·2n ，∴a n ＋12n －a n 2n －1＝3，又a 1＝1， ∴{a n 2n －1}是首项为1，公差为3的等差数列， ∴a n 2n －1＝1＋3(n －1)，∴a n ＝(3n －2)·2n －1.。